Logo DBNL
Clio's stiefkind (1990)

Clio's stiefkind

(1990)–E.J. Dijksterhuis–rechtenstatus Auteursrechtelijk beschermd

Vorige Volgende

De grenzen der Griekse wiskunde

Hoezeer de wiskunde op zichzelf al beschouwd kon worden als een belangrijk cultuurelement illustreerde Dijksterhuis bij voorkeur aan de Griekse wiskunde. Als geestelijke prestatie kon zijns inziens het werk van Euclides, Archimedes en Apollonius op één lijn gesteld worden met de Griekse filosofie of de Griekse beeldhouwkunst. Ook in duurzaamheid deden de bijdragen die de Griekse wiskundigen aan de cultuur hadden geleverd niet onder voor die van de filosofen, de schrijvers of de beeldhouwers; zoals het ideaal van de klassieke kunst doorwerkte tot in de twintigste eeuw, was ook de invloed van de Griekse wiskunde nog steeds te voelen. Geen beschrijving van de Griekse cultuur was daarom volledig zonder ruime aandacht voor de Griekse wiskunde.

De studie van de Griekse wiskunde maakte in het interbellum boeiende tijden door. Niet alleen kwamen door de ontdekking van nieuwe documenten nieuwe gegevens beschikbaar over de Babylonische, Egyptische en Griekse wiskundigen,1 ook de interpretatie van de reeds bekende gegevens was onderwerp van levendige discussie. Dijksterhuis, die in de jaren twintig en dertig regelmatig over de Griekse wiskunde publiceerde (hij schreef studies over Euclides en Archimedes en liet tal van artikelen het licht zien, onder andere in het voor classici bestemde tijdschrift Hermeneus), heeft aan die discussie weinig nieuwe inzichten toegevoegd. Zijn kracht lag meer in de heldere uiteenzetting van gangbare theorieën en het afgewogen oordeel over de relatieve waarde van die theorieën. Hij zag het vooral ook als zijn taak een breder publiek op de hoogte te brengen van feiten en denkbeelden die verder alleen de specialisten bekend waren.

Een duidelijk voorbeeld daarvan is de openbare les die Dijksterhuis in 1930 uitsprak bij de aanvaarding van het ambt van privaatdocent in de geschiedenis van de wiskunde in Amsterdam. Deze rede, getiteld Het getal in de Grieksche wiskunde, was geheel gewijd aan de stelling dat aan het begin van de Griekse wiskunde, ongeveer 400 v.Chr., een grondslagencrisis had plaats-gevonden die bepalend was geworden voor de hele verdere ontwikkeling van de wiskunde bij de Grieken. Zowel door de ontdekking der pythagoreërs dat de verhouding van twee lijnstukken niet altijd is weer te geven als een verhouding van twee natuurlijke getallen, als door de verwarring die werd gesticht door de paradoxen van Zeno over het oneindige achtten de Griekse wiskundigen zich gedwongen in plaats van de losse en plooibare structuur die de Babylonische en Egyptische wiskunde had gekenmerkt een streng bouwwerk van wiskundige systematiek in het leven te roepen dat de genoemde problemen de baas kon. De Grieken introduceerden een streng getalbegrip, dat onder een getal alleen een uit eenheden samengestelde hoeveelheid verstond en dat behalve wat wij irrationele en imaginaire getallen noemen ook de 0 en de 1 uitsloot. Dit strenge getalbegrip maakte een even strenge reorganisatie van de wiskunde mogelijk, die haar hoogtepunt

vond in de Elementen van Euclides, maar tegelijk werden de ontwikkelingsmogelijkheden van de Griekse wiskunde daardoor zozeer ingeperkt dat na de synthese van Euclides en het baanbrekende werk van Archimedes in de derde eeuw v. Chr. geen nieuwe hoogtepunten in de geschiedenis van de Griekse wiskunde meer volgden. De bloei van de Griekse wiskunde lag niet aan het eind van haar ontwikkeling, maar aan het begin.2

Aan de ruimere cultuurhistorische betekenis van die zelfopgelegde beperkingen van de Griekse wiskunde is het hier afgedrukte opstel gewijd. Dijksterhuis keert zich tegen de extreme interpretatie van de beperkingen van de Griekse wiskunde die Oswald Spengler in zijn befaamde Der Untergang des Abendlandes (1918) had gegeven.3 Spengler, die de antieke cultuur als een in zichzelf besloten geheel beschouwde en aan werkelijke cultuuroverdracht niet geloofde, schilderde de Griekse wiskunde ook als een in zichzelf besloten geheel, dat voor de wiskundige ontwikkeling uit later tijd door de eigenaardigheden die haar aankleefden weinig te betekenen zou hebben gehad. Dijksterhuis bestreed dit: weliswaar had de Griekse wiskunde duidelijke grenzen, maar deze waren niet zo onoverkomelijk als Spengler het voorstelde. In de zestiende eeuw kon men daar doorheen breken en de wiskunde verder opbouwen op de grondslagen die al door de Grieken waren gelegd. Anders dan Spengler was Dijksterhuis overtuigd van de doorwerking van de Griekse wiskunde (en daarmee van de Griekse cultuur) in de cultuur van zijn eigen tijd.4

De grenzen der Griekse wiskunde

De mathematicus van onze tijd die met het wiskundig werk der Grieken in nauwer contact komt, zal zich, vooral wanneer dat contact verkregen wordt door zelfstandige studie van de klassieke schrijvers, weldra heen en weer geslingerd voelen tussen de meest tegenstrijdige gewaarwordingen. Het eerste wat hij ervaart, zal ongetwijfeld wel het verbaasde inzicht zijn hoe weinig de algemeen gangbare voorstellingen over de Griekse wiskunde recht doen wedervaren aan de rijkdom van haar inhoud, aan het vernuft van haar methoden, aan de scheppende kracht van haar probleemstellingen, en wanneer hij enigszins de aanleg tot de historische beschouwingen in zich heeft, wanneer hij dus enigszins het vermogen en de lust bezit om zich met behoud van de kritische gezindheid der moderne wetenschap, maar onder abstractie van de kennis van haar resultaten te verplaatsen in het denken van voorbijgegane perioden, zal hij niet kunnen nalaten een diepe bewondering te gevoelen voor de onvergankelijke bijdrage tot de ontwikkeling van het menselijk denken die de antieke cultuur in haar wiskundig werk aan de wereld heeft geschonken.

