De Tijdspiegel. Jaargang 33

[p. 179]

Godgeleerdheid. - wijsbegeerte. - onderwijs.

Ernst en kortswijl.

I.

Bij een beroemd Amerikaansch auteur vond ik eens de vernuftige indeeling der menschenkinderen in deze drie klassen: geesten die enkel gelijkvloers wonen, geesten die er tevens eene bovenverdieping op na houden, geesten die, behalve hun parterre, twee bovenverdiepingen hebben.

De geesten, die enkel gelijkvloers wonen, zijn verzamelaars van feiten en niets meer dan dat. Geesten met ééne bovenverdieping vergelijken, redeneeren, generaliseeren; zij gebruiken de feiten om tot wetten, tot algemeene beschouwingen op te klimmen. Geesten met twee bovenverdiepingen idealiseeren, phantaseeren, speculeeren; een deel van hun licht komt van boven, stroomt door het dakvenster naar binnen, dat ‘in 's Blaue hinein’ uitzicht verleent.

Onder de geesten, die enkel gelijkvloers wonen, zijn er sommigen, die nochtans eene zeer groote ruimte tot hunne beschikking hebben, waarin zij eene oneindige massa geleerdheid weten weg te stuwen; tot deze klasse behooren bij voorbeeld niet weinige bibliothecarissen, die genoeg in de boeken te huis zijn om anderen te helpen, maar zonder in staat te zijn overigens veel gebruik van hun kennis te maken. De echte vertegenwoordigers der wetenschap houden er ten minste ééne bovenverdieping op na; hun verstand is helder, want hun geest bewoont groote vertrekken en zij hebben ruimte genoeg om hunne gedachten zoo te groepeeren, dat zij er den weg in vinden; beneden zijn de feiten, boven zijn de theorieën en beginselen; overal heerscht volmaakte orde. Maar zij, die den eersten rang in het rijk der geesten innemen, koningen op het gebied der wetenschap, dichters bij de genade Gods, hebben nog een tweede hoogere verdieping met een dakvenster, dat naar boven opengaat; de verhoudingen der werkelijkheid op deze aardsche planeet en in hare omgeving zijn hun te eng; zij

[p. 180]

ontwerpen een mogelijke wereld, die buiten de landpalen onzer ondervinding ligt.

De ons bekende wereld heeft drie afmetingen, niet meer en niet minder. Maar Helmholtz, Fechner, Riemann phantaseeren over een wereld met twee of met vier afmetingen.

Wij kunnen ons intelligente wezens van slechts twee dimensies denken, die aan de oppervlakte van een onzer vaste lichamen leven en zich bewegen. In die onderstelling schuilt geen logische tegenstrijdigheid. Schertsenderwijze tracht Fechner zelfs het bewijs te leveren, dat een schaduw een levend wezen is. Reeds de ouden, zegt hij, hielden de schaduw voor levend, want zij verklaarden de zielen na den dood voor schaduwen en kenden haar toch eene soort van leven daarbij toe. Gelijk de mensch zijn schaduw naast zich werpt, die met hem wandelt, zoo, meenden de Grieken, wierp hij ook een schaduw, die na hem wandelt; gelijk de eerste schaduw door het zonnelicht wordt voortgebracht, zoo de laatste, dacht men, door ons eigen levenslicht. Maar waarom zou het noodig zijn eerst den mensch te dooden om zijn schaduw levend te maken? Reeds het bloote oog ziet, hoeveel overeenkomst een schaduw met een levend wezen heeft. Het is waar, zij heeft ook eigenschappen, die wij missen; maar het zijn voor een goed deel voorrechten. Wij zijn op zijn kleinst in den aanvang, groeien dan en krimpen, als wij oud zijn, weder ineen; de schaduw vangt haar levensdag lang aan, krimpt op den middag samen en wordt 's avonds weder lang. Zij wil zonneklaar toonen, dat zij ons niet alles nadoet. Ook bespeurt zij aan hare lengte altijd, hoe laat het is. Wij leven in drie dimensies: lengte, breedte, hoogte; zij stelt zich met slechts twee dimensies tevreden; maar dit maakt haar slechts minder log. Bij alle pogingen om iets anders uit ons te maken dan we nu eens zijn, zet ons de derde dimensie, dat dik en stijf makende beginsel der ruimte, de grootste bezwaren in den weg. Hoe we ons draaien mogen, de staart van onze pruik blijft altijd van achteren hangen en onze neus altijd van voren staan. Maar wanneer aan de schaduw haar pruikestaart niet meer bevalt, dan schuift zij hem in, en weg is hij; behaagt haar de neus niet langer, dan schuift zij hem in, en weg is hij; nu eens groeien haar de armen lang, dan weder steekt zij hen in haar lijf als in een zak, weg zijn zij, en een oogenblik daarna reikt zij er weer een heel eind mee vooruit. Nu eens gaat zij recht overeind langs een muur, dan weder glijdt zij vlak over den grond, vervolgens neigt zij door midden als een winkelhaak; zij loopt door dik en dun, terwijl wij zorgvuldig onzen weg kiezen; zij maakt zich daarbij de laarzen niet vuil, bezeert zich aan geen steenen, verdrinkt in geen water; alleen het vuur schuwt zij nog meer dan wij zelven. Zij loopt zelfs door andere haarsgelijken heen. Twee schaduwen, die elkander ontmoeten, maken elkander eenvoudig wat zwart, terwijl twee menschen, die tegen elkander aanbonzen, elkander bont en blauw ma-

