De bouwstenen van de schepping

Een zoektocht naar het allerkleinste

[p. 164]

17 Anomalieën

U heeft misschien de indruk gekregen dat al onze exercities er uiteindelijk op neer komen dat we almaar nieuwe deeltjes en structuren vinden en die dan gewoon inpassen in ons model. Min of meer toevallig zijn we nu uitgekomen op een model waar dan alles in past (althans voorlopig), en dat we ‘standaardmodel’ zijn gaan noemen. Maar is daar dan ook iets uit te concluderen wat we nog niet wisten, een voorspelling van iets geheel nieuws? Het verhaal van de anomalieën zou daar een antwoord op kunnen zijn. Maar als u de voorafgaande hoofdstukken al wat te technisch vond, moet ik u aanraden dit hoofdstuk over te slaan, want pas in de volgende hoofdstukken ga ik onze reis naar het kleine vervolgen.

Met ‘anomalie’ bedoelen we een heel speciaal verschijnsel in de deeltjestheorie. Het duikt voortdurend op wanneer we de gedragingen bestuderen van heel lichte Diracfermionen (deeltjes met spin ½) in een elektromagnetisch of een Yang-Millsveld. Het eerste voorbeeld had Veltman me al onderwezen toen ik nog studeerde.

Het neutrale pion kan tijdelijk overgaan in een proton en een antiproton. Deze kunnen elkaar vervolgens annihileren onder uitzending van twee fotonen. We geven dit proces in een diagram weer (figuur 19a). Als je het volgens de regels van de toenmalige theorie uitrekent, komt eruit dat het pion inderdaad uiteenvalt in twee fotonen, vrij precies zoals men het verval ook experimenteel waarneemt. Deze berekening was gedaan door Jack Steinberger, reeds in 1949. Tegenwoordig rekenen we dit uit door dit pion op te vatten als quark-antiquarkcombinatie (oscillerend tussen uū en dd̄) maar de uitkomst wordt dan vrijwel dezelfde (figuur 19b).

Prachtig dus. Maar er klopt iets niet. Je kunt namelijk argumenteren dat het twee-fotonverval in eerste instantie verboden

[p. 165]

had moeten zijn. Zowel de ‘naakte’ quarks als het ‘naakte’ proton in deze figuren zijn bij benadering massaloos. Niettemin moeten ze gedurende dit vervalsproces van draairichting veranderen. Dat doen massaloze deeltjes niet graag. Daarom had je moeten verwachten dat het neutrale pion veel minder heftig in twee fotonen uiteen zou mogen vallen dan het feitelijk doet.

Figuur 19. Het verval van een π^o in twee fotonen. a) via proton-antiprotonannihilatie; b) via quark-antiquarkannihilatie.

Niet alleen het experiment zegt dat deze naïeve redenering niet deugt, ook de nauwkeurige berekening geeft het goede resultaat. In eerste instantie leek dit een gevolg te zijn van de renormeringsprocedure. Deze bleek een afwijkende uitkomst te geven iedere keer als een massaloos fermion een baan aflegt in de vorm van een gesloten driehoek, zoals in de figuur. Linksdraaiende deeltjes kunnen dan ongestoord overgaan in rechtsdraaiende, en andersom. In het geval van het pion was men hier wel tevreden mee. De overeenkomst tussen de nauwkeurige berekening en het experiment nam iedere twijfel weg. We noemen dit verschijnsel de ‘driehoeksanomalie’.

Maar als langs deze sluikse weg linksdraaiende deeltjes in rechtsdraaiende kunnen overgaan en terug, wat gebeurt er dan als er geen rechtsdraaiende component bestaat, zoals bij het neutrino? Gelukkig bevat het pion geen neutrino's, want dan zou de theorie spaak lopen. We kunnen dan geen goede renor-

[p. 166]

meringsprocedure bedenken voor het driehoeksdiagram. Maar, het neutrino reageert alleen zwak, en dat doen veel andere deeltjes ook. Daarom veroorzaakte het driehoeksdiagram problemen voor de zwakke-interactietheorie: ten gevolge van de anomalieën zou ons fraaie renormalisatievoorschrift in de soep draaien. Maar toen werd er iets bijzonders opgemerkt. Als nu in alle relevante interacties zowel de leptonen als de quarks bijdragen, en hun ‘anomale bijdragen’ in het driehoeksdiagram elkaar precies opheffen, dan is de theorie genezen. Dit is iets wonderlijks in het standaardmodel: de anomalieën ten gevolge van e en ν_e enerzijds en de quarks u en d anderzijds heffen elkaar in alle interacties waar dat nodig is precies op! Hetzelfde gebeurt met de muongeneratie en de s- en c-quarks. En ten slotte hebben we dan tau, top en bottom. Dit is waarom ik al eerder vermeldde: we willen evenveel lepton- als quarkgeneraties. Alleen dan kan de theorie gerenormeerd worden!