In deze stemming van bewondering zullen zich nu echter na korte tijd onvermijdelijk gevoelens van bevreemding en teleurstelling komen mengen; bij volledige erkenning van de hoge waarde van het door de Grieken tot stand gebrachte, zal hij zich onwillekeurig gaan afvragen waarom eigenlijk een volk, dat blijkbaar zo volstrekt was voorbeschikt voor de mathematische denk-vorm, in de toch talrijke eeuwen van zijn werkzaamheid niet nog veel verder in de wiskunde is gekomen; meer dan eens zal hij moeten vaststellen dat de begripsvorming en probleemstelling plotseling ophouden op een punt waar één stap verder nieuwe gebieden van onderzoek aan het licht zou hebben gebracht; hij zal verwonderlijke onevenwichtigheden opmerken, sterk verschil in ontwikkeling en groot onderscheid in waardering van onderwerpen die tegenwoordig in één adem worden genoemd en een voor onze opvattingen onvatbaar naast elkaar bestaan van abstruus gedachtenspel met mathematische begrippen en diepe wijsgerige inzichten in de grondslagen der wiskunde. En wanneer zo eenmaal de kritiek gewekt is, zal hij steeds meer gewaarworden hoe vreemd hij, bij alle vertrouwdheid met de resultaten die bereikt worden, toch tegenover de stijl van deze gehele gedachtenwereld blijft staan. Het zal lang duren voordat hij aan de klassieke opvatting der wiskunde voldoende

gewend is om met enige zekerheid te kunnen zeggen welke onderwerpen binnen de gezichtskring der Griekse mathematici kunnen zijn gevallen en welke daarvan principieel uitgesloten zijn geweest en hij zal een uitgesproken historische zin moeten hebben om niet onophoudelijk gewaarwordingen van wrevel, ergernis en ongeduld bij zich te voelen opkomen over de ondoorzichtige, moeilijk weer te geven wijze waarop zij resultaten bereiken die hij met behulp van de vertrouwde methoden der actuele mathesis zonder moeite in enkele ogenblikken kan terugvinden.

Het is volkomen begrijpelijk dat bij een niet uitzonderlijk historisch geïnteresseerde mathematicus van al deze gewaarwordingen de gevoelens van bevreemding en ergernis al spoedig zozeer de overhand zullen behouden, dat hij weinig aandacht meer aan de Griekse wiskunde zal wijden. Wat zij bereikt heeft betreft immers niet meer dan wat voor de hedendaagse wiskunde de eerste beginselen zijn en door de wijze waarop zij te werk gaat zondigt zij voortdurend tegen formele gewoonten die, hoewel betrekkelijk nog van jonge datum, reeds tot een onvervreemdbaar element van de huidige mathematische denkwijze zijn geworden.

Voor wie nu echter de wiskunde juist in haar historische ontwikkeling tracht te begrijpen zal natuurlijk noch het ene, noch het andere bezwaar enig gewicht hebben; integendeel: waar zijn niet-historische vakgenoot zich met ongeduld en wrevel - de ervaring leert dat dit een veel voorkomende reactie is - afwendt, voelt hij het bestaan van een historisch probleem. Het is dit probleem dat het onderwerp van dit opstel vormt en dat geformuleerd kan worden als de vraag hoe het te begrijpen is dat het Griekse wiskundige denken, dat toch de zuivere mathesis niet alleen heeft geschapen maar ook tot grote bloei heeft gebracht, niettemin in zijn materiële en formele ontwikkeling beperkt is gebleven binnen de eigenaardig verlopende grenzen die ons beletten er ons evenzeer vertrouwd mee te kunnen gevoelen als we er ons afhankelijk van weten.

Een vraag als deze kan bij eerste beschouwing wellicht volkomen onvruchtbaar lijken en zelfs principieel onvatbaar voor enige beantwoording. De ontwikkeling van het denken kost tijd; wat in een gegeven periode in een gegeven wetenschap bereikt werd, is door het aantal van hen die in die periode die wetenschap beoefenden en door het werk dat zij verrichten, volkomen bepaald en het moet wel een ijdele bezigheid lijken zich erin te verdiepen waarom het aantal van die beoefenaren niet groter was en hun werk niet omvangrijker. Zal men ooit iets meer kunnen doen dan zuiver beschrijvend vaststellen tot hoever de ontwikkeling in het beschouwde tijdvak is gegaan?

Hoe juist deze redenering ook moge zijn, in het geval van de Griekse wiskunde is er toch wel aanleiding tot dieper gaande vragen. Immers hier doet zich het merkwaardige feit voor dat, terwijl het tijdvak waarin zij werd beoefend zich, ruw geschat, over negen eeuwen uitstrekt, het hoogtepunt van haar ontwikkeling reeds omstreeks drie eeuwen na het begin bereikt werd: wat

daarna nog gekomen is was, op enkele uitzonderingen na, epigonen werk, aanvulling en uitbreiding, verbetering en toelichting met slechts hier en daar een poging nieuw leven in te blazen aan een blijkbaar verstarde wetenschap. En we nemen dus waar dat een veelbelovende en snel verlopende groei plotseling tot stand komt, zonder dat ooit nog weer een noemenswaarde opleving plaatsvindt.

Men zal het streven een zo merkwaardig verschijnsel zoal niet causaal te verklaren dan toch door historisch-mathematische beschouwingen te verhelderen, niet zonder meer als ijdel kunnen afwijzen en dus aan het probleem van de grenzen der Griekse wiskunde niet bij voorbaat het bestaansrecht kunnen ontzeggen. Vooral niet omdat dit verschijnsel reeds eenmaal als element van essentiële betekenis in een groots opgezet systeem van historische beschouwingen heeft gefungeerd. Oswald Spengler, de Cassandra van onze hedendaagse civilisatie, ziet namelijk in het eerste hoofdstuk van zijn Untergang des Abendlandes de Griekse wiskunde, evenals alle andere wiskunden, als een onafhankelijke gesloten schepping die, als een organisme, haar tijden van opbloei, van rijpheid, van verwelken en van afsterven heeft gekend en die niet dan in schijn voortleeft in de volkomen anders geaarde mathesis van het avondland. Dat schijnbestaan verklaart voor hem de gewaarwordingen van vreemdheid die wij ook bij dieper doordringend contact met haar voortbrengselen ervaren. Dat zij echter het hoogtepunt van haar ontwikkeling reeds eeuwen voor het definitieve einde van de Griekse beschaving bereikte, wordt begrepen door de overweging dat reeds toen de ontwikkelingsmogelijkheden die het klassieke getalbegrip, uitdrukking bij uitnemendheid van de stijl van een cultuur, in zich sloot waren uitgeput, welke uitputting zelf slechts een der vele symptomen was van het uitdoven van de scheppende krachten der klassieke oudheid. Wat men gewoonlijk ziet als het vroeg bereikte en door geen verdere stijging gevolgde hoogtepunt der Griekse mathesis, het werk van Euclides, van Archimedes en Apollonius, beduidt voor Spengler de inwendige voltooiing van een aan de Griekse cultuur eigen wiskundige vormenwereld, welke voltooiing in de zin van zijn systeem gelijktijdig is met het werk van de grote meesters der analyse in de negentiende eeuw, Gauss, Cauchy, Riemann. Het is een winterverschijnsel, een symptoom van de wereldstadcivilisatie, die aan de definitieve ondergang voorafgaat. Wat daarna nog voor waarlijk origineels optreedt behoort innerlijk reeds niet meer tot het afstervend organisme: Diophantos maakt reeds deel uit van de morgenperiode der Arabische cultuur die met de slotperiode der Griekse samenvalt en dat hij nog Grieks schreef en wellicht meende nog Grieks te denken, sluit niet uit dat hij niet meer als vertegenwoordiger van de Griekse wiskunde mag worden beschouwd.

