Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2859.
Christiaan Huygens au Marquis de l'Hospital.
16 juin 1694.

La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
La lettre est la réponse aux Nos. 2843 et 2847.
De l'Hospital y répondit le 4 octobre 1694.

Sommaire²⁾:
Affaires. les sienes valent mieux la peine.
Je m'etonne que Bernoulli n'ait pas repondu a sa demande puis qu'il le pouvoit faire en 2 mots.
Cela me fait douter s'il est bien seur de son invention. Je doute si c'est pas la Parabole.
Que la methode de Newton est tres longue a copier. Semblable a celle de Leibnitz et Gregorius.
Ce que conclud Wallis. Passage qui me paroit considerable. Seray bien aise de voir comment il supplee par sa maniere ce qui autrement demande ces series.
De Volder quadre la Feuille.
Ne voit on pas les grandes erreurs de M. Renaud dans sa reponce? il renverse toutes les loix des mechan. Je repondray par un imprimè. Sans replique disiez-vous.
J'avois receu de Mr. Bignon.
Horologe succede bien, consume du temps.
Sur la question du slexus contrarius. qu'il a raison. et n'avoit pas besoin de me demander mon sentiment. Bernoulli se trompe 2 fois.
Bien aise de ce qu'il est de mon sentiment touchant le probl. de Leibnitz.
Dispute de Regis et Mallebr. de la grandeur app[aren]te de la lune. une chose si aisée a decider, ils s'embrouillent³⁾.

A la Haye ce 16 juin 1694.

Il y a trop longtemps, Monsieur, que je dois response aux lettres que vous m'avez fait l'honneur de m'escrire du 18 janv. et 12 mars⁴⁾. Plusieurs affaires que j'ay eues, non pas si bonnes que les vostres, sont cause de ce retardement, et avec cela certaine indisposition nouvelle d'une intermission et un battement

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 315.

2) Le sommaire se trouve écrit en marge de la minute.

3) Ce dernier alinéa a été biffé par Huygens. Consultez d'ailleurs, sur la dispute en question, la note 6 de la Lettre N^o. 2837. Le Journal des Sçavans de 1694 contient, dans ses numéros du 18 janvier et du 1, 8 et 15 mars plusieurs articles qui s'y rapportent.

4) Lisez: 22 Mars. Il s'agit des Lettres N^os. 2843 et 2847.

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inordonnè du pouls, qui m'a contraint de moderer les etudes geometriques.

Je m'etonne que Mr. Bernoulli ait differè de repondre⁵⁾ a ce que vous aviez demandè touchant son Theoreme de la voiliere, puis qu'il pouvoit le faire en 2 mots. Cela me fait douter s'il est bien sur de ce qu'il a avancè.

(Et par une petite figure, que je viens de tracer



en escrivant cecy, il me semble que cette courbe est plustost celle de la parabole que celle de la chaine⁶⁾. Des le temps du P. Mersenne j'etois pour la Parabole⁷⁾, mais la demonstration que j'entrevois maintenant⁸⁾ est meilleure que celle que je luy envoiay alors⁹⁾).

Toutefois je ne veux encore rien assurer par ce que j'ay trouvé cy-devant¹⁰⁾ que lors que les parties de la voile sont des rectangles égaux, la courbure est moins pointée, en bas que celle de la chaine.

Mr. Wallis m'a envoié son livre de Algebra¹¹⁾, ou sont les series et methodes de Mr. Newton. Peut estre l'aurez vous aussi à Paris, autrement je pourray vous cnvoier, si vous le souhaitez, une copie de cet endroit, que j'avois receu auparavant de Mr. Gregori¹²⁾, mais il y a une grande feuille d'écriture. Il me paroit au reste, qu'il n'y aura rien de nouveau pour vous, Monsieur, puisque vous scavez et le calcul differentiel de Mr. Leibnitz et les series de Mr. Gregori¹³⁾. Wallis dit à la fin des inventions de Mr. Newton¹⁴⁾: Huic methodo affinis est tum methodus

5) Comparez la Lettre N^o. 2847 à la page 587.

6) Voir l'Appendice N^o. 2860 où l'on rencontrera une figure analogue à celle du texte et où l'on voit de quelle manière Huygens est arrivé à cette conclusion erronée.

7) Huygens veut dire problablement que déjà dans ce temps là, c'est-à-dire en 1646, il savait quelle devrait être la distribution de la gravité sur une corde pour la faire prendre la forme de la parabole. Comparez la pièce N^o. 2724 à la page 217.

8) Nous ne la connaissons pas.

9) En marge de la minute Huygens écrivit plus tard: je m'etois abusé ici.

10) Consultez la note 15 de la pièce N^o. 2835, surtout le deuxième alinéa de cette note. La réserve faite ici était en effet très fondée.

