Oeuvres complètes. Tome VI. Correspondance 1666-1669

[p. 553]

N^o 1788.
K.J. Dulaurens à Christiaan Huygens.
[1669].

La piece se trouve à Leiden, coll. Huygens.

1^um Lemma ex Vieta.

Si in circulo obc inscripta bc producatur ad d¹⁾, ita ut bd sit dupla bc, jungaturque od, cui agatur a puncto b parallela fb. Tum a puncto o. ad rectam gb ducatur og, ita ut intersegmentum gf sit aequale or. Dico rs. gb. gr. be∺.

1) Voir la planche vis-à-vis de cette page.

Demonstratio.

Ex hypothesi ad parallela est rectae fb. Igitur gf. gb∷(fo Π) gr. bd. Atqui gf. rs∷bc. bd. Quare rs. gb∷gr. bc, et rs. gr∷gb. bc, et alterne componendo gs. gc∷gr. bc. Est autem □ sgr Π□ cgb. Igitur gs. gc∷gb. gr.∷gr. bc. ergo rs. gb. gr. bc ∺ vt erat ostendendum.

Problema.

Inter duas datas rectas lineas duas medias proportionales inuenire per planorum doctrinam.

Datum.

Dentur duae rectae 2r major, et c minor, inter quas inueniendae sint duae mediae proportionales.

Constructio.

Centro o, interuallo or, vel os Πr fiat circulus obc, in quo aptetur bc aequalis c supponatur autem per lemmatis doctrinam inter rs, et bc siue inter 2r, et c inuentas esse duas medias proportionales gb, et gr vt in diagrammate apparet. Tum ex punctis o, et f ducantur ok, et fy perpendiculares ad gd, atque ob in 1^a figura vel oϕ in alijs figuris perpendicularis ad fz. Deinde super ob, vel oϕ atque etiam super gf, spatio no, et ngΠ ½r describantur circuli nom, ngy transeuntes per puncta, f, et o, et quidem circulus bom tanget hd in puncto o, ob rectarum bo vel qo, et hd inter se perpendicularitatem, circulus vero ngy secabit rectam fb quousque opus erit productam in aliquo puncto vt in v quoniam vf obliqua est ad gf, ut transibit

[p. 554]

per punctum y nam angulus gyf est in semicirculo gfy, demum ducta ov producta donec occurrat od in puncto h, agatur vy.

Analysis 1^a.

Ex 1^o lemmate rs. gb. gr. bc ∺ Id est 2r. gb. gr. c ∺ ergo gb Π , et gr Π . Jam vero y f. fg ∷ ko. og. id est y. r ∷ k. kr/y Π go, et gr vel fo Π+kr-ry/y Π et vtramque partem cubando habetur +k³r³-3k²r³y +3kr³y²-r³y³Π+2rccy³. ergo +2cc y³-3kr²y²+3k²r²y-k³r² Π o siue rr +d²y³-3kr²y²+3k²r²y-k³r² Π o nam 2c² Π dd. +r²

Analysis 2^a.

gf. fo∷gb. bd. Id est r. kr-ry/y∷gb. 2c ergo +2cy/+k-y Π gb, et addita c fit +ck+cy/+k-y Π gc quae ducta in gb Π +2cy/k-y dat +2c²ky +2c²y²/+ k²-2ky+y² Π□ cgb. Jamvero gr Π+ky-ry/y, et gs Π +kr+ry/y et has rectas in se ducendo fit +k²r²-r²y²/yy Π□ sgr Π□ cgb Π +2c²ky+2c²y²/+k²-2ky+y². Igitur +k⁴r²-2k³r²y+k²r²y²+2kr²y³-r²y⁴Π+2c²ky³+2c²y⁴ -k²r² et ordinata aequatione habetur +d²y⁴+2c²ky³+2k³r²y-k⁴r²Πο. -2r²k

Analysis 3^a pro 2^do casu. Quando bz secat circulum infra punctum b.

ko. od ∷ yf. fb id est k.d ∷ y.dy/k Π fb, cui addita bz Π z fit +kz+dy/k Π fz. et rectas fb, et fz in se ducendo habetur +dkzy+d²y²/+kk Π□ zfb. Jam vero ex pro-

[p. 555]

batis go siue fs Π +kr/y, et fr Π +kr-2ry/y, et rectas fs, et fr in se ducendo habetur +k²r²-2kr²y/+yy Π□sfrΠ□zfbΠ) +dkzy+d²y²/+kk. Ergo + d²y⁴+dkzy³ +2k³r²y-k⁴r²Πο.

Annotatio.

Ex comparatione hujus, et penultimae aequationis inuenitur zΠ+2cc-2rr/d, quae est vna ex inscriptis in circulo.

Analysis 4^a.
Pro 1^o casu quando bo ⊥ fb.

Rectae vf, et ho sunt inter se parallelae, sicut etiam rectae fy et ko ergo ∠ foh Π ∠ gfv, et ∠ fok Π ∠ gfy. Quare ∠ vfg Π ∠ hok id est ∠ 10 in segmento om inscriptibili, et sic vy Π om. Jam vero gf. fv ∷ go. (oh Π) bv. Id est r.v ∷ kr/y. kv/y Π bv. Est autem recta bfΠdy/k, cui addita recta vfΠv habetur +kv+dy/k Π (bv Π) + kv/y. Ergo +kyv+dyyΠ+kkv. Igitur +dyy/+k×k-yΠv²⁾

Atqui ok. kd∷fy. yb. Id est + k. 3c/2∷y. 3cy/2kΠyb quae ablata ex gbΠ+2cy/+k-y relinquit +cky+3cyy/2k×k-yΠgy quae ducta in vf siue v Π. +dyy/+k×k-y efficit Π□vf×gy. Deinde fb.bo ∷ vf. gv id est +dy/k. r∷+dyy/+k×k-y. +ry/+k-yΠvg quae ducta in fy Π+y dat +ryy/+k-y Π□gv×fy, cui addito³⁾ □vf×gy Π fit +2k³ry²-2k²ry³+3cdy⁴ +cdk/+4k⁴-8k³y+4k²y²Π (□ gf×vy Π)+ mr, et aequatione ordinata ha-

2) La notation k×k-y désigne le produit k(k-y).

