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Tables.
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I. Pièces et mémoires.
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Page. |
| TRAVAUX DIVERS DE JEUNESSE. 1645-1646 |
1-80 |
| Avertissement |
3 |
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I. |
Aperçu d'un manuscrit de van schooten, ayant servi aux études de christiaan huygens. [1645-1646] |
7 |
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II. |
Règles pour les équations quadratiques. [1645] |
21 |
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III. |
Huit problèmes de planimétrie. [1645] |
23-27 |
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1. |
Inscrire un cercle dans un triangle donné |
23 |
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2. |
Dans un triangle donné inscrire un triangle équilatère, de manière que l'un de ses côtés soit parallèle à l'un des côtés du triangle donné |
24 |
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3. |
Dans un cercle trouver un point tel qu'une perpendiculaire, abaissée de ce point sur un diamètre, divise ce dernier en deux segments dont le produit est égal à la somme du carré de la perpendiculaire avec le produit des deux segments d'une corde passant par le point donné. Théorème |
25 |
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4. |
Découper d'un rectangle donné une équerre, partout d'égale largeur, dont la surface est la moitié du rectangle |
26 |
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5. |
D'un point donné sur un des côtés diviser un triangle donné en deux parties égales |
26 |
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6. |
Si du sommet d'un triangle isoscèle on tire une droite vers un point quelconque de la base, la somme du rectangle construit sur les segments de la base avec le carré de la droite tirée sera égale au carré d'un des côtés égaux |
27 |
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7. |
Diviser un triangle donné en deux parties égales par une parallèle à l'un descôtés |
27 |
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8. |
Par un point donné dans un triangle donné tirer une droite qui divise le triangle en deux parties égales |
27 |
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IV. |
Problèmes et théorèmes divers se rapportant aux coniques [1645] |
28-33 |
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1. |
Du paramètre de la parabole et comment on le trouve |
28 |
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2. |
Inscrire un triangle équilatère dans une parabole donnée |
29 |
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Page. |
| 3. |
Inscrire un carré dans une portion donnée d'une parabole |
29 |
| 4. |
Trouver la tangente à un point donné d'une parabole |
30 |
| 5. |
Mener une tangente à un point donné d'une ellipse |
31 |
| 6. |
D'un point donné hors d'une parabole tirer une tangente à cette courbe |
32 |
| 7. |
D'un point donné hors d'une parabole donnée tirer une normale à cette courbe |
32 |
| 8. |
La distance du foyer d'une parabole au point où une tangente rencontre l'axe est égale à la distance du foyer au point de tangence |
33 |
| 9. |
Une parallèle au diamètre d'une parabole fait avec la tangente au point d'incidence un angle égal à celui de la droite qui joint ce point avec le foyer de la courbe |
33 |
| V. Éléments de mécanique. [1645] |
34-36 |
| Prop. 1. Un poids égal à la gravité d'un corps, suspendu au centre de gravité, équivaut au poids du corps |
34 |
| Prop. 2. Des poids égaux à des distances inégales du point de suspension de la balance ne font pas équilibre |
35 |
| Prop. 3. Deux poids font équilibre lorsque leurs grandeurs sont inversement proportionnelles à leurs distances du point de suspension |
35 |
| VI. De la chaînette [1646] |
37-44 |
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Planche |
37 |
| Theor. 1. Lorsqu'un poids est suspendu à deux fils, ceux-ci prolongés se couperont dans la verticale passant par le centre de gravité du poids |
37 |
| Prop. 2. Dans un polygone funiculaire les deux côtés, situés de part et d'autre d'un troisième intermédiaire, lorsqu'ils sont prolongés, se couperont dans la verticale passant par le centre de gravité des deux poids intermédiaires |
40 |
| Prop. 3. La courbe passant par les sommets d'un polygone funiculaire ressemble beaucoup à une parabole, mais ne l'est point |
41 |
| Prop. 4. Charger une corde de poids égaux de manière que les sommets du polygone funiculaire soient situés sur une parabole donnée à axe vertical |
41 |
| VII. Des nombres parfaits. [1646] |
45 |
| VIII. Sept problèmes de maximis et minimis [1646] |
46-49 |
| 1. |
La plus grande de quatre proportionnelles étant donnée, trouver les autres, telles que la différence de la deuxième avec la quatrième soit aussi grande que possible |
46 |
| 2. |
Étant donnée la plus grande de trois proportionnelles, trouver les deux autres telles que la différence entre la moyenne et la plus petite soit aussi grande que possible |
