| |
| |
| |
De ‘absolute’ meetkunde.
Eene les van zuivere rede voor beoefenaren der wetenschap.
Volgens Kant in diens Kritiek van Zuivere Rede, B 204, spreekt de stelling, dat tusschen twee punten niet meer dan ééne rechte lijn mogelijk is, eene bepaaldheid uit van zintuiglijk inzicht a priori, evenals volgens hem, t.a. p. 41, de stelling, dat de ruimte niet meer dan drie áfmetingen heeft, verbonden is met het bewustzijn harer noodzákelijkheid, - waarmede dan een onderscheid tusschen werkelijke verbeelding en ware of begrijpelijke noodzakelijkheid nog niet is opgesteld, veel min weer opgeheven. Kantisch criticisme is ondoordacht criticisme. Kant rekent de beide genoemde stellingen niet tot de voorloopig en zelfs doorloopend betwistbare omschrijvingen, bepalingen of definities van bespreekbaarheden, maar tot de onweersprekelijkheden of axiomata, zeggelijkheden,
| |
| |
waarover men niet in bespreking treedt met tegensprekers, woordverbindingen, die niet te verdedigen zijn als waren zij nog te bewijzen, onbewijsbaarheden, waarvoor men zonder verder nadenken instemming vorderen en verwachten mag. Wie ‘axiomata’ uitspreekt, uit ondoordachtheden met den wensch, te haren aanzien van vragen der nadenkendheid verschoond te blijven, en zoo heeft ook Kant in de beide aangehaalde ‘axiomata’ ondoordáchtheden geuit; men had er, vond hij, verstandigerwijze in het geheel niet over te redeneeren, alsof ze zich bijgeval eerst nog eens in twijfel lieten trekken.
Maar Kantische ondoordachtheid blijft ondoordachtheid van criticisme, en Kant zegt ook, t.a.p. 761, dat er voor wijsgeeren geene axiomen zijn. Het zuiver verstandige, het verstandige zonder meer, is dan ook als eenheid zonder verschil en in het afgetrokkene slechts eenheid zonder zin, dat is het werkelijk zinledige; een zin met inhoud is eenheid van het verschillende, die zich van verschillende zijden laat opvatten, om zoo dan al naar gelang van de strekking des oogenbliks te worden toegegeven of ontkend; een zin met zin laat zich weerspreken. Onweersprekelijkheden worden niet geuit, zelfs niet wanneer men zegt, dat tweemaal twee vier en een hoogleeraar een hooggeleerde is, al zal men beide zeggelijkheden
| |
| |
redelijkerwijze en fatsoenlijkerwijze onweersproken laten. Wat moet men niet al onweersproken laten, zonder dat het onweersprekelijk is? En zoo zijn er ongeteld veel axiomen, beweringen, waarvoor instemming wordt gevorderd, die - niet onvoorwaardelijk is verschuldigd, gelijk zich omgekeerd laat zeggen, dat de menigte van gezegden, waarmede een redelijk wezen vrede heeft, in waarheid en werkelijkheid onbepaald en onbeperkt is. Axiomen zijn er niet en er zijn oneindig véél axiomen, al naar men het neemt en niet neemt; ieder gezegde, waarin meer wordt gezegd, dan dat een os een os of een ezel een ezel is, stelt aan de eenheid van het onderwerp het verschil en de verscheidenheid, die niet ononderscheidenlijk of zuiver en zonder meer hetzelfde is, maar aan bedoeld verschil geschil of beredeneerde oneenigheid kan doen ontstaan, al zegt de rede honderdmaal, dat de zin van den zin op zijne wijze in de rede ligt, of door de rede was medegebracht, om zoo dan in wisselende verscheidenheid van verschillende eenheid van zelven en voor zichzelven te spreken. Ja, reeds de opmerking, dat het gezegde het gezegde, het onderwerp het onderwerp en hetzelfde hetzelfde is, stelt met hetzelfde het verschillende gelijk; ze stelt met het eerstgenoemde het laatstgenoemde, met het vroegere het latere gelijk, en
| |
| |
is inzooverre niet ‘zuiver verstandig’, al laat zich omgekeerd weer zeggen, dat juist hierom de ‘verstandige’ zin niet zonder zin is of reden, maar ook de ‘onzinnigste’ zin niet zonder zin wordt ge uit. Alles laat zich betwisten en heeft zijnen zin, verschillenden zin; door verscheidenheid en verschil in eenheid is het, dat in de eenheid van den zin bespreekbare zin komt, en wie onredelijkerwijze zuiver verstandige stellingen of eenheden van zin zonder verschil verwacht of eischt, wie zijne instemming meent te moeten bewaren voor den zin, waarvan de zin geene aanleiding blijkt tot geschil, zal niet vinden wat hij zoekt, al mocht hij het zoeken als wiskundige. Want ook of juist de wiskunde is vol van onbestaanbaarheden, en de zuiverste wiskunde is de zuiverste onbestaanbaarheid.
