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Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656 (1910)

Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

(1910)–Christiaan Huygens–rechtenstatus Auteursrecht onbekend

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Travaux Mathématiques divers de 1652 et 1653.
Problèmes plans et solides.
maxima et minima.

Avertissement.

En janvier 1652 Huygens commença à s'occuper assidûment de problèmes solides, c'est-à-dire de ceux dont l'analyse algébrique amène des équations du troisième ou quatrième degré; problèmes devant lesquels il s'était arrêté jusqu'alors quand il les avait rencontrés.1) Le point de départ de ces nouvelles recherches, comme de tant d'autres,2) lui est fourni par Archimède. Il s'agit cette fois du problème de couper une sphère par un plan dans un rapport donné. Dans son ouvrage ‘De sphaera et cylindro’3) Archimède n'en avait pas achevé la solution; il l'avait seulement réduit à un problème plus simple qui demande de couper une droite de longueur donnée en deux segments sous des conditions qui font reconnaître le problème comme solide.4) Il est vrai qu' Eutocius dans ses Commentaires sur Archimède en avait rapporté trois solutions différentes;5) mais elles exigent la détermination de l'intersection d'une hyperbole avec une ellipse

ou une parabole. Or, Descartes dans sa ‘Géométrie’6) avait montré qu'on pouvait réduire chaque problème solide à celui de trouver l'intersection d'une parabole avec un cercle. C'est ce que Huygens va accomplir, pour le problème en question, dans la pièce No. I.7) Le même mois, d'ailleurs, il en élabora une seconde solution,8) basée cette sois sur la trisection de l'angle, parce qu'il considérait ces sortes de constructions, là où elles sont possibles, comme les plus simples et les plus pratiques pour les problèmes solides.9) C'est cette seconde solution qui, sous une forme un peu modifiée, a passé dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ de 1654.10)

Les analyses qui ont conduit à ces solutions nous sont inconnues. Sans doute Huygens a commencé par déduire algébriquement l'équation cubique dont le problème dépend; il a appliqué ensuite les règles données par Descartes, au Livre III de sa ‘Géométrie’, pour résoudre une telle équation par l'intersection d'une parabole avec un cercle ou par la trisection de l'angle; adaptant toutefois ces constructions autant que possible au problème à résoudre de manière à économiser sur les lignes à tirer.11)

Le second problème solide traité par Huygens, est celui des deux moyennes proportionnelles. L'antiquité en connaissait plusieurs solutions qui nous ont été conservées. Parmi elles celle de Nicomède, fondée sur l'emploi de sa conchoïde, semble avoir frappé particulièrement Huygens. En effet, dès qu'on se demande de quelle manière Nicomède a pu parvenir à cette solution, elle nous apparaît comme une véritable énigme. Il est clair, d'abord, que la détermination des points d'intersection d'une droite avec une conchoïde doit mener en général à une équation du quatrième degré. Or, dans la solution de Nicomède, le pôle et la base de la conchoïde sont placés de telle façon que l'un des quatre points d'intersection qui

correspondent aux racines de cette équation biquadratique est construisible à l'aide de la seule règle et que de plus l'équation cubique, qui reste, se réduit à la forme binomiale.12) Mais comment Nicomède a-t-il pu réussir à remplir ces conditions, indispensables au succès de sa solution? Huygens croit l'avoir deviné et il nous expose ses idées là-dessus dans la pièce No. II, du 30 janvier 1652.13) Il y suppose implicitement que l'antiquité était en possession d'une analyse algébrique qui ressemblait à la nôtre; opinion qu' il a exprimée formellement dans une lettre à Kinner à Löwenthurn du 9 août 165214) et qui fut partagée par d'autres savants de son époque.15)

Ayant si bien réussi, dans cette pièce No. II, à retrouver la solution de Nicomède en la considérant comme une solution particulière du problème plus général de mener par un point donné une droite de manière que deux droites, données en position, en découpent un segment de longueur donnée, Huygens se met à rechercher les cas où ce problème devient plan, c'est-à-dire résoluble à l'aide de la règle et du compas.16) De cette façon il obtient aisément les cas particuliers mentionnés par Pappus17) et dont il s'était déjà occupé en 1650,18) dans lesquels le point donné est situé sur une des bissectrices des angles formés par les droites données. Il les reprend et en trouve de nouvelles solutions,19) reproduites

pour la plupart dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones.’