47 |
| 3. |
Étant données deux lignes inégales, trouver une intermédiaire telle que le rectangle construit sur les différences avec les extrêmes soit aussi grand que possible |
47 |
| 4. |
D'un point situé hors d'une ligne donnée tirer une droite qui la coupe de |
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Page. |
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manière que le solide, construit sur cette droite et les deux segments dans lesquels elle divise la ligne donnée, soit aussi grand que possible |
48 |
| 5. |
La plus grande étant donnée, trouver trois proportionnelles, telles que le rectangle, construit sur la plus petite et la différence entre la moyenne et la plus grande, soit aussi grand que possible |
48 |
| 6. |
Diviser une ligne donnée en deux parties de manière que le solide, construit sur le carré de l'une des parties et l'autre, soit aussi grand que possible |
49 |
| 7. |
Trouver la plus grande parabole dans un cône |
49 |
| IX. Démonstrations de quelques propositions d'archimède [1646] |
50-52 |
| 1. |
Le cercle est égal au triangle rectangle, qui a pour base le rayon et pour hauteur la circonférence |
50 |
| 2. |
La surface courbe d'un cylindre droit est égale au cercle, dont le rayon est la moyenne proportionnelle entre la hauteur du cylindre et le diamètre de sa base |
51 |
| 3. |
La section d'un conoïde parabolique par un plan parallèle à l'axe est une parabole de même paramètre que celui de la génératrice |
52 |
| X. Suites géométriques. [1646] |
53-55 |
| 1. |
Dans une suite géométrique le quotient du premier terme par le second, diminué de l'unité, puis multiplié par la somme de tous les termes suivants à l'exception du premier, et augmenté du dernier, sera égal au premier terme |
53 |
| 2. |
Le quotient du premier terme par le second étant diminué de l'unité, se rapporte à l'unité comme le premier terme à la somme des suivants augmentée du dernier terme, divisé par le quotient moins l'unité |
54 |
| 3. |
Un terme quelconque d'une suite descendante, divisé par le quotient du premier terme par le second, après que ce quotient a été diminué d'une unité, est égal à la somme de tous les termes suivants à l'infini |
54 |
| 4. |
Deux lignes étant données, trouver une troisième de sorte que la somme de la seconde, de la troisième et de tous les termes proportionnels suivants à l'infini soit égale à la première |
55 |
| XI. Quadrature de la parabole et cubature de ses solides de révolution. [1646] |
56 |
| Notion commune |
56 |
| Théor. 1. Si, dans une parabole, on inscrit, sur une des moitiés de sa base, une parabole semblable c.-à-d., dont le paramètre est la moitié de celui de la première, qu'ensuite d'un point de celle-ci on mène une perpendiculaire à la base, et du sommet une corde vers l'extrémité commune des deux bases, la distance du point d'intersection de la perpendiculaire avec la parabole inscrite jusqu'à la base sera double de la distance du point d'intersection avec la parabole circonscrite jusqu'à celui avec la corde |
56 |
| Théor. 2. Toute parabole est octuple du segment découpé par une corde tirée du sommet à l'extrémité de la base |
57 |
| |
| |
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Page. |
| Corollaires |
58 |
| Théor. 3. Le cercle décrit par une droite, tournant sur son extrémité comme centre, se rapporte à l'anneau décrit par une partie de la droite ayant même milieu, comme la droite à sa partie |
58 |
| Corollaire |
58 |
| Théor. 4. Une parabole tournant autour d'un axe, passant perpendiculairement par l'extrémité de sa base, décrit un solide qui se rapporte au cylindre décrit par un rectangle tournant autour du même axe et ayant même base mais une hauteur double de celle de la parabole, comme la parabole au double du rectangle. Le solide décrit par la parabole est donc égal au cône ayant même hauteur et même base que le cylindre |
58 |
| Théor. 5. Un conoïde parabolique est égal à une fois et demie le cône de même hauteur et de même base |
59 |
| Théor. 6. Le corps décrit par un rectangle dont on a retranché une demie parabole inscrite dont l'axe est parallèle au côté du rectangle qui constitue l'axe de révolution, est égal à la moité du cône ayant même base et même hauteur |
60 |
| XII. Des tangences. [1646] |
61-63 |
| Probl. 1. Décrire un cercle, qui passe par un point donné et touche une droite donnée |
61 |
| Probl. 2. Décrire un cercle, qui touche une droite et un cercle donnés |
62 |
| Probl. 3. Décrire un cercle qui touche un cercle donné et passe par un point donné |
63 |
| XIII. Gnomonique. Construction d'un cadran solaire. [1646] |
64-67 |
| |
Planche |
65 |
| XIV. Du mouvement naturellement accéléré [1646] |
68-75 |
| I. Déduction des lois de la chute libre |
68 |
| II. Considérations sur la résistance de l'air |
72 |
| XV. De la sphère et de la parabole. [1646] |
77-80 |
| Prop. 1. Dans une parabole une droite parallèle à l'axe divise la base en segments dont le produit est égal à celui de la perpendiculaire et du paramètre |
