Spektator. Jaargang 20

[p. 273]

Flexibele categoriale syntaxis en semantiek:
de proefschriften van Frans Zwarts en Michael Moortgat
Herman Hendriks

Frans Zwarts.

Categoriale grammatica en algebraïsche semantiek. Een onderzoek naar negatie en polariteit in het Nederlands. Dissertatie Rijksuniversiteit Groningen, 1986. XXV, 438 p.

Michael Moortgat.

Categorial Investigations. Logical and Linguistic Aspects of the Lambek Calculus. Dordrecht etc.: Foris Publications, 1988. XIII, 285 p. (Groningen-Amsterdam Studies in Semantics; 9. Geb. ISBN 90 6765 388 8: f 89, -; Ing. ISBN 90 6765 387 X: f 46, -. (Ook verschenen als dissertatie Universiteit van Amsterdam.)

0 Inleiding

Hoewel Frans Zwarts en Michael Moortgat zich in hun proefschiften allebei bezighouden met flexibele categoriale grammatica, doen ze dit vanuit uiteenlopende invalshoeken. Zwarts richt zich op een specifiek empirisch probleem, de verschijnselen van negatie en polariteit in het Nederlands. Zijn theorie hierover is in eerste instantie geheel semantisch van aard, maar lijkt toch gevolgen te hebben voor de inrichting van de syntactische component. De traditionele opvattingen over constituentenstructuur, zo betoogt hij, zijn aan verandering toe. Een alternatieve benadering van de syntactische structuur wordt vervolgens gevonden in een theorie van flexibele categoriale grammatica: stelsel F. Bij Moortgat is een bepaald stelsel van flexibele categoriale grammatica, de Lambek-calculus, het uitgangspunt. Zijn onderzoek betreft de logische en linguïstische eigenschappen en mogelijkheden van deze theorie. Het blijkt dat de Lambek-calculus niet alleen rijker - dat wil zeggen: flexibeler - is dan andere voorgestelde categoriale grammatica's (inclusief F), maar ook conceptueel beter gemotiveerd. Het begrip onvolledige uitdrukking krijgt in de Lambek-calculus een precieze definitie.

1 Frans Zwarts: Categoriale grammatica en algebraïsche semantiek

1.1

Het alweer vijf jaar geleden tot een goed einde gebrachte proefschrift van de Groningse taalkundige Frans Zwarts kan met recht en reden een opmerkelijk werkstuk genoemd worden. Allereerst is daar de merkwaardige stijl van het

[p. 274]

boek, een zonderling mengelmoes van negentiende-eeuwse geleerdentaal en reviaanse wijdlopigheid, wat moge blijken uit zinsneden als: ‘Een dergelijke oplossing, hoe vernuftig ook, draagt duidelijk sporen van kunst- en vliegwerk...’ en ‘Zelfs Gazdar, de trotse auteur van een ronduit meesterlijk artikel over coördinatie...’. Ook Zwarts' voorbeelden (veel zuigelingen briesen of brullen) zijn op zijn zachtst gezegd enigszins buitenissig, een gegeven waar ongetwijfeld toe heeft bijgedragen dat - waar mogelijk - alle voorbeeldzinnen in dit met de schrijfmachine vervaardigde proefschrift precies even lang gehouden zijn.

Ter wille van de duidelijkheid en de overzichtelijkheid illustreren we een en ander met een citaat (o.c., pp. 220-1):

(151)	Op twee na alle orka's strandden of stierven
	Op twee na alle orka's stierven of ontkwamen
	Op twee na alle orka's stierven
(152)	Een even aantal orka's ontsnapte en strandde
	Een even aantal orka's strandde of verziekte
	Een even aantal orka's strandde

Het is zonder meer duidelijk dat (151) een geldige redeneertrant belichaamt en dat nominale constituenten van de vorm op n na alle N uit dien hoofde als continu moeten worden aangemerkt. Maar de redenering in (152) is zeer zeker niet geldig. Want als drie orka's strandden, waarvan twee na een geslaagde ontsnappingspoging, en een vierde orka verziekte, dan zijn de premissen waar, maar is de conclusie onwaar. Bijgevolg rest ons geen andere conclusie dan dat nominale constituenten van de vorm een even aantal N niet continu van aard zijn.

Denkt echter niet dat de kous daarmee af is. Zeer zeker niet, want Categoriale grammatica en algebraïsche semantiek is ook in andere opzichten belangwekkend.

Het vraagstuk waarop het proefschrift zich richt is, zoals de ondertitel van het boek al aangeeft, dat van negatie en polariteit in het Nederlands. Getracht wordt een verklaring te vinden voor de verschijnselen van negatieve en positieve polariteit, welke zich voordoen in de paren zinnen (1) en (2):

(1)	(a)	Geen ambtsdrager hoeft zich te verantwoorden
	(b)	*Elke ambtsdrager hoeft zich te verantwoorden
(2)	(a)	*Niet elke ambtsdrager is allerminst tevreden^1
	(b)	Elke ambtsdrager is allerminst tevreden

Het gaat om de uitdrukkingen hoeven en allerminst, die eisen stellen aan hun omgeving. Hoeven vereist blijkbaar de aanwezigheid van een negatieve uitdrukking als geen ambtsdrager en wordt daarom een negatief polaire uitdrukking genoemd, terwijl daarentegen allerminst, een zogeheten positief polaire uitdrukking, hiervan juist gevrijwaard wenst te blijven.

Frans Zwarts zoekt (en vindt) een verklaring voor deze verschijnselen in de theorie van de modeltheoretische semantiek, die in het proefschrift op algebraïsche wijze wordt opgevat. Het verschijnsel polariteit dient te worden beschreven in termen van een hiërarchie van negatieve uitdrukkingen.

1 Het gebruik van positief polaire uitrukkingen in een negatieve omgeving resulteert niet zozeer in ongrammaticaliteit, als wel in het optreden van een ‘echo-effect’ (een term van Pieter Seuren). Het gebruik van echo-zinnen houdt veelal de nadrukkelijke ontkenning van een zojuist gedane bewering in, in dit geval bijvoorbeeld de bewering Elke ambtsdrager is allerminst tevreden (= (2)(b)).

[p. 275]

Onderstreept moet worden dat negativiteit hier een semantische eigenschap is. Immers, ook in zinnen die syntactisch bezien geen negatie bevatten, kunnen negatief polaire uitdrukkingen ongestraft optreden:

(3)	Hoogstens zes ambtsdragers hoeven zich te verantwoorden

Vanaf het derde hoofdstuk, ‘Boole-algebra's’ (een glasheldere inleiding in het algemene algebraïsche kader), is het proefschrift gewijd aan de ontwikkeling van een semantische verklaring voor het verschijnsel polariteit.

Het boek vangt aan met een hoofdstuk over nevenschikkingen en een korte inleiding in de flexibele categoriale grammatica. Het eerste hoofdstuk fungeert hierbij als voorbereiding op het tweede: coördinatieverschijnselen maken duidelijk dat de traditionele opvattingen over constituentenstructuur rechtzetting behoeven. De benodigde minder starre benadering van de syntactische structuur wordt vervolgens gevonden in de theorie der categoriale grammatica. Dit heeft te maken met het feit dat Zwarts hier (en in het artikel ‘Polariteit: de reikwijdte van een lexicale eigenschap’ (1986)) schijnt te pleiten voor een strikte oppervlakte-analyse van polariteitseffecten: negatief polaire uitdrukkingen dienen in de (flexibele) syntactische structuur het argument van een monotoon dalende (≈ negatieve) expressie te vormen. Dit in tegenstelling tot Zwarts (1981), waar gesuggereerd werd dat een verklaring in termen van de semantische functie-argumentstructuur geformuleerd moet worden. We komen er in 1.3 op terug.

1.2

Hoofdstuk 1, ‘Nevenschikking’, is een uitgebreide bespreking van het verschijnsel nevenschikking. Een groot aantal voorbeelden van wat in de literatuur bekend geworden is als ‘Right Node Raising’ en ‘Conjunction Reduction’ brengt aan het licht dat de traditionele ideeën over constituentenstructuur op de helling moeten, indien men althans het idee niet wil prijsgeven dat gelijke categoriale status van de nevengeschikte uitdrukkingen een noodzakelijke voorwaarde vormt voor nevenschikking. Eerst wordt een aantal overtuigende argumenten gegeven tegen de in de transformationeel-generatieve grammatica voorgestelde transformaties ‘Right Node Raising’ (reductie van het eerste lid) en ‘Conjunction Reduction’ (reductie van het tweede lid), die respectievelijk verantwoordelijk zouden zijn voor zinnen als (4) en (5):

Vervolgens wordt de analyse die Gazdar en anderen binnen het kader van Generalized Phrase Structure Grammar (GPSG, vgl. Gazdar, Klein, Pullum en Sag 1985) voor nevenschikking hebben voorgesteld aan een kritische bespreking onderworpen. GPSG gaat uit van (i) niet-atomaire syntactische categorieën (deze zijn samengesteld uit feature-specificaties); en (ii) de

[p. 276]

mogelijkheid van onvolledige uitdrukkingen (categorieën waarin het slash-feature een waarde heeft), maar komt daarmee niet ver genoeg, aldus Zwarts. Zijn nauwgezette kritiek richt zich goeddeels op details van de voorgestelde analyses, maar komt er in het algemeen op neer dat zelfs bij Gazdar c.s. het traditionele beeld van de zinsbouw op hinderlijke wijze een algemene theorie over coördinatie in de weg staat, en wel omdat het begrip onvolledige uitdrukking in GPSG nog niet goed genoeg wordt gedefinieerd.

In hoofdstuk 2, ‘Categoriale grammatica’, wordt als voorbeeld van een alternatieve, minder starre benadering van de syntactische structuur de theorie der categoriale grammatica nader bekeken. In de categoriale grammatica spelen naast basiscategorieën (we beperken ons tot de basiscategorieën S en NP) afgeleide categorieën een zeer belangrijke rol. Het gaat daarbij met name om de breukcategorieën: categorieën van de vorm x/y en x\y, die ook wel functoren worden genoemd. Functoren van de vorm x/y en y\x heten respectievelijk rechtszoekend en linkszoekend. Een uitdrukking van de categorie x/y zoekt rechts een uitdrukking van de categorie y om samen een uitdrukking van categorie x te vormen. Een uitdrukking van de categorie y\x zoekt links een uitdrukking van de categorie y om samen een uitdrukking van categorie x te vormen. In x/y en y\x heet y het argument, en x de waarde. (Merk op dat in beide soorten categorieën het argument onder de breukstreep staat, en de waarde erboven.) Met de basiscategorieën S en NP kan bijvoorbeeld de ‘traditionele’ categorie VP worden weergegeven als de linkszoekende functor NP\S; een uitdrukking van deze categorie zoekt ter linkerzijde een uitdrukking van de categorie NP, en vormt daarmee een S. NP\S is een voorbeeld van een functor x\y met een basiscategorie (NP) als argument (x), en een basiscategorie (S) als waarde (y). Maar x en y zijn niet altijd basiscategorieën. De categorie (NP\S)/NP heeft een basiscategorie (NP) als argument, maar een samengestelde categorie (NP\S) als waarde.

Het bijzondere van categoriale grammatica's is het gegeven dat de interne structuur van categorieën de syntactisch/combinatorische eigenschappen van de ertoe behorende uitdrukkingen niet alleen weerspiegelt, maar ze bovendien volledig bepaalt. Een afzonderlijke herschrijfcomponent wordt zo overbodig: de syntactische informatie wordt in feite op het lexicon geprojecteerd. Dit maakt categoriale grammatica's tot extreem lexicalistische linguïstische theorieën.

Zo doet systeem AB (het minimale klassieke categoriale reductiesysteem, genoemd naar Ajdukiewicz en Bar-Hillel) recht aan het rechts- en linkszoekende karakter van functoren x/y en x\y door middel van de algemene wet applicatie: in systeem AB kunnen willekeurige categoriereeksen x/y,y en y,y\x tot x worden samengevoegd (‘gereduceerd’). De AB-ontleding in (6) bevat twee toepassingen van deze wet: de rechtsapplicatie (NP\S)/NP, NP ➝ NP\S en de linksapplicatie NP, NP\S ➝ S.

[p. 277]

Frans Zwarts bespreekt systeem AB, maar geeft de voorkeur aan systeem F (naar ‘Free categorial grammar’). Systeem F voegt aan AB de reductiewetten typeverhoging, compositie en commutatie² toe. Dat wil zeggen:

(7)	AB:	x/y, y ➝ x	y, y\x ➝ x	(applicatie)
	F:	x/y, y ➝ x	y, y\x ➝ x	(applicatie)
		x ➝ y/(x\y)	x ➝ (y/x)\y	(typeverhoging)
		x/y, y/z ➝ x/z	x\y, y\z ➝ x\z	(compositie)
		x\(y/z) ➝ (x\y)/z	(x\y)/z ➝ x\(y/z)	(commutatie)

Een belangrijk verschil tussen de systemen AB en F is dat waar in AB uitdrukkingen slechts één syntactische structuur toegekend krijgen, er in F meerdere syntactische structuren mee verbonden worden.