[p. 181]

ken. Bij al die afwisseling, welke ons een schaduw vertoont, behoudt zij toch haar eigen karaktertrekken. Een domkop en een genie kunnen in hun gedrag niet meer van elkander verschillen dan hunne schaduwen dat doen. Vandaar dat men juist de silhouette, den schaduwomtrek, gebruikt om het karakter der menschen uit te drukken.

Men kan verder phantaseeren en zeggen: indien de mensch, prat op zijn voorrecht, weigert het leven van zijn schaduw te erkennen, zoo kan de schaduw hem dat betaald zetten door op hare beurt het leven van den bij haar behoorenden mensch te loochenen. Daar we geen schaduwen, maar menschen zijn, zijn we natuurlijk enkel in staat te gissen naar de manier, waarop de schaduw zich hare betrekking tot den mensch voorstelt; in ieder geval staan haar twee beschouwingen dienaangaande open.

Ziehier de eerste. De schaduw kan zich zelve als geest en den mensch als haar lichaam aanmerken. Zij kan meenen dat de mensch bestemd is om haar zuiver onstoffelijk bestaan een aanknooping aan het aardsche te verschaffen, op dezelfde manier als wij meenen, dat ons lichaam bestemd is om onze ziel met deze aarde in betrekking te stellen. Het onderscheid zou enkel zijn dat de schaduw als geest naast het lichaam wandelt, terwijl onze geest in het lichaam zijn intrek neemt; op zich zelve beschouwd is echter de eene ruimteverhouding tusschen lichaam en geest evengoed mogelijk als de andere. Waarom zou de geest zijn rok niet evengoed naast zich kunnen hangen als aantrekken? We meenen immers, dat de geest bij den dood zijn rok werkelijk uittrekken zal? En wanneer wij gedurende dit leven slechts die eene manier van verbinding van geest en lichaam bestaanbaar achten, zullen wij het dan aan de schaduw euvel duiden, wanneer zij evenzoo enkel de andere manier voor bestaanbaar houdt? Ziet men, hoe zelfs de schranderste philosofen lichaam en geest scherp aan elkander overstellen, dan zou men zelfs op de gedachte kunnen komen, dat de beschouwing der schaduwen de eenig ware is; maar de philosofen zijn niet onpartijdig, zij worden kennelijk door het rijk der schaduwen geinspireerd; immers hunne stellingen verdragen maar al te dikwijls geen scherp licht. Willen we dus aan de schaduw haar recht laten, zonder het onze te verkorten, dan kunnen we aannemen dat de natuur bij haar streven alle mogelijkheden te verwerkelijken beide verhoudingen te gelijkertijd verwerkelijkt heeft, zoodat derhalve één geest in het lichaam huist, de andere naast het lichaam gaat, en, om strijd te voorkomen, ieder van hen denken moet, dat hij alleen het lichaam bezit. Men weet immers, dat de natuur gaarne één middel tot verschillende doeleinden aanwendt. Waarom zou dus hetzelfde stuk materie niet twee geesten kunnen dienen, waarvan de eene er in, de andere er buiten is?

In ieder geval heeft de schaduw aanleiding om te gelooven dat het lichaam er om haar is, om haar aan dit jammerdal te ketenen. Im-

[p. 182]

mers zonder dat lichaam zou zij hier beneden niet kunnen bestaan. Misschien vleit zich de schaduw niet eeuwig die logge massa, welke haar op den hiel volgt, met zich voort te sleepen; misschien hoopt zij niet altijd in een wereld rond te dolen, in welke meer kwaad, d.i. meer licht, dan goed is. Misschien streeft zij er naar zoo zwart mogelijk te worden, ten einde eenmaal in een hooger rijk der schaduwen, in een rijk van pikzwarten nacht te worden opgenomen, waar zij met andere insgelijks brave schaduwen zonder lichaam en licht zalig wandelen zal. Misschien denkt zij, dat het enkel haar lichaam is, hetwelk, als een scherm, haar verhindert reeds thans de groote opperschaduw in den hemel te zien, welke haar en alle overige schaduwen heeft te voorschijn geroepen. Wij hebben dan misschien het recht met dien ijdelen waan der schaduw den draak te steken. Maar van haren kant heeft de schaduw dan misschien niet minder recht, als zij ons uitlacht, wanneer wij het beste en het hoogste in de wereld voor aan ons verwant aanzien.

Intusschen kan de schaduw nog eene andere voorstelling koesteren. Wij zien in onzen zwarten nevenman onzen bestendigen en van ons afhankelijken metgezel, die tevens de keerzijde van ons positief wezen is: maar in dezelfde verhouding staan wij op onze beurt tot onze schaduw. Derhalve kan mijn schaduw mij evengoed voor haar schaduw, als ik haar voor mijn schaduw houden.

