Oeuvres complètes. Tome XXII. Supplément à la correspondance. Varia. Biographie. Catalogue de vente

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Appendice I
Aux varia 1658-1666.

Nous savons - voyez la p. 210, ainsi que la note 4 de la p. 233, du T. XX - que déjà avant 1659 Huygens avait composé un écrit pour le mathématicien et grand-pensionnaire de Hollande, Johan de Witt, sur la méthode de Hudde de déterminer les maxima ou minima d'une expression algébrique; écrit qui ne nous est pas parvenu. Ce fut en 1659 (ou plutôt au commencement de 1660, voyez la p. 44 du T. III) que parurent les ‘Elementa Curvarum Linearum’ de de Witt, première publication - comparez la p. 217 du T. XX - où se trouve une discussion systématique des équations de deux variables du premier et du deuxième degré. Mais ce fut déjà longtemps avant 1658 - T. XX, p. 217, note 114 - que de Witt avait ‘conscripta ac pene in ordinem redacta’ ses théorèmes. Quant à la correspondance de Huygens avec lui sur ce sujet, la première lettre conservée de de Witt - de mars 1659, T. II, p. 371 - fait voir (puisqu'il écrit ‘nochmaels’), conformément à ce que nous disions au début, que les échanges de vues ou communications de théorèmes avaient commencé plus tôt, à une date qui nous est inconnue.
Nous trouvons dans le Portefeuille anonyme deux pièces d'une main étrangère, chacune de deux feuilles, dont l'une - et ceci s'applique apparemment aussi à l'autre qui traite environ le même sujet - est désignée comme ‘demonstratum opera et studio Dom: Joan: de Witt’. Celle-ci, à laquelle Huygens a ajouté une remarque sur un cercle osculateur (pour employer l'expression dont Leibniz devait se servir plus tard, voyez la p. 454 du T. XX), porte au revers de la deuxième feuille un dessin primitif au crayon d'une maison dans le genre de celle du Plein de la famille Huygens, et de quelques autres bâtiments, ainsi que le nom Philip, également au crayon. Comme le frère Philips - voyez la p. 292 du T. I - décéda en Prusse en mai 1657 le dessin est probablement antérieur à cette date, et la même remarque s'applique à la pièce considérée provenant de de Witt. Il est vrai qu'il y est fait mention, de même que dans l'autre pièce, des ‘Elementa Curvarum Linearum’ publiés en 1659, mais, comme nous l'avons dit plus haut, l'ouvrage était déjà rédigé et peut-être connu, en entier ou en partie, à Huygens en 1656 ou plus tôt.
Nous commençons ici par l'autre pièce, celle où le nom de Witt ne se trouve pas et à laquelle Huygens n'a rien ajouté. On voit que l'auteur, pour trouver un maximum, y applique vers la fin la méthode de Hudde dont il était question plus haut et qui devait être publiée - voyez les p. 230 et 437 du T. XX - par van Schooten en 1659.

In quocunque semicirculo BCD, si radius sive demidiameter AB bifariam dividatur in E, et ex eodem puncto E ad peripheriam erigatur EC; Dico rectangulum DEC sub applicata EC et abscissâ majori parte diametri, velut DE contentum maximum fore eorum omnium quae eodem modo in ipso semicirculo fieri possunt.

Si enim rectangulum DEC in ipso semicirculo non erit maximum, assumatur in ipso diametro punctum quodlibet velut G, (et sit primùm G inter B et E) erectaque ad circumferentiam perpendiculari GH, sit rectangulum DGH, si fieri possit, majus ipso DEC. Ponatur BE ∞ a, erit ED ∞ 3a, sitque GE ∞ x, eritque BG ∞ a - x, GD ∞ 3a + x, et GH ∞ , adeoque rectangulum DGH ∞

