Clio's stiefkind

[p. 105]

Wiskunde in de natuurwetenschap

[p. 107]

Ad quanta intelligenda condita

De wiskunde is niet alleen een cultuurelement omdat ze een zelfstandige schepping van de menselijke geest is, op één lijn te plaatsen met beeldende kunst of literatuur, maar ook omdat het wiskundig denken toepassingen vindt op andere terreinen van cultuur. Dat hoeven niet alleen de natuurwetenschappen te zijn; in het voorgaande opstel is al duidelijk gemaakt hoe de wiskundige denkvorm ook terugkeert in Pascals theologische bespiegelingen. Maar het zijn toch vooral de natuurwetenschappen geweest die hebben laten zien hoe de wiskunde met vrucht toegepast kan worden buiten haar eigen domein. De vraag die Dijksterhuis daarbij steeds geboeid heeft is hoe het eigenlijk mogelijk is dat de wiskunde, een vrije schepping van de menselijke geest, toegepast kan worden bij de bestudering van een terrein dat de mens allerminst geschapen heeft en dat hij moet nemen zoals het zich aandient. Hoe kan de concrete, weerbarstige natuur bestudeerd worden met behulp van de abstracte, als het goed is uiterst elegante wiskunde? Sterker nog, hoe is het te verklaren dat de natuurwetenschap alleen dan vooruitgang boekt als zij de hulp van de wiskunde inroept? De grote bloeiperioden van de natuurwetenschap, de Griekse Oudheid, de zeventiende eeuw en de negentiende en twintigste eeuw zijn immers bij uitstek perioden waarin de toepassing van wiskunde op natuurwetenschappelijke problemen de grootste vorderingen maakte.

De geschetste problemen liggen op het terrein van de wetenschapsleer en de meest voor de hand liggende weg om ze op te lossen is die van de wijsbegeerte: wat leert een beschouwing over de aard van de wiskunde en de natuurwetenschap over de toepasbaarheid van de ene wetenschap op de andere? Het merkwaardige is dat Dijksterhuis het probleem vrijwel nooit langs deze weg benaderde. Dat kwam niet omdat hij het bestaansrecht van de wetenschapsleer ontkende of doordat het hem aan voldoende filosofische scholing en belangstelling ontbrak. In zijn studententijd volgde hij de colleges van de bekende psycholoog en filosoof Gerardus Heymans en als redacteur van De Gids heeft hij talrijke filosofische werken op deskundige wijze gerecenseerd. Maar het is opvallend dat hij daarbij nooit veel heeft laten blijken van een eigen algemeen filosofisch standpunt; hij besprak net zo welwillend een neo-thomistisch boek over natuurfilosofie en metafysica als een neo-positivistisch handboek waarin de metafysica juist als letterlijk onzin werd afgedaan. Onder Nederlandse filosofen konden zowel de natuurfilosoof Van Melsen als de logicus Beth op zijn waardering rekenen.¹ Voor zover Dijksterhuis een eigen standpunt innam, beperkte zich dat tot de opvatting dat men in de wetenschap hooguit kan komen tot een beschrijving in mathematische termen van langs empirische weg verkregen kennis der natuurverschijnselen en dat het onmogelijk is tot het wezen van die verschijnselen door te dringen.

Liever dan de hoofdweg van de wijsbegeerte bewandelde Dijksterhuis de omweg van de geschiedenis, die echter niet overbodig was omdat de aard van de wiskunde en de natuurweten

1 Zo besprak Dijksterhuis in de jaargang 1940 van De Gids zowel P.J. Hoenen, S.J., Philosophie der anorganische natuur (onder de titel ‘Aristoteles reviviscens’) als R. von Mises, Kleines Lehrbuch des Positivismus. Einführung in die empiristische Wissenschaftsauffassung (De Gids 104 (1940) i, 51-66; iii, 183-185). Door toedoen van Dijksterhuis kreeg ook de jonge logicus E.W. Beth (de zoon van H.J.E. Beth, met wie Dijksterhuis in verschillende onderwijscommissies had gezeten) publikatiemogelijkheden in De Gids.

[p. 108]

schap in de loop der eeuwen zo veranderd is dat een beschouwing van de aard van de actuele wiskunde en natuurwetenschap nooit een afdoende antwoord kan geven op de vraag waarom de natuurwetenschap zo goed gebruik kan maken van de wiskunde. Uit de artikelen die Dijksterhuis over de historische betrekkingen tussen wiskunde en natuurwetenschap heeft geschreven zijn er drie gekozen: één algemeen artikel, één artikel over de situatie in de zeventiende eeuw en één artikel dat de behandeling van de problematiek doortrekt naar de twintigste eeuw. De Leidse oratie uit 1955, het eerste van de drie, maar het laatst gepubliceerd, is één van de weinige plaatsen waar Dijksterhuis het probleem in algemene termen aan de orde stelt. Een erg diepgaande behandeling kan hij dan ook niet geven, maar daar staat tegenover dat wel alle standpunten in een helder overzicht bij elkaar worden geplaatst. Uit de titel is wel duidelijk dat de voorkeur van Dijksterhuis uitgaat naar het standpunt dat door Kepler nog in theologische termen werd geformuleerd en dat erop neerkomt dat de oplossing voor het probleem gezocht moet worden in de constitutie van de menselijke geest. Over mogelijke overeenkomsten tussen dit standpunt en de aan het eind van de vorige eeuw geformuleerde standpunten van de neo-kantianen heeft Dijksterhuis zich verder nooit uitgelaten.²

2 Dijksterhuis heeft zich ook niet verdiept in het werk van misschien de enige filosoof die zich in zijn eigen tijd expliciet met de problematiek van de mathematisering van de natuurwetenschap heeft beziggehouden op een manier die Dijksterhuis congeniaal hadden kunnen vinden, Edmund Husserl. In diens in 1936 verschenen Die Krisis der europäischen Wissenschaften und die transzendentale Phänomenologie wordt gesproken over ‘indirekte Mathematisierung’, waaronder het zodanig in de geest omvormen van de werkelijkheid wordt verstaan dat deze voor wiskundige bewerking in aanmerking komt. (Ik dank deze referentie aan drs. G. Alberts te Amsterdam.)

[p. 109]

Ad quanta intelligenda condita

Mijne heren curatoren,

Dames en heren hoogleraren, lectoren en privaatdocenten,

Dames en heren leden van de wetenschappelijke staf,

Dames en heren studenten,

en voorts u allen die door uw tegenwoordigheid van uw belangstelling blijk geeft,

Zeer gewaardeerde toehoorders,

De geschiedenis der exacte wetenschappen, waarin mij het onderwijs aan deze universiteit is opgedragen, omvat de historische ontwikkeling van de wiskunde en van de exacte, dat wil zeggen met behulp van wiskunde te behandelen natuurwetenschappen. In deze omschrijving worden wiskunde en natuurwetenschap vooreerst naast elkaar genoemd; vervolgens wordt echter het tweede begrip door het eerste in zijn omvang beperkt. Zou de nevenschikking nog de gedachte aan een niet meer dan accidenteel verband kunnen wekken - het ware immers denkbaar dat eenzelfde docent de geschiedenis van twee verschillende onderling niet samenhangende vakken onderwees - de nadere bepaling van het ene door het andere maakt duidelijk dat aan een essentiële samenhang tussen beide gedacht wordt.

Hier is aanleiding tot verwondering. Wanneer wiskunde een vrije schepping van de menselijke geest is terwijl natuurwetenschap te maken heeft met een buiten menselijk toedoen voorhanden werkelijkheid, moet het verbazing wekken tussen beide vakken een wezenlijk verband te zien leggen.