Het is waar, dat er naar ons oordeel aan de schaduw wat hapert, maar op hare beurt zal zij aan ons wat overtolligs vinden; te veel of te weinig nu komt in het wezen der zaak op hetzelfde uit. Wat, zal de schaduw zeggen, prat op haar fijn en ontastbaar wezen, wat heeft die logge klomp, welke met mij loopt, met de ware sfeer van het zijn gemeen? Hij is slechts een excrement, dat buiten het gebied der werkelijkheid valt, een wezen zonder zelfstandig bestaan, een schijnwezen, dat van mij geheel afhankelijk is, dat derhalve ook alles moet meedoen wat ik doe, maar zonder mijne losheid en vrijheid van beweging te bezitten, om welke reden het mij slechts plomp naäpen kan. Terwijl ik mij nu eens rechts, dan weder links wend, zooals mij, tijd van jaar en dag in aanmerking genomen, behaagt, blijft hij altijd een stijve rechte stok en moet hij altijd die plaats innemen, welke hem door mij en de zon wordt voorgeschreven; waar is hier een spoor van vrijheid en zelfstandigheid? Verdwijn ik, dan verdwijnt ook hij, want nooit heeft een schaduw zijn mensch langer dan zich zelf waargenomen. Hoe zou ook een positief wezen zonder tegenstelling met een negatief bestaanbaar zijn? enkel aan deze tegenstelling dankt het zijn schijnbaar bestaan.

Zoo pleit er dus alles voor, dat de schaduw eene soort van platten Moor is, welke evengoed denkt en leeft als de mensch. Al had deze beschouwing geen enkel ander nut, toch zou zij ten minste kunnen dienen om het aantal der overtollige honden te verminderen; want

[p. 183]

daar men deze meestal slechts houdt om een levend wezen te hebben, waarmede men uit wandelen kan gaan en een stom gesprek kan voeren, zoo zal men, indien men in zijn schaduw een zoodanig wezen erkent, niet langer noodig hebben tot een vreemd wezen zijn toevlucht te nemen, te meer daar het onderhoud van een schaduw niets kost en zij volgzamer is dan de getrouwste hond.

Maar dat is kortswijl. Op het voetspoor van den grooten Helmholtz kunnen wij nog, gelijk blijken zal, eene andere en ernstiger toepassing aan de bovengaande beschouwing vastknoopen.

II.

Wij ontdekken aan ons zelven en in de wereld, die ons omgeeft, drie afmetingen: lengte, breedte en hoogte. Is dit bewijs genoeg, dat een vierde afmeting der ruimte niet bestaat, dat zij het vijfde wiel aan den wagen zou zijn?

Er zijn ernstige geesten, gelijk Riemann, Helmholtz, Fechner, die, zoo niet de denkbaarheid, dan toch de mogelijkheid van eene vierde afmeting meenen te moeten toegeven.

Denken we ons, zegt Helmholtz, in het pas verschenen derde deel zijner ‘Wissenschaftliche Vorträge’, met verstand begaafde wezens van slechts twee dimensies, die aan de oppervlakte van een onzer vaste lichamen leven en zich bewegen. We nemen aan, dat zij niet in staat zijn iets buiten die oppervlakte waar te nemen, maar wel binnen de uitgestrektheid der oppervlakte, waarin zij zich bewegen, waarnemingen hebben, aan de onze gelijk. Wanneer zulke wezens zich eene geometrie vormen, dan zullen zij natuurlijk aan hunne ruimte slechts twee afmetingen toeschrijven. Een vlak zou voor hen de meest volledige ruimtevorm zijn, dien zij kennen. Maar zij zouden zich evenmin van een lichaam, dat door de beweging van een vlak kan ontstaan, een denkbeeld kunnen vormen, als wij ons den ruimtevorm kunnen voorstellen, welke beschreven zou worden door de beweging van een lichaam buiten de ons bekende ruimte. Onder de veel misbruikte uitdrukking ‘zich voorstellen’ of ‘zich denken kunnen hoe iets gebeurt’ versta ik - en ik zie niet, wat men er anders onder zou kunnen verstaan -, dat men zich de reeks der zinnelijke gewaarwordingen voor den geest roepen kan, welke men hebben zou, wanneer zoo iets in een bijzonder geval plaats greep. Is er nu geen zinnelijke indruk bekend, welke op een zoodanige nooit waargenomen gebeurtenis betrekking heeft, als voor ons eene beweging in een vierde, voor die schaduwwezens eene beweging in de ons bekende derde dimensie der ruimte zou zijn, zoo is hier ook geen ‘voorstellen’ mogelijk, evenmin als iemand, die in den strikten zin des woords blindgeboren is, zich de kleuren zal kunnen voorstellen, ook al mocht men in staat zijn hem eene begrijpelijke beschrijving van de kleuren te geven.