De opvatting van Spengler die ik hiermee kort heb geschetst heeft zonder enige twijfel veel verleidelijks; zij beziet het verschijnsel van verslapping en verstarring dat de Griekse wiskunde vertoont, in zo grote samenhang dat het in de algemeen-historische beschouwing op zichzelf bijna niet meer als

problematisch gevoeld wordt en zij baseert zich op mathematische uitspraken die met onbetwijfelbare resultaten van het historisch onderzoek der wiskunde, i.c. het inzicht in het verschil tussen klassiek en modern getalbegrip schijnbaar zo identiek zijn dat de wiskundige, hoe vaak hij zich ook verplicht zal zien Spenglers beschouwingen als onhoudbaar en zelfs als wiskundig volkomen fout te verwerpen, zich bij oppervlakkige beschouwing toch altijd weer geneigd zal voelen de grote lijn van zijn betoog als juist te erkennen.

Of de instemming die men op deze gronden en onder invloed van het meeslepend pathos van zijn schrijfwijze aan Spengler wel gaarne wil schenken nu echter ook steeds tegen een meer kritische lezing van zijn uiteenzettingen en vooral tegen een toetsing van zijn mathematische argumenten aan de nieuwere inzichten in het wezen der Griekse wiskunde bestand zal blijken te zijn, is een andere vraag. Wanneer men zich eenmaal ontworsteld heeft aan het imposante karakter van de zekerheid waarmee Spengler in één ademtocht over meer gebieden van menselijk weten, voelen en kunnen spreekt dan de gemiddelde sterveling in de duur van zijn leven zal leren verstaan, wanneer men in het aangezicht van zijn ontzaglijke synthetische visie nog de moed tot nauwgezette studie van een detail weet te behouden en wanneer men dus in het geval dat ons bezighoudt de Griekse wiskunde in haar eigen ontwikkeling en in haar samenhang met de Westeuropese buiten verband met ondergangsbeschouwingen in het oog durft vatten, ziet men het gestelde probleem weer in scherpe omtrekken opduiken uit de nevelen van algemeenheid waarin het bij Spengler een tijdlang verdwenen scheen en men voelt zich gedrongen het nog eens onbevangen te beschouwen, alsof men de eerste was die het gesteld had.

De eerste plicht welke die onbevangenheid ons oplegt is wel deze dat we eens met enige principiële nauwkeurigheid moeten aangeven waar de grenzen der Griekse wiskunde eigenlijk liggen. Ik wil deze plicht vervullen door in grote trekken het verloop van haar ontwikkeling in de tijd te schetsen vanaf het ogenblik dat voor het eerst een onbetwijfelbaar document de duisternis verdrijft die over haar vroegste fasen uitgebreid ligt.

Dat document, een fragment van een werk over de kwadratuur van de cirkel van de wiskundige Hippokrates van Chios, die tussen 450 en 400 v. Chr. te Athene moet hebben geleefd, toont ons de Griekse wiskundigen in het midden der vijfde eeuw in het bezit van een geordend systeem der planimetrie en van het vermogen tot behandeling van meetkundige problemen over de oppervlakten van door cirkelbogen begrensde figuren die nog in onze tijd aan de grenzen der elementaire wiskunde gelegen zijn. Hoe de wiskunde zich in de omstreek 150 jaren die sedert Thales van Milete waren verstreken, tot zo aanzienlijke hoogte had ontwikkeld, is ons vrijwel geheel onbekend en zal, afgezien van de mogelijkheid van ontdekking van nieuwe bronnen, wel steeds onbekend blijven. Wel zullen we door voortgezette studie van reeds beschikbare maar nog niet uitgeputte bronnen nog meer te weten kunnen komen over het mathematische feitenmateriaal dat de Griekse mathematici uit Egypte en

Babylon kunnen hebben overgenomen. Dat blijkt reeds nu meer te zijn dan men in een periode van reactie op de vroeger gebruikelijke overschatting van de oeroude wijsheid, die men vooral in Egypte vermoedde, placht aan te nemen. Maar het kan nog heel veel meer worden, zonder dat daardoor het wonder dat er in het wiskundig werk van de Hellenen der zesde en vijfde eeuw gelegen is, meer begrijpelijk zal worden gemaakt en zonder dat de meest wezenlijke verdienste van het Griekse mathematische denken zal worden verkleind. Want Grieks blijft toch ongetwijfeld het voor de wording der zuivere wiskunde beslissende denkbeeld, de ongeordende, op een mengeling van redeneren, meten, raden en proberen gebaseerde verzameling van mathematische uitspraken te rangschikken in een logisch sluitend systeem, waarin enkele fundamentele stellingen onbewezen als juist werden aanvaard en waarin men er nu verder naar streefde om onder uitschakeling van ieder beroep op de fysische ervaring of op het residu daarvan in de voorstelling en op grond van nauwkeurige definities der gebruikte termen, alle andere uitspraken door redenering af te leiden. Het denkbeeld van zulk een axiomatisering van een zeker gebied van ons weten is voor de verdere ontwikkeling, zowel van wiskunde als van natuurwetenschap, van het hoogste belang gebleken en er is nauwelijks één plaats in onze geestelijke cultuur aan te wijzen, waar wij de samenhang van het moderne en het klassieke denken zo sterk gevoelen als hier.