76 |
| Prop. 2. Si d'un point de la circonférence d'un demi-cercle, dans lequel est inscrit une parabole, on abaisse une perpendiculaire sur le diamètre, le rapport du rayon à la partie de la perpendiculaire située dans la parabole sera le même que celui des carrés du rayon et de la perpendiculaire entière |
76 |
| Prop. 3. La sphère est égale aux deux tiers du cylindre circonscrit |
77 |
| Prop. 4. La surface de la sphère est le quadruple de son grand cercle |
77 |
| Prop. 5. Une parabole étant inscrite dans un demi-cercle, auquel est circonscrit un rectangle, une perpendiculaire au diamètre du cercle découpera de ces figures des parties telles que celle de la parabole se rapportera à celle du rectangle comme le segment sphérique, produit par la révolution, autour du diamètre, du |
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| |
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Page. |
| |
demi-segment découpé du cercle, au cylindre produit par la révolution de la partie découpée du rectangle |
78 |
| |
Prop. 6. Un segment de sphère étant donné trouver un cône ou un cylindre qui lui est égal |
78 |
| |
Prop. 7. Trouver un cercle dont l'aire est égale à celle de la surface courbe d'un segment sphérique donné |
79 |
| DE IIS QUAE LIQUIDO SUPERNATANT LIBRI III. [1650] [SUR LES CORPS FLOTTANTS] |
81-189 |
| Avertissement |
83 |
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Planche |
87 |
| |
Livre I. Theorèmes généraux et application au segment sphérique, au conoïde parabolique et au cône flottants à axes verticaux |
93-119 |
| |
Hypothèses |
93 |
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Théor. 1. Un liquide est en repos lorsque sa surface est plane et parallèle à l'horizon |
94 |
| |
Théor. 2. Un corps solide, de même poids que le liquide de même volume, complètement submergé et touchant seulement la surface du liquide, restera dans la position, dans laquelle il a été placé |
95 |
| |
Théor. 3. Un corps solide, plus léger que le liquide, flotte dessus de telle manière qu'un volume de liquide égal à la partie submergée a même-poids que le corps |
96 |
| |
Théor. 4. Un corps solide flotte sur le liquide de telle manière que la partie submergée a au corps entier le même rapport, que le poids spécifique du corps à celui du liquide |
100 |
| |
Théor. 5. Lorsqu' un corps solide, flottant sur un liquide, s'incline et acquiert une autre position, alors le point qui occupe le milieu de la droite, qui joint les centres de gravité du corps entier dans la seconde position et de la partie submergée dans la première, est situé plus bas que le point qui occupe le milieu d'une autre droite, laquelle joint les centres de gravité du corps entier dans la première position et de la partie submergée dans la seconde |
102 |
| |
Théor. 6. Lorsqu' un corps solide, flottant sur un liquide, s'incline et acquiert une autre position, la hauteur du centre de gravité du corps entier au-dessus du centre de gravité de la partie submergée sera moindre dans la seconde position que dans la première |
103 |
| |
Théor. 7. Lorsqu' un corps solide, flottant sur un liquide, s'incline et acquiert une autre position, la hauteur du centre de gravité de la partie surnageante audessus du centre de gravité du corps entier sera moindre dans la seconde position que dans la première |
104 |
| |
Theor. 8. Un segment de sphère, flottant sur un liquide, ayant son sommet tourné en bas, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, restera en repos lorsque son axe de figure est perpendiculaire à la surface du liquide |
105 |
| |
| |
|
Page. |
| Théor. 9. Un segment de sphère, flottant sur un liquide avec sa base tournée en bas, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, restera en repos lorsque l'axe de sa figure est perpendiculaire à la surface du liquide |
106 |
| Lemme I. Dans une parabole on une hyperbole une droite tireé d'un point de la circonférence vers un point de l'axe se trouvant à moindre distance du sommet que la moitié du paramètre, sera plus grande que cette distance. |
|
| Théor. 10. Un segment droit de conoïde parabolique, de hauteur moindre que les trois quarts du paramètre de la parabole génératrice, flottant sur un liquide, le sommet tourné en bas, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire à la surface du liquide |
107 |
| Théor. 11. Un segment droit de conoïde parabolique de moindre hauteur que les trois quarts du paramètre de la parabole génératrice, flottant sur un liquide la base tournée en bas, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire à la surface du liquide |
109 |
| Théor. 12. Un segment droit de conoïde parabolique dont la hauteur est plus grande que les trois quarts du paramètre de la parabole génératrice, flottant à sommet submergé, lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide est plus grand que le rapport du carré de la différence de l'axe avec les trois quarts du paramètre au carré de l'axe, restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire à la surface du liquide |
