Wisconstighe gedachtenissen. Deel 1: van 't weereltschrift

Nv de voorstellen.

1 Vertooch. 1 Voorstel.

Een rechtlinich plats houcken, sijn even met soo veel⁺ dobbel rechthoucken alsser houcken sijn, min tvvee.

De sin int ghemeen gheseyt is dese: Ghenomen datter sy eenich vijfhouck gheschickt of ongeschickt soot valt, al de houcken des selfden sijn t'samen even met drie dobbel rechthoucken, te weten soo veel alsser inde ghegheven form houcken sijn min twee. En alsoo salmen verstaen dat al de houcken van een seventhienhouck even sijn an 15 dobbel rechthoucken, en van een vijftichhouck an 48 dobbelrechthoucken, en soo voort int oneyndelick met d'ander. Dit verstaen sijnde, wy sullen tot de saeck comen.

Tghegheven. Laet A B C D E eenighe rechtlinighe form sijn met vijf houcken. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat de vijf houcken des selfden even sijn an drie dobbelrechthoucken. Tbereytsel. Ick treck de twee linien A C, A D, welcke den vijfhouck in drie driehoucken deelen, te weten A B C, A C D, A D E.

+ Plani rectelinei.

Tbewys.

De drie houcken des drehoucx A B C, sijn even



an twee rechthouckē, of, dattet selve is, an een dobbel⁺ rechthouck: (waerme oock dit vertooch overcomt, want de drie houcken eens driehoucx, moeten even sijn an een dobbelrechthouck, te weten an soo veel dobbelrechthoucken alsser houcken sijn, min twee) Nu tot desen dobbelrechthouck begrepen inden drie-

+ 32. v. des 1.b.Euc.

[p. 169]

houck A B C, noch vergaert des driehoucx A C D drie houcken A C D, C D A, D A C, die oock even sijn an een dobbelrechthouck, maken t'samen twee dobbelrechthoucken, even ande vier houcken des vierhoucx A B C D: Nu tot dese twee dobbelrechthoucken begrepen inden vierhouck A B C D, noch vergaert des driehoucx A D E drie houcken A D E, D E A, E A D, die oock even sijn an een dobbelrechthouck, maken t'samen drie dobbelrechthoucken even an de vijf houcken des vijfhoucx A B C D E.

Ander voorbeelt met een verkeer den houck.

Tghegheven. Laet A B C D een verkeerdhouckighe vierhouck sijn, diens verkeerden houck is A B C. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat sijn vier houcken als A, den verkeerden houck A B C, voort C, en A D C, t'samen even sijn an twee dobbelrechthoucken. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden de rechte lini D B.

Tbewys.

Des driehoucx A B D drie houcken A, A B D, B D A,



sijn t'samen even an een dobbel rechthouck, alsoo oock sijn des driehoucx B C D drie houcken C, C B D, B D C: Daerom de ses houcken dier twee driehoucken doen t'samen twee dobbelrechthoucken: Maer de twee houcken A B D, C B D, maken t'samen den verkeerden houck A B C: S'gelijcx de twee houcken B D A, B D C, t'samen den houck A D C, daerom de vier houcken als A, den verkeerden houck A B C, C, en A D C, sijn t'samen even an twee dobbelrechthoucken. Tbeslvyt. Een rechtlinich plats houcken dan, sijn even met soo veel dobbelrechthoucken alsser houcken sijn min twee: T'welck wy bewijsen moesten.

1 Werckstvck. 2 Voorstel.

VVesende ghegheven een rechtlinich plats houcken min een: Dien onbekenden houck te vinden.

Tghegheven. Laet A B C D E een vijfhouck sijn, dienshouck A doet 60 tr. den verkeerden houck B 280 tr. C 50 tr. D 80 tr. maer E is onbekent. Tbegheerde. Wy moeten den houck E vinden.

Twerck.