[p. 184]

En ziehier den trant, waarop Fechner redeneert. Men denke zich een klein bontgekleurd manneke, dat in de camera obscura op het papier rondloopt; dan heeft men een wezen, dat in twee afmetingen bestaat. Wij willen niet beweren, dat zoo'n manneke leeft, maar we kunnen het toch, zonder de logica in het aangezicht te vliegen, onderstellen. Welnu, daar het zien, hooren, streven, handelen van een bloot in twee dimensies bestaand wezen ook geheel binnen die twee dimensies zou besloten blijven, zoo zou het natuurlijk evenmin iets van eene derde dimensie kunnen afweten, als wij, die slechts in drie dimensies leven, van eene vierde. Laat het kleuren- of schaduwmanneke proeven doen, op zijn vlak heen en weer loopen, met teleskoop en mikroskoop zoeken naar een derde dimensie; het zal die derde dimensie evenmin vinden als wij eene vierde; immers het kan met zijn blik zich niet boven het vlak verheffen, maar slechts in de richting van het vlak vooruitkijken. Zijne begrippen zouden zich natuurlijk in overeenstemming met zijne ervaringen vormen en het zou voor onmogelijk houden dat zich door een punt meer dan twee rechthoekig op elkander staande rechte lijnen laten trekken. Het zou volstrekt niet weten, waar het eene derde dimensie had aan te brengen. En toch bestaat die derde dimensie. Zij bestaat voor ons, die zelve in drie dimensies leven.

Welnu, daar we zien dat enkel voor de wezens, die zelve in twee dimensies ophouden, met twee dimensies alles uit is, bestaat er volstrekt geen grond om aan te nemen, dat alles met drie dimensies uit zou zijn, behalve voor de wezens, die zelve in drie dimensies ophouden. Wie bewijst ons dat ook wij niet op onze beurt schaduwmannekes zijn, maar die in drie, in plaats van in twee dimensies leven? De derde dimensie ziet er geen haar anders uit dan de tweede en eerste. Zij heeft niet meer moeite om te bestaan dan de twee anderen. Zij is geen streep korter dan de twee anderen. Er is dus geen reden om aan te nemen, dat de natuur met die derde dimensie hare krachten heeft uitgeput en onmogelijk verder kan. Misschien is er, voor wezens van een ander soort, nog een vierde, een vijfde, een zesde dimensie. Maar we willen niet onbescheiden zijn en vragen dus voorloopig enkel voor een vierde dimensie verlof van bestaan.

Misschien is de beste manier om die vierde dimensie aannemelijk te maken, dat we ons nogmaals tot ons bontgekleurd schijnmanneke in twee dimensies wenden. Gelukt het ons eerst in twee dimensies de derde te pakken, dan zal het ons des te gemakkelijker vallen in drie dimensies de vierde te pakken. Het eerste behoeft slechts eene bijzondere toepassing van de steeds met ijver gevolgde methode te zijn om, wat men niet in drie dimensies realiter vinden kan, in twee dimensies, d.i. op het papier te zoeken en te vinden. En zie, het gelukt.

Ik neem namelijk het vlak, waarin mijn schijnmanneke leeft, en schuif het door de derde dimensie henen; zoo ondervindt het schijnmanneke alles, wat in die derde dimensie is; het zal, dewijl het in

[p. 185]

andere lichtruimten komt, waarin zich de stralen anders groepeeren, zelf ook veranderen en misschien aan het einde van zijn reis er bleek en rimpelig uitzien, terwijl het bij het begin van den tocht rood en glad was. Wel is waar heeft het manneke nooit een stuk der derde dimensie op eens gezien en gelooft het dus op ieder oogenblik altijd nog maar in zijne twee dimensies te zijn; het vat van de geheele beweging enkel het tijdelijke element en de plaats grijpende verandering. Maar in werkelijkheid doorloopt het toch de derde dimensie en alles, wat daarin is. Derhalve zegt het manneke: er is een tijd en in den tijd verandert alles, verander ook ik zelf.

Welnu, ook wij zeggen: er is een tijd en in den tijd verandert alles, veranderen ook wij zelven. Wat ligt daaraan misschien ten grondslag? De beweging van onze ruimte van drie dimensies door de vierde, van welke beweging wij echter slechts het tijdelijk element en de verandering, welke plaats grijpt, waarnemen.

Dit ontsluit den weg tot schoone beschouwingen.