Zin (1) heeft in AB niet meer dan de syntactische ‘NP-VP’-structuur (6) (waarbij VP = NP\S). Maar in F behoort bovendien de linksvertakkende ontleding (8) tot de mogelijkheden:

Bovendien kunnen in F ook nevenschikkingen van ‘nonconstituenten’ als Koot nam en Bie gaf in (4) van een ontleding worden voorzien. De nevenschikkende voegwoorden en en of wordt de polymorfe categorie (*\*)/* toegekend, waar * een willekeurige categorie is. In (9) en (10) is * gelijk aan S/NP, zodat (*\*)/* neerkomt op ((S/NP)\(S/NP))/(S/NP). Ontleding (9) maakt gebruik van typeverhoging en compositie, maar het is ook mogelijk om naast applicatie slechts commutatie toe te passen, getuige (10):

2 Michael Moortgat duidt deze wetten aan als ophoging, compositie en associativiteit (vgl. bijv. Moortgat 1988; Heylen, Moortgat en van der Wouden 1988, p. 29).

[p. 278]

Deze alternatieve ontledingswijzen zullen relevant blijken voor de verantwoording van polariteitsverschijnselen.

In hoofdstuk 3 wordt de lezer ingeleid in de theorie der Boole-algebra's. Men maakt kennis met de axioma's, enkele fundamentele theorema's (die stuk voor stuk keurig bewezen worden), en voorbeelden van modellen voor deze theorie. Het belangrijkste voorbeeld van zo'n model is de machtsverzameling van een (willekeurige) verzameling V: de verzameling P(V) die bestaat uit alle deelverzamelingen van V. Formeel: P(V) = { X ❘ X ⊆ V }.³

Indien eigennamen een element van de een of andere verzameling individuen U als semantische waarde krijgen toegewezen, dan kunnen we het universum van mogelijke semantische waarden van eigennamen gelijk stellen aan U. Het universum van mogelijke semantische waarden van verbale constituenten, U_vp, kan - extensioneel opgevat - worden gelijkgesteld aan P(U), de machtsverzameling van U. U_vp is derhalve een Boole-algebra: de ‘VP-algebra’.

In de theorie der gegeneraliseerde kwantoren (zie bijvoorbeeld Van Benthem 1986) krijgen nominale constituenten een tweede-orde interpretatie: de semantische waarde van een NP is een collectie⁴ van deelverzamelingen van U. We nemen aan dat het universum van mogelijke semantische waarden van zelfstandige naamwoorden hetzelfde is als dat van verbale constituenten: P(U). De semantische waarde van het zelfstandig naamwoord ambtsdrager is dus een deelverzameling van U (de verzameling van ambtsdragers). De nominale constituent geen ambtsdrager krijgt als semantische waarde de collectie bestaande uit de verzamelingen individuen die geen ambtsdrager bevatten, en de semantische waarde van de NP elke ambtsdrager is de collectie bestaande uit de verzamelingen individuen die elke ambtsdrager bevatten, dat wil zeggen: de verzamelingen individuen die de verzameling ambtsdragers als deelverzameling hebben.

Een en ander betekent dat het universum van mogelijke semantische waarden van NPs, U_np, gelijk kan worden gesteld aan P(U_vp) = P(P(U)). De semantische waarde van een NP is een deelverzameling van de VP-algebra; een zogenaamde ‘kwantor op de VP-algebra’.

Het blijkt nu dat veel van deze kwantoren bekende wiskundige patronen vertonen, een stand van zaken die inzicht biedt in de semantiek van NPs, maar buitendien het gedrag van negatief en positief polaire uitdrukkingen kan helpen verklaren.

3 Voor elke deelverzameling X van V (X ∈ P(V)) is het complement van X, -X, de verzameling van elementen van V die niet in X zitten: -X = { v ∈ V ❘ v ∉ X }.
Voor elk tweetal deelverzamelingen X en Y van V (X ∈ P(V) en Y ∈ P(V)) is de doorsnede van X en Y, X∩Y, de verzameling van elementen van V die in X en in Y zitten: X∩Y = { v ∈ V ❘ v ∈ X en v ∈ Y }. En voor elk tweetal deelverzamelingen X en Y van V is de vereniging van X en Y, X∪Y, de verzameling van elementen van V die in X en/of in Y zitten: X∪Y = { v ∈ V ❘ v ∈ X en/of v ∈ Y }.

4 Het woord collectie wordt gebruikt voor verzamelingen waarvan de elementen zelf ook weer verzamelingen zijn.

[p. 279]

Hoofdstuk 4, ‘Monotonie en continuïteit’, behelst een eerste verkenning van deze wiskundige patronen. Met name de begrippen monotoon stijgend en monotoon dalend blijken relevant.

Een kwantor Q op een Boole-algebra B is monotoon stijgend precies als voor alle elementen X en Y uit B geldt: als X een element is van Q, en een deelverzameling van Y, dan is Y eveneens een element van Q (als X ∈ Q en X ⊆ Y, dan Y ∈ Q). Men ziet snel in dat de hierboven gegeven semantische interpretatie van elke ambtsdrager monotoon stijgend is. Want als X er een element van is, dan is de verzameling ambtsdragers (Z) een deelverzameling van X. Maar dan moet voor elke Y waar X een deelverzameling van is, eveneens gelden dat Z er een deelverzameling van is (Z ⊆ X en X ⊆ Y impliceert immers Z ⊆ Y), zodat ook Y een element is van de semantische waarde van elke ambtsdrager.

Een kwantor Q op een Boole-algebra B is monotoon dalend mits voor alle elementen X en Y uit B geldt: als X een element is van Q, en Y is een deelverzameling van X, dan is ook Y een element van Q (dus als X ∈ Q en Y ⊆ X, dan Y ∈ Q). De semantische waarde van geen ambtsdrager is een voorbeeld van een monotoon dalende kwantor, evenals de semantische waarde van niet elke ambtsdrager, de collectie bestaande uit de verzamelingen individuen waar de verzameling ambtsdragers géén deelverzameling van is. Met deze eigenschappen van kwantoren (die overigens de verzameling van in de natuurlijke taal voorkomende NPs niet uitputtend indelen: sommige NPs zijn in het geheel niet monotoon - denk aan de ambtsdrager(s), een even aantal bierviltjes, precies drie studies) kunnen onder meer logische betrekkingen tussen onverkorte en verkorte nevenschikkingen worden verhelderd: zo brengt het feit dat elke ambtsdrager monotoon stijgend is en geen ambtsdrager monotoon dalend met zich mee dat Elke ambtsdrager zucht en zwicht, dus elke ambtsdrager zucht en elke ambtsdrager zwicht geldig is, maar Geen ambtsdrager zucht en zwicht, dus geen ambtsdrager zucht en geen ambtsdrager zwicht niet.

Maar wellicht belangrijker is het gegeven dat de eigenschap van monotone daling bruikbaar is voor de analyse van zowel positief als negatief polaire uitdrukkingen. Juist deze eigenschap blijkt bepalend te zijn voor zowel de distributie van wat Zwarts negatief polaire uitdrukkingen van de zwakke soort noemt (een klasse die onder andere hoeven, kunnen uitstaan, kunnen velen, kunnen schelen, kunnen tippen aan, en kunnen luchten of zien bevat), als de distributie van wat Zwarts als positief polaire uitdrukkingen van de sterke soort bestempelt (een klasse waartoe onder andere allerminst, sommige, inderdaad, en nogal behoren). Zwakke negatief polaire uitdrukkingen kunnen alleen voorkomen in zinnen die een monotoon dalende uitdrukking bevatten (vgl. (11)), en sterke positief polaire uitdrukkingen kunnen voorkomen in alle zinnen die geen monotoon dalende uitdrukking bevatten (vgl. (12)).

(11)	Geen ambtsdrager hoeft zich te verantwoorden
	Niet elke ambtsdrager hoeft zich te verantwoorden
	*Elke ambtsdrager hoeft zich te verantwoorden
(12)	*Geen ambtsdrager is allerminst tevreden
	*Niet elke ambtsdrager is allerminst tevreden
	Elke ambtsdrager is allerminst tevreden

[p. 280]

Voor de twee resterende klassen, die van de sterke negatief polaire uitdrukkingen en de zwakke positief polaire uitdrukkingen, is de eigenschap van monotone daling niet toereikend.

Hoofdstuk 5, ‘Filters en idealen’, brengt daarom verdere onderscheidingen aan. Een kwantor Q op een Boole-algebra B is een quasi-filter precies als Q zowel monotoon stijgend is als gesloten onder doorsneden (voor alle elementen X en Y uit B geldt: als X ∈ Q en Y ∈ Q, dan X ∩ Y ∈ Q). De semantische waarde van elke ambtsdrager is een voorbeeld van een quasi-filter, een gegeven dat zich uit in de geldigheid van Elke ambtsdrager zwicht en elke ambtsdrager zucht, dus elke ambtsdrager zwicht en zucht. Daarentegen is de semantische waarde van een ambtsdrager, de collectie bestaande uit de verzamelingen individuen die minstens één ambtsdrager bevatten, wel een monotoon stijgende kwantor, maar geen quasi-filter.

Een kwantor Q op een Boole-algebra B is een quasi-ideaal precies als Q zowel monotoon dalend is als gesloten onder verenigingen (voor alle elementen X en Y uit B geldt: als X ∈ Q en Y ∈ Q, dan X ∪ Y ∈ Q). De semantische waarde van geen ambtsdrager is een quasi-ideaal, wat bijvoorbeeld blijkt uit de geldigheid van Geen ambtsdrager zwicht en geen ambtsdrager zucht, dus geen ambtsdrager zwicht of zucht. De hierboven gegeven semantische waarde van de monotoon dalende kwantor niet elke ambtsdrager is echter geen quasi-ideaal.

In termen van de tegenstelling tussen monotoon dalende en quasi-idealiserende nominale constituenten blijkt een onderscheid te kunnen worden gemaakt tussen negatief polaire uitdrukkingen van de zwakke soort en negatief polaire uitdrukkingen van de sterke soort. De eerste groep stelt zich, zoals we al zagen, tevreden met de aanwezigheid van een monotoon dalende uitdrukking elders in de zin, de tweede groep vereist de aanwezigheid van een element dat in semantisch opzicht vergelijkbaar is met een quasi-ideaal.⁵ Tot de klasse van sterke negatief polaire uitdrukkingen behoren ook maar, bijster, in de verste verte, een bal, een barst, een bliksem, een cent, een donder, een flikker, een fluit, een fuck, een greintje, een hout, een hol, een jota, een kloot, een laars, een letter, een mallemoer, een moer, een reet, een ruk, een sikkepit, een snars, een woord, een zak, en een zier.⁶

(13)	Geen ambtsdrager heeft er een bal van terechtgebracht
	*Niet elke ambtsdrager heeft er een fluit aan gedaan
	*Elke ambtsdrager heeft er een jota van begrepen (vgl. (11))

Toch is de notie quasi-ideaal (evenals de notie quasi-filter) in sommige opzichten te eng. Uit dien hoofde wordt in de tweede helft van hoofdstuk 5 een onderscheid gemaakt tussen multiplicatieve en anti-additieve functies. Deze begrippen zijn algemener dan respectievelijk de noties quasi-filter en quasi-ideaal, en kunnen niet alleen in het domein van de NPs, maar ook in dat van de determinatoren en de verbale constituenten worden toegepast: ‘Het functiebegrip [stelt] ons in staat het onderzoek naar polaire verschijnselen tot willekeurige omgevingen uit te breiden.’ (o.c., p. 338).

Laten we ons beperken tot de determinatoren. Anti-additieve functies zijn functies f waarvoor geldt: f(X ∪ Y) = f(X) ∩ f(Y), en anti-additieve determina-

5 Er bestaan uitzonderingen: NPs van de vorm alleen NP zijn quasi-idealen, maar kunnen niet het optreden van een sterke negatief polaire uitdrukking rechtvaardigen. Zwarts heeft hiervoor geen verklaring.

6 Deze voorbeelden komen niet allemaal voor rekening van Frans Zwarts.

[p. 281]

toren kenmerken zich dan ook door de equivalentie van (DET(N₁ of N₂)) VP en (DET(N₁) en DET(N₂)) VP. Het is duidelijk dat geen en elke anti-additieve determinatoren zijn: Geen (elke) ambtsdrager of zakenman zwicht en Geen (elke) ambtsdrager en geen (elke) zakenman zwicht zijn inderdaad equivalent. De determinator niet elke heeft deze eigenschap niet, want uit Niet elke ambtsdrager of zakenman zwicht volgt niet Niet elke ambtsdrager zwicht en niet elke zakenman zwicht. (Het kan immers zo zijn dat enkele zakenlieden zwichten, terwijl de ambtsdragers zonder uitzondering voet bij stuk houden.)