Ensuite, dans la pièce No. VIII20), du 14 février 1652, Huygens revient au cas général où le point donné occupe une position quelconque à l'intérieur de l'angle qui doit contenir le segment donné. Il en obtient une solution qui dépend de l'intersection d'une hyperbole et d'un cercle et se met ensuite à rechercher ce qu'on appelait alors la ‘determinatio’ du problème, c'est-à-dire l'ensemble des conditions sous lesquelles la solution est possible. Cette ‘determinatio’ exige ici la construction du plus petit segment que, dans l'angle donné, on puisse faire passer par le point donné; ce qui constitue un nouveau problème solide dont Huygens donne trois solutions diverses et qu'il reprend en septembre de la même année21) pour le traiter systématiquement par sa règle ‘de maximis et minimis’ qui est une modification de celle de Fermat.22) A cette occasion il expose amplement les principes qui conduisent à cette règle.

En attendant, en mars 1652, il était retourné au problème des deux moyennes proportionelles. Après avoir donné, pour le cas particulier de la duplication du cube, dans la pièce No. X23) une première solution, dont l'analyse nous est inconnue, accompagnée d'une construction approximative élégante, il va procéder plus systématiquement par la méthode qui, selon lui, a amené la solution de Nicomède; c'est-à-dire il se pose des problèmes dans lesquels il s'agit d'obtenir l'égalité de deux segments dont l'un est situé sur une droite mobile, passant par un point donné, et l'autre sur une droite fixe;24) il soumet ces problèmes à une analyse algébrique conduisant à une équation cubique ou biquadratique; après quoi il choisit les données du problème de manière à simplifier cette équation jusqu' à ce qu'elle se réduise à une équation cubique binomiale. Alors, pourvu qu'on suppose accomplie l'égalisation des deux segments, il est en possession d'une solution nouvelle du problème des deux moyennes.

Les solutions obtenues de cette façon ont passé dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’,25) mais sans les analyses et sous des rédactions modifiées.

Ensuite, après un intervalle de plusieurs mois, pendant lesquels Huygens a

commencé ses recherches sur la dioptrique26) et posé les bases de sa théorie de la percussion des corps durs,27) il aborde en septembre 1653 deux autres problèmes solides; en premier lieu celui des normales à abaisser d'un point donné sur une parabole donnée, problème dont Apollonius s'était occupé au cinquième livre de ses ‘Coniques’. Par la méthode esquissée au second alinéa du présent ‘Avertissement’ Huygens parvient à résoudre ce problème à l'aide des intersections d'un cercle avec la parabole même qui est donnée.28) Alors il se pose la question si une telle solution où il n'entre d'autres courbes que le cercle et la courbe qu'on estime connue, doit être comptée comme plane ou comme solide. Huygens incline vers la première interprétation et il croit pouvoir expliquer de cette façon un passage où Pappus reproche à Apollonius, qui s'était servi d'une hyperbole pour la résolution du problème en question, d'avoir employé une conique dans la solution d'un problème plan.29)

Le dernier problème solide30) résolu par Huygens dans la période qui nous occupe, est celui de la détermination du point d'inflexion de la conchoïde de Nicomède. Il le réduit d'abord à une question ‘de maximis et minimis,’ à laquelle il applique la méthode exposée dans la pièce No. XIV; ce qui amène une équation cubique résoluble, comme toujours, à l'aide d'un cercle et d'une parabole et, entre certaines limites des données, par la trisection de l'angle. Dans ce dernier cas Huygens a cru, au premier abord, qu'on pourrait se servir, pour la trisection de l'angle en question de la conchoïde même qu'on suppose donnée.31) Alors, comme nous l'avons vu, le problème se rangerait, selon lui, parmi les problèmes plans; mais il semble qu'il ait abandonné bientôt cette pensée.32) Une remarque, qui, dans la pièce No. XX y donnait expression, est supprimée dans les ‘Illustrium quorundam problematum solutiones’ où le problème apparaît comme ‘Problema VIII.’

 

C'est ici la partie principale de l'oeuvre purement mathématique des années 1652

et 1653 pour autant qu'elle nous a été conservée. Nous n'y avons à ajouter que les pièces No. V, XV, XVI, XVII, XVIII et XXI dont nous n'avons pas encore parlé.

La première de ces pièces, le No. V,33) a, évidemment, été composée par Huygens pour se faciliter la rédaction, à la mode des anciens, des démonstrations et constructions auxquelles il avait été conduit par l'analyse algébrique, et le No. XVI34) peut être considéré comme un exemple de l'application à un problème plan déterminé des règles exposées dans le No. V.

Le No. XV35) donne une déduction algébrique de la formule célèbre de Héron qui exprime l'aire d'un triangle en fonction des côtés.

Les pièces No XVII36) et No. XVIII37) contiennent la détermination de la tangente à la cissoïde et à la conchoïde dans le cas du point de rebroussement. Comme la méthode de Descartes38) y est employée, cette détermination se réduit à une question ‘de maximis et minimis’ traitable par les méthodes exposées dans la pièce No. XIV.

Enfin le No. XXI39) applique au triangle une méthode inventée par van Schooten pour déterminer les centres de gravité de certaines figures simples.


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