De Revisor. Jaargang 11

[p. 77]

Gemengde gevoelens

De decompositie van ‘de compositie van de wereld’

1 Paradoxen

Beweringen kunnen soms dermate belachelijk zijn, dat je alleen al door er serieus op in te gaan jezelf belachelijk maakt. Het is het geheime wapen van filosofen, religieuzen en gekken. Harry Mulisch is een element uit de doorsnedenverzameling van de voornoemde categorieën. Diens De Compositie van de Wereld is een kapitaal stelsel van zulke beweringen, een paroxisme van ridiculiteit. Bij het lezen ervan zou je voortdurend moeten blozen van plaatsvervangende schaamte, ware het niet dat je woede over de verspilling van je tijd al voor rode konen had gezorgd, en zo niet, dan had je lachlust, opgewekt door de zelfingenomen gewichtigheid waarmee Mulisch voortdurend de plank misslaat, wel dat resultaat gehad. Al deze misslagen weerleggen zou een boek vergen dikker dan De Compositie van de Wereld, dat 492 bladzijden telt. We moeten ons hier beperken tot een onderzoek van de basis, immers als de fundamenten rot zijn, is het nog maar een kwestie van tijd voor het gehele bouwwerk bezwijkt, zeker als dat op zand is gebouwd.

Deze fundamenten zijn totaal vermolmd. In het eerste hoofdstuk van boek I, geheten ‘Rechtvaardiging van de paradoxen’, stelt Mulisch zich ten doel de algemene geldigheid van het principium contradictionis te bestrijden, en aan te tonen dat onder bepaalde omstandigheden een ‘principium adversationis’ noodzakelijk is. Deze begrippen zullen hieronder nader toegelicht worden. De aanleiding vindt hij ondermeer in enkele oude filosofische paradoxen die strijdig lijken te zijn met het principium contradictionis. Als eerste wordt de bekende paradox van de leugenaar van stal gehaald; de uitspraak van de kretenzer Epimenides: ‘Alle kretenzers zijn leugenaars.’ Als deze uitspraak waar is, is Epimenides een leugenaar, is zij niet waar dan is Epimenides ook een leugenaar. Wat hij in feite zegt is: ‘Ik ben een leugenaar’, of: ‘Ik lieg.’

De lezer(es) gelieve zelf na te gaan waar de paradox in schuilt. In Douglas Hofstadters boek ‘Gödel, Escher, Bach’ worden alle mogelijke variaties op dit thema uitgebreid besproken, culminerend in Kurt Gödels toepassing in de formele wiskunde, zodat ik er niet op in hoef te gaan. Verderop zal ik er slechts op wijzen dat deze paradox niet zozeer het PC bedreigt, alswel het principium tertii exclusi. Vreest niet, het wordt allemaal uitgelegd. Voor het ogenblik zullen we ons bezighouden met de vier bewegingsparadoxen van de griekse filosoof Zeno van Elea (vijfde eeuw voor Christus, ik zei toch dat het oude paradoxen waren?). Mulisch denkt ze te kunnen gebruiken om te bewijzen dat beweging tegelijk mogelijk en niet mogelijk is. Om deze heldendaad tot stand te brengen is het noodzakelijk te veronderstellen dat minstens één van de vier onweerlegbaar is. Volgens Mulisch zijn ze zelfs alle vier onweerlegbaar, ofschoon ze onderling strijdig zijn. Hier volgen, in Mulisch' bewoordingen, de vier paradoxen der beweging, mokerslagen, althans volgens hem, waarvan het denken na tweeëneenhalf millennium nog steeds duizelt:

I	Beweging is onmogelijk, want niets kan beginnen te bewegen.
II	Iets kan beginnen te bewegen, maar blijft dan eeuwig bewegen.
III	Het sneller bewegende beweegt langzamer dan het langzamer bewegende.
IV	Het bewegende staat stil.

(Zie blz. 34 van de CvdW voor de bijbehorende redeneringen)

Alweer volgens onze componist is geen van de vier innerlijk tegenstrijdig, vandaar dat hij ze aporieën noemt. Ik zal nu laten zien dat dit een misvatting is. Aangezien I, II & III op hetzelfde argument berusten, kunnen ze in één moeite door weerlegd worden. Iets blijft eeuwig bewegen, volgens II, omdat van een afstand eerst de helft, vervolgens de helft van de tweede helft, dan de helft van de helft van de tweede helft enz. enz. afgelegd moet worden. Hm.

