Hollands Maandblad. Jaargang 2002 (650-661)

[p. 32]

Het Verbod
Over tegenspraken en paraconsistente logica
door F.A. Muller

In zijn Metafysica brengt Aristoteles een wijsgerig beginsel onder woorden dat hij het meest fundamentele van alle beginselen achtte: een beweerzin en zijn ontkenning kunnen niet beide tegelijk waar zijn; met andere woorden, elke contradictie is onwaar. Gegeven dat niemand willens en wetens onwaarheden wil debiteren - tenzij iemand liegt -, functioneert dit beginsel als een Verbod op Tegenspraken.

Op 11 September 1927 deed Niels Bohr wel of niet het quantummechanische complementariteitsbeginsel het licht zien in zijn Como-lezing te Italië. Op 11 September 2001 hebben zich wel of niet twee gekaapte passagiersvliegtuigen in de torens van het World Trade Center te New York geboord. De Laatste Stelling van Fermat is niet bewezen of is wel bewezen. God bestaat wel of God bestaat niet. En zo verder. Over weinig zaken zijn mensen het zo roerend eens als over het Verbod: iets kan gewoon niet tegelijkertijd waar en onwaar zijn. Mensen zijn bereid de meest fantastische beweringen uit hun mond te laten vertrekken, de ene gelegenheidshypothese op de andere implausibele onderstelling te stapelen, ten einde te voorkomen dat ze zichzelf tegenspreken. Wie betrapt wordt op een tegenspraak, in een gesprek, in de rechtszaal, voor de microfoon of camera, probeert zich koste wat het kost er uit te draaien. Wie dat niet kan, die hangt.

‘Leugen wordt door leugen gered’ schreef Cervantes toen hij diep in het menselijk hart keek - ‘redden’ betekent hier dat, om de illusie van waarheid in stand te kunnen houden, de consistentie van de leugens onderling en met onloochenbare waarheden gehandhaafd moet blijven: het Verbod mag nimmer overtreden worden.

Maar wat is er heilig aan een verbod dat ongeveer 2,5 duizend jaren geleden werd uitgevaardigd door een wijsgeer die leefde in een wereld gevuld met 2,5 duizend jaren minder kennis en inzicht? Waarom moet elke contradictie onwaar zijn? Biedt onze wereld, die over lijkt te koken van tegenstrijdigheden, dan geen ruimte voor een logica met contradicties?

We gehoorzamen het Verbod opdat we kunnen debatteren en bekritiseren, waarzonder politiek, journalistiek, rechtspraak en wetenschap onmogelijk zijn. We gehoorzamen het Verbod opdat we sowieso iets kunnen beweren, waarzonder communicatie met de medemens onmogelijk is.

We gehoorzamen het Verbod omdat het constitutief is voor de betekenis van de woorden ‘en’ en ‘niet’. Het woord ‘niet’ is een woord dat iedere beweerzin in een andere beweerzin verandert, zodanig dat de nieuwe beweerzin de oorspronkelijke per definitie tegenspreekt, en dat wil zeggen: zij kunnen nooit beide tegelijk waar zijn. Het Verbod vloeit even onafwendbaar voort uit de betekenis van ‘en’ en ‘niet’, als de waarheid dat Gerrit Krol geen denksnor meer heeft voortvloeit uit zijn gladgeschoren gezicht.

We gehoorzamen het Verbod omdat we willen redeneren en omdat we de klassieke logica aanvaarden als internationaal gerechtshof om geldige redeneringen van drogredeneringen te scheiden. De klassieke logica aanvaarden betekent al haar stellingen en redeneerregels aanvaarden. Onder deze stellingen bevindt zich: niet-(P en niet-P), waarin P een willekeurige beweerzin is. Alle logische stellingen zijn ook ‘tautologieën’, ‘logische waarheden’, dat wil zeggen samengestelde beweerzinnen die immer waar zijn, onafhankelijk van de waarheid of onwaarheid van iedere samenstellende deelzin. Het Verbod is dus ook een tautologie. Wie de logica aanvaardt, komt niet onder het Verbod uit. (Tautologische beweerzinnen zijn niet betekenisloos, maar hun informatiegehalte over de werkelijkheid is doorgaans nihil - een inzicht van Wittgenstein. Een zin als ‘Het sneeuwt of het sneeuwt niet’ bevat wel enige informatie, namelijk dat er kennelijk

[p. 33]

een weersgesteldheid is die we met ‘sneeuw’ aanduiden, maar over de weersgesteldheid op het moment dat de bewering wordt uitgesproken, zegt de bewering niets.)

De meest gebruikte manier om het verbod op tegenspraken te rechtvaardigen, is te wijzen op de eenvoudig te bewijzen ‘explosiestelling’ uit de klassieke propositielogica, die luidt dat uit een enkele tegenspraak letterlijk alles volgt. Een minimale schending van het Verbod veroorzaakt een logische explosie die elke beweerzin waar maakt - en tegelijk onwaar maakt doordat tevens zijn ontkenning waar is! Ex contradictione sequitur quodlibet et quod non libet. Alles is waar en niets is waar; alles is onwaar en niets is onwaar. Zonder het Verbod is het niet langer mogelijk waarheid en onwaarheid van elkaar te onderscheiden. Waarheid verwordt tot een volstrekt waardeloos begrip.

