Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis- en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden

[p. 196]

BOUWSTOFFEN VOOR DE GESCHIEDENIS der WIS- EN NATUURKUNDIGE WETENSCHAPPEN IN DE NEDERLANDEN. door D. BIERENS DE HAAN.

XI. De Logarithmen van Dirk Rembrants van Nierop, J. Wolfram, W.O. Reitz, K.K. Reitz en D. Klinkenberg.

1. In N^o. I dezer Bouwstoffen hebben wij reeds gezien, dat ezechiel de decker in zijne ‘Nieuwe Telkonst’ eene logarithmentafel heeft gegeven in 8^o., eene zoogenaamde kleine tafel; en dat daarop de kleine tafels van adriaan vlack, met al haar verschillende herdrukken, zijn gevolgd. De eerste Hollandsche logarithmentafel, die wij daarna ontmoeten, is eene van dirk rembrants van nierop. Reeds uit dien hoofde zoude zij onze aandacht verdienen, maar ook wegens andere redenen is zulks het geval.

Dirk rembrantsz. van nierop werd in 1610 te Nierop geboren, en overleed aldaar 4 November 1682; hij was schoen-maker van beroep, maar heeft vele werken geschreven over sterre- en zeevaartkunde; en in die richting zullen wij hem later nog wel ontmoeten. Hier hebben wij alleen te maken met zijne ‘Logarithmus Tafelen van Sinus, Tangens en Secants¹⁾, in 1671, in 8^o.’ uitgekomen. Op den titel leest men dat deze tafels ‘op nieuws uitgewerkt’ zijn door rembrants van nierop: in verso van den titel vindt men zijn ‘Aen den Leser’, waarin hij verhaalt, wat tot deze uitgave aanleiding heeft gegeven.

1) * Logarithmus || Tafelen || van || Sinus, Tangens, en Secants; || En het gebruik des zelfden in kloot- || sche driehoeken. || Waer door meest alle Astronomische vraeg- || stucken/ door simpele additie en sub- || stractie, konnen opgelost worden. || Met een heel klaer en bescheidelik onderwijs, ]] en eenige aerdige Voorbeelden verçiert. ]] Op nieuws uitgewerkt door || Dirk Remtbrants van Nierop, || Liefhebber der Mathematische konsten. || vignette || Gedrukt tot Harlingen, || By, Hero Galama, Boeckverkoper. in 8^o.
In verso van den titel een ‘Aen den Leser’ waaruit blijkt, dat dit boekje in 1671 werd uitgegeven. Dan komt de ‘Eygenschap deser Tafelen (bladz. 1,2), Verscheyden voorvallen op de kloot- || se driehoecken’ (blz. 2-25), ‘Scheeve Klootsche Driehoeken’ (blz. 25-36). Op bladz. 37 (zonder paginatuur) een ‘'t Besluyt.’
Op bladz. 38 beginnen de tafels zonder eigen titel. Zij gelden voor ieder minuut met 6 mantissen: (180 bladzijden zonder pagineering).
Na eene witte bladzijde vindt men
‘De Drukfauten die in deze Logarithmus || Tafelen ingeslopen zijn/ bestaen in twaelef || cijfers-lettertjes/ welke de Liefhebbers/ in 't || Werckjen/ aldus gelieven te verbeeteren:’ (10 fouten).

[p. 197]

‘Dese Tafelen zijn volgens de Copye van Ezechiel || de Decker, op 't aangeven van zeker reeken- || meester, gedrukt, die zijn voornemen was, om hier || een onderwijs, met eenige voorbeelden, op te maken: || doch de saeke aldus niet uytvallende, om oorsake van || de kortheyt van 's menschen leven, zo ist dat ik om || dese reden hier toe versocht zijnde, het niet hebben kon- || nen laeten, om dit zelfde by der handt te nemen, || waar in dat ick de beginselen der klootsche driehoeken, || om uyt te werken (mijns oordeels) heel klaer en be- || scheydelijk hebbe voorgestelt, altoos zo veel alst op || dese tijt heeft willen gevallen. Waar mee wenschen- || de dat dit by veele mochte aengenaem zijn, ende haer || in desen oeffenende tot beter voortgank (als voor desen) || mochten geraeken. Desen aldus gerecommandeert la- || tende voor alle liefhebberen dezer konst, maeke dit tot || een eynde, in 't jaer na Christi geboorte, 1671. doen || de sonne noch weynigh treden in de ram gedaen had- || de: en hier mee hope te zijn en te blijven UE. dienst- || willige || dirk rembrantsz.’

Het blijkt dus, dat de tafels van de decker van 1626, niet de betere van vlack, tot grondslag hebben gediend; deze tafel geeft dan ook zes decimalen Het is wel eenigszins bevreemdend, hier op eens, bijna eene halve eeuw later, die tafels van de decker te zien opdagen uit de bijna volmaakte vergetelheid, waarin zij begraven schenen: wij zagen toch vroeger in de nummers I en III dezer Bouwstoffen, dat men ze na de uitgave niet meer vermeld zag. Nu schijnt het aan den anderen kant te blijken, dat dit boekje het eerst was opgezet door een frieschen wiskundige, - althans de drukplaats Harlingen geeft aanleiding tot dit vermoeden. Wie die wiskundige, - naar het schijnt, voor 1671 overleden, - eigenlijk is geweest, is misschien moeijelijk na te gaan. Doch zou men uit deze feiten, te zamen in verband beschouwd, misschien mogen opmaken, dat in Friesland, waar immer de wiskundige wetenschappen met groote voorliefde werden behandeld, het boekje van de decker meer opgang heeft gemaakt, dan wel in Holland? Maar, hoe dit ook zij, onze rembrantsz schijnt veel met de decker te hebben opgehad, en diens meeningen gereedelijk te hebben onderschreven.

Zoo verklaart hij in de ‘Eygenschap dezer Tafelen’ (bladz. 1, 2),

[p. 198]

wat ‘Logarithmus of reekentallen’ zijn, hoe men daarmede ‘alle regel van dryen kan uytwerken,’ en laat daarop volgen, bijna evenals de decker zegt,

Het is wel zo/ datter ook Logarithmus ge- || tallen gestelt worden/.... om daer mee.... jae alle regulen van dryen (den koop- || manschap aengaende) kan uytwerken/ ,maer || dit zo veel gereeder niet zijnde/ als wel de || gemeene manier/ daerom dat wy die laeten || varen/ en besien wat men hier meer in kloot- || sche driehoeken kan uytrechten/’

Daarop gaat hij dan ook over tot ‘Verscheyden voorvallen op de kloot- || se driehoeken,’ met hare toepassing op enkele ‘Astronomische Voorbeelden’: bladz. 2 tot 25 behandelt hij ‘de klootse driehoecken/ welcke in rechte || hoeken voorvallen/’ en bladz. 25 tot 36 de ‘Scheeve Klootsche Driehoeken’ van ieder ‘vijfderlye voorvallen’, daar hij het geval, dat alleen hoeken bekend zijn, niet behandelt. Op de volgende bladzijde, in zijn ‘Besluyt’ zegt hij.

