Onze Taaltuin. Jaargang 1

[p. 257]

[Nummer 9]

De telwoorden en hun ontstaan

HOE de menschen leerden tellen, kunnen wij a posteriori op twee manieren onderzoeken. Ten eerste door na te gaan, hoe primitiever volken nog heden ten dage tellen, en ten tweede, door nauwkeurig te bestudeeren, hoe onze kinderen thans in Europa het tellen leeren. Natuurlijk is er tusschen den ontwikkelingsgang van het kind en de menschheid trots opvallende overeenkomsten een ontzettend verschil. Terwijl de menschheid toch tastend in het duister, en daarbij vaak op zijpaden verdolend, den moeilijken weg van de concrete hoeveelheid dingen naar het abstracte telwoord zoeken en vinden moest, heeft het kind zich slechts geleidelijk aan het reeds lang gevondene aan te passen. De abstracte telwoorden worden het kind bij wijze van spelletje in den mond gegeven, en de meeste kinderen kennen het rijtje telwoorden van één tot tien reeds lang van buiten, eer zij in de verste verte een abstract getalbegrip kunnen vormen. Als wij echter scherp toezien, doorloopt het kind bij deze geleidelijke aanpassing al de zelfde sporten van de ladder, waarop de verschillende primitiever volken zijn staan gebleven, of zich hebben vastgewerkt; en kunnen wij dus de verschillende ontwikkelingsphasen van kind en menschheid met elkander vergelijkend, tot een dieper inzicht in beide geraken, en zoo althans in groote trekken met veilige zekerheid den weg afbakenen, langs welken het menschelijk verstand is opgeklommen uit het dal der concrete veelheden naar het hoogland der abstracte getallen.

Maar om ons dat dieper inzicht, gegroeid op a-posterioristischen bodem, nu te doen rijpen tot causaal begrijpen, moeten wij het ook nog in het zonnetje zetten van de beschouwende a-priori-analyse en het door de deducties der philosophische wiskunde laten koesteren. Sinds Hus-

[p. 258]

serl toch in zijne Philosophie der Arithmetik (Halle 1891) het beproefde, om steunend op Brentano en Dedekind het complexe psychische feit van het wiskundig getalbegrip descriptief in alle nauwkeurigheid te benaderen, en von Ehrenfels, Deuchler e.a. daaruit vanzelf tot een psychologischen opbouw in verschillende verdiepingen concludeerden, kunnen wij nu nagaan, of inderdaad deze redeneerende analyse en deductie klopt met de opvolging der verschillende ontwikkelingsphasen die ethnologie en linguistiek ons voor de onbeschaafde volken, en de kinderpsychologie ons voor den individueelen contemporainen zielegroei aan de hand doen. Het resultaat dezer drievoudige confronteering zal in détails misschien sommiger verbazing, maar in de groote lijnen waarschijnlijk vrij algemeene bevrediging en instemming ontmoeten. Wij zullen hier dus vier phasen of verdiepingen moeten onderscheiden.

Eerste phase der losse collectieve groepnamen

Hoe Keesje er toe kwam, dingen van feiten te onderscheiden, hebben wij in den Kleuterroman (op blz. 28 en 39) gezien. Het bekendheidsgevoel maakte van alle bekende dingen altijd dezelfde trouwe maatjes, terwijl de feiten toch telkens weer anders waren. Ook zagen wij (op blz. 40) hoe hij kort daarna het verschil tusschen soortnamen en eigennamen ontdekte, doordat hij begon te beseffen dat allerlei verschillende dingen met den zelfden naam genoemd werden. En pas daardoor voelde Keesje zich in staat door een soort passieve associatie de meervoudsvormen van de soortnamen te verstaan en ook zelf te gaan gebruiken. Zoo b.v. manne, chodate (1, 10 blz. 74). Meen nu echter niet, dat hiermee Keesje al een zuiver denkbeeld had van de onderlinge gelijkenis die er tusschen de verschillende mannen of soldaten bestaat. Welneen, hij voelde alleen in het vage, dat al dat soort bijeenhoorde. M.a.w. manne boome vatte hij niet op als bijeentellingen van verschillende mannen of boomen, maar als verzamelnamen voor een groepje man en een groepje boom. Zoo meenen ook wij nog, als we ‘geboomte’ of ‘gevogelte’ zeggen, daarmee nu juist geen bijeentelling van boomen of vogels, maar bedoelen alleen in het vage die bepaalde verzameling of groep, gelijk b.v. uit de woorden ‘gebergte’ en ‘gestoelte’ vooral zoo duidelijk blijkt. ‘Gestoelte’ is toch geen verzameling van stoelen maar een groote stoel met z'n entourage. Zulke woorden noemen wij dus onbepaalde groepnamen of Collectiva. In vele talen zijn de oudste nomina geen singularia, maar typische groepnamen, waarvan door een bepaalden demonstratief-uitgang later de singularis wordt afgeleid.

[p. 259]

Zulke groepnamen¹⁾ zijn nu ook aanvankelijk waarschijnlijk al onze meervoudsvormen geweest. De Indogermaansche Pluraalvormen op -a leerden wij van Johann Schmidt als zulke onbepaalde groepnamen of collectiva verstaan, die dus zoowel de functie van een femininum singulare als een neutrum plurale konden vervullen. En dat in allerlei primitieve talen òf geen meervoudsvormen bestaan, of het schijnbare meervoud niets dan verkapte collectiva zijn, is algemeen bekend. Husserl's theoretische analyse begint nu ook met hetzelfde grondfeit: hij karakteriseert deze primaire psychische daad als ‘eine kollektive Verbindung der einzelnen Elemente zu einem Ganzen’ (blz. 13 en 15).

Naast en tusschen deze onbepaalde groepnamen verschijnen nu echter weldra meer bepaalde en wel op dezelfde wijze als de onbepaalde nog zonder noemenswaarde abstractie. Eer dat een kind begrip krijgt van twee dingen, begrijpt het reeds heel in het vage wat een paar bijeenhoorende dingen is, ook al kent het dikwijls er nog geen woord voor. De indruk van één schoentje brengt het er vanzelf toe om naar het tweede schoentje te zoeken. Maar weldra leert hij ook het woord ‘paar schoenen’ kennen en ‘paar kousen’ en ‘paar toffels’ enz. Merk echter op dat het woord ‘paar’ buiten die vaste verbindingen nog niet voorkomt. Welnu, hiermee komt overeen, dat in allerlei min of meer primitieve talen zich een bijzondere Dualis-vorm voor gepaarde bijeenhoorende dingen heeft ontwikkeld.

Het feit echter dat zulk een vaste Dualis-vorm in een taal bestaat wijst er natuurlijk op, dat min of meer in het vage de sprekers zulke tweetallen of paren van verschillende dingen door het bekendheidsgevoel reeds als een vaste kategorie van oude bekenden beschouwen. Dat hebben ze reeds vaak beleefd, zoo'n vaag paarbewustzijn. En telkens als ze het weer voelen, zetten ze dat suffix achter het woord.

Een heelen stap verder brengt ons de eigenaardige afwijking van het getal 2 in het Oud-Egyptisch en Koptisch, dat in tegenstelling der andere telwoorden achter den soortnaam staat, en het enkelvoudig bepalend lidwoord bij zich heeft, zoodat wat gewoonlijk als de 2 schepen vertaald wordt, zeker juister met het schippaar wordt weergegeven. In de oudste teksten nu staat hier de voorwerpsnaam schip bovendien in den Dualis. Wij zien hier dus duidelijk het vage bekendheidsgevoel in den eersten vorm van bewuste abstractie overgaan. Er ontwikkelt zich voor dat paarbewustzijn: een afzonderlijk woord, in beteekenis volkomen gelijk aan ons woord ‘paar’ maar dat ook vaak met het woord twee ver-

1) G. Royen: Die nominalen Klassifikations-Systeme in den Sprachen der Erde, Mödling 1929, blz. 594 vlg. § 11. Kollectivität und Pluralisierung et passim.

[p. 260]

taald wordt, wat natuurlijk geen verschil maakt, als wij taalpsychologen hier maar de dupe niet van worden, en ineens meenen, dat de stap van een paar naar twee al gezet zou zijn. De groote vooruitgang bestaat hierin, dat vroeger bij den louteren Dualis, het paarbewustzijn slechts in den buitenrand van het bewustzijn even opdoemde en daarom met een suffix werd aangeduid, terwijl de soortnaam in het midden van het bewustzijn stond: terwijl het paarbewustzijn nu althans even als iets op zich zelf in het fixeerpunt van het aandachtsveld komt staan en zoodoende een apart woord vraagt. Maar keeren wij naar de kinderkamer terug.

Heel wat meer moeite kost het: het nu volgend kunststukje klaar te spelen: een trits of drietal altijd samen voorkomende dingen tegelijk te begrijpen. Juist als Keesje hielp ook het Amsterdamsche kindje graag bij het dekken en opruimen der tafel. Gewoonlijk was het haar werk de servetten bij de borden te leggen: het waren er drie: een voor pappie, een voor mammie en een voor broer John. De drie servetten lagen naast elkaar. De kleine nam ze dan een voor een, en legde ze naast het bord waar ze thuis hoorden. Op een mooien dag nam vader zonder dat de kleine er iets van gezien had, een der drie servetten weg. Zij merkte dit aanstonds en miste het wel degelijk. Ze ging in het buffet kijken, maar kwam teleurgesteld terug: John fet weg (John's servet weg). Terwijl ze nu overal rondzocht, legde vader het derde servet weer bij de twee andere, en nu kraaide ze het uit van plezier: John fet weer, en legde ze aanstonds bij ieder bord. Hieruit volgt dus dat de kleine althans één bijzonder soort drietal reeds tegelijk met haar bewustzijn omvatte. Welnu, ook deze phase hebben sommige primitieve volken doorloopen. En bijna alle Melanesische talen hebben tot op den huidigen dag naast den Dualis ook een Trialis bewaard: d.w.z. een aparten uitgang voor groepen van drie.

Juist in de Melanesische talen nu zien wij dat de aanvankelijk voor een ‘paar’ en een ‘trits’ opgekomen afzonderlijke woorden weer spoedig in het gebruik tot suffixen worden omlaag gedrukt. In deze ontwikkelingsphase toch kan het verstand de weelde van een op zich zelf gefixeerd paar-of tritsbewustzijn nog niet dragen. De kwaliteit en de kwantiteit, of philosophisch juister gesproken: de comprehensie en de extensie zitten nog al te stevig aan elkander vast.

Toch lukt het nu aan kinderen om bij wijze van tegenstelling tot een paar schoenen, of een drietal servetten, die zij sinds eenige maanden kennen, ongeveer op 3-jarigen leeftijd tot het begrip van een benoemde eenheid te geraken, en zoo ongeveer te begrijpen wat één schoen, of één servet is, tegenover een paar schoenen en een drietal servetten. En op de vraag hoeveel: te antwoorden met eentje.

[p. 261]

Het reeds gebruikelijke onbepaalde lidwoord is zoo dus met een speciaal accent tot het telwoord één gepromoveerd. En wel als een bijzonder geval van de groepnamen, wat ook Husserl hiertegen theoretiseert. Pas als tegenstelling tot grootere groepen, is de numerieke eenheid in haar wezen verstaanbaar. En in zooverre had dus de philosophische wiskunde gelijk als zij bij monde van vele harer beoefenaars deduceerde¹⁾ dat de ‘twee’ oorspronkelijker moest zijn dan de ‘één’. Alleen verwarde zij hier het telwoord ‘twee’, met den groepnaam ‘'n paar’, en vergat zij, naast dezen het meest voor de hand liggenden, ook de verdere primitieve groepnamen aan te geven.