Het onbestaanbare is niet het onberekenbare En allerminst het ondenkbare. Wat hier dan al aanstonds zeggen wil, dat de eenheden der stelkunde niet alleen maar ook de punten, lijnen en vlakken van de meetkunde niet bestaan en zich niettemin laten denken en bespreken, vol berekening bespreken zelfs op de wijze der voorbeeldigheid, of voorbeeldelijkheid. Het is voorbeeldig berekende gedachte, die zich uit, wanneer het heet, dat tusschen twee punten niet meer dan ééne (rechte) lijn
| |
| |
mogelijk is en twee (rechte) lijnen niet meer dan één punt kunnen gemeen hebben, waarmede dan op lijnrecht verschillende wijze eenzelfde ‘axioom’ is uitgesproken, het zoo gezegd twaalfde ‘Euclidische’ axioom, volgens hetwelk, in weerwil van alle ‘absolute’ meetkunde, in weerwil, anders gezegd, van alle meetkunde, die nooit gemeten heeft of meten zal, zich verder ook laat zeggen, dat twee rechtschapene lijnen geene ruimte insluiten. Want de rede leert en figura toont, dat het verschillende op zijne wijze hetzelfde mag heeten, en hier vereenigt of hereenigt zich het verschillende tot hetzelfde in den zin, of tot den zin, dat aanschouwelijke vereeniging of insluiting en synthesis onmiddellijk en rechtstreeks een drietal van lijnen medebrengt; de opmerking van de rede, dat het vereenigende niet zonder meer het verschillende en zoo in derden aanleg hetzelfde is, geldt voor de stomste verbeelding rechtstreeks in de aanschouwelijkheid, dat er tot insluiting meer dan twee punten of lijnen, dat hiertoe onmiddellijk en voorloopig drie punten en lijnen van noode zijn. Zoo vereenigt zich de stelling omtrent de twee punten en de eene lijn met de daarvan verschillende omtrent de twee lijnen en het eene punt tot eenzelfden, beiden vooronderstellenden, zin betreffende drie punten en drie lijnen; waar
| |
| |
vereeniging of synthesis wordt gedacht, wordt allereerst drieëenheid gedacht, en de verbeelding, die zich ‘insluiting’ voorstelt, stelt zich rechtstreeks of lijnrecht vereenigend aan drie punten drie puntverhoudingen of lijnen voor.
Drie punten weliswaar zijn op zichzelve nog niet drie lijnen. En de driehoek, die voor de verbeelding bereids met drie punten is gegeven, is daarmede weer niet gegeven, inzooverre men aan twee of drie punten ééne (rechte) lijn, of aan het derde punt niet meer dan eene twééde lijn voor de verbeelding heeft. Verbeeldt men zich aan het derde punt slechts eene tweede lijn, dus ook geene gemeenschap of zoogenoemde ontmoeting en snijding van beide lijnen in een vierde punt, dan komt de verbeelding niet tot eenen driehoek, maar blijven de lijnen zelfs eenvoudig verschillende of over en weer afgezonderde en buiten elkander gestelde grootheden, wat niet wegneemt, dat in dit geval juist aan eene derde lijn voor de verbeelding kan worden gebracht, dat de twee lijnen in alle verstandigheid van wederkeerige afzondering en zonder gemeenschap of samenkomst twee lijnen blijven. Wanneer twee lijnen met eene derde, die er doorheenligt, twee binnenhoeken vormen, wier som gelijk is aan twee rechte, hebben die twee lijnen geen punt
| |
| |
gemeen, en ze heeten dan aequidistant of evenwijdig, evenals zij ónevenwijdig zijn, wanneer zij met de derde aan eene zelfde zijde binnenhoeken vormen, wier som van twee rechte verschilt; bij voldoende verlenging aan de zijde der kleinere binnenhoeken zullen dan de beide lijnen elkander, zooals men dat noemt, ‘ontmoeten’.