Het zal wel nauwelijks nodig zijn te vermelden dat het ideaal van een volstrekte axiomatisering der meetkunde bij een eerste poging niet kon worden verwezenlijkt. Eerst de ontwikkeling der moderne wiskunde van de laatste halve eeuw heeft aan het licht gebracht hoe sterk het beste dat de Grieken op dit punt hebben bereikt, bij dat ideaal ten achter blijft; zelf hebben zij echter al spoedig ingezien hoeveel er aan het hippokratische elementensysteem ontbrak en ze hebben er onophoudelijk naar gestreefd de logische opbouw der meetkunde te verbeteren. Een sterke prikkel moet daarbij gevormd zijn door de befaamde crisis die, naar we aannemen, omstreeks 400 v. Chr. het wiskundig denken tot in zijn grondslagen heeft geschokt. Die crisis werd veroorzaakt, enerzijds door het inzicht in de ontoereikendheid van een theorie der verhoudingen waarin stilzwijgend werd aangenomen dat twee gelijksoortige grootheden zich steeds als getallen verhouden, anderzijds door het besef van de onuitputtelijkheid van oneindige processen waarvan het aflopen in menig sofistisch schijnbewijs als denkbaar was voorgesteld. Uit deze beide inzichten hebben de Griekse mathematici, die in de strengheid van hun denken voor niets terugdeinsden, de volle consequenties getrokken; in een reconstructie van het gehele systeem der wiskunde, waaraan vooral de namen van Eudoxos en Theaitetos verbonden zijn, hebben zij een nieuwe redentheorie opgesteld die zo algemeen is dat de gevallen van onderlinge meetbaarheid en onderlinge onmeetbaarheid der optredende grootheden niet onderscheiden behoeven te worden, een exacte opbouw der aritmetica gege-

ven, die de middelen verschaft om, waar dit nodig is, de onderscheiding tussen rationale en irrationale redens toch weer te maken en een zeer strenge theorie ter behandeling van oneindige processen ontwikkeld, die vroeger gewoonlijk met de onjuiste en niet-klassieke naam van exhaustiemethode werd aangeduid, maar die men beter karakteriseert als methode van de indirecte grensovergang. De synthese van al deze belangrijke vondsten, hun uiteenzetting, afronding en toepassing vindt ca. 300 v. Chr. plaats in het beroemde werk van Euclides, de Elementen, dat het fundament is geworden waarop alle latere Griekse mathematici hebben voortgebouwd en dat tot het begin van de negentiende eeuw toe als de onaantastbare grondslag voor alle wiskundig denken is beschouwd.

Na Euclides heeft zich in de Alexandrijnse school de wiskunde zeer snel tot grote hoogte ontwikkeld en wel voornamelijk door het werk van twee der grootste mathematici van alle tijden, Archimedes en Apollonius. De betekenis van Archimedes ligt vooral in de vondst van vernuftige en strenge methoden ter bepaling van lengten, oppervlakten en inhouden, in de geometrie van de maat dus, die van Apollonius in de opstelling van een theorie der kegelsneden waarin de geometrie van de ligging op de voorgrond staat. Beiden bewegen zich daarbij op gebieden die men op grond van een niet recht duidelijke en niet zeer consequente onderscheiding, in onze tijd wel tot de hogere wiskunde pleegt te rekenen: Archimedes ontwikkelt beschouwingen die mathematisch equivalent zijn met de theorie der bepaalde integralen: wanneer hij bijvoorbeeld de oppervlakte wil berekenen die wordt begrensd door een winding van de later naar hem genoemde spiraal, sluit hij de beschouwde figuur in tussen twee reeksen van om- respectievelijk ingeschreven cirkelsectoren en bepaalt nu volgens de methode van Eudoxos de gemeenschappelijke limiet waartoe de sommen van beide reeksen bij voortgaande verkleining van de middelpuntshoek der sectoren naderen. Apollonius past methoden toe die later de grondslag der analytische meetkunde zullen vormen: hij karakteriseert de bestudeerde krommen door de betrekkingen waaraan de coördinaten van haar punten voldoen en leidt met behulp van de Griekse oppervlakterekening of geometrische algebra uit de aldus verkregen symptomen (later vergelijkingen genoemd) nieuwe eigenschappen van die krommen af. Van geen van beiden is echter met de gegeven karakteristiek de werkzaamheid afdoende omschreven: beiden beoefenen de aritmetica; Archimedes legt bovendien het eerste verband tussen wis- en natuurkunde doordat hij evenwichtsvraagstukken voor vaste en vloeibare lichamen mathematisch behandelt en statische methoden in de meetkunde toepast; Apollonius beweegt zich ook op terreinen die wij thans tot de projectieve meetkunde rekenen, hierin, evenals in de studie der kegelsneden, reeds voorafgegaan door Euclides.

Wanneer nu met de voltooiing der derde eeuw v. Chr. aan de werkzaamheid van de twee grootste mathematici der Oudheid een eind is gekomen, blijkt de impuls die zij aan de wiskunde hebben gegeven wel verre van nieuwe onder-

zoekingen in te leiden zonder veel noemenswaarde uitwerking te blijven. Niet dat de komende eeuwen niet nog menig interessant mathematisch werk zouden opleveren: de grote problemen van hoektrisectie, kubusverdubbeling en cirkelkwadratuur blijven de vindingrijkheid prikkelen en leiden tot de bestudering van verschillende merkwaardige krommen. Zenodoros ontsluit met zijn onderzoekingen over isoperimetrische problemen een nieuw gebied dat in latere eeuwen grote rijkdommen zou blijken te bevatten. Maar iets waarlijk nieuws, iets wat niet evengoed bij Archimedes of Apollonius zou kunnen staan, komt op het gebied der meetkunde niet tot stand. En de grootste poging die ca. 300 na Chr. door Pappus wordt gedaan om de beoefening der wiskunde te bevorderen door een werk dat als gids bij de studie van de vroegere schrijvers zou kunnen dienen, heeft ook al geen nieuw leven gebracht.

Slechts op twee punten is na de periode van hoogste bloei iets nieuws ontstaan: Menelaos en Ptolemaeus ontwikkelen als vervolg op de door Euclides en Theodosios gesystematiseerde meetkunde op de bol de sferische trigonometrie en leiden daarmee voor het eerst rekenende methoden in de meetkunde in. Diophantos vervormt de van de Egyptenaren overgenomen maar in het bloeitijdperk veronachtzaamde algebra tot een enigszins meer symbolische gedaante, ontplooit groot vernuft in de oplossing van onbepaalde vraagstukken in rationale getallen en vindt verschillende resultaten der latere getallentheorie.

Maar beide prestaties blijven geïsoleerd staan: sferische trigonometrie is uitsluitend een hulpvak voor en wordt zelfs behandeld als onderdeel van de astronomie, wat haar mathematische verdieping en het ontstaan van een goniometrie en vlakke trigonometrie belemmert. En de aritmetica van Diophantos, een vuurwerk van mathematisch vernuft dat zich in de derde eeuw na Chr., voorzover we weten onvoorbereid, ineens in de Griekse wiskunde vertoont, zal dertien eeuwen lang moeten wachten op een bestudering die tot voortzetting leidt.

Na 300 wordt het voor wat er van de helleense beschaving over is zelfs moeilijk het ontzaglijk erfdeel aan kennis en methode dat aan haar zorg is toevertrouwd, in stand te houden en behoorlijk te beheren. Voor een deel blijft het in Byzantium geconserveerd. Maar wanneer niet ca. 800 de groeiende Arabische wetenschap behoefte had gevoeld zich de grote mathematische schatten der Griekse cultuur eigen te maken, zouden wij waarschijnlijk van de Griekse wiskunde een nog veel meer fragmentarische kennis bezitten dan thans tot onze beschikking staat.