In allerlei talen wordt op dezelfde wijze nu tegenover de vrouwelijke collectieve en de echte plurale pronomina, het ongedifferencieerd demonstratief pronomen tot het eerste telwoord, en tevens het eerste als zoodanig gevoelde singulare. Trouwens ook de ongedifferencieerde stam der type- of soortnamen wordt hiermee voor het eerst tot een enkelvoudigen voorwerpsnaam, wat hij in heel veel talen nog niet is.

Het is echter heel begrijpelijk, dat zoolang het menschelijk verstand op dezen trap staat, er niet zoo spoedig hoogere bepaalde groepnamen opkomen; daar het den ongeoefende niet zoo gemakkelijk valt een groep van vier, vijf of zes, zoo met één oogopslag, als scherp onderscheiden groepen te onderkennen, wat we b.v. uit de kinderteekeningen zoo goed kunnen zien, als de kleine teekenaars, zonder eenig gewetensbezwaar aan honden en paarden vijf of zes of zelfs tien pooten geven; terwijl ze zich b.v. in de oogen of handen zelden of nooit vergissen. Wel ontwikkelt zich nu zoowel in de kindertaal als bij onbeschaafde volken naast deze drie bepaalde groepnamen, dienovereenkomstig nog een nieuwe onbepaalde groepnaam voor ‘een hoop’ of ‘veel’. Dit woord is gelijk ik reeds vroeger in mijn Principes de linguistique psychologique betoogde, oorspronkelijk niets anders dan een gevoelswoord voor intensiteit, en komt dan ook meestal zonder soortnaam voor.

Daarom meen ik dan ook, dat in de vele primitieve talen, waarvoor wij opgegeven vinden, dat ze maar kunnen tellen tot twee of drie, en alles wat daarboven is, met veel aanduiden; deze opgave in zooverre onjuist is, dat deze ‘twee’, ‘drie’ en ‘veel’, niet eigenlijk ‘twee’, ‘drie’ en ‘veel’, maar ‘een paar’, ‘een trits’, ‘een hoop’ beteekenen; en dat het dus veel juister zou zijn, te zeggen, dat deze talen volstrekt geen telwoorden hebben, maar alleen een stuk of drie, vier bepaalde groepnamen voor de meest voorkomende gevallen. Deze meening

1) Chr. v. Ehrenfels: Zur Philosophie der Mathematik. Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie. Bnd. 15 1891, blz. 288.

[p. 262]

wordt nog hierdoor gesteund, dat het getelde substantief achter deze primitieve groepnamen, vaak in een soort genetief verband voorkomt, zoodat wij niet twee voeten of drie vingers moeten vertalen, maar een paar van voeten, een trits van vingers. Bij filu in het Oud-Germaansch is deze wending nog de eenig mogelijke. En wij weten allen, hoe deze constructie ook nog lang in heel beschaafde talen zooals b.v. de Semitische, bij de telwoorden van 3-10 in zwang is gebleven.

Toch is het mogelijk met een rijper verstand, van deze bepaalde groepnamen uit, heel wat verder te komen, zooals weer eenstemmig de huidige kindertaal, en de overzeesche primitieve talen leeren.

Sommige begaafde kinderen toch komen er, althans op 3½ jarigen leeftijd toe, ook het viertal of het zestal als een groep op te vatten. Het Amsterdamsche zusje gaf aan vader, die vroeg, hoeveel pooten een paard had, trouw in groepnamen ten antwoord: Twee pooten van voor en twee van achter. En ze ging om het hem duidelijk te laten zien, op handjes en voetjes kruipen, en riep daarbij triomfantelijk: Kijk maar! In de volgende dagen constateerde ze nu, dat haar bruin Beertje ook 2 pooten had van voor en 2 van achter; de tafel had ook twee pooten van voren en twee van achteren, de stoel ook; haar poppenwagen had 2 wielen van voor en 2 van achter, een rijtuig ook! En gewoonlijk gaat dit in den vorm van: een dubbel paar, of een paar paren. Zoo speelde een Zwitsersch kindje op 3½ jarigen leeftijd langen tijd met vier poppen: twee groote en twee kleine. Wat deed het nu op een keer? Het legde één groote met een kleine ernaast links, en de andere groote met de overblijvende kleine ernaast rechts, en riep toen: Alle-twee¹⁾ moeders met hun kleine kind. En toen het kort daarop twee dienstmeisjes elk met een kindje aan de hand over straat zag wandelen, klonk het: twee kleine meisjes met hun mama. Ook hier hebben we dus althans één speciaal viertal, of groep van vieren; d.w.z. een groep uit tweemaal moeder en kind bestaande. En een jaar later zei het, toen vader eens vier oogen teekende, dat dit voor twee kinderen genoeg was.

In al deze gevallen is, gelijk we zagen, het groepgetal onafscheidelijk met de bijeenhoorende dingen zelf samengegroeid, m.a.w. er is nog geen duidelijke scheiding mogelijk. Inhoud en omvang zitten nog dooreengestrengeld aan elkander vast. Geen wonder dan ook, dat al weet een kind heel goed wat een paar oogen, een drietal servetten, en een viertal moeders-met-kinderen zijn, het nog heelemaal niet begrijpt wat

1) Als primitieve groepwoorden komen voor ‘paar’ bij ons in de kinderkamer gewoonlijk de van ouderen nagezegde ‘allebei’ en ‘allctwee’ voor, die dus een simpeler beteekenis hebben dan het hoofdtelwoord twee.

[p. 263]

een paar huizen, een drietal boomen en een viertal palen beteekenen moet; ja zelfs niet inziet dat er tusschen het tweetal oogen en een tweetal huizen enz. de minste overeenkomst bestaat. Zoo kende een Amerikaansch kind van 2½ jaar heel goed het onderscheid tusschen een of twee appels die ze kreeg; maar van een of twee ooren, een of twee oogen, waarop haar nooit bijzonder gewezen was, had zij heelemaal geen begrip. Een Hongaarsch kindje kon wel van twee stukjes chocolaad regelmatig het tweede wegnemen, maar niet van twee postzegels. Daarom dan ook hebben allerlei primitieve talen voor twee, drie en soms nog veel grooter groepgetallen, niet één woord maar een heele reeks woorden. Wil men zeggen een paar oogen, dan moet men voor een paar een heel ander woord gebruiken, dan als men zeggen wil: een paar schapen. De Melanesische talen hebben voor een groep van 10 eieren één heel ander woord, als voor een groep van 10 manden, en op Fidji heeten 100 kano's gewoon bola, maar 100 kokosnoten koro, zonder dat die woorden iets met elkander te maken hebben. Een tiental broodvruchten heeten er ‘tura’, een tiental zwijnen ‘rara’, een tiental kokosnoten ‘buru’, een tiental schildpadden ‘bi’. Trouwens ook wij onderscheiden nog graag tusschen een paar menschen, een juk ossen, een span paarden, een koppel duiven, een dubbele punt, een tweeling, een afschrift in duplo, een duo. En ook wij kunnen nog niet spreken van het paar der aardpolen, daar liggen ze in onze verbeelding te ver voor uit elkaar. Ook wij onderscheiden nog een drietal (kandidaten), een driesprong, de trits Gratiën, een klaverblad guitige snaken, een drieling, een driespan, een trio, een triplet, een triool, een triptiek en een terne (uitgelote nummers).

Wij spreken van een dozijn doosjes en andere dingen van niet veel waarde, maar nooit van een dozijn Apostelen, van een snees vischjes, maar nooit van een snees vingers en teenen, omdat die niet aan een touwtje worden geregen, een schok eieren en een gros pennen, en niet omgekeerd. Ten slotte is het nog van belang even op te merken, dat zoo goed als al deze groepnamen door gelijkenisoverdracht ontleend zijn aan den naam van een speciale groep. Vijftal = hand of vuist. Het Abiponenwoord voor viertal = struisvogelpoot (die 4 teenen heeft), Sanskrit Veda = viertal (om de 4 Veda-boeken).

Het Semitisch telwoord voor tiental hangt waarschijnlijk samen met het Egyptisch woord voor hagedis, dat tevens: veel, een hoop beteekende, omdat de hagedissen in Egypte met hoopjes voorkwamen. Trouwens de cijfers van een tot tien noemden de Latijnen nog digiti, wat in het Engelsch als digits voortleeft. Een twintigtal viginti = de beide tientallen, namelijk de vingers en teenen.

[p. 264]

Een duizendtal wordt in de Egyptische hieroglyphen als een lotus afgebeeld, en zeer waarschijnlijk was ook het woord voor duizend, aan de lotusbloem ontleend, die in de Nijlarmen en Egyptische kanalen bij duizendtallen voorkwam. Het Hgd. woord Imme voor bij (ook nog in Ned. imker) schijnt verwant met het Latijnsche omnis. Het Oud-Egyptische woord voor 100.000 evenals de hieroglief zijn de naam en het beeld van den pad, die in wriemelende hoeveelheden in het Nijlslijk krioelde.

Welnu op dezelfde wijze vormen nu vele talen uit een paar paar vingers en een paar tritsen vingers: constructies die vaak foutief als vier of zes vingers vertaald worden, maar zeker na verloop van tijd een viertal, een zestal gingen beteekenen en hieruit ontwikkelde zich de mogelijkheid om door een paar viertallen (waarschijnlijk meestal de vier vingers zonder den duim) tot een achttal te komen. Het Idg. woord voor acht: oktou is een dualis van Georgisch otcho = 4. Een viertal van tritsen bracht hen tenslotte door de vingerleden der vier vingers tot een dozijn. En daarom was het eenzijdig van Husserl (blz. 80-81), om die collective Verbindung altijd als eine einfache Relation op te vatten. Zijne constateering: der colligirende Act umfasst alle Glieder ohne collective Unterverknüpfungen, geldt wel voor onze volop ontwikkelde somnamen, maar niet voor de hier geschetste primitieve groepnamen, waaruit zich heel langzaam de eerstgenoemde nu gaan ontwikkelen. Sommige volken redden zich ook later nog met het tellen van paren (Neulauenburg, Parkinson 746) andere met tritsen (Westermann 127) weer andere met viertallen (mengen Anthropos II, 88) althans voor kokosnoten en broodvruchten. De Ewe-negers tellen de Kaurischelpen ook bij vijven en twintigtallen (Anthropos IV 161). De Gazelle-schiereilanders tellen eieren en dieren met vier- of vijftallen, vruchten in bundeltjes met vier- of zestallen, dunne bamboetakjes met achttallen (Parkinson 732).

Bij vele volken kwam verder de groep vingers eener hand met den duim erbij gerekend door gelijkenisassociatie, denk aan ons klaverblad, ook voor andere vijftallen in gebruik, zoo b.v. voor een hand takken, of door contiguiteitsassociatie zoodat een hand kinderen (aan elken vinger een) een vijftal kinderen ging beteekenen. En daar juist het woord ‘hand’ natuurlijk vaak ook in den Dualis voorkwam, had men hiermee het eerste tiental gevonden. Een trits van handen is op het Gazellenschiereiland het telwoord voor 15, terwijl de Dahomey-Amazonen hiervoor drie voeten gebruiken. Van het tiental kwam men door een paarwoord of tritswoord tot het twintig- en dertigtal. Van tien of twintig kwam men tot een hand tientallen of 50, quatre-vingt of 80, en eindelijk tot een tiental tientallen of honderd en waarschijnlijk reeds vroeger tot

[p. 265]

een dozijn dozijnen. Een groot honderd was een tiental honderdtallen of twaalftallen enz. met quinze-vingt kwam men tot 300. Een twintig twintigtallen hielp blijkens het aan het Noorsch ontleende Engelsche score en het on skor zelf aan een groepnaam voor 400.

