De Zeventiende Eeuw. Jaargang 12
(1996)– [tijdschrift] Zeventiende Eeuw, De–
Auteursrechtelijk beschermd
[pagina 161]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Christiaan Huygens correspondeert met zijn broer over levensduur.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 162]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Lodewijk Huygens (1631-1699). Olieverfschilderij uit 1674.
die als eerste drie keer een kansspel heeft gewonnen de gehele pot krijgt. Echter, om de een of andere reden moet de wedstrijd na drie spelen worden gestaakt, de ene speler heeft dan twee keer en de tweede één keer gewonnen. Wat is dan de eerlijke wijze om de pot te verdelen? Pascal schreef hierover in 1654 aan Pierre de Fermat, een andere bekende Franse wiskundige. Pascal droeg de volgende oplossing aan. Wanneer de spelers wel waren doorgegaan, wat zou dan voor beiden de kans zijn geweest om te winnen? Eén van de mogelijkheden was dat in het volgende spel de tweede speler zou winnen. Beide spelers zouden dan gelijk staan, beide hadden twee spelen gewonnen en twee verloren, de kans voor beiden om de wedstrijd te winnen zou even groot zijn; in dat geval zouden beide spelers de pot gelijk moeten verdelen, dus beiden 32 pistoles. Echter er moest ook nog rekening worden gehouden met de andere mogelijkheid, namelijk dat de tweede speler het vierde spel zou verliezen; in dat geval had de eerste speler de wedstrijd gewonnen en zou alle 64 pistoles krijgen. De eerste speler had dus evenveel kans op 64 als op 32 pistoles. Daarom zou het eerlijk zijn om de eerste speler het gemiddelde daarvan, 48 pistoles, te geven en de tweede 16. De briefwisseling tussen Pascal en Fermat borduurde op dit probleem voort en de inhoud ervan kreeg enige bekendheid in Parijs. Toen Christiaan Huygens in 1655 Parijs bezocht, hoorde hij van de briefwisseling en de problemen die daarin werden behandeld. Thuisgekomen schreef hij zijn boek Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Dit boek was het eerste gepubliceerde werk waarin een streng wiskundige, ofwel axiomatische, behandeling van berekeningen over allerlei kansspelen werd gegeven. Huygens had het werk eerst in het Nederlands geschreven en aan zijn vroegere leermeester, de Leidse hoogleraar in de wiskunde Frans van Schooten, gezonden. Deze achtte het wel een internationaal lezerspubliek waard en stelde daarom voor om het in het Latijn te vertalen. Dat viel echter nog niet zo mee, om- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 163]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dat allerlei vaktermen, waarvoor eigenlijk geen Latijns equivalent bestond, in het Latijn moesten worden weergegeven. Overleg met Huygens over de te kiezen Latijnse terminologie bleek voor een bevredigende keuze noodzakelijk te zijn. Van Schooten had de waarde van het boekwerk niet overschat. Het werd spoedig het standaardwerk op het gebied van kansrekening, totdat in 1713 Jacob Bernoulli's vierdelige Ars Conjectandi verscheen, waarin trouwens Huygens werk volledig was opgenomen. Christiaan Huygens is door dit boek een bekende naam in de geschiedenis van de waarschijnlijkheidsrekening geworden. De briefwisseling, waarop we in dit artikel zullen ingaan, is minder bekend, hoewel ze in een aantal werken over de geschiedenis van kansrekening en statistiek wel aan de orde komt.Ga naar eind6. We zullen nu onze aandacht op deze brieven richten. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