Neem nu eens aan dat de eerste helft één uur vergt, dan vergt de totale afstand: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + enz. enz. uur. De uitkomst van deze oneindig lange optelling is: 2 - (1/2)ⁿ, waarbij n oneindig groot is. Nu kun je erover redetwisten of hier precies 2 uitkomt, of een (hyperreëel) getal dat ‘oneindig weinig’ van 2 verschilt, feit is dat er nooit méér dan 2 uitkomt. Zeno daarentegen zegt dat het afleggen van de afstand een eeuwigheid vergt, anders gezegd, de som is oneindig groot. Dit is zondermeer onjuist. Er is hier wel degelijk een innerlijke tegenstrijdigheid. Deze is dat Zeno's redenering zèlf uit oneindig veel argumenten bestaat, terwijl zij de idee verwerpt dat een oneindige reeks een eindige som kan bezitten. Maar dan kan op dezelfde gronden een redenering op basis van oneindig veel argumenten nooit een conclusie bereiken, maar..., wacht eens even, Zeno's paradox richt zich dus tegen Zeno's paradox! Als dat geen paradox is.

Er zijn derhalve twee opvattingen mogelijk met betrekking tot de nummers I, II & III. De eerste is dat je het niet voor mogelijk houdt dat een oneindige reeks een eindige som kan bezitten, met als gevolg dat je de paradoxen niet kunt formuleren. De tweede is dat je de paradoxen wel kunt formuleren, met als gevolg dat je ze tezelfdertijd oplost. Uit een opmerking op bladzijde 39 leid ik af dat Mulisch het eerste standpunt inneemt. Ik laat het aan de lezer(es) te bewijzen dat wat voor paradox II geldt ook van toepassing is op I & III. Resteert numero IV. Deze komt er op neer dat een bewegend voorwerp zich op ieder moment in een bepaald punt in de ruimte bevindt; daar het echter in een punt niet kan bewegen staat het stil. Heel aardig, maar... wat bedoel je precies met een punt? Nou, eh... een punt in het ruimte-tijdcontinuüm. En hoeveel van die punten zijn er in dat continuüm? Tja, oneindig veel natuurlijk, daar is het een continuüm voor. Knap opgemerkt. Het is zelfs zo dat ook in één kubieke millimeter van een driedimensionaal continuüm oneindig veel punten voorkomen. Wat IV beweert komt er op neer dat een bewegend voorwerp, althans een referentiepunt daarvan, zich in een oneindig kleine fractie van de tijd in een oneindig klein deel van de ruimte bevindt. Het is nog sterker, punt noch moment zijn een deel in de eigenlijke betekenis van het woord, ze bezitten noch ruimtelijke, noch temporele uitbreiding.

[p. 79]

Waar het op aankomt is, dat je inziet dat een punt (of een moment) in de betekenis die in IV gebruikt wordt een wiskundige constructie is, die niet noodzakelijkerwijs een analogie in de werkelijkheid behoeft te hebben. Indien je deze abstractie desondanks van toepassing acht op de werkelijkheid, wat Mulisch doet, veronderstel je impliciet dat er iets oneindigs bestaat in een eindige ruimte. Maar dan ben je gedwongen te accepteren dat een oneindige reeks een eindige som kan hebben, nietwaar? Maar we zagen al dat Mulisch dit verwerpt, waarmee we nu hebben bewezen dat Mulisch geen van de vier paradoxen kan accepteren.