 

Ziehier, wat men zou kunnen noemen een principiële geschiedenis der Griekse wiskunde die met verwaarlozing van alle details slechts de grote lijnen van het beeld wil doen uitkomen. Rechtvaardigt zij niet reeds voor een deel de karakteristiek die ik als inleiding gaf, doordat zij duidelijk de onevenwichtig-

heid van de ontwikkeling voor ogen voert? Want inderdaad: naast een drie eeuwen voor Christus reeds vrijwel voltooide plani- en stereometrie komt eerst drie eeuwen na Christus een zeer bescheiden begin van algebra te staan; naast de redenering in woorden komt de redenering in getallen, het rekenen, te kort; metrische beschouwingen overheersen sterk de toch niet geheel afwezige projectieve; naast een trigonometrie op de bol staat er geen voor het platte vlak; terwijl het begrip van de bepaalde integraal aanwezig is, blijkt geen spoor van de grondgedachte der differentiaalrekening.

Wanneer we nu het aldus bepaalde grillig begrensde gebied in het oog vatten, kunnen we al dadelijk de onhoudbaarheid inzien van de door Spengler verdedigde opvatting van een inwendige voltooiing van een aan de Griekse cultuur eigen vormenwereld, van een uitputten van de combinatiemogelijkheden die potentieel aanwezig waren in de grondslagen van het systeem. Wel verre van voor ons te staan als een volgroeid organisme, maakt de Griekse wiskunde in hoge mate de indruk van een onvoltooid gebouw waaraan het werk door een tekort aan arbeidskrachten en als gevolg van voorlopig onoverkomelijke moeilijkheden tijdelijk gestaakt is, maar dat slechts wacht op nieuwe bouwmeesters en nieuwe werklieden die het met eigen initiatief en frisse krachten in de geest der oorspronkelijke plannen zullen voltooien. Want het ís toch inderdaad in latere tijden voltooid en achteraf kunnen we vaak de plaatsen waar het werk na een onderbreking van eeuwen weer is voortgezet, niet meer herkennen. Wanneer in de zeventiende eeuw de getallentheorie haar tijdperk van grote bloei ingaat, knoopt zij onmiddellijk aan bij het werk der Grieken; de oude problemen van volmaakte en bevriende getallen trekken weer de aandacht; Fermat schrijft zijn diepste gedachten als kanttekeningen in zijn Diophantos en bevestigt veel, wat deze reeds vermoed had; zijn geliefde redeneermethode van de ‘descente infinie’ zou in een Grieks geschrift niet misstaan. De analytische meetkunde van Descartes, volgens Spengler toto genere verschillend van de meetkunde van Euclides, is voor een aanzienlijk deel niet meer dan de Griekse ‘analuomenos topos’ in een nieuwe inkleding; haar proefstuk is de algemene behandeling van een probleem van Pappus dat de Griekse wiskunde reeds in bijzondere gevallen had behandeld; de meetkundige behandeling van een kubische vergelijking in het derde boek van de Géométrie verschilt in beginsel niet van de archimedische. Het heeft een tijdlang kunnen schijnen alsof de integratiemethoden van Kepler, Cavalieri, Fermat en Huygens principieel verschilden van de Griekse, maar we weten sedert 1906* dat ook hun meer heuristisch vruchtbare dan wiskundig zuivere werkwijze bij Archimedes als middel om resultaten op het spoor te komen in gebruik is geweest. Wanneer echter ca. 1800 de verwaarlozing van de exactheid die de Grieken bij de definitieve formulering van hun oneindige processen steeds in acht hadden genomen, tot contradicties gaat voeren en de negentiende-eeuwse analyse zich genoodzaakt ziet hogere eisen aan de strengheid te stellen dan die der achttiende in haar ontdekkingsroes gedaan had,

behoeven de wiskundigen niets anders te doen dan de redeneringen van Eudoxos in modern symbolisch gewaad te steken: de methode van de indirecte grensovergang herleeft in de moderne theorie der convergente varianten, de redentheorie uit het vijfde boek van Euclides in de snedetheorie van het irrationale getal.

Zo blijkt in tal van gevallen de kiem van de moderne mathematische begripsvorming in het Griekse wiskundige denken reeds aanwezig te zijn en er is dus wel alle aanleiding naar de oorzaken te vragen die hebben kunnen belemmeren dat die kiem zich reeds in de Griekse cultuur ontwikkelde. Om die oorzaken op het spoor te komen zullen we onze aandacht niet langer op die punten moeten richten waarin Griekse en moderne wiskunde overeenstemmen, maar veeleer op die waarin ze verschillen.

 

Dat er zulke verschilpunten bestaan weet ieder die ooit een Griekse wiskundige schrijver in het oorspronkelijke heeft gelezen en zich daarbij beijverd heeft zich in zijn gedachtengang werkelijk te verplaatsen. Men merkt dan dat het grote inspanning kost bij de langdurige, onoverzichtelijke, geheel in woorden ingeklede redeneringen de aandacht te blijven bepalen en in de lange reeksen van mathematische conclusies die zonder toelichting over richting of doel der deductie worden meegedeeld, de grote lijn van het betoog te blijven zien. Die inspanning wordt nog vergroot door de vrij aanzienlijke formele complicatie van de toegepaste operatieve methoden, de redentheorie, de oppervlakterekening, de indirecte grensovergang, waarmee men eerst na langdurige oefening zo vertrouwd raakt dat men een bewijs in Griekse trant zelfstandig kan weergeven.

Tracht men de moeilijkheden van de lectuur te ontgaan door een vertaling van de Griekse tekst, dan merkt men al spoedig dat een overzetting in het Latijn of in een moderne taal slechts een zeer geringe verlichting met zich mee brengt; het is natuurlijk waar dat men wegens het meer vertrouwde lettertype een passage sneller kan overzien; maar men kan zich door kennis te nemen van de voortreffelijke absoluut letterlijke vertalingen van Griekse wiskundige werken in het Frans die de Belgische waterstaatsingenieur Paul Ver Eecke in zo groten getale tot stand heeft gebracht,* ervan overtuigen dat men even vreemd blijft staan tegenover de gehele wijze van inkleding der redeneringen en tegenover de toegepaste methoden.