‘Doch in || gevalle iemant meer van klootsche reekenin- || gen begeerde...., die besie A. Metius in zijn ‘Astrolabi Catho- || licum²⁾, Mr. Pieter Wils in zijn wiskonstige wer- || ken³⁾, als ook in mijn Wiskonstige Reekeninge⁴⁾. En || boven dese noch verhope dat haest uytkomen || zal, de klootsche reekeningen van Mr. Gerrit || E. Backer, in zijn leven Schoolmeester tot || Graft, waer in dat alle reekeningen van kloot- || sche werkstucken die tot noch toe, en meer || andere die noch noyt in 't openbaar geweest || zijn, die sullen daer alle klaer en onderschey- || delijck beschreven worden. || Eynde.’

De drie eerst aangehaalde werken zijn bekend. Alleen is hier het volgende op te merken. Uit bladz. 24 van het laatste werk blijkt, dat er in 1656 te Amsterdam een herdruk verschenen is van de Logarithmen van edmund wingate.

Wat den arbeid van g.e. backer betreft, men vindt wel bij de ‘Regula Cos of Algebra’ van j.r. brasser⁵⁾ te Amsterdam in 1663 uitgekomen ‘Eenige Exempelen van gerrit evertsz. backer, schoolmeester tot Gracht’ bijgevoegd, maar deze handelen niet over bolvormige driehoeken. Van deze ‘Regula Cos’ met de ‘Exempelen’ bestaat wel een tweeden druk van 1672⁶⁾, waarin men dus het door rembrantsz bedoelde werk, zoude

2) * Fundamentale onder- || wysinghe/ || Aengaende || De Fabrica, ende het veelvoudigh ghebruyck || van het Astrolabium, || Soo Catholicum, als particulier. || Beschreven || Door Adrianum Metium M.D. en̄ Professorem in de || Mathematische consten binnen Franeker. || Vignette: eene meetkundige figuur voor het construeeren van het astrolobium (zie bladz. 4) || Voor Hendrick Louwerens Boeckvercooper tot Amsterdam. || Tot Franeker, || Ghedruckt by Vlderick Balck, geordineerde Boeck- || drucker der E, H. H. Staten van Frieslandt. || Anno 1627. in 4^o.
VIII bladz. (zonder pagineering) bevatten na den titel, de opdracht ‘Aen de Edele, Erentfeste, Acht- || bare, Wyse, Voorsienighe ende seer discre- || te Heeren, de Heeren Bewinthebberen der Vereenighde ende gheoctroyeerde Oost-Indi- || sche Compaignie deser Nederlanden’ (5 bldz.) gedateerd ‘Ghegheven tot || Franeker den 5. Iulij 1627.’ Daarop een ‘Tot den goetwillighen Leser’ om het aanschaffen van een Astrolabium aan te bevelen. ‘Beminde Leser so ghij begeerigh zijt om te ver- || staen ende te genieten de vruchten van dese || onse profytelijcke ende ghenoechelijcke Leerin- || ghen; soo ist noodigh dat ghy becomt een Generale als || mede een Particuliere Astrolabium, wel perfect toe- || bereyt, welcke zijn te vereyschen by Hendrick Louwe- || rensz. Boeckvercooper in het Schrijfboeck, ende by Wil- || helmum Jansonium Caesium in de Sonwyser, beyde || wonende op 't Water, tot Amsterdam, ende worden by den || anderen seer cierlick toebereyt, in een form van een groot || boeck ofte foliant, om van 't smetten te bewaren, ende zijn seer bequaem te ghebruycken.’
Daarna een vers van pierius winsemius (2 blz.).
A-Aa (blz. 1-190) het werk in vijf deelen. Aan het einde staat: ‘Eynde deses eersten Tractaets’; waaruit blijkt dat er nog andere ‘Tractaten’ moesten volgen; men heeft dan ook den titel:
Het tweede Tractaet/ || Van de || Proprieteyten, eyghenschappen/ Solutie ende || ontsluytinghe der Sphaerische Triangulen. || Midtsgaders || Een figuerlijcke aenwysinghe, hoe door de selve alle || Astronomische ende Geographische quaestien ofte vraeg- || stucken solveert worden/ alles in drie deelen ver- ||vatet. || Door || Dn. Adrianum Metium M.D. ende Profess. ordin. || Vignette: een sphaera armillaria. ||Tot Franeker/ || (Ghedruckt by Ulderick Balck, geordineerde Boeck- || drucker der E. H. H. Staten van Frieslandt. Anno 1627. in 4^o.
In verso van den titel ‘Psal. 19, vers 1.’
Aa-Xx, bladz. 1-168. Het werk in drie deelen. Daarop de titel:
Het derde Tractaet/ || Van 't || Opmaken ende het ghebruyck des par- || ticulieren Astrolabiums. || Door || Dn. Adrianum Metium. M. Doct. ende Profess. ordin. || Vignette: een zonnewijzer. || Tot Franeker, || Ghedruckt bij Vlderick Balck, geordineerde Boeck- || drucker der E. H. H. Staten van Frieslandt. || Anno 1627.
Yy-Ddd. bladz. 1-48.

3) * Mr. Pieter Wils || VVis-konstige Wercken: || Bestaende in eenighe Meet- konstighe ende || Hemel-klootsche aenteyckeninghen, elck met hare || verklaringhen ende bewijsen. || Tot dienst van de Lief-hebberen der selver konst || t'samen ghestelt. || vignette: eene meetkundige figuur (zie bladz. 93) || Tot Amsterdam, || By thomas fonteyn, Boeck-drucker op de Nieu- || we-ziids Voorburghwal, by de Deventer Houtmarckt, in de || Ghekroonde Druckerij. 1654. in 4^o.
Na den titel de ‘Tot den Lezer’, waarin Gerard Kinkhuyzen mededeelt, dat hij die werken van zijn leermeester Pieter Wils na diens dood heeft uitgegeven. Die opdracht is gedateerd ‘In Haerlem den 28 Februarij 1654.’

A-T, blz. 1-155, bevat:

Blz. 1-5. Meet-konstighe || Vertoogken || In hoeck-lijnen, der Boogen.

Blz. 6-19. Meet-konstighe || Vertooghen. || In recht-linische Formen.

Blz. 20-63. Meet-konstigh || Passer-werck.

Blz. 64-82. Aenhangh, || Bestaende in eenige Wis-konstige stucken.

Blz. 83-92. Rekeningh || Der || Krom-streecken.

Blz. 93-152. Hemel-klootsche || Werck-stucken. || Sonder kennis der Klootsche drie- || hoecken af te veerdighen.

Blz. 153-155. Aenteyckeningh, || op de Metael-waegh.