Hiermee is de vierde paradox nog niet weerlegd voor diegenen die de tweede opvatting huldigen, zij hebben er geen moeite mee over oneindige optellingen te praten. Een mogelijke uitkomst biedt de theorie van de hyperreële getallen (zie Kline: 273-276). Ruw gezegd komt het er op neer dat je dan beweging zou kunnen beschouwen als bestaande uit ‘eenheden van verplaatsing’ over afstandjes die enerzijds groter zijn dan nul, anderzijds niet meetbaar zijn met ‘gewone’ reële getallen. Je zou kunnen spreken van bewegingsquanta. Overigens, ook de aanhangers van de tweede opvatting zouden de vierde paradox kunnen verwerpen omdat ze het zinloos vinden van ‘punten van een continuüm’ te spreken, dit naar aanleiding van een beroemde stelling van de duitse wiskundige Georg Cantor (1845-1918) die er op neerkomt dat de oneindigheid van een (deel van een) continuüm van hogere orde is dan de oneindigheid van het aantal termen in een oneindige reeks. Met wat hersengymnastiek is derhalve met al Zeno's paradoxen af te rekenen. Misschien is men door deze, in essentie wiskundige, weerlegging van IV nog niet overtuigd, misschien vindt de lezer(es) dat een wiskundig aanvaardbaar bewijs nog niet filosofisch aanvaardbaar hoeft te zijn. Dan kunt u Mulisch een hand geven (blz. 38). Ik vermoed dat meer filosofen op dit standpunt staan, waarschijnlijk omdat wiskunde ze dwingt hun gedachten helder, ondubbelzinnig te formuleren: deze lieden kunnen hun waardeloosheid dan niet meer maskeren door het opwerpen van een rookgordijn van ondoorzichtige formuleringen, vol woorden, en combinaties daarvan, waarvan zij zelf de betekenis niet kennen, omdat ze geen betekenis hebben. Daarom, speciaal voor die filosofen, de volgende weerlegging van IV, die trouwens heel goed zou kunnen doorgaan voor een vijfde paradox, en als zodanig ongetwijfeld door Mulisch zou zijn aanvaard (met graagte zelfs, zoals we aanstonds zullen aantonen).

V	(André's paradox) Een stilstaand voorwerp kan tezelfdertijd bewegen.

Bewijs:

We definiëren stilstand van een voorwerp als volgt: Er bestaat op een willekeurig te kiezen plaats buiten het voorwerp een punt A, dat, hoe klein de afstand tussen het voorwerp en A ook is, nooit samenvalt met enig punt van het voorwerp. Duiden we aan met B dat punt van het voorwerp dat het dichtst bij A ligt. De afstand tussen A en B is groter dan nul, anders zou A = B. Daar een punt geen ruimtelijke uitbreiding bezit bestaat er dus een punt C dat tussen A en B in ligt, zowel ongelijk is aan A als aan B, en dichter bij het voorwerp ligt dan A. Maar dan kan het voorwerp nog bewegen van B naar C zonder met A samen te vallen. Dit is niet in strijd met onze definitie van stilstand, derhalve kan een stilstaand voorwerp bewegen.

We hebben het nu, meen ik, afdoende aangetoond: de paradoxen van Zeno, waarvan de voornaamste verdienste is dat zij laten zien welke moeilijkheden het oneindige voor de menselijke intuïtie oplevert, zijn in geen geval te gebruiken om ook maar iets zinvols over het begrip beweging mede te delen, wat nu juist noodzakelijk was voor Mulisch' volgende stap: bewijzen dat beweging tegelijk mogelijk en niet mogelijk is.

Niet onvermeld moet blijven dat we steeds stilzwijgend hebben aangenomen dat beweging een eenduidig begrip is. Einsteins relativiteitstheorie leert ons dat dit niet het geval is. We gaan hier verder niet op in; Zeno is zo wel afdoende ontkracht, we hebben geen ‘overkill’ nodig.

2 Logica

Sinds Aristoteles zich als eerste systematisch met de logica bezighield, is één logisch principe door de millennia heen vrijwel onaangevochten gebleven: het principium contradictionis (PC). Dit houdt in dat een bewering niet gelijktijdig in hetzelfde opzicht waar en niet waar is. Deze dogmatische eigenschap beviel Mulisch kennelijk helemaal niet, dus smeedde hij in alle stilte een gruwelijk geheim wapen ertegen. Een mooie naam had onze denker er al voor bedacht: principium adversationis (PA). Van dit principe is het wel toegestaan dat een bewering tegelijkertijd in hetzelfde opzicht waar en niet waar is. Nu nog even een réden bedacht om het in te voeren, eens kijken..., eureka! Het is waar en niet waar dat beweging mogelijk is, want tonen Zeno's eerste en vierde paradox niet onweerlegbaar de onmogelijkheid van beweging aan? Maar iedereen weet dat beweging wel mogelijk is, ergo? Quod Erat Demonstrandum.