Een geheel ander resultaat verkrijgt men echter wanneer men het Griekse betoog weergeeft met behulp van de internationale taal der moderne wiskunde en de tekst dus schrijft in het tekenschrift dat zij sedert de invoering der symbolische algebra in het begin der zeventiende eeuw voor de grote meerderheid van haar onderwerpen gebruikt. Plotseling blijken dan bladzijden tekst ineen te krimpen tot enkele regels algebraïsche herleiding; langdurige omwegen die de techniek der redentheorie vereist, kunnen door een eenvoudige algebraïsche berekening worden ontgaan; de bewerkingen der oppervlaktere-

kening met hun vreemd aandoende terminologie kunnen worden uitgedrukt door de theorie der vierkantsvergelijkingen; het resultaat van een indirecte grensovergang kan op grond van eenvoudige stellingen over limieten onmiddellijk worden voorspeld. En men merkt daarbij telkens weer tot zijn verbazing op dat de inhoud van het aldus ontcijferde mathematische betoog geheel identiek is met wat een moderne wiskundige redenering over hetzelfde onderwerp bevat: de wijze waarop Apollonius de kegelsneden behandelt kan niet, zoals men zo vaak meent, als synthetisch-meetkundige methode tegenover de algebraïsch-analytische van Descartes worden gesteld; Conica en Géométrie onderscheiden zich alleen in de taal der in beide toegepaste analyse, meetkundig in het ene werk, algebraïsch in het andere. Wat Pappus schrijft over fundamentele stellingen der projectieve meetkunde schijnt bij eerste kennismaking zonder veel verband te zijn met de manier waarop wij ze thans bewijzen, maar in modern tekenschrift overgezet blijkt bijvoorbeeld zijn afleiding van de stelling van Pascal voor een ontaarde kegelsnede identiek met de redenering waardoor de projectieve meetkunde die stelling voor kegelsneden in het algemeen bewijst.

We zien dus dat het zeer aanzienlijke verschil dat we tussen Griekse en moderne wiskunde moeten vaststellen, in veel hogere mate de vorm dan de inhoud van de mathematische redenering betreft en verder dat dit verschil in vorm in de eerste plaats hierdoor wordt veroorzaakt dat de Grieken niet beschikken over een symbolische algebra, waardoor hun bewijzen voor ons gevoel omslachtig en ondoorzichtig zijn. Datzelfde gemis heeft echter nog meer ten gevolge gehad. Het heeft de Griekse mathematici in vele opzichten belet hun resultaten en methoden in algemene vorm te formuleren; het heeft hen genoodzaakt talrijke gevalonderscheidingen te maken waar de algebraïsche afleiding alle gevallen ineens omvat, en eenzelfde redenering in extenso te herhalen bij alle gelegenheden waarin ze kan worden toegepast en het heeft daardoor alle onderzoekingen mateloos uitvoerig gemaakt.

De hierdoor veroorzaakte eigenaardigheid der Griekse wiskunde wordt zeer uiteenlopend beoordeeld: wanneer Archimedes bij iedere bepaling van een oppervlakte of een inhoud opnieuw het gehele apparaat van de indirecte grensovergang in werking stelt, verwijt de een hem dat hij causuïstisch is en geen algemene methode bezit, terwijl de ander zijn werkwijze tegenover die der hedendaagse wiskunde plaatst als handwerk tegenover fabrieksproduktie. In waarheid zijn hier natuurlijk blaam en lof even ongemotiveerd: de denkmethoden der Griekse wiskunde zijn even algemeen als de onze; het streven naar algemene formulering bezit ze, getuige de opbouw der meetkunde, zo goed als wij; maar het gemis aan een symbolische algebra verhindert dat streven in alle gevallen waarin de meetkundige inkleding te kort schiet.

Zodra men dit feit nu niet meer esthetisch waardeert maar in zijn praktische gevolgen tracht te overzien, wordt het duidelijk welk een belemmerende werking het moest uitoefenen. Wanneer de tegenwoordige analyse nog zo te

werk ging als Archimedes, zou ze nergens waar van een limiet sprake is een vroeger bewezen stelling der variantentheorie mogen toepassen, maar ze zou overal tot de oorspronkelijke limietdefinitie terug moeten gaan. Men ziet gemakkelijk in dat er van een efficiënte algoritmisering van enig vak onder zulke omstandigheden geen sprake kan zijn.

En hiermee is de invloed van het ontbreken van een symbolische algebra nog geenszins uitgeput. Een zeer belangrijk gevolg ervan was ook dat de Griekse analytische meetkunde, die zich van de planimetrische methoden der oppervlakterekening moest bedienen, zich nooit heeft kunnen verheffen tot de behandeling van algebraïsche krommen van hogere dan de tweede graad en dat zij altijd gebonden is gebleven aan de eis van homogeniteit van alle vergelijkingen. En verder staat het wel vast dat het grote verschil tussen Grieks en modern getalbegrip - een verschil waarvan de invloed door Spengler ongetwijfeld overdreven wordt voorgesteld, maar dat in ieder geval toch een belangrijke uitwerking heeft gehad - voor een groot deel aan dezelfde oorzaak is toe te schrijven. De latere wiskundigen hebben namelijk al de getalsoorten die de Grieken niet hebben gekend, de negatieve, de irrationale, de complexe, om van nieuwere uitbreidingen van het getalbegrip nog maar te zwijgen, niet eerst ingevoerd en daarna algebraïsch voorgesteld, maar ze zijn veeleer door het formalisme van de algebraïsche bewerkingen tot die invoering gedwongen. En wel gedwongen in de meest letterlijke betekenis van het woord: met tegenzin en weerstrevend tegen wat onredelijk lijken moest. Vandaar de historische naam absurde getallen voor de negatieve, de nog gangbare term irrationaal die als letterlijke vertaling van het Griekse alogos direct door onredelijk kan worden weergegeven; en vooral de merkwaardige benaming imaginair voor complexe getallen (of een bijzonder getal daarvan), die zelfs de indruk wekt alsof die bepaalde getalsoort helemaal niet bestond.

 

Wanneer ik nu op grond van al deze beschouwingen de geringe ontwikkeling van de symbolische voorstelling als een belangrijke oorzaak van de opvallende stagnatie van de groei der Griekse wiskunde aanwijs, hoop ik het juiste midden te bewaren tussen twee naar mijn mening beide te scherp toegespitste opvattingen over de relatie waarin moderne en klassieke wiskunde tot elkaar staan. De ene is de mening van Spengler, die zich door het inderdaad opvallende vormverschil tussen beide heeft laten verleiden een verschil in wezen aan te nemen; de andere is een onder andere door Otto Toeplitz* voorgestane zienswijze waarin op beider essentiële samenhang zo sterke nadruk wordt gelegd dat aan het onderscheid dat ze verdeeld houdt, als sléchts de vorm betreffend, nauwelijks aandacht wordt gewijd.