Van dit werk bezit ik een volkomen gelijksoortig exemplaar, maar waarin als vignette voorkomt eene boekdrukkerij; en daaronder ‘'t Haerlem, Gedruckt by Thomas Fonteyn: || Voor de Weduwe van den Autheur Sal. woonende voor || aen in de Dam-straet. 1648. De ‘Tot den Leser’ is gedateerd ‘Haerlem den 12 Septemb. 1648’, maar heeft ongeveer denzelfden inhoud. Men heeft dus bij het werk van 1654 waarschijnlijk met eene nieuwe titel-uitgave te doen.

4) * Mathematische Calculatie, || Dat is, || Wiskonstige Rekening: || Leerende || Het vinden van verscheyden Hemelloopsche || Voorstellen, en dat door de Tafelen Sinus Tangents || of Logarithmus wiskonstelick uyt te rekenen: || Als oock tuyghwerckelick op een || liniael uyt te passen. || Alsmede 't beschrijven en uytrehenen der Zonwysers: || zijnde alles seer vermakelick voor de Liefhebbers deser Konst, || ende niet min gedienstigh voor Schippers en Stuurlieden. || Noch is hier by gevoeght de Wis-konstige Musyka: || waer in getoont wort de oorsake van 't geluyt, de redens || der Zangh-toonen, en verscheyden dingen tot de || Zangh en Speel-konst behoorende. || Door || het portret van den schrijver met randschrift ‘dyrck rembrantz van nierop’ en het onderschrift ‘Liefhebber der Mathematische Konsten’ || t' Amsteldam, || By Gerrit van Goedesbergen, Boeckverkooper || op 't Water/ in de Delfsche Bybel. Anno 1659. in. 8^o.
a, b, bladz. 1-31 (bladz. 32 is wit). In verso van den titel vindt men ‘Kort inhoud deses Boecks’. Dan blz. 3, 4 (zonder pagineering) de ‘inleydinge,’ blz. 5-24 ‘Onderwijs om de Tafelen van || de Logarithmus te maken. || In de Fransche Tale beschreven door || edmont wingate.’ Ten slotte (blz. 25-31) de ‘Inleydinge’ voor het werk zelf.

Dit houdt A-K, blz. 1-167; en is verdeeld in vier deelen.

Bladz. 1-56, Eerste deel... D'uytrekeninge der Drie-hoecken, || En dat soo wel recht, als || krom-lijnies.

Bladz. 57-88, Tweede Deel... Klootsche Rekeningen: || Begrijpende || Eenige werck-stucken van dese stof.

Bladz. 89-142, Derde Deel... De Beschrijvinghe der || Sonne-wijsers.

Bladz. 143-167, Vierde Deel... Eenige Vraeghstucken: || En voornamelijck || Van de Weegh-konst.

Daarop volgt het tweede boekje, met den titel
Wis-konstige || Musyka: || Vertoonende || De oorsaecke van 't geluyt, de || redens der Zanghtoonen telkonstigh uytge- || reeckent, ende het maken en stellen || der Speeltuygen. || Als mede van der ouden Musijck, en verschey- || den gevoelens der selfder: Zijnde alles seer gedienstigh || en vermakelick voor Musikanten, Organisten, || of andere Instrument-speelders. || Door || vignette: hetzelfde portret als in den vorigen titel; hetzelfde geldt voor de drukplaats en datum. in 8^o.
a-e, blz. 1-70 bevat
Inleydinge (blz. 3-6). Kort Begrijp deses Boecks (blz. 7-10)
. Daarop het werk, met twee tafeltjes ingeplakt.

5) * Regula cos, || of || algebra, || Zijnde de alder-konstrijcksten Regel om || het onbekende bekent te maken. || Ofte || Een korte Onderwijsinge/ waer in geleert werdt het Uyt- || trecken der Wortelen/ soo verre men begeeren mach. || De Spetien in || Surdische getallen. || Twee-namige getallen. || Cossische getallen. || De Vergelijckingen van ♓ ᶚ ♌ &c met Exempelen daer toe dienende. || Door || j.r. brasser, geadmitteert Lantmeeter tot Hoorn. || Noch || Is hier by ghevoeght de Geometria van Nicolaus Petri || Daventriensis, ende andere Questien van de Algebrae. || Als mede || Eenige Exempelen van Gerrit Evertsz. Backer, School- || meester tot Gracht. || Vignette: een schildpad. || t'Amsterdam, || By Gerrit van Goedesbergh, Boeckverkooper op 't Water/ aen de || Nieuwebrugh/ in de Delfsche Bybel. Anno 1663. in 4^o.
VIII bladz. bevat titel; de ‘Voorreden || tot den Konst-lievenden || Leser’ (5 bladz.); dan ‘Beteeckeninge der Characteren die wy || in desen sullen gebruycken.’

A-Nn blz. 1-286 het werk, waarvan de beide laatste bladzijden het ‘Register’ bevat.

Nn-Vv blz. 287-341 heeft tot opschrift: ‘Geometria || Van || Nicolaus Petri Daventriensis, || Ende andere questien per || Algebrae.’

Vv-Aaa blz. 342-370 ‘Geometria per Cos.’

Aaa-Ddd blz. 371-400 ‘Volgen eenige || Exempelen, || Gemaeckt door || g.e. backer, || Schoolmeester tot Graft, || Gewesene || Discipel van den voorgaenden Autheur Jacob R. Brasser || [...]ran Hoorn, dewelcke met believen en consent van den voor- || noemden Autheur hier zijn by gevoeght: || Daer van || Eenige door den Regel van Drie-en konnen werden op- || gelost; doch vallen meestendeel onder de Quadraet, Cubicq || en Cens-decens Cos: Als oock eenige onder de. || Polygonaelse vergelijckingen.

6) * Hetzelfde werk met denzelfden titel tot aan de vignette. Deze is hier eene sphaera amillaria met een engelenkop in het midden, en het bovenschrift ‘Indeo’. || t'Amsterdam, || By Jacob Volcklertsz, Boeck-verkooper/ 1672. in 4^o.
A-Ddd. bladz. 1-400, als hierboven in Noot (5).

[p. 199]

kunnen zoeken; maar deze herdruk is aan de eerste gelijk, en bevat dus het bedoelde niet: dit is mij trouwens ook nergens voorgekomen.

Na dit voorwerk bevat ons boekje de logarithmen. Er gaat geen titel vooraf; de tafels beginnen in verso van het voormelde ‘Besluyt.’

De vier kolommen op iedere bladzijde hebben tot hoofd

(het aantal graden). Sinus. Tangens. Secans.

hoewel het eigenlijk moest zijn Log. sinus, enz. Op iedere bladzijde komen dertig regels voor, geldende voor 0 tot 30 of voor 31 tot 60 minuten. Twee opeenvolgende linksche bladzijden behooren dus tot denzelfden graad: de overeenkomstige rechtsche bladzijden behooren tot het complement, en bevatte dus eigenlijk de Log. Cos., Log. Cotang en Log. Cosecans.

