Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 259]

XIV.¹⁾
[1650].
Tabulam omnimodae aequalitatis constituere.²⁾

[Fig. 1.]

Datus sit numerus a ∞ 18, cui ternos quosque hujus tabulae aequales esse oporteat.

Ponatur numerus in A ∞ x, in B ∞ y, in E ∞ z. Ergo C ∞ a - x - y, et K ∞ a - x - z, et H ∞ a - y - z. et quia C + E + G sunt aequales a, erit G ∞ a - a + x + y - z. et quoniam K + H + G quoque sunt aequales a, erit idem G ∞ 2z + x + y - a, (quod invenitur auferendo H + K ex a) igitur x + y - z ∞ 2z + x + y - a; a ∞ 3z; ⅓a ∞ z sive E; medius igitur numerus aequalis debet esse tertiae parti numeri dati, unde jam porro reliquos. invenire non erat difficile. Nam quum z sit ⅓a, erit K (qui ante erat a - x - z) aequalis ⅔a - x. et ideo F ∞ 2x + y - ⅔a; et D ∞ 4/3a - 2x - y, et G ∞ x + y - ⅓a, et denique H ∞ ⅔a - y.

1) La pièce se trouve aux pages 167 et 168 du manuscrit N^o. 12.

2) On peut consulter sur l'histoire des carrés magiques les pages 188-270 de l'ouvrage suivant de S. Günther: ‘Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften.’ Leipzig, Teubner, 1876. On remarquera toutefois que la conception du carré magique, telle qu'on la trouve formulée ici, diffère, sur un point essentiel, de la conception usuelle qui exige qu'on dispose dans le carré les nombres consécutifs depuis l'unité jusqu' à un nombre carré donné. Cependant, dans l'ouvrage de Bachet ‘Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres. Lyon. Pierre Rigaud. MDCXXIIII,’ très répandu à l'époque (une première édition parut en 1612), on trouve aussi d'autres carrés magiques dont les nombres constituent une progression arithmétique.
Nous ne savons pas si le jeune Huygens a connu cet ouvrage.

[p. 260]

Possunt igitur numeri A et B id est x et y pro lubitu assumi dummodo observetur

[Fig. 2.]

[Fig. 3.]

ne aliquibus locis habeatur defectus alicujus numeri, puta ne 2x + y minor sit quam ⅔a, alias enim numerus F esset minor nihilo.³⁾

Videndum etiam ne idem numerus bis ponatur.

datis sexdecim locis, invenietur numeros quatuor medios aequales esse debere numero dato, et praeter eos adhuc quatuor alios ad lubitum sumi posse, adeo ut septem numeri assumendi sint a, b, c, f, e, d, h, positoque numero dato ∞ n erit quartus mediorum n - e - h - d. et reliquorum omnium

[Fig. 4.]

[Fig. 5.]

quantitates per haec determinatae erunt.

Verum magna difficultas est in numeris ita disponendis ut nusquam idem recurrat, sicuti in tabula hic apposita observatum videmus⁴⁾, ubi numerus datus est 34. Quae tamen dissicultas eò minor erit, quò numerus datus erit major.

3) Chez Bachet, p. 165, on trouve le carré

5	10	3
4	6	8
9	2	7

. Comparez le carré du texte.

4) D'après S. Günther, p. 215 et 216, on rencontre ce même carré magique sur l'estampe bien connue d'Albrecht Dürer, qui réprésente la Mélancolie et qui date probablement de l'année 1514.
Bachet, p. 167, construit avec les seize premiers nombres le carré suivant:

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13