Door zelfzuivering moet het verstand tot rede komen. En het verstand vrage zich hier eens in alle gestrengheid of zuiverheid, of met zulke opmerkingen het wezen van evenwijdigheden nu eigenlijk in beginsel bepááld is? Juist wanneer men hier spreekt van een parallelenaxióóm, van eene onweersprekelijkheid ‘aangaande’ evenwijdigheden, moet men zich leeren zeggen, dat men nog niet heeft gezegd, of om te beginnen hád gezegd, waarover men het heeft, of had, of zoude hebben, dat men niet eer men begon van die evenwijdigheden eene omschrijving, bepaling of definitie heeft gegeven; eene definitie is verstandig (of onderscheidend) gesproken nog iets anders dan een axioom, om niet te spreken van het theoreem, dat in de stelling aangaande evenwijdigheden alreeds door Próklos is gezien. Want Proculus Diadochus heeft geweten, dat het elfde Euclidische axioma, de stelling zeggende, ‘wanneer’ twee lijnen evenwijdig blijken of anders elkander
| |
| |
ontmoeten zullen, eene omkeering is van het zeventiende Euclidische theorema, de bewijsbaarheid, dat in eenen driehoek de som van twee hoeken kleiner dan twee rechte is. Is de omkeering eener bewijsbaarheid eene onwraakbare onbewijsbaarheid en eene onbewijsbaarheid eene bevredigende omschrijving of bepaling? Heeft men allereerst de definitie gesteld, wanneer men het axioom heeft gesteld, dat bij verkeering of omkeering uitloopt op een theoreem? Edoch, het parallelenaxioom heeft de verdenking gewekt, dat het behoefte heeft aan bewijs, zonder dat men het zich door en door duidelijk maakte, dat men hier aan het redeneeren was, aleer de rede om te beginnen bepaald had, waarover zij het eigenlijk zoude hebben; had men allereerst het mogelijke gedaan, om streng en zuiver verstandig te zeggen, wat men met lijnen en wel ‘evenwijdige’ lijnen bedoelde, had men van evenwijdigheden om te beginnen ter dege de definitie gezocht, men had aan het begin het beginsel moeten vinden, dat hier aan axioom en theoreem tot wiskundige wanwetenschap leidt, zonder dat men daarmede kwam tot onnoozele wáánwetenschap. De kans- of waarschijnlijkheidsrekening is als toevalligheidsvernoodzakelijking of onzekerheidsverzekering en onberekenbaarheidsberekening eene
| |
| |
wiskundige wanwetenschap, maar daarom geene wáánwetenschap, en de geheele natuurwetenschap is met verlof gesproken de wanwetenschap zelve, de redeneering van de rede, de ‘logische’ rede, over het ándere, het verkéérde, al kan de natuurgeleerde aan zijne denkbaarheden, waarneembaarheden en begrijpelijkheden buiten de waanwetenschap even goed blijven als de gódgeleerde, zoo hij slechts aan geen ‘bestaan’ van de Natuur gelóóft. Wie echter gelooft aan een bestaan, is vol van waan, en wie op de gedachte komt, dat het elfde Euclidische axioom geene onwedersprekelijkheid en daarom - te bewijzen is, om hierop dan te laten volgen, dat dus de ruimte wel eens wat men zoo noemt ‘sphoerisch’ of zelfs ‘pseudosphoerisch’ in meer dan drie afmetingen konde zijn, is aan deze gevolgtrekking tot onnoozele wáánwetenschap vervallen. Zijne verbeelding weliswaar heeft zich niet laten bepraten, die is voor verstandige domheid veel te stom; zijn verstand echter gewaagt dan van de mogelijkheid eener ontmoeting om den hoek, waar de ruimte ongezien een bocht heeft, waarmede de ontoonbaarste en onmogelijkste aller denkbaarheden tot aangelegenheid van berekenbaar bestaan gemaakt is in den geest van waanwijze geloovigheid.