Het driehoeksdiagram komt ook voor bij de sterke interacties, als er alleen gluonen in het spel zijn. Ditmaal beschouwt men de symmetrie die in verband staat met behoud van draairichting van de lichtste quarks. Een gevolg van deze symmetrie zou moeten zijn dat sommige van de hadronen massaloos zijn en spin 0 hebben: de eerder genoemde Goldstonedeeltjes. Inderdaad hebben de pionen een kleine massa en spin 0. Echter, de regels van de wiskunde vertelde ons dat er een vierde deeltje met kleine massa had moeten zijn. Het enige wat hiervoor in aanmerking kwam was het èta-deeltje, η.

Maar het èta is veel zwaarder dan het pion. Dit werd het ètaprobleem genoemd. De quantumchromodynamica voorspelde een licht èta-deeltje, en dat is er niet. Weliswaar besefte men dat er een anomalie optreedt als je het argument voor het èta-deeltje wilt hanteren. Het argument dat het èta heel licht zou moeten zijn is gebaseerd op dezelfde gronden als het argument dat het π^o niet in twee fotonen zou mogen uiteenvallen: dezelfde driehoeksanomalie zou ook dit argument moeten ontkrachten.

[p. 167]

Ditmaal echter was het erg moeilijk te begrijpen waar de natuur de massa van het èta vandaan haalt. Deze keer leek geen enkele berekening zo'n grote massa te geven. Dat was omdat men iets over het hoofd had gezien. De ware oorzaak van de anomalie ligt namelijk dieper dan de renormeringsprocedure. Die ligt in de aard van onze definitie van wat een deeltje is en wat een antideeltje is.

In een heel ‘primitieve’ omschrijving van de fermionen (de manier waarop Dirac voor de allereerste keer deze deeltjes ging begrijpen) is er één waarin nog helemaal geen sprake is van antideeltjes. Wat we hebben zijn ‘hokjes in de ruimte’ die elk al of niet met deeltjes zijn gevuld. Is de energie behorend bij een hokje negatief, dan stoppen we er een deeltje in, is de energie positief, dan laten we het leeg. Als onze totale voorraad van deeltjes dan precies uitkomt, krijgen we een ‘toestand met zo laag mogelijke energie’ (zoals straks duidelijker zal worden). We noemen deze toestand de lege ruimte of het vacuüm.

Maar misschien hielden we een deeltje over. Dat stoppen we dan in een hokje met positieve energie. Dat is dan écht een waarneembaar deeltje. Of we kwamen een deeltje tekort. Dat betekent dan dat een hokje met negatieve energie leeg blijft. Het maken van een gat met negatieve energie kost een positieve hoeveelheid energie. Zo'n gat ervaren wij dan óók als deeltje, met positieve energie, maar met elektrische lading (en eventuele andere eigenschappen) tegengesteld aan die van de oorspronkelijke deeltjes. Dit is nu wat wij een antideeltje noemen.

Een anomalie blijkt nu te zijn dat onder bijzondere omstandigheden een hokje met negatieve energie kan veranderen in een hokje met positieve energie (of andersom, maar dan moeten we de rest van dit betoog ook omkeren). Was dat hokje oorspronkelijk opgevuld, dan leek het eerst alleen maar deel uit te maken van een lege ruimte. Maar nu het opeens positieve energie krijgt komt daar ineens, als deus ex machina een deeltje tevoorschijn! Was het oorspronkelijke hokje leeg? Dan zou door

[p. 168]

dit verschijnsel een antideeltje zomaar in het niets lijken te verdwijnen. Verandert een positief hokje in een negatief hokje, dan vindt het tegenovergestelde proces plaats.

Het ètaprobleem was ontstaan omdat men de beschrijving van deeltjes zoals Dirac dat deed zo langzamerhand vergeten was, maar vooral ook omdat men zich in het begin niet realiseerde dat zulke merkwaardige overgangen van negatieve naar positieve energie mogelijk waren. Spelenderwijs hadden vier Russen, Alexander Balavin, Alexander Polyakov, Albert Schwartz en Yuri Tyupkin, een ijkveldconfiguratie bedacht die als een rare

Figuur 20. In deze figuur is één deeltje en één antideeltje aanwezig, volgens de Dirac-theorie.