Deze tafels zijn dus werkelijk even zoo ingericht, als de vroeger vermelde van ezechiel de decker.

2. Ruim eene eeuw later ontmoetten wij op het terrein der logarithmotechnie den wiskundige adolf frederic marci, zie N^o. VI dezer Bouwstoffen: tevens zagen wij aldaar, hoe deze zich verdienstelijk had gemaakt in het zamenstellen van eene tafel der priemgetallen. Omstreeks denzelfden tijd vinden wij een anderen naam, dien van j. wolfram. Deze was een Nederlandsch officier en hield zich met wiskundige berekeningen bezig: hij bewoog zich in dezelfde dubbele richting als de genoemde marci, dat is, hij vervaardigde een uitgebreide tafel van priemgetallen, en berekende een nieuw stel hyperbolische logarithmen; met dezen laatsten arbeid oogstte hij wel den meesten roem in.

Zijne ‘Proeve van eene tafel ter ontledinge der getallen’⁷⁾ verscheen in de Verhandelingen der Hollandsche Maatschappij te Haarlem. Zij bevat het ‘21^ste Deel || van een grooter, in welke de || getallen van 1 tot 126000 ontleed zyn. || Dan in deeze proeve bevinden zig alleen || de Primo-getallen onder 6000, en van || de Gecomponeerde die, welker klein- || ste factor ten minsten 7 is: by gevolg || zyn de getallen, die in 2, 5 en 3 op- || gaan, daar van uitgesloten.’

Deze tafel heeft 22 verticale kolommen: de twee eerste kolommen bevatten de 80 getallen in de eerste 300, die aan bo-

7) * Proeve || van eene || tafel || ter Ontledinge der || getallen. || door || J. Wolfram.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || hollandse maatschappy || der || weetenschappen || te || Haarlem. || Tweede deel || 1755. bladz. 622-624.

[p. 200]

vengemeld vereischte voldoen, namelijk de veelvouden van dertig, vermeerderd met 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Voor het gemak zijn zij in drie vakken verdeeld: A bevat de 26 getallen in het eerste honderdtal, B de 28 in het tweede, C de 26 in het derde. De volgende kolommen hebben tot hoofd 0, 3, 6, 9, 12, ... 57, die de honderdtallen aangeven, welke bij de getallen der eerste kolom moeten worden bijgeteld. Op die wijze verkrijgt hij een tafel met dubbelen ingang voor al de bedoelde getallen beneden 6000. Is nu het getal een priemgetal, zoo bevat de overeen komstige plaats, niets; anders den kleinsten deeler: dus in deze tafel: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, en wel respective 229, 124, 95, 67, 57, 47, 37, 32, 28, 22, 22, 17, 15, 10, 8, 6, 4, 2 maal. De belofte, dat ‘Deeze Tafels van 1 tot 126000 zullen in het || eerstvolgende Deel worden meêgedeeld’ is niet vervuld, misschien wel ten gevolge van de uitgave der tafelen van Prim-getallen door a.f. marci, waarover in N^o. VI dezer Bouwstoffen sprake was.

3. Zijn grooter en belangrijker arbeid is opgenomen in de ‘Neue und erweiterte Sammlung unentbehrlicher Tafeln⁸⁾ van johan carl schulze’ in 1778 te Berlin in twee deelen uitgekomen. Schulze zegt daaromtrent in zijn ‘Kurze Einleitung zum ersten Bande’ op de vierde bladzijde (zonder pagineering).

‘Die Tafel der natürlichen oder || hyperbolischen Logarithmen bis auf || 48 Decimalstellen ist, ein so wich- || tiges Geschenk für die Integralrech- || nung, dass sie gewis dem Herrn || Wolfram, Artillerielieutenant in Dien- || sten Ihro Hochmögenden der Her- || ren Generalstaaten der vereinig- || ten Niederlande, jetzt zu Nimwegen || befindlich, welcher dieselbe mit der || grössten Sorgfalt berechnet und nach- || gesehen hat, in spätesten Andenken || erhalten und unvergesslich machen || wird. Sie ist die Frucht einer sechs- || jährigen höchst mühsamen und be- || schwerlichen Arbeit, und geht von 1 || bis 2200 für alle Zahlen fort, von || 2200 bis 10000 ist sie hingegen nur || für die Prim- und etwas stark com- || ponirte Zahlen berechnet, weil das || Uebrige durch leichtes Addiren kann || gefunden werden.’

Wel is waar moge de naam van wolfram niet algemeen

8) * Johann Carl Schulze || wirklichen Mitgliedes der Königl. Preussischen Academie der || Wissenschaften || neue und erweiterte || sammlung || logarithmischer, || trigonometrischer || und anderer || zum gebrauch der mathematik || unentbehrlicher || tafeln. || I. (respective II.) Band. || Berlin, 1778. || Bey August Mylius, buchhändler || in der Brüderstrasse, in 8^o.
Band I bevat

a-b (24 bladzijden, die elk twee kolommen bevatten, waarvan de eerste het fransch, de tweede het hoogduitsch bevat) ‘Vorrede’ (8 bladz.) Kurze einleitung || zum || ersten bande’ (6 bladz.) ‘Kurze einleitung || zum || zweyten bande’ (6 bladz.).

A-Kk. bladz. 1-260.

Bladz. 1-187. ‘Tafel || der || Logarithmen || aller || natürlichen Zahlen || von 1 bis 101000.’

Bladz. 188. Multipla van den Modulus &c.

Bladz. 189-259. Natürliche oder hyperbolische || Logarithmen || bis auf 48 Decimalstellen. || Von || Herrn Wolfram || berechnet.’

Bladz. 259. ‘Die componirte Zahlen zu bestimmen, die man neben den Prim- || zahlen nöthig hat, alle componirte Zahlen unter eine Million || aus zween Factoren zu finden.’

Blz. 260. ‘Formeln zur Bestimmung der hyperbolischen Logarithmen der || Sinus und Cosinus bis auf 20 Decimalstellen.’

Ll-Qq. 52 bladz. (zonder paginatuur).

‘Tafel || für die || Logarithmen || der || sinus und tangenten || kleiner Bögen von 0 Grad bis 2 Grad, || von Secunde zu Secunde berechnet. (44 bladz.).

‘Tafel der Logistal-Logarithmen’ (8 bladz.).

Band || bevat

A-Rr. bladz. 1-319.

Bladz. 1-261. Tafel || der || Sinus, Tangenten, || Secanten || und || deren zustimmenden briggischen und hyperboli- || schen Logarithmen || für die vier ersten und vier letzten Grade von 10 zu || 10 Secunden; || für den übrigen Theil des Quadranten aber von Minute zu || Minute, nebst dem 6^ten Theile der Differenzen || berechnet.’

Bladz. 262-263. ‘Multiplicir-Täflein der Sinus.’

Bladz. 264. Verschiedene Reihen.