O ja? Hebben we dan net niet bewezen dat Zeno's paradoxen helemaal niets van dien aard aantonen? Nu doet zich bovendien het vermakelijke feit voor dat juist een weerlegging van de vierde paradox bruikbaar lijkt te zijn ter ondersteuning van het PA, in casu mijn paradox no V. Ik zou hier weer uitgebreid kunnen gaan uitleggen waarom dit toch niet waar is, maar dat lijkt me overbodig. Iedere intelligente lezer(es) die deze uiteenzetting tot nu toe heeft begrepen moet in staat zijn een deugdelijke weerlegging van ‘André's paradox’ te bedenken. Dit geldt natuurlijk niet voor Harry Mulisch; hij zal de vijfde paradox wel hartelijk omarmen en onweerlegbaar noemen, of beter nog: een mokerslag waar het denken van duizelt!

De compositie van de wereld vertoont een nog nauwelijks waarneembaar scheurtje, dat zigzagsgewijs zich uitstrekt van de nok tot aan de bodem, waar het verloren gaat in het zand waarop het bouwsel gefundeerd is.

Nauw verwant aan het PC, door Mulisch ermee verward, is een ander logisch principe: het principe van het uitgesloten derde, in het potjeslatijn der filosofen: principium tertii exclusi, of tertium non datur. Dit houdt in dat een bewering òf waar òf niet waar is; er is geen derde geval. Wie het PC bestrijdt, trekt tevens het principium tertii exclusi (PTE) in twijfel. Het omgekeerde hoeft niet op te gaan, zoals blijkt uit het werk van Luitzen E.J. Brouwer (1881-1966), grondlegger van de intuïtionistische school in de wiskunde, één der grootste, en minst bekende genieën die Nederland heeft voortgebracht. Het is kenmerkend dat Mulisch de kans voorbij liet gaan diens ideeën te bespreken, hoewel Brouwer, die bijvoorbeeld een artikel schreef onder de titel: ‘De onbetrouwbaarheid der logische principes’, de algemene geldigheid van het PTE bestreed. Dit echter op een wijze die niet in Mulisch' kraam te pas komt. Laat ik,

[p. 81]

om dit duidelijk te maken, het favoriete voorbeeld van Brouwer gebruiken, in sterk vereenvoudigde vorm. Het getal π (pi; 3.14159...) is een irrationaal reëel (positief) getal, dat wil zeggen, het is niet te verkrijgen door twee natuurlijke getallen (de reeks 1 2 3 4 5...) op elkaar te delen. Voor zover bekend bezitten de cijfers achter de decimale punt van π (de zogeheten decimale expansie) geen enkele regelmatigheid in hun optreden. Het is wel mogelijk π tot op iedere gewenste nauwkeurigheid te berekenen, met behulp van computers kan men desgewenst tot meer dan een miljoen decimalen komen. Maar zelfs al zouden we π tot een miljard cijfers nauwkeurig berekenen, dan nog kunnen we onmogelijk op grond daarvan met zekerheid voorspellen wat het miljard-plus-eerste cijfer is. Het is meer in het algemeen onmogelijk te voorspellen of een bepaalde opeenvolging van cijfers, bijvoorbeeld 0123456789, al of niet voorkomt in de decimale expansie van π. Beschouw nu de vraag: is het waar of niet waar dat 0123456789 voorkomt in de decimale expansie van π? Op het eerste gezicht vertoont deze probleemstelling grote overeenkomst met een vraag als: heeft het wel of niet geregend op 15 mei op de Luhombero-berg in zuid-Tanzania in het jaar 1031? Er is echter een essentieel verschil. In dit laatste geval kost het ons geen enkele moeite het PTE toe te passen; het is waar of onwaar dat het daar en toen heeft geregend, onafhankelijk van het feit of we de vraag kunnen beantwoorden. De vraag naar het voorkomen van 0123456789 in de decimale expansie van π heeft echter een metafysisch karakter, immers, zouden wij hier het PTE willen toepassen dan moeten we aannemen dat het getal π ‘ergens’ buiten onze geest, die niet oneindig veel informatie kan bevatten, in werkelijkheid bestaat als voltooid geheel in een of andere ruimte van wiskundige objecten. Het intuïtionisme verwerpt deze gedachte, met als consequentie dat het PTE in het onderhavige geval verworpen moet worden. Daarom wordt het PTE bij Brouwer vervangen door een principe volgens hetwelk een bewering òf waar òf niet waar òf onbeslisbaar is. Tevens demonstreerde hij dat dan de onwaarheid van de waarheid van een bewering niet a priori de waarheid van die bewering inhoudt (Brouwer: 276). Het PC komt hierdoor niet in gevaar, want het blijft verboden dat een bewering tegelijk waar en niet waar is. Het intuïtionisme is in dit opzicht een voorbeeld van een meerwaardige logica. Mulisch slaat dus de plank weer eens mis wanneer hij op bladzijde 31 beweert: ‘... ook in die logica's (meerwaardige, A.S.) geldt, dat een bewering waar is als zijn ontkenning onwaar is, en vice versa.’