Inzake het verschijnsel van sterke negatieve polariteit heeft de eigenschap anti-additiviteit tamelijk verrassende en subtiele effecten. Pro memorie: de NPs elke ambtsdrager en niet elke ambtsdrager zijn - in tegenstelling tot geen ambtsdrager - niet anti-additief; de determinatoren elke en geen zijn wel anti-additief, maar de determinator niet elke niet. En kijk...

(14)	Geen ambtsdrager die zwicht, zal ook maar iets doen
	*Niet elke ambtsdrager die zwicht, zal ook maar iets doen
	*Elke ambtsdrager die zwicht, zal ook maar iets doen
(15)	Geen ambtsdrager die ook maar iets doet, zal zwichten
	*Niet elke ambtsdrager die ook maar iets doet, zal zwichten
	Elke ambtsdrager die ook maar iets doet, zal zwichten

De zinnen in (14), waarin de sterke negatief polaire uitdrukking ook maar in de hoofdzin optreedt, vertonen hetzelfde patroon als (13). Maar van de zinnen in (15), met ook maar in de relatieve bijzin, is alleen het voorbeeld met de niet anti-additieve subjectsdeterminator niet elke ongrammaticaal!

In de rest van hoofdstuk 5 worden nog twee typen kwantoren gedefinieerd en besproken. (Filters: quasi-filters Q met de eigenschap dat voor alle X: X ∪ (-X) ∈ Q, universele NPs en eigennamen bijvoorbeeld, en idealen: quasi-idealen Q zodat voor alle X: X ∩ (-X) ∈ Q. Voorbeelden van quasi-idealen zijn NPs als geen (van de) N en genegeerde eigennamen.)

In hoofdstuk 6, ‘Consistentie en volledigheid’, gaat Frans Zwarts verder met de onderverdeling van de semantische waarden van NPs. Met behulp van de eigenschap consistentie (voor alle X: als -X ∈ Q dan X ∉ Q) kunnen respectievelijk onder de quasi-filters en de quasi-idealen de zuivere - d.w.z. consistente - quasi-filters en zuivere quasi-idealen onderscheiden worden. De zuivere quasi-filters komen overeen met de traditionele klasse van bepaalde NPs; de zuivere quasi-idealen kunnen het best als negatief bepaald omschreven worden. Door middel van consistentie kan men ook de zuivere filters (eigennamen) en zuivere idealen (genegeerde eigennamen) uit de klassen van filters en idealen isoleren.

De eigenschap volledigheid (voor alle X: als X ∉ Q dan -X ∈ Q) is de tegenhanger van consistentie. Met behulp van de begrippen consistentie en volledigheid worden tenslotte ultrafilters en priemidealen gedefinieerd. Ultrafilters zijn consistente en volledige quasi-filters; priemidealen zijn consistente en volledige quasi-idealen. Ook de linguïtische voorbeelden van ultrafilters en priemidealen blijven beperkt tot respectievelijk eigennamen en genegeerde eigennamen.

Al de hierboven aangebrachte onderscheidingen kunnen in een algemeen

[p. 282]

schema worden ondergebracht (waar A ⇒ B uitdrukt dat A een deelverzameling is van B):

Het begrip priemideaal kan worden gegeneraliseerd tot dat van een antimorfisme, zoals in hoofdstuk 5 de quasi-filters konden worden ondergebracht bij de anti-additieve functies. Een functie f is een antimorfisme precies als voor alle X en Y geldt: (i) f(X ⋃ Y) = f(X) f ⋂ f(Y), en (ii) f(-X) = -f(X). Dit begrip is algemener dan de notie priemideaal, en kan behalve in het domein van de NPs ook elders worden toegepast. De zinswending het is niet zo dat en het ontkennende woord niet vertonen de karakteristieke eigenschappen van een antimorfisme.

Antimorfe functies blijken tenslotte onmisbaar te zijn voor de beschrijving van het gedrag van de zwakke positief polaire uitdrukkingen. We zagen al dat de klasse van sterke positief polaire uitdrukkingen, waartoe onder andere allerminst, sommige, inderdaad en nogal behoren, zich (modulo echo-lezingen) te weer stelt tegen de aanwezigheid van monotone dalers (vgl. ook (2)).

(17)	Elke beambte was inderdaad behulpzaam
	*Niet elke beambte was inderdaad behulpzaam
	*Geen beambte was inderdaad behulpzaam

Dit geldt evenwel niet voor de zwakke positief polaire uitdrukkingen:

(18)	Elke beambte was vrijwel onkreukbaar
	Niet elke beambte was vrijwel onkreukbaar
	Geen beambte was vrijwel onkreukbaar

Vrijwel stoort zich kennelijk zelfs niet aan het feit dat de NP geen beambte, nota bene een quasi-filter, zich in de naaste omgeving ophoudt. Ook andere zwakke positief polaire uitdrukkingen, zoals reeds, ooit, grif, nog en bar, laten zich niets gelegen liggen aan belendende monotoon dalende expressies. Blijkbaar zijn het alleen uitdrukkingen als niet die hier tot ongrammaticaliteit leiden.

(19)	Geen leerling heeft zich reeds geplaatst
	Hoogstens één leerling heeft zich reeds geplaatst
	*Elke leerling heeft zich niet reeds geplaatst
(20)	Geen leerling zal zich ooit plaatsen
	Hoogstens één leerling zal zich ooit plaatsen
	*Elke leerling zal zich niet ooit plaatsen

[p. 283]

1.3

Het proefschrift van Frans Zwarts is al met al een zeer interessant boek. Het is de verslaglegging van een onderzoek waarin belangrijke semantische inzichten zijn verworven op het gebied van negatie en polariteit in het Nederlands. Ook op het stuk van de duidelijkheid en de overzichtelijkheid blijft er voor de lezer weinig te wensen over. Daar staat tegenover dat de grote lijn van het boek zo nu en dan ten onder gaat in een overdosis uitleg, bewijzen en voorbeelden. Zo worden op gezette tijden steeds meer omvattende schema's van inclusierelaties tussen inmiddels gedefinieerde subklassen van nominale constituenten gepresenteerd (uitmondend in het in (16) weergegeven netwerk). Wat eigenlijk nog ontbreekt is een schema van inclusierelaties tussen deze inclusieschema's.

Bovendien beneemt een groot aantal uitweidingen over van alles en nog wat (het dictum de omni et nullo, Frege, de hiërarchie van negatie, het vierkant van oppositie, de betrekkingen tussen nevenschikkingen, de betrekkingen tussen zins- en predikaatnegatie, en allerlei eigenschappen van NPs die niet rechtstreeks van belang zijn voor de analyse van negatief en positief polaire uitdrukkingen) de lezer het uitzicht op de hoofdzaken. Zuiver taalkundig bezien heeft bijvoorbeeld het in hoofdstuk 6 gemaakte onderscheid tussen zuivere filters en ultrafilters weinig zin: beide klassen bevatten slechts eigennamen. En of dat nog niet genoeg is, wordt er op p. 398 nog eens aan toegevoegd dat ‘ter voorkoming van alle misverstand [...] er nadrukkelijk op gewezen [moet] worden, dat eigennamen feitelijk een bijzonder soort van ultrafilter als semantische waarde toegewezen krijgen’, namelijk principale ultrafilters. Ook zuivere idealen en priemidealen worden slechts door genegeerde eigennamen gerealiseerd. Weliswaar wordt de notie priemideaal uitgebreid tot het begrip antimorfisme, dat vervolgens een rol blijkt te spelen in de analyse van zwakke positief polaire uitdrukkingen, maar zodra dit punt eenmaal bereikt is, zijn de genegeerde eigennamen (en de priemidealen) in feite al geheel uit het zicht verdwenen.⁷

Maar het voornaamste probleem is dat in dit onderzoek naar negatie en polariteit niet goed wordt aangegeven hoe ‘polariteit: de reikwijdte van een lexicale eigenschap’ (de titel van Zwarts 1986) in de grammatica verantwoord dient te worden. In 1.1 merkten we op dat Zwarts in zijn proefschrift schijnt te pleiten voor een strikte oppervlakte-analyse van polariteitseffecten: negatief polaire uitdrukkingen dienen in de flexibele syntactische structuur het argument van een monotoon dalende of quasi-ideale expressie te vormen. In Zwarts (1981) wordt nog gestipuleerd dat negatief polaire uitdrukkingen op hun plaats zijn in het bereik van monotone dalers. De notie ‘bereik’ wordt in dat artikel niet nader uitgewerkt; er wordt slechts gesuggereerd dat het begrip nauw gerelateerd zou moeten zijn aan de functie-argumentstructuur, die op haar beurt afgeleid dient te worden via een analyse in termen van Cooper-stores (vgl. Cooper 1983) voor de weergave van bereiksambiguïteiten. In de dissertatie en in Zwarts (1986) wordt het begrip gepreciseerd met de hypothese ‘dat een negatief-polaire uitdrukking alleen dan tot een welgevormde uitkomst leidt, indien zij het argument van een monotoon dalende expressie vormt’ (Zwarts 1986, p. 188).

7 Een voorbeeld van een genegeerde eigennaam treft men aan in de zin Niet Rambo rooft en moordt (een voorbeeld uit het proefschrift). Het bestaan van genegeerde eigennamen in zinnen zonder echo-effect lijkt mij nogal dubieus. (Frans Zwarts denkt daar kennelijk anders over.) Indien genegeerde eigennamen toch al nooit in niet-echo-zinnen voorkomen, is het niet mogelijk om voor antimorfe subject-NPs de hypothese te toetsen dat de afwezigheid van antimorfismen bepalend is voor de toelaatbaarheid van zwakke positief polaire uitdrukkingen: het verschijnsel dat *Niet Jan was vrijwel onkreukbaar hoogstens een echo-interpretatie heeft, komt dan voor rekening van het feit dat genegeerde eigennamen onveranderlijk een echo-effect met zich meebrengen.

[p. 284]

Volgens deze zienswijze is in Few congressmen attended any of the meetings niet de nominale constituent few congressmen de legitimerende uitdrukking voor de negatief polaire uitdrukking any of the meetings. ‘Veeleer moet deze zin van een dusdanige ontleding worden voorzien, dat het optreden van de negatief-polaire woordgroep [...] kan worden toegeschreven aan de logische eigenschappen van de reeks few congressmen attended. Daartoe dienen we gebruik te maken van het aan de theorie van de categoriale grammatica ontleende mechanisme van compositie.’ (Zwarts 1986, p. 188). Dat wil zeggen:

De semantische waarde van een transitief werkwoord als attended is een monotoon stijgende functie (vgl. Keenan en Faltz 1985). De semantische waarde van de nominale constituent few congressmen is een monotoon dalende functie. De semantische waarde van hun compositie, de S/NP few congressmen attended, is de compositie van een monotoon dalende en een monotoon stijgende functie. Men kan bewijzen dat zo'n compositie zelf weer een monotoon dalende functie is (‘min maal plus is min’), en dit verklaart de grammaticaliteit van het voorbeeld.

De door Zwarts voorgestelde werkwijze geeft echter aanleiding tot enkele overwegingen.

(i) Gesteld dat men voor de verantwoording van het verschijnsel polariteit gebruik wil maken van een flexibele categoriale grammatica (die toch al nodig is voor de nevenschikking van ‘nonconstituenten’), waarom dan systeem F? Systeem F is in historisch perspectief een niet geheel geslaagde reconstructie van systeem L, dat door Cohen (1967) werd geïntroduceerd in een mislukte poging aan te tonen dat de zwakke generatieve capaciteit van L, de flexibele categoriale grammatica van Joachim Lambek (1958, zie ook 2), gelijk is aan die van het contextvrije minimale klassieke systeem AB.⁸ Het kan worden betoogd dat F als reconstructie van het begrip ‘onvolledige uitdrukking’ - en daar was het Zwarts toch voornamelijk om te doen - de mindere is van L (vgl. 2). Gosse Bouma bespreekt F en merkt onder meer op dat het in F niet mogelijk is om de reeks x/y,y/z,(x/z)\w te reduceren tot w door eerst y/z en (x/z)\w samen te nemen (anders gezegd: F is niet structureel volledig, zie 2).⁹ Zwarts lijkt zich deze vragen ten aanzien van F ook te realiseren als hij aankondigt ‘dat enkele van de aangeroerde onderwerpen in een tweede boek uitvoeriger zullen worden behandeld. Het betreft met name de vraagstukken van coördinatie en constituentenstructuur, de categoriale systemen van Lambek, [...] de wetten der compositie en kwesties van bereik en negatie’ (p. xxv).

(ii) In 1.1 vermeldden we al dat Zwarts er in een eerdere publicatie (1981) anders over dacht: ‘In feite zullen we betogen dat elke poging om de relatie in het bereik van in de syntaxis te verankeren op een ernstige misvatting moet berusten’; ‘[i ]n plaats daarvan dient de relatie [...] het karakter te dragen

8 Volgens Frans Zwarts (mondelinge mededeling) strekt het F juist tot aanbeveling dat deze calculus het product is van een ‘historisch misverstand’.