Bladz. 265. ‘Verschiedene || sowohl neue als andere nützliche || Tafeln, || welche || in der Mechanik und andern Theilen der || angewandten Mathematik || öfters gebraucht werden.’

Bladz. 266-277. Länge der Cirkulbögen für alle Grade || in Theilen des Halbmessers bis auf 27 Decimalstellen.

Bladz. 278-281. Tafel der Potenzen (1 tot 11) aller Wurzeln || so zwischen 0,01 und 1,00 fallen.’

Bladz. 282, 283. Tafel der Quadratzahlen aller Wurzeln von 1 bis 1000.

Bladz. 284-287. Tafel der Cubiczahlen aller Wurzeln von 1 bis 1000.

Bladz. 288-291. Tafel der Quadratwurzeln || aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1000.

Bladz. 292-295. Tafel der Cubicwurzeln || aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1000.

Bladz. 296-297. Tafel zum Einschalten || nach dem Decimal-System.

Bladz. 298-307. Tafels van snelheden, enz.

Bladz. 308-311. Rationale Trigonometrie.

Bladz. 312-319. Verschillende opgaven.

[p. 201]

bekend zijn, althans veel minder, dan hij wel verdienen zoude: straks zullen wij zien, dat zijn arbeid in Duitschland wel op prijs werd gesteld. Schulze, die blijkens de ‘Kurze Einleitung zum zweyten Bande’ met wolfram over de inrichting van den geheelen bundel heeft gehandeld, laat daarop volgen.

‘Auf der 258^sten || Seite, als der letzten dieser Ta- || fel, kommen einige Zahlen vor, bey || welchen die Logarithmen fehlen, und || der Raum weiss gelassen worden. Die- || ses sind entweder Prim- oder sehr || componirte Zahlen, so mit zu den || 10000 gehören. Da Herr Wolfram || vorm Schlusse dieses Werkes wegen || ausgestandener Krankheit die Logarith- || men nicht hat berechnen können, sie || aber nächstens zu completiren geden- || ket, so ist der Raum offen gelassen || worden, um ihm nach Gefallen aus- || zufüllen. Ferner trift man auf der || 259 Seite für die Zahlen der offen ge- || lassenenen (sic) Stellen sowohl als für eini- || ge andere, deren Logarithmen Herr || Wolfram nur einmal hat berechnen || können, und welche daher nicht so || zuverlässig als die übrigen sind, die || zum wenigsten auf zwo verschiedene || Arten sind berechnet worden, die ge- || wöhnliche oder briggische Logarith- || men bis auf 42 Decimal-stellen berech- || net, an.’

Ten opzichte van het ontbreken dezer logarithmen door eene ziekte van wolfram, zien wij verder uit ‘de Einleitung van den Thesaurus Logarithmorum Completus’⁹⁾ van georg vega in 1794 niets meer, dan hetgeen op blz. XXIX te lezen is.

‘Die letzte Tafel dieses Werkes, welche die von Herrn || Wolfram, einem holländischen Artillerie-Officier, berech- || neten natürlichen Logarithmen mit 48 Decimalziffern ent- || hält, ist aus der Sammlung der logarithm. trigon. Tafeln || des Herrn J.C. Schulze, Berlin 1778. mit Ergänzung der || daselbst abgängigen Stellen und Berichtigung einiger über- || sehenen Fehler abgedruckt.’

Maar ik meen ergens gelezen te hebben, dat deze aanvulling der door wolfram eerst overgelaten leemten door van vega zelven is geleverd: als dat waar is, zoude daaruit volgen, dat wolfram die niet heeft bewerkt, althans niet heeft in het licht gegeven. Misschien wel is hij bezweken aan de ziekte, die hem belette zijn arbeid volledig te maken voor de tafels van schulze.

9) *Thesaurus || logarithmorum || completus, || ex || arithmetica Logarithmica, et ex trigonometria || artificiali || Adriani Vlacci || collectus, || plurimis erroribus purgatus, || in novum ordinem redactus, || et || prima post centesimam logarithmorum chiliade, partibus || quibusdam proportionalibus differentiarum, logarithmis sinuum, || cosinuum, tangentium et cotangentium pro primis ac postremis || duobus quadrantis gradibus ad singula minuta secunda, formulis || nonnullis trigonometricis, Wolframii denique || tabula logarithmoru mnaturalium || locupletatus || a || Georgio Vega, || supremo vigiliarum praefecto et professore matheseos in caes. reg. artis || pyrotechnicae cohorte, et societatis regiae scientiarum || goettin gensis sodali correspond. || cum privilegio impressorio privativo sacr. caes. || reg. apost. maiest. || Lipsiae || in libraria Weidmannia. || 1794. in folio.
Ook met den titel,
Vollständige Sammlung || grösserer || logarithmisch-trigonometrischer || Tafeln, || nach || Adrian Vlack's || Arithmetica logarithmica || und || Trigonometria artificialis, || verbessert, neu geordnet und vermehrt || von || Georg Vega, || Major und Professor der Mathematik beym kayserl. königl. Bombardierkorps, und || Correspondenten der königl, grossbr. Gesellschaft der Wissenschaften || in Göttingen. || Mit Röm. kayserl. allergnädigsten Privilegio. || Leipzig, || in der Weidmannischen Buchhandlung. || 1794. in folio.

a-h. Blz. I-XXXII.

A-Lll. Blz. 1-684.

[p. 202]

4. Doch ook andere Hollanders gaven omstreeks dienzelfden tijd beschouwingen over het berekenen van Logarithmentafels.

De eerste was wilhelm otto reitz, Lector Juris en Rector te Middelburg, geboren den 20^sten Juli 1702 te Offenbusch en overleden 22 October 1768 te Middelburg (zooals blijkt uit de Verhandelingen van het Zeeuwsch Genootschap, Dl. I, blz. XLIV): hij was pas den 26^sten Juli 1768 lid van dat genootschap geworden. Deze gaf in 1754 zijne ‘Nieuw gevonde berekening der kunstbreuken’¹⁰⁾, verdeeld in drie afdeelingen. In de eerste behandelt hij de regels voor de kunstbreuken, dat is de logarithmen van gewone brenken, die hij uitdrukt door de letter f, ‘die het teeken van een fractio of breuktal is’; bijv. den logarithmus van 0,000683 schrijft hij 4 f 0.8344207, zooals wij zouden schrijven 0.8344207-4. De ‘Tweede Afdeeling. || Behelzende een lichten en algemeenen Regel || om, zoo wel de Somme, als Overschot || van twee Kunsttallen te berekenen,’ geeft eerst een zeer zamengestelden regel van josef muschel de moschau uit de Acta Eruditorum van 1696; daarna zijn eigen zeer eenvoudigen regel, om te vinden Log. (a±b) als Log. a en Log. b gegeven zijn. De methode in de ‘Derde Afdeeling. || Lichte en gewisse manier om groote Breuk- || tallen of Proportiën tot kleinder te bren- || gen, die voor ket gebruik veel bekwa- || mer en nochtans voldoende zyn’ berust op de theorie der gedurige breuken. Ten slotte een ‘Toegift || van een kunstgreep, om een gegeven getal te || toetsen, of het door 11 juist deelbaar zij.’