11) Voir la Lettre N^o. 2843 vers la fin.

12) Après et par suite de leur entrevue personnelle de 1693, voir la Lettre N^o. 2810 à la page 464 et la Lettre N^o. 2839 à la page 567.

13) Elles lui avaient été communiquées par Huygens dans sa Lettre N^o. 2819 à la page 492.

14) Voir la page 396 de l'‘Algebra’ de Wallis, où le passage qui va suivre est précédé par les phrases suivantes qui en font connaître la portée. ‘Methodi autem hae omnes, tam particulares quam generales collectim sumptae, solutionem exhibent secundae partis problematis, quod Newtonus sub initio istius Epistolae [la Lettre du 24 octobre 1676, mentionnée dans la note 21 de la Lettre N^o. 2810] his verbis proposuit: Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, & vice versa. Nam tota fluxionum Methodus in hujus directa et & inversa solutione consistit’.

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differentialis Leibnitij tum utraque antiquior illa, quam D. Js. Barrow in Lectionibus Geometricis¹⁵⁾ exposuit; quod agnitum est in actis Lipsiensibus (anno 1691 mense Jan.) a quodam, qui methodum adhibet Leibnitij similem¹⁶⁾. Quodque ab his duobus est superadditum, est formularum analyseos brevium et commodarum adaptatio illius theorijs. En quoy pourtant il fait tort à ces Messieurs.

L'on m'a donné depuis peu une solution du probleme de la quadrature de la Feuille de Des Cartes par les appliquées à l'axe, qui pourtant sera differente, comme je crois, de celle que vous m'aviez promise¹⁷⁾, par ce qu'elle va par de grands détours et par la comparaison des termes des equations à la maniere de Des Cartes¹⁸⁾. Ces solutions se trouvent, lors qu'on en a desia d'autres, mais je ne laisse pas de l'estimer. J'ay veu que Mr. de Volder, Professeur à Leyde, en est l'autheur¹⁹⁾.

15) Voir l'ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N^o. 1767.

16) Il s'agit de Jacques Bernoulli qui dans l'article cité, intitulé: ‘Specimen calculi differentialis in dimensione Parabolae helicoidis, ubi de flexuris curvarum in genere, earundem evolutionibus, aliisque’, s'était exprimé comme il suit: ‘Cum ex Actis nuperis’ [voir l'article cité dans la note 10 de la Lettre N^o. 2623] ‘conjecerim, Celeb. Dn. L. Analysin problematis a se propositi’ [il s'agit du problème de la courbe isochrone, résolu par Jacques Bernoulli dans l'article cité dans la note 2 de la pièce N^o. 2491] ‘calculo suo differentiali institutam minime displicuisse, credidi nec aegre laturum sequens illius specimen, quod in gratiam Lectorum nostrorum, quibus calculum hunc agitare volupe fuerit, in lucem emitto; ut si forte mentem Viri Acutissimi, ex iis quae in Actis 1684 de Invento isthoc suo edidit, ob summam brevitatem non satis assecuti sint, vel hinc ejus applicandi methodum discere possint. Quanquam, ut verum fatear, qui calculum Barrovianum (quem decennio ante in Lectionibus suis Geometricis adumbravit Auctor, cujusque specimina sunt tota illa propositionum inibi contentarum farrago) intellexerit, alterum a Dn. L. inventum ignorare vix poterit; utpote qui in priori illo fundatus est, & nisi forte in differentialium notatione, & operationis aliquo compendio ab eo non differt’.

17) Il s'agit de la ‘troisième manière’ dont il est question pour la première fois dans la Lettre N^o. 2807 et ensuite dans les Lettres N^os. 2810 (p. 461), 2838 (p. 566), 2842 (p. 578) et 2843 (p. 580).

18) Allusion à la ‘Façon generale pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes données, ou leurs contingentes, a angles droits’ que l'on trouve dans le Livre second de la ‘Géométrie’ (pp. 413-423 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery) et où Descartes emploie une telle méthode (voir surtout les pp. 419-422).

19) Nous possédons dans la collection Huygens deux solutions du problème de la quadrature du folium de Descartes auxquelles les qualifications du texte sont plus ou moins applicables. Toutes deux ont passé sous les yeux de Huygens puisque sur chacune d'elle on trouve une petite annotation de sa main. L'une d'elle, notre pièce N^o. 2861, qui va par de plus ‘grands détours’ que l'autre, est rédigée en langue hollandaise. Elle n'est certainement pas de l'écriture de de Volder, écriture que nous croyons reconnaître avec sûreté dans la seconde, notre N^o. 2862, qui est rédigée en Latin. Elles se distinguent l'une de l'autre principalement parce que dans la première la methode de différentiation de de Sluse et dans la seconde celle de Leibniz a été suivie. Nous sommes inclinés à supposer qu'elles sont toutes deux de de Volder qui aurait fait copier la première par un de ses disciples. Dans ce cas la seconde constitue une rédaction améliorée de la première, moins soignée dans la forme toutefois, ce qui expliquerait la différence, d'ailleurs assez minime, des notations, c'est-à-dire l'emploi du ‘M.’ dans la première pour indiquer une multiplication et l'emploi de la virgule dans la seconde pour le même but.