Nee, Mulisch, dat geldt nu juist niet in die logica's!

De componist vergist zich dan ook deerlijk waar hij op dezelfde bladzijde meent dat de volgende bewering equivalent is met het PC: ‘Een uitspraak is dan, en alleen dan waar als zijn ontkenning onwaar is.’

Dit is echter niets anders dan een stelling naar aanleiding van het PTE, genaamd ‘principe van reciprociteit van complementariteit’, die niet van invloed is op de geldigheid van het PC. De bladzijdenlange betogen die op deze blunder zijn gebaseerd kunnen gevoeglijk naar het rijk der prullenmanden worden verwezen. Hetzelfde geldt voor wat hij ten berde brengt over de stelling van Gödel (blz. 60-62). Afgezien van fouten in de omschrijving en interpretatie van deze stelling, is het onzin te beweren als zou zij het PC in gevaar brengen, nog groter onzin te veronderstellen dat waar en bewijsbaar hetzelfde zijn (immers, dat dit niet zo is, is juist de essentie van Gödels stelling), en larie te menen dat in de Gödelformule, waarmee Gödel zijn stelling bewees, zich het PA manifesteert (zie, voor een heldere uitleg van Gödels theorema, Hofstadter of Kline). Wat in werkelijkheid het geval is? Niet het PC wordt aangetast maar, alweer, althans binnen een zekere context, het PTE. De Gödelformule is een voorbeeld van een bewering die in een wiskundig formeel systeem dat aan zekere voorwaarden voldoet, zoals Whitehead & Russell's Principia Mathematica, onbeslisbaar is onder aanname van de binnen het betreffende systeem toegestane redenatie-regels, ofschoon deze bewering daarin op een correcte manier in een eindig aantal stappen is te formuleren. Aldus toonde Gödel in 1931 aan dat dergelijke formele systemen stellingen bevatten waarvan noch de waarheid noch de onwaarheid binnen het systeem valt te bewijzen. Anders gezegd, deze formele systemen zijn incompleet. Vervolgens liet Gödel zien dat de consistentie van zo'n systeem, het vrij zijn van contradicties, als gevolg van zijn incompleetheid evenmin binnen het systeem is aan te tonen. Dit betekent niet dat het systeem a priori contradictoir is, maar dat de mogelijkheid niet is uit te sluiten dat ooit een tegenstrijdigheid wordt ontdekt, bijvoorbeeld een bewijs van de absurde stelling: 0 = 1. Wie het voorgaande goed gelezen heeft zal opmerken dat veel afhangt van de aard van die ‘toegestane redenatie-regels’. En inderdaad wist Gerhard Gentzen in 1936 door deze regels te verruimen de consistentie van de rekenkunde te bewijzen, die na Gödels artikel in twijfel kon worden getrokken; dit bewijs gaat als het ware buiten het formeel systeem om. De Gödelformule is in zekere zin te beschouwen als de wiskundige variant op de paradox van de leugenaar. Vandaar dat ook voor deze laatste geldt dat hij niet zozeer het PC bedreigt, alswel het PTE, voor zover je hem tenminste niet simpelweg afdoet als een overtreding van taalkundige regels.