De brieven over levensduurLodewijk Huygens had een deel van de brief waaruit in het begin van dit artikel geciteerd is, aan levensduur gewijd. Dit gedeelte was hij begonnen met het formuleren van het algemene probleem dat hij wenste te behandelen: ‘A propos d'age, j'aij fait une Table ces jours passez du temps qu'il reste à vivre, à des personnes de toute forte d'aage. C' est une consequence que j'aij tiré de cette table du livre Anglois of the Bils of mortalitij.’Ga naar eind7. Lodewijk was dus aan het rekenen geweest met behulp van een Engels boek. Het resultaat was dat hij voor elke leeftijd kon zeggen hoe lang iemand nog te leven had. Uit het vervolg van de brief blijkt dat Lodewijk er zich wel van bewust was dat Christiaan het meeste talent bezat als het om berekeningen met kansen ging, want hij vervolgde de brief met: ‘de la quelle je vous envoije icij une copie, afin que vous preniez la peine de faire un peu les mesmes supputations, et que nous puissions voir comme nos calculs s'accorderont. J'advoüe que j'aij eu assez de peine d'en venir a bout, mais à vous il n'en sera pas de mesme.’ Hij had blijkbaar het gevoel dat Christiaan de zaak nog wel even moest narekenen. Hij vervolgde met ‘et les consequences qui en resultent sont fort plaisantes et peuvent mesme estre utiles pour les constitutions des rentes à vie.’ Verderop zullen we op mogelijke toepassingen op het gebied van lijfrenten terugkomen. Daarna formuleerde Lodewijk zijn probleem nog wat preciezer: ‘La question est jusqu'a quel aage doibt vivre naturellement un enfant aussi tost qu'il est conceu. Puis un enfant de 6. ans, puis de 16. ans, de 26 ans. etc..’ Hij vroeg zich dus af hoe lang een kind, waarvan de moeder nu nog zwanger was, normaliter zou blijven leven en hoe lang iemand van 16, van 26 jaar enz. in leven zou blijven. Hij vervolgde met ‘Si vous ij trouvez de la difficulté ou trop d'embaras, je m'offre à vous faire part de ma methode, qui est asseurée, par la premiere occasion. Adieu.’ Hij was er blijkbaar van overtuigd dat zijn methode de juiste was. Hieruit blijkt dat Lodewijk niet zo bescheiden was als hij zich vlak daarvoor had voorgedaan, toen hij schreef dat de berekeningen zijn broer wel eens veel makkelijker zouden kunnen afgaan dan hemzelf. Het is duidelijk dat hij zijn broer trachtte uit te dagen, zodat deze zich evenals hijzelf met enthousiasme op het probleem zou storten. Aan het eind van de brief kwam als post scriptum de opmerking, waar wij dit | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 164]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Brief van Lodewijk aan Christiaan Huygens van 22 augustus 1669. Collectie UB Leiden, Hug. 45.
artikel mee begonnen zijn, namelijk dat volgens Lodewijks berekeningen Christiaan ongeveer de leeftijd van 56 en een half en hijzelf die van 55 jaar zou bereiken. Lodewijk formuleerde zijn probleem dus als een raadsel, waarvan hij verwachtte dat Christiaan dat wel graag zou willen oplossen. Lodewijk had Christiaans interesse niet verkeerd ingeschat. Binnen een week reageerde Christiaan, die toen in Parijs woonde.Ga naar eind8. Hij begon met te schrijven dat Lodewijks berekeningen zeer verdienstelijk waren, maar hij beëindigde de brief met de woorden ‘Vostre methode ne scauroit estre la mesme qie la miene, et je seray bien aise de la voir.’ Hij zag dus vooral het verschil tussen Lodewijks methode en de wijze waarop hij het probleem zelf zou aanpakken. Hij schreef dat hij zelf uit de sterftetafel kon afleiden dat iemand die zou wedden dat een pasgeboren kind de leeftijd van 16 jaar zou bereiken, een onvoordelige weddenschap zou aangaan, want zo iemand zou vier slechte kansen hebben tegen drie goede. Hetzelfde gold bij een weddenschap dat iemand van 16 jaar minstens 36 zou worden. In hedendaagse terminologie betekent dit dat de kans dat een pasgeboren baby minstens 16 jaar zou worden drie-zevende (3/7) is. Dat is minder dan een half en daarom was de kans om te verliezen groter dan de kans om te winnen en dus was de weddenschap, in de redenering van Christiaan, onvoordelig. Hierop komen we terug.
