Wonderpunt
Tj. S. Visser
De navolgende meetkundige schoonheid vertelde ik mijn dochters deels op een wijdziende heuvel in het Zuidvlaamse, deels op een terrasje tegenover het rococo-stadhuis in Lier. Nu schrijf ik het u.
Aan een scheve driehoek is alles scheef: de zijden zijn onderling ongelijk, de hoeken verschillen alle van elkaar. En zo'n scheve figuur blijft scheef al prutst men er iets fraai symmetrisch omheen.
Dit houde de lezer goed voor ogen bij hetgeen volgen gaat.
Aangenomen wordt dat het een scherphoekige driehoek is, dat wil zeggen een driehoek zonder rechte of stompe hoek.
Men beschrijft op elke zijde buitenwaarts een gelijkzijdige driehoek met de zijde als ‘basis’; waarlijk iets fraai symmetrisch dus. De drie toppen noeme men A', B', C', gelegen ‘tegenover’ onderscheidenlijk de hoekpunten A, B, C des aanvankelijken driehoeks.
Verbindt men nu het be-accentueerde met het accentloze, dus trekt men de lijnen AA', BB', CC', dan zal dit drietal nieuwe lijnen tweevoudig bijzonder blijken: ze zijn onderling gelijk van lengte en ze hebben gedrieën een punt gemeenschappelijk. De vaste uitdrukking voor dit laatste luidt: ze lopen samen, ze zijn con-current, concurrent.
Dat gemeenschappelijke punt van AA', BB', CC' is ons wonderpunt. Het is de eerste maal gevonden in of omstreeks 1640, toen een italiaans en een frans wiskundige, beide aangename karakters, druk met elkaar correspondeerden: Evangelista Torricelli (jawel, van de barometer) en Pierre Fermat. De eerste was leerling en opvolger van Galileï, de tweede was raadsheer in het gerechtshof van Toulouse. Beiden zijn, op ander gebied, voorlopers van de infinitesimaalrekening welke enkele tientallen jaren na hen losbrak en nieuwe horizonnen gaf aan de wiskunde. Terwijl ik dit neerschrijf komen tot mij de dankbaar-triomfantelijke slotklanken van Mahlers derde symfonie.
Het punt van Torricelli is dus geboren uit het samentreffen van het gelijklange in een van oorsprong scheve figuur. Dat is merkwaardig. Maar het punt zelf blijkt ook nog twee merkwaardige eigenschappen te bezitten. Een mannelijke en een vrouwelijke, zou ik zo zeggen. Het punt is namelijk een strategisch punt: de som van zijn afstanden tot A, B, C is zo klein als mogelijk is, elk ander punt binnen de driehoek heeft een grotere afstandensom. Deze strategische eigenschap dunkt mij napoleontisch en mannelijk. De ontdekker is Hofman, Oostenrijker (1929 pas).
Vrouwelijk, juister moederlijk, de volgende, reeds aan Fermet bekende, eigenschap van het Torricelli-punt: het ziet de drie zijden des driehoeks ABC als gelijk.
Ge kunt een rijksdaalder en de maan zien als even groot zo ge hun middellijnen ziet onder gelijke hoeken. Aldus ziet ons wonderlijk Torricelli-punt de drie zijden des driehoeks onder gelijke hoeken (elk 120 graden) en daardoor als ‘even groot.’ Zoals het moederoog de onderscheiden kinders.
Los van het wonderpunt laat zich nog zeggen dat de middelpunten der drie gelijkzijdige driehoeken een gelijkzijdige driehoek vormen).
De bewijzen laat ik rusten.
‘O Sage, Dichter, was du tust? - Ich rühme’ (Rilke).
| O. Bottema, Elementaire meetkunde (Servire) |
| F. von Krbek, Geometrische Plaudereien (Leipzig, 1962) |
| D.J. Struik, A concise history of mathematics (Dover books, N.Y. 1948). |
| N.T.v.W., 1915/6. |
Auteursrechtelijk beschermd