Beschouwen we een theorie als het geheel van alle stellingen die volgen uit haar postulaten, dan noemen we een theorie ‘dol’ wanneer elke beweerzin in de taal van de theorie afleidbaar is uit de postulaten van die theorie. Dol is vol. Doordat een dolle theorie alle beweerzinnen bevat, dus ook een contradictie, is zij inconsistent. Omgekeerd, zodra een theorie een enkele contradictie bevat, dan bevat zij iedere beweerzin (explosie-stelling) en is dus dol. Derhalve eerbiedigen we het Verbod van de Tegenspraak omdat we geen inconsistente en geen dolle theorieën willen.

En toch is er met deze argumenten ter rechtvaardiging van het Verbod iets logisch niet in de haak.

Wanneer ze geldige redeneringen zijn, dan kunnen ze alleen overtuigen indien we, ten eerste, de premissen van deze redeneringen aanvaarden, en niet hun ontkenning ook aanvaarden, en ten tweede, aanvaarden dat er zoiets is als een ‘geldige redenering’. Het eerste betekent in feite het Verbod op Tegenspraken reeds aanvaarden, en het tweede betekent de logica aanvaarden, waar het Beginsel onvervreemdbaar bij hoort. Geldige redeneringen met het Verbod als conclusie zijn noodzakelijkerwijs cirkelredeneringen.

In een indringend artikel uit 1973, getiteld ‘The justification of deduction’, behandelt de Britse analytische filosoof Michael Dummett het nauw verwante probleem van hoe deductie te rechtvaardigen. De rechtvaardiging van deductie loopt uit op een vicieuze cirkel of op een oneindige regressie (een oneindig terugtrekkende beweging - de gebruikte redeneerregels in de rechtvaardiging behoeven immers ook rechtvaardiging, enz.). Dummett maakt een onderscheid tussen ‘retorische’ en ‘verklarende’ redeneringen; slechts bij de eerste soort zijn beide horens van het dilemma tussen cirkelredenering en oneindige regressie fataal.

De bedoeling van een retorische redenering is overtuigen, of tenminste enige twijfel wegnemen. Men presenteert een geldige redenering die ervoor moet zorgen dat men een op het eerste gezicht betwijfelbare conclusie toch aanvaardt, doordat de premissen van de redeneringen onbetwijfelbaar, of althans evident aanvaardbaarder zijn dan de conclusie.

Bij een verklarende redenering is de situatie precies andersom. We zijn reeds overtuigd van de waarheid van een bewering, er is geen twijfel die verdwijnen moet, maar we willen een antwoord op de vraag waarom de bewering waar is. Kortom, we willen een verklaring, want een verklaring is het antwoord op een waaromvraag.

Men denke bijvoorbeeld aan beweringen in de wetenschap, zoals ‘als het regent en de zon schijnt, dan zien we een regenboog onder een hoek van ongeveer 42 graden’, en ‘wanneer we elektronen door een zeer smalle spleet schieten, dan verschijnt op het scherm een interferentiepatroon’. Dit zijn beschrijvingen van waargenomen verschijnselen, waarvan we niet overtuigd hoeven te worden. We willen weten waarom deze verschijnselen optreden. Iedere redenering die in deze waarombehoefte voorziet, is een verklarende redenering, en geen cirkelredenering.

Zodra we het Verbod niet langer willen rechtvaardigen, maar alleen willen weten waarom we het Verbod gehoorzamen, dan hoeven we van het Verbod niet langer overtuigd te worden.

Het is echter een berucht probleem in de filosofie een criterium op te stellen dat verklarende van niet-verklarende redeneringen onderscheidt. Maar dat is Vers 2. Vers 1 is dat Dummett het dilemma tussen cirkelredenering en oneindige regressie zijn fatale karakter heeft ontnomen. De regressie staat aan de grond genageld en de vicieuze cirkel verandert in een hoepel waar we onze intellectuele kunsten mee gaan vertonen voor een reeds overtuigd publiek dat gekomen is voor inzicht en begrip. De geboden redeneringen, stilzwijgend vergezeld van de claim een ver-

[p. 34]

klaring te zijn, leggen we ter beoordeling voor aan de hoogste instantie in onszelf. We aanvaarden de redenering als verklaring dan en slechts dan als we het idee hebben verrijkt te worden met een inzicht, dat door de geboden verklaring onder woorden wordt gebracht. Een denker die geen Aha!-ervaringen en Eureka!-gevoelens bij het publiek oproept, mag zich immers verzekerd weten van een enkele reis Vergetelheid.