U ziet: ook zonder eigenlijk tellen of telwoorden, of met louter groepnamen, is er in de wereld der hoeveelheden reeds heel wat te bereiken. En in dezen zin is de vermenigvuldiging in de geschiedenis der menschheid ouder dan de ons zoo simpel lijkende optelling. Voor optelling is toch rijvorming en besomming noodig, maar voor deze primitieve groepsvermenigvuldigingen niet.

De vraag doet zich nu echter voor: of deze groepnamen, zoolang ze nog zoo los en afzonderlijk naast elkaar staan, toch niet al min of meer een klimmende reeks gaan vormen. Welnu in dezen zin moeten wij dit beslist ontkennen. Zeker zal een intelligente inboorling, als wij hem duidelijk vragen of een paar paren grooter is dan een paar, of een tiental grooter is dan een vijftal, of een twintigtal grooter is dan een tiental, of een honderdtal grooter is dan twee twintigtallen, daarop telkens bevestigend antwoorden. Maar dat is nog heel iets anders, dan een vaste klimmende reeks kant en klaar voor den geest hebben staan. Neen, in dit stadium staan deze groepnamen nog betrekkelijk los van elkander: net als bij ons b.v. de namen onzer lichaamsdeelen.

Sprongsgewijze en niet voetje voor voetje heeft zoo het menschelijk verstand¹⁾ bezit genomen van de wereld der kleinere en grootere hoeveelheden en dat aan de hand van de groepnamen, die wij met onze ronde getallen kunnen vergelijken. En de in onze telwoorden voorkomende relicten van viertallige, vijftallige, tientallige, twaalftallige, twintigtallige stelsels bewijzen tot op den dag van heden deze ongelijkmatige overrompeling van het stamland der wiskunde.

Er is dus alles behalve een volgorde noch een vast systeem in deze getallen en daarom kan men er ook niet mee tellen. Men schat, men vergelijkt, men begroot zoo ongeveer, en dat altijd met substantieven, d.w.z. oude concrete bekenden, die zoolang deze phase duurt, uitdrukkelijk als zoodanig worden gevoeld. Daarom is de term ‘numeraal-abstracta’, die men in de vergelijkende grammatica aan deze groepnamen gewoonlijk geeft: een deerniswaardig anachronisme. Denk vooral aan de Heilige en Sacrale groepnamen.

1) Het zoogenaamde tellen der dieren is altijd zoo'n benaderende groepindruk die alleen voor 2 of 3 nauwkeurig is. Kruipen twee jagers in een schuilplaats en gaat er dan één weg, dan ‘weet’ de kraai, dat er nog een daar is; als er echter van vijf vier weggaan, dan merkt zij het onderscheid niet. Het zelfde wordt van katten met haar jongen verhaald. Zie Jos. Fröbes: Lehrbuch der experimentellen Psychologie. Bnd II. Freiburg i. Br. 1920, blz. 189.

[p. 266]

Om u eindelijk te toonen, dat dit alles, hoewel op beperkter schaal, juist zoo in de kinderkamer wordt afgespeeld, citeer ik u ten slotte de observatie van een Duitschen kinderobservator die zegt: ‘Tritt dem Kinde häufig eine scharf ausgeprägte Vierheit (Beine der Haustiere, Wagenräder) entgegen, so lernt es diese vor der Dreiheit kennen. Und die Auffassung des einzelnen Zahlmomentes hängt durchaus nicht von der vorhergehenden Anzahl ab. An die Dreiheit denkt kein Kind, wenn es wiederholt die Vierheit sieht und wiedererkennt. Die Zahlbildung eines Kindes, welches verbildenden Einflüssen nicht ausgesetzt ist, geht also sprunghaft, nicht reihenmässig. Zoo H. Walsemann: Zeitschr. f. pädag. Psych. u. exp. Päd. 1914 blz. 404. Gaan we nu zien, hoe die ‘Rechenmässigkeit’ zich ontwikkelt als tweede phase.

Tweede phase. De vaste reeks der nummers

Alle groepopvattingen, gelijk we ze tot nu toe hebben beschreven, berusten op een min of meer ruwe schatting (Walsemann) van tegelijk in de ruimte aanwezige hoeveelheden, die wij ineens overzien. Daarnaast komt het nu echter veelvuldig voor, dat een groep dingen of feiten achtereenvolgens in den tijd aan onze zintuigen of onzen geest voorbijgaan. En wij kunnen ook een groep van in de ruimte gelijktijdig voor ons liggende dingen een voor een in de hand nemen of er althans onze aandacht op richten, en zoo de simultane groep tot een successieve reeks reduceeren. Husserl behandelt dan ook, na eerst het wezen van de collectieve verbinding te hebben ontleed, in den breede de vergelijking tusschen collectie en successie (Capitel II) en komt daarin tot de conclusie, dat van de behandelde primitieve groepen afgezien, alle verdere preciese hoeveelheids- en getalbegrippen noodwendig een psychologische opvolging in den tijd, en dus den een of anderen vorm van aftellen vooronderstellen. En daarom had hij Brix niet zoo scherp moeten afwijzen, toen deze als erste genetische Stufe in der Entwicklung des Zahlbegriffes die Zahl der Raumanschauung; en als zweite genetische Stufe die Zahl der Zeitanschauung opstelde. Want hieruit volgt volstrekt niet, dat men eerst een duidelijk tijds ‘begrip’ moet hebben om tot een getalbegrip te komen.

Heel langzaam beginnen zich nu dan ook in de kinderwereld naast de groepnamen een heel andere soort woorden te vertoonen, die we voorloopig schakelwoorden zullen noemen, omdat hun eigenaardigheid juist hierin bestaat dat ze kettingsgewijze in elkander passen.

Den eersten aanleg voor zoo'n kettinkje van twee schakels vonden wij reeds bij Keesje in de oudste nevenschikkingen (Kleuterroman blz.

[p. 267]

97) één maand vóór z'n tweeden verjaardag. Sikke ooche sikke. Uis ooch uis. Bad nog bad (een boomblad). Oopiet, weer oopiet ('n soldaat). En het was dan ook een rijpe gedachte van Husserl, voor het woordje ‘und’, ‘ook’, weer eene eereplaats in de wiskunde op te eischen (blz. 81).

Op denzelfden leeftijd van twee jaar zat een andere kleuter Joan heel zoet in 'n hoekje met een kistje sigaren te spelen, dat hij in een onbewaakt oogenblik op vaders tafel was meester geworden. De heele voorraad lag om hem heen, en nu is ie aan 't rangschikken op een rijtje: ‘weer 'n sigaar en weer 'n sigaar en weer 'n sigaar.’ Men ziet dit is reeds een ketting van drie maar nog ongedifferencieerd. Een half jaar ouder deed Preyer's zoontje met z'n kegels precies hetzelfde: een, een, een; of ook wel: een, nog een, nog een. Zoo legde ook een Amsterdamsch meisje aan het ontbijt drie kaaskorstjes op het tafelkleed en zei daarbij: eentje, eentje, eentje. Vader dacht eerst dat ze dat eentje als naam van een kaaskorstje bedoelde, en vroeg onmiddellijk: Wat is dat? Uit het antwoord kaasje merkte hij evenwel spoedig dat eentje een woord was om, op een rij gelegde dingen aan te wijzen. Want weldra werd hetzelfde met flikjes, beschuitjes, stukjes brood en stukken zeep herhaald. Soms ging nu vader meespelen, maar legde dan met opzet een heel ander ding tusschen de overige, die altijd van dezelfde soort waren, en wou dan dat afwijkend ding ook eentje noemen. Maar dan riep de kleine hem tot de orde met de woorden: Is niet eentje, en gooide het uit de rij.

Hieruit blijkt duidelijk dat het verschil van het nieuwe afwijkende ding als een storing werd gevoeld, en dat dus het rijtjes maken alleen bevredigt, wanneer het allemaal eenheden zijn van dezelfde soort: eentje beteekent hier dus: zoo eentje, maar het woordje zoo ontbreekt bij het kind; en daaruit volgt dat, juist als hierboven bij den Dualis (en het woord voor paar) deze onderlinge gelijkenis nog niet klaar bewust in het centrum der aandacht staat, maar slechts even aan den rand van het bewustzijn schemert.

Wat later worden de rijtjes dan nog grooter. Zoo zei Eva Stern op bijna vierjarigen leeftijd, toen het heele huishouden op de groote tuinbank te lezen zat tot moeder: Gunther heeft wat, U hebt wat, vader heeft wat, ik heb wat, en Hilda heeft ook wat. Men ziet hier heeft het kinderkopje reeds een reeks van vijf feiten de revue laten passeeren, en de gelijkenis dier vijf feiten staat op het punt volop bewust te worden.

Maar nog altijd is het geen tellen. De eenheden worden achter elkaar opgenoemd, maar een middel om aan elk z'n plaats in de rij aan te wijzen, is er nog niet. Het zijn onbepaalde schakelnamen. De eerste bepaalde schakelnaam die opkwam was: 'n ander. Amper 2 jaar begint

[p. 268]

Keesje toch bij het verschoonen te praten van empje, anne empje en bij de ontmoeting van twee trems, de laatstbemerkte: de anne tem te noemen. Op een plaatje wijst hij eerst de madonna aan en zegt: ditte moede, en dan zegt hij op zijn eigen moeder wijzend: ditte ande moede. Men ziet, dit zijn alle rijtjes uit twee reeds gedifferencieerde leden bestaande.

Het woord ander heeft geen anderen zin, dan die van een schakel, volgend op een ander, wat vooral b.v. in het Latijnsche alter, maar ook in ‘de volgende’ secundus nog zoo duidelijk spreekt. Maar verder komt het kind uit zichzelf gewoonlijk niet.

Gewoonlijk komen op dezen tijd dan moeder of vader te hulp en beginnen de kleine de telwoorden voor te zeggen en te zingen.

Zoo b.v. bij het stappen: een twee, een twee, een twee; wat de kleinen dan nazeggen: eentee, eentee, eentee, zonder er iets van te begrijpen.

Dan komen er evenwel mooie versjes zoo als:

Een twee drie, Mijn moesje heet Marie - En als ze geen Maria heet, Dan heet ze: Een twee drie. - Een twee drie vier vijf zes zeven - Annemie van Even kwam mij tegen - Anne met de lappen had een kind - Dat was geboren midden in den wind. - Een, twee: Kopje thee. - Drie, vier: Glaasje bier. - Vijf, zes: Kurk op de flesch. - Zeven, acht: Sta op wacht. - Negen, tien: Heb je gezien.