In het volgende jaar verscheen zijn ‘Berekening van Kunsttallen’¹¹⁾, waarin hij eerst eenige regels geeft van logarithmotechnie, en ook onder andere een regel voor benaderd deelen; en daarop eene tafel der logarithmen voor de getallen 1-1000 (blz. 184-209) met hare eerste differentiën; vervolgens eene ‘Tweede Tafel’ van de Logarithmen van 1 + a. 10-ⁿ, voor a = 1 tot 9, n = 3 tot 18 (blz. 210-212), waarbij voor n = 3 tot 10 de eerste differentiën zijn gevoegd. Alle logarithmen zijn tot in 18 decimalen berekend.

Aan het slot beloofde hij een onderzoek te zullen uitgeven, dat in 1757 verscheen onder den titel ‘Nieuwe bespiegeling en Ontcijfering der teerlingsche vergelijkingen’¹²⁾, waarin hij

10) * Nieuw gevonde || berekening || der || kunstbreuken, || door || wilhelm otto reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Eerste Deel. 1754. blz. 1-38.

11) * De berekening || van || kunsttallen; || Nader opgehelderd en grootelyks verlicht || door || wilh. otto reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Tweede Deel. 1755. blz. 166-224*. (=228).

12) * Nieuwe bespiegeling || en ontcijfering der || teerlingsche || vergelykingen || door || wilhelm otto reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. 1757. blz. 239-320*. (=324).

[p. 203]

(blz. 279-285) een ‘Tafel van Teerlingsche vergelykingen’ geeft. Voor alle wortels z = 0,01 tot 2,00 berekende hij voor de vergelijkingen z³ - z = AE, of z³ + z = AE, de waarden van AE (= Aequatio) in zes decimalen. In een ‘Nabericht’ bespreekt hij de methode van clairaut in zijne ‘Elemens d'Algèbre.’

Tien jaren later kwam in het licht zijne ‘Nieuwe oplossing der stelkundige vergelijkingen van de vierde macht, en hierdoor ook van de derde macht’¹³⁾. Hij tracht hierin de herleide vergelijking van de vierde macht x⁴ + axx + bx + c = 0 aldus te vervormen. (x³ + p)² = (qx + r)².

Als ‘Aanhangsel’ geeft hij de oplossing van een vraagstuk omtrent de middellijn van Venus, bij haar Loop voorbij de Zon.

Zijne volgende verhandeling ‘Nieuwe bespiegeling der klootsche figuren, Met de Berekening van derzelver oppervlakte of inhoud’,¹⁴⁾ uitgegeven als ‘volkomen nieu, || en van myne uitvinding,... door mynen goeden vriend den Wis- || kunstenaar laur. dunewey de munck, || aangemoedigd’, levert eenige stellingen omtrent bolvormige figuren, en wordt gevolgd door een ‘Byvoegsel omtrent de toover-vierkanten || van effe getallen.’ Deze waren geconstrueerd door zijnen ‘Broeder, karel koenraad || reitz, Hoogleeraar te Harderwijk.

Eindelijk heeft men nog zijn ‘Grondig onderwijs in de behandeling der breuktallen, zoo gemeene als decimale of tientallige, benevens de daarafhangende rekeningen’¹⁵⁾ in 1769, als opus posthumum uitgegeven. Men vindt daarin de behandeling der gewone en tiendeelige breuken, omdat ‘noch geenerlei grondig on- || derwijs der decimale of tiental- || lige rekeningen, en wat 'er ver- || der toe behoort of van afhangt, in 't Neder- || duitsch uitgegeven zy.’ Onder anderen het ‘IV. Hoofdstuk. || behelzende de tiendetafels || met derzelver gebruik’ (blz 343-351) dat is, herleidingstafels van maten, gewichten, enz. in tiendeelige breuken.

5. De arbeid over logarithmotechnie werd voortgezet door Mr. karell koenraad reitz: niet den broeder van den voornoemden, Hoogleeraar te Harderwijk, (geb. in 1708 en overleden 13 September 1773), maar den zoon van w.o. reitz: hij was

13) * Nieuwe oplossing || der || stelkundige || vergelykingen || van de || vierde macht, || En hierdoor ook van de || derde macht: || door || wilhelm otto reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Negen de Deel. || Derde stuk. || 1767. blz. 1-43, waarvan de vier laatste bladzijden het ‘Aanhangsel.’

14) * Nieuwe || bespiegeling || der || klootsche || figuren, || Met de Berekening van derzelver || oppervlakte || of || inhoud: || door || Mr. wilhelm otto reitz.
Met een Bijvoegsel || omtrent de toovervierkanten || van effe getallen. ||
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Tiende Deel, Tweede Stuk. 1768. blz. 193-244.

15) Grondig onderwys || in de behandeling || der breuktallen, || zoo gemeene, als decimale of tien- || tallige, benevens de daaraf- || hangende rekeningen: || door || Mr. wilh. otto reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door het || Zeeuwsch || genootschap || der || wetenschappen || te || Vlissingen. || Eerste Deel. A. 1769. blz. 293-386.

[p. 204]

Griffier van den Haad van Vlaanderen, te Middelburg. In 1769 kwam uit zijne ‘Nieuwe Handleiding om den Logarithmus voor eenig gegeven getal naaukeurig te vinden tot veertien letteren boven den index’¹⁶⁾, waarin hij het gebruik der tweede verschillen verklaart bij het berekenen van logarithmen, en deze aanwendt voor zijne ‘Tafel || der Kunsttallen of Logarithmi || voor de natuurlyke getallen || van 1000000-1001000. || berekend || tot XV. letteren boven de || merkletter of index’ (blz. 455-480), waarin volgens de oudere methode de eerste verschillen tusschen de opeenvolgende logarithmen zijn geplaatst. In dit stuk belooft hij een vervolg: en dit verscheen in 1790 onder den titel ‘Aanhangsel tot de nieuwe handleiding om den Logarithmus voor eenig gegeven getal naaukeurig te vinden tot veertien letteren boven den index’¹⁷⁾, waarin hij ook van de derde verschillen gebruik maakt, en deze leert aanwenden bij de logarithmotechnie.

6. Tusschen deze beide mannen, ontmoeten wij nog den naam van dirk klinkenberg, geboren den 15^den November 1709 te Haarlem, en op het einde van April 1799 te 's Hage overleden, Ordinaris Klerk ter Secretarye van Holland, en wel in zijne ‘Korte verhandeling over de Sinus, Tangens, en Secans Logarithmus getallen’¹⁸⁾, waarin hij eerst de berekening dier logarithmen behandelt en daarna (bladz. 291-307) de ‘tafelen, || tot gebruik van de || sinus, tangens, || en || secans logarithmen, || in de gedeeltens van mi- || nuten graads’ geeft. Deze bevatten voor iedere minnut der acht eerste graden dus voor 1-480 minuten de Log. Sinus en Log. Tangens in zeven decimalen met de verschillen. Daarop volgt (bladz. 308-310) een ‘Tafel, dienende om te Corrigeeren de Sinus, || Tangens, en Secans Logarithmus, op Dui- || zendste deelen van Minuten Graads.’