Niettegenstaande de veelheid aan verklaringen voor onze eerbiediging van het Verbod, mag men gerust de vraag stellen of het toch niet, in beginsel, mogelijk is om in zeer bijzondere contexten uitzonderingen op het Verbod toe te laten zonder logisch dol te draaien. Met andere woorden, is het niet mogelijk de klassieke logica bij te stellen waardoor men niet meer in staat is de explosie-stelling te bewijzen ten einde enkele contradicties te kunnen gedogen?

Dat een dergelijk gedoogbeleid tot de mogelijkheden behoort, is door logici reeds meerdere malen aangetoond.

In 1976 bedacht de Peruaanse filosoof F. Miró Quesada voor theorieën die enkele maar niet alle tegenspraken toelaten de naam paraconsistent. De komst van paraconsistentie heeft de gelijkschakeling tussen dolheid en inconsistentie opgeheven. Herdefiniëren we ‘inconsistent’ als ‘alle tegenspraken bevattend’, dan zit ‘paraconsistent’ als een fonkelnieuwe logische categorie tussen de uitersten ‘inconsistentie’ en ‘consistentie’ in. Een dolle theorie blijft inconsistent, maar een niet-consistente theorie hoeft dol noch inconsistent te wezen; zij kan nu ook paraconsistent zijn. Indien de redeneerregels in staat zijn een theorie dol te draaien op basis van een enkele contradictie (dit is de explosiestelling), en de theorie bijgevolg inconsistent maken, dan noemt men deze regels ‘explosief’, anders ‘veilig’. In tegenstelling tot de klassieke logica, met haar explosieve deductieapparaat, behandelt een paraconsistente logica dus niet alle contradicties op voet van gelijkheid. Sommige contradicties krijgen logisch asiel, andere niet.

Paraconsistente theorieën die geen afscheid willen nemen van de wet van de uitgesloten derde (elke beweerzin is waar of onwaar), maken hun contradicties waar; een ware contradictie noemt men een dialetheia. Paraconsistente theorieën die de wet van de uitgesloten derde vaarwel wuiven, maken contradicties ‘waar en onwaar’; zulke beweerzinnen noemt men ‘antinoom’ of ‘paradoxaal’. Een andere mogelijkheid is zulke zinnen ‘neutraal’ te noemen, dat wil zeggen ‘waar noch onwaar’.

Bijna een eeuw geleden, in 1910, bedacht de Rus Nikolaj Vasiliev een zogeheten ‘imaginaire logica’. Nadat in de loop van de 19de eeuw in de wiskunde het Tweeduizendjarige Rijk van de Euclidische meetkunde ten val was gebracht door de invasie van velerlei niet-Euclidische meetkunden (bolmeetkunde, parabolische meetkunde, elliptische meetkunde, hyperbolische meetkunde, enz.), ontstond de opvatting dat de Euclidische meetkunde over de fysische ruimte van onze wereld gaat, waarin wij onze lichamen voortslepen, en dat alle niet-Euclidische varianten over de fysische ruimten van imaginaire werelden gaan, die niet bestaan doch misschien kunnen bestaan. Vasiliev claimde nu dat de klassieke logica over onze wereld gaat, maar dat men ook andere, imaginaire werelden kan bedenken waarin een andere logica geldt. Zijn niet-klassieke logica van een imaginaire wereld moest daarvan een voorbeeld zijn, analoog aan de niet-Euclidische meetkunde van een imaginaire ruimte. En zoals de Duitse wiskundige Bernard Riemann in de 19de eeuw een algemeen raamwerk had opgesteld (de differentiaalmeetkunde) waarbinnen men alle bekende soorten van meetkunde kan bestuderen, droomde Vasiliev van een analoog algemeen logisch raamwerk waarbinnen men diverse soorten van logica kan bestuderen.

Ofschoon de imaginaire logica van Vasiliev niet bedoeld was om toegepast te worden, kan men toepassingen bij voorbaat nooit uitsluiten. Met het imaginaire karakter van de niet-Euclidische meetkunde viel het immers ook wel mee. Waar zou een cartograaf zijn zonder bolmeetkunde?

Het doel van de ‘debatlogica’ van Stanislaus Jaskowski uit 1948 (in een artikel verschenen in het Pools, een Engelse vertaling verscheen in 1969 in het tijdschrift Studia Logica) is, zoals de naam zegt, debatten in een enkel formeel systeem te vatten. Toepassing is hier het doel bij uitstek. De meningen van iedere debattant afzonderlijk vormen een consistent geheel, maar verschillende debattanten kunnen elkaar tegenspreken - anders is er natuurlijk geen debat - zodat het geheel van alle meningen niet langer consistent kan zijn.