Als de kinderen deze liedjes en hiermee dus de telwoorden tot tien zoo'n klein beetje van buiten kennen, beginnen ze gewoonlijk, al of niet door moeder geholpen hun vingertjes te tellen. Dat gaat er evenwel in het begin nog heel schots en scheef naar toe. Een, tee, vier, seven tee enz. Ons Amsterdamsche zusje moest eenige streepjes tellen, die de juffrouw op bord had geschreven - maar dat kon ze niet. Toen was ze naar het oordeel der ‘fuffrouw’ een dom kind, wat ze erg naar vond. Thuis ging ze het toen met balletjes nog eens probeeren, maar ze kon zelfs het rijtje tot drie niet goed aftellen. Ze wees hetzelfde balletje soms twee keer aan, terwijl de mond verder telde, of sloeg een balletje over. In korten tijd heeft zij echter die ‘onhandigheid’ afgeleerd.

Dat is natuurlijk maar een questie van oefening en geduld. En na aanhoudend door moeder op zijn vingertjes getikt te zijn, kent de kleine het kunstje eindelijk, om bij telkens een vingertje van zijn linkerhand de cijfers van een tot vijf zonder mankeeren op te zeggen: Een, twee, drie, vier, vijf. Van de vingers gaat dit kunstje dan spoedig over op balletjes, koekjes, stukjes lekkers, enz.

Maar wat beteekenen nu die telwoorden voor het kind? Nog niets anders dan: het eentje dat voorop staat, het eentje dat dan volgt, het eentje dat dàn volgt, het eentje vóór het laatste, en het eentje aan het slot.

[p. 269]

Meer niet. Deze telwoorden zijn dus echte schakelwoorden. Ze duiden aan, hoe de schakels van den ketting op elkaar volgen, maar niets anders dan dat. ‘Ihre Zahlenkenntnis,’ zegt een paedagoog sprekend over de min-ontwikkelde kinderen der laagste volksschool, ‘erweist sich bei näherer Prüfung als eine Kenntnis von Worten, mit denen sie einen genauen Sinn nicht verbinden. Ja, diese Kenntnis ist auch noch an die Reihe und Reihenfolge gebunden; ausserhalb derselben ist das einzelne Zahlwort nur-Schall, ohne Sinn und Bedeutung’ (Walsmann p. 403).

Dat blijkt zoo duidelijk aan Hilda Stern, toen zij toch al 3½ jaar oud was. Toen vader haar de vingers zijner rechterhand voorhield, en vroeg: hoeveel vingers zijn dat? zeide zij: ik zal eens tellen. Een, twee, drie, vier, vijf. ‘Hoeveel vingers zijn het dus?’ vroeg vader toen. Zij keek hem vreemd aan, en meende het antwoord reeds gegeven te hebben. Ze begon dus nog eens opnieuw te tellen: Een, twee, drie, vier, vijf. En zoo telkens, maar het antwoord: ‘vijf vingers’ kwam niet. De laatste vinger was vinger ‘nummer vijf’ maar dat nu al die vingers samen: de som van vijf vingers uitmaken, dat weet ze nog niet zoo precies.

Hetzelfde blijkt uit een bekend feit door Bühler hier te pas gebracht. Als een kind van dezen leeftijd aan het tellen is b.v.: Een, twee, drie, vier. En men vraagt dan: geef er mij eens drie, dan krijgt men er geen drie, maar er slechts eentje, en wel nummer drie. De schakelnamen zijn nu dus echte nummernamen aan het worden, die aan elk ding gegeven worden overeenkomstig de plaats die zij in de rij innemen.

Ook in de groote menschentaal zijn de zoogenaamde hoofdtelwoorden nog vaak niets anders dan kettingwoorden. Zoo b.v. bij alle nummeringen. De nummertjes van paragraphen en bladzijden in een boek, het nummeren der soldaten enz. Hoofdstuk Een. Hoofdstuk Twee, enz. Blz. 3. Willem II. De huisnummers op adressen. Maar verder ook bij al onze tijdsopgaven: 3 uur, 6 Januari, 1920.

Gaan wij nu eens na, hoe hetzelfde ontwikkelingsproces zich afspeelt bij de onbeschaafde volkeren. Bij hen kwam het aftellen op, niet als een spelletje van kinderen, maar uit de behoefte van het dagelijksch leven om een antwoord te vinden op de vragen: zijn er dit meer? zijn er dit minder? Zijn er dit evenveel? Hoeveel zijn er precies? En daarom had Husserl gelijk met in navolging van Herbert: ‘Die Sonderung der Zahlenspecies als bedingt durch die Erkenntnis von Mehr und Weniger’ voor te stellen (blz. 102).

Ook zij beginnen met onbepaalde schakelwoorden te vormen net als Keesje, en tellen zoo: een, nòg een, en dit, en dit, en dit, en dit, enz. Spoedig komt dan ook hier, voor het tweede lid: een eigen naam op,

[p. 270]

in de beteekenis van een ander, maar al de overige heeten nog: en dit.

Het eerste middel nu, om in deze eentonige reeks eenige schakeering te brengen, zijn de gebaren of het tellen op de vingers.

Zoo bericht ons Portland, dat de Andamanenbewoners, als ze b.v. zes of zeven dingen te tellen hebben, als volgt te werk gaan:

Met den pink aan den neus zeggen ze: één; met den ringvinger tegen den neus zeggen ze: 'n ander; met den middelvinger tegen den neus neus zeggen ze: nòg een; met den wijsvinger tegen den neus zeggen ze: en dit; met den duim tegen den neus zeggen ze: en dit; met den pink der andere hand tegen den neus zeggen ze: en dit; met den ringvinger der andere hand tegen den neus zeggen ze: en dit.

En dan houden ze op. 't Is klaar.

U ziet van eigenlijke telwoorden is hier nog geen sprake. Het woord anka dat ‘en dit’ beteekent¹⁾ fungeert zonder onderscheid voor nummer 4, nummer 5, nummer 6, nummer 7; en het eenige wat de schakels van dien ketting onderscheidt, zijn de handgebaren. En om te onthouden hoelang zij met tellen moeten doorgaan, herinneren zij zich den bepaalden vinger dien zij het laatst tegen den neus gehouden hebben. Verschillende Amerikaansche talen hebben zich nu wel heel omslachtig uit deze moeilijkheid gered door elk van die gebaren in woorden te gaan beschrijven.

Het schakelwoord voor nummer één is dan een zinnetje = de pink is gebogen; twee = nog één gebogen; drie = de middelvinger gebogen; vier = alleen de duim nog recht; vijf = klaar met één hand; zes = drie aan elken kant; zeven = aan den eenen kant vier; acht = vier aan elken kant; negen = nog één pink omlaag; tien = klaar aan beide kanten.²⁾

Veel listiger of althans bondiger helpen zich de inboorlingen van Nieuw Guinea die achtereenvolgens hun verschillende lichaamsdeelen in een vaste volgorde aanraken. De bewoners van het dal der Musarivier³⁾ beginnen met den pink van hun rechterhand ‘anusi’ dat is nr. één, dan volgen de drie middelvingers die alle drie ‘doro’ heeten als nr. twee, nr. drie, nr. vier (bij andere stammen hebben die echter verschillende namen). Als nr. 5 volgt dan ‘ubei’

tama nr. 6	=	pols	diti nr. 11	=	linker oog
unubo nr. 7	=	elleboog	medo nr. 12	=	neus
visa nr. 8	=	schouder	bee nr. 13	=	mond
denoro nr. 9	=	oor	denoro nr. 14	=	linker oor
diti nr. 10	=	rechter oog	visa nr. 15	=	linker schouder,

1) Bij de Braziliaansche Bakairi speelt het woordje méra ‘en dit’ juist dezelfde rol als het Andamaneesche anka. Zie v.d. Steinen: Unter den Naturvölkern Zentralbrasiliens. Berlin 1897, blz. 85.

2) Petitot bij Lévy Brühl: Les fonctions mentales dans les sociétés inférieures. Paris 1910 blz. 233.

3) The Cambridge Expedition to Torres' Straits III blz. 364.

[p. 271]

en nu gaat het met dezelfde woorden langs den linkerarm omlaag, zoodat nr. 22 en nr. 1 met den zelfden naam genoemd worden, nr. 21, 20, 19 met denzelfden naam als nr. 2, nr. 3 en nr. 4, Nr. 18 met 5, nr. 17 met 6, nr. 16 met 7, nr. 15 met 8, nr. 14 met 9 en nr. 10 met 11 in woorden samenvallen, en alleen nog door het aanwijzen en eventueel onthouden van het rechter of linker lichaamsdeel worden onderscheiden. Men denke hier aan de Germaansche telling der verwantschapsgraden: evenknie, enz.

Ik heb U met opzet eenige vrij onvolmaakte systemen van schakelwoorden laten hooren, om U beter te doen begrijpen hoeveel het in heeft gehad om eindelijk een goede reeks in vaste volgorde gerangschikte, en alle scherp van elkander onderscheiden termen voor toch nog betrekkelijk kleine hoeveelheden (als 22) te vinden en dat wij, hadden we uitsluitend langs deze schakelwoorden-methode moeten doorwerken, het nooit keel ver in de wiskunde of den handel zouden gebracht hebben.

Eer wij nu echter naar de derde phase overgaan, moeten wij nog even terugblikken om te zien wat nu met deze schakelnamen of nummers reeds bereikt is. De wiskundigen definieeren de numerieke gelijkheid als volgt (ik ontleen de definitie aan Stolz: Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, Leipzig 1885 I blz. 9, ook door Husserl besproken): ‘Zwei Vielheiten heissen einander gleich, wenn sich jedem Dinge der ersteren je eines der letzteren zuordnen lässt und keines von dieser unverbunden bleibt.’ En hierbij sluit onmiddellijk de volgende definitie aan: ‘Grösser von zwei Vielheiten heisst diejenige von welcher, nachdem jedes Ding der anderen je einem von ihr zugeordnet ist noch einige Dinge unverbunden bleiben.’ Men moge er nu met Husserl over twisten, of dit echte wezensdefinities of slechts aanduidende beschrijvingen zijn, dit is zeker, dat de apriori analyseerende wiskunde hiermee het stadium der schakelnamen van haar standpunt uit heel goed heeft gekarakteriseerd. Om toch een antwoord te vinden op de vragen: zijn er dit meer? zijn er dit minder? zijn er dit evenveel? hielpen zich de menschen in dit stadium eerst door b.v. een vasten bundel strootjes bij de hand te hebben, en dan bij elk strootje b.v. een ei te leggen. Omdat die bundels strootjes echter gemakkelijk verminderd of vermeerderd konden worden en zij ze niet altijd bij zich hadden, vonden zij toen op den duur den uitweg om een modelhoeveelheid aan hun eigen lichaam present te hebben, en om dan juist als bij de strootjes lid voor lid de eenheden der beide reeksen ‘einander zu zu ordnen.’¹⁾

Door te onthouden tot welk lichaamsdeel zij kwamen bij deze Zuord-

1) Opmerkelijk is ook dat de Grieksche, Armenische cijferbeschrijvingen met de in vaste volgorde aangeleerde alphabeth-letters op hetzelfde beginsel der kettingvorming berusten.