Eigenlijk is alles, wat we zullen doorleven, reeds aanwezig, en wat we hebben doorleefd, is er nog; we kunnen alle gebeurtenissen in deze wereld door een eeuwig en onveranderlijk bestaan vervangen, indien we aannemen, dat wat ons als tijd en opvolging in den tijd verschijnt in den grond eene vierde, voor ons als zoodanig onwaarneembare afmeting der ruimte is. Wanneer derhalve de mensch aanvankelijk kind, ten slotte grijsaard, in het midden man is, heeft men zich voor te stellen, dat zich in de richting der vierde dimensie een lange balk uitstrekt, die aan zijn begin als kind, aan zijn einde als grijsaard, in het midden als man gevormd is, en waarvan de drie dimensies achtereenvolgens telkens zooveel afsnijden, als op ieder oogenblik in haar gaat; dit geeft dan den mensch, die op dit oogenblik leeft. Om zich dat recht duidelijk te maken, denke men aan de manier, waarop de kleine sierlijke mozaïeken gevormd worden, welke tot sieraad als ringen, dasspelden enz. dienen. Men lijmt eerst lange gekleurde stiften in de vereischte orde aan elkander en zaagt dan de zoo verkregen stangen dwars door in tal van schijven; zoo bekomt men uit één stang zonder moeite eene menigte aan elkander gelijke mozaïeken. Op dergelijke wijze wordt van de levensstang des menschen op ieder oogenblik een nieuwe schijf, de mensch zooals hij heden is, afgesneden; het eenige verschil is dat bij mozaïek het snijvlak slechts twee dimensies, bij de levensstang des menschen het snijvlak drie dimensies heeft, verder dat de mozaïekfiguur altijd dezelfde is, terwijl bij den mensch iedere volgende schijf een weinig verschilt van de voorafgaande. Intusschen zou de arbeider in mozaïek evengoed bij de eerste snede de figuur van een kind, bij de laatste die van een grijsaard bekomen, indien hij maar, in plaats van gelijkvormig voortloopende stiften, stiften gebruikte, die zich in de richting der lengte doelmatig veranderden.

Men zou het voorafgaande practisch zeer nuttig kunnen toepassen,

[p. 186]

indien men maar een middel ontdekte om den levensbalk des menschen door dwarssneden in schijven of korte cylinders te verdeelen en deze schijven of cylinders naast elkander te plaatsen, terwijl zij tot dusverre in de lengte op elkander volgen; dan zou men een geheel leger soldaten uit één enkelen mensch kunnen snijden; het geheele leger zou niet enkel uniformrokken, maar ook uniformgezichten hebben; alleen zou het laatste gezicht wat ouder dan het eerste zijn. Was men dan daarenboven zoo wijs om den stangsoldaat vóór het doorzagen behoorlijk af te exerceeren, dan zou men na het doorzagen terstond een goed gedresseerd leger hebben, waarbij overigens niets zou beletten de officieren, evengoed als dit thans ook reeds in den regel geschiedt, uit een afzonderlijke stang te snijden. Het is waar, dat ieder soldaat dan slechts kort zou leven, omdat hij slechts met een zeer kleine breuk van den geheelen menschelijken levensduur in de tijddimensie zich zou uitstrekken, maar daartegen staat het onmetelijk voordeel over, dat men slechts één goed uitgerust soldaat zou noodig hebben om geheel Atjeh te bedwingen, terwijl we ons thans verplicht zien onzen goeden naam in Europa te verspelen door het opkoopen van buitenlanders, die voor grof geld wel de goedheid willen hebben zich voor ons te laten doodschieten.

Om tot de quaestie terug te keeren, het begrip, dat de tijd ons een rad voor de oogen draait, dat alle verandering slechts eene menschelijke illusie is, hoe paradoxaal ook, is verre van nieuw. Steeds zijn er vrome geesten en diepzinnige denkers geweest, die den tijd als een leugen beschouwden, als een kleurglas, ons door het fatum op den neus geschoven, en die leerden, dat er in werkelijkheid, voor God, geen gister noch morgen, maar enkel een eeuwigdurend en onveranderlijk nu bestaat.

Laat ons evenwel eerlijk zijn en bekennen, dat we een vierde dimensie der ruimte, ter vervanging van den tijd, ons onmogelijk kunnen denken. We kunnen met Fechner onze wereld van drie dimensies als een monsterachtigen kogel beschouwen, die zich in een massa van afzonderlijke kogels splitst. We kunnen met hem zeggen: ‘Ieder dier laatste kogels loopt; dus zal de groote alkogel ook wel loopen; maar waarheen zou hij loopen, wanneer er niet eene vierde dimensie bestond? Terwijl hij evenwel zelf door de vierde dimensie loopt, loopen natuurlijk alle kogels in hem mede, en wat op die kogels leeft en zich beweegt, vliegt mede door de vierde dimensie henen’. Maar wie van loopen spreekt, gewaagt van tijd, en gewint de eeuwige rust niet, waarnaar het trachten van alle vromen steeds is uitgegaan. Op die manier verheffen we ons niet tot het begrip eener onveranderlijke en onbewogen werkelijkheid, hetwelk reeds door de Eleaten werd aanbevolen. En evenmin zullen we, indien we geen kat in den zak willen koopen, maar ten minste een eindje van haar staart te kijken verlangen, ons met den blooten naam van vierde dimensie tevreden stellen.

[p. 187]

Al onze middelen van zinnelijke aanschouwing beperken zich tot eene ruimte van drie dimensies; een vierde dimensie zou niet slechts eene verandering in de ons gegeven wereld, maar iets geheel nieuws zijn; vandaar dat het ons absoluut onmogelijk is, al ware het slechts een streep van eene vierde dimensie ons voor te stellen. Intusschen is er volstrekt geen reden om te loochenen, dat misschien door wezens van een ander slag een vierde dimensie gekend en aanschouwd wordt.

