Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 471]

VIII¹⁾.
Calcul de logarithmes en partant de la considération de l'hyperbole equilatère.
[1691]

NG hyperbola asymptotis DA, DC [Fig. 96]. quadratum ejus ND.

Ad inveniendum logarithmum rationis NE ad GC sive CD ad DE, secetur EC bifariam in B, et formetur fractio cujus numerator ad denominatorem ut EB ad BD.

[Fig. 96]

quae fractio vocetur d. Erit jam d + d³/3 + d⁵/5 + d⁷/7 &c bis sumptum ad 1, ut spat. NGCE ad qu. AE. hoc est ut logarithmus hyperbolicus rationis NE ad GC, seu rationis CD ad DE ad 1²⁾.

Fractio autem d commodè talis accipietur ad inveniendos logarithmos ut sit EB ad BD sicut unitas ad numerum. velut si inveniendus sit logarithmus rationis 2 ad 1. hoc est logar. 2, erit CD ad DE ut 2 ad 1, unde EB ad BD ut 1 ad 3, et d fractio erit ⅓. Unde lib. G pag. 46³⁾ inventus est logar 2. Invento autem log.^o 2, habebitur log. 3, si inveniatur log. 9/8 nam addito tunc log.^o 8 qui notus est ex log.^o 2. habebitur log. 9 cujus dimidium est log. 3.

[Fig. 97]

Sit jam ergo NE ad GC, seu CD ad DE ut 9 ad 8 [Fig. 97]. Eritque bisectâ EC in B, ratio EB ad BD quae 1 ad 17, et fractio d ∞ 1/17, per quam itaque habebitur log. 3. Hinc porro ad log. 5 progrediemur, quaerendo logar. 25/24, nam ad hunc addendo log. 24 qui ex log.^is 2 et 3 cognoscitur, (quia 24 fit ex 2.2.2.3) habebitur log. 25, cujus dimidium est log. 5.

Itaque hic ponendo CD ad DE ut 25 ad 24, fit EB ad BC ut 1 ad 49; unde d ∞ 1/49.

1) Manuscrit H, p. 2-3 (numération de Huygens). Les dates 1 Oct. 1691 et 19 Dec. 1691 se trouvent respectivement aux p. 153 du Manuscrit G et 8 du Manuscrit H.

2) Voyez l'endroit, datant également de 1691, du T. X que nous citons dans la note suivante; nous y renvoyons le lecteur aussi à la Pièce II de 1691 de la p. 27 du T. X.

3) Huygens a noté sur la p. 2 du Manuscrit H: Ex libro G. pag. 46. Il s'agit dans cette remarque de la Pièce que nous avons reproduite aux p. 45-47 du T. X. Voyez aussi la note 13 de la p. 535 du T. IX, où nous avons exposé en quoi la série quadratice de Huygens diffère d'une série fort semblable, et pourtant tout autre, de Leibniz.

[p. 472]

Sic porro ad log. 7 pergemus quaerendo log. 49/48, cui addito log.^o 48 (qui noscitur ex log.^is 2 et 3) fiet log. 49 cujus dimidium est log. 7. Et sic ponendo CD ad DE ut 49 ad 48 fit EB ad BD ut 1 ad 97, et hinc fractio d ∞ 1/97.

Denique ita semper a minoribus ad majores numeros primos procedendo, invenientur eorum logar.ⁱ ex logarithmo fractionis cujus numerator est quadratus numeri Primi propositi. et denominator tantum unitate minor, et fractio d fiet unitas divisa per duplum istius denominatoris. Cujus quidem denominatoris logarithmus semper dabitur ex logarithmis praecedentium numerorum Primorum jam inventis. Imo ex ijs tantum qui numeri Primi pro[po]fiti atque unitate aucti dimidium non excedunt.

Sic numeri 13 logarithmus invenietur ex fractione 169/168, et fractio d erit 1/336. Et denominatoris 168 logarithmus dabitur ex logar.^is 2.3 et 7. qui numerus 7 est , nec major aliquis compositionem ingredietur. Ratio est quia si numerus Primus cujus novissimè logarithmus quaeritur dicatur a, fit ejus quadratum unitate multatum aa - 1, denominator nempe fractionis cujus logarithmum ex jam inventis dari diximus. Qui itaque denominator divisibilis est per a + 1 et per a - 1. qui uterque est numerus par ideoque per 2 dividitur, quaecunque igitur pars aliquota fuerit dicti denominatoris aa - 1, eam oportet partem aliquotam esse numeri vel , ac proinde non major saltem potest esse quam ipse numerus , hoc est quam numerus primus de quo agitur unitate auctus ac per 2 divisus, quod erat ostendendum.

Tales quidem formando fractiones d, compendio obtinebimus logarithmos numerorum Primorum. Si vero quaeras an nunquam majori quoque brevitate uti liceat, dicam aliquando licere. velut cum log. 7 ex fractionis 49/48 logar.^o invenimus: potuit idem log. 7 elici non tantum ex log.^o fractionis 50/49; unde fractio fit 1/99; sed et ex log.^o fractionis 64/63, unde fit fractio d ∞ 1/127. Nam dato log.^o 50/49, quia etiam log. 50 datur ex log.^is 2 et 5, dabitur et log. 49 cujus dimidium est log. 7. Nempe ab log.^o 50 auferendo log. 50/49, fiet log. 50 50/49, hoc est log. 49. Item dato log.^o 64/63 dabitur quoque log. 63, auferendo ab log.^o 64, log. 64/63. Datur autem log. 64, ex invento log. 2. Et ex log. 63 auferendo log. 9, qui datur ex invento prius log.^o 3, remanebit log. 7 quaesitus. Et in universum quidem quando propositi numeri Primi potestas aliqua praeter quadratum vel potestatis ipsius multiplex aliquis (per ipso majorem, sed omnes partes

[p. 473]

aliquotas ipso eodem numero Primo minores habentem) demtâ vel additâ unitate facit numerum cujus singulae partes aliquotae ipso numero Primo minores sunt (sicut accidit cum 7 multiplicatur per 9) formabitur fractio utilior quam ex regula praecedente: cujus fractionis numerator et denominator erunt multiplex ille et idem + vel - 1. Sed raro aut certe non facilè talis multiplex invenitur. Aliquando vero invenire impossibile est. ut si quaeram ad inveniendum log. 3 alium ejus multiplicem, praeter quadratum ejus 9, qui utilius adhibeatur, frustra quaeram. Hic enim multiplicans numerum 3. vel potestatem ejus deberet esse aliqua potestas numeri 2. quia nullus alius est numerus cujus quaelibet pars aliquota sit minor 3. Atqui potestas numeri 2 multiplicans 3, vel potestatem ejus, producit numerum parem, qui vel auctus vel diminutus unitate relinquit imparem, qui non potest habere quamlibet partium aliquotarum minorem 3, hoc est, qui non potest esse potestas aliqua numeri 2. Sed forsan potestas aliqua numeri 3 (praeter quadratum) aucta vel multata unitate, facit potestatem aliquam numeri 2. quo casu quoque utiliorem fractionem dari diximus.