9 Met de toevoeging dat ‘[i]t is hard to see whether situations like [these] actually arise in natural language.’ (Bouma 1985, p. 16). (Moortgat echter: ‘the near-associativity of F does not seem to correspond to linguistically relevant distinctions’ (p. 42).)

[p. 285]

van een relatie tussen twee uitdrukkingen in een zin met betrekking tot een semantische interpretatie van die zin.’ (Zwarts 1981, p. 50 en pp. 69-70). Voor die eerdere opvatting lijkt iets te zeggen, ook in een flexibele categoriale benadering van de syntaxis. Dit is wat Ton van der Wouden (1988, p. 498) betoogt. Hij geeft het voorbeeld niet elke man kust sommige vrouwen, dat de sterk positief polaire uitdrukking sommige bevat. Naar analogie van structureel vergelijkbare zinnen (elke man kust sommige vrouwen) zou men kunnen veronderstellen dat deze zin twee lezingen heeft: een lezing die inhoudt dat voor niet elke man geldt dat hij meer dan één vrouw kust, en een tweede lezing waarin wordt uitgedrukt dat er sommige vrouwen zijn die niet door elke man worden gekust. Maar als gevolg van de positieve polariteit van sommige heeft de zin slechts de tweede lezing, waarin het object ‘wijd bereik’ heeft.

Nemen we met Zwarts aan dat dit verantwoord wordt door te eisen dat sommige vrouwen niet het argument mag zijn van een monotoon dalende functie, dan lijken we eigenlijk ongrammaticaliteit te voorspellen. (De compositie van niet elke man en kust heeft als interpretatie een monotoon dalende functie van type (((e,t),t),t): de verzameling van kwantoren T op de VP-algebra met de eigenschap dat niet voor elke man x geldt dat de verzameling P van entiteiten die x kust een element is van T.) In werkelijkheid is de zin grammaticaal, maar ontbreekt slechts de (normaal gesproken ongemarkeerde) ‘wijd-bereik-subject’- lezing. Dit suggereert dat het inderdaad gaat om ‘een relatie tussen twee uitdrukkingen in een zin met betrekking tot een semantische interpretatie van die zin.’

Tenslotte zou men zich kunnen afvragen of de onderscheiden sterke en zwakke vormen van negatieve polariteit toch niet in één groep kunnen worden ondergebracht. De zwakke negatief polaire uitdrukkingen - hoeven, kunnen uitstaan, etc. - zijn immers zonder uitzondering werkwoordelijk van aard, terwijl de sterke negatief polaire uitdrukkingen - ook maar, bijster, in de verste verte, een bal, etc. - een modificerende (soms pseudonominale) status bezitten. (Aan de andere kant moet helaas worden vastgesteld dat de twee groepen positief polaire uitdrukkingen - sterk: allerminst, sommige, inderdaad en nogal, versus zwak: reeds, ooit, grif, nog en bar - zich onderling veel minder duidelijk afbakenen.)

In dit verband is het beter niet langer te verhelen dat de polariteitsfeiten in het voorafgaande nogal gestroomlijnd zijn weergegeven. We zagen hierboven dat sterke negatief polaire uitdrukkingen als ook maar (en het geldt ook voor in de verste verte, een bal, een greintje, etc., maar niet voor bijster) niet alleen gevoelig zijn voor quasi-idealen, maar voor anti-additieve functies in het

[p. 286]

algemeen, een gegeven dat zich uitte in het fraaie contrast tussen (14) en (15). De zwakke negatief polaire uitdrukkingen geven een geheel ander beeld: monotone daling van determinatoren heeft duidelijk niet dezelfde effecten als anti-additiviteit. Zwakke negatief polaire uitdrukkingen als hoeven hebben niet voldoende aan monotoon dalende determinatoren als geen en elke:

(23)	*Geen ambtsdrager die iets hoeft te schrijven, zal zwichten
	*Elke ambtsdrager die iets hoeft te schrijven, zal zwichten

Werkwoordelijke status, monotone daling en ongevoeligheid voor determinatoren gaan dus samen, evenals modificerend karakter, anti-additiviteit en gevoeligheid voor determinatoren. Misschien is het mogelijk om de drie verschillen onder één noemer te brengen, en zo beide groepen tot één onderliggende gemeenschappelijke eigenschap te herleiden. Wie zal het zeggen?

2 Michael Moortgat: Categorial Investigations

2.1

De in het proefschrift van Michael Moortgat vastgelegde categoriale onderzoekingen betreffen de Lambek-calculus, een stelsel dat zich de afgelopen jaren - niet in de laatste plaats dankzij de inspanningen van Moortgat zelf - een vooraanstaande positie heeft verworven binnen de categoriale hiërarchie.¹⁰

De dissertatie bestaat uit twee delen, ‘Linguistic Aspects of the Lambek Calculus’ (hoofdstuk 2 en 3) en ‘Categorial Parsing as Gentzen Deduction’ (hoofdstuk 4 en 5), die worden voorafgegaan door een algemene inleiding in de flexibele categoriale grammatica (hoofdstuk 1).

De inleiding laat zien dat door middel van de Lambek-calculus (die we zullen aanduiden als stelsel L) de heterogene verzameling van in de literatuur voorgestelde categoriale reductiewetten als applicatie, compositie, typeverhoging en commutatie kan worden gekarakteriseerd met een algemene notie van afleidbaarheid. In L hebben deze categoriale reductiewetten de status van theorema's. De afleidbaarheid van theorema's wordt vastgelegd in de vorm een axiomatisch systeem, conform de leus parsing as deduction (of ‘categoriale ontleding als logische bewijsvoering’, de ondertitel van Moortgat 1988).

Het eerste deel, ‘Linguistic Aspects of the Lambek Calculus’, behandelt twee onderwerpen: structurele volledigheid en discontinue afhankelijkheden.

Syntactische concatenatie is in L een volledig associatieve operatie. Dit brengt met zich mee dat L op het punt van de syntactische constituentenstructuur de eigenschap van structurele volledigheid bezit. Aan een rijtje uitdrukkingen dat tot een bepaalde categorie herschrijft, kan elke mogelijke hiërarchische constituentenstructuur worden toegekend. Dus als aan ABC de structuur [[AB]C] kan worden toegekend, dan is ook de structuur [A[BC]] mogelijk, en andersom. In feite verliest zo het idee van een autonome syntactische constituentenstructuur elke empirische inhoud. Daar staat tegenover dat L

10 De calculus werd geïntroduceerd in ‘The Mathematics of Sentence Structure’ (Lambek 1958). Dit klassieke artikel is herdrukt in Buszkowski, Marciszewski en Van Benthem (eds.) (1988), een bundel die, evenals Oehrle, Bach en Wheeler (eds.) (1988), een breed overzicht geeft van linguïstisch en logisch onderzoek binnen het kader van de flexibele categoriale grammatica.

[p. 287]

het mogelijk maakt om de autonome prosodische structuur rechtstreeks te interpreteren. Dit wordt geïllustreerd met voorbeelden van herstructurering - gevallen waarin de prosodische en de morfosyntactische structuur onderling afwijken: verschillen tussen de prosodische en syntactische structuur van zinnen, morfologische ‘haakjesparadoxen’ op het niveau van de woordstructuur, en extreme syntactische herstructurering bij 's-enclitisering in het Engels.

Voor de representatie van discontinue afhankelijkheden doet het proefschrift twee voorstellen. Lokale, lexicaal geregeerde afhankelijkheden morfologische complementsovererving, verb raising in het Nederlands) kunnen door middel van specifieke lexicale regels binnen het oorspronkelijke stelsel L worden verantwoord. De behandeling van discontinuïteit op syntactisch niveau (wh- movement, verb raising in het Zwitsers Duits en het Vlaams) vereist een uitbreiding van de verzameling categoriale connectieven met een extractieen een infixatie-operator.

Het tweede deel, ‘Categorial Parsing as Gentzen Deduction’, beschouwt de Lambek-calculus vanuit een logisch-computationeel perspectief. L kan worden beschouwd als een aantrekkelijke uitwerking van een benadering die het probleem van de taalkundige (automatische) ontleding terugbrengt tot een vorm van logische bewijsvoering, waarbij de nadruk ligt op L als beslissingsprocedure. In het vierde hoofdstuk laat Moortgat zien dat deze beslissingsprocedure rechtstreeks en elegant geïmplementeerd kan worden in de vorm van een Prolog programma. Het slothoofdstuk tracht het idee van automatische ontleding op basis van de Lambek-calculus zodanig aan te passen dat ook verschijnselen die de bruikbaarheid van L als beslissingsprocedure in gevaar dreigen te brengen er een plaats in krijgen. Het gaat hier om het niet-reduceerbare polymorfisme van nevenschikkende voegwoorden als en en of. Deze uitdrukkingen bezitten een categoriale flexibiliteit die niet door de regels van L zelf verantwoord kan worden. Ook de links-associatieve ontleding, een mogelijk model voor de manier waarop menselijke taalgebruikers zinnen en andere uitdrukkingen ‘van links naar rechts’ verwerken, is problematisch voor de beslissingsprocedure die L belichaamt. Voor deze doeleinden wordt stelsel M ontwikkeld. Tenslotte combineert Moortgat stelsel L met een semantische calculus voor het genereren van verschillende bereiksverhoudingen van kwantoren en operatoren.

2.2

Hoofdstuk 1, ‘Generalized Categorial Grammar: the Lambek Calculus’, begint met een algemene uiteenzetting over categoriale grammatica. We zagen al dat categoriale grammatica's geen afzonderlijke herschrijfcomponent bevatten; de combinatorische eigenschappen van uitdrukkingen zijn gecodeerd in de interne structuur van de categorieën waartoe die uitdrukkingen behoren. De specifieke herschrijfregels worden vervangen door algemene wetten die vastleggen welke (rijtjes) categorieën tot welke categorieën reduceren. Het minimale systeem AB legt bijvoorbeeld in de vorm van de reductiewet applicatie vast dat de uit twee categorieën

[p. 288]

bestaande rijtjes x/y, y en y, y\x (waar x en y willekeurige categorieën zijn) allebei tot x reduceren.

Voor een goed begrip van de werking van L kan het geen kwaad om opnieuw te bekijken wat we met een categoriale grammatica willen bereiken. In 1.2 karakteriseerden we de intuïtieve betekenis van de samengestelde categorieën x/y en y\x: categorie x/y is de verzameling van uitdrukkingen die met uitdrukkingen van categorie y ter rechterzijde een uitdrukking van categorie x vormen, en categorie y\x is de verzameling van uitdrukkingen die met uitdrukkingen van categorie y ter linkerzijde een uitdrukking van categorie x vormen. L voegt daar een derde type aan toe, de productcategorie x•y. Categorie x•y is de verzameling van uitdrukkingen die bestaan uit de concatenatie van een uitdrukking van categorie x en een uitdrukking van categorie y. Kortom:

(24)	(i)	x•y = { ab ❘ a ∊ x en b ∊ y }
	(ii)	x/y = { a ❘ voor alle b ∊ y: ab ∊ x }
	(iii)	y\x = { a ❘ voor alle b∊y: ba ∊ x }

Uit definitie (24) volgen drie fundamentele eigenschappen van categorieën, opgevat als verzamelingen van uitdrukkingen:

(25)	(i)	x•(y•z) ⊆ (x•y)•z en (x•y)•z ⊆ x•(y•z)[dus x•(y•z) = (x•y)•z],
	(ii)	x•y ⊆ z dan en slechts dan als x ⊆ z/y, en
	(iii)	x•y ⊆ z dan en slechts dan als y ⊆ x\z.

Uit (25) is de intuïtieve geldigheid van een reductiewet als applicatie gemakkelijk af te leiden. We merkten in 1.2 al op dat systeem AB recht doet aan het rechtszoekende karakter van functoren v/w door middel van de algemene wet van rechtsapplicatie: in systeem AB kunnen willekeurige categoriereeksen v/w, w worden samengevoegd tot v. Dat is eigenlijk een speciaal geval van één van de ‘helften’ van (25) (ii): als x ⊆ z/y dan x•y ⊆ z. Immers, uit de invulling van v voor z, w voor y, en v\w voor x resulteert: als v/w ⊆ v/w dan (v/w)•w ⊆ v. Omdat v/w ⊆ v/w uiteraard zonder meer geldt, komt dit neer op: (v/w)•w ⊆ v. Hetzelfde kan worden opgemerkt over linksapplicatie en (25) (iii).