Het is waar dat deze verbazing tegenwoordig zelden meer gevoeld wordt. Van jongs af vertrouwd met de woordcombinatie ‘wis- en natuurkunde’ heeft de mens van onze tijd ook hier de afstompende werking ondergaan die de gewoonte steeds op het vermogen tot verwondering uitoefent.

De vraag naar de aard van het verband tussen wiskunde en natuurwetenschap is een kwestie van epistemologie, in de zin van wetenschapsleer, en schijnt dus in beginsel beantwoord te moeten kunnen worden door beide vakken in hun tegenwoordige gedaante te bestuderen. Echter, de ervaring leert dat het nooit gelukt enige wetenschap uitsluitend als eigentijds ver-

[p. 110]

schijnsel in het oog te vatten en te onderzoeken. Steeds weer zullen er vragen naar haar historische oorsprong rijzen, naar de wordingsgeschiedenis van haar problemen, haar methoden, haar begrippen, haar termen. Daardoor valt in ieder epistemologisch onderzoek aan de wetenschapsgeschiedenis een aandeel toe. Laten wij in dit uur haar dan ook vragen wat zij over de relatie van wiskunde en natuurwetenschap te berichten heeft.

Wenden wij ons daartoe naar het onvermijdelijk uitgangspunt van alle wetenschapshistorisch onderzoek dat ons in de antieke Helleense cultuur gegeven is, dan vinden wij daar in de pythagoreïsche school vier mathemata, aritmetica, geometria, musica, astronomia, waarin zich reeds zowel een tegenstelling tussen wiskunde en natuurwetenschap laat opmerken als een nauwe onderlinge samenhang. Aritmetica is reeds vroeg een zelfstandige wetenschap die op zintuiglijke ervaringen geen bewust beroep meer behoeft te doen en die dus reeds zuivere wiskunde mag heten. Muziek en astronomie, die zich opvolgend met gehoorde muzikale tonen en geziene bewegingen van hemellichamen bezighouden, zijn even ontwijfelbaar natuurwetenschappen. Ten aanzien van de geometrie kan men aarzelen. Is zij nog dat deel der natuurwetenschap dat de vormeigenschappen der vaste lichamen behandelt, of is zij reeds dat deel der wiskunde dat in de ervaringen over die lichamen opgedaan weliswaar zijn psychologische oorsprong vindt, maar dat voor zijn opbouw die ervaringen niet meer bewust gebruikt? De mededeling van Proklos dat Pythagoras de geometrie ἀύλως καὶ νοερῶς, op onstoffelijke wijze en noëtisch, door het denken alleen, leerde beoefenen,¹ wijst erop dat meetkunde in de pythagoreïsche school reeds niet meer landmeetkunde was en dat zij de vele aan haar empirische oorsprong ontleende, door Plato² later belachelijk gemaakte termen als ‘vierkant maken’, ‘erlangs leggen’ en ‘erbij zetten’, slechts uit traditie behouden had.

Er waren dus twee wiskundige en twee natuurwetenschappelijke mathemata, welke laatste echter in hoge mate op de eerste steunden. Het mathema muziek bestond uit een leer van intervallen, waarin het wezen van wat het gehoor als hoogteverschil van twee tonen verneemt, gezocht werd in een verhouding van getallen, zodat optellen van intervallen vermenigvuldigen van verhoudingen betekende. In de astronomie vond zowel de geometrie als de aritmetica toepassing, de eerste bij het ontwerpen van bewegingsstelsels waardoor van de waargenomen verschijnselen rekenschap kon worden gegeven, de tweede in beschouwingen over afstanden en omloopstijden van hemellichamen die aanleiding gaven tot kosmologische speculaties over harmonie der sferen en periodiciteit in het wereldgebeuren.

Naarmate men de meetkunde meer noëtisch ging behandelen moest het

1 Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii. ed. G. Friedlein (Leipzig 1873) p. 65, 18.

2 Plato, Politeia vii. 527 a.

[p. 111]

steeds meer de aandacht trekken dat de geometrische entiteiten waarover men algemeen geldige, exacte en apodictische oordelen uitsprak, niet identiek konden zijn met de gelijknamige objecten der zintuiglijke ervaring, dat de rechte lijnen, cirkels en bollen die deze ons toont andere zijn dan die de meetkunde zo noemt.

Op de vraag welke zijnswijze deze mathematische entiteiten dan wel bezitten wordt in de filosofie van Plato geantwoord dat hun een ideale existentie eigen is, die met het zijn der ideeën de kenmerken van eeuwigheid en onbeweeglijkheid gemeen heeft en er zich alleen van onderscheidt doordat zij de eigenschap der enigheid mist.³ De relatie van het rijk der ideeën tot dat der geometrische vormen wordt verduidelijkt door haar te vergelijken met de betrekking tussen fysische lichamen en hun schaduwen of spiegelbeelden, welke ook weer dezelfde is als die tussen geometrische vormen en de daarmee gelijknamige fysische lichamen, bijvoorbeeld tussen een bol en een kaatsbal.⁴

Het is van belang in de platoonse visie op de relatie tussen de mathematische en de fysische wereld twee elementen zorgvuldig te onderscheiden en wel 1) de gedachte van een correspondentie tussen de fysische objecten, die wij met behulp van de zintuigen waarnemen en de gelijknamige geometrische vormen, waarvan wij de eigenschappen noëtisch vaststellen; en 2) de overtuiging dat het rijk der geometrie een zelfstandig bestaan voert, gescheiden en onafhankelijk van dat der fysische lichamen, even onafhankelijk daarvan als het ideeënrijk het van het geometrische is en een fysisch lichaam van zijn schaduw; en dat bovendien de volgorde idee-geometrische vorm-fysisch lichaam-schaduw tevens een voortdurende daling van de werkelijkheidsgraad aangeeft: een geometrische vorm overtreft een fysisch lichaam even sterk in realiteit als dit het zijn schaduw doet. Deze onderscheiding is hierom van belang omdat de andere grote Griekse denker die naast Plato het verloop van de geestesgeschiedenis der westerse wereld beslissend zou gaan beïnvloeden, Aristoteles, de eerste van deze twee opvattingen tot de zijne maakt en met zijn gezag ondersteunt maar de tweede verwerpt. Voor hem is het rijk der idee niet transcendent en dat der mathesis a fortiori niet. De eigenschappen waarover de meetkunde handelt zijn eigenschappen van fysische lichamen, mits men deze van een bepaald, namelijk meetkundig, standpunt uit beschouwt en daarbij van alle mogelijke andere beschouwingswijzen afziet.

Dat Aristoteles Plato's mathematisch ontologisme, de leer van het zelfstandig bestaan van geometrische vormen, niet aanvaardt is voor ons doel minder belangrijk dan dat zijn opvatting van een correspondentie tussen exacte geometrische vormen en fysische objecten waarin zich die vormen

3 Aldus de mededeling van Aristoteles over de metaxu-positie der mathematische entiteiten in Metaphysica A 6; 987 b 16-18.

4 Plato, Politeia vi. 509d-510e. Toegelicht door Proklos, ed. cit. (noot 1) 10, 21-11, 9. Zie verder E.J. Dijksterhuis, ‘Proklos' Commentaar op Euclides i vertaald’ in: Euclides 25 (1949-50) 47.