Ick treck altijt twee houcken vande ghegeven houcken der form, dats hier van vijf, blijft 3, die ghemenichvuldicht met 180 tr. altijt, comt voor al de houcken	540 tr.
Daer afghetrocken de somme der vier ghegheven bekende houcken bedraghende	470 tr.
Blijft voor den begheerden houck E	70 tr.

[p. 170]

Tbewys.

Anghesien de vijf houcken t'samen doen 540 tr. en daer af ghetrocken de vier bekende houcken bedraghende t'samen 470 tr. soo moet de rest 70 tr. voor den houck E sijn.

2 Voorbeelt van een cruysvierhouck.

Tghegheven. Laet A B C D een cruysvierhouck sijn, wiens lini A D, deursnijt B C in E, waer af bekent sijn de drie houcken A, D, C, te weten A van 30 tr. D 60 tr. en C 40 tr. maer B onbekent. Tbegheerde. Wy moeten den houck B vinden.

Twerck.

De twee bekende houcken die beyde in een selve driehouck sijn, als C en D, doen t'samen deur t'ghegheven	100 tr.
Daer af ghetrocken den derden bekenden houck A van	30 tr.
Blijft voor den begheerden houck B	70 tr.

Tbewys.

De drie houcken des driehoucx als C E D, doen altijt t'samen 180 tr. alsoo oock doen de drie houcken des driehoucx A E B: Voort



soo is den houck C E D, des driehoucx C E D, even metten houck A E B des driehoucx A E B, daerom ghetrocken den houck C E D, vande drie houcken des driehoucx C E D, s'ghelijcx ghetrocken den houck A E B, vande drie houcken des driehoucx A E B, soo blijft het paer houcken C, D, altijt even ant paer houcken A, B: Maer die twee paer houcken altijt even sijnde, soovolght daer uyt dat ghetrocken den houck A, vande somme der twee houcken C, D, als int werck, dat de rest moet sijn voor den houck B.

Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een rechtlinich plats houcken min een, wy hebben dien onbekenden houck ghevonden, na den eysch.

Merckt.

Wy souden nu totte saeck comen, te weten tottet vinden der onbekende palen van alle ghegheven rechtlinighe platten: Maer ghelijck int 6 voorstel per platte driehoucken bewesen is onseen onmeughelickheyt t'ontmoeten, en gheen besluyt te connen vallen opt vinden van drie onbekende sijden des driehoucx, alsoo ontmoeten ons meer andere onmeughelickheden inde meersijdeghe platten, van welcke onmeughelickheden wy eerst de drie volghende vertooghen sullen beschrijven.

[p. 171]

2 Vertooch. 3 Voorstel.

Een rechtlinich plat drie onbekende sijden hebbende, en al d'ander palen bekent sijnde: Men can daer deur de on bekende drie sijden niet vinden.

Int 2 voorstel der platte driehoucken, is dit voorstel bewesen soo te sijn inden driehouck, maer t'selve plaets te houden in alle rechtlinighe platten, sullen wy nu bethoonen.

1 Voorbeelt van een vierhouck.

Tghegheven. Laet A B C D een vierhouck wesen op driederley soorte, d'eerste ghemeen, de tweede verkeerthouckich, de derde ghecruyst, diens vier houcken bekent sijn, met een sijde, ick neem C D, maer d'ander drie sijden als A B, B C, A D onbekent.

Tbegheerde. Wy moeten bewijsen datmen daer deur de onbekende drie sijden niet vinden en can. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden een evewijdeghe lini met een der sijden, als E F evewijdeghe met A B, wesende E in A D, en F in B C.

Tbewys.

Den houck D E F is even metten houck D A B, en C F E met C B A, sulcx dat de ghegheven ghetalen, alsser eenighe sijn, der twee houcken D A B, C B A, oock dienen voor de twee houcken D E F, C F E, en vervolgens de vijf ghegeven ghetalen der vijf bekende palen, sullen soo wel dienen voor den vierhouck E F C D, als voor den vierhouck A B C D, en als voor oneindelicke ander vierhoucken van sulcke ghedaente, waer uyt blijckt daer af gheen seker besluyt te connen ghegheven worden.