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J'avois desia receu 8 jours auparavant la Response de Mr. Renaud²⁰⁾ de la part de Mr. l'Abbè Bignon, ce qui n'empesche pas que je ne vous sois obligè du soin de me l'avoir envoiée. Je vois que pour maintenir sa Theorie, Mr. Renaud renverse toutes les loix de la mechanique, et qu'il condamne mesme ce qu'il avoit trouvè de bon touchant la position du Gouvernail. Après avoir receu vostre approbation²¹⁾ je ne croiois pas devoir attendre de response à ma censure. Car M. Renaud vous estant partic[ulieremen]t connu, comment ne vous communiquerait-il pas? Maintenant je ne puis m'etonner assez de ce que Mr. de la Hire me mande²²⁾, que depuis qu'on avoit vu mon escrit, il s'estoit repandu quelque bruit que je n'avois pas assez consideré ce qu'avance Mr. Renaud, et il semble, dit il, que quelques uns de nos mathematiciens n'en sont pas contents. Il arrive que par megarde on ne remarque pas un paralogisme, mais après que je l'ay indiquè, comment se peut-il qu'on ne le reconnoit pas encore? Mr. de la Hire dit qu'il a fait des objections contre cette Theorie devant qu'elle fust imprimée, mais que l'autheur n'y a pas eu egard, ce qui me fait croire qu'il aura de la peine à revenir de son erreur. Je ne laisseray pas de faire imprimer une courte confirmation de ma Remarque²³⁾ a fin d'eclaircir d'avantage ce que je vois que quelques uns ne comprennent pas assez.

Pour ce qui est de la difficultè touchant les courbes developpées, vous avez raison, Monsieur, de dire que Mrs. Leibnitz et Bernoulli se sont trompez. J'avois annotè l'erreur grossiere de ce dernier dans le journal de Leipsich là où il dit que dans toutes les paraboloides, exceptè la parabole, le cercle baisant au sommet est infiniment grand²⁴⁾, car je voiois qu'il estoit faux pour la paraboloide ax³ ∞ y⁴. Je n'avois pas examinè s'il y avoit de ces paraboloides, qui passant de l'autre costè de l'axe, eussent le rayon de la developpée infini, au point de l'inflexion contraire, ce que vous avez fort bien remarquè estre ainsi. Et vostre regle est bonne. La demonstration paroit de ce que dans toutes ces paraboloides, dont l'equation est a^d x^m ∞ yⁿ, la subnormalis BD, qui devient le raion de la developpée pour le

20) Voir la pièce N^o. 2848.

21) Voir la Lettre N^o. 2838 à la page 564.

22) Nous ne connaissons pas cette lettre, à laquelle Huygens répondit par la sienne du 15 juillet, notre N^o. 2870.

23) Voir l'Appendice N^o. 2869 à la lettre de Huygens à Bignon du 15 juillet 1694, N^o. 2868.

24) Voir la note 3 de la Lettre N^o. 2847. D'après la copie des notes marginales dont il est question dans la note 1 de la Lettre N^o. 2540, Huygens n'avait annoté que le seul mot ‘Fallitur’.

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point de l'axe E, est ∞ ²⁵⁾, que l'on voit facilement devenir infiniment petite en appetissant x, lorsque 2m est plus grand que n, et au contraire



infiniment longue, quand 2m est plus petit que n. Ces courbes ont un sommet lors que l'exposant m est impair et n pair, mais un point d'inflexion contraire lors que m et n sont impairs^a)26). Je crois que vostre demonstration ne differera point de celle-cy.

Je suis bien aise de ce que vous jugez comme moy du titre trop fastueux du Probleme de Mr. Leibnitz, qui regarde les Tractoriae²⁷⁾. Je luy ay mandé²⁸⁾, que je ne trouve point qu'il ait avancé par là la quadrature des courbes, parce qu'on ne scauroit parvenir à aucune exactitude en decrivant les courbes par sa maniere embarassante. J'estime bien plus²⁹⁾ la solution qu'il m'envoia il y a quelque temps³⁰⁾ touchant la courbe qui convient à la soustangente déguisée 2ayy/aa-yy-xx, qui est l'une des trois que je vous ay proposée cy-devant³¹⁾. Il