* * *
| |
| |
Tegenstrijdigheid in het logische punt van uitgang der ‘Euclidische’ of werkelijke meetkunde valt zeer zeker te erkennen. Maar dat is in het algemeen gesproken niets bijzonders; de zelfweerstreving der werkelijkheid maakt van de zuiverste redelijkheid eene begrijpelijke zelfweerspreking. Tegenstrijdigheid heet in de verstandige of zich innerlijk onderscheidende rede het als geschil gedachte verschil harer eigene eenheid. En wie over lijnen, evenwijdige lijnen, axiomen en theoremen wil opstellen, daartoe allereerst zich vragende, wat men met ‘lijnen’ en met ‘evenwijdigheden’ moet bedoelen, wat lijnen en evenwijdigheden zijn, hij dus die van lijnen en evenwijdigheden om te beginnen eene bepaling of definitie wil geven, zoekt verschil aan eenheid en eenheid van het verschillende, dat geene eenheid zónder verschil, geene identiteit zónder differentie kan blijken; hij zoekt niet-identieke identiteit. Men noemt de gestrektheid eener lijn in de meetkunde hare ‘richting’, om van hare eenheid het verschillende te stellen, dat hare bespréking mogelijk maakt, maar komt hiermede dan al aanstonds tot de strekking of gestrektheid zonder snelheid, die als richting niets te beteekenen heeft; men voorkomt in dezen wat men voorbereidt, een begrip aannemende uit de bewégingsleer. Zoo laat zich van te voren denken, dat niet zonder onver- | |
| |
stand en zelfweerspreking de richting ook van evenwijdige lijnen besproken wordt. En inderdaad, vraagt men zich, of evenwijdige lijnen lijnen van dezelfde dan wel verschillende richting zijn, dan zal men zich moeten zeggen, dat twee lijnen twee richtingen hebben, dat zich geene verschillende lijnen zonder verschillende richtingen laten denken, en meteen heeft men weer in en voor zijne verbeelding, dat het verschil van richting aan evenwijdige lijnen niets te beteekenen heeft. Want vermeerdering of
vermindering van beider wijdte of afstand brengt het niet mede; het verschil van richting aan evenwijdige lijnen is niet noemenswaard, en evenwijdige lijnen blijven evenwijdige lijnen, - aldus ten slotte weer het tautologisch onderscheidende of zuivere verstand. Tracht nu weer de rede te zeggen, dat evenwijdigheden iets zijn, iets anders zijn, maakt zij ‘evenwijdigheden’ tot onderwerp van een gezegde, waarin wat anders of wat meer dan ‘evenwijdigheden’ wordt gezegd, gewaagt zij op nieuw van hare strekking of richting, om die als enkelvoud aan evenwijdig meervoud te bespreken, dan moet ze hoorbaarheid geven aan het inzicht of aanschouwelijke besef, dat de richting van evenwijdigheden dezelfde blijft en toch verschilt, gelijk ze verschilt en toch dezelfde blijft; zeer verstandig
| |
| |
spreekt hierom in Windelbands geschiedenis der oude wijsbegeerte de Münchener hoogleeraar S. Günther van de in het parallelenaxioom ontegenzeggelijk schuilende ‘aporie’.