[p. 272]

nung, hadden ze dus een probaat middel om, bij leveranties of vredescontracten bij het vervullen van beloften of afspraken, zonder eigenlijke telwoorden toch uit te maken of de geleverde groep dingen inderdaad beantwoordde aan de afgesproken groep, dan wel, of er misschien te veel was, of te weinig. Een analoog geval vinden wij in Siam en Laos. Daar heeft men als jaartelling een reeks van 12 jaar, die steeds weer opnieuw begint. Elk jaar van de rij draagt den naam van een dier: 1 rat, 2 rund, 3 tijger, 4 haas, 5 draak, 6 slang, 7 paard, 8 geit, 9 aap, 10 haan, 11 hond, 12 zwijn. Elke ontwikkelde Siamees kent dit rijtje van buiten. Vraagt men hem nu: hoe oud ben je, dan antwoordt hij: ik ben uit het rattenjaar, of: ik ben uit het drakenjaar. Hij kent dus niet het aantal zijner levensjaren, maar in zijn aangifte ligt toch een praktisch zeer precieze aanwijzing. Dit jaar 1932 b.v. is het apenjaar. Vragen wij nu aan een inboorling, hoe oud hij is, en krijgen wij b.v. ten antwoord: ‘Ik ben uit het hondenjaar,’ dan is hij dus of 11, of 23 of 35 of 47 of 59 of 71 of 83 jaar, wat in aanmerking genomen het uiterlijk van den ondervraagde gewoonlijk niet zoo moeilijk is uit te maken.¹⁾

Dit heeft Husserl blijkbaar heel goed gezien: Für jene Wilden, zegt hij, denen es, wie man berichtet eine unüberwindliche Schwierigkeit bereitet, über fünf hinaus zu zählen, wird die Vergleichung der Anzahl zweier Mengen ausserordentlich erleichtert, wenn nicht erst ermöglicht, durch Herstellung der gegenseitigen Zuordnung, die dann selbst wieder durch physische Verknüpfungen erleichtert und ersetzt werden mag (blz. 114, 115). Of om het nog eens anders te zeggen: Die Definitionen des Gleichviel Mehr oder Weniger, wie sie hier zu Grunde gelegt werden, sind von dem Anzahlbegriffe unabhängig; sie verlangen nur dass man die zu vergleichenden Mengen nehme, Element für Element einander zuordne und dann nachsehe ob Elemente dabei übrig bleiben oder nicht. Also ohne die Mengen zu zählen, ja selbst ohne wissen zu müssen was zählen heisst, ist man trotzdem im Stande ein sicheres Urteil zu fällen, ob sie aequivalent sind oder nicht (blz. 123). Mengen zählen, dat leert de mensch pas in de volgende derde phase.

1) P. Marjos Pionnier: Notes sur la Chronologie et l'Astrologie au Siam et au Laos. Anthropos: tome 3, blz. 489-496.

Derde phase der hoofdtelwoorden of sommen

Nu toch gaat het menschelijk verstand de beide zoo aangeleerde functies van de groepopvatting en de kettingschakeling of nummering combineeren, en begint zoo eindelijk pas tot een eigenlijk hoofdtelwoord te geraken. Hoe het kind van het rijtjes-maken verder schrijdt naar het

[p. 273]

besommen d.w.z. het samenvattend terugzien op het gevormde rijtje; hoe de jonge geest van het elken schakel aan elkander hechten toekomt aan het als een ketting weten van al de aaneengesmede schakels en het toepassen daarvan op de groepen die het in het dagelijksch leven ontmoet, zullen wij nu uitvoerig moeten nagaan.

Want het kind kan, gelijk wij boven uit het gevalletje van Hilda Stern zagen, reeds lang de kunst verstaan een hoeveelheid kraaltjes aan een draadje te rijgen en elk kraaltje een nummer te geven: een twee drie vier vijf en toch nog niet weten, dat al die kraaltjes samen de som van vijf kraaltjes uitmaken. Eer de kleine toch inziet, dat het laatste cijfer der rij, juist omdat de nummers altijd in dezelfde volgorde voorkomen, voor den goeden verstaander tevens de optelsom van het heele rijtje bevat, eer het achter dien laatsten schakel ‘vijf’ als bepaling: het bepaalde woord ‘kraaltjes’ gaat zeggen, moet er nog heel wat gebeuren.

Voor een echte numerieke som is het toch noodig dat de inhoud en de omvang in een concreet aantal dingen ten scherpste onderscheiden worden. En dat is niet een enkelvoudig, maar een dubbel probleem. Eerst wordt uit het gegeven complex een zuivere inhoud geanalyseerd. Zulk een zuivere inhoud was reeds in het vage bewust geworden bij het enkel meervoud der groepnamen en opnieuw bij het onbepaalde nummeren der kaaskorstjes. Nu moet het volop en klaar bewust worden. Is het kind zoover, dan moet nog het numerieke omvangsbegrip scherp bepaald worden. Dit was reeds in het vage bewust geworden bij de wijdloopige toekenning der op elkander volgende schakelnamen. Nu moet ook dat volop samengevat in een ondeelbare act bewust worden. En dan pas kan het kind een hoofdtelwoord gebruiken in den meest gebruikelijken zin d.w.z. als een somtelwoord.

Een maand nadat Keesje allerlei rijtjes van twee had leeren zeggen met het woordje anne, anne (ander) kwam de eerste eenvoudige optelling voor den dag: Keesje soet, moene soet, abbei soet (allebei zoet). En het Amsterdamsche meisje vorderde daarin spoedig zoover, dat het zelfs onbepaalde optellingen van drie, vier of vijf eenheden tot stand bracht. Toen ze een voor een haar drie poppen in het poppenwagentje had gezet, zei ze triomfantelijk: Ammaal in wage. Terwijl allen bij het dessert aan een appel zaten, constateerde de jongejuffrouw heel voldaan: Pappie appel, zusje appel, John appel, ammaal appel. En 's avonds als ze ging slapen, klonk het vaak: Mammie sape, Pappie sape, John sape, Ikke sape, ammaal sape, zusje ook sape. Wij zien hier dus duidelijk, dat eerst, tot vervelens toe, de onderlinge inhoudsgelijkheid der verschillende eenheden telkens in een apart zinnetje allernadrukkelijkst wordt ge-

[p. 274]

constateerd. Een vaag bewustzijn van gelijkenis is niet voldoende, neen klaar en duidelijk moet de gelijkheid van elk der opgetelde eenheden den kleine voor den geest staan, eer hij z'n samenvatting als een echt logische conclusie voor al de opgetelde elementen aandurft.

Verder merken wij: dat hier telkens heel duidelijk de aaneenrijing wordt gescheiden van het resultaat of de som. In het zinnetje van hierboven kwam Hilda Stern niet verder dan tot een rijtje zonder som: een twee drie vier vijf. En zusje voelt blijkbaar die som heel duidelijk als een nieuwe aanwinst; wat vooral in het laatste voorbeeld goed uitkomt, daar juist uit de ontdekking: dat zij allemaal nu gaan slapen, het besluit volgt dat zus zelf dus ook maar zal gaan slapen. O, dat woordje ammaal of allemaal, mits niet meer beperkt tot een enkele concrete groep, maar gebruikt en verstaan van allerlei groepen, die om de een of andere reden samen behooren, dat is weer een van die ontdekkingen van den kinderlijken geest, een van die machtswoorden, waarmee de jonge menschkoning in geestelijken zin de heerschappij aanvaardt over de wereld der verschijnselen. Eerst zien dat hun inhoud dezelfde is trots al de extensie over vele dingen en dan al die dingen samenvatten met dien geestelijken band tot een eigengemaakten bundel en dan van al die gebundelde dingen samen iets kunnen zeggen over hun quantiteit: dat is grootmenschelijke koningsdaad. Hilda Stern verstond die kunst nog niet toen zij op 3½ jarigen leeftijd in haar prentenboek bladerde en bij het zien van een vogel vroeg: Moeder legt die ook eieren? En van moeder ten antwoord kreeg: Ja kind, alle vogels leggen eieren, maar die woorden niet begreep, dien grandiozen band om alle vogels heengeslagen nog niet omvademen kon met haar kleine zielearmpjes, en bij elken vogel opnieuw bleef vragen: Legt die ook weer eitjes moeder? en dan telkens die enkelvoudige constateering wel begreep, maar machteloos stond tegenover den breeden band om de vogelwereld zoo vrijmachtig als een ijzeren hoepel heengekuipt. Pas op 5-jarigen leeftijd leeren normale kinderen zoo de dingen samen te vatten, comprehendere in den diepen grootmenschelijken zin des woords. En dat zelfde vinden wij weer in de onbeschaafde talen terug; niet alleen hebben zij nog vaak geen woord voor ‘alle’ maar wel voor ‘elk’. Maar verder hebben zij ook geen woorden vaak voor zoo groote samenvattende groepen als boomen, vogels, insecten, vlinders, huisdieren, enz. Maar wel woorden voor eiken, beuken en berken, voor adelaars en gieren, voor bijen, koolwitjes, vlooien en vliegen, voor honden, katten en geiten.

Men merkt echter weer op, dat het resultaat dezer eerste optelsommen overal nog maar een onbepaald telwoord is - want uit andere

[p. 275]

zinnetjes van Keesje bleek, dat abbei bij hem in dezen tijd juist hetzelfde beteekende als ammaal. Hieruit zien wij dus, dat ook onder de somtelwoorden de onbepaalde ongedifferencieerde telwoorden het vroegst voorkomen en het oudste zijn, juist als onder de groepnamen en de schakelwoorden. ‘Allemaal samen’ is primitiever dan ‘zeven samen.’

Ook als de kinderen nu langzamerhand voor de som van een optelling echte cijfers of onze bepaalde telwoorden gaan gebruiken, zijn die in hun hoofdje dikwijls nog heel onbepaald. Zoo gebruikte Gunther op op 2½ jarigen leeftijd het woordje twee in de beteekenis van eenige, verschillende. Toch wordt dit eerste somtelwoord natuurlijk het eerst juist aangeleerd; en kort na het zinnetje met abbei hooren we dan ook van Keesje, zijn eerste nagezegde somtelwoorden: Tee fieze muchse (twee vieze muggen) wat weldra gevolgd wordt door het oorspronkelijke verhaal over een heen- en terugreis met den tram, met een spontaan gebruikt somtelwoord erin: Keesje tee temme wees (Keesje is in twee trams geweest 2. 4.). Hilda Stern kwam hier pas een vol jaar later toe (3. 7), toen zij tusschen een blauwe kraal telkens twee witte kralen aan een draad reeg, en daarover eerst aan moeder vertelde: ik heb er nog eentje en nòg eentje genomen, en daar pas op moeders vraag: dat zijn er dus samen? de som: ‘twee witte’ aan toevoegde.

Het somtelwoord drie vraagt al veel meer moeite, en hoewel Lindners zoontje op vierjarigen leeftijd reeds zonder fout het rijtelwoord drie kende, was het hem nog makkelijker te zeggen: ik heb eenwat, en nog eenwat, en nog eenwat gekregen, dan: ik heb er drie gekregen. En met vier is het aanvankelijk niets beter.

Wat hiervan de reden is, begrijpen wij nu uit het vooropgestelde schema van den ontwikkelingsgang wel onmiddellijk: Het kind is nu zóóver dat de overal gelijke comprehensie of inhoud niet alleen van de extensie of den omvang is losgemaakt, maar bovendien reeds kant en klaar in volbewuste markantheid den alles samenvattende kleine voor den geest staat, terwijl het omvangsbegrip zelf nog heelemaal in het vage schemert. Allemaal is een duidelijke samenvatting van de voorafgaande schakels tot een ketting, maar het mist de markante ineens opstralende bepaaldheid uit hoeveel schakels die ketting bestaat, het numeriek bepaalde omvangsbegrip is nog niet doorgebroken.