[p. 172]

Maer sooder bekent waer d'een der malcander



cruycende linien, als hier C B, met al de houcken, maer d'ander drie linien on bekent: Ick treck E F,^* evewijdeghe met A D, en dienen dan al de ghegheven ghetalen der bekende palen, soo wel voor den cruysvierhouck E B C F, en voor oneyndelijcke dierghelicke, als voor den cruysvierhouck A B C D.

* Parallela.

2 Voorbeelt van een rechtlinich plat soot valt.

Tghegheven. Laet A B C D E F een seshouck sijn met drie onbekende sijden B C, D E, F A, maer al de rest der palen bekent.

Tbegheerde. Wy moeten bewijsen datmen daer deur de drie onbekende sijden niet vinden en can. Tbereytsel. Anghesien het meughelick is ander seshoucken te maken, diens bekende palen even sijn ande ghegheven bekende, maer de onbekende oneven mette ghegheven onbekende, soo sullen wy sulcken seshouck teyckenen als volght: Ick treck eenighe oneindelicke evewijdeghe met E D, als G H, daer na A F oneyndelick voorwaert na I, en B C oneyndelick voorwaert na K, en van E tot inde oneyndelicke G H, de lini E G evewijdeghe met F I, en G I even en evewijdeghe met E F: Voort van D tot inde oneyndelicke G H, de lini D H, evewijdeghe met C K, en H K even en evewijdeghe met D C.

Tbewys.

Wy hebben hier twee seshoucken,



d'een A B C D E F, d'ander A B K H G I, sulcx dat de bekende palen van d'een, even sijn ande bekende palen van d'ander, want A en B sijn twee houcken ghemeen an d'een en d'ander seshouck, voort de houcken B C D, C D E, D E F, E F A, sijn oirdentlick vervolgende even met C K H, K H G, H G I, G I A, om de evewijdicheyt van C D met K H, en D E met H G, en E F met G I: Angaende de bekende sijde A B, sy is ghemeen van d'een en d'ander seshouck, K H is even met C D, en G I met E F, om dat C K H D, en E F G I, evewijdeghe vierhoucken sijn, deur t'bereytsel. Angaende de drie onbekende palen B K, H G, I A, die sijn oneven mette drie ghegheven onbekende palen B C, D E, F A, en openbaerlick grooter dan de selve, waer uyt blijct daer af gheen seker besluyt te connen ghegheven worden. En s'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn in alle rechtlinighe platten.

Tbeslvyt. Een rechtlinich plat dan drie onbekende sijden hebbende, en al d'ander palen bekent sijnde, men can daer deur de onbekende drie sijden niet vinden: T'welck wy bewijsen moesten.

[p. 173]

3 Vertooch. 4 Voorstel.

Soo een rechtlinich plat tvvee^⋆ evevvijdege onbekende sijden hadde, en de rest der palen bekent: Men can daer deur die tvvee onbekende sijden niet vinden.

Tghegheven. Laet A B C D E F G H een rechtlinige achthouck sijn, met twee onbekende evewijdeghe sijden als C D, H G, maer al de rest der palen bekent. Angaende de reden waer deur men weet of die twee linien C D, G H, evewijdeghe sijn of niet, bestaet hier in:



Alsmen treckt de lini H C of G D, latet sijn H C, en datmen bevint de twee houcken, G H C, D C H, t'samen te doen 180 tr. (t'welck bekent is of deur de ghegeven houcken, of wort bekent deur het volgende voorstel) soo sijnse evewijdeghe, maer die twee houcken meer of min bedraghende, sy sijn onevewijdich. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen datmen de twee onbekende sijden C D, H G, niet vinden en can.