Wat wij zelven kunnen, komt enkel hierop neder. Wij zijn in staat ons in twee dimensies levende schaduwmannekes te denken, wezens, wier verstand net zoo is ingericht als het onze en die er nochtans eene geheel andere geometrie en geheel andere axiomen op nahouden dan sedert Euclides' tijd in de scholen der wetenschap als alleen bestaanbaar gelden.

Dat dergelijk jeu d'esprit niet ijdel is, maar ons gewichtige bijdragen levert tot oplossing van de groote vraag betreffende de verhouding tusschen ons verstand en onze werkelijkheid, zal weldra blijken.

III.

Wat is de mensch in het oog der groote schare? Een dier, dat zijn eten kookt, dat kleeren draagt, en, door in allerlei hoeken en gaten te kruipen, heel wat bruikbare kennis bij elkaar weet te scharrelen.

Wat is hij in het oog van menig wijsgeer? Een ziel, een geest, een goddelijk wezen, dat van den aanvang af, onbewust, schatten van waarheid met zich ronddraagt, en, door ijverig in zich zelf te zoeken, door te graven naar de mijnen in de diepten van zijn natuur, allerlei heerlijk weten te voorschijn haalt.

Als Plato de leer, volgens welke de mensch waarheid uit zijn eigen geest put, door een voorbeeld wil opluisteren, dan roept hij een slaaf, die nooit eenig onderwijs in geometrie genoten heeft, aan wien hij niets voorzegt, en uit wien hij, alleen door te vragen en weder te vragen, de bewering lokt dat, om een vierkant te krijgen, hetwelk het dubbel van een ander vierkant is, men tot zijde de diagonaal van dit laatste vierkant moet nemen. Triomfankelijk roept hij dan uit: ‘ziet ge wel, dat ik hem niets behoefde te leeren? hij wist het alles reeds; hij had het enkel vergeten!’

Steeds zijn de mathematici geneigd geweest idealisten te zijn, d.i. 's menschen geest als een bron van waarheid te beschouwen, als vol van kennis, die men vinden kan, door in zich zelf te zoeken.

Zoo werd door den grooten wiskunstenaar Cartesius de leer der aangeboren begrippen opgesteld. En Leibnitz, dat reusachtig mathematisch genie, was er zelfs niet ver van verwijderd de metaphysica van Plato weer te omhelzen. Hij geloofde aan het eeuwig voorbestaan der zielen. De leer van Plato, volgens welke eene waarheid ontdekken en zich eene waarheid herinneren eenerlei is, kwam hem niet

[p. 188]

ongerijmd voor. ‘Il y a quelque chose de solide’, zeide hij, ‘dans ce que dit Platon de la réminiscence’. Ook hij meende, gelijk Plato, dat in de menschelijke ziel wetenschap van allerlei dingen begraven, opgesloten ligt.

En dit kan ons niet verwonderen. Inderdaad schijnt de geometrie uit het brein des menschen te zijn geput. Hare stellingen staan paalvast; tegenspraak en twijfel wagen het niet tegenover haar de oogen op te slaan. Wie denkt eraan ze door een beroep op de feiten der ervaring te toetsen of te staven? En nochtans bezitten we in die geometrie een kennis aangaande de werkelijke wereld, een kennis, welke telkens met vrucht op die wereld wordt toegepast.

De geometrie is een keten van onwraakbare gevolgtrekkingen uit eenige weinige grondstellingen, welke men axiomen noemt. Met behulp van die axiomen wordt ten slotte alles bewezen, maar zelven zijn zij voor bewijs onvatbaar, en nochtans gevoelt ieder, die den zin der woorden verstaat, waarin zij worden uitgesproken, zich onvermijdelijk genoopt hunne juistheid toe te geven. Tot die axiomen behoort de stelling dat, wanneer men de kortste lijn, die tusschen twee punten getrokken kan worden, een rechte lijn noemt, er slechts ééne zoodanige rechte lijn tusschen twee punten mogelijk is. Verder is het een axioma, dat door een punt, buiten eene rechte lijn gelegen, slechts ééne enkele lijn getrokken kan worden, welke met die eerste lijn parallel loopt. Parallel noemt men dan twee lijnen, die in het zelfde vlak liggen en elkander, hoe ver ook verlengd, nooit snijden. Zoo zijn er nog enkele andere axioma's.

Vanwaar nu komen die axioma's? Zij zijn niet alleen onbewijsbaar, maar tevens boven ieder bewijs verheven. Ligt het niet voor de hand te gissen, dat onze geest ze in zich zelven vindt, dat ze voortvloeien uit de inrichting van ons verstand?

De fictie van slechts in twee afmetingen levende schaduwmannekes is het beste middel om de ongegrondheid dier gissing aan te toonen. Wij hebben reeds gezien, dat er allerlei fraaie schijngronden voor het leven van zulke mannekes kunnen worden aangevoerd. Er is dus geen logisch bezwaar, hetwelk ons verhindert zulke mannekes zich eene geometrie te laten fabriceeren.