Hoe dit ook zij, de stelling van Gödel is allerminst bedreigend voor het rationalisme, dit in tegenstelling tot wat Mulisch meent; zij geeft slechts beperkingen aan waaraan starre formele systemen gebonden zijn. Het denken houdt echter geen halt bij zulke formele systemen, al is het zelf uiteindelijk weer beperkt door de mate van complexiteit die het kan bevatten. Verderop in het boek komt Gödel nog eens ter sprake, op bladzijde 399, waar Mulisch het heeft over kunstmatige intelligentie. Het zal ingewijden in deze materie niet verbazen dat Mulisch zich vierkant opstelt achter J.R. Lucas, die met behulp van de stelling van Gödel dacht te kunnen aantonen dat menselijke intelligentie altijd wezenlijk zal blijven verschillen van machine-intelligentie. Hoewel kunstmatige intelligentie één van de interessantste onderwerpen is om over te speculeren, is het voorlopig nog science fiction. Geïnteresseerden zullen in Hofstadters boek veel informatie over dit onderwerp vinden alsmede een weerlegging van Lucas' argument, wat mij ontslaat van de taak er verder op in te gaan. We hebben zo ondertussen alle mogelijke manieren waarop Mulisch het PA uit zijn hoge hoed tovert wel weersproken, met uitzondering van zijn op de quantummechanica. gebaseerde argument. Het lijkt heel knap van hem dat hij zelfs hierover kan meepraten, maar dat is helemaal niet zo'n prestatie; iedereen die een paar jaargangen van het tijdschrift Scientific American heeft doorgebladerd kan het ook. Het is inderdaad zo dat in deze tak van de natuurkunde een aantal paradoxaal schijnende situaties voorkomen, zoals deeltjes die zich als golven gedragen. De logische moeilijkheden worden echter pas veroorzaakt wanneer je de quantummechanica niet meer opvat als een wiskundig model dat tot op grote hoogte in overeenstemming is met de uitkomsten van experimenten, maar als de werkelijkheid zelf. Voor de werkelijkheid geldt echter dat we de aard van de verschijnselen niet ken-

[p. 83]

nen, ook al heeft men ontdekt dat die verschijnselen wiskundig zijn te beschrijven als deeltjes met golfkarakter. Dit houdt niet in dat de aard van de verschijnselen hiermee identiek is, met andere woorden, dit bewijst niet dat de werkelijkheid paradoxaal is. Macrocosmische natuurkunde is te vinden aan het einde van het boek waarin de befaamde zwarte gaten worden besproken. Men moet goed in de gaten houden dat ook dit verschijnselen zijn die vooralsnog slechts in bepaalde wiskundige modellen van het heelal, zoals de algemene relativiteitstheorie optreden. Het is nog steeds niet bewezen dat ze bestaan, en als ze bestaan is daarmee nog niet aangetoond dat ze dezelfde eigenschappen hebben als hun theoretische verwanten die in de meer speculatieve versies diverse bizarre eigenschappen bezitten. Het is niet bepaald de meest aangewezen materie om fundamentele logische principes aan te toetsen.

Na de opkomst en afgang van de paradoxen en het PA voeren we nu het oerfenomeen ten tonele. We zullen aantonen dat, primo, dit fenomeen niets te maken heeft met het PA, en, secundo, geen oerfenomeen is.

3 Het oerfenomeen

Wanneer we met een sinusgenerator een geluidstoon produceren, vervolgens de frequentie continu opvoeren, horen we na enige tijd een toon die sterk op de begintoon lijkt, maar een grotere toonhoogte heeft. Op een goed gestemde piano is hetzelfde verschijnsel als volgt waarneembaar: kies een willekeurige witte toets, noem deze nummer 1, noem de witte toets rechts ervan 2, en ga zo door tot en met 8. Het blijkt dan dat 1 en 8 sterk op elkaar lijken, ofschoon 8 hoger klinkt dan 1. De afstand van 1 tot 8 noemt men een octaaf. Mulisch is dol op octaven (blz. 190). Waarom? Omdat 1 en 8 hetzelfde en niet hetzelfde zijn; in het octaaf openbaart zich het PA. Het octaaf is het oerfenomeen.