Nu moet ook dat door vergelijking met de eenheid en door onderlinge vergelijking der kleinere en grootere kettingrijtjes scherp in het volle bewustzijn komen, en hoe dit geschiedt, leert ons het Zwitsersche meisje, dat Decroly en Degand zoo voorbeeldig hebben geobserveerd. Op de telwoorden twee en drie mogen we hier toch niet afgaan, daar

[p. 276]

deze, gelijk wij zagen meestal: een paar of een trits of een onbepaalde hoeveelheid beteekenen. Maar juist met het verschijnen van het telwoord vier, straalt gewoonlijk het phenomeen der hoofdtelwoorden duidelijk voor den kinderlijken geest op.

Het meisje was reeds bijna 5 jaar oud, toen het op de vraag: hoeveel zijn er dat, bij groepen niet grooter dan drie, aanstonds het juiste telwoord noemde, maar bij groepen van vier en hooger, steeds van één afaan begon te tellen, b.v. een twee drie vier. Dat hier vier nu gaandeweg een samenvatting van de heele reeks begon te beteekenen, bleek duidelijk uit de volgende proef. De vader legde het kind vier boonen voor op een rij. Hoeveel zijn er dat? Een twee drie vier, zei het meisje. Nu legde de vader er drie kraaltjes op een rij onder. En hoeveel zijn er dat? ‘Drie’ was in eens het antwoord, gelijk gewoonlijk. Toen legde de vader er nog een kraaltje bij en vroeg: en hoeveel zijn het er nu? Toen begon het meisje echter niet meer opnieuw te tellen en zei, na eerst nog eens naar het bovenliggende rijtje boonen gekeken te hebben ineens: vier! Pats, die was raak. Dat voelt de kleine en triompheert.

En nu eenmaal het eerste schaap over de brug is, volgen de andere vanzelf. Het rijtje vier-vijf-zes-zeven-acht-negen-tien kent het kind allang. Nu echter pas heeft het de bijna magische kracht van die tooverformule leeren bevroeden. En de volgende dagen is het een getel van belang. Nu moet het van alle dingen weten, hoeveel er in de kamer zijn, hoeveel boomen er in den kleinen tuin staan, enz. enz.

Van taalkundig standpunt hebben wij hier in dit eerste somtelwoord een heel gewoon soort ellips, dat ik vroeger eens als een beteekenisopslorping heb gekenschetst: Juist gelijk het woord koozen dat eenvoudig causari beteekende de beteekenis opslorpte van ‘minnekoozen’ zoo slorpte hier ‘vier’ de beteekenis op van ‘een-twee-drie-vier’. Maar van psychologisch oogpunt staan wij hiermee op den top van een hoogen berg, met o zoo veel moeite beklommen, waarvan de menschelijke geest nu ineens een uitzicht heeft over den langen afgelegden kronkelweg.

Het psychologische feit is toch de samenvatting van telkens zoo'n heele rijtje in de uitkomst, waartoe dat rijtje voerde. Juist als ook wij in het kaartspel nog spreken van een derde voor een driekaart, of een vast rijtje van drie kaarten, juist als de bekende uitdrukkingen anderhalf, derdehalf, zesdehalf voor 1½, 2½ en 5½, ook alleen het laatste lid noemen en daarin de heele rij samenvatten; juist als later bij de breuken opnieuw een derde de uitkomst van een in drie gelijke stukken gedeeld geheel, en een vierde, de uitkomst van een in vieren gedeeld geheel is gaan beteekenen, zoo kwamen ook de hoofdtelwoorden door een terug-

[p. 277]

blikkende samenvatting van een heele reeks enkelvoudige relaties tot één nieuwe veelvoudige relatie. En dat is het wezen van het hoofdtelwoord in zijn ware beteekenis.

En ook dit hebben ons de analyseerende wiskundigen reeds voorgerekend: Rowan Hamilton, von Helmholz, Dedekind en Kronecker. Ook al hadden zij te weinig aandacht voor de ten gronde liggende groepopvattingen en mochten zij dus in zekeren zin terecht door Husserl tot de nominalisten gerekend worden, hun komt toch de eere toe, eer dat een linguist voor de hoofdtelwoorden deze opslorpende beteekenisontwikkeling vermoedde, ongeveer in dezelfde termen als wij het hierboven deden, deze belangrijke evolutie in de menschelijke taal te hebben aangevoeld en beschreven¹⁾. Alleen zit er nu nog in den kinderlijken geest een oude fout, een inherent gevolg van de vroegere nummeringsmethode, die nadrukkelijk moet worden uitgeroeid.

Wij zagen toch hierboven dat als een kindje een rijtje kraaltjes telde tot 7 b.v. en wij het er drie van vroegen, wij er geen drie kregen, zelfs niet de eerste drie, maar slechts eentje en wel nummer drie; m.a.w. de telwoorden, die bij het kind echter tevens de vroegere nummerwoorden zijn, moeten nu nog worden losgemaakt van elk genummerd kraaltje apart, en de kinderlijke geest moet tot het besef komen, dat een bepaalde groep in welke volgorde men ze ook telt, steeds bij hetzelfde cijfer uitgeput is, dat het er m.a.w. niet op aan komt, of men nr. 2 met nr. 3 verwisselt, dat dit voor de som precies hetzelfde blijft. Dan pas heeft het kind de magische kracht der nieuwe tooverformule niet slechts bevroed, maar ten volle begrepen en verstaan.

Welnu, een Amsterdamsch jochie van voor een 45 jaar - hij heeft het mij zelf verteld - was nu juist als dat Zwitsersche meisje in het tijdperk

1) Helmholz, l.c. blz. 32: ‘Wenn ich die vollständige Zahlenreihe von 1 bis n brauche um jedem Elemente der Gruppe eine (Ordnungs)-zahl zuzuordnen, so nenne ich n die Anzahl der Glieder der Gruppe.
Kronecker l.c. blz. 265-66. ‘Den naturgemässen Ausgangspunt für die Entwicklung des Zahlbegriffes finde ich in den Ordnungszahlen. In diesen besitzen wir einen Vorrat gewisser, nach einer festen Reihenfolge geordneter Bezeichnungen, welche wir einer Schaar verschiedener und zugleich für uns unterscheidbarer Objecte beilegen können. Die Gesammtheit der hiebei verwendeten Bezeichnungen fassen wir in dem Begriffe der “Anzahl der Objecte”, aus denen die Schaar besteht, und wir knüpfen den Ausdruck für diesen Begriff unzweideutig an die letzte der verwendeten Bezeichnungen an, da deren Aufeinanderfolge fest bestimmt ist. So kann z.B. in der Schaar der Buchstaben a, b, c, d, e dem Buchstaben a die Bezeichnung als “erster”, dem Buchstaben b die Bezeichnung als “zweiter” u.s.f. und endlich dem Buchstaben e die Bezeichnung als “fünfter” beigelegt werden. Die Gesammtheit der dabei verwendeten Ordnungszahlen oder die “Anzahl” der Buchstaben a, b, c, d, e kann demgemäss in Anknüpfung an die letzte der verwendeten Ordnungszahlen durch die Zahl “Funf” bezeichnet werden.’

[p. 278]

van zijn optelmanie. Maar zoekend telkens naar nieuwe dingen om te tellen, greep hij herhaaldelijk naar hetzelfde hoopje knikkers. Hij legde ze eerst op een rij, en telde, het waren er twaalf. Een volgenden dag telde hij ze weer, en het waren er weer twaalf. Toen rammelde hij ze eens goed door elkaar, legde ze weer op een rij, en hoewel de volgorde nu toch een heel andere was als vroeger, het waren er wéér twaalf! Dat vond hij een merkwaardige ontdekking, en hij ging aan zijn vader vragen, of dat wonder waar was; dat je als je hetzelfde hoopje telkens anders telde, je toch altijd dezelfde uitkomst kreeg. En toen zijn vader daarop bevestigend antwoordde, was hij heel blij. Want nu eigenlijk had hij het pas goed geschoten en was hij de oude rijtjes-methode definitief te boven. Nu pas wist hij ten volle wat 12 knikkers waren.

Is het nu zoo'n wonder, dat toen hetzelfde jochie jaren later zijn ‘Grondslagen der Wiskunde’ ging leggen, hij op de eerste bladzij als ‘Hoofdstelling der rekenkunde’ formuleerde: dat een willekeurige verzameling van getelde teekens, die eenmaal geteld is in een andere volgorde geteld hetzelfde aantal zal geven? Neen, dat vindt collega Brouwer nu heelemaal geen wonder meer. Toen toch had de jonge Brouwer de van alle notae individuantes gelouterde comprehensie van een knikker met de precies gedetailleerde extensie van het twaalftal klaar en duidelijk in een oogenblik voor den geest staan. En op dit klaargeziene onderscheid berust inderdaad de heele verdere rekenkunde. Welnu, deze beide evoluties van een zuiver algemeenen inhoud en een nauwkeurigen omvang vinden wij nu weer duidelijk, maar met veel meer tasten en zoeken, bij de onbeschaafde volken terug. Letten wij eerst weer op den inhoud. Wij herinneren ons uit de eerste phase, hoe het ook daar moeite kostte van de concrete voorstelling los te komen, hoe het menschelijk verstand slechts heel geleidelijk door gelijkenisoverdrachten zich wist te redden uit den knellenden band der waargenomen groepen naar het samenvatten in een algemeen groepbegrip.

Welnu, op dezelfde wijze, maar nog veel langzamer gaat het hier bij de aantallen van eenheden. De kinderen toch kregen het rijtje absolute telwoorden als een tooverschat in den schoot gevallen, maar eer de volken, die alles zelf moesten zoeken, komen tot een rij van absolute onbenoemde telwoorden die zij op alle dingen toe kunnen passen, moet er weer heel wat gebeuren, zij helpen zich dan tijdelijk met half benoemde hulptelwoorden, die reeds een tamelijk geringen inhoud hebben, voor elke min of meer bijeenhoorende soort van dingen. De abstraheering van zulk een inhoud kost hun toch niet zóóveel denkmoeite.

Kraaltjes, pareltjes, erwtjes en boontjes en allerlei graankorrels, zaad-

[p. 279]

jes, ronde vruchtjes of zelfs vogeleitjes en menschenoogen, lijken hun genoeg op elkaar om te worden samengevat als: bolletjes.

Muntstukjes, platte schijfjes, plankjes, stukjes bordpapier, lijken hun genoeg op elkaar, om te worden overzien als platjes.

Draad, vezels, touw, gras, veeren, haar, vlechten, buigbare stengels en twijgjes lijken genoeg op elkaar om in een algemeen begrip vezel te worden gecomprehendeerd. Planten, boomen, staken, masten, deurposten, palen, zuilen en torens lijken genoeg op elkaar om als een algemeen begrip ‘stam’ te worden geconcipieerd.

Welnu, net als deze vier klassen hebben nu allerlei Indochineesche, Austroasiatische en Austronesische, maar ook verschillende Amerikaansche talen, nog een heele reeks andere klassen gevormd, met telkens een zeer beperkten inhoud (in het Japansch 14, in het Chineesch ca. 100) en nu heeft in die talen elke klas zijn eigen telwoorden. In verschillende talen van Canada, Heiltsuk, Kwakiutl en Tsimshian b.v. zijn er zoo een heele reeks van getalsystemen voor bepaalde klassen van dingen, wier telwoorden meestal in de eerste lettergreep wel een gelijken stam vertoonen, maar steeds een heel andere tweede helft of suffix hebben, en vaak ook nog geheel en al van elkaar afwijken. In Oost-Azië en den Archipel worden die klas-suffixen of praefixen gewoonlijk als aparte woorden beschouwd: de zoogenaamde numerativa, die echter in de Nederlandsche grammatica's der Maleisch-Polynesische talen gewoonlijk heel juist als hulptelwoorden worden gekarakteriseerd.