[p. 112]

verdoezeld vertonen, praktisch met de platoonse overeenstemt. Men kan haar weliswaar, wanneer men op de verschilpunten de nadruk wil leggen, als abstractie-theorie tegenover de idealiseringstheorie van Plato stellen, maar moet dan toch bedenken dat zij beide tot volmaakt hetzelfde resultaat, namelijk tot dezelfde ideale geometrische vormen, voeren. De aristotelische abstractie is het middel om de platoonse idealisering tot stand te brengen. Zeggen dat men abstraheert van alles waarin de empirische vormen van de ideale geometrische afwijken beduidt erkennen dat die ideale vormen hoe dan ook bestaan. Het meningsverschil betreft dan alleen nog maar dit hoe, transcendent bij Plato, immanent bij Aristoteles.⁵

Hoe dicht hun opvattingen in feite bij elkaar staan blijkt bovendien nog hieruit dat de axiomatische opbouw der meetkunde zoals wij die bij Euclides aantreffen zich enerzijds ongedwongen laat interpreteren als een verwezenlijking van zekere platoonse kenidealen, maar anderzijds kennelijk het prototype vormt waarnaar de beschouwingen die Aristoteles in de Analytica Posteriora aan het wezen van een bewijzende wetenschap wijdt, gemodelleerd zijn.⁶

Tot dusver is onze beschouwing geheel binnen de grenzen der wiskunde gebleven, maar is het niet duidelijk dat zij de strekking bezit die grenzen te buiten te gaan en zich ook op het gebied der natuurwetenschap te gaan bewegen? Wanneer met de wereld der rustende empirische vormen een noëtisch rijk van ideale mathematische vormen correspondeert, ligt het dan niet voor de hand te vermoeden dat met de veranderingen die zich in het eerste afspelen processen in het tweede zullen overeenkomen die eveneens voor noëtische behandeling vatbaar zijn? De gedachte van een in de letterlijke zin des woords mathematische fysica, dat wil zeggen van een als mathesis te behandelen natuurkunde, moest zich aan platonici en aristotelici met gelijke kracht opdringen. De eersten konden er dan nog bij denken dat het te construeren mathematisch systeem de eigenlijke natuur weergaf, waarvan de door ons zintuiglijk ervaren fysische wereld slechts een onvolkomen nabootsing in het stoffelijke was; zij konden die opvatting voor de natuurwetenschappelijke pythagoreïsche mathemata muziek en astronomie door hun meester in zijn Politeia met nadruk verdedigd vinden⁷ en de volkomen overeenstemming van de hier ontwikkelde zienswijze met de kosmologie van de Timaios vaststellen.

De gemeenschappelijke platoons-aristotelische visie op het verband van wiskunde en natuurwetenschap wordt als in een modelvoorbeeld in praktijk gebracht door Archimedes. Deze behandelt in het eerste boek van zijn werk

5 Aristoteles, Metaphysica m 2, 3.

6 Bewijsplaatsen bij H. Scholz, ‘Die Axiomatik der Alten’, in: Blätter für deutsche Philosophie iv (1930-31).

7 Plato, Politeia vii, 529d-530c; 530e-531c.

[p. 113]

Over evenwichten van vlakke figuren de voorwaarde waaronder een met gewichten te bezwaren draaibaar juk in evenwicht blijft,⁸ maar hij doet dat niet zoals men bij dit essentieel fysisch probleem verwachten zou door metende proefneming, maar door, als gold het een zuiver mathematische kwestie, enkele evidente axiomata op te stellen (bijvoorbeeld dat het juk bij symmetrische belasting in evenwicht blijft) en van daaruit deductief te redeneren. Op geheel dezelfde wijze, namelijk uitgaande van een axioma dat zekere grondinzichten van de aristotelische fysica uitspreekt, leidt hij in zijn werk Over drijvende lichamen de nog steeds naar hem genoemde stelling over de opwaartse kracht die een in een vloeistof gedompeld lichaam ondervindt, door mathematische redenering af.⁹

Opnieuw belet de grote domper Gewoonte dat men spontaan beseft hoe merkwaardig deze feiten zijn. In de schooljaren, waarin ieder de grondbegrippen van wiskunde en natuurwetenschap opdoet en waarin tallozen het optimum van hun kennis van deze vakken bereiken, leert men veelal onvoldoende tussen beide onderscheiden en deze verdoezeling van een essentieel verschil laat de verwondering over de naar het schijnt toch aanwezige mogelijkheid van een deductieve behandeling der natuurwetenschap niet opkomen.

Bestaat die mogelijkheid inderdaad? Handelen de afleidingen van Archimedes wel over echte fysische balansen en over stoffelijke lichamen die in echte vloeistoffen gedompeld zijn? Men behoeft het betoog slechts een ogenblik kritisch te bekijken om dadelijk in te zien dat dit niet het geval is. In het werk Over evenwichten van vlakke figuren (om ons daartoe te bepalen) wordt niet gesproken over een stoffelijk juk, dat in lucht om een materiële met wrijving ondersteunde as kan draaien en waaraan stoffelijke lichamen worden opgehangen, maar over een als draaibaar aangenomen mathematisch lijnstuk, waaraan vlakke figuren worden bevestigd, terwijl men aan die figuren zekere getallen, evenredig met hun oppervlakten, toekent, die men als hun gewichten betitelt.

Wij verkeren in dezelfde ideale sfeer als waarin wij de meetkunde beoefenen en de afgeleide evenwichtsvoorwaarde heeft ook alleen in die sfeer volstrekte geldigheid. Maar - en hier schuilt het merkwaardige - die voorwaarde wordt onbekommerd toegepast op fysische balansen, waarbij dan alleen blijkt dat zij haar scherpte van geldigheid verliest, dat het evenwicht ook nog wel kan bestaan binnen een zekere speelruimte om de theoretisch afgeleide waarden heen. Men schrijft dat dan toe aan omstandigheden als wrijving en luchtweerstand, die het ideale verschijnsel storen. Het blijkt mogelijk die storende factoren ook in het mathematische beeld op te nemen, maar men moet ze dan evengoed idealiseren en de situatie verandert er principieel niet door. Het blijft

8 Archimedes, De planorum aequilibrüs sive de centris gravitatis planorum. i. 6. Archimedis Opera Omnia cum Commentariis Eutocii, ed. J.L. Heiberg Vol. ii (Leipzig 1913).

9 Archimedes, De corporibus fluitantibus, ed. cit. (noot 8). Vol. ii.

[p. 114]

er bij dat wij een natuurverschijnsel hebben afgebeeld in een mathematisch systeem waarvan de conclusies in de fysische realiteit geldigheid bezitten. Maar die geldigheid is steeds slechts benaderd; de exactheid van het beeld is in de ervaring nooit terug te vinden.

De toepassing van de wiskunde in mechanica en hydrostatica geeft nog lang geen volledige indruk van de functie die zij in de natuurwetenschap kan vervullen en in de Oudheid ook reeds vervuld heeft. Het beeld verruimt zich als men ook nagaat hoe zij in de Griekse astronomie gebruikt is. Ook hier werden de waargenomen verschijnselen geïdealiseerd, bijvoorbeeld reeds doordat men hemellichamen door mathematische punten verving, maar hier kon men niet door van evidente axiomata uit te gaan het gedrag van die punten deductief redenerend op het spoor komen. Men moest vooreerst rekening houden met waargenomen kwantitatieve feiten en men voelde zich bovendien gebonden door zekere op religieuze, esthetische of natuurwetenschappelijke gronden berustende aprioristische onderstellingen in het licht waarvan de feiten beschouwd moesten worden. Men aanvaardde bijvoorbeeld als axioma dat hemellichamen geen andere bewegingen kunnen uitvoeren dan eenparige cirkelvormige en stond nu voor de taak de in de bewegingen der hemellichamen waargenomen onregelmatigheden met dit zogenaamd platoons axioma te rijmen.