Dezelfde klinkenberg was niet alleen in de wiskunde zelve, maar ook in de sterrekunde ervaren, zooals blijkt uit zijne onderscheidene verhandelingen.

In 1755 gaf hij eerst een ‘Kort berigt wegens eene Comeetsterre, die zich in den Jaare 1757 (1758), Volgens het Systema van newton, halley en andere Sterrekundigen, zal vertoonen’¹⁹⁾; waarin hij eene voorloopige berekening der loopbaan

16) Nieuwe handleiding || om den Logarithmus voor ee- || nig gegeven getal naaukeurig te || vinden tot veertien lette- || ren boven den Index: || benevens eene Tafel || der Kunsttallen voor || 1000000-1001000. || berekend || door || Mr. k.k. reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door het || zeeuwsch || genootschap || der || wetenschappen || te || Vlissingen. || Elfde Deel. A. 1786. blz. 423-480.

17) Aanhangsel || tot de || nieuwe handleiding || om den Logarithmus voor ee- || nig gegeven getal naaukeurig te || vinden tot veertien lette || ren boven den Index: || door || Mr. k.k. reitz.
= Verhandelingen || uitgegeeven door het || Zeeuwsch || genootschap || der || wetenschappen || te || Vlissingen. || Veertiende Deel A. 1790. blz. 535-576.

18) *Korte || verhandeling || over de || sinus, tangens || en || secans logarithmus || getallen; || Met een bygevoegde Tafel, waar door || dezelve tot in duizendste, en tiendui- || zendste deelen van Minuten boogs || gevonden kunnen worden. || Door || d. klinkenberg.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Vijfde Deel. A. 1760. blz. 258-310.

19) * Kort berigt, || wegens eene || comeet-sterre, || Die zich in den Jaare 1757 of 1758, || Volgens het Systema van Newton, || Halley, en andere Sterrekun- || digen, zal vertoonen; || Door || d. klinkenberg. (met twee platen.).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Tweede Deel A. 1755. blz. 275-318.

[p. 205]

leverde, en daaroj eene ‘Beschouwing over de Deelen van het Bastion, Volgens een daarover opgegeven Voorstel, van den Hooggel: Heere n. ypé, Hoogleeraar in de Wiskunde te Franeker’²⁰⁾, waarin hij twee tafels leverde voor de centerhoeken van 90 tot 0 graden voor elken graad, met de titels: ‘I Tafel, van de grooten der Hoeken, en langten der Lynen van het Bastion, enz. || zynde de Langte der Defens-linien AD gelyk BL, op 60, en de Facen AF gelyk BZ, || bestendig op het derde deel van dien, naamelyk 20. Roeden genomen. || De nommers, agter de Roeden, zyn Decimaal fractien,’ en vervolgens ‘II. Tafel, de hoeken blyven eeven gelyk als in || de I. Tafel, maar de langten der Lynen, zyn || in zulke Deelen, en decimaal fractien uitge- || drukt, waar van de buiten Polygone AB, || bestendig 100. deelen is.’

In 1755 ontmoeten wij eerst zijne ‘Verhandeling over de evenredigheid (of reden) tusschen de Middellyn en tusschen den omtrek van een Cirkel’²¹⁾, waarin hij de berekening door reeksen behandelt. Hij zegt daar (bladz. 155):

‘derhalve zal de reex || enz de lang- || te van de geheele omtrek der Cirkel uit- || drukken, den Diameter gelyk 1 zynde,’ en geeft dan de berekening tot 21 decimalen, ‘op dat blyke, met hoe weinig || moeite men door deezen weg tot zo ver- || re kan komen, als waar toe Mr. l. van || ceulen het zelve door een grooten || en roemwaardigen arbeid gebragt heeft.’ (blz. 156).

Hieruit zoude blijken, dat klinkenberg, vreemd genoeg, niet bekend was met den naderen arbeid van ludolf van ceulen (waarvan in het N^o. VIII dezer Bouwstoffen gesproken is): en dit wordt bevestigd door hetgeen hij reeds op bladz. 149 had gezegd.

‘Daar l. van || ceulen zig vergenoegd had, met zulks || tot twintig of één en twintig Numero's || te brengen.’

Op dit stuk volgden in ditzelfde jaar zijne ‘Verhandeling over de Pegelkunde, zo als dezelve tot grooter volmaaktheid gebragt word door de Fluxie-rekeningen’²²⁾, waar hij de for-

20) * Beschouwing || over de Deelen van het || Bastion. || Volgens een daar over opgegeeven Voorstel, || van den Hooggel. Heer N. ypé, Hoog- || leeraar in de Wiskunde te Franeker. || Door || d. klinkenberg. (met twee tabellen en eene plaat.).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Tweede Deel. A. 1755. blz. 479-502.

21) *Verhandeling || over de || evenredigheid || (of reden)tusschen de || middellyn || en tusschen den || omtrek || van een || cirkel; || Door || d. klinkenberg. || (met eene tabel).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. A. 1757. blz. 147-157.

22) * Verhandeling || over de || pegelkunde, || zo als dezelve tot grooter volmaaktheid || gebragt word door de || Fluxie- || rekeningen; || door || d. klinkenberg.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. A. 1757. blz. 231-238.

[p. 206]

mule gebruikte zijn ‘Vraagstuk, de zee-vaart-kunde betreffende’²³⁾, in het vorige jaar door johnson in Engeland opgegeven; - dan ‘Over een meetkundig werkstuk’²⁴⁾ betreffende eene zekere grootste waarde of maximum; - eindelijk zijne ‘Afbeeldinge der Eclipsen, op eene Nieuwe Wijze voorgesteld’²⁵⁾, waarin twee maan-eclipsen worden geconstrueerd.

Reeds in 1743²⁶⁾ had klinkenberg gewezen op de gelegenheid ter bepaling van den afstand tusschen zon en aarde bij den overgang van Venus voorbij de zon in 1761: en deze arbeid was in de geleerde wereld met belangstelling ontvangen. Toen dus die overgang naderde, schreef klinkenberg den 12^den November 1760, eerst zijne ‘Verhandeling, beneffens de naauwkeurige algemeene en byzondere Afbeeldingen van den overgang der planeet Venus voorby de zon, op den 6 Juny 1761 des morgens’²⁷⁾ en daarop in 1761 zijne ‘Verhandeling en Aanmerkingen over verscheide uitrekeningen, en waarnemingen van den overgang van Venus voorby de zon; op den 6^den Juny 1761’²⁸⁾ met het ‘Nabericht, behoorende tot die Verhandeling’²⁹⁾, waarin hij eene discussie levert van de waarnemingen tijdens dien overgang.