110 |
| Théor. 13. Un segment droit de conoïde parabolique, dont la hauteur est plus grande que les trois quarts du paramètre de la parabole génératrice, flottant à base submergée lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide est moindre que le rapport de la différence du carré de l'axe avec le carré de l'excès de l'axe sur les trois quarts du paramètre, au carré de l'axe, restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire à la surface du liquide |
112 |
| Lemme II. Les plans tangents à un conoïde hyperbolique découpent des parties égales du cône produit par la révolution, autour de l'axe du conoïde, des asymptotes de l'hyperbole génératrice |
113 |
| Théor. 14. Un cône droit, flottant sur le liquide à sommet submergé lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide n'est pas moindre que le carré du rapport du cube de l'axe au cube du côté, restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire à la surface du liquide |
115 |
| Théor. 15. Un cône droit, flottant à base submergée, lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide n'est pas plus grand que le rapport de l'excès du cube du côté sur le cube d'une droite laquelle est à l'axe comme l'axe au coté, au cube du côté, restera en repos lorsque l'axe est perpendiculaire au liquide |
116 |
| Prop. 16 Probl. 1. Le rapport du poids spécifique d'une substance solide et d'un |
|
| |
| |
|
Page. |
| liquide étant donné, construire de cette substance un cône qui, à sommet submergé, flotte sur le liquide avec l'axe vertical |
117 |
| Prop. 17. Probl. 2. Le rapport du poids spécifique d'une substance solide et d'un liquide étant donné, construire de cette substance un cône, qui, à base submergée, flotte sur le liquide avec l'axe vertical |
118 |
| Livre II. Des paralellipipèdes flottants |
120-157 |
| Remarque. Dans l'examen des cas d'équilibre des parallélipipèdes flottants de longueur suffisante, on peut remplacer ces corps par leurs sections transversales droites |
120 |
| Théor. 1. Un corps solide flottant sur un liquide ne sera pas en repos à moins que la droite qui joint le centre de gravité du corps entier avec celui de la partie submergée, ou avec celui de la partie surnageante, ne soit perpendiculaire à la surface du liquide; et si elle n'est pas perpendiculaire le corps s'inclinera plus avant vers le même côté que cette droite s'incline |
122 |
| Lemme I. Lorsque par le milieu du côté supérieur d'un rectangle à base horizontale on tire une droite qui coupe l'un des côtés verticaux et le prolongement de l'autre de manière à former avec les droites sousjacentes un trapèze de même aire que le rectangle, et dont une partie triangulaire que nous appelons triangle émergeant dépasse le côté supérieur du rectangle, et que du centre de gravité de ce trapèze on tire vers l'axe du rectangle deux droites dont la première est parallèle à l'hypoténuse, la seconde au côté horizontal du triangle émergeant, le triple de l'axe du rectangle sera au côté vertical du triangle émergeant comme l'hypoténuse de ce triangle à la première des deux droites tirées, et aussi comme le côté vertical à la partie de l'axe comprise entre ces deux droites. Et cette partie de l'axe aura pour milieu le centre du rectangle |
124 |
| Lemme II. Si l'on suppose que le rectangle du Lemme précédent est prolongé en hauteur de manière à dépasser le côté oblique du trapèze, et que du centre de ce nouveau rectangle on abaisse une perpendiculaire sur la droite parallèle au côté oblique du trapèze, passant par le centre de gravité de cette figure, la partie de cette parallèle comprise entre le pied de la perpendiculaire et l'axe du rectangle sera plus grande que - égale à, - ou moindre que la partie comprise entre le centre de gravité du trapèze et l'axe, selon que les 3/2 d'un rectangle, construit sur la hauteur du rectangle primitivement donné et son prolongement, diminués du carré de la hauteur du triangle émergeant seront plus grands que, - égaux à, - ou moindres que le quart du carré de la base du rectangle donné |
125 |
| Lemme III. Lorsque, dans la figure du Lemme précédent, le côté oblique du trapèze est abaissé au point de passer par l'extrémité de la base du rectangle de sorte que le trapèze est réduit à un triangle rectangle, auquel on applique la même construction qu' au trapèze du Lemme précédent, la partie de la droite parallèle à l'hypoténuse du triangle, comprise entre le pied de la perpendiculaire et l'axe, |
|
| |
| |
|
Page. |
| sera plus grand que, - égal à, - ou moindre que la partie comprise entre le centre de gravité du triangle et l'axe, selon que le produit de la demi-hauteur du triangle avec les trois quarts de la hauteur du rectangle, diminués de cette demi-hauteur, sera plus grand que, - égal à, - ou moindre que la huitième partie du carré de la base |
127 |