Wanneer zelfweerstreving en zelfweerspreking bedenkelijkheden zijn, schuilt er bedenkelijkheid in alles, alles, wat zich laat bespreken, waarmede dan echter de aanschouwing, de voorstelling of de verbeelding, die de rede in haar en over haar doet spreken zooáls ze spreekt, nog niet tot eene onredelijke, redelooze en ‘onlogische’ verbeelding is gemaakt. Men mag de werkelijkheid onzer verbeelding absoluut wiskundig voor een ‘geval’ verklaren van de berekenbare denkbaarheid, maar de ware verbeelding blijft met de ware en werkelijke denkbaarheid vereenigd. En de verbeelding, waarmede soms de rede zegt, dat bij vooronderstelling van twee punten of eene lijn door een derde punt buiten die lijn niet meer dan ééne evenwijdige lijn gaat, is geene verbeelding van redelooze en onzinnige dingen, maar van beredeneerde en zinrijke ondingen, verbeelding van de rede zelve, de redelijke of logische verbeelding, al laat zich hier terstond eene allerverstandigste op- of aanmerking maken. Want, laat zich vragen, hoe zal door het derde punt eene evenwijdige lijn gáán? Hoe zal eene lijn
| |
| |
zonder meer heelemáál gaan? Eene lijn is eene grens en de grens is nergens; eene lijn bestaat niet, staat niet en gaat niet. De meetkunde, men kan het zich niet te duidelijk maken, is potentialiteit of onontwikkeldheid van mechanica, voorbereiding van bewegingsleer, en ze moet hierom medebrengen wat zij op zichzelve niet bespreken kan, - bewééglijkheid. En eene lijn is eene ingebeelde strakheid, die in hare onvoelbaarheid en onzichtbaarheid als richting zuiver meetkundig voorloopig niets te beteekenen heeft, en dus ook nergens heeft te kómen; de lijn van de meetkunde is onbeweeglijk, en vervolgt dus allerminst een ‘doel’. Niettemin heeft in zijn ‘Systeem van Logica’ (3:24, 7) John Stuart Mill geschreven, that parallel lines ‘pursue’ the same direction; woordelijk heet het daar, dat ‘the meaning of parallel lines is lines which pursue exactly the same direction’. Wij vragen hier niet meer: are they moving? Moving in the direction of the same point, there to meet? Het spreekt van zelf, dat de evenwijdigheid van lijnen een geval is, waarin bespreekbaarheden elkander niet ontmoeten, al is het niet ontmoeten met evenwijdig zijn niet ononderscheidenlijk één; J. St. Mill maakt op de aangehaalde plaats dan ook de opmerking, dat ‘if to be in the same plane’ - waarvan intus- | |
| |
schen bij lijnen voorloopig nog niet gesproken wordt, of hééft te worden, - ‘if to be in the same plane and never to meet were all that is meant by being parallel, we should feel no incongruity in speaking of a curve as parallel to its asymptote.’ Wat dan van evenwijdigheden met verstand te zeggen? Het verstand is niet alléén in de wereld, en moet tot rede komen, om te leeren geven en nemen, wat hier dan zeggen wil, dat het moet
leeren inzien, hoe onmogelijk een zuiver of uitsluitend verstandig spreken ook over evenwijdige lijnen is. Want het is niet eens volmaakt verstandig, te zeggen, dat evenwijdigheden overal evenwijdigheden zijn en blijven, omdat ze nergens en allerminst dus overal zijn, zoodat zij ook niet overal evenwijdig zijn; geeft men niettemin toe, dat zij ergens zijn in de verbeelding, dan zijn ze toch daar, waar zij een einde nemen, zonder wijdte of afstand, en waar ze niet zijn te denken ook niet als evenwijdigheden te denken. Maar zijn ze dan ergens meer of minder wijd van elkander, zij, de evenwijdige lijnen? Absolute negativiteit is het ware, en in waarheid laat zich zeggen, dat evenwijdigheden niet overal evenwijdigheden zijn; wie wéét wat hij zegt en dus niet meer méént wat hij zegt, zegt het in waarheid. Verkeert men echter die ontkenning in hare beves- | |
| |
tiging, dan komt de in hare waarheid schuilende onwaarheid stellig voor den dag; meent men te moeten zeggen, dat evenwijdigheden ergens dus wel iets anders dan evenwijdigheden zullen zijn, dan vervalt men tot stellende en stellige wáánwetenschap, al laat zich zulke waanwetenschap planmatig zelfs berekenen. De absolute meetkunde is dan ook zeer in eere bij vele ‘wetenschappelijke’ menschen, die niet wijs zijn, menschen, die aan bestaanbaarheden in Nergenshuizen ‘wetenschappelijk’ gelooven in den geest der nieuwerwetsche geestenzienerij; een absoluut meetkundig mensch is de onwillekeurige geestverwant en bondgenoot der spiritisten.