Wij zagen reeds in zijne verhandeling van Noot (19), hoe hij zich met de waarneming van kometen bezig hield: deze arbeid was de aanleiding tot zijne benoeming als correspondent van de Fransche Akademie van Wetenschappen te Parijs. Ook sedert heeft hij zich veel met zulke waarnemingen bezig gehouden, zooals blijkt uit zijne verhandelingen ‘Observations on the late Comet in September and October 1757’³⁰⁾, geplaatst in de Philosophical Transactions van 1758, en ‘Observations de la Comète de 1759’³¹⁾, opgenomen in de Memoires de l'Académie Royale des Sciences te Parijs, van 1760. Bijna een vierde eeuw later was het klinkenberg, die het eerst bewees dat de nieuwe ster Uranus geen komeet was, in zijne ‘Verhandeling over eene kleine doch ongewoone sterre, dewelke het allereerst in Engeland is ontdekt in de maand Maart 1781’³²⁾; men vindt ze in het zevende Deel der Verhandelingen van het Bataafsch Genootschap van 1783.

23) * Vraagstuk, || de || zee-vaart-kunde || betreffende, || opgelost || door || d. klinkenberg.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. A 1757. blz. 414-418.

24) * Over een || meetkundig || werkstuk; || door || d. klinkenberg.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. A. 1757. blz. 509-517.

25) * Afbeeldinge || der || eclipsen || op eene Nieuwe Wyze voorgesteld; || door || d. klinkenberg. (met eene plaat.).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || weetenschappen || te || Haarlem. || Derde Deel. A. 1757. blz. 540-547.

26) D. Klinkenberg, Beschrijving hoe de afstand der zonne van de Aarde kan gevonden worden door den schijnbaren weg van Venus en Mercurius over de Zon nevens de afbeelding van drie zulke verschijningen, de eerste in November 1742, de tweede in 1753, de derde in 1761. Waar agter de oplossing eener meetkundige Voor-stelling. Haarlem. 1743. in 8^o.

27) * Verhandeling, || beneffens de naauwkeurige al- || gemeene en byzondere || afbeeldingen || van den overgang der planeet || Venus || voorby de || zon || op den 6 Juny 1761 des morgens; || door || d. klinkenberg. (met eene plaat.).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Zesde Deel. || Eerste stukt. || A. 1760. blz. 285-326.

28) * Verhandeling || en aanmerkingen over ver- || scheide uitrekeningen, || en waarneemingen || van den || overgang || van || Venus || voorby de || zon. || Op den 6den Juny 1761. || door || d. klinkenberg. (met eene plaat.).
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse || Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Zesde Deel Tweede stuk, A. 1762. (blz. 874-922.).

29) *Nabericht, be- || hoorende tot de Verhandeling || en Aanmerkingen over ver- || scheidene Uitrekeningen en|| Waarnemingen van den o || vergang van Venus voor- || bij de zon, op den 6 Ju- || ny 1761. Door D. Klinkenberg.
= Verhandelingen || uitgegeeven door de || Hollandse Maatschappij || der || Weetenschappen || te || Haarlem. || Zesde Deel. Tweede stuk, || Berichten A. 1762. (blz. 91-94.).

30) Observations on the late Comet in Sep-|| tember and October 1757; made at the || Hague by Mr. D. Klinkenberg: In a || Letter to the the Rev. James Bradley, D.D. || Astronomer Royal, and F.R.S., and Mem- || ber of the Royal Academy of Sciences at || Paris. Translated from the Low Dutch.
= Philosophical Transactions Vol. L. Part II, for the Year 1758. N^o. LIX. pages 483-488

31) Observations de la Comète de 1759, faites en || Europe & dans les Indes orientales, recueillies tant || de la Correspondance de M. de l'Isle gue de la mienne. ||
A la Haye, par M. dirck de klinkenberg, || Commis au Secrétariat de L.H.P. les Etats Généraux || de Hollande & de West-frise; de la Société des Sciences de || Hollande & Correspondent de l'Académie Royale des Sciences de Paris. ||
Extrait de ses Lettres des 20 Août 1759 & 24 Février 1765.
= Histoire || de || l'Académie || Royale || des sciences. || Année. M.DCCLX || Paris. 1766. page 433-439.

32) Verhandeling, || over eene kleine doch ongewoone || sterre, || Dewelke het allereerst in Engeland is ontdekt in de || Maand Maart 1781, en vervolgens in verscheide || Plaatsen in Europa is waargenomen. || Zijnde het hoofdzaaklijk gedeelte dezer Verhandeling bij wijze eener || Memorie gezonden aan de Koninklijke Academie der || Weetenschappen te Parijs, || door den || mathematicus en landmeeter || d. klinkenberg, || Ordinaris Clercq ter Secretarie van Holland; Lid van de Hollandsche Maatschappije || der Weetenschappen te Haarlem, en van het Bataafsch Genootschap der Proefondervindelijke Wijsbegeerte te Rotterdam, mitsgaders Correspondent || van de Koninklijke Academie der Weetenschappen te Parijs.
= Verhandelingen || van het || Bataafsch || Genootschap || der || proefondervindelijke wijsbegeerte || te || rotterdam. || Zevende Deel || A. 1783. blz. 1-60.

[p. 207]

Nog heeft dezelfde wiskundige medegewerkt tot de Rivierkundige stellingen’ van hetzelfde Bataafsch Genootschap te Rotterdam: tot dit onderwerp behooren zijne ‘Nader elucidatie over een poinct van Aanmerking op de achtste en volgende stellingen’³³⁾ en zijne ‘Aanmerkingen over de nader Elucidatie’³⁴⁾ te vinden in het eerste en tweede deel der Verhandelingen van genoemd genootschap.

33) Nader elucidatie, || over een Poinct van Aanmerking, op || de 98, en volgende der Rivierkundige || Stellingen van het Bataafsch Genootschap || der Proefondervindelyke Wijsbegeerte || te Rotterdam, aangaande de oorzaaken || van meerder of minder Snelheid van het || Afstroomen der Rivieren, || Door den Landmeeter, D. Klin- || kenberg, als Lid van het voorm.: || Genoodschap, gemaakt en opgegeeven.
= Verhandelingen || van het || bataafsch || genootschap || der || proefondervindelijke wijsbegeerte || te || Rotterdam. || Eerste Deel. A. 1774. blz. 149-159.

34) Aanmerkingen, || over de || nader Elucidatie, || in het eerste deel dezer || Verhandelingen, || op Pag. 149-158. door den schrijver van dezelve, || d. klinkenberg.
= Verhandelingen || van het || Bataafsch || Genootschap || der || proefondervindelijke wijsbegeerte || te || Rotterdam. || Tweede Deel. A. 1775. blz. 199-203.