Deze taak, die als het platoons probleem bekend staat, is het volledigst vervuld door de astronoom Claudius Ptolemaeus. Het is voor ons doel van belang de door hem daarbij toegepaste methode algemeen te formuleren. Daartoe beschouwen wij haar werking in een eenvoudig voorbeeld, namelijk dat der zonsbeweging. Het was bekend dat de jaargetijden niet even lang zijn terwijl toch gedurende elk van hen de zon een boog van negentig graden tussen de sterren doorloopt. Ten tijde van Ptolemaeus bedroeg de duur van de lente 94,5 dag en die van de zomer 92,5 dag. Om deze feiten met het platoons axioma te rijmen onderstelde Ptolemaeus dat de aardse waarnemer niet in het middelpunt van de eenparig doorlopen cirkelvormige zonsbaan staat. Hij bepaalde nu langs trigonometrische weg de afstand van de waarnemer tot het middelpunt van de zonsbaan en de ligging van de middellijn waarop hij zich bevindt, zó dat de lente inderdaad 94,5 dag duurde en de zomer 92,5 dag. Daar hij uit waarnemingen ook kon afleiden waar de zon op een gegeven tijdstip in het verleden had gestaan en welke boog zij in eenparige beweging in een gegeven tijdvak aflegt, kon hij voor ieder willekeurig ogenblik in de toekomst vooruitberekenen waar de excentrische waarnemer haar aan de hemel zal zien en door vergelijking van berekende en werkelijk waargenomen zonsposities de theorie op de proef stellen.

Wat is er nu eigenlijk gebeurd? Naar aanleiding van een zeker in mathematische vorm geformuleerd ervaringsmateriaal (de lengten van lente en zomer) is met inachtneming van zekere algemene beginselen (het platoons axioma) een hypothese over de ware toedracht der waargenomen verschijnselen opgesteld

[p. 115]

(de waarnemer staat excentrisch), die zo is ingericht dat 1) de feiten die tot haar opstelling aanleiding hebben gegeven eruit gededuceerd kunnen worden (dat is een vanzelfsprekende minimum-eis) en 2) zij tot voorspellingen leidt (zonsposities op gegeven tijdstippen in de toekomst) die door nieuwe waarnemingen gecontroleerd kunnen worden. Gebruik makend van een reeds in de Oudheid voorkomende en later algemeen in zwang gekomen zij het ook niet geheel bevredigende terminologie, kunnen wij het gehele proces verdelen in een resolutorisch gedeelte, dat besloten wordt met de opstelling van de hypothese, en een compositorisch, dat uit een tweevoudige deductie uit de hypothese en de empirische verificatie van de voorspelde feiten bestaat.

Het is van belang op het verschil van de functie der hypothese in de beide delen van het denkproces te letten. In het resolutorische treedt zij op als gissing, in het compositorische als uitgangspunt van een deductie, dus als axioma. Het eerste strookt met het hedendaagse, het tweede met het Griekse spraakgebruik. In onze oren klinkt bij het woord hypothese altijd een sterke nuance van onzekerheid mee; in het Grieks beduidt ὑπόϑεσις de aan een betoog ten grondslag gelegde onderstelling, waarvan gevorderd wordt dat de toehoorder haar zal aanvaarden; het is dus eenvoudig synoniem met het woord axioma, dat eveneens dat vorderen uitdrukt.

Voor ons speciale doel is het nuttig de plaatsen in het proces aan te wijzen waar de wiskunde haar diensten bewijst; zij doet dit 1) wanneer in het resolutorische gedeelte ervaringsfeiten in mathematische vorm worden geformuleerd; 2) wanneer de opgestelde hypothese een mathematisch uitdrukbare inhoud heeft; 3) in de dubbele deductie van het compositorische gedeelte.

Het is duidelijk dat het eigenlijk creatieve element van het gehele proces in de opstelling van de hypothese bestaat. Men kan hier niet zoals in slordig spraakgebruik wel eens gebeurt van een afleiden uit de verschijnselen spreken; het gaat er niet om wat uit de verschijnselen volgt; het is er om te doen iets te vinden waaruit zij volgen. Uit de gegevens omtrent lente en zomer kan onmogelijk worden afgeleid dat de waarnemer excentrisch staat; men kan er met inachtneming van het platoons axioma even goed rekenschap van geven door hem in het centrum van een cirkel te denken waarover niet de zon, maar het middelpunt van een door de zon eenparig doorlopen kleinere cirkel, een zogenaamde epicykel, eenparig loopt.

De opstelling van de hypothese bevat altijd een element dat niet redelijk te verantwoorden is; men kan het slechts door termen als νοῦς, virtus intellectiva, intuïtie, fantasie, inspiratie en dergelijke trachten te omschrijven. Hier ligt de reden waarom natuuronderzoek nog meer vereist dan belangstelling, vlijt, goede wil, accuratesse, technische vaardigheid en mathematische begaafdheid; er is een specifiek vermogen voor nodig, dat in zijn hoogste vorm slechts aan enkele begenadigden geschonken wordt.

Wij hebben het schema van de resolutorisch-compositorische of zoals men beter kan zeggen van de hypothetisch-deductieve methode leren kennen aan

[p. 116]

het voorbeeld van de mathematische astronomie. Het is echter gemakkelijk in te zien dat het voor alle exacte wetenschappen geldt en dat deze zich onderling alleen onderscheiden door verschillen in de relatieve omvang en in de relatieve belangrijkheid van de delen van het proces. Zo fungeerde voor de meetkunde, toen deze van een natuurwetenschap tot een tak der wiskunde werd, de verzameling van de door meting, gissing of anderszins verworven meetkundige stellingen die de Griekse wiskundigen bij het begin van hun werkzaamheid als bekend konden beschouwen, als het ervaringsmateriaal waarvan bij de toepassing der methode moet worden uitgegaan; het euclidische stelsel van definities, postulaten en axiomata vormde de hypothese; daaruit werden deductief zowel de uitgangsstellingen als nieuwe meetkundige uitspraken afgeleid; aan empirische toetsing van deze laatste werd in verband met het spoedig aangenomen noëtisch karakter van het vak reeds door de pythagoreërs geen behoefte meer gevoeld. In de besproken onderzoekingen van Archimedes over statica en hydrostatica bestond het uitgangsmateriaal uit de neerslag van langdurige ervaring over de werking van hefbomen en het gedrag van in vloeistoffen gedompelde lichamen in de vorm van enkele als evident gevoelde axiomata; empirische verificatie van de uit de hypothese gededuceerde nieuwe beweringen, waaronder talrijke stellingen over de stabiele drijfstanden van segmenten van omwentelingsparaboloïden, heeft Archimedes kennelijk niet nodig geacht, hoewel er voor ons gevoel hier toch reeds meer aanleiding bestond haar te verlangen.

De hypothetisch-deductieve methode blijkt in de loop der tijden niet alleen in feite zij het ook onbewust voortdurend toegepast, maar ook bewust als zodanig bestudeerd te zijn. In de Oudheid wijdt Galenus er aandacht aan; in de dertiende eeuw ondervindt zij onder meer grote belangstelling van Robert Grosseteste die in het bijzonder nadruk legt op de noodzakelijkheid de opgestelde hypothese door empirische verificatie of falsificatie van haar consequenties op haar houdbaarheid te toetsen.¹⁰ Natuurlijk kunnen de aprioristische beginselen in het licht waarvan de hypothese wordt geconcipieerd van geval tot geval verschillen. Bij Grosseteste en talrijke latere natuuronderzoekers zijn het de overtuiging van de uniformiteit van de werkwijze der natuur en de daarmee samenhangende lex parsimoniae, die inhoudt dat de natuur alles op de meest eenvoudige wijze doet en dat men daarom ook niet meer verklaringsbeginselen moet invoeren dan strikt noodzakelijk is. Weer later wordt de methode uitvoerig bestudeerd in het wijsgerig onderwijs aan de universiteit van Padua, zodat wanneer Galilei haar in het begin van de zeventiende eeuw nog eens uitdrukkelijk formuleert hij slechts een lange traditie van de instelling waaraan hij verbonden is voortzet.