| Théor. 2. Un rectangle, dont la base n'est pas moindre que √3/2 fois sa hauteur, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, flottant à base submergée et puis incliné de manière qu'aucune de ses bases ne touche la surface du liquide, ne restera pas incliné, mais se redressera de sorte que son axe est vertical |
128 |
| Théor. 3. Un rectangle dont la base est moindre que √3/2 fois sa hauteur et dont on suppose la hauteur divisée en deux parties telles que leur produit est égal au sixième du carré de la base, lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide n'est pas moindre que la plus grande de ces parties à la hauteur entière, ou pas plus grand que celui de la plus petite à cette hauteur, flottant à base submergée, de manière qu'aucune de ses bases ne touche la surface, se redressera lorsque son axe est incliné |
129 |
| Théor. 4. Un rectangle dont la base est moindre que √3/2, mais plus grande que √9/8 fois sa hauteur, quel que soit le rapport de son poids spécifique à celui du liquide, flottant sur le liquide à base submergée, ne sera jamais en équilibre lorsqu'un de ses angles se trouve dans la surface du liquide |
132 |
| Théor. 5. Un rectangle dont la base est moindre que √3/2, mais plus grande que √9/8 fois sa hauteur, si l'on suppose sa hauteur divisée comme dans le Théorème 3, et que le rapport de son poids spécifique à celui du liquide est moindre que le rapport de la plus grande, mais plus grand que celui de la plus petite des deux parties à la hauteur entière, flottant sur le liquide à base submergée et incliné de manière qu'aucune de ses bases ne touche la surface du liquide, ne se redressera pas et ne restera non plus en équilibre dans une position inclinée, à moins que son axe ne fasse avec la surface un angle déterminé |
133 |
| Théor. 6. Un rectangle dont la base est plus grande que la hauteur, mais moindre que √9/8 fois la hauteur, flottant sur un liquide, pourra être en équilibre quelquefois à axe vertical; d'autres fois dans une position telle que l'un de ses angles touche la surface du liquide et cela en quatre cas; souvent incliné de manière qu'aucune des bases ne touche la surface; quelquefois aussi de manière que trois de ses angles sont submergés; enfin aussi avec un seul angle submergé: selon la diverse proportion de son poids spécifique à celui du liquide |
136 |
| Théor. 7. Un carré flottant sur un liquide restera quelquefois dans une position droite; quelquefois incliné de manière qu' aucun de deux côtés opposés ne touche la surface du liquide; d'autres fois avec un de ses angles dans la surface et ceci en deux cas; quelquefois aussi avec deux angles dans la surface et cela en un |
|
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| |
|
Page. |
| seul cas; quelquefois avec trois angles submergés; enfin avec un seul angle submergé: selon la diverse proportion de son poids spécifique à celui du liquide |
145 |
| Théor. 8. Un rectangle dont la base est moindre que la hauteur, flottant sur un liquide à base submergée, s'il est incliné de manière qu' aucune de ses bases ne touche la surface du liquide, quelquefois se redressera; d'autres fois restera incliné de manière qu' aucune de ses bases ne touche surface la liquide. Quelquefois il s'inclinera jusqu' à ce qu'un de ses angles se trouve dans la surface, mais dans la plupart des cas pour s'incliner encore davantage: selon la diverse proportion de son poids spécifique à celui du liquide |
152 |
| Livre III. Des cylindres |
158-189 |
| Définitions: cylindre, tronc et coin cylindriques |
158 |
| Thèses évidentes |
159 |
| Théor. 1. Le centre de gravité d'un coin cylindrique est situé dans la droite qui joint le point de contact de ses deux faces planes avec le milieu de l'arête opposée |
159 |
| Théor. 2. Le centre de gravité d'un tronc cylindrique est situé dans la droite qui joint les milieux de la plus grande et de la plus petite arête |
160 |
| Théor. 3. Le centre de gravitê d'un coin cylindrique divise la droite qui joint le point de contact de ses faces planes avec le milieu de l'arète opposée, de manière que la partie située du côté du contact est à l'autre comme 5 à 3 |
160 |
| Théor. 4. Le centre de gravité d'un tronc cylindrique divise la droite, qui joint le milieu de la plus petite avec celui de la plus grande arête, de telle manière que la partie située du côté de la plus petite arête est à l'autre comme la somme du quintuple de la plus grande avec le triple de la plus petite arête à la somme du quintuple de la plus petite avec le triple de la plus grande |
161 |
| Lemme. Soient un cylindre et un tronc de cylindre de même volume coïncidants avec leurs bases et leurs axes. Si par le centre de gravité du tronc on tire vers l'axe deux droites, la première parallèle à la face supérieure du tronc, la seconde parallèle à la base, le quadruple de l'axe du cylindre sera à l'excès de la plus grande arête du tronc sur la hauteur du cylindre, comme le demi-grand axe de la face elliptique du tronc à la première des droites tirées, et aussi comme le dit excès de la plus grande arête du tronc à la partie de l'axe du cylindre comprise entre ces deux droites. Et cette partie de l'axe aura pour milieu le centre de gravité du cylindre |