Helaas kleeft aan de debatlogica een onover-

[p. 35]

komelijk bezwaar. Men kan er bewijzen dat wanneer een verzameling premissen een beweerzin impliceert, deze beweerzin reeds geïmpliceerd wordt door een enkele premisse uit de verzameling. Dit maakt de debatlogica ongeschikt voor debatten, naardien het vergaren van informatie kennelijk nooit en te nimmer leidt tot een basis waarop men andere uitspraken kan doen dan men reeds kan doen in de aanvangssituatie. De debatlogica plaatst de debattanten bij het begin in een logische patstelling. De uitwisseling van argumenten en informatie is vruchteloos. Misschien geeft de debatlogica juist daarom een realistische voorstelling van hoe irrationeel debatten in werkelijkheid verlopen; maar wie geïnteresseerd is in rationele debatten, waarin de mogelijkheid om je standpunt te wijzigen ten gevolge van kennisneming van feiten en argumenten niet bij voorbaat gesloten is, heeft geen zier aan de debatlogica.

De valse start van de debatlogica heeft de pret echter niet mogen drukken. Zelden gaat iets de eerste keer meteen goed, nietwaar? Enkele logici gingen aan de slag om verbeterde versies van de debatlogica op te stellen. Het optimisme voor een paraconsistente debatlogica heeft echter nog steeds geen wortel kunnen schieten in de harde grond van interessante logische resultaten. Het lijkt erop dat als je hier een lelijke uitstulping naar beneden drukt (de wet van de uitgesloten derde), een weinig appetijtelijke uitstulping elders aan het oppervlak verschijnt (argumenteren heeft geen zin). In het algemeen lijkt in de paraconsistente logica de wet van behoud van ellende van kracht.

In zijn artikel ‘Calculus van Antinomieën’ uit 1966 construeerde de Argentijn F.G. Asenjo in The Notre Dame Journal of Formal Logic een paraconsistent systeem met naast ware en onware ook neutrale beweerzinnen. Dit semantisch driewaardige stelsel richt zich op antinomieën, zoals die van de leugenaar: de leugenaar spreekt de waarheid, wanneer hij zegt ‘ik lieg’, dan en slechts dan als hij liegt. Volgens Asenjo is deze contradictie waar noch onwaar, dus niet onwaar doch neutraal.

Onder aanvoering van de Gentse hoogleraar Diederik Batens, zijn Belgische wijsgeren in de jaren '90 de paraconsistente logica gaan toepassen op de wetenschap; ze zijn van oordeel dat sommige passages in sommige artikelen van sommige wetenschapsbeoefenaren slechts recht kan worden gedaan met paraconsistente logica. Paraconsistentie is niet louter een formele frivoliteit, maar inherent aan de ontwikkeling van de natuurwetenschap, aldus spreken deze Belgen.

[p. 36]

De onbetwiste voorman van de paraconsistente logici is de Braziliaan Newton C.A. da Costa, wiens leerlingen de missionarissen van de paraconsistente logica zijn. Reeds in 1963 stelde hij in zijn proefschrift, Sistémas formais inconsistentes, een hiërarchie op van formele systemen die contradicties bevatten en nochtans niet dol zijn. Nadat Da Costa naam had gemaakt als een productieve logicus met een belangstelling voor de toepassing van de logica in de wetenschap en de wijsbegeerte, keerde hij, overladen met eerbewijzen (waaronder het lidmaatschap van de Académie Française), terug naar het onderwerp van zijn proefschrift. Ook heeft Da Costa een paraconsistente verzamelingenleer opgericht, waarin het vermaledijde beginsel dat met ieder predikaat een verzameling correspondeert, in ere wordt hersteld.

In de Butatin Studio van het Centrum voor Voortgezet Onderzoek te Sao Paulo hebben onlangs de vrouwelijke robot Sophia en haar broer Anti-Sophia een confrontatie overleefd met tijgers, slangen en gemene apen: een paraconsistente logica regelt de elektronische circuits in hun neurale netwerken. Toegepaster kan niet.

Dit was een greep. Het zal genoegzaam duidelijk zijn dat gedurende de laatste vijfentwintig jaren de paraconsistente logica van een losse verzameling incidentele artikelen aan de periferie van het logisch onderzoek, gestaag is gegroeid tot een bloeiend onderzoeksprogrammaatje, compleet met internationale conferenties, en een keur aan monografieën, bundels artikelen en overzichtswerken, zoals het wervende In Contradiction (Nijhoff 1987) van de Australische logicus-filosoof Graham Priest, en Inconsistent Mathematics (Kluwer 1995) van de Australiër Chris Mortenson, die onder andere betoogt dat een paraconsistente infinitesimaalrekening meer recht doet aan Newton en Leibniz dan de Analyse die de standaard is geworden in de wiskunde en waaruit ‘infinitesimalen’ zijn verbannen.

Wittgenstein heeft de verschijning van paraconsistentie en dialethiek aan het logisch firmament voorspeld. Onder andere tijdens een Weens kringgesprek ergens in de jaren twintig, is het volgende uit zijn mond opgetekend (Wittgenstein and the Vienna Circle, in 1979 samengesteld door B.F. McGuiness, blz. 139):

‘I am prepared to predict there will be mathematical investigations of calculi containing contradictions and people will pride themselves on having emancipated themselves from consistency too.’