In plaats van het octaaf had Mulisch echter evengoed een kubus kunnen nemen, daarvan alle ribben met twee kunnen vermenigvuldigen, om tenslotte het aldus verkregen voorwerp hetzelfde en niet hetzelfde te noemen, het is immers weer een kubus maar met een acht maal zo grote inhoud. Hetzelfde geldt voor driehoeken, bewegingen langs spiralen, blauwe lappen stof, kortom voor alle congruenties, periodiciteiten en invarianties. Het PA heeft hier helemaal niets mee te maken, want geen van deze verschijnselen is in strijd met het PC. Het PC verbiedt slechts dat iets waar en niet waar is in hetzelfde opzicht. Een toon en zijn octaaf zijn echter in één opzicht aan elkaar gelijk, namelijk in hun toonsoort (resonanties in het binnenoor), in een ander opzicht zijn ze verschillend, namelijk in hun frequentie. Hetzelfde geldt voor kubussen; hun vorm is een eigenschap die invariant is ten opzichte van hun afmeting. De kleur van een lap stof is onafhankelijk van het feit of er een broek of een jas van gemaakt is. Is dat een reden om die jas en die broek hetzelfde en niet hetzelfde te noemen? Er is dus geen enkele reden om een oerfenomeen te baseren op een willekeurig verschijnsel als het octaaf. Ik zal daarom slechts summier aanduiden wat Mulisch er verder mee uithaalt, hij heeft ons geduld al genoeg op de proef gesteld. Keren we nog eens terug naar de sinusgenerator. We zetten er nog eentje naast. We produceren nu met beide apparaten dezelfde toon, waarna we op de ene de frequentie langzaam opvoeren, net zo lang tot we de octaaftoon van de andere generator tegenkomen. Er ontstaat een jankend geluid dat we een glissando noemen. Op een bijgeleverd grammofoonplaatje is dit te beluisteren. Nu wil Mulisch ons doen geloven dat er in dit octaafglissando zeven stadia zijn te horen, die overigens niet overeenkomen met de zeven verschillende tonen in een diatonische toonladder. Ik mag mijzelf redelijk muzikaal noemen, maar werkelijk, wat hij hier meent te horen is doodgewoon inbeelding, je zou evengoed vier stadia kunnen onderscheiden, of ieder ander aantal. Om kort te gaan, deze zeven ingebeelde stadia vormen het organisatieschema dat aan alle verschijnselen in de wereld ten grondslag ligt. Dit schema noemt onze woordcolporteur de octaviteit. De rest van het lijvige boek is gewijd aan het bespreken van de wijzen waarop alle mogelijke fenomenen uit de werkelijkheid gevangen kunnen worden in het dwangbuisje van de octaviteit.

4 Decompositie

Hoe dieper we in het boek doordringen, hoe meer we behoefte hebben aan een kapmes in de jungle van wartaal die de bladzijden overdekt. Hierbij wijs ik er op dat een jungle een secundaire begroeiing is, die in de tropen ontstaat waar, na het vernietigen van het maagdelijke oerwoud, het terrein braak blijft liggen. Deze symboliek lijkt mij hier heel toepasselijk. Ik kan mij de moeite besparen de aanblik te beschrijven die De Compositie van de Wereld nu biedt. Die is reeds uitstekend verwoord door Edgar Allan Poe, aan het slot van ‘The fall of the house of Usher’:

‘The radiance was that of the full, setting, and blood-red moon, which now shone vividly through that once barely discernible fissure, of which I have spoken before as extending from the roof of the building, in a zigzag direction, to the base. While I gazed, this fissure rapidly widened - there came a fierce breath of the whirlwind - the entire orb of the satellite burst at once upon my sight - my brain reeled as I saw the mighty walls rushing asunder - there was a long tumultuous shouting sound like the voice of a thousand waters - and the deep and dank tarn at my feet closed sullenly and silently over the fragments of the “House of Usher”.’

Helaas zijn de ‘mighty walls’ niet helemaal toepasselijk. In zijn voorwoord schrijft Mulisch: ‘Ik zou het mijzelf nooit vergeven hebben als ik (...) het niet had geschreven: ik zou niet weten, hoe ik dan mijn sterfbed door had moeten komen.’ Merkwaardig.

André Schuiteman

Literatuur

Brouwer, L.E.J. (1975) ‘Collected works I; philosophy and foundations of mathematics’, North Holland, Amsterdam.

Hofstadter, D.R. (1979) ‘Gödel, Escher, Bach’, Basic Books, New York.

Kline, M. (1980) ‘Mathematics; the loss of certainty’, Oxford University Press.

Mulisch, H.K.V. (1980) ‘De Compositie van de Wereld’, De Bezige Bij, Amsterdam.