Geschiedkundig gesproken heeft zich aan pogingen om van het elfde Euclidische axioom een theoreem, van eene zoogenaamde onweersprekelijkheid eene bewijsbaarheid te maken, eene absolute wiskundigheid ontwikkeld, die op zichzelve nog niet is wáánwetenschap, maar enkel rekenend leuterende wánwetenschap, een beuzelend en toch weer wetenschappelijk gedoe, dat in de zelfweerspreking wortelt, waarmede de rede moet gewagen van eene richting aan verschillende maar evenwijdige lijnen. Evenwijdige lijnen zijn lijnen van dezelfde en toch verschillende richting; aldus het logische uitgangspunt van redeneeringen,
| |
| |
waaraan menigeen zoolang heeft gedaan, tot hij in den waan is geraakt, dat ergens op eenen afstand waartoe hij in zijne verbeelding niet komen kan, de evenwijdigheden positief wat anders zijn dan evenwijdigheden. De ‘absolute’ of van de wijs geraakte meetkunde namelijk, van de ‘Euclidische’ een bijzonder geval makende, leert alsnu: Wannéér evenwijdige lijnen nergens een punt gemeen hebben, - wannéér dus evenwijdigheden evenwijdigheden zijn, - is de som der hoeken in eenen driehoek aan twee rechte gelijk en geldt in werkelijkheid de meetkunde, waartoe wij menschen in ‘onze’ verbeelding komen; hebben zij ergens een punt gemeen, dan is die som gróóter en de ruimte in werkelijkheid ‘sphaerisch’; terwijl, ingeval zij ergens twee punten gemeen ‘mochten’ hebben, die mogelijkheid zich verkeert en omkeert, de som der hoeken in eenen driehoek kleiner dan twee rechte en de ruimte in werkelijkheid ‘pseudophaerisch’ wordt.
Zoo denkt men wiskundig waarheid zonder werkelijkheid en werkelijkheid zonder waarheid. Zoo maakt men in berekenbare wanwetenschap van de ruimte eene zakelijkheid of realiteit, een ding, dat mogelijk wel bol en mogelijk zelfs hol is, terwijl ze niets is dan mogelijkheid van verbeelding, de natuurlijk geestelijke verbeelding, in drieëenheid
| |
| |
van denkbare, aanschouwelijke en begrijpelijke welbekendheid als het bedenkelijke of onbegrijpelijke andere en vreemde voorgesteld. En werkelijk is de ruimte een onding; de ruimte onzer verbeelding is zelfs het ware en wérkelijke onding, en de werkelijk vreemde of onbekende ruimte - doet niet mede, allerminst als het voorwerp van de ware wetenschap. De wetenschap, waarin andere dan de bekende of kenbare ruimteverhoudingen besproken worden en berekend, is eene futiliteit, eene wiskundige beuzelarij; bovendien wordt zulke wanwetenschap tot waanwetenschap, zoodra men gaat meenen of gelooven, dat de ruimte werkelijk wel eens ‘iets anders’ konde zijn dan de ruimte onzer ondervinding, zoodra dus hier de afgetrokkene denkbaarheid, bespreekbaarheid en berekenbaarheid eener bolle of holle ruimte van meer dan drie afmetingen als eene mogelijke záák wordt gedacht. In 1897 heeft schrijver dezes laten drukken, dat de absolute meetkunde weinig nut had en tot nog toe hoofdzakelijk slechts bevorderlijk geweest was aan phantasterijen. En in 1898 heeft in Amsterdam de heer W.A. Wijthoff bij eene absoluut wiskundige dissertatie de stelling gevoegd, dat het totnogtoe niet als voldoende vaststaande - váststaande! - konde worden beschouwd, dat voor
| |
| |
de ruimte, waarin wij ons bevinden, de Euclidische meetkunde geldt. Wat in weerwil van alle rekenkunst, door den genoemde en anderen aan het door hen bedachte ‘absolute’ ten koste gelegd, slechts een voorbeeld is geweest van het gemak, waarmede bij gebrek aan de rechte logische geoefendheid eene op zichzelve onschuldige en slechts beuzelachtige wanwetenschap tot wáánwetenschap verloopt. Heeft echter toen de absoluut wiskundige schrijver de stelling laten drukken, dat het minachtende oordeel van schrijver dezes over de niet-Euclidische en absolute meetkunde op onjuist inzicht in die meetkunde berustte, dan zal te erkennen zijn, dat schrijver dezes twaalf jaar geleden niet alles had begrepen wat hij nu begrijpt, zonder dat toch het geloof aan de ‘zakelijke’ mogelijkheid eener ‘niet-Euclidische’ ruimte iets beters wordt dan waan, een waan, die nog minder is dan verbeelding, een waan, in strijd met alle werkelijke en ware ondervinding.
Leiden, Augustus 1910.
G.J.P.J. Bolland.
|
|