De belangstelling die de methode voortdurend bleef wekken heeft niet kunnen bewerken dat zij ook steeds met vrucht is toegepast. Vóór de zestiende

10 A.C. Crombie, Robert Grosseteste and the origins of experimental science (Oxford 1953).

[p. 117]

eeuw blijft de oogst aan natuurwetenschappelijke resultaten gering en daarna groeit hij aanvankelijk slechts langzaam aan. Men wist in beginsel eigenlijk heel goed hoe men de natuurwetenschap moest beoefenen, maar slaagde er slechts betrekkelijk zelden in dat methodisch inzicht ook in praktijk te brengen. Het is nog steeds een kapitaal historisch probleem hoe dit opvallende verschijnsel eigenlijk te verklaren is. Het maakt deel uit van een klasse van verwante vragen, die alle hierop neerkomen dat men graag zou willen begrijpen waarom een bepaalde ontwikkeling in een bepaald tijdvak, waarin zij naar het ons achteraf voorkomt heel goed mogelijk zou zijn geweest, niet is ingetreden en waarom zij het op een later ogenblik ineens wel deed. Men kan de vraag ook in deze vorm kleden of er eigenlijk een specifiek groeitempo voor een wetenschap bestaat en, zo ja, waardoor dit bepaald wordt.

Ongetwijfeld zal men bij de beantwoording van dergelijke vragen altijd rekening moeten houden met de samenwerking van een groot aantal factoren, die deels van intern-wetenschappelijke, deels van sociaal-economische, deels van politiek-historische aard zijn. Wie erin slaagt enkele van deze factoren aan te wijzen zal nooit mogen vergeten dat hij steeds talrijkere andere buiten beschouwing laat.

Met dit voorbehoud mogen hier enkele omstandigheden worden opgenoemd die de ontwikkeling van de mathematisch-empirisch behandelde natuurwetenschap in de Middeleeuwen ongetwijfeld hebben vertraagd. Daar was vooreerst de van de Griekse denkers overgeërfde onderschatting van de moeilijkheid der in het natuuronderzoek ondernomen taak, zich uitend in de opstelling van hypothesen zonder dat een voldoend omvangrijk en nauwkeurig, door waarneming en proefneming verworven ervaringsmateriaal ter beschikking stond; voorts het overheersend kwalitatief karakter van de algemeen aanvaarde aristotelische fysica, dat de uitvoering van fysische metingen weliswaar niet principieel uitsloot (men besteedde immers aandacht aan intensiteitsveranderingen van kwaliteiten) maar toch ook niet uitlokte; vervolgens de moeilijkheden verbonden aan de schepping van een methodiek van het experiment; maar vooral - en dit is voor ons speciale onderwerp van belang - de geringe ontwikkeling van de algebra en het praktische rekenen, die beide nog steeds te lijden hadden onder de gevolgen van het exclusief-geometrische karakter dat de Griekse wiskunde onder pythagoreïsch-platoonse invloed verkregen had. Eerst in de zeventiende eeuw hebben deze beide takken der wiskunde een hoogte bereikt waarop zij gelijkwaardig naast de meetkunde konden staan, maar daarna heeft het nog lang geduurd voordat men in de natuurwetenschap van hun ontwikkeling partij leerde trekken.

De vooruitgang op de andere genoemde punten is ongetwijfeld sneller en duidelijker geweest. Men slaagde er zij het ook ten koste van veel strijd en moeite in zich op het gebied van de fysica eerst en op dat der chemie later te ontworstelen aan de seculaire invloed van het aristotelische denken; men kreeg meer besef voor de rijkdom en voor de complicatie der natuurver-

[p. 118]

schijnselen en men begon tussen natuurwetenschap en techniek het verband te leggen waarvan beide in de komende eeuwen in zo hoge mate zouden profiteren.

Wanneer nu door al deze en dergelijke oorzaken de natuurwetenschap zich in de zestiende en zeventiende eeuw in sneller tempo begint te ontplooien, trekt het de aandacht hoe nauw zij na een tussentijd van zo vele eeuwen aansluit bij het stadium van ontwikkeling waarin de Grieken haar hadden achtergelaten. Als eerste vertegenwoordiger der nieuwe wetenschap zet Copernicus de beoefening der astronomie geheel in de antieke geest voort; hij wijzigt het standpunt van waaruit de hemelverschijnselen beschouwd worden, maar de toegepaste methode blijft dezelfde en hij stelt er zelfs een eer in dat hij het platoons axioma strenger in acht neemt dan Ptolemaeus gedaan had. Tegen het einde van de zestiende eeuw knoopt Stevin in zijn onderzoekingen over statica en hydrostatica onmiddellijk bij Archimedes aan. Hij omschrijft de ‘weeghconst’, dat is de leer van het evenwicht, als een ‘besonder vrie wisconst’¹¹ en hij geeft dan ook een axiomatische behandeling van de statica van een vast lichaam met een onbeweeglijk punt die geheel binnen het archimedische, dat is het euclidische kader verloopt. Van het ideale karakter van het opgebouwde systeem blijkt hij zich volledig bewust te zijn; herhaaldelijk legt hij de nadruk op het verschil tussen wat ‘wisconstelick ghenomen’ geldt en wat ‘natuerlick verstaen’, dus in de fysische werkelijkheid, waar is.¹² Het beroemde clootcransbewijs voor de wet van het hellend vlak is zo volkomen in de ideale sfeer geconcipieerd dat aan de kennelijke onmogelijkheid de beschreven situatie fysisch te realiseren zelfs geen woord gewijd wordt.¹³ Nu was Stevin, evenals zijn grote Syracusaanse voorganger, niet alleen ‘spiegelaar’ maar ook ‘doender’ en men verwacht bij hem dus ook aandacht voor de vraag in welke mate nu de fysische realiteit van de ideale theorie zal afwijken. Merkwaardig genoeg wordt die verwachting nauwelijks vervuld. Hij voegt weliswaar aan zijn Weeghconst een Weeghdaet toe, waarin de theorie van het eerste werk praktisch wordt toegepast,¹⁴ maar de daarin behandelde werktuigen blijven evenzeer in het ideale als de molens waarvoor hij in een afzonderlijk geschrift als eerste in de geschiedenis een kwantitatieve theorie ontwikkelt.¹⁵ Hij vestigt er wel meer dan eens de aandacht op dat bij werkelijke toestellen alles niet zo mooi uitkomt als de theorie der Weeghconst leert, maar men krijgt de indruk dat hij de mate der afwijking sterk onderschat.

Zoals Stevin het de statica had gedaan behandelt Galilei de verschijnselen

11 Simon Stevin, De Beghinselen der Weeghconst (Leiden 1586). Anhang, Hooftstuck iii. Dat de Weeghconst een besonder vrie Wisconst is.