Compositie, ophoging en associativiteit kunnen eveneens uit (25) worden afgeleid. Systeem AB, dat deze reductiewetten niet bevat, doet blijkbaar slechts gedeeltelijk recht aan de intuïtieve interpretatie van samengestelde categorieën. Is stelsel F dan misschien een volledige reconstructie van het intuïtieve begrip ‘onvolledige uitdrukking’? Deze vraag moet ontkennend beantwoord worden. Ook F is te zwak. Bovendien is bewezen¹¹ dat geen enkele verrijking van AB (of F) met een eindig aantal extra reductiewetten een volledig systeem kan opleveren.

Toch is een dergelijk¹² systeem al geruime tijd voorhanden. In 1958 liet Joachim Lambek zien dat een categoriaal systeem kan bestaan uit een eenvoudige aanpassing van de beslissingsprocedure voor de sequentencalculus die Gentzen in de jaren dertig had ontworpen voor de (intuïtionistische) propositielogica. In een categoriale sequentencalculus worden door middel van regels uit axioma's sequenten T ⇒ x afgeleid die bestaan uit (a) het

11 Door Zielonka (1981).

12 Buszkowski (1985) bewijst de volledigheid van (het product-vrije deel van) de Lambekcalculus ten opzichte van deze intuïtieve interpretatie.

[p. 289]

linkerlid: een rijtje T bestaande uit één of meer categorieën; (b) ‘⇒’; en (c) het rechterlid: één categorie x.

NP, NP\S ⇒ S en NP, S/NP ⇒ S zijn voorbeelden van sequenten waarvan het linkerlid uit twee categorieën bestaat. De eerste sequent is in L afleidbaar, de tweede niet. Dankzij de correctheid van L kunnen we aan de afleidbaarheid van een sequent als NP, NP\S ⇒ S de intuïtieve betekenis geven dat NP•NP\S ⊆ S, ofwel: de concatenatie van een NP en een NP\S is een S. Dankzij de volledigheid van L weten we dat alle intuïtief geldige uitspraken x₁•...•x_n ⊆ y over uitdrukkingen van (product-vrije) categorieën x₁,..., x_n en y ook L-afleidbaar zijn als x₁,..., x_n ⇒ y.

Hoe ziet L er uit? Laten we afspreken dat x, y en z voor willekeurige categorieën staan, en P, T, Q, U en V voor willekeurige rijtjes categorieën (waarbij P, T en Q niet leeg mogen zijn). De axioma's van L zijn alle sequenten van de vorm x ⇒ x. Daarnaast bevat L voor elk van de operatoren /,\ en • een Linksregel (/L, \L en •L) en een Rechtsregel (/R, \R en •R), die in (26) zijn weergegeven.¹³

(26)	T ⇒ y		U,x,V ⇒ z		T ⇒ y		U,x,V ⇒ z
		U,x/y,T,V ⇒ z		[/L]		U,T,y\x,V ⇒ z		[\L]
		T,y ⇒ x			y,T ⇒ x
	[/R]	T ⇒ x/y			T ⇒ y\x [\R]
		U,x,y,V ⇒ Z			P ⇒ x		Q ⇒ y
	[•L]	U,x•y,V ⇒ Z				P,Q ⇒ x•y		[•R]

De afleidingsregels stellen dat de conclusie - de sequent onder de streep - als bewezen beschouwd mag worden wanneer men de premisse(n) - de sequent(en) boven de streep - bewezen heeft. Merk allereerst op dat L inderdaad een beslissingsprocedure is voor de vraag of een niet-leeg rijtje categorieën T reduceert tot een categorie y. In elke regel bevat(ten) de premisse(n) precies één operator minder dan de conclusie. Bij de Rechtsregels is dat de hoofdoperator van de categorie die het rechterlid van de conclusie vormt; bij de Linksregels is het de hoofdoperator van één van de categorieën in het rijtje dat het linkerlid van de conclusie vormt.

Deze eigenschap is zeer bruikbaar als we willen nagaan of een sequent T ⇒ y een stelling van L is. We kunnen dan gaan proberen om potentiële afleidingen van de sequent T ⇒ y van onder naar boven op te bouwen, dus beginnend bij de conclusie T ⇒ y. Daarbij hebben we weliswaar in een stadium vaak meer dan één keuzemogelijkheid, maar is altijd op elke stap het aantal keuzemogelijkheden eindig. Bovendien wordt bij elke stap in de bewijsvoering één operator verwijderd. Daarom stuiten we vroeg of laat op sequenten waarop geen afleidingsregels meer van toepassing zijn. Als deze allemaal van de vorm x ⇒ x zijn (axioma's derhalve), is T ⇒ y een stelling van L, maar als minstens één van deze sequenten niet van die vorm is, is T ⇒ y geen stelling van L.

13 In de linguïstische praktijk beperkt men zich veelal tot het product-vrije deel van L; categorieën die optredens van de operator • bevatten blijven dan buiten beschouwing, evenals de regels •L en •R (vgl. echter Bouma 1988).

[p. 290]

Ter illustratie zullen we nagaan of de in de literatuur voorgestelde reductiewet deling, u/v ⇒ (u/w)/(v/w), een stelling van L is. We kunnen mogelijke toepassingen van \L, \R, •L en •R buiten beschouwing laten, omdat / de enige operator is die in u/v ⇒ (u/w)/(v/w) voorkomt.

Om te beginnen is deze sequent geen axioma, want u/v ≠ (u/w)/(v/w). Er zijn daarom twee mogelijkheden: de sequent is het resultaat van /L of van /R. De mogelijkheid /L valt af, omdat /L altijd leidt tot een conclusie van de vorm U,x/y,T,V ⇒ z, waar T een niet-leeg rijtje categorieën is. Het linkerlid moet dus minstens twee categorieën bevatten. Blijft over /R, een regel die (achterstevoren gedacht) de hoofdoperator / uit het rechterlid (u/w)/(v/w) verwijdert, en u/v ⇒ (u/w)/(v/w) afleidt uit de sequent u/v,v/w ⇒ u/w:

(27)	...
	u/v, v/w ⇒ u/w
	u/v ⇒ (u/w)/(v/w)	[/R]

De sequent u/v,v/w ⇒ u/w is nog steeds geen axioma. We kiezen opnieuw een operator, ook nu in het rechterlid, en verwijderen die weer met de regel /R, die u/v,v/w ⇒ u/w afleidt uit u/v,v/w, w ⇒ u. (Verwijdering van een operator in het linkerlid van u/v,v/w ⇒ u/w door middel van /L brengt ons op een doodlopende weg.)

(28)	...
	u/v,v/w,w ⇒ u
	u/v,v/w ⇒ u/w	[/R]
	u/v ⇒ (u/w)/(v/w)	[/R]

Ook dit is geen axioma, en omdat het rechterlid van deze sequent geen operator bevat, vervalt ditmaal de mogelijkheid dat /R tot deze sequent heeft geleid. Geen nood: we selecteren nu een operator in het linkerlid, / in v/w (de selectie van / in u/v is ook mogelijk, vgl. (33)), en brengen /L in stelling.

(29)	[axioma]		...
	w ⇒ w		u/v,v ⇒ u
		u/v,v/w,w ⇒ u			[/L]
		u/v,v/w ⇒ u/w		[/R]
		u/v ⇒ (u/w)/(v/w)		[/R]

We zien dat de afleidingsregel /L leidt tot een splitsing van het bewijs: we moeten nu van twee sequenten laten zien dat ze in L bewijsbaar zijn. Met w ⇒ w zijn we gauw klaar: dat is een axioma. De tweede sequent bevat nog één operator / in het linkerlid, die met /L verwijderd kan worden.

Opnieuw splitst het bewijs zich in twee takken, die geen operator meer bevatten. Maar gelukkig zijn het axioma's, en de reductiewet deling blijkt een stelling van L.

[p. 291]

(30)			[axioma]			[axioma]
	[axioma]		v ⇒ v			u ⇒ u
	w ⇒ w			u/v,v ⇒ u			[/L]
		u/v,v/w,w ⇒ u				[/L]
		u/v,v/w ⇒ u/w			[/R]
		u/v ⇒ (u/w)/(v/w)			[/R]

L is een syntactische theorie die als reconstructie van het begrip onvolledige uitdrukking van grote waarde blijkt voor de analyse van bijvoorbeeld nevenschikking van ‘nonconstituenten’ in natuurlijke talen.

Een ander aantrekkelijk aspect van L is de relatie tussen syntaxis en semantiek. Johan van Benthem (1986, hoofdstuk 7) heeft laten zien hoe de semantiek van een in L afleidbare sequent rechtstreeks kan worden afgeleid uit het bewijs van zijn geldigheid in de syntactische calculus. Anders dan in zwakkere calculi (zoals F), waar elke reductiewet afzonderlijk semantisch geïnterpreteerd dient te worden, kan de semantiek van L onmiddellijk gegeven worden door de regels /L, \L, •L, /R, \R en •R van een interpretatie te voorzien. Elke syntactische categorie C wordt geassocieerd met een semantisch type, type(C), dat vastlegt wat voor soort object de uitdrukkingen in C als semantische waarde krijgen. Voor de basiscategorieën wordt dit type gestipuleerd, en als we de productcategorieën buiten beschouwing laten, is er voor de samengestelde categorieën x/y en y\x een algemene regel: type(x/y) = type(y\x) = (type(y),type(x)): de denotatie van functorcategorieën is een functie van objecten van type(y) naar objecten van type(x) - vandaar hun naam. Zonder in details te treden, kunnen we stellen dat de regels /L en \L corresponderen met functionele applicatie, en /R en \R met lambda-abstractie. (De dadelijk te bespreken Snederegel komt in semantisch opzicht overeen met substitutie.) Michael Moortgat geeft een expliciete versie van deze ‘Van Benthem-semantiek’ voor de sequentencalculus L.

Hierboven hebben we betoogd dat het in (26) gepresenteerde stelsel beslisbaar is. Het systeem bezit echter de omslachtige eigenschap dat bij het bewijzen van stellingen steeds maar weer moet worden teruggegaan tot en met de axioma's. Er kan geen gebruik worden gemaakt van reeds bewezen stellingen. In bovenstaand bewijs stuitten we bijvoorbeeld al na één stap op de sequent u/v,v/w ⇒ u/w, een oude bekende (compositie) waarvan we weten dat hij in het onvolledige stelsel F afleidbaar is, en dus ook in het volledige stelsel L. Het zou mooi zijn als dergelijke reeds eerder bereikte resultaten in een afleiding gebruikt zouden kunnen worden. Te dien einde voegen we een extra regel aan L toe, de Snederegel. Deze beregelt niet het gedrag van een specifieke operator, maar kan beter beschouwd worden als een structurele regel, die het mogelijk maakt om bewijzen ‘in elkaar te schuiven’.

(31)	T ⇒ x		U,x,V ⇒ y
		U,T,V ⇒ y		[Snede]

[p. 292]

De toevoeging van de Snederegel leidt niet tot nieuwe theorema's. Lambek (1985) laat zien dat elke sequent die in L met de Snederegel bewezen kan worden ook een Snede-vrij bewijs heeft. Toch heeft de invoering van de Snederegel belangrijke gevolgen. Het aantal operatoren in de premissen van de Snederegel is niet noodzakelijk kleiner dan het aantal operatoren in de conclusie van de regel. Als de ‘Snede-categorie’ x zelf operatoren bevat, ontbreken deze in de conclusie. Mede daardoor brengt de invoering van de Snederegel met zich mee dat elke sequent een oneindig aantal afleidingen krijgt. Zo krijgen met Snede de triviale sequenten x ⇒ x onder andere de volgende oneindige rij van bewijzen:

(32)	(i)	[axioma]
		x ⇒ x
	(ii)	[axioma]			[axioma]
		x ⇒ x			x ⇒ x
			x ⇒ x				[Snede]
	(iii)			[axioma]		[axioma]
		[axioma]		x ⇒ x		x ⇒ x
		x ⇒ x			x ⇒ x			[Snede]
				x ⇒ x		[Snede]
	(iv)	...
	...

In verband met de directe koppeling van semantische interpretaties aan afleidingen zou men zich kunnen afvragen of dit nu inhoudt dat elke sequent in L-plus-Snede ook oneindig veel semantische interpretaties krijgt. Dit is niet het geval. Van Benthem (1986) bewijst de eindigheid van het aantal lezingen van een sequent door een nauwkeurige analyse van de met afleidingen geassocieerde lambda-termen, en het blijkt zelfs zo te zijn dat dit eindig aantal lezingen wordt voortgebracht door de Snede-vrije afleidingen (vgl. Moortgat 1990a): elke sequent die in L-plus-Snede een bepaalde semantische interpretatie krijgt toegekend krijgt, kan Snede-vrij bewezen worden met een equivalente interpretatie. Een verwante kwestie is het ‘spurious ambiguity problem’. Zelfs verschillende Snede-vrije afleidingen van een bepaalde sequent leiden soms tot equivalente interpretaties. De sequent u/v ⇒ (u/w)/(v/w) kan bijvoorbeeld op twee manieren Snede-vrij afgeleid worden. Naast (30) is er afleiding (33).