Opvallend is dat Australië en Brazilië het onderzoek naar de paraconsistente logica volledig domineren. Sommigen spreken over ‘Braziliaanse logica’ en over ‘de brazilisering van de logica’. De enige Europeanen die meefeesten zijn de Belgen. Nederlandse logici hebben, bij mijn beste weten, vooralsnog geen dansje gewaagd.

Allemaal leuk en aardig, zult u zeggen, en wat had die Wittgenstein toch een vooruitziende blik. Maar wat moeten wij, vrije westerlingen met een dichtgetimmerde cao en een waardevast pensioen, met deze logische carnavalsoptocht? Is de Atheense muur die waarheid van onwaarheid scheidt gevallen? Betekent dit het einde van het monopolie van de klassieke logica op de leverantie van universeel toepasbare, inhoudsneutrale deductieregels en bewijsmethoden? Zal het uiteindelijk zo zijn, dat ieder warhoofd dat om een bewijs van zijn verwarde beweringen vraagt, wel ergens een veilig deductieapparaat en een paraconsistente logica aangeboden kan krijgen dat in zijn vraag voorziet? Luidt thans de doodsklok voor de rede in wat nota bene haar meest onneembare bastion leek, te weten de logica?

Carnaval duurt niet eeuwig en betekent zeker niet het einde van rede en beschaving. Het onderscheid tussen paraconsistentie en inconsistentie is hier van belang. Inconsistentie is de logische afgrond van het irrationalisme, paraconsistentie is dat niet. Het cement van paraconsistente bouwwerken, waarin enkele tegenspraken een tehuis vinden, bestaat uit veilige redeneerregels, zodat het niet langer mogelijk is alles te bewijzen wat men wil en wat men niet wil (de explosiestelling). De dreiging van het irrationalistische doldraaien is daarmee afgewend.

Maar hoe zit het dan met de verklarende redeneringen voor waarom wij het Verbod op Tegenspraken eerbiedigen?

Welnu, mogelijk aanvaardbare contradicties - zelfs voor liefhebbers van paraconsistentie - zijn zeer zeldzaam, en treden slechts in zeer bijzondere contexten op. De verklarende redeneringen verklaren waarom we geen uitzonderingen op het Verbod aanvaarden, niet in alle maar in de overweldigende meerderheid van contexten waarin wij, als taalgebruikers, verzeild raken. Zij

[p. 37]

verklaren ook waarom zelfs in paraconsistente contexten de overweldigende meerderheid van beweerzinnen het Verbod wel gehoorzaamt. De redeneringen verklaren waarom we het Verbod zelden tot nooit overtreden. Gedachtewisseling, debat, kritiek en veroordeling zijn dan nog steeds ten volle mogelijk. Debatten over de aanvaardbaarheid van een gegeven contradictie of paraconsistente theorie, over welk deductieapparaat te kiezen, enz., kunnen met vrucht gevoerd worden doordat ten aanzien ook daarvan het Verbod onverbiddelijk van kracht is. Wie bijvoorbeeld zegt dat het Verbod en paraconsistentie onverenigbaar zijn, gehoorzaamt Verbod op het metaniveau, waarop men praat over talen, contexten en theorieën.

Toch kan de betekenis van een ontkenning in paraconsistente contexten niet meer dezelfde zijn als in de klassieklogische contexten en, meer in het algemeen, in iedere context waar het Verbod regeert. De vraag luidt dan of er voldoende overeenkomsten in betekenis overblijven om van een ontkenning te mogen spreken. Dit is een omstreden zaak. Een vraag die geen enkele paraconsistente logicus overtuigend heeft weten te beantwoorden is de volgende: wat betekent een zin ontkennen die in een contradictie voorkomt dan wel wanneer die contradictie niet onwaar is? Wie het weet, mag het zeggen.

Zullen de huidige ontwikkelingen in de logica een revolutie in de wiskundige bewijsvoering tot gevolg hebben?

Precies een eeuw geleden ontdekte Bertrand Russell zijn vermaarde tegenspraak in het logicistische systeem van Frege: de klasse van alle klassen die zichzelf niet bevatten (de ‘Russell-klasse’), bevat zichzelf dan en slechts dan als deze klasse zichzelf niet bevat. Russell, de grootmeester van het indringende voorbeeld, stelde ons voor aan de enige barbier in een dorp, die alle dorpsbewoners scheert die zichzelf niet scheren. Niets aan de hand, totdat Russell zich afvraagt wie de barbier scheert en vlug beredeneert dat deze barbier zichzelf niet scheert dan en slechts dan hij zichzelf wel scheert. De gebruikelijke reactie op deze contradictie is deze redenering op te vatten als een bewijs uit het ongerijmde voor het niet-bestaan van deze antinomische barbier (en van de Russell-klasse) - sommigen geven de voorkeur aan de oplossing dat de barbier wel bestaat maar een vrouw is, hoewel een ieder dan de variant kan bedenken met het scheren van schaamhaar op een andere plaats dan het gezicht.