T'bewys. By aldienmen de twee onbekende sijden C D, H G, eveveel verlangt, of eveveel vercort, soo blijven al de bekende palen openbaerlick de selve, waer deur haer ghegheven ghetalen alsser eenighe sijn, soo wel sullen dienen voor de veranderde form, als voor dese ghegheven; Waer uyt blijckt daer of gheen seker besluyt te connen gheheven worden. Tis oock deur dit voorbeelt openbaer ghenouch, de reghel ghemeen te sijn over alle rechtlinighe platten. Tbeslvyt. Soodan een rechtlinich plat twee evewijdeghe onbekende sijden hadde, men can daer deur die twee onbekende sijden niet vinden, t'welck wy bewijsen moesten.

⋆ Parallelas.

4 Vertooch. 5 Voorstel.

In een rechtlinich plat meer als drie onbekende palen sijnde, men canse deur al d'ander bekende niet bekent maken, uytghenomen een onbekenden houck als al d'ander houcken bekent sijn.

Sooder onder de onbekende palen, sijnde in ghetale meer dan drie, ick neem vier, waer een houck met drie sijden, t'is wel waer dat dien houck gevonden can worden deur het 2 voorstel deses Byvoughs, maer d'ander drie palen, nier, deur het 3 voorstel. Maer onder de vier onbekende palen twee drie of vier houcken wesende, gheen van allen soo wel sijden als houcken en connen ghevonden worden, t'welck wy hier bewijsen sullen.

Tghegheven. Laet A B C D E F een seshouck sijn, hebbende vier onbekende palen, als twee onbekende houcken C, en D E F, met twee onbekende sijden A B, E F, maer alde rest der palen bekent. Tbegeerde. Wy moe-

[p. 174]

ten bewijsen datmen die vier onbekende palen niet bekent en can maken.

Tbereytsel. Anghesien het meughelick is ander seshoucken te maken, diens bekende palen even sijn ande ghegheven



bekende, maer de onbekende oneven mette ghegheven onbekende, so laet onder de oneyndelicke menichte van verscheyden seshoucken diemen soo maken can, A G H I K F soodanighen seshouck wesen, alwaer A G deel is van A B, en G H even en evewijdeghe met B C, daer na H I even an C D, maer hebbende den houck H oneven met C, en alsoo dat I K oock even sijnde met D E, hebbe den houck I even an D, en K oneven met D E F, commende ande voortgetrocken F E, t'welck so sijnde al de bekende palen des seshoucx A G H I K F, sijn even mette bekende palen des seshoucx A B C D E F, maer al haer onbekende palen sijn met d'ander onbekende oneven.

Tbewys.

Anghesien de bekende palen des seshoucx A G H I K F, even sijn mette bekende palen des seshoucx A B C D E F, soo sullen de ghegheven ghetalen alsser eenighe sijn, soo wel dienen voor d'een als voor d'ander form, en voor oneyndelicke ander seshoucken van sulcke ghedaente, waer uyt blijckt daer af gheen seker besluyt te connen ghegeven worden. En deur dit voorbeelt van twee onbekende houcken, met twee onbekende sijden inden seshouck, is openbaer ghenouch de ghemeene reghel van drie onbekende houcken, en een sijde, oock van vier onbekende houcken, en dat in alle rechtlinighe platten. Voort anghesien vier onbekende palen niet ghevonden en connen worden, soo en sullen deur noch stercker reden meer dan vier onbekende palen, niet connen ghevonden worden. Tbeslvyt. In een rechtlinich plat dan, meer als drie onbekende palen sijnde, men canse deur al d'ander bekende niet bekent maken, uytghenomen een onbekenden houck, als al d'ander houcken bekent sijn; t'welck wy bewijsen moesten.

2 Werckstvck. 6 Voorstel.

VVesende ghegheven een platte vierhouck met vijfbekende palen, en drie onbekende niet al linien sijnde, noch oock hebbende tvvee onbekende evevvijdeghe sijden: Die drie on be kende palen te vinden.