163 |
| Théor. 5. Supposons que le cylindre du Lemme précédent soit prolongé jusqu'à dépasser la plus longue arête du tronc, et que par le centre de gravité du tronc cylindrique on tire une droite parallèle à la face oblique du tronc, et du centre de gravité du cylindre prolongé une perpendiculaire à cette droite, alors la partie de la parallèle comprise entre le pied de la perpendiculaire et l'axe sera plus grande que, - égale à, - ou moindre que celle comprise entre le centre de gravité du tronc et l'axe, selon que le double du produit de la hauteur du cylin- |
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| |
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Page. |
| dre original et de son prolongement, diminué de la moitié du carré de l'excès de la plus grande arête du tronc sur la hauteur du cylindre primitif, sera plus grand que, - égal à, - ou moindre que le quart du carré du diamètre de la base |
164 |
| Théor. 6. Supposons que, dans le cylindre du Theorème précédent, la face supérieure du tronc soit abaissée jusqu'à passer par l'extrémité de la base du cylindre de sorte que le tronc cylindrique est réduit à un coin cylindrique, et que, d'une manière analogue à celle du Théorème précédent, soient tirées par le centre de gravité du coin une droite parallèle à la face oblique vers l'axe, et du centre de gravité du cylindre entier, une perpendiculaire sur cette dernière, alors la partie de celle-ci comprise entre le pied de la perpendiculaire et l'axe sera plus grande que, - égale à, - ou moindre que la partie comprise entre le centre de gravité du coin et l'axe, selon que le produit de la hauteur du cylindre, diminuée des ⅝ de la plus grande arête du coin, avec la moitié de cette arête est plus grand que, - égal à, - ou moindre que le huitième du carré du diamètre de la base |
166 |
| Théor. 7. Un cylindre dont la base a un diamètre qui n'est pas moindre que √2 fois la hauteur, quelle que que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, flottera droit dans le liquide, et, si son axe est incliné, de manière toutefois qu' aucune de ses bases ne touche la surface du liquide, se redressera dans la position droite |
167 |
| Théor. 8. Si d'un cylindre dont la base a un diamètre moindre que √2 fois sa hauteur, on suppose la hauteur divisée en deux parties dont le produit est égal au huitième du carré du diamètre de la base, et que le rapport de son poids spécifique à celui du liquide n'est pas plus petit que le rapport de la plus grande des deux parties à la hauteur même, ou n'est pas plus grand que le rapport de la plus petite à la hauteur, le cylindre flottera droit dans le liquide; et s'il est incliné, de manière qu' aucune des deux bases ne touche la surface du liquide, il se redressera dans la position droite |
168 |
| Théor. 9. Un cylindre dont la base a un diamètre moindre que √2, mais plus grand que √8/5 fois sa hauteur, quelle que soit la proportion de son poids spécifique à celui du liquide, ne flottera jamais de manière que l'une des bases touche la surface du liquide en un seul point |
170 |
| Théor. 10. Un cylindre dont la base à un diamètre moindre que √2, mais plus grand que √8/5 fois sa hauteur et dont on suppose la hauteur divisée en deux parties, comme dans le Théorème 8, lorsque le rapport de son poids spécifique à celui du liquide est moindre que le rapport de la plus grande, mais plus grand, que celui de la moindre des deux parties à la hauteur entière, placé dans le liquide dans une position inclinée mais telle qu'aucune des bases n'en touche la surface, ne se redressera pas, et ne sera non plus en équilibre dans la position inclinée, à moins que l'axe ne fasse avec la surface du liquide un angle déterminé |
172 |
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Théor. 11. Un cylindre ayant une base dont le diamètre est moindre que √8/5, mais plus grand que √3/2 fois la hauteur, flottant dans un liquide à base submergée, quelquefois restera droit; souvent sera incliné de manière qu'aucune de ses bases ne touche la surface; quelquefois s'inclinera jusqu'à ce qu'une des bases touche la surface en un seul point, et cela en quatre cas; d'autres fois s'inclinera encore davantage: selon la diverse proportion de son poids spécifique à celui du liquide. |
174 |
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Corollaire |
183 |
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Théor. 12. Un cylindre ayant une base dont le diamètre est moindre que √3/2 fois sa hauteur, flottant dans le liquide à base submergée; quelquefois restera droit; d'autres fois sera incliné de manière qu'aucune de ses bases ne touche la surface; quelquefois s'inclinera jusqu'à ce qu'une des bases touche la surface en un seul point, et cela en deux cas; mais alors dans la plupart des cas s'inclinera encore plus: selon la diverse proportion de son poids spécifique à celui du liquide |