12 Zo bijvoorbeeld Weeghconst i. Vertooch 4. Voorstel 8.

13 Weeghconst i, Vertooch 11. Voorstel 19.

14 Simon Stevin, De Weeghdaet (Leiden 1586).

15 Simon Stevin, Van de Molens (Amsterdam 1884).

[p. 119]

van val en worp.¹⁶ Steunend op de lex parsimoniae stelt hij als axioma dat de snelheid van een uit rust vrij vallend lichaam evenredig is met de sedert het begin der beweging verstreken tijd en leidt daaruit langs mathematische weg een betrekking tussen weg en tijd af. Een nieuw axioma stelt hem in staat ook de valbeweging op hellende vlakken te behandelen; hierdoor krijgt hij een mogelijkheid voor empirische verificatie van de valwet, die ook inderdaad wordt uitgevoerd. De gehele theorie van val en worp wordt dan echter verder volmaakt idealiter opgebouwd. De experimentele verificatie van de ontwikkelde theorie van de worp zal eerst later door de Accademia del Cimento worden uitgevoerd. Hiervan afziende kan men echter zeggen dat Galilei de volledige resolutorisch-compositorische methode voortdurend in volle bewustheid toepast.

In haar zuiverste vorm vertoont deze zich echter ook nu weer in het vak dat van oudsher het methodische voorbeeld in het natuuronderzoek was geweest, de astronomie, en wel met name in de onderzoekingen over planetenbeweging van Kepler. Wanneer deze na jarenlang proberen moet vaststellen dat bij behandeling van het door Tycho bijeengebrachte ervaringsmateriaal op grond van het platoons axioma en volgens de methoden der ptolemaeïsche astronomie tussen de consequenties der opgestelde hypothese en bepaalde bij de opstelling daarvan niet gebruikte meetresultaten een verschil van acht boogminuten blijft bestaan¹⁷, durft hij het als eerste aan dit axioma te verwerpen en nieuwe mathematische hulpmiddelen voor de voorstelling der planetenbeweging in te voeren. Hij generaliseert in de naar hem genoemde wetten de platoonse cirkel tot de ellips en de constante lineaire snelheid tot de constante perksnelheid.

Bij de voortgaande ontwikkeling van de mathematische natuurwetenschap kon uiteraard de vraag naar de betrekking tussen de fysische werkelijkheid en het mathematische beeld dat de theorie ernaast plaatste, met steeds meer recht gesteld worden. In de Oudheid had zij betrekking gehad op de meetkunde van Euclides, de mechanica van Archimedes en de astronomie van Ptolemaeus; thans betrof zij ook de verschijnselen van val en worp, weldra ook cirkelbeweging en botsing, warmteleer en optica. Het oude meningsverschil over de relatie van idee en fysische realiteit, dat in de Middeleeuwen de vorm van het probleem der universalia had aangenomen, herleefde in de kwestie van de ware betekenis van de mathematisering der natuurwetenschap. En voor de beantwoording stond weer de drieledige mogelijkheid ter beschikking waarmee globaal gesproken het probleem der universalia was opgelost. Met het platoonse standpunt van de universalia ante rem correspondeert de opvatting van de natuur als onvolkomen realisering van een ideale, i.c. mathematische

16 Bewijsplaatsen bij E.J. Dijksterhuis, Val en worp. Een bijdrage tot de ontwikkelingsgeschiedenis der mechanica van Aristoteles tot Newton (Groningen 1924). Hoofdstuk iv.

17 Johannes Kepler, Astronomia Nova ii 19. Johannes Keplers Gesammelte Werke, herausgegeben von Max Caspar. iii (München 1937) p. 178.

[p. 120]

gedachtenwereld; met het aristotelische van de universalia in re die van de door abstractie uit de ervaring ontstane idealisering; met het nominalistische van de universalia post rem die van een praktisch hulpmiddel voor een benaderende beschrijving van de werkelijkheid waaruit alles wordt weggelaten wat voor het denken in de gegeven situatie nog te moeilijk is of wat ter bereiking van het gestelde doel niet in aanmerking genomen behoeft te worden, maar waaraan generlei zelfstandige betekenis mag worden toegekend.

Het is niet waarschijnlijk dat alle onderzoekers die in de loop van de zeventiende eeuw gezamenlijk de grondslag hebben gelegd voor de latere bloei der natuurwetenschap een bepaald standpunt ten aanzien van deze vragen zullen hebben ingenomen. Een der allergrootsten echter, Kepler, heeft er een ondubbelzinnig antwoord op gegeven. De grondgedachte van Plato's Timaios overnemend en uitwerkend, zet hij uiteen dat God zich bij de schepping der wereld door mathematische overwegingen heeft laten leiden doordat Hij het oog gericht hield op zekere λόγοι κοσμοποιητικοί, wereldvormende verhoudingen.¹⁸ Tevens echter heeft Hij de menselijke geest zo geschapen dat deze in staat is kwantitatieve relaties te onderkennen. Dat is zelfs zijn eigenlijke functie. Zoals het oog op het zien van kleuren is ingesteld en het oor op het horen van geluiden is het verstand van de mens ad quanta intelligenda condita, voor het kennen van quanta, hoeveelheden, ingericht¹⁹; in het mathematische systeem dat naar aanleiding van de waargenomen verschijnselen wordt opgesteld is daardoor niet alleen alles vervat wat de mens van de natuur te begrijpen gegund is, maar hij kan er ook van verzekerd zijn dat hij door die opstelling een blik mag slaan in het goddelijk scheppingsplan. Het menselijk verstand is Gods geestelijk beeld, zoals de wereld zijn stoffelijk beeld is. Daarop berust 's mensen vermogen de natuurwetenschap te beoefenen.

Evenals voor Plato bestaat er dus ook voor Kepler een ideale wereld, die een hogere realiteit bezit dan de empirische waarin zij stoffelijk is nagebootst en ook voor hem bestaat de functie die de empirie in het natuuronderzoek vervult daarin dat zij ons aanleiding geeft ons te bezinnen op een weten dat ons denken op grond van zijn goddelijke oorsprong reeds bezit.

In het licht van de grote vooruitgang die de natuurwetenschap in de zeventiende eeuw door de toepassing van de hypothetisch-deductieve methode, dat wil zeggen door een harmonische samenwerking van empirisch onderzoek en mathematische systeemvorming, wist te bereiken, wekt het verwondering dat als kenmerkende uitdrukking voor haar werkwijze steeds meer de term ‘experimentele methode’ in zwang komt, die slechts een van haar

18 Johannes Kepler, Brief van 19/29 augustus 1599 aan Michael Mästlin. Gesammelte Werke xiv (München 1949) p. 46. Harmonice mundi passim. Gesammelte Werke vi (München 1940).

19 Johannes Kepler, Brief van 9 april 1597 aan Michael Mästlin. Gesammelte Werke xiii (München 1945) p. 113.

[p. 121]

twee componenten aanduidt. Het is waarschijnlijk dat wij hier te maken hebben met een symptoom van de machtige invloed die Francis Bacon door zijn briljant geformuleerde beschouwingen over de methode der natuurwetenschap in de zeventiende eeuw en nog lang daarna op het denken heeft uitgeoefend.²⁰ In die beschouwingen valt namelijk een eenzijdige nadruk op het empirisch element terwijl de onontbeerlijke functie der wiskunde over het hoofd wordt gezien. In overeenstemming daarmee is ook het door hem aanbevolen lijstenprocédé voor de systematische verzameling van ervaringsfeiten niet meer dan een allerbedenkelijkste verschraling van de methode die alleen doeltreffend zou blijken. Hier wordt niet alleen de dienst der wiskunde miskend maar tevens de creatieve prestatie die in de opstelling van een vruchtbare hypothese verricht wordt. Het is opmerkelijk dat een soortgelijke onvolledigheid in de naamgeving zich in de negentiende eeuw, waarin de filosofie der natuurwetenschap opnieuw sterke baconiaanse trekken vertoonde, herhaald heeft in de toen veel toegepaste omschrijving van de natuurwetenschappelijke methode als empirisch-inductief.