In een paraconsistente klassenleer bestaat de Russell-klasse echter wel; men maakt onderscheid tussen ‘paradoxale’ en ‘normale’ klassen. (In een paraconsistente dorpssociologie bestaat een barbier die zichzelf wel en niet scheert. Ik zou hem graag eens ontmoeten.) Belangrijke problemen in de klassenleer lost een dergelijke denkbeweging echter niet op. Bovendien wordt de paraconsistente vis duur betaald.

De prijs is een kreupel deductieapparaat, waardoor veel stellingen voor paradoxale klassen onbewijsbaar blijven. Door het onschadelijk maken van explosieve deductieapparaten krijgen contradicties een plaats toebedeeld binnen de deductieve omheining van paraconsistente theorieën waar zij geen schade kunnen aanrichten; maar de prijs voor deze veiligheid is dat zij aan de redeneerketens die binnen deze omheining door het landschap razen, part noch deel kunnen hebben. Men kan zich afvragen wat de logische waardigheid is van een eeuwig leven in een dergelijke deductieve isoleercel. Zijn paraconsistente logici niet blij met een dooie mus?

Als nieuw deductieapparaat voor de wiskunde in het algemeen is de paraconsistente logica daardoor ongeschikt. Ieder veilig deductieapparaat is nog minder vermogend dan het explosieve deductieapparaat van de intuïtionistische wiskunde van L.E.J. Brouwer c.s., dat voor de overweldigende meerderheid der wiskundigen reeds te zwak is - dit is trouwens de belangrijkste reden waarom het intuïtionisme een armetierig bestaan leidt aan de periferie van de wiskunde. Met minder dan klassieke logica, dat over het meest krachtige deductieapparaat beschikt om jezelf te lanceren van premisse naar conclusie, zullen wiskundigen nimmer genoegen nemen.

Exit paraconsistentie.

Zullen de huidige ontwikkelingen in de logica dan tot een revolutie in het natuurwetenschappelijk redeneren leiden?

Da Costa en medewerkers zijn zich de laatste jaren gaan richten op de interpretatieproblemen van de quantummechanica. De beruchte paradoxen van deze fysische theorie zouden hun meest getrouwe uitdrukking krijgen binnen een paraconsistente logica. De quantummechanica

[p. 38]

als een paraconsistente theorie die over de fysische werkelijkheid gaat?

Dat de quantummechanica met de nodige logische handigheid in een paraconsistent kostuum te hijsen is, dat zal niemand betwijfelen - de driewaardige logica, de quantumlogica en de vooronderstellingslogica zijn niet-klassieke logica's die de paraconsistente logica hierin reeds vooraf zijn gegaan. Maar de vraag luidt of het nodig is. En het antwoord is ontkennend. Er is geen enkel verschijnsel in de natuur dat uitsluitend in paraconsistente termen kan worden beschreven.

Bovendien zouden paraconsistente redeneerregels meer dan onwenselijk zijn in de wetenschap, doordat karrenvrachten aan wetenschappelijke kennis die dan niet langer deductief te bereiken zijn op de mestvaalt van de geschiedenis zouden belanden.

Exit paraconsistentie.

De Poolse logicus en wiskundige Alfred Tarski was van oordeel dat men in de taal een onderscheid dient te maken tussen een niveau waarop men over de wereld praat (objectniveau), en een niveau waarop men over de objecttaal praat (metaniveau). Beide niveaus komen in onze taal voor, maar wie ze in redeneringen verwart, begaat dan de redeneerfout van de dubbelspraak. Wie uit de premissen ‘Zeventien is priem’ en ‘Met iedere priem kan de timmerman een gaatje in het hout maken’, concludeert dat de timmerman een gaatje in het hout kan maken met het getal zeventien, begaat de redeneerfout van de dubbelspraak. Een verwarring van object- en metaniveau is verantwoordelijk voor de Leugenaarsantinomie, zoals de verwarring van de twee betekenissen van ‘priem’ verantwoordelijk is voor de drogredenering over de timmerman. Met dubbelspraak kan men tegenspraken genereren aan de lopende band.

Paraconsistente logici, die bijvoorbeeld de Leugenaarsantinomie als dialetheia of als neutrale beweerzin willen koesteren, hebben de neiging het onderscheid van Tarski te verwerpen als zijnde een gelegenheidsonderscheid. Zij vergewissen zich helaas onvoldoende van het feit dat dit onderscheid van Tarski de ‘modeltheorie’ mogelijk heeft gemaakt, een zeer vruchtbare ontwikkeling in de logica die verantwoordelijk is voor de diepzinnigste resultaten van het 20ste-eeuwse exacte denken, te weten diverse consistentie- en onafhankelijkheidsbewijzen. Ook Harry Mulisch, verzot op paradox en contradictie, lijkt dit onvoldoende te beseffen, getuige de volgende passage op bladzijde 19 van De compositie van de wereld (1980): ‘Al die metamaatregelen zijn uitsluitend gefundeerd op de wens, de paradoxen te verbieden: het is gelegenheidswetgeving, die onder geen enkele andere omstandigheid het rechtsgevoel behoort te bevredigen.’