185 |
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Expériences |
189 |
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Appendice I. [1650] |
191 |
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Appendice II. [25 janvier 1652] |
195 |
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Appendice III. [1650] |
202 |
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Appendice IV. [1650] |
204 |
| TRAVAUX MATHÉMATIQUES DIVERS DE 1650. PROBLÈMES PLANS ET LIEUX PLANS |
211-269 |
| Avertissement |
213 |
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I. |
Instrument servant à décrire la spirale d'Archimède. 1650 |
216 |
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II. |
Nombre des répercussions élastiques d'une boule entre deux plans qui se coupent. 1650 |
217 |
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III. |
Problème. 1650, 1656, [1668]. Un triangle étant divisé par une droite quelconque, tirer une droite qui divise chacun des segments en deux parties égales |
219 |
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IV. |
Du sommet d'un des angles d'un carré tirer une droite vers un des côtés opposés de manière que la distance des points d'intersection avec ce côté et avec le prolongement de l'autre soit égale à une droite donnée |
226 |
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V. |
Propositio mirabilis de Pappus. Lorsque d'un nombre quelconque de points sont tirées des droites vers un même point et que la somme des carrés de ces droites est égale à une aire donnée, ce dernier point appartiendra à une circonférence de cercle, donnée en position |
229 |
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VI. |
Trois points étant donnés trouver un quatrième tel que les distances de ce dernier aux trois points donnés satisfassent à la condition que la somme des carrés de deux d'entre elles est égale au carré de la troisième |
235 |
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VII. |
Trouver un point, d'où étant tirées deux droites, l'une vers un point dans une droite donnée en position, l'autre faisant avec cette dernière un angle donné, le carré de la première des deux droites soit égal au rectangle construit sur une |
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droite donnée et la distance des points d'intersection des deux droites avec celle donnée en position |
237 |
| VIII. |
Du sommet d'un des angles d'un losange tirer une droite vers un des côtés opposés, de manière que la distance des points d'intersection avec ce côté et avec le prolongement de l'autre soit égale à une droite donnée |
239 |
| IX. |
Trouver un point tel que la somme de ses distances à deux droites qui se coupent soit égale à une droite donnée |
243 |
| X. |
Quatre droites étant données, trouver un point, d'oò quatre autres étant tirées de manière à rencontrer les premières sous des angles donnés, leur somme soit égale à une droite donnée |
246 |
| XI. |
Une droite étant donnée en longueur et en position, ainsi qu'un point hors de cette droite, trouver un point tel que la droite, tirée de ce point au point donné, et la droite donnée soient divisées par leur point d'intersection en segments dont les produits sont égaux |
249 |
| XII. |
Deux points étant donnés et un troisième situé sur une droite donnée, trouver un point tel que la somme des carrés de ses distances aux deux premiers soit égale au rectangle construit sur une ligne donnée et la distance du troisième point au point oò la droite donnée est rencontrée par une droite, qui du point cherché fasse avec la droite donnée un angle donné |
252 |
| XIII. |
Un demi-cercle étant donné, tirer de l'une des extrémités du diamètre une droite, qui coupe la circonférence et la tangente à l'autre extrémité en des points dont la distance est donnée |
255 |
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Appendice. [1670] |
257 |
| XIV. |
Construire un Carré Magique |
259 |
| XV. |
Sur une base donnée construire un triangle de sorte que la somme du carré de la base avec le double du carré d'un des côtés soit égale au carré du troisième |
261 |
| XVI. |
Sur une base donnée construire un triangle tel que la somme du carré de la base et du carré d'un des côtés soit dans un rapport donné au carré du troisième côté |
263 |
| XVII. |
Trouver un point tel que la droite, tirée vers un autre point donné et prolongée jusqu'à une droite donnée, soit divisée par le point donné en deux segments, dont le produit est donné |
265 |
| XVIII. |
Lorsque d'un point donné sont tirées des droites, passant par un nombre quelconque de points d'une droite donnée, et prolongées jusqu'à la rencontre avec une autre droite parallèle à la première, et que les droites tirées sont divisées, par leurs intersections avec la première parallèle, en segments de manière que la somme des rectangles construits sur ces segments est égale à une aire donnée, le point donné appartiendra à une circonférence de cercle donnée en position |