Over de stelling van Spengler sprak ik straks al; de mening van Toeplitz lijkt mij in zoverre aanvechtbaar dat zij het probleem van de grenzen waaraan de Griekse wiskunde in haar historische ontwikkeling toch ongetwijfeld gebonden is geweest, onaangeroerd laat. En haar zwakke zijde ligt wel in het

bijzonder in het woordje ‘slechts’, in verband met vormverschillen gebruikt. Men moet in het algemeen al voorzichtig zijn met begripsmatige dualistische onderscheidingen in wat zich als één verschijnsel voordoet; men moet het echter met de onderscheiding van vorm en wezen in het bijzonder zijn waar het wiskunde betreft. Want de studie der historie leert - en waarlijk niet alleen in het geval der Griekse wiskunde - dat de manier van inkleding van een mathematische redenering, de keuze van nomenclatuur, notatie en symbool een zo sterke invloed op de lotgevallen van een theorie kon uitoefenen, dat men wel eens geneigd is te vragen of niet de vorm der mathesis tot haar wezen behoort. In het bijzonder gaat van het mathematische symbool niet zelden een haast magische kracht uit; ingevoerd als hulpmiddel tot verkorting der uitdrukkingswijze, verandert het al spoedig van een volgzame dienaar in een eigenwillige leidsman, die zijn oorspronkelijke meester langs wegen leidt die hij niet had gedroomd ooit te zullen betreden en waarvoor zijn redelijk denken aanvankelijk, soms zelfs duurzaam, terugdeinst. Met een lichte variant op een bekend woord van Goethe zou men de wiskundige tekentaal kunnen betitelen als ‘eine gebildete Sprache, die für dich rechnet und denkt’, en die formulering maakt het duidelijk welk een krachtige steun het Griekse wiskundige denken zich heeft onthouden toen het zich voor zijn redeneringen steeds door is blijven bedienen van de woordtaal alleen.

We zijn nu met het aangeven van althans één mogelijke oorzaak voor de begrensdheid der Griekse wiskunde een trede beneden de oppervlakte der feiten gekomen; bestaat er kans nog een stap verder omlaag te gaan en de vraag te beantwoorden hoe het komt dat het vermogen tot symbolische voorstelling van mathematische begrippen en redeneringen bij de Grieken zo weinig ontwikkeld is gebleven? Die stap zal, zo zij al uitvoerbaar is, met grote voorzichtigheid dienen te geschieden en het is dan ook slechts als een bescheiden bijdrage tot een meer volledige beantwoording der gestelde vraag, dat ik op een intern mathematische omstandigheid wil wijzen die het ontstaan van die bijzondere symboliek die wij in onze letter-algebra toepassen, bij de Grieken, gesteld dat het gronddenkbeeld ervan ooit is opgekomen, op een voor ons zeer verrassende wijze zou hebben moeten belemmeren. Zij bestaat hierin dat de letters van het alfabet al in beslag waren genomen voor het cijferschrift; hiervoor was namelijk het zogenaamde alfabetische systeem in gebruik waarin de getallen een tot tien, de tientallen en de honderdtallen elk door een afzonderlijke letter worden aangegeven. Als men echter de letters al gebruikt heeft om bepaalde getallen te schrijven, kan men er niet nogmaals een beroep op doen om de onbepaalde getallen voor te stellen die de algebra nodig heeft. Een Grieks wiskundige zou in (α + β) nooit iets anders hebben kunnen lezen dan (1 + 2).

 

We moeten ons er nu echter voor hoeden in de tot dusver in het oog gevatte eigenaardigheid der Griekse wiskunde de enige oorzaak van belemmering van

haar groei te zien. We komen een tweede op het spoor wanneer we nagaan in welk opzicht de moderne wiskunde in de eerste fase van haar ontwikkeling zich van de Griekse nog meer onderscheidt dan door de toepassing van de algrebra op meet- en rekenkunde. Onmiddellijk trekt dan de belangrijke tak van het wiskundig denken de aandacht die in de zeventiende eeuw door behandeling van het snelheidsbegrip in de mechanica en van het raaklijnprobleem in de meetkunde tot de invoering van de differentiaalrekening heeft geleid. Daardoor toch werden allerlei gedachtengangen die in de Griekse wiskunde tot stilstand waren gekomen weer in beweging gesteld, terwijl er tal van gebieden door werden ontsloten die de Grieken nooit hadden betreden. Het raaklijnbegrip dat in de Griekse leer der kromme lijnen weliswaar was ingevoerd en tot op zeker hoogte ontwikkeld, maar dat men toch nooit in volledige algemeenheid had weten te doorgronden, werd nu eerst volkomen doorzichtig gemaakt en vatbaar voor rekenende methoden. Het integraalbegrip van Archimedes, plotseling op verrassende wijze in verband gebracht met het grondbegrip van de differentiaalrekening, bleek vatbaar voor een algoritmisering, die de toepasbaarheid ervan sterk verhoogde. En naast de mathematische statica groeide als tweede fundament voor de wiskundige behandeling der natuurverschijnselen de wiskundige leer der beweging, die zich bij de Grieken nooit boven het geval van eenparigheid had kunnen verheffen; welke omstandigheid, naast de onvoldoende ontwikkeling van empirische methoden, het tot stand komen van een Griekse natuurwetenschap van enige omvang heeft belet.

Hier trad voor het eerst het wiskundig denken voor goed buiten de Griekse gezichtskring waarin een algebra nog denkbaar zou zijn maar een differentiaalrekening nauwelijks. In de Griekse wiskunde was geen plaats voor de mathematische behandeling van de verandering; zij ziet op grond van haar samenhang met de wijsgerige opvattingen van Plato de wiskundige vormen als eeuwig en onveranderlijk; ze kan de raaklijn aan een kromme slechts beschouwen als rechte die één punt op en alle andere binnen een zekere omgeving daarvan aan dezelfde zijde der kromme heeft, niet als rechte die de (veranderlijke) richting in elk punt bepaalt; ze kan bewegingen slechts behandelen wanneer ze eenparig zijn, omdat ze dan, zoal niet actu dan toch potentia, eeuwig mogen heten.

De geschetste karaktertrek der Griekse wiskunde verklaart tot aanzienlijke hoogte nog een ander in het oog springend verschil waardoor zij zich van de moderne onderscheidt, namelijk het ontbreken van het algemene begrip van de functionele afhankelijkheid tussen twee grootheden. Want het moge waar zijn dat voor dat begrip het denkbeeld van verandering niet volstrekt nodig is omdat men met een wederzijdse toevoeging van waarden uit twee verschillende systemen kan volstaan, en dat zelfs in het begrip van de continuïteit niets zit van het vloeiende dat de aanschouwelijke voorstelling eraan verbindt; dit neemt niet weg dat voor de praktische behandeling van het functiebegrip de