Zelfs indien het onderscheid van Tarski geen enkele tegenspraak zou hebben ontmanteld als een schijnbare tegenspraak (paradox), zou het onderscheid tussen object- en metaniveau tot het standaardbegrippenarsenaal van de logica zijn gaan behoren vanwege de enorme model-theoretische opbrengst. Daarbovenop is het een onloochenbaar feit dat het onderscheid van Tarski het logisch rechtsgevoel van menig denker uitstekend bevredigt. Het is niet ad hoc, maar eenvoudig, doordacht en vruchtbaar.

Ofschoon de paraconsistente logica in de wereld van het exacte denken evenveel te zoeken heeft als een dolfijn in de woestijn, omdat zij daar niets oplost wat men niet ook kan oplossen zonder het Verbod te schofferen, en omdat zij daar bovendien onherstelbare deductieve schade zou aanrichten, is er een terrein waar de paraconsistente logica misschien nuttige arbeid zou kunnen verrichten. Dit is een terrein waar we allen vertoeven, namelijk dat van ‘de alledaagse redeneer-praktijk’.

Stel, Dingelam kondigt aan dat hij een feestje geeft indien hij de Nobelprijs voor scheikunde wint (premisse), en stel dat Talmstra op de bewuste avond naar zijn huis gaat en ziet dat hij een feestje geeft (premisse). Op basis van deze premissen concludeert Talmstra dat Dingelam in de prijzen is gevallen, treedt binnen en feliciteert hem met de toekenning van de Nobelprijs. Dingelam bedankt hem hartelijk.

Helaas heeft Talmstra nu volgens de klassieke logica de redeneerfout begaan van het antecedentbevestigen (uit als P, dan Q en Q volgt niet dat P). Deze gevolgtrekkingen zijn echter de gewoonste zaak van de wereld in onze dagelijkse redeneerpraktijk. Talmstra voelt zich gesterkt door het feit dat zijn conclusie waar bleek te zijn. Er is niets fout gegaan.

De klassieke logicus werpt nu tegen dat Dingelam de prijs niet gehad zou kunnen hebben,

[p. 39]

maar omdat hij stomtoevallig een miljoen had gewonnen in de staatsloterij, heeft hij het feestje toch maar door laten gaan.

Dat is zeker niet uit te sluiten. De klassieke logica houdt rekening met alle logisch mogelijke gevallen, en dat zijn er aftands veel. Op basis van slechts de gegeven premissen staat de klassieke logica ons toe heel weinig interessants te concluderen. Toch heeft Talmstra een ware conclusie getrokken uit ware premissen, met kennelijk een niet-klassieke redeneerregel.

Ander voorbeeld: ‘Als Arnold Cleever zijn vinger afhakt, dan zullen er binnen een seconde twee nieuwe vingers uit zijn hand groeien van 99 cm per stuk met hoefjes in plaats van nagels aan de uiteinden.’ Zolang Cleever zijn vinger er niet afhakt, is deze bewering volgens de klassieke propositielogica waar (als P, dan Q is waar indien P onwaar is). Toch hoef je geen klap van de malle molen gehad te hebben om deze bewering ‘onwaar’ te noemen. Cleever is een mens en de menselijke soort ontbeert zulke curieuze regeneratieve vermogens.

In het eerste voorbeeld geraakt iemand tot een waarheid op een manier die de klassieke logica verbiedt; in het tweede voorbeeld geeft de klassieke logica mij een waarheid, die ik ernstig betwijfel. In het derde en laatste voorbeeld zal ik met de klassieke logica een hoogstwaarschijnlijk onware conclusie afleiden uit een ware bewering.

‘Als er melk noch suiker in zijn koffie zit, dan geniet Nico Kervezee met volle teugen van zijn koffie.’ Volgens de klassieke logica mag men uit deze waar veronderstelde bewering alle voorwaardelijke beweringen afleiden met hetzelfde consequent en een sterker antecedent (dat het gegeven antecedent impliceert maar niet andersom). Deze redeneerregel heet ‘de wet van verzwakking’. Welnu, volgens deze wet is dan de volgende bewering ook waar: ‘Als er melk noch suiker in de koffie zit, en wel een scheut motorolie en een soeplepel carboleum, dan geniet Kervezee met volle teugen van zijn koffie.’ Het is jammer voor de klassieke logica, maar deze bewering is niet waar, tenzij Kervezee over erg uitzonderlijke smaakpapillen beschikt. In de alledaagse redeneerpraktijk gaat de logische wet van verzwakking blijkbaar niet altijd op.

Zulke voorbeelden zijn naar believen aan te slepen. Ze maken aannemelijk dat de klassieke logica niet in alle gevallen het meest geschikte redeneerinstrument is, en soms totaal ongeschikt.

Waarom is de klassieke logica dan nog steeds de logica bij uitstek?