De reden waerom datter soo in dit 6 als int volghende 7 voorstel, ten meesten maer drie onbekende palen en moeten gebreken, niet al linien sijnde, noch hebbende twee evewijdeghe sijden, is deur het 3, 4, en 5 voorstel openbaer: T'welck verstaen sijnde wy sullen totte saeck commen.

De vijf bekende en drie onbekende palen meughen vallen op sulcke achterley wijse, als mette byghevoughde vierhoucken A B C D anghewesen wort,

[p. 175]

inhoudende de drie^* afcomsten als ghemeene, verkeerthouckighe, en cruysvierhoucken, van elcx acht formen.

D'eerste drie vierhoucken sijn met drie onbekende houcken A, A B C, A D C, d'ander vijf palen bekent.

De tweede met twee onbekende houcken A, A B C en een onbekende sijde A B tusschen beyden, d'ander vijf palen bekent.

De derde met twee onbekende houcken A, A B C, en een bekende sijde A D, tusschen een bekenden en on bekenden houck, d'ander vijf palen bekent.

De vierde met een onbekenden houck A, tusschen twee onbekende sijden, d'ander vijf palen bekent.

De vijfde met twee onbekende sijden A B, A D, vervanghende een bekenden houck A, teghenover den onbekenden houck C, en vijf palen bekent.

De seste met twee onbekende sijden A B, A D, vervanghende een bekenden houck A, neven den onbekenden houck B, en vijf palen bekent.

De sevenste met twee onbekende sijden A B, D C, teghenover malcander, d'eene, als A B, tusschen een bekenden houck A, en een onbekenden houck A B C, d'ander als D C, tusschen twee bekende houcken, en vijf palen bekent.

De achtste met een onbekende sijde D C, teghenover twee onbekende houcken A, A B C, en d'ander vijf palen bekent.

Van al de welcke wy drie voorbeelden beschrijven sullen.

* Species.

Merckt.

Wy nemen in dese byghevoughde formen, al de houcken uytghenomen B des ghemeenen vierhoucx, en den verkeerden houck B, scherp te wesen. En hoewel plomphoucken int werck eenighe verandering connen veroorsaken, van seker vergaring daer aldus aftrecking gheschiet, en weer verkeert, hoe wel oock dat ghegheven rechthoucken int werck cortheyt crijghen: Doch want al de verscheydenheden te beschrijven dieder commen meughen, lanck soude vallen, en dat sulcke vergaring of aftrecking of cortheyt haer selven intwerck openbaerlick ghenouch verthoont, soo nemen wy die veranderinghen deur dese drie voorbeelden met sulcke scherphoucken voor bekent ghenouch.

Angaende de bereytselen in elck der drie volghende voorbeelden, de reghelen daer af inde selve beschreven, sijn in haer^* afcomst ghemeen over alle formen, soo wel met meer plomphoucken en met rechthoucken, als met scherphoucken.

* Specie.

[p. 176]

1 Voorbeelt van de 1, 2, 3, 4, 5, en 6 form.

Tghegheven. Laet d'eerste der voorschreven formen A B C D een ierhouck sijn, met vier bekende sijden, en een bekenden houck C.

Tbegheerde. Wy moeten de drie onbekende houcken vinden.

Tbereytsel. Ick treck de lini D B.

Twerck.

Want de vierhouck deur de lini D B ghedeelt wort in twee driehoucken, waer af den driehouck D B C drie bekende palen heeft, te weten C, B C, en C D, soo vintmen daer me d'ander drie onbekende palen deur het 5 voorstel der

[p. 177]

platte driehoucken, te weten den houck	D B C.
Den houck	B D C.
En de sijde	D B.
Twelck soo sijnde de driehouck A D B heeft drie bekende sijden, daer me vintmen de drie houcken deur het 8 voorstel, der platte driehoucken te weten den begheerden houck	A.
Den houck	A D B.
En den houck	D B A.
Inde ghemeene vierhouck en verkeerthouckighe vierhouck, vergaert D B C eerste in d'oirden, tot D B A seste in d'oirden, maer inden cruysvierhouck ghetrocken sulcke D B C van D B A, comt den begheerden houck	A B C.
Inde ghemeene vierhouck en verkeerthouckighe vierhouck vergaert A D B vijfde in d'oirden, tot B D C tweede in d'oirden. Maer in den cruysvierhouck ghetrocken sulcke A D B van B D C, comt den begheerden houck	A D C.

Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

En s'ghelijcx sal oock den voortganck sijn mette 2, 3, en 4 form, treckende de lini D B, en werckende in elck na den eysch van t'ghegheven. Angaende den 5 en 6 driehouck, alwaer mette trecking der lini D B ten eersten gheen drie bekende palen en commen inden driehouck D B C, doch wort sulcx ghecreghen met voor al te vinden den houck C deur de drie bekende ghegheven houcken, na de manier des 2 voorstels deses byvoughs.

2 Voorbeelt vande 7 form.

Tghegheven. Laet de 7 form een vierhouck sijn met twee onbekende sijden A B, D C, teghenover malcander, d'eene als A B, tusschen een bekenden houck A, en een onbekenden houck A B C, d'ander als D C tusschen twee bekende houcken, en de twee sijden A D, B C, sijn bekent.

Tbegheerde. Wy moeten die drie onbekende palen vinden.

Tbereytsel. Want deur het trecken der lini D B, noch A C, den vierhouck als int eerste voorbeelt tot gheen twee driehoucken ghebrocht en can worden, waer af d'een drie bekende palen heeft, ghelijck inde voorgaende ses formen ghebeurt, soo wordet bereytsel ghedaen als volght: Ick treck d'een der twee onbekende sijden voorwaert, tot datse gheraeckt d'ander of haer voortgetrocken in E.

Twerck.

Ten eersten soo wort mette drie bekende houcken A, D, D C B, ghevonden deur het 2 voorstel deses byvoughs den vierden begheerden houck	A B C.
De driehouck E A D heeft drie bekende palen, te weten den houck A, den houck D, en de sijde A D deur t'ghegheven, daer me vintmen deur het 4 voorstel der platte driehoucken, d'ander drie onbekende palen, te weten den houck	E.
De sijde	A E.
En de sijde	D E.

[p. 178]

De driehouck B C E heeft drie bekende palen, te weten den houck E tweede in d'oirden, de sijde B C deur t'ghegheven, en den houck B C E deur t'ghegheven, want inde verkeerthouckighe vierhouck en cruysvierhouck, isse volcommelick bekent, inde ghemeene vierhouck isse halfrontvervulling der ghegheven B C D: Daer me vintmen deur het 4 voorstel der platte driehoucken d'ander twee sijden te weten	B E.
En	C E.
Inde ghemeene vierhouck van D E vierde in d'oirden ghetrocken C E seste in d'oirden: En inde verkeerthouckighe vierhouck vergaert sulcke D E tot C E: Macr inde cruys houckighe vierhouck ghetrocken sulcke D E van C E comt de begheerde	D C.
En ghetrocken B E vijfde in d'oirden, van A E derde in d'oirden, blijft de begheerde	A B.
Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

En s'ghelijcx sal oock den voortganck sijn mette achtste form, treckende d'een der twee onbekende sijden voorwaert, tot datse d'ander of haer voorghetrocken gheraeckt: En hoewel den driehouck E A D dan gheen drie bekende palen en heeft; doch wort sulcx ghecreghen met eerst te vinden den houck A, deur de drie bekende ghegheven houcken, na de manier des 2 voorstels beses byvoughs.

3 Voorbeelt vande 8 form.

Tghegheven. Laet de 8 form een vierhouck sijn met een onbekende sijde D C, teghenover twee onbekende houcken A, A B C, d'ander vijf palen bekent. Tbegheerde. Wy moeten de drie onbekende palen vinden.