267 |
| XIX. |
Étant donnés deux points, dont le second est situé sur une droite donnée, trouver un point tel que le carré de sa distance au premier point soit égal au rectangle construit sur une ligne donnée et la distance du point donné sur la |
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droite au point où cette dernière est rencontrée sous un angle donné par une droite tirée du point cherché |
269 |
| THEOREMATA DE QUADRATURA HYPERBOLES ELLIPSIS ET CIRCULI EX DATO PORTIONUM GRAVITATIS CENTRO. QUIBUS SUBJUNCTA EST EXETASIS CYCLOMETRIAE CL. VIRI GREGORII A S. VINCENTIO, EDITAE ANNO CIƆIƆCXLVII. 1651 |
271-337 |
| [THÉORÈMES SUR LA QUADRATURE DE L'HYPERBOLE DE L'ELLIPSE ET DU CERCLE, DÉDUITE DE LA POSITION DONNÉE DU CENTRE DE GRAVITÉ DES SEGMENTS, AUXQUELS ON A AJOUTÉ L'EXAMEN DE LA CYCLOMÉTRIE DU TRÈS-SAVANT GRÉGOIRE DE SAINT-VINCENT, PUBLIÉE EN L'AN 1647] |
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| Avertissement |
273-276 |
| Aperçu de la première quadrature du cercle de grégoire de st. vincent |
277-280 |
| Titre de l'édition originale |
281 |
| Texte avec traduction. Préface |
282-287 |
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Theoremata de quadratura hyperboles ellipsis et circuli ex dato portionum gravitatis centro |
288-313 |
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[Théorèmes sur la quadrature de l'hyperbole, de l'ellipse et du cercle, déduite de la position donnée du centre de gravité des segments] |
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Théor. 1. A un segment d'hyperbole, ou à un segment d'ellipse ou de cercle n'excédant pas la moitié de l'ellipse ou la moité du cercle, on peut circonscrire une figure, composée de parallélogrammes d'égales largeurs, excédant le segment d'une quantité moindre qu'une aire quelconque donnée |
289 |
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Théor. 2. Étant donné un segment d'hyperbole, ou un segment d'ellipse ou de cercle n'excédant pas la moitié de l'ellipse ou du cercle, et étant donné un triangle qui ait une base égale à la base du segment, on peut circonscrire à l'un et à l'autre une figure composée de parallélogrammes tous de même largeur, de manière que la somme des deux aires, par lesquelles les figures circonscrites excèdent le segment et le triangle, soit moindre qu'une aire quelconque donnée |
291 |
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Théor. 3. Si à un segment d'hyperbole ou à un segment d'ellipse ou de cercle, n'excédant pas la moitié de l'ellipse ou du cercle, on circonscrit une figure par ordonnées, le centre de gravité de cette figure sera situé sur le diamètre du segment |
293 |
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Théor. 4. D'un segment d'hyperbole, d'ellipse et de cercle le centre de gravité se trouve sur le diamètre du segment |
295 |
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Lemme |
297 |
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Théor. 5. Étant donné un segment d'hyperbole, ou d'ellipse ou de cercle n'excédant pas la moitié de la figure; si sur le diamètre est construit un triangle de telle manière que son sommet soit au centre de la courbe et la base égale et parallèle à la base du segment, mais telle que le carré de la droite menée du sommet au milieu de la base soit égal au rectangle construit sur les droites comprises |
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Page. |
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entre la base du segment et les extrémités du diamètre de la courbe, le centre de gravité de la figure composée du segment ensemble avec le triangle décrit sera le sommet du triangle, c'est-à-dire le centre de la courbe |
297 |
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Théor. 6. Tout segment d'hyperbole a, au triangle inscrit de même base et de même hauteur, le rapport suivant: comme les deux tiers de la somme du diamètre de l'hyperbole et du diamètre du segment à la distance du centre de l'hyperbole au centre de gravité du segment |
305 |
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Théor. 7. Tout segment d'ellipse ou de cercle a, au triangle inscrit de même base et de même hauteur, le rapport suivant: comme les deux tiers du diamètre du segment restant à la droite menée du centre de la courbe au centre de gravité du segment |
305 |
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Théor. 8. Dans un demi-cercle et dans un secteur de cercle quelconque l'arc a le même rapport aux deux tiers de la corde que le rayon à la droite menée du centre au centre de gravité du secteur |
308 |
| EXETASIS CYCLOMETRIAE CLARISSIMI VIRI GREGORII à S. VINCENTIO, S.J. EDITAE ANNO 1647. 1651 |
314-337 |
| [EXAMEN DE LA CYCLOMÉTRIE DU TRÈS SAVANT GRÉGOIRE DE SAINT-VINCENT, S.J., PUBLIÉ EN L'AN 1647] |
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Auteursrecht onbekend