[p. 169]

kronkel in de ruimte en tijd kan optreden. Pas later werd duidelijk dat deze rare kronkel precies die kronkel was die nodig is om zo'n hokjesovergang te bewerkstelligen. Omdat die veldconfiguratie zoveel leek op een deeltje, maar dan in vier dimensies, gaven we er een naam aan die dat beklemtoont: een ‘instanton’, ofwel iets dat op een deeltje lijkt, doch slechts instantaan aanwezig is, om onmiddellijk weer te verdwijnen.

En nu weten we dat het ètadeeltje zijn massa aan instantonen te danken heeft. De linksdraaiende en rechtsdraaiende quarks gaan eigenlijk niet in elkaar over, maar het instanton doet steeds een van de twee in het vacuüm verdwijnen en tovert dan de ander uit het vacuüm tevoorschijn. En zo zien we dat steeds

Figuur 21. Een instanton kan van een negatieve-energieplaats verschuiven naar een positieve-energieplaats (of andersom).

[p. 170]

meer details van onze theorie gingen kloppen.

Tot nu toe had u nog steeds kunnen volhouden dat we bezig zijn waargenomen verschijnselen in ons model in te passen, al kan ik u verzekeren dat de anomalieën nooit op andere manieren uit onze berekeningen weg te praten zouden zijn. Maar nu komt het nieuwe. Het voorafgaande ging over instantonen in de sterke SU(3)-ijkvelden. Maar in de veel zwakkere SU(2)-ijkkrachten moeten ze ook zitten. De ‘zwakke anomalie’, die ons dwong om evenveel lepton- als quarkgeneraties in te voeren, zou een direct effect kunnen hebben. Je kunt uitrekenen hoe de ‘zwakke instantonen’ zich moeten gedragen. Eén zo'n instanton werkt tegelijk in op de hokjes voor alle lepton- en quarksoorten. Het blijkt dat, als er zo'n instanton optreedt, gelijktijdig van iedere generatie drie quarks en één lepton verdwijnen. Je krijgt dan bijvoorbeeld de reactie

u + u + d + s + c + c + t + t + b → e⁺ + μ⁺ + τ⁺,

waar we gemakshalve antileptonen lieten ontstaan in plaats van leptonen te laten verdwijnen, maar u weet nu inmiddels wel dat dat niet zo veel verschil uitmaakt. Als u goed kijkt merkt u dat de totale elektrische lading in deze interactie behouden is. Dat zou niet meer zo zijn als je het τ-lepton (en zijn neutrino) zou weglaten. Dat zou niet mogen. Dit is dus waarom een theorie zonder het τ-leptonpaar niet goed kan zijn.

Omdat de baryonen uit drie quarks bestaan, en de exotische baryonen via ‘gewone’ zwakke interacties naar gewone baryonen kunnen overstappen, betekent dit dat er netto drie baryonen, zoals protonen, verdwijnen en er drie positronen (of antineutrino's) voor in de plaats komen. Dat betekent dat alle materie, die immers voor een groot deel uit protonen bestaat, uiteen kan vallen in de veel lichtere positronen! Een spectaculair resultaat, behalve als je het echt precies gaat uitrekenen: zo'n verval is uiterst zeldzaam. In de allereerste beginfase van

[p. 171]

het heelal kan er echter een heel korte periode zijn geweest waar reacties zoals deze uiterst veelvuldig optraden. Misschien hebben we het huidige overschot van materie ten opzichte van antimaterie in ons heelal wel aan dit proces te danken. Helaas is ons begrip van de vroegste beginfase van het heelal zo rudimentair dat het (nog?) niet mogelijk is dit soort ideeën nauwkeurig uit te werken. Men probeert dit echter wel. Wat dan blijkt is dat waarschijnlijk het overschot aan materie boven antimaterie in het heelal in twee stappen moet zijn ontstaan. Eerst ontstond er een overschot aan antineutrino's, ten gevolge van processen die we hier nog niet besproken hebben. Daarna vonden er instanton-interacties plaats zoals op de vorige bladzijde beschreven, in omgekeerde richting, wat leidde tot een overschot aan baryonen.

Het opmerkelijke van de anomalie is dat we helemaal uitgegaan waren van een theorie met absoluut behoud van baryongetal. Maar nu hebben we afgeleid dat baryonen niettemin vergankelijk zijn. Later zullen we nog andere theorieën tegenkomen waarin dit ook op een andere manier gebeurt. Dus praktisch alle soorten materie zullen uiteindelijk instabiel zijn, maar ik kan u geruststellen: het kan vele jaren duren voordat er één proton of neutron in uw lichaam uiteenvalt (laat staan drie tegelijk), en dan nog merkt u daar niets van.