Tbereytsel. Want deur het trecken der lini D B of A C als int eerste voorbeelt, noch oock deur het voorttrecken van twee sijden als int 2 voorbeelt, den vierhouck tot gheen twee driehoucken ghebrocht en can worden, waer af d'een drie bekende palen heeft, ghelijck inde boveschreven voorbeelden ghebeurt, soo wordet bereytsel ghedaen als volght: Ick treck B E even en evewijdeghe met C D, daer na A E, en D E, die even en evewijdeghe moet sijn met C B.

Twerck.

De ghegheven houck C, ghetrocken van 180 tr. blijft (om dat E D en B C evewijdich sijn) den houck	C D E.
Daer af ghetrocken den ghegheven houck A D C, blijft den houck	A D E.
De driehouck A D E heeft drie bekende palen, te weten den houck A D E tweede in d'oirden, de sijde A D deur t'ghegheven, en D E even ande ghegheven C B deur t'bereytsel, daer me ghesocht de drie onbekende palen, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten de sijde	A E.
Den houck	E A D.
Den houck	A E D.
Daer af ghetrocken den houck B E D, die even is metten ghegheven houck C, blijft den houck	A E B.

[p. 179]

De driehouck A E B heeft drie bekende palen, te weten den houck A E B seste in d'oirden, de sijde A B deur t'ghegheven, en A E derde in d'oirden. Hier me ghesocht de drie onbekende palen deur het 5 voorstel der platte driehoucken, worden bevonden, te weten de sijde E B, welcke om haer evenheyt met D C deur t'bereytsel, oock is voor de selve begheerde	D C.
Den houck	E B A.
En den houck	E A B.
Daer af inde ghemeene en verkeerthouckighe vierhoucken ghetrocken den houck E A D vierde in d'oirden, maer inden ghecruysten vierhouck ghetrocken E A B, vanden houck E A D, blijft den begheerden houck	B A D.
En deur de drie bekende houcken B A D, C, en D, wort deur het 3 voorstel ghevonden den vierden begheerden houck	A B C.
Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Merckt.

Men soude meughen ander verscheyden manieren van bereytselen doen dan de voorgaende, en daer op ander werckinghen, maer hebbent om cortheyt met een laten ghenouch sijn. Doch want Ptolemeus tottet vinden der onbekende palen der 8 form, een ander manier van bereytsel ghebruyckt, int 9 hooftstuck sijns 10 boucx wy sullen hier met een sijn manier verclaren.

Tghegheven. Laet by voorbeelt A B C D een vierhouck sijn vande 8 soorte.

Tbegheerde. Wy moeten de drie onbekende palen



vinden, te weten de twee houcken D A B, A B C, en de sijde D C. Tbereytsel. Ick treck van A en B twee linien rechthouckich op D C, of alst noot is, op haer verlangde als A E, B F, daer na B G rechthouckich op A E.

Twerck.

De driehouck A E D heeft drie bekende palen, te weten den houck A E D recht deur t'bereytsel den houck D, en de sijde A D bekent deur t'ghegheven. Hier me ghesocht d'ander drie onbekende palen, worden bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken, te weten den houck	D A E.
De lini	D E.
En de lini	A E.
De driehouck B F C heeft drie bekende palen, te weten den houck B F C recht deur t'bereytsel, den houck C, en sijde B C bekent deur t'ghegheven. Hier me ghesocht d'ander drie onbekende palen, worden bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken, te weten den houck	F B C.
De lini	F C.
En de lini	B F.
Welcke B F even sijnde met G E, soo doet de selve G E oock soo veel, daerom die G E ghetrocken van A E derde in d'oirden, blijft bekent	G A.