Nadat de hypothetisch-deductieve methode in de zeventiende eeuw de natuurwetenschap reeds de grote winst bezorgd had die in het werk van de hier genoemde onderzoekers en van talrijke andere besloten ligt, bleek zij tegen het einde der eeuw nog vatbaar voor een aanzienlijke verruiming van haar draagwijdte. Men had tot dusver steeds aan natuurwetenschappelijke verklarings-hypothesen de eis gesteld dat zij zo evident mogelijk moesten zijn en in ieder geval in die zin van het woord aanschouwelijk dat zij pasten in de voorstellingskring die door de normale zintuiglijke ervaring van het dagelijks leven geschapen werd. In overeenstemming hiermee werd in de twee grote zeventiende-eeuwse corpusculairtheorieën, de gassendistische en de cartesiaanse, geen andere wijze van inwerking van materiële deeltjes op elkaar aangenomen dan die in onderling contact, door druk of stoot, wordt uitgeoefend, juist het type van inwerking dus dat men voortdurend in het groot kon waarnemen. Men kan bij onderzoekers als Robert Boyle en Christiaan Huygens vaststellen hoezeer deze corpusculairtheoretische opvatting, die men ook wel als de mechanische betitelde, het gehele denken der toenmalige fysici beheerste en hoe zij in dit kenmerk het beslissende onderscheid met de middeleeuwse natuurwetenschap zagen. Het was een opvatting die vooral door Descartes met klem verdedigd was. Een natuurwetenschappelijke theorie moest naar zijn mening een mechanisch model van de fysische werkelijkheid leveren, dat eventueel door een handig knutselaar in elkaar zou kunnen worden gezet en dat dan de werkingswijze der natuur ad oculos zou demonstreren.

Nu voerde echter Newton in zijn gravitatietheorie de onderstelling in dat elk tweetal materiële deeltjes in het heelal elkaar zou aantrekken met gelijke langs hun verbindingslijn tegengesteld gerichte krachten, waarvan de grootte

20 E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld (Amsterdam 1950). §§ 183-193.

[p. 122]

omgekeerd evenredig zou zijn met het vierkant van de afstand der punten. En hij slaagde erin op grond van deze hypothese hemelse en aardse bewegingsverschijnselen als uitvloeisels van eenzelfde algemene natuurwet op te vatten. Ondanks de belangrijke resultaten die ermee behaald bleken te kunnen worden wekte de theorie principieel verzet en wel op deze grond dat men zich geen voorstelling kon maken van de wijze waarop een lichaam hier over een lege ruimte heen op een lichaam ginds zou kunnen inwerken.

Newton had dit bezwaar echter in de Principia bij voorbaat van de hand gewezen door te verklaren dat zijn gravitatie niet als een causa physica moest worden beschouwd maar als een causa mathematica.²¹ Wat hij beoogde was niets anders dan wat de astronomen te allen tijde beoogd hadden, namelijk een zo eenvoudig mogelijke en zoveel mogelijk omvattende mathematische beschrijving van het verloop der verschijnselen geven. Door die beschrijving echter in te kleden in de schilderachtige kracht-terminologie, die wegens het feit dat wij zelf werkingen kunnen uitoefenen en ondergaan die wij als krachten betitelen altijd een sterke illusie van aanschouwelijkheid en daardoor van begrijpelijkheid wekt, vestigde hij de indruk als zouden de planeet-bewegingen, de aardse getijden en de bewegingen van vallende en voortgeworpen lichamen nu in die zin verklaard zijn dat het duidelijk was geworden hoe zij tot stand komen. In feite was dat natuurlijk allerminst het geval: termen als gravitatie en attractie kunnen evenmin iets begrijpelijk maken als de scholastieke wijsgerige woorden substantiële vorm en kwaliteit of de zeventiende-eeuwse mechanische druk en stoot. Zelf heeft Newton geen ogenblik de illusie bezeten dat zij dat wel zouden doen. Hij noemt actio in distans zelf uitdrukkelijk fysisch absurd²², maar dat weerhoudt hem er niet in het minst van er in een mathematische theorie van een natuurverschijnsel gebruik van te maken.

Door aldus afstand te doen van de eis van aanschouwelijke voorstelbaarheid en aan een hypothese geen andere voorwaarden op te leggen dan dat zowel de van tevoren bekende feiten als nieuwe, voor empirische controle vatbare conclusies eruit gededuceerd kunnen worden, heeft Newton de mogelijkheden van de empirisch-mathematische methode van natuuronderzoek aanzienlijk uitgebreid en tevens het inzicht in haar wezen sterk verhelderd. In de zeventiende eeuw had men verklaringen met behulp van contactwerking van materiële corpuscula overtuigend gevonden omdat men de verschijnselen van druk en stoot, waarmee men in het dagelijks leven vertrouwd was, als voldoend begrijpelijk beschouwde. Die opvatting had onder meer in de geniale handen van Christiaan Huygens tot belangrijke resultaten geleid. Voor de

21 Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica. Definitio viii.

22 Zie bijvoorbeeld de derde brief aan Bentley, geciteerd bij L. Trenchard More, Isaac Newton (New York-London 1934) p. 379 en bij René Dugas, La mécanique au xviie siècle (Neuchâtel 1954) p. 433.

[p. 123]

verdere ontwikkeling van de fysica was het echter van uitnemende betekenis dat Newton de binding aan het macroscopisch vertrouw de principieel ophief.

Reeds spoedig deed zich nu echter het merkwaardige verschijnsel voor dat hetzelfde gravitatiebegrip dat bij zijn opstelling door geen geringeren dan Leibniz en Huygens als essentieel niet-mechanisch verklarings beginsel en als terugval in de occulte kwaliteiten der scholastiek gebrandmerkt was, de natuuronderzoekers zo vertrouwd en bekend begon voor te komen dat zij het als fundamenteel principe aan zoveel mogelijk gebieden der natuurwetenschap ten grondslag trachtten te leggen en het juist als een typisch-mechanisch beginsel gingen beschouwen. Na de grote wijzigingen die het fysisch denken in de twintigste eeuw doorliep kon men zelfs van tijd tot tijd een zeker heimwee naar de aanschouwelijkheid van de klassieke fysica vaststellen, die in het bijzonder betrekking had op newtoniaanse voorstellingen die toen zij voor het eerst werden uitgesproken als het summum van onvoorstelbaarheid waren beschouwd. Zozeer blijkt het oordeel over de toelaatbaarheid en hanteerbaarheid van een wetenschappelijk begrip af te hangen van de mate waarin men ermee vertrouwd is geraakt, die op haar beurt bepaald wordt door het wetenschappelijk milieu waarin men is opgevoed. Voortdurend leert een jongere generatie begrippen en voorstellingen die grote voorgangers aarzelend en onder oppositie van tijdgenoten hadden ingevoerd spelenderwijs hanteren om ze daarna ook weer moeizaam verder te ontwikkelen. Het is deze collectieve groei van het menselijk denken die de vooruitgang der wetenschap mogelijk maakt.

Dat de door Newton bewerkte verruiming van de mathematisch-empirische methode de principiële betekenis bezat dat thans het doel van een natuurwetenschappelijke theorie omschreven kon worden als het geven van een mathematische beschrijving van het verloop van een natuurverschijnsel - steeds natuurlijk met het voorbehoud dat die beschrijving aanleiding moest geven tot empirisch verifieerbare gevolgtrekkingen - mag vooral niet zo worden verstaan als zou deze opvatting na hem algemeen aanvaard zijn. Integendeel, het cartesiaanse verlangen naar zogenaamde mechanische modellen van de fysische toedracht bleek bij vele natuuronderzoekers van de negentiende eeuw, waaronder van de allergrootste, onverzwakt voort te bestaan. De geschiedenis van de ether-theorieën levert er een sprekend voorbeeld van. Het ziet er echter wel naar uit dat in de twintigste eeuw de newtoniaanse opvatting steeds meer de overhand heeft gekregen.