aanschouwelijke voorstelling van een grootheid die in afhankelijkheid van een onafhankelijk veranderlijke grootheid zelf verandert, van de hoogste heuristische waarde is; voor die voorstelling is echter in het strenge wiskundige denken der Grieken geen plaats. Zij missen het vermogen dat de moderne wisen natuurkunde tot zo grote virtuositeit hebben ontwikkeld, namelijk volmaakt streng gedefinieerde begrippen aan te duiden met woorden die aanschouwelijk klinken en nu van de suggestie van die aanschouwelijkheid te profiteren om de weg te vinden in het wijde land der abstractie. In het bijzondere geval der functionele afhankelijkheid krijgt hun wiskunde daardoor iets stars en stroefs. De symptomen der analytische meetkunde drukken wel uit welke betrekking er tussen abscis en ordinaat van elk punt van een kromme bestaat, maar de kromme wordt niet beschouwd als te worden beschreven door een punt met continu veranderlijke abscis. Zulk een voorstelling treedt slechts op wanneer een kromme mechanisch door combinatie van bewegingen wordt voortgebracht, maar in die gevallen is ze juist onvatbaar voor de methoden der Griekse oppervlakterekening, die in het bijzonder voor krommen van de tweede graad bestemd zijn. En het is tekenend dat, hoewel in hun projectieve meetkunde wel de invariantie van de dubbelverhouding van vier punten op een rechte bij centrale projectie op een andere rechte wordt bewezen en de voorwaarde voor perspectieve ligging van twee puntviertallen op verschillende dragers wordt afgeleid, van projectieve toevoeging van twee puntreeksen (of stralenbundels) niets blijkt, zodat ook van een projectieve voortbrenging van de kegelsneden geen sprake is.

Overigens hangt het ontbreken van de functionele beschouwingswijze natuurlijk ook weer samen met het gemis aan een symbolische algebra. Om functies te kunnen beschouwen moet men ze kunnen uitdrukken en de geschiedenis leert zelfs dat de beschouwing ervan eerst ten gevolge van de algebraïsche uitdrukking is ontstaan.

 

In het bovenstaande zijn enkele oorzaken van intern-mathematische aard opgesomd die tot op zekere hoogte begrijpelijk kunnen maken hoe het mogelijk was dat de Griekse wiskunde lang voor de voltooiing van de tijd van haar beoefening de grenzen van haar ontwikkeling bereikte. Ze deed dit, om het nog eens kort samen te vatten, niet omdat ze haar onderwerp had uitgeput, maar omdat ze als gevolg van eenzijdigheid in haar denk- en uitdrukkingswijze de wegen niet kon vinden waar langs ze verder moest gaan en ook had kunnen gaan. Eerst na de overwinning van die eenzijdigheid in de Indische en Arabische wiskunden kon door synthese van de daarin gevolgde methoden met de Griekse de moderne wiskunde ontstaan.

Het zal wel nauwelijks betoog behoeven dat in de gegeven beschouwingen de principiële verschilpunten tussen Griekse en moderne wiskunde niet volledig zijn aangegeven. Niet vermeld is onder meer dit belangrijke punt dat het meetkundig denken der Grieken altijd gebonden is gebleven aan de

fysische eigenschapen der ervaringsruimte, waardoor hun geometrie nooit meer geworden is dan een geaxiomatiseerde fysica van de metrische eigenschappen der vaste lichamen, terwijl de moderne wiskunde naar willekeur een veelheid van geometrieën in ruimten van eigen schepping voortbrengt. En hiermee hangt weer een verschil in opvatting van het woord axioma samen, dat voor de Grieken een evident inzicht duidt, terwijl het voor ons de betekenis van een bestanddeel van een impliciete definitie heeft. Voor de beantwoording van de vraag waaraan dit opstel gewijd is komt de beschouwing van dergelijke verschilpunten echter niet in aanmerking. Want die vraag was niet deze òf de Griekse wiskunde van de onze verschilt; dat staat buiten twijfel; waar het om ging was ten eerste dit: of men mag zeggen dat zij zo van de onze verschilt als in een mensenleven de jongen een andere is dan de volwassen man, die dezelfde persoonlijkheid is gebleven maar die zijn eigen jonger ik ver te boven kan zijn gekomen in fysieke en psychische ontwikkeling; en het doel was vervolgens, in te zien waardoor de vreemde stagnatie die er na veelbelovende jeugdjaren plotseling in de ontwikkeling bleek op te treden, veroorzaakt kon zijn. Ik hoop aannemelijk te hebben gemaakt dat men tot de beschouwing der beide wiskunden als fasen van eenzelfde groeiverschijnsel enig recht heeft en voorts althans de voornaamste oorzaken voor de groeibelemmering, voorzover deze van intern-mathematische aard zijn, te hebben aangegeven.

 

Natuurlijk zullen er ook wel factoren van externe aard hebben meegewerkt. De klassieke spreuk ‘primum vivere, deinde philosophari’ herinnert er aan dat ook in de Oudheid de beoefening van de wetenschap niet steeds beschouwd kan worden zonder verband met de vraag hoe haar beoefenaren in hun levensonderhoud voorzagen. De gedachte aan Plato, docerend in de Olijvenhof, de Akademeia, aan Aristoteles, rondwandelend met zijn discipelen, kan weliswaar de voorstelling wekken van een idyllisch amateurisme van materieel onbezorgde geleerden; op den duur zal echter toch wel de vraag of een bepaald vak in voldoende mate werd bestudeerd, niet zelden afhankelijk zijn geweest van de andere vraag of die bestudering door de samenleving om praktische redenen werd verlangd en of de maatschappelijke toestanden van dien aard waren dat men een voldoend aantal geschikte personen in staat kon stellen zich aan haar te wijden. De vorstelijke geste der Ptolemaeën, die te Alexandria het Mouseion stichtten en in stand hielden, heeft ongetwijfeld een even grote dienst aan de wetenschap bewezen als in de zeventiende en achttiende eeuw de instelling van de grote Europese academies gedaan heeft. Of echter in de latere eeuwen er enige andere noemenswaarde uitwendige prikkel tot de studie der wiskunde heeft bestaan dan er gelegen was in de betekenis die zij als propaedeuse voor de wijsbegeerte en als hulpmiddel voor de astronomie bezat, mag zeer twijfelachtig heten.

Intussen weten we van dergelijke invloeden nog te weinig af om er bij de studie der wetenschapsgeschiedenis ernstig rekening mee te houden, zoals

ook de zo vaak als vaststaand aangenomen samenhang tussen haar en de politieke geschiedenis nog veel te vaag is om er iets meer dan een mogelijk programma van toekomstig onderzoek in te kunnen zien.

Zodat het voorlopig nog maar het veiligst lijkt zich bij de beschouwing van de historische ontwikkeling der wiskunde tot de zuiver-mathematische factoren waardoor die ontwikkeling beïnvloed kan zijn te bepalen en zich daarbij bewust te blijven van het hopeloze van de taak een stuk verleden ooit in waarheid te doen herleven.


Vorige Volgende

Over het gehele werk

auteurs


Over dit hoofdstuk/artikel

landen