[p. 180]

De driehouck A G B heeft drie bekende palen, te weten G A sevende in d'oirden, den houck A G B recht deur t'bereytsel, en A B bekent deur t'ghegheven. Hier me ghescht d'ander drie onbekende palen, worden bevonden deur het 5 voorstel der platte driehoucken, te weten de sijde	G B.
Den houck	A B G.
En den houck	B A G.
Daer toe vergaert den rechthouck G B F, metten houck F B C vierde in d'oirden, comt den begheerden houck	A B C.
Totten houck G A B neghende in d'oirden, vergaert den houck D A E eerste in d'oirden, comt den begheerden houck	D A B.
E F even sijnde met G B achtste in d'oirden, soo isse bekent, daer toe vergaert D E tweede in d'oirden, en F C vijfde in d'oirden, comt de begheerde	D C.
En met sulcke wijse van bereytsel soudemen oock meughen afveerdigen de 2, 7, en 8 soorte, en dat in alle drie de^* afcomsten der vierhoucken.
Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een platte vierhouck, met vijf bekende palen, en drie onbekende, niet al linien sijnde, noch oock hebbende twee onbekende evewijdeghe sijden: Wy hebben de drie onbekende palen ghevonden, na den eysch.

* Speciebus.

3 Werckstvck. 7 Voorstel.

VVesende ghegheven een rechtlinich plat, met al de palen bekent op drie na niet al linien sijnde, noch oock hebbende tvvee onbekende evevvijdeghe sijden: De drie onbekende palen te vinden.

Tghegheven. Laet A B C D E F een seshouck sijn, met een onbekende sijde E F, en twee onbekende houcken



E, A F E, maer al de rest der palen bekent. Tbegheerde. Wy moeten de drie onbekende palen vinden.

Twerck.

De linien daer me men de veelhouckighe platten in driehoucken of vierhoucken deelt om t'begheerde te erijghen, connen op verscheyden manieren ghetrocken worden, en onsal tot een selve besluyt brenghen: Dese linien neem ick in dit voorbeelt ghetrocken te wesen als B D, B F, deelende den seshouck in twee driehoucken B C D, A B F, en een vierhouck B D E F, waer me ick aldus segh:

De driehouck B C D heeft drie bekende palen, te weten den houck C, de sijde B C, en C D. Hier me ghesocht de drie onbekende palen, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten den houck

C B D.

[p. 181]

Den houck	C D B.
En de sijde	B D.
De driehouck A B F heeft drie bekende palen, te weten den houck A, de sijde A F, en de sijde A B. Hier me ghesocht de drie onbekende palen, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten den houck	A F B.
Den houck	A B F.
En de sijde	B F.
Ghetrocken den houck C D B tweede in d'oirden, vanden ghegheven houck C D E, blijft den houck	B D E.
Ghetrocken de twee houcken C B D eerste in d'oirden met A B F vijfde in d'oirden, vanden ghegheven verkeerden houck A B C, blijft den houck	F B D.
Dit soo sijnde, de vierhouck B D E F heeft vijf bekende palen, te weten den houck B D E sevende in d'oirden, F B D achtste in d'oirden, B F seste in d'oirden, B D derde in d'oirden, E D deur t'ghegheven. Hier me ghesocht de drie onbekende palen, worden ghevonden deur het 6 voorstels 1 voorbeelt deses byvoughs, als wesende dese vierhouck van ghedaente der 2 form aldaer, te weten den begheerden houck	E.
De begheerde sijde	E F.
Den houck	B F E.
Daer toe vergaert den houck A F B vijfde in d'oirden, comt den begheerden houck	A F E.

Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

En s'ghelijcx sal den voortganck sijn met alle rechtlinighe platten, wantse deur de bekende ghegheven palen, in driehoucken of vierhoucken ghedeelt connen worden, om daer deur de begheerde palen te vinden alsvooren.

Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een rechtlinieh plat, met al de palen bekent op drie na, niet al linien sijnde, noch oock hebbende twee onbekende evewijdeghe sijden: Wy hebben die drie onbekende palen ghevonden na den eysch.

Der Platte driehoucken

EINDE.