Aan de andere kant was reeds in het begin van de negentiende eeuw een mogelijkheid geopend de door Newton ingeslagen weg verder te vervolgen. Wanneer men bij het opstellen van een natuurwetenschappelijke theorie niet langer gebonden is aan fysische aanschouwelijkheid is men het uiteraard evenmin aan geometrische voorstelbaarheid. Toen dus eenmaal de niet-euclidische en meerdimensionale meetkunden geconstrueerd waren, was een verruiming van de mathematische beschrijvingsmiddelen van fysische proces-

[p. 124]

sen in beginsel gegeven. Het zou echter tot in de twintigste eeuw duren voordat van deze nieuwe middelen gebruik zou worden gemaakt. Zoals zo vaak in de geschiedenis werd ook toen vooruitgang verkregen door ontworsteling aan zekere beperkingen die door de Griekse grondleggers aan het mathematisch-fysisch denken waren opgelegd. Het is niet onmogelijk dat de emancipatie van onze sterke binding aan het Helleense denken nog verder zal moeten gaan om een voortdurende bloei van de natuurwetenschap te waarborgen.²³

Maar dit is al geen historische uitspraak meer en de wetenschapsgeschiedenis blijkt dus, althans voor dit uur, aan het eind te zijn gekomen van wat zij ons over de toepassing van de wiskunde in de natuurwetenschap te zeggen had. Een diepergaande behandeling zou ongetwijfeld veel meer gegevens over hun samenwerking aan het licht kunnen brengen; zij zou ook kunnen laten zien hoe rijkelijk de wiskunde zich voor de onmisbare diensten die zij aan de natuurwetenschap bewezen heeft beloond heeft gezien door de inspirerende werking die van de opdrachten die zij te vervullen kreeg op haar eigen ontwikkeling is uitgegaan. Principieel nieuwe gegevens ter oplossing van het probleem dat in het begin van deze rede gesteld werd zouden daarbij echter waarschijnlijk niet verkregen worden.

Zal nu de wetenschapsleer erin slagen zelf de functie die de wiskunde in de natuurwetenschap vervult geheel op te helderen, zal zij kunnen verklaren hoe het komt dat wij de natuurwetenschap met behulp van de wiskunde kunnen beoefenen?

Dat hangt ervan af wat men onder een verklaring verstaat; vermoedelijk zal het antwoord er een zijn van het type waarmee Nietzsche, sprekend over Kants antwoord op de vraag hoe synthetische oordelen a priori mogelijk zijn, de spot drijft: ‘Vermöge eines Vermögens’.²⁴ De menselijke geest - zal de slotsom wellicht luiden - is, mits hij zich eerst aandachtig openstelt voor wat een onbevangen en onbevooroordeelde waarneming hem leert, in staat de werkingswijze der natuur af te beelden in een mathematisch systeem dat het hem mogelijk maakt te voorspellen wat er onder bepaalde bewust gekozen omstandigheden gebeuren zal. Maar dat is dan in wezen hetzelfde wat wij Kepler in theologische inkleding hoorden betuigen: de menselijke geest, ad quanta intelligenda condita, zal door de natuurwetenschap met behulp van de wiskunde te beoefenen van de schepping datgene begrijpen wat hem daarvan te begrijpen gegeven is: geometriae vestigia in mundo expressa, de voetsporen der mathesis die in de wereld staan uitgedrukt.

Aan het einde van deze rede gekomen moge ik allereerst mijn eerbiedige dank betuigen aan Hare Majesteit de Koningin dat het haar heeft behaagd mij tot

23 Erwin Schrödinger, Nature and the Greeks (Cambridge 1954).

24 Friedrich Nietzsche, Jenseits von Gut und Böse. Werke (Taschen-Ausgabe, Kröner) 8, 20.

[p. 125]

buitengewoon hoogleraar aan de universiteit te benoemen.

Mijne heren curatoren,

Voor het vertrouwen dat gij in mij gesteld hebt door mij voor de bekleding van deze leerstoel voor te dragen zeg ik u van harte dank. Ik zal ernaar streven dit vertrouwen niet te beschamen.

Dames en heren hoogleraren, leden van de Academische Senaat,

Ik ben ervan overtuigd dat gij mij de mogelijkheid tot het verwerven van de geestelijke winst zult willen openen die uit de omgang met u kan voortvloeien.

Dames en heren hoogleraren, leden van de Faculteiten van Letteren en Wijsbegeerte en van Wis- en Natuurkunde,

Het stemt mij tot erkentelijkheid dat ik tot uw beide faculteiten mag behoren. Ik twijfel er niet aan of ik zal mij in beide even goed thuis voelen en aanleiding tot dankbaarheid hebben voor het veelzijdig contact dat mij geboden wordt. Het feit dat ik dit voorrecht aan twee universiteiten geniet zal echter helaas ten gevolge hebben dat dit contact niet zo veelvuldig zal kunnen zijn als ik wel gaarne zou wensen.

Waarde Van Groningen^*,

Van het ogenblik af dat ik kennis maakte met de klassieke Oudheid heeft uw studievak een bekoring op mij uitgeoefend die ik alleen daarom niet onweerstaanbaar mag noemen omdat ik haar ten slotte toch weerstaan heb en in de moeilijke keuze tussen Grieks en wiskunde aan de laatste de voorkeur heb gegeven. Steeds heb ik echter de liefde voor de Helleense cultuur behouden en in de bewondering waarmee ik steeds uw wetenschappelijke loopbaan heb gevolgd mengde zich daardoor altijd een zekere wroeging om eigen ontrouw. Door mijn werk voor een belangrijk deel op Griekse wiskunde en natuurwetenschap te concentreren heb ik getracht toch niet geheel af te dwalen van het pad waarop u zich steeds bent blijven bewegen. Ik verheug mij over de thans geopende mogelijkheid dit pad verder ten dele met u te kunnen bewandelen.

* Van Groningen: B.A. van Groningen (1894-1989) studeerde klassieke talen in Brussel en Groningen, in welke stad hij in 1921 promoveerde. Van 1929 tot 1964 was hij hoogleraar Griekse taal- en letterkunde in Leiden. Hij was ook jarenlang redactielid van De Gids. Bij het afscheid en het overlijden van Dijksterhuis schreef Van Groningen, die Dijksterhuis al in Groningen had leren kennen, enkele artikelen.

Dames en heren studenten in de Faculteiten van Wis- en Natuurkunde en van Letteren en Wijsbegeerte,

Er bestaat voor u niet de geringste verplichting de vakken die ik doceren zal te beoefenen. Ideëel bezien is dat de schoonste toestand die in het onderwijs denkbaar is, omdat iedere gedachte aan dwang is uitgesloten en het slechts

[p. 126]

zuivere weetdorst is die de band tussen leerling en docent knoopt. Dat de reële situatie in de praktijk van het universitaire onderwijs zo idyllisch niet is, althans gedurende een gehele cursus niet blijft - daarvan ben ik mij ten volle bewust.

Dit bewustzijn zal er mij niet van weerhouden er steeds opnieuw naar te streven u, studenten in de Faculteit van Wis- en Natuurkunde, door een historische behandeling van uw studievakken de grondslagen daarvan dieper te helpen verstaan en u tevens de bekoring van historische werkzaamheid te doen gevoelen; en u, studenten in de Faculteit van Letteren en Wijsbegeerte, in de geschiedenis een weg te openen tot het gebied der exacte wetenschappen dat u anders tot schade voor uw geestelijke vorming wellicht steeds vreemd zou blijven.

Ik heb gezegd.