Voordat we met de briefwisseling verder gaan zullen we iets zeggen over The Bills of Mortality waarnaar Lodewijk verwees en waarop hij zijn berekeningen had gebaseerd. In dit boek is de eerste zogenaamde sterftewet of sterftetafel gepubliceerd, die dan ook erg beroemd geworden is.Ga naar eind9. Deze sterftetafel zou gedurende lange tijd de standaard-sterftetafel zijn. Deze tafel was opgesteld door de Engelse koopman John Graunt en was gepubliceerd in 1662, zeven jaar voor de gebroeders Huygens hun brieven uitwisselden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 165]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
De tafel zag er als volgt uit:
Een dergelijke tafel moet als volgt worden geïnterpreteerd. Van de 100 pasgeborenen bereiken er 64 de zesjarige en drie de 66-jarige leeftijd, dus de kans dat een pasgeborene zes wordt is 64/100, en dat zij of hij 66 wordt, die kans is 3/100. En voor een 16-jarige geldt, dat de kans dat zij of hij 36 jaar wordt 16/40, ofwel 2/5 is. Uit een dergelijke tafel kunnen dus, vooral als hij meer gedetailleerd is en voor elke leeftijd het aantal overlevenden geeft, voor elke leeftijd sterftekansen worden afgelezen. Christiaan had het in zijn reeds besproken brief over, in moderne termen, de kans dat een pasgeboren kind de leeftijd van zestien jaar zou bereiken, en de kans dat een zestienjarige minstens 36 jaar zou worden. Deze kansen zijn uitgaande van Graunts tafel direct vast te stellen; de eerste kans was 40/100 en de tweede 16/40. Deze kansen waren dus even groot, namelijk 2/5. Het is vreemd dat volgens Christiaan deze kansen 3/7 waren. Het zal wel niet meer te achterhalen zijn wat de reden daarvan was: heeft hij op dat moment Graunts publikatie niet tot zijn beschikking gehad en zich de wet niet correct voor de geest kunnen halen? Of heeft hij gewoon een rekenfout gemaakt? Of misschien was er nog een andere oorzaak voor deze onjuiste kansen? Terug naar Graunt en zijn sterftetafel. Wat waren de gronden waarop Graunt zijn tafel baseerde? In Londen had zich in de loop van de zestiende en zeventiende eeuw als gevolg van de vele pestepidemieën die daar hadden rondgewaard, een tamelijk goede administratie ontwikkeld van sterftecijfers, dus aantallen gestorvenen. De ontwikkeling van de sterfte tijdens zo'n epidemie werd door bepaalde groepen van de bevolking als indicatie gebruikt of het nog veilig genoeg was om in de stad te blijven, of dat het gevaar voor besmetting te groot werd en Londen beter tijdelijk verlaten kon worden. Vanaf 1629 werd de oorzaak van iemands sterfte eveneens bijgehouden. Graunt had deze tafels bekeken en had onderscheid gemaakt tussen sterftegevallen veroorzaakt door typische kinderziekten en sterftegevallen om andere redenen. Hij had verondersteld dat sterfte door kinderziekten | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 166]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
vóór het zesde jaar optreedt en vervolgens had hij aangenomen dat na het zesde jaar de kans om te sterven altijd gelijk blijft. Uitgaande van deze veronderstellingen had hij zijn sterftetafel geconstrueerd. Zijn sterftewet had dus zowel een empirische als een speculatieve basis. De wet trok spoedig na de publikatie de aandacht en werd erg bekend. Het was daarom niet verbazingwekkend dat Lodewijk Graunts wet als basis voor zijn berekeningen van levensverwachtingen gebruikte.
Na Christiaans spoedige reactie had Lodewijk meer tijd nodig om te voldoen aan Christiaans verzoek om hem de gebruikte methode te tonen. Na twee maanden reageerde Lodewijk uitgebreid.Ga naar eind10. Wat hij deed was het berekenen van de te verwachten leeftijd om te sterven met behulp van Graunts sterftewet op de volgende wijze, uitgaande van 100 personen:
Daarna telde hij de resultaten van elke leeftijdsgroep op: (3×36 = )108 + (11×24) = 264 + (21×15 = )315 + (31×9 = )279 + ... +(1×81 = )1 = 1822 jaar, en deelde door 100 met als resultaat 18 jaar en ongeveer twee maanden.
Aan de bovenstaande berekening zien we dat Lodewijk ervan uitging dat binnen elke leeftijdsgroep de sterfte evenredig over de leeftijden was verdeeld. Het resultaat was dus 18 jaar en ongeveer twee maanden. Dit stelde volgens Lodewijk de leeftijd van elke persoon voor ‘l'une portant l'autre.’ Hiermee bedoelde hij dat hij de leeftijd had berekend waarvan verwacht kon worden, dat een nog niet geboren baby die zou bereiken. Hij was het niet eens met de bewering van zijn broer dat de weddenschap op een zesjarige om de leeftijd van 26 jaar te bereiken een onvoordelige zou zijn. Volgens hem kon een zesjarige verwachten nog zo'n 20 jaar en 10 maanden te leven. En iemand van 16 jaar kon evenzeer verwachten nog 20 jaar te leven. Deze resultaten konden immers, uitgaande van de voorafgaande berekeningen, als volgt worden bereikt:
(1822-108 = 1714)/64 = ongeveer 26 jaar en tien maanden,
Daarom schreef Lodewijk aan Christiaan: ‘En suite de ce que dessus je ne comprends pas la raison de vostre calcul de 4. contre 3. car à mon advis la partie est environ esgale lors qu'on gage q'une personne de 6. ou une de 16. vivront environ encor 20. ans. J'attends donc vos raisons comme je vous aij envoijé les miennes.’ Het kan niet anders dan dat Lodewijk de kans van vier tegen drie, zoals Christiaan | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 167]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
die had vastgesteld, niet begreep, want deze kans was immers fout. Echter, het zal waarschijnlijk niet uitgemaakt hebben, wanneer Christiaan de wel correcte kans van twee tegen drie had genoemd. Lodewijk benaderde het probleem immers vanuit geheel andere hoek en rekende daarom iets totaal anders uit. In deze brief is geen enkel spoor meer te zien van de zelfbewuste Lodewijk die zijn broer dacht uit te dagen door hem een interessant raadsel op te geven! Hij voelde dat hij zich in een staat van verwarring bevond over wat hij en wat zijn broer nu eigenlijk aan het uitrekenen waren geweest. Hun resultaten waren verschillend en Lodewijk was niet in staat te begrijpen wat de oorzaak van dit verschil zou kunnen zijn. Hij kon immers geen enkele fout in zijn eigen berekeningen ontdekken. Echter, omdat hij wist dat zijn broer een bekwaam wiskundige was, durfde hij ook niet echt te veronderstellen, dat zijn broers benaderingswijze onjuist was. Na ongeveer een maand reageerde Christiaan door middel van twee brieven, die laten zien dat uiteindelijk hij zowel zijn eigen manier van redeneren als die van zijn broer begreep. Nu was hij in de positie om uit te dagen en grapjes te maken. Hij begon met te schrijven dat hij wel zou willen dat zijn broers berekeningen de juiste waren, omdat die hun een langer leven gunden. Maar, zo schreef Christiaan: ‘il ne sert de rien de nous flatter; Scit nos Proserpina canos.’Ga naar eind11. Hij probeerde aan de hand van een gefingeerd voorbeeld te laten zien dat Lodewijks benadering dubieus was. Hij veronderstelde even dat van alle honderdtallen nieuwgeboren baby's er 90 zouden sterven voor ze de leeftijd van zes jaar zouden hebben bereikt. Dan gold voor degenen die wèl bleven leven dat het Nestors en Methusalems zouden worden, omdat zij zouden blijven leven tot ze 152 jaar en twee maanden oud waren. Dat betekende dat hij uitging van de volgende absurde sterftetafel:
Dit zou resulteren in dezelfde verwachte leeftijd van 18 jaar en ongeveer twee maanden. Christiaan was ervan overtuigd dat na dit belachelijke voorbeeld Lodewijk het wel met hem eens zou zijn dat een weddenschap dat een nog niet geboren baby de leeftijd van 6 jaar zou bereiken, een heel onvoordelige zou zijn. Van elke 10 kinderen zou er immers maar één de zes jaar bereiken! Christiaan werd niet moe te trachten zijn broer van de correctheid van zijn eigen benadering te overtuigen. Hij voegde daarom nog enkele voorbeelden toe van volgens hem wel eerlijke weddenschappen. Hij ging uit van de sterftetafel van Graunt. Bijvoorbeeld zou het wel eerlijk zijn om 25 tegen 39 in te zetten in een weddenschap dat een kind van 6 jaar tot diens 26ste jaar zou leven, want van de 64 kinderen die de leeftijd van zes jaar zouden bereiken zouden er maar 25 kinderen 26 jaar worden, de andere 39 zouden jonger sterven. Voordat Lodewijk de kans kreeg om te reageren, schreef zijn broer hem weer en deze brief is de laatste die aan deze kwestie werd gewijd. Uit deze brief blijkt dat Christiaan toen zover was dat hij naast zijn eigen ook Lodewijks methode begreep en ook vandaaruit kon redeneren.Ga naar eind12. Opvallend is het verschil in toon, vergeleken met de voorafgaande brieven. Uit | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 168]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de inhoud blijkt dat Christiaan nu het onderwerp beheerste. Hij schreef, dat hij na nog eens over zijn eigen methode en over die van zijn broer te hebben nagedacht, tot de overtuiging was gekomen dat zowel Lodewijk als hijzelf gelijk hadden, maar dat ze de kwestie op verschillende manieren hadden benaderd. Lodewijk gaf een kind 18 jaar en tweeëneenhalve maand te leven. Uitgaande van de sterftewet van Graunt is de levensverwachting van een pasgeboren kind inderdaad zo groot. Dus had Lodewijk gelijk. Aan de andere kant, zo vervolgde Christiaan, was het niet