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. Porro quoniam est BE ∞ a, et ED ∞ 3a, erit EC ∞ √a⁴ [lisez: EC ∞ √3a²] et rectangulum DEC ∞ √27a⁴. Unde manifestissime apparet rectangulum DEC ipsum DGH superare, nempe illius DEC quadratum quadratum hujus DGH 18aaxx+8ax³+x⁴. Ideoque rectangulum DEC maximum. - Caeterum sit punctum G inter E et D, ac rectangulum Dgh ipso DEC



majus; ponatur iterum Eg ∞ x, eritque Bg ∞ a+x, gD ∞ 3a-x, et gh ∞ , adeoque rectangulum Dgh ∞ , et quoniam a semper major est quam x (nam si minor esset, demonstrationem ab alterâ parte diametri inciperem) erit etiam aaxx major quam ax³, ideoque 18aaxx multo majus quam 8 ax³; Quare facile patet √27a⁴ sive rectangulum DEC majus esse quam sive rectangulum Dgh, hoc est, cum punctum g sive G utcunque assumpta sint, majus quam caetera omnia rectangula, quae eodem modo in ipso semicirculo describi possunt. Ideoque si in quocunque semicirculo radius sive semidiameter bifariam dividatur, et ex ipso puncto ad peripheriam perpendicularis erigatur, erit rectangulum sub majori abscissâ parte diametri, et applicatâ contentum, maximum eorum omnium, quae eodem modo in ipso semicirculo describi possunt, quod demonstrandum erat.

Ce qui précède peut être considéré comme un Lemme.

Datâ curvâ BCM cujus vertex B, axis BN, quaeque ejus est proprietatis ut quadratum parametri AB ductum in interceptam quamlibet axis partem, ut in BE, aequale sit cubo applicatae, ut EC (describitur autem ea curva geometrice motu et intersec-

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tione iisdem, quibus Parabola describi Cap. 4. Lib. 1. Elem: Curvar: demonstratum est¹⁾, dummodo loco anguli, qui ibidem exprimitur per EBH, assumatur Parabola quaelibet, cujus axis sit in rectâ, quae illic exprimitur per BE, et vertex in puncto, quod ibidem designatur per B, ita ut loco rectae, quae ibi est BH succedat curva Parabolae



assumptae:) invenire BD axis partem ejusdem longitudinis ut descripto super eâ semicitculo, maximum in eo rectangulum, contentum sub parte diametri a D versus B interceptâ, et sub applicatâ nempe DEC rectangulum, aequale sit quadrato parametri, qui quidem descriptus circulus datam curvam, ut postea demonstrabitur, tanget in C; ac praeterea ex centro ipsius circuli ad curvam ducere rectam iK, quae sit maxima earum omnium, quae ex i inter B et C, ad eandem curvam duci possunt.

1) Les ‘Elementa Curvarum Linearum’ ne contiennent pas uniquement la discussion des lieux représentés par des équations algébriques du premier et du deuxième degré de deux variables. On y trouve aussi des théorèmes sur la description mécanique de courbes du deuxième degré. C'est ainsi que dans le théorème cité dans le texte il est question de la genèse d'une parabole: celle-ci y est le lieu d'un point obtenu par intersection de droites se déplaçant suivant une certaine loi. Il est parfaitement exact que lorsqu'on remplace une de ces droites, comme le dit le texte, par la parabole dont il y est question, le lieu du point considéré d'intersection devient une courbe du troisième degré; courbe dont l'équation - nous ne parlons que de la partie située au-dessus de l'axe des x - peut s'écrire ax²=y³.