We kunnen ons philosopheerende wezentjes van twee dimensies denken, die op een oneindige, volkomen effen vlakte leven. Hunne geometrie zou er natuurlijk juist zoo uitzien als onze planimetrie. Ze zouden aannemen, dat er tusschen twee punten slechts ééne rechte lijn mogelijk is, dat door een punt buiten eene rechte lijn slechts ééne lijn getrokken kan worden, welke met de eerste parallel loopt, enz. Maar daar zij niet in de hoogte of in de diepte zouden kunnen zien, daar hun blik slechts in de richting der vlakte zich zou kunnen uitstrekken, zouden zij van geen derde dimensie droomen en van hun planimetrie onmogelijk op den berg der stereometrie kunnen klauteren.

[p. 189]

Maar laat ons met Helmholtz eens schaduwmannekes aannemen, die aan de oppervlakte van een kogel of van een eivormig lichaam leven. Zou ook dan nog hunne geometrie, voor zoover zij reikt, aan de onze gelijk zijn?

Rechte lijnen in den zin, dien wij aan dien term hechten, zouden er voor hen niet bestaan. Maar wel zouden zij kortste lijnen kennen, of, zooals de geometrische terminologie het medebrengt ze te noemen, geodaetische lijnen van het oppervlak, lijnen, zooals ze een gespannen draad beschrijft, dien men aan het vlak aanlegt. Om hare analogie met de rechte lijnen van een effen vlak aan te duiden, kan men ze, des verkiezende, op het voorbeeld van Hemholtz, rechtste lijnen van het kogel- of eivormig vlak noemen.

Leefden onze intelligente schaduwwezens aan de oppervlakte van een kogel, dan zou, zooals Hemholtz opmerkt, hunne kortste of rechtste lijn tusschen twee punten een boog van den grooten cirkel zijn, welke door de bedoelde punten kan getrokken worden. ‘Iedere grootste cirkel, die door twee gegeven punten gaat, wordt daarbij in twee gedeelten verdeeld. Wanneer de twee gedeelten ongelijk lang zijn, is het kleinste de eenige kortste lijn op den kogel, welke tusschen de beide punten bestaat. Maar ook de andere grootere boog van denzelfden grootsten cirkel is eene geodaetische of rechtste lijn, want ieder kleiner stuk ervan is eene kortste lijn tusschen hare beide eindpunten. Om die reden kunnen wij het begrip van de geodaetische of rechtste lijn niet kortweg met dat der kortste lijn identificeeren. Wanneer nu de beide gegeven punten eindpunten van denzelfden diameter van den kogel zijn, dan snijden alle door dien diameter gelegde vlakken halve cirkels uit het kogelvlak, welke halve cirkels alle kortste lijnen tusschen de beide eindpunten zijn. In zoodanig geval zijn er dus oneindig vele aan elkander gelijke kortste lijnen tusschen de beide gegeven punten. Derhalve zou het axioom, volgens hetwelk er slechts ééne kortste lijn tusschen twee punten bestaat, voor de kogelbewoners niet zonder eene zekere beperking geldig zijn’.

‘Parallelle lijnen zouden de kogelbewoners in het geheel niet kennen. Zij zouden beweren, dat twee rechtste lijnen, genoegzaam verlengd, elkander ten slotte niet in één, maar in twee punten steeds moeten snijden. De som der hoeken van een driehoek zou volgens hen altijd grooter zijn dan hare rechte hoeken, en des te grooter, naarmate de oppervlakte van den driehoek grooter was. Om diezelfde reden zou hun ook het begrip der geometrische gelijkvormigheid tusschen grootere en kleinere figuren derzelfde soort ontbreken. Immers een grootere driehoek moet in hun geval noodwendig andere hoeken dan een kleinere hebben’.

We kunnen verder gaan en ons redelijke wezens denken, welke aan de oppervlakte van een eivormig lichaam bestaan. ‘Tusschen drie punten van zoodanige oppervlakte zou men steeds kortste lijnen kunnen trek-

[p. 190]

ken en zoo een driehoek construeeren. Wanneer men echter beproefde op verschillende plaatsen van deze vlakte gelijke driehoeken te construeeren, dan zou het blijken dat, wanneer twee driehoeken even lange zijden hebben, hunne hoeken niet even groot uitvallen. Aan het spitse einde van het ei zou de som der hoeken van den driehoek meer van twee rechte hoeken verschillen dan wanneer een driehoek met dezelfde zijden aan het stompe einde geteekend werd; daaruit blijkt, dat op zoodanig vlak zelfs niet een zoo eenvoudige figuur, als een driehoek is, zonder verandering van haar vorm van de eene plaats naar de andere zou kunnen worden voortbewogen. Eveneens zou het blijken, dat wanneer aan verschillende plaatsen van zoodanige oppervlakte cirkels met gelijke stralen getrokken werden (ondersteld dat de lengte der stralen altijd door de kortste lijnen langs de oppervlakte gemeten werd), de omtrek der cirkels aan het stompe einde altijd korter zou uitvallen dan aan het spitse’.