erg waarschijnlijk dat hij zo lang zou leven, het zou veel waarschijnlijker zijn dat hij vóór die tijd zou sterven. Immers een weddenschap dat hij die leeftijd zou bereiken zou onvoordelig zijn. Zoals Christiaan dat met behulp van zijn methode had gevonden, zou men, wanneer men een weddenschap met betrekking tot de te bereiken leeftijd van een pasgeboren kind zou willen sluiten die voor beide partijen een gelijke kans had om te winnen, voor ongeveer elf jaar moeten kiezen. Christiaan concludeerde dat de verwachting van iemands te bereiken leeftijd dus iets anders was dan de leeftijd die hij met even grote kans wel of niet zou behalen. Deze verschillende benaderingswijzen dienden verschillende doelen. Die van Lodewijk diende om lijfrenten te bepalen en die van hemzelf was bestemd voor degenen die willen wedden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DiscussieIn deze episode zien we iets van de ontwikkelingen in de statistiek met betrekking tot de levensduur. Twee jaar later, in 1671, zou Johan de Witt zijn beroemde Waardije van lijfrente naar proportie van losrente publiceren, waarin kansen en levensverwachtingen verbonden zouden worden met de waarde van een lijfrente. Al was De Witts boekwerk voor zover we weten het eerste waarin kansen en levensverwachtingen met levensverzekeringen werden verbonden, de brieven van de gebroeders Huygens laten zien, dat De Witts boek niet als een donderslag bij heldere hemel kwam. Christiaan Huygens kwam erachter, zo hebben we gezien, dat hij en Lodewijk verschillende dingen met betrekking tot de te bereiken leeftijd van iemand berekenden. Achteraf gezien blijkt dat zij met twee concepten bezig waren die tegenwoordig bekende begrippen zijn en beiden nog regelmatig worden gebruikt. Tegenwoordig zouden we zeggen dat Lodewijk de verwachtingswaarde van de levensduur van een kind had berekend, ofwel de leeftijd die deze kinderen gemiddeld genomen zouden bereiken.Ga naar eind13. Daarentegen had Christiaan het steeds over de leeftijd waarvoor geldt dat de kans dat een kind voor of na die tijd sterft even groot is. Die waarde heet tegenwoordig de mediaan van de te bereiken leeftijd van een kind. Het gemiddelde en de mediaan van iemands levensduur liepen in de gevallen die de gebroeders Huygens beschouwden dus nogal uiteen. Dat kwam omdat de verdeling van de leeftijd die men bereikte door de enorme kindersterfte nogal asymmetrisch was. De keuze voor het gemiddelde als maat voor iemands levensduur kan dan verwarring geven, zoals we in de briefwisseling hebben gezien. Tegenwoordig is de kindersterfte tot een minimum gedaald en is het wel gebruikelijk om de gemiddelde leeftijd te gebruiken. Een andere conclusie: we hebben gezien dat beide broeders op zoek waren naar | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 169]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
een goede maat om het midden van iets aan te geven, en dat ‘iets’ was in dit geval de levensduur. We hebben gezien dat de broers eerst geen van tweeën een probleem zagen, beiden dachten dat het duidelijk was, wat onder dat midden moest worden verstaan. Echter, ze hadden beiden iets verschillends in gedachten: Lodewijk het gemiddelde en Christiaan de mediaan. We hebben ook gezien dat er na enkele brieven verwarring ontstond; ze kwamen erachter dat ze niet hetzelfde idee in het hoofd hadden. Langzamerhand werd duidelijk dat de definitie van een dergelijk concept niet vanzelfsprekend en niet onproblematisch was. Er konden verschillende wegen ingeslagen worden; aan welke weg men de voorkeur gaf was vooral afhankelijk van de toepassing die men in het achterhoofd had. Het was Christiaan aan wie dit uiteindelijk duidelijk werd. De correlatiecoëfficiënt, die een maat is voor de samenhang van twee verschillende grootheden, is een ander centraal concept in de statistiek. Wanneer we de ontstaansgeschiedenis rond 1900 daarvan bestuderen, kunnen we parallelle ontwikkelingen waarnemen.Ga naar eind14. Ook hier was niet iedereen het er direct over eens hoe een dergelijke maat moest worden gedefinieerd. Dat hing er ook van af wat men veronderstelde over de verdeling van de beschouwde variabelen. Naast de correlatiecoëfficiënt als maat voor de samenhang van twee grootheden bestaan er ook andere definities, die echter minder bekend geworden zijn. Uit de geschiedenis blijkt dat wetenschappelijke concepten in het algemeen niet zomaar ontstaan. Al is de ontstaansgeschiedenis van elk begrip weer verschillend, bijna altijd geldt dat zo'n begrip er niet ineens was, maar een langere of kortere, vaak ingewikkelde ontstaansgeschiedenis heeft.Ga naar eind15. |
|