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Ponamus rem omnino factam, nempe BCD esse circulum quaesitum, et maximum in eo rectangulum DEC, eritque BE quadrans diametri, et cum ED in ratione tripla ut supra demonstratum est. Porro sit latus rectum ∞ a, et BE ∞ x, erit ED ∞ 3x, et EC ∞ √3xx, ideoque rectangulum DEC ∞ √27x⁴ ∞ aa quadrato Parametri, sive 27x⁴ ∞ a⁴, et x⁴ ∞ a/27, adeoque x ∞ . Fiat igitur BE ∞ et ED ∞ 3 , sive , describaturque super BD circulus; dico, erectâ ex puncto E perpendiculari EC, circulum secante in C, maximum in eo rectangulum DEC (quia BE et ED in ratione triplâ sunt ut supra demonstratum est) aequale esse quadrato parametri, et praeterea eundem circulum datam curvam tangere in eodem puncto C. Etenim cum rectangulum DEC aequale sit AB quadrato, erit DEC in EB, seu DEB in EC id est cubus ex EC aequalis quadrato AB in EB, ideoque punctum C in curva. Porro sumpto in peripheriâ BCD alio utcunque puncto G, applicataque GF, quae curvam secet in H, erit ex constructione DFG rectangulum minus rectangulo DEC, hoc est quadrato AB, ideoque et DFG in BF, seu DFB in FG, hoc est cubus ex FG minor quadrato AB in BF, hoc est cubo ex FH, adeoque et recta FG minor quam recta FH, et per consequens punctum G in peripheria BCD, praeter B et C utcunque assumptum, id est caetera omnia peripheriae BCD puncta intra curvam: unde patet circulum BCD curvam tangere in puncto C. Denique quoniam BE ∞ est , et ED ∞ √√3a⁴, erit EC ∞ √⅓aa, adeoque rectangulum maximum DEC (ut supra demonstratum est:) ∞ √√a⁸, sive aa, aequale quadrato parametri: quod faciendum et demonstrandum erat. Porro ad ducendam rectam lineam a puncto i, praedicti circuli centro, ad curvam, quae maxima earum omnium est quae ex eodem puncto ad ipsam curvam inter B et C duci possunt, rursus supponamus rem factam, et iK eandem maximam esse, sitque iterum Parameter ∞ a, applicata KL vero ∞ x, et quoniam BE ∞ , ac ED ∞ √√3a⁴, erit BD ∞ , adeoque Bi ∞ , et LB ∞ x³/aa. Li vero ∞ -x³/aa, unde cum Li quadratum cum quadrato LK aequale sit quadrato Ki, erit +x⁶/a⁴-2x³/aa in +xx ∞ quadrato alicujus maximi, quae sit z, nempe ∞ zz, sive x⁶/a⁴-2x³/aa+xx+-zz ∞ 0.

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sive x⁶-2a³x³+a⁴xx+a⁶-a⁴zz. Quae aequatio, cum duas aequales radices habeat, multiplicanda est per Arithmeticam progressionem, secundum D. Huddenii regulam, ut sequitur:



sive x⁴ * *-a³x+⅓a⁴ ∞ 0. Caeterum ut signum radicale ex aequatione auferatur, sit y ∞ x√√3, eritque x ∞ y/√√3, quo substituto loco ipsius x, et ejusdem quadratoquadrato loco x⁴, habebitur



Unde aequationis solutio per datam curvam, ac proinde maxima earum omnium quae ex puncto i inter B et C, ad curvam duci possunt, facile perspicua est: etenim si fiat BO in axe aequalis parametro, centroque O, intervallo vero ejusdem OB circulus describatur, secans curvam in P et R, prima tantum ad solutionem aequationis utilis erit, quia altera in ipsius circuli centro cadet, cum parametro aequalis sit; Quare igitur si fiat PM ad MQ, sicut DE ad AB, id est ut √√3 ad 1, ductaque QK ipsi BO parallela, curvam secante in K, jungatur iK, eadem iK maxima earum omnium erit, quae ex i ad curvam inter B et C duci possunt. Cum enim AB sive BO sit a, si ponatur PM ∞ y, erit BM ∞ y³/aa, et MO ∞ a-y³/aa, est vero quadratum MO una cum quadrato MP, aequale quadrato OP seu OB, quare erit y⁶/a⁴-2y³/a+aa+yy∞aa sive y⁴-2a³y+a⁴ ∞ 0, et patet PM ∞ esse y ex aequatione y⁴-2a³y+a⁴ ∞ 0. Verum enimvero quoniam y∞x√√3 posita fuit, erit eadem y ad x sicut √√3 ad unitatem, est autem ex constructione PM ad MQ, sive ad LK, pro quâ x primo posita fuit, sicut √√3 ad 1: manifestum est igitur ipsam MQ fore ∞ x ex aequatione x⁴-a³x+⅓a⁴ ∞ 0, adeoque Ki maximam earum omnium, quae ex puncto i ad datam curvam inter B et C duci possunt, quod faciendum ac demonstrandum erat.

[p. 209]

La deuxième feuille a le texte suivant (également d'une main étrangère, comme nous l'avons dit):

Curva BCM, cujus vertex B, diameter BN, ejus est proprietatis ut quadratum parametri AB, ductum in interceptam quamlibet diametri partem, ut in BE, aequale sit cubo applicatae ut EC; Describitur autem ea curva geometrice motu et intersectione iisdem, quibus Parabolam describi, Cap. 4. Lib 1 Elem: Curv. demonstratum est, dummodo loco anguli, qui ibidem exprimitur per EBH, assumatur Parabola²⁾ quaelibet, cujus axis sit in rectâ, quae illic exprimitur per BE, et vertex in puncto, quod 'bidem designatur per B, ita ut loco rectae, quae ibi est BH, succedat curva Parabolae assumptae.