Zoo zegt men dus in het Siameesch voor zes masten, mast zes stammen, voor vijf koorden: koord vijf vezels, in het Maleisch voor drie parels: parel drie bolletjes of zaadjes, in het Sangireesch voor drie spaanders: spaan drie platjes enz.

Gaandeweg zien wij echter in de meeste dezer talen, bij toeneming der beschaving ook de abstractie geleidelijk verder schrijden, m.a.w. de inhoud allanger hoe leeger worden, zoodat b.v. de telwoorden voor bolletjes en platjes eerst wel eens beginnen verwisseld te worden en dan naderhand geheel of gedeeltelijk samenvallen, zoodat ze op den duur in abstractie of minimalen inhoud met ons woord ‘stuk’ b.v. in zes stuks kunnen wedijveren. (Zie b.v.N. Adriani: Sangireesche Spraakkunst, Leiden 1893 blz. 227-228 en H. van der Tuuk: Tobasche Spraakkunst, Amsterdam 1864, blz. 219-220). Verschillende Semitische talen als het Hebreeuwsch, Arameesch en de meeste Nieuw-Arabische dialecten kennen op beperkter schaal ook zulke hulptelwoorden (Brockelmann II § 193). Ook in onze taal komen nog relicten van zulke half op den weg der abstractie staan gebleven hulptelwoorden voor. Zoo b.v.

[p. 280]

zwölf Mann Soldaten, ein Laib Brot, 5 riem papier, en allerlei namen voor maten en gewichten als last, pond, ons, roede, gemeet, bunder, el, kan, duim, streep, die alle slechts op een zeker gebied van stoffen kunnen toegepast worden. Hoe nu ten slotte die heel minimale inhoud van stuk b.v. tot den absoluten graad van abstractie: het minimaalste begrip, door de Scholastieken en Spinoza ‘ens’ genoemd, verder gaat en wij zoo dus pas aan een absoluut onbenoemd getal komen, zien wij in de Nederlandsche uitdrukkingen, één stuk of twee, een stuk of drie, een stuk of tien, die reeds volkomen met abstracte telwoorden gelijk staan. Want ‘Mengen unter einander gleicher Dinge - in abstracto gedacht - das sind Zahlen’ zegt Husserl terecht (blz. 160).

Dat nu talen, die alle substantieven in bepaalde klassen verdeelen, gelijk b.v. de Bantoe-idiomen, ook voor elke klas een apart systeem telwoorden vertoonen, elk met het praefix van de klasse der getelde voorwerpen, en hoe ook dit slechts een tusschenstation is op den weg naar den altijd leegeren inhoud, behoeft na het bovenstaande geen verder betoog. Alleen moet ik er even op wijzen, dat ook dit verschijnsel nog sporen in onze meer beschaafde talen heeft achtergelaten; namelijk in de congruentie der laagste telwoorden in het Semitisch en Indogermaansch, waaruit dus volstrekt niet volgt, gelijk men gewoonlijk meent, dat deze verbogen vormen ooit adjectivisch bedoeld zijn geworden. Zij waren nog slechts half abstracte, half-benoemde telwoorden voor bepaalde klassen van dingen, nog geen absoluut universeele.

Zoo zagen wij dus ook in de primitiever talen de abstractie zich tot de uiterste grens ontwikkelen. De vermindering der comprehensie gaat volgens Aristoteles' juiste bemerking, naar welke inhoud en omvang omgekeerd evenredig zijn, met een geleidelijke vermeerdering van omvang samen, zoodat nu voor de specificatie van alle hoeveelheden de mogelijkheid openkwam. Niettegenstaande deze volken nu dus reeds een reeks schakelwoorden tot hunne beschikking hadden, en zij hiermee dus door Zuordnung van woord voor woord aan ding voor ding praktisch precieze aantallen of sommen wisten af te meten, konden zij eigenlijk nog niet tellen, omdat zij voor elke preciese som nog geen vast begrip hadden gesynthetiseerd, en ook geen vaste woorden hadden gevormd. Dit is nu voor de meeste volken nog een heele toer geweest. Sommige hielpen zich met eenvoudig de schakelnamen over te nemen, en zoo vinden wij in het Maipua van Nieuw-Guinea een heele reeks namen van lichaamsdeelen en in verschillende Amerikaansche en Afrikaansche talen een reeks telgebarenbeschrijvingen tot hoofdtelwoorden gepromoveerd. Volgens Wertheimer echter zijn, wat ik op het oogenblik niet

[p. 281]

controleeren kan in de meeste primitieve talen, de nummertelwoorden en de somtelwoorden grundverschieden. De meeste volken brouwden echter uit de voorhanden groepnamen als ronde getallen, met interpoleering van schakelnamen, en veel nieuwe optel- of aftelsommetjes een wonderen poespas, zonder veel systeem. Vandaar dat in geen enkele in het wilde ontwikkelde taal een zuiver viertallig, vijftallig, tientallig, twaalftallig of twintigtallig stelsel is aan te treffen, maar pas bij verdere beschaving de bewuste rekenkunde hierin gewoonlijk het tientallig systeem, zoo goed en zoo kwaad als het ging, aan de zegepraal hielp. In één Californisch dialect het Yukiproper is volgens Kroeber-Dixon secundair een consequent viertallig systeem ingevoerd, maar het dan ook niet verder kan brengen dan tot 4 in de 3de macht of 64, wat bij hen psychologisch al evenveel is als 1000 bij ons. In de Afrikaansche talen Poto en Ngambe heerscht een wondere dooreenmengeling van een twintigtallig met een vijftientallig systeem (Zie Stapelton: Comparative Handbook of Congo Languages, 1910, blz. 326).

Welnu, juist als in de kindertaal begint dat cijfers vinden meestal met het telwoord vier. De eenheid, een paar, en een trits kennen ze al, nu moet de vier gevormd worden, en in allerlei talen ter wereld heet vier nu dan ook een trits plus 1 of korter ‘trits plus’. Soms echter ook ‘twee paren’. Voor vijf hadden ze weer een groepnaam ‘hand’ gereed. Maar voor 6 en 7 moet er weer een nieuw begrip gevuld, en een nieuwe naam gemaakt worden, en allerlei talen helpen zich hiervoor met twee tritsen of tritstrits of hand plus 1, en hand plus 2. Voor acht gebruikte men of hand plus 3 of een dubbel viertal. Met negen begon dan een nieuwe rij of men trok één vinger van de dubbele hand af. Voor tien diende weer de dubbele hand. De woorden elf en twaalf verklappen ons, dat als men er de dubbele hand afrekende, er nog een of twee overbleef. Dertien, veertien, vijftien, zestien, zeventien, achttien, negentien toonen ons nog duidelijk hoe zij bijna overal door juxtapositie ontstaan zijn. De oudste woorden voor twintig zijn gewoonlijk weer groepnamen voor: ‘heele mensch’ of de beide hand-en-voet-reeksen. Dertig, veertig en vijftig zijn gewoonlijk vermenigvuldigingsgroepnamen met het tiental. Zestig en tachtig daarentegen vaak vermenigvuldigingsgetallen met het twintigtal, waartusschen dan de getallen van een tot 29 de rij vol maken, gelijk b.v. uit het Fr. soixante dix sept, quatrevingt dix neuf nog duidelijk spreekt. Voor honderd: tien tientallen had men reeds een woord, dat echter ook wel eens nog uit den tijd der benaderende schatting tien twaalftallen beteekende, wat dan naderhand als een groot honderd van gewoon honderd onderscheiden werd. Maar een ouder woord voor groot of sterk

[p. 282]

honderd beteekende bij eenzelfde volk weer tien × honderd of duizend.¹⁾

Toen de mensch toch systematisch begon door te tellen had hij reeds een heele reeks groepnamen op die verschillende stelsels berustend, en hij had het met al dat optellen toch al druk genoeg, dat hij blij was weer eens door vermenigvuldiging aan een bekende groepnaam te komen, en die onmiddellijk in zijn rij opnam. En daar dezen gelijk wij vroeger zagen, als bij sprongen het land der hoeveelheden ontdekt hadden, kon er dus uit dit ongelijke materiaal geen gaaf gepolijst systeem worden opgetrokken.

Sommige, maar toch slechts heel enkele volken (Maipue) die uit een reeks lichaamsdeelnamen, een vaste ketting van nummernamen gevormd hadden, sloegen den kortsten weg in om die zelfde woorden in de nieuwe beteekenis van echte telwoorden te gaan gebruiken. Hoe diep echter de klove tusschen beide gevoeld werd, blijkt het best hieruit, dat bijna alle volken bij wie wij deze twee stadia nog kunnen nagaan, volgens Wertheimer voor de somgetallen of hoofd-telwoorden een heele nieuwe reeks namen werd bedacht en aangeleerd.

En hoe duidelijk nu aanvankelijk het optellen, nu niet meer als een losse rijvorming of gemakkelijke nummering, maar telkens als een moeizame samenvatting van de heele voorafgaande reeks werd gevoeld, zien wij nu zoo duidelijk uit de talen, die aan deze nieuwe telwoorden telkens een verbaalvorm van het werkwoord ‘vol maken’, of ‘voleindigen’ toevoegen. Zoo vinden wij in een demotischen tekst in plaats van duizend: het maakt duizend vol. En in een ouderen tekst: in plaats van: 75 slangen, wij voleindigen 75 slangen, en zoo nog allerlei plaatsen.

1) Waar wij een althans eenigszins consequent tientallig stelsel vinden, berust dat op een reeds min of meer bewuste rekenmethode, gelijk hierboven beschreven. Eenigszins anders vertoonen dit de Basoeto's, die met drieën tellen. De eene telt de eenheden. Is hij aan tien, dan steekt de tweede één vinger omhoog. Is deze tweede aan tien, dan steekt een derde één vinger omhoog. Zoo telt dus de tweede de tientallen, en de derde de honderdtallen; en vonden zij dus het beginsel van ons Arabisch cijferschrift uit (K. Endemann: Versuch einer Grammatik der Basuto, Berlin 1878). Hoe dit toch nog anders ontstaan kan zijn, zien wij uit de interessante parallel door Tylor-Siebert blz. 376 bijgebracht van een stam der Zuid-zee-eilanden, die voor het tellen der eenheden steentjes gebruikte. Zijn er tien steentjes bij elkaar, dan wordt er een stukje van een kokosnootsteel op zij gelegd. Liggen er nu 10 stukjes kokosnootsteel naast elkander, dan worden die weer vervangen door een gróót stuk kokosnootsteel, enz.

Vierde phase. De bewuste rangtel woorden

Maar wij zien dit nog veel duidelijker uit de nieuwe wijze van nummering die langzamerhand nu de oude gaat verdringen, door de nu pas ontstaande echte rangtelwoorden, bijna overal uit de hoofdtelwoorden

[p. 283]

afgeleid. De oudste Aegyptische rangtelwoorden b.v. bestaan uit een samenstelling van het hoofdtelwoord met den verbaalstam ‘volmaken’, ‘de dertiende veldtocht’ heet nu niet meer veldtocht nr. 13, maar de dertien volmakende veldtocht; het 200ste huis, wordt nu niet meer genoemd huis nr. 200, maar het de 200 volmakende huis, enz.