(33)	[axioma]			[axioma]
	v ⇒ v			w ⇒ w		[axioma]
		v/w,w ⇒ v			[/L]	u ⇒ u
			u/v,v/w,w ⇒ u				[/L]
			u/v,v/w ⇒ u/w			[/R]
			u/v ⇒ (u/w)/(v/w)			[/R]

[p. 293]

De semantische interpretaties die (30) en (33) aan deze sequent toekennen zijn equivalent. Dit is lastig wanneer het beslisbare stelsel (26) gebruikt wordt in een automatische procedure om de interpretaties van afleidbare sequenten te bepalen (wat in hoofdstuk 4 van ‘Categorial Investigations’ gebeurt). Voor elke equivalente afleiding voert de algoritme dan een overbodige semantische berekening uit. Moortgat (1990a) suggereert een strategie ter oplossing van dit probleem in termen van partiële deductie op basis van lexicale compilatie. Er is ook een meer directe methode: (26) kan ingeperkt (‘genormaliseerd’) worden tot een sequentencalculus, L*, die elke lezing slechts éénmaal afleidt, terwijl de verzameling van afleidbare sequenten gelijk blijft (Hepple 1990, Hendriks 1990). Tussen het genormaliseerde stelsel en de partiële deductie-methode (alsmede de ‘bewijsnetten’ van Roorda 1990) bestaat een nauwe verwantschap.

We hebben inmiddels drie categoriale systemen gezien: AB, F en L. Deze stelsels kunnen in een ‘categoriale hiërarchie’ geplaatst worden: de theorema's van AB, F en L vormen namelijk steeds grotere verzamelingen: AB ⊆ F ⊆ L. Welke positie nemen deze categoriale grammatica's in binnen de Chomsky-hiërarchie? AB heeft de zwakke generatieve capaciteit van context-vrije grammatica's. Hoewel F een veel grotere sterke generatieve capaciteit heeft dan AB, is ook dit systeem context-vrij. De zwakke generatieve capaciteit van L is nog niet duidelijk. Buszkowski (1988) heeft in elk geval bewezen dat L, indien de categorieën slechts één van de operatoren / en \ bevatten, precies de context-vrije talen herkent.

De verrijking van L met de Snederegel heeft tot gevolg dat het systeem de eigenschap van structurele volledigheid krijgt, een eigenschap die in hoofdstuk 2, ‘Associativity and Restructuring’, uitgebreid aan bod komt. De sequent NP,(NP\S)/NP,NP ⇒ S heeft één Snede-vrije afleiding:

(34)			[axioma]		[axioma]
	[axioma]		NP ⇒ NP		S ⇒ S
	NP ⇒ NP			NP,NP\S ⇒ S		[\L]
		NP,(NP\S)/NP,NP ⇒ S			[/L]

(34) voorziet de reeks NP,(NP\ S)/NP, NP van de ‘constituentenstructuur’ [NP [(NP\S)/NP NP]]. We kunnen ook Snede toepassen en gebruik maken van de afleidbare reductiewet commutatie, (NP\S)/NP ⇒ NP\(S/NP).

(35)					[axioma]		[axioma]
			[axioma]		NP ⇒ NP		S ⇒ S
	[commutatie]		NP ⇒ NP			S/NP,NP ⇒ S			[\L]
	(NP\S)/NP ⇒ NP\(S/NP)			NP,NP\(S/NP),NP ⇒ S				[/L]
		NP,(NP\S)/NP,NP ⇒ S					[Snede]

Op deze manier krijgt de reeks NP,(NP\S)/NP,NP de ‘constituentenstructuur’ [[NP (NP\S)/NP] NP]. De semantische interpretaties van de bewijzen (34) en (35) zijn equivalent. In het algemeen kan met de Snederegel

[p. 294]

in L elke reeks ABC zonder semantische gevolgen naar believen als [A [B C]] of als [[A B] C] ‘gestructureerd’ worden. Dit is de ‘structurele volledigheid’ van de Lambek-calculus.¹⁵ In feite vallen in L sterke en zwakke generatieve capaciteit samen (Buszkowski 1988, p. 80).

In minder flexibele grammaticamodellen is de toegekende syntactische structuur niet zelden een semantisch gemotiveerd artefact. Zo wordt een bijzin als dattie vertrekt vanwege de gewenste semantische representatie DAT(VERTREKT(HIJ)) doorgaans voorzien van de syntactische structuur [dat[ie vertrekt]] in plaats van [[dat ie] vertrekt], wat prosodisch (en ortografisch) veel meer voor de hand ligt. De flexibiliteit van L met Snede maakt het mogelijk om de prosodische structuur rechtstreeks semantisch te interpreteren, zonder tussenkomst van een syntactische structuur.

Moortgat introduceert een niet-commutatieve en niet-associatieve fonologische concatenatie-operator, ⊗, en laat zien dat L met Snede de structurele discrepantie tussen ((dat⊗ie)⊗vertrekt) en DAT(VERTREKT(HIJ)) zonder problemen kan overbruggen. Dergelijke verschillen tussen de prosodische en ‘syntactische’ (maar eigenlijk dus: semantische) structuur van uitdrukkingen kunnen dankzij de structurele volledigheid van L met Snede altijd met elkaar in overeenstemming worden gebracht. In het proefschrift worden nog twee andere mogelijke toepassingen van structurele volledigheid besproken. (a) Bij het verschijnsel van morfologische ‘bracketing paradoxes’ keert het zojuist geschetste probleem terug op het niveau van de woordstructuur. In het woord ungrammaticality vormen de stam grammatical en het suffix ity samen een hechtere prosodische eenheid dan het prefix un en de combinatie grammatical+ity: (un⊗(grammaticality)). Semantisch is de associatie echter omgekeerd: ITY(UN(GRAMMATICAL)). (b) Extreme discrepanties tussen prosodische en semantische structuur treffen we aan bij 's-enclitisering in het Engels. In de prosodische structuur (36) (i) van de zin The queen of England's here vormt het enclitisch element 's een diep ingebedde eenheid met England. Maar in de semantische structuur (36) (ii) is de interpretatie van 's de hoofdfunctor, terwijl de interpretatie van England optreedt als argument van een argument van een argument!

(36)	(i)	((the⊗queen)⊗(of⊗(England⊗'s)))here)
	(ii)	IS(HERE)(THE(OF(ENGLAND)(QUEEN)))

In tegenstelling tot de eerdere voorbeelden, die ook binnen het flexibele stelsel F verantwoord kunnen worden, is voor (36) de volledige associativiteit van de Lambek-calculus vereist.

Hoofdstuk 3, ‘Between L and LP: Discontinuous Dependencies’, gaat in op mogelijkheden om L uit te breiden ten behoeve van de representatie van discontinue afhankelijkheden. De Lambek-calculus is een concatenatieve theorie van onvolledige uitdrukkingen. Discontinue afhankelijkheden als ‘whverplaatsing’ vereisen een rijkere theorie van functoren. In L is het onmogelijk om I know who John loves af te leiden als permutatie van I know John loves who (= NP,(NP\S)/S,NP, (NP\S)/NP,NP; een reeks categorieën die in L tot categorie S herleid kan worden). Men zou kunnen denken aan het toevoegen van de structurele regel P (‘permutatie’).

15 Deze structurele volledigheid manifesteert zich ook in de associativiteit van de productoperator •: de sequenten x•(y•z) ⇒ (x•y)•z en (x•y)•z ⇒ x•(y•z) zijn allebei geldig in L (vgl. (25) (i)). Dientengevolge impliceert de afleidbaarheid van x₁,...,x_n ⇒ y de afleidbaarheid van 1...x_n> ⇒ y voor elke ‘structurering’ 1...x_n> van x₁,...,x_n met haakjes )( en producten •.

[p. 295]

(37)	U,x,y,V ⇒ z
	U,y,x,V ⇒ z	[P]

(37) leidt weliswaar tot een ingrijpende vergroting van het aantal theorema's (I know who John loves wordt afleidbaar als permutatie van I know John loves who), maar ontdoet de grammatica tevens van al haar syntactische aantrekkelijkheden. Het systeem LP (L plus P) scheert alle permutaties van een reeks over één kam, met als rampzalig gevolg dat onder andere ook de permutatie who John I loves know afleidbaar wordt.

Als mogelijk alternatief voor regel P en zijn schadelijke effecten zou men de verzameling axioma's van L kunnen uitbreiden met specifieke, niet in L afleidbare theorema's van LP. Steedman (1987, 1988) en Szabolcsi (1987) stellen (38) en (39) voor.

(38)	x ⇒ y/(y/x)	(harmonische typeverhoging)
(39)	y/z, y\x ⇒ x/z	(disharmonische compositie)

(38) is bruikbaar voor extractie van zinsperifere elementen (I know who John loves -), en (39) kan extractie van niet-perifere elementen verantwoorden (I know what John put - on the table). Het probleem is echter dat (38) en (39) niet of nauwelijks subtieler zijn dan (37). Moortgat toont aan dat de toevoeging van (38) aan L (37) impliceert, en dat de introductie van (39) in de context van L tot gevolg heeft dat willekeurige rijtjes van minstens drie categorieën vrijelijk gepermuteerd kunnen worden.

Niettemin kunnen LP-theorema's - mits geïncorporeerd als lexicaal geregeerde unaire categorie-overgangen x ⇒ y - waardevol zijn voor de analyse van discontinue afhankelijkheden op lexicaal niveau. Het proefschrift behandelt twee voorbeelden.

(a) Complementsovererving. In de uitdrukking tevredenheid met Jan ‘erft’ tevredenheid, de combinatie van tevreden_a/pp en heid_a\n, de mogelijkheid van tevreden om samen met de PP met Jan op te treden: het geheel heeft de categorie N/PP. Dit kan gezien worden als een geval van disharmonische compositie (39): A/PP, A\N ⇒ N/PP.¹⁶

(b) Verb raising. In de bijzin dat ik haar het verhaal liet navertellen vormen liet_(np\vp)/vp en navertellen_np\vp samen een uitdrukking van categorie NP\(NP\VP)): (NP\VP)/VP,NP\VP ⇒ NP\ (NP\VP). Ook hier is kennelijk een vorm van disharmonische compositie in het geding, en wel (40), het ‘spiegelbeeld’ van (39).

(40)

x/y, z\y ⇒ z\x

(disharmonische compositie)

Complementsovererving en verb raising zijn lexicaal geregeerde verschijnselen. Verb raising doet zich bijvoorbeeld alleen maar voor bij een beperkte klasse van werkwoorden, de ‘verb-raising triggers’ {laten, moeten, willen,...}. Compositie is echter een tweeplaatsige reductiewet en kan niet als eigenschap van een bepaalde klasse van lexicale elementen gepostuleerd worden. Moortgats voorstel is daarom geformuleerd in termen van de éénplaatsige

16 Ook in de semantiek is sprake van compositie, want de interpretatie van de stam+suffix- combinatie is de functiecompositie λx.HEID(TEVREDEN(x)), die toegepast op MET JAN, de interpretatie van het complement oplevert: HEID(TEVREDEN(MET JAN)).

[p. 296]

reductiewet deling, en maakt gebruik van het feit dat (disharmonische) compositie kan worden gezien als (disharmonische) deling + applicatie.

Voor verb-raising triggers wordt nu de volgende lexicale regel opgesteld:

(42)	α : x/y ⇒ α : (*\x)/(*\y), voor α ∈ {laten, moeten, willen,...]

In (42) is * een willekeurige categorie. Net als en en of (zie (9)) wordt deze werkwoorden dus een polymorfe verzameling categorieën toegekend. (De regel voor complementsovererving wijkt enigszins af, maar volgt hetzelfde algemene idee).

Volgens deze zienswijze vormen de uitdrukkingen tevredenheid en liet navertellen zelfstandige syntactisch/semantische constituenten. Dit heeft grote voordelen boven analyses in termen van affix raising en verb raising. In dergelijke benaderingen blijft het een raadsel dat samengestelde nomina en verb-raising clusters ook gecoördineerd kunnen worden met uitdrukkingen die niet dezelfde derivationele geschiedenis achter de rug hebben:

(43)	tevredenheid of medelijden met Jan
(44)	dat ik haar het verhaal voorlas en liet navertellen

Moortgat neemt verder aan dat de afleiding van Nederlandse verb-raising clusters in het lexicon plaatsvindt, omdat het materiaal rechts van de verbraising trigger altijd lexicaal moet zijn, vgl....dat Jan in de tuin wil liggen en *...dat Jan wil in de tuin liggen. Gosse Bouma vindt de lexicale status van (42) terecht, maar wijst op een probleem voor het idee dat werkwoordsclusters in het lexicon worden afgeleid. In...dat ik [het artikel heb willen] en [de dissertatie zal moeten] lezen moeten de clusters heb willen en zal moeten een constituent vormen met respectievelijk het artikel en de dissertatie voordat een combinatie met lezen mogelijk is. ‘Een redelijk alternatief lijkt me daarom de daadwerkelijke vorming van werkwoordsclusters syntactisch te behandelen en de restrictie dat rechts van de verb-raising trigger slechts lexicale elementen mogen staan door middel van een kenmerk te beregelen’ (Bouma 1990, p. 314). Dit alternatief reduceert bovendien het verschil tussen de nauw verwante Nederlandse en Vlaamse verb raising constructies (dat, zoals we zullen zien, in Moortgats aanpak aanzienlijk is) tot een kwestie van kenmerken.