Demonstrandum curvam BHCM, supra expositam, per Circuli peripheriam in sex diversis punctis secari posse.

Sumptâ BD diametri parte ejus longitudinis, ut descripto super eâ circulo BCD, maximum in eo rectangulum contentum sub parte diametri a D versus B interceptâ et sub applicatâ, nempe DEC rectangulum aequale sit quadrato parametri AB. Dico primum punctum peripheriae non B solum, sed et C esse in curvâ expositâ; Etenim, cum DEC aequale sit AB quadrato, erit DEC in EB, seu DEB in EC, id est cubus ex EC, aequalis quadrato AB in BE, ideoque punctum C in curvâ. Dico porro caetera

2) Le mot ‘Parabola’, écrit entre les lignes, avait apparemment été omis par erreur en copiant ce passage absolument conforme à un passage de la première Pièce. La deuxième Pièce est donc certainement postérieure en date à la première.

[p. 210]

omnia peripheriae BCD puncta cadere intra curvam BHCM: Sumpto enim in peripheria BCD alio utcunque puncto G, applicataque GF, quae curvam secet in H, erit ex constructione rectangulum DFG minus rectangulo DEC hoc est quadrato AB, ideoque et DFG in BF, seu DFB in FG, hoc est cubus ex FG minor quadrato AB in BF, hoc est cubo ex FH, adeoque et recta FG minor quam recta FH, et per consequens punctum G in peripheria BCD, praeter B et C utcunque assumptum, id est caetera omnia peripheriae BCD puncta intra curvam. Ducta itaque ex circuli BCD centro I ad curvam recta IK, maxima earum omnium, quae ex I inter B et C ad curvam duci possunt, quae secet peripheriam in L. Manifestum est circulos omnes centro I, ac quolibet intervallo majore quam IL, minore vero quam IK descriptos pluresque alios curvam BCM in sex diversis punctis³⁾ secare.

Non hic adjectum est quo pacto geometrice inveniatur longitudo BD, ita ut omnium, quae in semicirculo DCB modo supra expresso, fieri possunt, rectangulorum maximum (ut DEC) aequale sit quadrato AB; nec etiam qua proportione secanda sit circuli diametro uti hic factum in E, ut rectangulum sub majori parte et applicata velut hic DEC, sit omnium similium in eodem circulo rectangulorum maximum, ut nec qua methodo maxima IK ducatur. Quoniam haec omnia Geometris obvia sunt, nec vis demonstrationis ex hisce dependet.

Demonstratum Operâ et studio Dom: Joan: de Witt.

Huygens ajoute ce qui suit.

Si AB vocetur a, BI debet esse







Et IE ∞ ½ BI.

C'est exact, comme on peut aisément le vérifier.

3) Savoir 3 au-dessus et 3 au-dessous de la droite AN en supposant celle-ci axe de symétrie (voyez sur cette symétrie notre remarque à la fin de la Pièce).

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Si sumatur BM ∞, quae minor est quam BI. Et BN ∞ ¼ BM, deinde applicetur ordinatim NO, et centro M, radio MO circumferentia describatur OPQR; haec curvam BO in puncto O simul tangit et secat.

Nous ne voyons pas comment Huygens a obtenu ce résultat, mais nous avons vérifié que c'est bien pour le point de la courbe indiqué par lui que le centre de courbure, ou centre du cercle osculateur, tombe sur l'axe des x, l'équation de la courbe étant a²x=y³.
Cette équation - Huygens l'a bien vu, puisqu'il l'indique au crayon dans sa figure; nous devons donc aussi le remarquer en passant - ne représente pas une courbe symétrique par rapport à l'axe des x.
On voit qu'avant 1658 il s'intéressait déjà à ce qu'il appellera plus tard le rayon de courbure; comparez la note 2 de la p. 288 du T. XVII, ainsi que les p. 42-43 du T. XVIII. Il est vrai que la présente remarque pourrait avoir été ajoutée plus tard.