En deze min of meer omslachtige, maar, voor de psychologische genesis der telwoorden, zoo belangrijke wijze van rangtelwoordvorming, is niet alleen tot in het Koptisch in zwang gebleven (den tweeden keer heet daar weer, de twee keeren volmakende, het vierde jaar, het vier jaren volmakende) maar vinden wij ook in de oud-Aethiopische, Tigré en Arabische rangtelwoorden terug. Deze laatste toch zijn niets anders dan actieve participia (type fâcilun) van werkwoorden die uitdrukkelijk beteekenen: van één twee maken, van twee drie maken, van drie vier maken; of korter de twee volmaken, de drie volmaken, de vier volmaken. Huwa rabicu talâtatin vrij vertaald: hij is de vierde; letterlijk vertaald: hij is een van drie vier makende. (Sethe 118). En volgens deskundigen zijn ook de Hebreeuwsche ordinalia niet van de gewone cardinalia maar van analoge numerale participia afgeleid. Welnu, dergelijke numerale verba vinden wij nu in heel andere werelddeelen vooral in Noord-Amerika terug. Zoo zeggen ook de inboorlingen van Nieuw-Pommeren met een causatief element va volmaken van a-utul ‘drie’: voor ‘de derde’ a-va-utul, ‘hij die maakt dat het er drie worden’. Voor de vijfde van vijf a-ilima: met hetzelfde verbaalelement va: a-va-ilima ‘hij die maakt dat het er vijf worden’. (Parkinson blz. 733 geciteerd bij Sethe).

Maar wat misschien velen meer interesseert, ook in het Indo-germaansch, speciaal in het Latijn, zijn nog sporen van zulke numerale verba over. Quadrare beteekent toch niet slechts vierhoekig maken, dat is een occasioneele specificatie, maar in het algemeen: van drie vier maken, zooals blijkt uit Horatius' Epistelverzen (Epist. I 6, 34-35):

Mille talenta rotundentur, totidem altera, porro et
Tertia succedant et quae pars quadret acervum.

(Rond duizend talenten af, en nog eens evenveel, verder een derde duizend en dan het deel dat den hoop van drie tot vier maakt.)

Denk verder aan de adjectivisch gebruikte quadrantes usurae bij Scaevola, en de usurae trientes bij Plinius, maar vooral aan de algemeen bekende gesubstantiveerde As-breuken, triens ⅓ As, quadrans ¼ As, sextans ⅙ As, en aan het bij Vitruvius voor ⅛ van een cirkelboog gebruikte octans, d.i. dus een boog van 45 graden. Letterlijk vertaald beteekent triens dus: de drie deelen makende, sextans de zes deelen

[p. 284]

makende, octans de acht deelen makende. Dat ook secundus een participiale vorming van sequor is, daaraan behoef ik wel nauwelijks te herinneren en het lijkt mij zelfs niet onmogelijk dat Sanskr. Dvitás, Tritás, die oxutona zijn; evenals Gr. τρίτος, τέταρτος, πέμπτος, ἕϰτος; lat. quartus, quintus, sextus. Germaansch ohd. fiordo, finfto, sehsto, sibunto, oktodo, niunto en zekanto op oude to-participia van verba numeralia berusten, en zij dus aanvankelijk: de tot 5 gemaakte, de tot 6 gemaakte, de tot 10 gemaakte, zouden beteekend hebben.

Dat zoowel bij de ordinalia als bij de participia op -to in het Arisch ook de geaspireerde uitgang -tha voortkomt (denk b.v. aan Skr. uktham en gatha naast caturtha, pancatha enz.) is natuurlijk een argument te meer; maar het sterkste bewijs voor het feit dat de hoofdtelwoorden, en de van deze afgeleide echte rangtelwoorden, eene som beteekenen, en dus alle voorafgaande leden der reeks bewust omvatten, is ten slotte de overeenkomst der Ordinalia met de Superlativa. Volgens Brugmann zijn toch zelfs al de primitieve Superlatief-uitgangen in het Indogermaansch aan de Ordinalia ontleend. Want gaan wij slechts even na, waarin de eigenlijke beteekenis van den relatieven Superlatief bestaat, m.a.w. wat voor verschil er is tusschen grooter en de grootste. Welnu: dit, dat een grooter een volgend lid is in een groeiende reeks; maar dat de grootste, het laatste lid is, die alle andere leden overtreft.

In elken superlatief zit dus een samenvatting van al de andere dingen, die ook die bepaalde eigenschap hebben maar in mindere mate. De Superlatief stelt dat ééne, ‘al’ die andere overziende, aan het einde der groeiende reeks. Vandaar de ook bij kinderen het vroegst optredende constructies met alle: allerveelste, de allerbraafste.

Welnu, dat is nu ook juist de typische beteekenis der uit de hoofdtelwoorden afgeleide rangtelwoorden. De twintigste overziet de gelijkheid van al de 19 andere leden met dit laatste lid en stelt dit laatste als de som van gelijke dingen volmakende: aan het einde der groeiende reeks. En zoo is het nu met elk echt rangtelwoord. De rangtelwoorden hebben dan ook in allerlei talen behalve dezelfde uitgangen, ook meestal geheel en al dezelfde syntactische constructie als de relatieve Superlatieven. Talen die geen echte hoogere rangtelwoorden hebben, kennen ook gewoonlijk geen Superlatief. En omgekeerd hebben talen die niet op de een of andere wijze den relatieven Superlatief kunnen uitdrukken, ook geen echte rangtelwoorden. In de kindertaal komt de volle reeks rangtelwoorden evenals de Superlatief als categorie betrekkelijk heel laat¹⁾ maar ongeveer gelijktijdig tot rijpheid. Ze beginnen ongeveer op

1) De comparatief, die in veel talen met het ordinale van twee overeenkomt, verschijnt in volle bewustheid een jaartje vroeger. Deze beide vormen toch veronderstellen slechts een bewuste vergelijking met één lid, maar de hoogere ordinalia en superlatieven veronderstellen een bewuste vergelijking met vele leden, en die wel-overzien en samengevat als ‘alle andere leden’. Hetzelfde onderscheid dat wij aantreffen tusschen Skr. kataras (welke van twee) en katamas (welke van vele, van alle).

[p. 285]

4-jarigen leeftijd, maar ontwikkelen zich pas tenvolle twee jaar daarna.

Zoo zien wij dus duidelijk, dat de nieuw gevonden hoofdtelwoorden heel iets anders beteekenen, dan de vroegere nummernamen. Stonden deze laatste, zij het dan ook ineengeschakeld, geheel op zich zelve; elk hoofdtelwoord wordt geacht als de heele som der voorafgaande eenheden volmakende. Elk behelst een telkens nieuwe samenvatting van de heele voorafgaande reeks.

Wij zijn hiermee echter reeds volop aan de vierde phase der rangtelwoorden toe. Maar dat moest: om duidelijke taal te spreken, en een der meest doorslaande bewijzen voor de derde phase niet te hoeven opdienen als mosterd na den maaltijd. Maar met deze laatste phase zijn wij nu echter ook reeds bijna klaar. Ook de rangtelwoorden zijn dus ten eerste scherp onderscheiden van de nummerwoorden, doordat zij de positie in de rij bepalen niet als van een concreet individu, maar van een specifieke comprehensie. Wij voelen dit verschil heel duidelijk als wij met elkaar vergelijken Willem III en Willem de Derde. Het eerste is een nummerwoord, het tweede een rangtelwoord.

Zoowel de kindertaal als de primitieve talen getuigen eenstemmig, dat deze zoo gebouwde rangtelwoorden pas na de hoofdtelwoorden optreden, en er als we de eerste twee om begrijpelijke reden uitzonderen, ook bijna altijd secundair van worden afgeleid. Bij de analyseerende wiskundigen is het lang een heftige strijd geweest, en is het eigenlijk nog een vraag: wat het oudste en primitiefste is, het hoofdtelwoord of het rangtelwoord. Beide elkander tegensprekende partijen hadden, gelijk het gewoonlijk gaat, gelijk in hetgeen ze positief beweerden, en ongelijk in hetgeen ze ontkenden.

Zij die meenden dat de rangtelwoorden ouder waren dan de hoofdtelwoorden, verstonden onder rangtelwoorden zonder het zelf te weten nummerende schakelnamen (Kronecke), en hadden dus groot gelijk, maar zij die meenden dat de hoofdtelwoorden het oudste waren (Husserl) verstonden onder hoofdtelwoorden primitieve groepnamen, en hadden dus ook gelijk; òf verstonden hoofdtelwoorden en rangtelwoorden juist als wij ze nu gedefinieerd hebben en dan hadden ze ook gelijk. Dat ze elkander niet begrepen en het niet eens konden worden lag eenvoudig hieraan, dat zij de nummernamen niet van de rangtelwoorden en de groepnamen niet van de hoofdtelwoorden wisten te onderscheiden.

[p. 286]

En dat was hun heusch niet kwalijk te nemen, want als wij de primitieve groepnamen en nummernamen niet zoo duidelijk uit de kindertaal en de onbeschaafde talen aan het licht hadden zien komen, zouden wij ze ook niet hebben gevonden, noch erin hebben geloofd. Nu wij ze echter eenmaal daar hebben doorschouwd, kunnen wij ook nu nog in onze moderne talen duidelijk vier soorten van telwoorden onderscheiden:

1.	DE GROEPNAMEN d.w.z. substantieven die een groep dingen als een collectieve hoeveelheid opvatten zonder nauwkeurige aftelling. Zoo b.v. een paar, een trits, een dozijn, een millioen, een milliard. In het meervoud: honderden, duizenden, millioenen enz.
2.	DE NUMMERNAMEN zijn een soort aaneengeschakelde tusschenwerpsels, die in een groep aan elk der leden hun individueele plaats aanwijzen. Willem III, bladzijde vier.
3.	DE HOOFDTELWOORDEN zijn aantallen of somwoorden of samenvattende relatiewoorden voor groepen van aan elkaar bewust gelijke dingen, in abstracto gedacht.
4.	DE RANGTELWOORDEN zijn adjectiva of participia, die in groepen van aan elkaar bewust gelijke dingen, aan die dingen een bepaalde plaats in de groep als een eigenschap toeschrijven.

Eén ding blijkt uit deze ten slotte bijna alle strijdende partijen bevredigende en verbroederende synthese zonneklaar: dat zoowel de speculeerende analyse en deductie a priori, als de observatie en inductie a posteriori beide zeer geschikte hulpmiddelen waren om de waarheid te achterhalen, maar dat noch de a priori-kennis, noch het a posteriori onderzoek recht hadden op de zelfgenoegzaamheid, die zij beiden toch zoo vaak voor zich hebben uitgedragen, zoowel in deze als in zoovele andere vragen. Zij kunnen elkander geen van beide missen.

De linguisten, psychologen en ethnologen toch, die van de wiskundige analyse geen kennis namen, hebben de feiten uit de kindertaal en de primitieve talen niet dan zeer gebrekkig begrepen en ze absoluut niet verklaard. De wiskundigen, die met het psychologisch en ethnologisch feitenmateriaal geen of slechts terloops rekening hielden, verwarden aanhoudend, trots al hun gescherpten analytischen geestesblik, de nu zoo klaar voor ons liggende verscheidenheden.

Alleen de vereeniging van beide methodes is, zoowel hier als elders, in staat: alle strijdende partijen te verzoenen in de verlossende waarheid.

JAC. VAN GINNEKEN