Uit deze voorbeelden kan men het resultaat trekken, dat wezens met eene andere woonruimte dan de onze, maar wier verstand aan het onze geheel gelijk is, er nochtans andere geometrische axioma's op na kunnen houden dan door ons als geldig erkend worden. Men versta mij wel. Ik zeg geenszins dat de schaduwbewoners van een cirkel of een ei de juistheid der axioma's van Euclides zouden loochenen; zij zouden haar niet kunnen loochenen, want zij zouden den zin onzer axioma's niet eens verstaan. Zij zouden niet leeren, dat er tusschen twee punten twee verschillende rechte lijnen mogelijk zijn of dat er door een punt, buiten een rechte lijn gelegen, meer dan één lijn getrokken kan worden, welke met de eerste evenwijdig loopt. In dat geval zouden zij met onze axioma's in strijd komen. Maar daar zij het begrip van rechtlijnigheid, d.i. van eenvormigheid van richting missen zouden, zouden onze axioma's betreffende de rechte lijn en betreffende de parallellen eenvoudig voor hen abracadabra zijn.

Nog op eene andere wijze kan blijken, dat de schaduwbewoners van een ei onmogelijk de geometrie van Euclides tot de hunne zouden kunnen maken. Want de spil, waarom alle bewijsvoering volgens de methode van Euclides draait, is een aanname, welke voor hen niet gelden zou, de aanname, dat men gelijkheid van figuren bewijzen kan, door te toonen, dat die figuren elkander kunnen dekken. Hoe bewijst Euclides, dat twee driehoeken, welke twee zijden en den ingesloten hoek gelijk hebben, aan elkander gelijk zijn? Door in gedachte den eenen driehoek op den anderen te plaatsen. Aan die handelwijze ligt eene hypothese ten grondslag, de hypothese dat bij beweging gedaante en grootte der ruimtevormen onveranderd blijven. Zijne redeneering zou niet overtuigen, indien we niet dikwijls proeven met vaste lichamen genomen hadden van den aard als hier door hem stilzwijgend ondersteld worden. Voor de schaduwbewoners van het ei zou zich, gelijk reeds gezegd is, een in de eivlakte liggende driehoek niet laten verschuiven,

[p. 191]

zonder verandering van zijn vorm. Het heet, dat wij in onze geometrie alle eigenschappen der lichamen, behalve hunne grootte, buiten spel laten, maar in werkelijkheid brengen we toch telkens eene physische eigenschap in rekening, nam. de vastheid. Bij ons meten van figuren onderstellen we, dat vorm en dimensies niet van de plaats afhankelijk zijn, waar de figuren worden aangetroffen. Die onderstelling wordt ons van onze prille jeugd af door ons hanteeren van vaste dingen mogelijk gemaakt; het kind speelt met blokjes hout en ondekt daaraan de physische eigenschap der vastheid, want op welken tijd en op welke plaats en na welke draaiing hij ze ook aan elkander past, steeds zijn hunne dimensies dezelfden. Onze geometrische axiomen zijn geen stellingen, welke enkel op de zuivere ruimteleer betrekking hebben; zij berusten op de hypothese, dat geometrische vormen als vaste lichamen zich gedragen, eene hypothese, welke ons enkel door het verkeer met vaste lichamen, d.i. door ondervinding, in onze wereld verkregen, kan zijn aan de hand gedaan.

Uit al het voorafgaande vloeit voort, dat het karakter onzer geometrie, dat de aard onzer axiomen, afhankelijk is van de wereld, waarin wij leven. De kennis, die wij in onze geometrie aangaande de werkelijke wereld bezitten, spruit met andere woorden voort uit het verkeer van onzen geest met die wereld, uit de ervaring. Om hetzelfde negatief uit te drukken: onze geometrische kennis is niet een kennis der werkelijkheid, welke de geest uit zich zelven put. Wij kunnen niet toegeven, dat de axioma's onzer geometrie voortvloeien uit de bloote inrichting van ons verstand. Bij dezelfde inrichting van ons verstand zouden we, in eene andere ervaringswereld, b.v. als schaduwen aan de oppervlakte van een ei, levende en ons bewegende, er andere axiomen en eene andere geometrie op nahouden.

Zoo strekt onze fictie van schaduwmannekes om een der gewichtigste philosophische problemen te beslechten, het probleem of de geometrie al dan niet ervaringswetenschap is.

De moraal der fabel is dezelfde als die van ‘Peter Schlemil's Wundersame Geschichte’, deze namelijk, dat wij de schaduw in eere dienen te houden.

Is de auteur van dit stuk er daarenboven in geslaagd de aandacht op twee boeken van den jongsten datum te vestigen: ‘Kleine Schriften van Dr. Mises’ (Fechner) en ‘Wissenschaftliche Vorträge von Helmholtz, Drittes Heft’, zoo kan hij er zich op beroemen zijn doel bereikt te hebben.