Omdat zij over de strengste redeneerpraktijken heerst die onze cultuur kent, namelijk de

[p. 40]

wiskunde en de theoretische gebieden binnen de natuurwetenschap, en vanwege het feit dat zij zinderend eenvoudig is in vergelijking met haar diverse uitbreidingen waarin bovenstaande redeneringen zijn te wettigen dan wel te verwerpen, op basis van de rede. Het gegeven dat de klassieke logica op verscheidene manieren is uit te breiden om velerlei facetten van de alledaagse redeneerpraktijk streng te begrijpen zonder het Verbod op Tegenspraken op te offeren (modale logica, dynamische logica, relevantie-logica, om de belangrijkste te noemen die heden ten dage logici bezig houden), lijkt voldoende om de roep om paraconsistentie te mogen negeren. De logica is kerngezond en springlevend, ook zonder paraconsistente parade.

Wij, lezende en denkende mensen, waden in onzekerheid en dat weten wij. Daarom verlangen we in de alledaagse redeneerpraktijk geen garanties; we nemen genoegen met een zekere mate van betrouwbaarheid. Voorlopige richtlijnen en feilbare vuistregels sturen onze scheve levens. Vrijwel altijd bevinden wij ons in een toestand van een hopeloos gebrek aan inzicht en een schromelijk tekort aan kennis. Wie alle logische mogelijkheden wil uitsluiten op basis van relevante informatie alvorens beredeneerd een stap te zetten in de wijde wereld, zal Oblomow doen transformeren in een toonbeeld van Alexandrijnse daadkracht. Wie met alles rekening wil houden, komt tot niets. De klassieke logica eist van haar deductieapparaat dat het ons uitsluitend naar ware bestemmingen brengt vanuit waar veronderstelde vertrekpunten. In de alledaagse redeneerpraktijk zijn we echter dik tevreden, en moeten we dik tevreden zijn, met een apparaat dat ons voldoende vaak bij een ware bestemming aflevert. Niet alleen weten we in de regel te weinig om alle ware van alle onware premissen in onze redeneringen te scheiden, maar de meeste premissen kennen we niet eens. Niemand weet wat hij allemaal stilzwijgend voor lief neemt. We moeten tevreden zijn met richtlijnen en vuistregels, willen we ooit ergens aankomen met de beperkte inhoud van onze hersenpan.

Uit de Kunstmatige Intelligentie is bekend dat robotjes die deductieve redeneerfouten maken, door het uitvoeren van inductieve sprongen, problemen verrassend snel oplossen. Ofschoon er, zoals eerder benadrukt, uitbreidingen in diverse richtingen van de klassieke logica bestaan om de klassiek-logische daadverlamming te voorkomen en recht te doen aan onze alledaagse redeneerpraktijk, kunnen we dan toch ook niet, ergens in onze alledaagse redeneerpraktijk, een snufje paraconsistentie gebruiken?

Sommige wijsgeren menen dat het geheel van beweringen dat een individu aanvaardt, altijd paraconsistent is. De mens als wandelend vat vol tegenspraken. Niemand zal het durven ontkennen. De vraag is echter wat de zin is van het in elkaar sleutelen van een hopeloos ingewikkeld formeel systeem dat alle beweerzinnen bevat die ergens in het hoofd van een enkel individu wonen. We zullen ons bewustzijn er vermoedelijk niet beter door begrijpen, en wat we er van zouden kunnen leren, namelijk dat dit systeem paraconsistent is, dat weten we al. ‘Als iemand zichzelf nooit tegenspreekt, komt dat doordat hij nooit iets zegt,’ schreef Miguel de Unamuno.

Voor formele systemen geldt het volgende: krachtiger naarmate beperkter en krachtelozer naarmate omvattender. Computers werken met formele systemen. Diep Blauw kan schaken als de beste, maar vraag haar niet wat zij vindt van de vernietiging van het Nederlandse literatuuronderwijs door Netelenheks. Een zakjapanner kan rekenen als de beste, maar een sprookje begrijpen gaat zijn bevattingsvermogen ver te boven. De alledaagse redeneerpraktijk is vermoedelijk te gevarieerd en te complex om in een enkel formeel systeem te vatten dat voldoende eenvoudig en overzichtelijk is om klaarheid te brengen, en dat voldoende krachtig is om interessante stellingen in te bewijzen.

Ongeveer 25 eeuwen lang is het verbod op tegenspraken onaantastbaar geweest. De paraconsistente logica lijkt daarom op een logische zondeval en een tegendraads feestje. Wie beweert daar niet van te kunnen genieten, neemt zichzelf in de maling. We mogen tenslotte nooit vergeten dat voor sommigen het eten van verboden vruchten extra smakelijk is dankzij de zondigheid van de daad. Edoch, vroeg of laat zijn alle grappige drankjes uitgeprobeerd, wordt het weer licht, slaat de vermoeidheid onverbiddelijk toe en treft het lichaam maatregelen om de gezondheid te waarborgen.

Het Verbod gaat nooit verloren, knoop het in je oren, van achteren en van voren.