3) C'est ici que Huygens a commencé la correction indiquée dans la Lettre N^o. 1790: correction qu'il n'a pas continuée, et que par conséquent nous n'avons pas reproduite.

[p. 556]

betur +3cdy^4+cdky^3	+2k^3r y^2+8k^3mry-4k^4mr Πο.
-2k^2r	-4k^2mr
Atqui ex 2^da analysi fit +d^2y^4	+2c^2ky^3+2k^3r^2y-k^4r^2Π ο, siue quia in hoc casu
	-2r^2k

cΠr excidit terminus ab y³ denominatus ac relinquitur +d²y⁴+2k²r³y-k⁴r²Πο. et hanc aequationem per +3c, ac vltimo inuentam per d multiplicando fit + 3cdy⁴

+6ck^3r^2y-3ck^4r^2Π(ο Π)+3cd^2y^4+cd^2k	y^3+2dk^3ry^2+8dk^3mry-4dk^4mr
-2dk^2r	-4dk^2mr

ac d deleto vtrimque communi termino +3cd²y⁴, et reliquis per kr diuisis, atque mutato c in r habetur

+dd	y^3	+2dk^2	y^2	+8dk^2my	-4dk^3mΠο.
-2dk		-4dkm		-6k^2r^2	+3k^3r^2

Est autem ex analysi 1^a +d²y³Π+3kr²y²-3k²r²y+k³r², et in praecedenti aequatione mutando +d²y³ in suum valorem, et omnibus terminis per k diuisis fit

-2dy^3	+2dky^2	+ 8dkmy	-4dk^2mΠο,	et totum per d multiplicando habetur
	-4dm	-9kr^2	+4k^2r^2
	+3rr

-2d^2y^3	+2d^2ky^2	+8d^2kmy	-4d^2k^2mΠ(οΠ)	-2d^2y^3	+6kr^2y^2	-6k^2r^2y	+2k^3r^2
	-4d^2m	-9dkr^2	+4dk^2r^2
	+3drr

per 1 am analysim, et deleto vtrimque communi termino -2d²y³, ac ordinata aequatione habetur

+4d^2myy	-8dk^2my	+4d^2k^2mΠο
-2d^2k	+9dkr^2	-4dk^2r^2
-3drr	-6k^2r^2	+2k^3r^2
+6kr^2

Atqui in vltimo termino +dm-rr × +4dk²Π+4d²k²m-4dk²r², estque dm major quam rr, vt statim ostendam igitur +4d²k²m-4dk²r² est quantitas realis et affirmata, quae juncta quantitati affirmatae +2k³r² efficit vltimum inuentae aequationis terminum realem, et affirmatum, Igitur in inuenta aequatione superest saltem vnus e reliquis terminis q ab y denominatis, qui sua negatione hunc realem terminum elidat, vt ipsa aequatio nihilo, sicut ordinata est, fiat aequalis. Quod erat ostendendum.

Lemma.

Ostendere in prima figura quando c Π r, rectam om Π ok, siue puncta k, et m in vnum coincidere, ac simul dm siue dk majorem esse quam rr.

Demonstratio.

Ex hypothesi recta bc aequatur radio oc vel ob ergo ∠^lus boc est 60 graduum, sed ex hypothesi etiam rectae oc Π recta cd ergo ∠ ^lus cod est 30 graduum cui addito ∠ ¹⁰

[p. 557]

koc etiam 30 graduum erit ∠^lus dvk 60 graduum aequalis ∠¹⁰ in circuli cujus centrum est n segmento orm inscriptibili, ergo recta om latus est trigoni aequilateri in circulo norm inscriptibili et quia hujus circuli radius aequatur ½ r erit recta om Π hoc est recta om Π k. Deinde quia ddΠ+2cc+rr, hoc est hîc ddΠ3rr erit dΠ+r, quae ducta in om, siue okr aequali +r habetur+3/2rr major quam rr vt erat ostendendum.

Analysis 5^a pro 2^do casu.
Quando punctum ϕ cadit intra puncta b et z.

bfΠ +dy/k cui addita bϕ Π b habetur +bk+dy/k Πfϕ, et huic adhuc additâ vf Π v fit +bk+dy+kv/k Π (vϕΠhoΠ) +kv/y. Ergo +bky+dyy+kyv Π +kkv, et sic +bky+dyy/+k×k-y Πy quae ducta in py Π+cky+3cyy/+2k×k-y efficit +bck²y²+cdky³+3cdy⁴Π□ vf×gy.

Atqui fϕ. ϕo∷fv. gv. Id est +bk+dy/k. ϕ ∷+bky+dyy/+b×k-y. +ϕy/+k-yΠgv, quae ducta infyΠ+y efficit +qyy/+k-yΠ□ gv in fy cui addito □vf×gyΠ

+bck^2y^2+cdky^3+3cdy^4
+3bck	dat^4).
_____
+2k^2× □

4) Le reste de cette pièce n'a pas été trouvée.