25) Nous n'avons pas rencontré la déduction de cette formule dans les manuscrits de Huygens, mais de quelques petits calculs qui se trouvent à la page 66 du Livre J il résulte que Huygens a dû commencer par établir l'expression nx:m pour la soustangente BA, ce qui lui a été facile puisque sa règle, mentionnée dans la note 3 de la pièce N^o. 2612, amenait immédiatement l'expression nyⁿ:ma^d x^m-1, où y^a=a^d x^m. Ensuite la proportion: AB:BC==BC:BD lui donnait BD=my²:nx, d'où l'on tire facilement l'expression du texte.
En effet, à cette page 66 la sousnormale est calcuiée dans les cas particuliers ax³=y⁴, aax=y³ et aax³=y⁵ de la manière décrite, c'est-à-dire, en partant de l'expression nx:m comme d'une formule connue. A propos du premier cas, où



, Huygens ajoute encore: ‘non habet circuli circumferentiam in vertice intus tangentem, etsi ex utraque diametri parte aequaliter jaceat’; à propos du second, où



‘BD fit infinite longa’; et à propos du troisième, où ‘BD fit infinite parva. quamvis CEH’ [voir la figure du texte en ajontant la lettre H à l'autre extrémité de la courbe] ‘habeat flexus contrarios’.

a) Il y a flexion contraire quand les exposants m et n sont impairs. Et le raion de la developpée dans ce point d'inflexion alors est infiniment petit si n est plus petit que 2m. [Christiaan Huygens].

26) A la page 66, mentionnée dans la note précédente, Huygens dessine les paraboloïdes ax³==y⁴, aax=y³, a³xx=y⁵, axx=y³, aax³=y⁵, ax³=y⁴, ax³=y⁴, a⁴x=y⁵, et ax⁴=y⁵ pour observer leurs sommets et leurs points d'inflexion ou de rebroussement.

27) Consultez, sur le titre de cet ouvrage, la note 6 de la pièce N^o. 2824, et comparez la Lettre N^o. 2842 à la page 578.

28) Dans la Lettre N^o. 2854 à la page 611.

29) Comparez la même Lettre N^o. 2854 à la page 610.

30) Dans la Lettre N^o. 2829 aux pages 541 et 542.

31) Consultez la note 22 de la Lettre N^o. 2822. Il s'agit, comme on le voit, du troisième exemple qu'on y trouve mentionné.

[p. 626]

trouve que cette courbe est non seulement le Cercle, mais qu'une certaine transcendante y convient encore, ce que je n'avois point sçu.

J'ay fait construire l'horloge de ma nouvelle invention³²⁾, qui succede tres bien, de sorte que je pretens maintenant pouvoir porter sur mer des horloges aussi justes que le sont les Pendules de 3 pieds, dont on se sert à l'observatoire. Les divers essais et experiences³³⁾ m'ont cousté du temps et de la peine, comme cela arrive dans toutes les nouvelles entreprises de machines.

Je ne scay si vous aurez appris le fascheux accident arrivé au celebre Mr. Newton³⁴⁾, qui, à ce qu'on m'a dit, a eu la cervelle troublée pendant 18 mois, mais par les soins de ses amis et à force de remedes se porte mieux maintenant. Je ne scay ce que deviendra avec cela la nouvelle edition de son livre³⁵⁾, que j'avois grande envie de voir.

Apres une si longue cessation des lettres, quoy qu'arrivée par ma faute³⁶⁾, j'espere que vous voudrez bien au plustost me donner de vos nouvelles, estant comme je suis avec beaucoup d'affection et de respect etc.

32) Voir la note 16 de la pièce N^o. 2823. Ajoutons toutefois que Huygens avait inventé le



15 mars 1694 une modification nouvelle du système de la Fig. 5 de la note citée, modification à laquelle il attachait beaucoup d'importance. On la trouve mentionnée aux pages 165 et 166 de l'ouvrage d'Uylenbroek cité dans cette note. Elle consistait en ce que, au lieu de la seule languette attachée au balancier au-dessous de l'axe, Huygens en employait deux attachées plus près de ses extrémités, comme le montre la figure ci-jointe où l'on voit de même pourquoi les deux poids avec leurs deux languettes étaient considérés comme équivalents à un seul poids de la double valeur appliqué au-dessous de l'axe.

33) On trouve aux pages 108-111 du Livre J un compte-rendu de ces ‘essais et expériences’, reproduit par Uylenbroek aux pages 167-170 de l'ouvrage mentionné dans la note précédente. Ils furent exécutés depuis le 16 avril jusqu'au 21 mai 1694.

34) Voir la Lettre N^o. 2855.

35) Comparez la Lettre N^o. 2854 à la page 614.

36) La dernière lettre de Huygens à de l'Hospital, N^o. 2842, datait du 24 décembre 1693.