De toevoeging van lexicale regels laat de syntactische calculus zelf ongemoeid. Maar niet alle discontinue afhankelijkheden zijn lexicaal. Daarom bestudeert Moortgat de mogelijkheid om L te verrijken met niet-concatenatieve operatoren, ↑ (‘extractie’) en ↓ (‘infixatie’). C↑A staat voor de verzameling van uitdrukkingen waarin ergens een uitdrukking van categorie A kan worden ingevoegd zodat het resultaat een uitdrukking van categorie C is, en C↓B is de categorie van uitdrukkingen die een uitdrukking van

[p. 297]

categorie C opleveren wanneer men ze op een willekeurig punt in een uitdrukking van categorie B invoegt.¹⁷

(45)	C↑A = { y ❘ ∃ y1•y2 = y, ∀x∈A, y1•x•y2 ∈ C }
	C↓B = { x ❘ ∀y1•y2∈B, y1•x•y2∈C }

De extractie-operator ↑ is verwant aan het slash-feature in GPSG (vgl. Gazdar e.a. (1985)). Naast de algemene infixatie-operator ↓ gebruikt Moortgat twee speciale, ‘perifere’ infixatie-operatoren, > en <. Deze operatoren komen overeen met de door Bach (1979) voorgestelde wrap-operaties. Uitdrukkingen van categorie B>A (A<B) leveren een uitdrukking van categorie B op wanneer ze worden ingevoegd op de voorlaatste (tweede) plaats in een uitdrukking van categorie A.

(46)	B>A = { x ❘ ∀y1•...•yn∈A (n≥1), y1•...•yn-1•x•yn∈B }
	A<B = { x ❘ ∀y1•...•yn∈A (n≥1), y1•x•y2...•yn∈B }

In hoeverre kunnen deze operatoren in L worden gerepresenteerd? De bedoelde interpretatie van ↑ suggereert een rechtsregel, en voor ↓, > en < liggen linksregels voor de hand:

(47)	T′,y,T″ ⇒ x				T′,T″ ⇒ y		U,x,V ⇒ z
	T′,T″ ⇒ x↑y			[↑R]		U,T′,x↓y,T″,V ⇒ z		[↓L]
	T,y′ ⇒ y		U,x,V ⇒ z		y′,T ⇒ y		U,x,V ⇒ z
		U,T,x>y,y′,V ⇒ z		[>L]		U,T,y<x,y′,V ↑ z		[<L]

De operator ↑ wordt benut in een analyse van vraagwoordzinnen. Aan wh-NPs wordt lexicaal de categorie S/(S↑NP) toegekend. Omdat John put NP on the table tot categorie S herleid kan worden, weten we met [↑R] dat John put on the table van categorie S↑NP is. Dankzij rechtsapplicatie [S/(S↑NP), S↑NP ⇒ S] kan de S/(S↑NP) what met deze S↑NP geconcateneerd worden tot de S what John put on the table. Merk op dat volgens deze analyse de vorming van vraagwoordzinnen een volstrekt unbounded verschijnsel is: er wordt geen beperking opgelegd aan de omgevingen waaruit wh-elementen ‘verplaatst’ mogen worden.

De rechtsperifere infixatie-operator > is van belang voor Moortgats analyse van verb raising in Germaanse talen als het Vlaams, waar het materiaal rechts van de verb-raising trigger niet lexicaal hoeft te zijn en (dat Jan) wil in de tuin liggen dan ook even grammaticaal is als (dat Jan) in de tuin wil liggen. Door de Vlaamse verb-raising trigger willen de categorie VP>VP toe te kennen wordt dit verantwoord. Als we voor in de tuin en liggen de categorieën PP en PP\VP aannemen, dan zijn zowel wil in de tuin liggen als in de tuin wil liggen tot VP te herleiden:

(48)			VP ⇒ VP		VP ⇒ VP
	PP ⇒ PP			VP>VP, VP ⇒ VP		[>L]
		VP>VP, PP, PP\VP ⇒ VP			[\L]

17 C ↑ A wordt dus existentieel geïnterpreteerd, en C↓B universeel. Deze keuze is bepaald door de beoogde lingu⃯stische toepassingen.

[p. 298]

(49)	PP ⇒ PP			VP ⇒ VP
		PP, PP\VP ⇒ VP			[\L]	VP ⇒ VP
			PP, VP>VP, PP\VP ⇒ VP				[>L]

In L + {<L,>L} kunnen, zonder de desastreuze gevolgen van ongebreidelde ‘disharmonische compositie’, varianten van (39) en (40) afgeleid worden:

(50)	z ⇒ z			y ⇒ y
		z, z\y ⇒ y			[\L]			x ⇒ x
			z, x>y, z\y ⇒ x				[>L]
			x>y, z\y ⇒ z\x			[\R] (vgl. (40))

(Ook x>y, z\y ⇒ x/z (vgl. (39)) is een theorema.)

Een belangrijk aspect van het voorafgaande is dat de regels in (47) slechts een partiële logica geven voor de niet-concatenatieve operatoren ↑, ↓, > en <. Het is binnen de grenzen van de sequentencalculus L onmogelijk om tot bevredigende formuleringen van de regels [↑L], [↓R], [>R] en [<R] te komen. Alleen (letterlijk) marginale gevallen, waarin bijvoorbeeld [↑L] samenvalt met [/L] of [\L], en [>R] met [/R], zijn uitdrukbaar. Dit beperkt de praktische toepassingsmogelijkheden van de niet-concatenatieve operatoren aanzienlijk. Een theoretisch minder prettig gevolg van deze partialiteit is dat Snede-eliminatie niet langer onschadelijk is: er zijn sequenten die met de Snederegel bewezen kunnen worden, maar geen Snede-vrij bewijs hebben. Mark Hepple (p.c.) wijst er bijvoorbeeld op dat de sequent x>y, y>z, z\w ⇒ x\w geen Snede-vrij bewijs heeft, maar met Snede wel kan worden afgeleid: (51) geeft aan dat x>y, y>z, w\z ⇒ w\x via Snede kan worden geconcludeerd uit twee instanties van de in (50) bewezen vorm van compositie.

(51)	y>z, w\z ⇒ w\y		x>y, w\y ⇒ w\x
		x>y, y>z, w\z ⇒ w\x		[Snede]

Hoofdstuk 4, ‘The Lambek-Gentzen Calculus with Resolution’, richt zich op de Lambek-calculus als beslissingsprocedure. De werking van deze procedure is hierboven al uitgebreid aan de orde gekomen. Moortgat toont aan dat afleidbaarheid in L kan worden geaxiomatiseerd in de Horn-logica, een deeltaal van de predikatenlogica waar de logische programmeertaal Prolog op gebaseerd is. Door deze omvorming wordt het mogelijk de bewijsprocedure voor L aan te vullen met de resolutieprocedure. Voorts wordt de zoekruimte onderzocht die bij het vinden van een bewijs doorkruist moet worden. Deze zoekruimte kan met behulp van de getalsinvariantie (Van Benthem 1986, hoofdstuk 7) worden ingeperkt. Tenslotte kan dankzij het meten van de complexiteitsgraad van sequenten de resterende zoekruimte zo snel mogelijk worden doorlopen.

Hoofdstuk 5, ‘Polymorphism in the Lambek-Gentzen Calculus’, is gewijd aan verschijnselen die samenhangen met de ‘logische oneindigheid’ van L: (a) het

[p. 299]

niet-reduceerbaar polymorfisme van nevenschikkende voegwoorden en (b) strikt linksvertakkende ontleding.

(a) Voor elke niet-lege reeks categorieën T geeft L oneindig veel antwoorden op de vraag: ‘voor welke x: T ⇒ x?’. Als we uitgaan van de basiscategorieën NP en S, behoren voor T = S bijvoorbeeld S, (NP/S)\NP, (S/(NP/S)\NP)\S, (NP/(S/(NP/S)\NP)\S)\NP,...tot de oplossingen.

Deze logische oneindigheid van L speelt een belangrijke rol in de gebruikelijke categoriale analyse van de nevenschikkende voegwoorden en en of als polymorfe functoren (x\x)/x, waar x een willekeurige categorie is.¹⁸ Om te bepalen of twee reeksen uitdrukkingen P en Q coördineerbaar zijn, dienen we te weten of er een categorie x is zodanig dat P ⇒ x en Q ⇒ x.

(b) Flexibele categoriale grammatica is meermalen voorgesteld als model voor de manier waarop menselijke taalgebruikers zinnen en andere uitdrukkingen ‘van links naar rechts’ verwerken. Ook hier is de logische oneindigheid van L in het geding. Voor een strikt linksvertakkende ontleding van een sequent x₁,...,x_n ⇒ y in L is een reeks reducties nodig die leidt tot een linksvertakkende structuur: ((...((x₁,x₂)...),x_n). Eerst moeten we een categorie z₁ zien te vinden, zodanig dat x₁,x₂ ⇒ z₁ en z₁,x₃,...,x_n ⇒ y. Vervolgens is het zoeken naar een categorie z₂, zodanig dat z₁,x₃ ⇒ z₂ en z₂,x₄,...,x_n ⇒ y. Als dit n-1 maal lukt, hebben we een categorie z_n-1 te pakken waarvoor geldt dat z_n-2,x_n ⇒ z_n-1 en z_n-1 ⇒ y. Maar dan moet ook gelden dat z_n-2,x_n ⇒ y, en zijn we klaar.

Zowel nevenschikking als linksvertakkende ontleding kunnen worden gezien als speciale gevallen van de Snederegel:

(52)	T ⇒ x		U,x,V ⇒ y
		U,T,V ⇒ y		[Snede]
(53)	P ⇒ x		Q ⇒ x
		P, (x\x)/x, Q ⇒ x		[/L], [\L]	U, x, V ⇒ y
			U, P, (x\x)/x, Q V ⇒ y			[Snede]
(54)	v, w ⇒ x		x, V ⇒ y
		v, w, V ⇒ y		[Snede]

De logische oneindigheid van L houdt in dat de vraag naar de ‘Snede-categorie’ x (vrijwel altijd) op oneindig veel manieren beantwoord zal worden. Moortgat stelt een aanpak van dit probleem voor die de speciale Snede-regels (53) en (54) combineert met het categoriale stelsel M. M, een subsysteem van de product-vrije Lambek-calculus, is gedefinieerd als een (oneindige) verzameling tweeplaatsige reductiewetten. De basis van M wordt gevormd door de reductiewet applicatie, en de recursieve stappen zijn gebaseerd op monotonie-eigenschappen van de operatoren \ en /.¹⁹ (Daarnaast zijn er speciale clausules die twee basiscategorieën a en b herleiden tot het kleinste uit a en b afleidbare type. De calculus heeft bovendien een semantische interpretatie.)

18 Deze polymorfe categorietoekenning wordt niet-reduceerbaar genoemd, omdat men de verzameling van categorieën (x\x)/x in L niet uit een eindige verzameling categorieën kan afleiden. Zo zijn de categorieën voor S- en VP-coördinatie al onvergelijkbaar in L: (S\S)/S ((NP\S)\(NP\S))/(NP\S) en ((NP\S)\(NP\S))/(NP\S) (S\S)/S.

19 Het gaat om de volgende eigenschappen (zie Zielonka 1981): als x ⊆ y, dan z\x ⊆ z\y en x/z ⊆ y/z (vgl. (55) (ii)); als x ⊆ y, dan y\z ⊆ x\z en z/y ⊆ z/x (vgl. (55) (iii)).

[p. 300]

(55)	(i)	(a)	x/y, y ⇒ x	(b)	y, y\x ⇒ x
	(ii)	(a)	z, x ⇒ w	(b)	x, z ⇒ w
			z, x/y ⇒ w/y		y\x, z ⇒ y\w
	(iii)	(a)	z, w ⇒ y	(b)	w, z ⇒ y
			x/y, z ⇒ x/w		z, y\x ⇒ w\x

In combinatie met (54) kan M bijvoorbeeld een linksvertakkende afleiding geven van de sequent a, (a\b)/c, c ⇒ b. Eerst wordt (54) toegepast: we zoeken een v, zodat a, (a\b)/c ⇒ v en v, c ⇒ b. Vervolgens kunnen de regels in (55) ons helpen bij het vinden van oplossingen voor v. Het bijzondere is dat M - in tegenstelling tot L - altijd eindig veel oplossingen zal aandragen. Voor de sequent a, (a\b)/c ⇒ v is er geen andere keuze dan (ii)(a). Dus v = w/y, met y = c, en de premisse is a, a\b ⇒ w. Dit moet wel een geval van (i)(b) zijn, zodat w = b. De (unieke) oplossing voor v is derhalve b/c. Deze oplossing is op grond van (i)(a) ook beschikbaar voor de sequent v, c ⇒ b - en we zijn klaar.

Moortgat laat als indrukwekkend voorbeeld van de werking van M zien hoe de uitdrukkingen omdat, omdat opa, omdat opa van, omdat opa van het, omdat opa van het meisje, omdat opa van het meisje afhankelijk, en omdat opa van het meisje afhankelijk is stuk voor stuk een syntactische ontleding en een semantische interpretatie krijgen. Ook nevenschikkingen van ‘nonconstituenten’ kunnen met behulp van M verantwoord worden. Een nadeel is dat in M de linksvertakkende ontleding niet van toepassing is op nevenschikkingen.

Hoewel geen semantische volledigheid (ten opzichte van L ) wordt nagestreefd, is het wel de bedoeling dat M de syntactische prestaties van L met Snede op logisch eindige wijze evenaart. Paul Dekker (1989) geeft echter een voorbeeld van een eenvoudige zin die M niet aankan: Jan loopt snel [NP, NP\S, (NP\S)\(NP\S)] kan in M niet linksvertakkend (met Snede (54)) tot S herleid worden. Opmerkelijk is overigens dat de regels van M (met Snede (52)) deze zin wèl van een rechtsvertakkende ontleding kunnen voorzien. De aanwezigheid van Snede in een stelsel is blijkbaar op zichzelf geen garantie voor structurele volledigheid.

2.3

Categorial Investigations is een grondig en degelijk onderzoek naar de eigenschappen en mogelijkheden van de Lambek-calculus. Michael Moortgat geeft een breed en enthousiast overzicht van de linguïstische prestaties van dit meer dan dertig jaar oude grammaticamodel. De keerzijde van zijn presentatiewijze is echter dat beperkingen en problemen soms wat onderbelicht blijven.

Het belangrijkste probleem is de tegenstelling tussen structurele volledigheid en het idee dat de grammatica als beslissingsprocedure moet kunnen dienen. Het eerste deel van de dissertatie kan worden gezien als een uitgebreid linguïstisch pleidooi voor structureel volledige grammatica's. Structurele volledigheid kan in L slechts worden bereikt door de Snede-vrije calculus uit te breiden met de Snederegel. In het tweede deel van het proefschrift zagen

[p. 301]

we echter dat toevoeging van deze regel in verband met bepaalde toepassingen (nevenschikking, linksvertakkende ontleding) problemen veroorzaakt voor de beslisbaarheid van het stelsel. (Met het oog daarop wordt de beslisbare calculus M ontwikkeld, waarin een Snederegel het ontleedproces aandrijft. M is echter niet structureel volledig.) Ook het gedrag van de in het eerste deel voorgestelde extractie- en infixatie-operatoren bleek gevoelig te zijn voor de aanwezigheid van Snede. Wat is de status van de Snederegel? In L (/,\,•) zelf is deze regel improductief: elke sequent die met Snede bewezen kan worden heeft ook een Snede-vrij bewijs. In uitbreidingen van L met nieuwe operatoren (zoals de hierboven geïntroduceerde ↑,↓,> en <) is dit niet het geval.

Sinds het verschijnen van Categorial Investigations is, mede door ontwikkelingen binnen de Lineaire Logica (waarvan de Lambek-calculus een niet-commutatief implicatie-fragment is, vgl. Girard 1987, 1989), in categoriale kringen het besef gaan heersen dat de Snede-regel niet productief behoort te zijn. Dit heeft niet alleen te maken met de beslisbaarheid van de grammatica, maar ook (en vooral) met het idee dat een operator pas ‘respectabel’ is wanneer hij een complete logica bezit, bestaande uit een zuiver logische (niet structurele) rechts- en linksregel.

Tegen deze achtergrond geeft Moortgat (1990b) een herformulering van L waarin de categorieën en de prosodische reeksen (strings) die ze representeren afzonderlijke objecten vormen. Binnen dit kader is het mogelijk om niet-concatenatieve operatoren als ↑ en ↓ van een complete logica te voorzien, zodat alle theorema's ook zonder Snede bewezen kunnen worden en de grammatica beslisbaar blijft. Andere lineair-logisch geïnspireerde uitbreidingen van de categoriale gereedschapskist vindt men in Morrill (1990b), Morrill e.a. (1990). Zo stelt Morrill (1990a) een modale operator □ voor, die bij de analyse van extractie in termen van ↑ gebruikt kan worden voor de representatie van structurele beperkingen.

Deze herformulering van L ten behoeve van niet-concatenatieve operatoren treft ook de behandeling van bereiksambiguïteiten. In het proefschrift gebruikt Moortgat hiervoor de kwantificatiecalculus, een onbeslisbaar systeem voor het genereren van verschillende bereiksverhoudingen van kwantoren en operatoren (Hendriks 1988), dat aan L wordt vastgekoppeld tot een keten die even sterk is als zijn zwakste schakel. In nog niet gepubliceerd werk beregelt Moortgat deze bereiksverhoudingen met een nieuwe, ‘respectabele’ exponentiatie-operator A^b, die de syntaxis van extractie en infixatie in zich verenigt.

Een ander probleem betreft de klassieke categoriale analyse van nevenschikkende voegwoorden in termen van polymorfe categorieën ((x\x)/x). Binnen de context van L leidt deze analyse tot aanzienlijke overgeneratie: Houtman (1987) wijst op de afleidbaarheid van Jan heeft in [de luier geplast] en [de kinderstoel gegeten], en Dekker (1989) merkt op dat de ((x\x)/x)-analyse binnen L absurde resultaten geeft voor modificatoren (functoren van categorie a/a of a\a). Omdat zowel a/a ⇒ (a/(b\a))/b als b/b ⇒ (a/(b\a))/b theorema's van L zijn, kunnen twee gelijkgerichte modificatoren altijd gecoördineerd worden. Derhalve kunnen on-zinnen als Jan slaat de man hard en die fietst en De broer van en Jan gelooft dat Piet slaapt afgeleid worden.

[p. 302]

Barry en Pickering (1990) laten zien dat deze empirische problemen elegant kunnen worden opgelost met behulp van de notie ‘dependentie-constituent’. Maar ‘L + ((x\x)/x) + dependentie-constituent’ is allerminst het laatste woord over coördinatie. Sommige nevenschikkingen bevinden zich buiten het bereik van deze theorie. Van de vier mogelijkheden in (56) realiseert het Nederlands de eerste drie, L slechts de eerste twee. Zin (c) valt tussen wal en schip.

(56)	(a)	Jan zei dat Ot aan Sien dacht en Koot aan Bie
	(b)	Jan zei dat Ot aan Sien en Koot aan Bie dacht
	(c)	Jan zei dat Ot dacht aan Sien en Koot aan Bie
	(d)	Jan zei dat Ot aan Sien en Koot dacht aan Bie

Het probleem is de interactie van nevenschikking en niet-concatenatieve onvolledigheid: een braak liggend terrein.

[p. 303]

Bibliografie

Bach, E., 1979. ‘Control in Montague Grammar’. Linguistic Inquiry 10, pp. 515-331.

Barry, G., en G. Morrill (eds.), 1990. Studies in Categorial Grammar. Edinburgh Working Papers in Cognitive Science 5. University of Edinburgh.

Barry, G., en M. Pickering, 1990. ‘Dependency and Constituency in Categorial Grammar’. In: Barry en Morrill (eds.).

Benthem, J. van, 1986. Essays in Logical Semantics. Reidel, Dordrecht.

Benthem, J. van, 1987. ‘Semantic Type Change and Syntactic Recognition’. Manuscript, Universiteit van Amsterdam.

Bouma, G., 1985. Unbounded Dependencies in Categorial Grammar. Doctoraalscriptie, Rijksuniversiteit Groningen.

Bouma, G., 1988. ‘Structural Completeness’. Manuscript, Research Institute for Knowledge Systems, Maastricht.

Bouma, G., 1990. ‘Bespreking “Categorial Investigations”’. GLOT 11, pp. 309-320.

Buszkowski, W., 1985. ‘Completeness results for Lambek Syntactic Calculus’. Zeitschrift für mathematischen Logik und Grundlagen der Arithmetik 32, pp. 13-28.

Buszkowski, W., 1988. ‘Generative Power of Categorial Grammars’. In: Oehrle, Bach en Wheeler (eds.).

Buszkowski, W., W. Marciszewski en J. van Benthem (eds.), 1988. Categorial Grammar. John Benjamin, Amsterdam.

Cohen, J., 1967. ‘The equivalence of two concepts of categorial grammar’. Information and Control 10, pp. 475-488.

Cooper, R., 1983. Quantification and Syntactic Theory. Reidel, Dordrecht.

[p. 304]

Dekker, P., 1989. ‘Flexible Flexibilities: Notes on Coordination and Quantification’. Manuscript, Universiteit van Amsterdam.

Gazdar, G., E. Klein, G. Pullum en I. Sag, 1985. Generalized Phrase Structure Grammar. Basil Blackwell, Oxford.

Girard, J.-Y., 1987. ‘Linear Logic’. Theoretical Computer Science 50, pp. 1-102.

Girard, J.-Y., 1989. ‘Towards a Geometry of Interaction’. In: Conference on Categories, Logic and Computer Science, Contemporary Mathematics, AMS 92.

Hendriks, H., 1988. ‘Flexibele Montague-grammatica’. GLOT 10, pp. 399-435.

Hendriks, H., 1990. ‘Normalization, Spurious Ambiguity and Basic Categories in the Lambek Calculus’. Manuscript, Universiteit van Amsterdam.

Hepple, M., 1990. ‘Normal Form Theorem Proving for the Lambek Calculus’. Manuscript, University of Edinburgh.

Heylen, D., M. Moortgat, en T. van der Wouden, 1988. ‘Categoriale Ontleding: Theorie en Praktijk’. Spektator 18, pp. 22-43.

Houtman, J., 1990. ‘Condities op nevenschikking’. GLOT 10, pp. 437-457.

Keenan E., en L. Faltz, 1985. Boolean Semantics for Natural Languages. Reidel, Dordrecht.

Ladusaw, W., 1980. Polarity Sensitivity as Inherent Scope Relations. Indiana University Linguistics Club, Bloomington (Indiana).

Lambek, J., 1958. ‘The Mathematics of Sentence Structure’. American Mathematical Monthly 65, pp. 154-169.

Moortgat, M., 1988. ‘De rekenkunde der rededelen. Categoriale ontleding als logische bewijsvoering’. GLOT 10, pp. 459-483.

Moortgat, M., 1990a. ‘Unambiguous Proof Representations for the Lambek Calculus’. In: M. Stokhof en L. Torenvliet (eds.), Proceedings of the Seventh Amsterdam Colloquium. Instituut voor Taal, Logica en Informatie, Amsterdam.

Moortgat, M., 1990b. ‘Discontinuous Type Constructors’. Manuscript, Rijksuniversiteit Utrecht.

Morrill, G., 1990a. ‘Intensionality and Boundedness’. Linguistics and Philosophy 13, pp. 699-726.

Morrill, G., 1990b. ‘Grammar and Logical Types’. In: Barry en Morrill (eds.).

Morrill, G., N. Leslie, M. Hepple en G. Barry, 1990. ‘Categorial Deductions and Structural Operations’. In: Barry en Morrill (eds.).

Oehrle R., E. Bach en D. Wheeler (eds.), 1988. Categorial Grammars and Natural Language Structures. Reidel, Dordrecht.

Roorda, D., 1990. ‘Proofnets for Lambek Calculus’. Manuscript, Universiteit van Amsterdam.

Steedman, M., 1987. ‘Combinatory Grammars and Parasitic Gaps’. Natural Language and Linguistic Theory 5, pp. 403-439.

Steedman, M., 1988. ‘Combinators and Grammars’. In Oehrle, Bach en Wheeler (eds.).

Szabolcsi, A., 1987. ‘Bound Variables in Syntax (Are there any?)’. In: J. Groenendijk, M. Stokhof en F. Veltman (eds.), Proceedings of the Sixth Amsterdam Colloquium. Instituut voor Taal, Logica en Informatie, Amsterdam.

Wouden, T. van der, 1988. ‘Dubbele ontkenningen’. GLOT 10, pp. 485-501.

Zielonka, W., 1981. ‘Axiomatizability of Ajdukiewicz-Lambek Calculus by means of cancellation schemes’. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 27, pp. 215-224.

Zwarts, F., 1981. ‘Negatief polaire uitdrukkingen I’. GLOT 4, pp. 35-132.

Zwarts, F., 1986. ‘Polariteit: de reikwijdte van een lexicale eigenschap’. In: C. Hoppenbrouwers e.a. (eds.): Syntaxis en lexicon. Veertien artikelen bij het emeritaat van Albert Sassen. Foris, Dordrecht.