Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695

II²⁾.
Rapports des longueurs des cordes consonnantes suivant pythagore, et rapports des nombres de leurs vibrations suivant galilée et d'autres savants.

§ 1. L'origine du chant vient des consonances, je dis du chant d'une seule voix ou instrument aussi bien que de celuy a plusieurs voix dont on use aujourd'huy. Car ce plaisir que l'on prend d'entendre les consonances n'est pas seulement a l'egard de deux sons consonants en mesme temps, mais il y en a tout de mesme a entendre ces tons les uns apres les autres. Et comme l'oreille est offensée par la dissonance de deux sons entendus a la fois, ainsi l'est elle encore par ces mesmes sons proferez de suite, quoyque la rudesse ne soit pas tout a fait si grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) Portefeuille 27 (Musica). f. 56 et suiv. La Pièce n'est pas datée.

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Or les premiers sons de musique doivent avoir estè ceux qui faisoient ensemble les plus remarquables consonances comme l'octave la quinte et la quarte. ainsi V F S V²¹⁾. et cela se voit en effect de ce que les premieres lyres n'ont eu que ces quatre chordes, et que toute l'antiquitè n'a reconnu que ces premieres consonances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puisque les intervalles du chant ont leur origine des consonances, il est necessaire de les considerer devant toute autre chose, apres quoy nous dirons comment les dits intervalles en ont estè produits. Le plaisir qu'on a eu d'entendre deux sons soit de voix, chordes, chalumeaux ou autre chose qui fissent un agreable meslange ensemble a donné lieu d'examiner quel estoit le raport de tels sons, en quoy ils differoient des autres qui ne s'accordoient pas si bien, et comment on pouvoit trouver ces sons consonnants par regle certaine toutes les fois qu'on voudroit.

Ie veux bien croire que ce fust Pythagore qui s'avisa le premier de faire cette recherche, car il avoit l'esprit portè a la recherche des choses naturelles et tres beau, non pas toutefois que les marteaux du marechal luy en aient donnè occasion²⁾ car des pieces de fer²⁾ de la forme qui sert a cela ne sont nullement sonores. Il se peut qu'il ait rencontrè des pièces de quelque metail mieux formees pour sonner que les marteaux et qu'il ait remarquè que de celles qui estoient semblables les plus grosses sonnoient plus bas. Et il pouvoit determiner par leur different poids la proportion des consonances, parce qu'il est vray que de deux pièces de metal semblables celle qui est double de poids de l'autre luy consonne de l'octave plus bas. et celle qui est sesquialtere en poids fait la quinte en bas. et ainsi des autres³⁾. Quelques anciens autheurs de musique racontent qu'après cela il attacha des poids suivant ces proportions trouvees

1) L'échelle diatonique étant V R M F S L C V².

2) L'histoire des marteaux se trouve au Ch. VI (Πῶς οἱ ἀριϑμητιϰοὶ τῶν φϑόγγων λόγοι ηὑρέϑησαν) du Ἁρμονιϰὸν Ἐγχειρίδιον de Nicomachus Gerasenus (publié dans les ‘Musici scriptores graeci’, éd. Carolus Janus, Lipsiae, Teubner, 1895). Nicomaque dit expressément que tous les marteaux étaient en fer. Huygens le lisait sans doute dans les ‘Antiquae Musicae Auctores septem’, publiés par M. Meibomius en 1652.
La même histoire est racontée par Boèce ‘De Institutione musica libri V’, que Huygens connaissait également (portefeuille Musica); mais Boèce ne parle pas de marteaux de fer. On trouve une traduction de son récit (livre I, ch. 10-11) à la p. 840 de l'‘Histoire des Sciences. Antiquité’ par Pierre Brunet et Aldo Mieli (Biblioth. scientif. Payot, Paris, 1935).

2) L'histoire des marteaux se trouve au Ch. VI (Πῶς οἱ ἀριϑμητιϰοὶ τῶν φϑόγγων λόγοι ηὑρέϑησαν) du Ἁρμονιϰὸν Ἐγχειρίδιον de Nicomachus Gerasenus (publié dans les ‘Musici scriptores graeci’, éd. Carolus Janus, Lipsiae, Teubner, 1895). Nicomaque dit expressément que tous les marteaux étaient en fer. Huygens le lisait sans doute dans les ‘Antiquae Musicae Auctores septem’, publiés par M. Meibomius en 1652.
La même histoire est racontée par Boèce ‘De Institutione musica libri V’, que Huygens connaissait également (portefeuille Musica); mais Boèce ne parle pas de marteaux de fer. On trouve une traduction de son récit (livre I, ch. 10-11) à la p. 840 de l'‘Histoire des Sciences. Antiquité’ par Pierre Brunet et Aldo Mieli (Biblioth. scientif. Payot, Paris, 1935).

3) Nous ne comprenons pas comment Huygens a pu parler de cette façon. Il ne s'agit pas ici, paraît-il, d'une simple méprise. En effet, après la phrase qui se termine par les mots ‘ne sont nullement sonores’ il avait d'abord écrit: ‘et la proportion de leur poids a l'egard de leur tons n'auroit pas estè celle que les autheurs de cette histoire disent [nous soulignons]. Il est donc plus vraisemblable qu'il ait d'abord recherchè les consonances par le moyen des chordes tendues et divisees en certaines parties’. Mais il biffa ces phrases pour leur substituer une assertion apparemment incorrecte.
Il est en effet certain que ce n'est pas le poids double, mais le poids octuple d'un objet résonnant semblable du même métal qui donne l'octave.
Or, ceci était fort bien connu. Dans ses ‘Harmonicorum libri’ (‘Harmonic. instrumentorum lib. 4 de campanis’, Prop. VII) Mersenne dit que les dimensions linéaires d'une cloche doivent être doublées ‘ut ... campana ... habeatur quae facit Octauam cum prima’. Dans le ‘Harmoniae lib. IV’ (p. 364 des ‘Cogitata physicomathematica’ de 1644) il dit expressément: ‘Praeter hoc in eo libro [manuscrit de Ioannes Faber] mihi placuit primò quod plurimis obseruationibus nitatur, quibus rectè concludit 4 malleos in ea ratione, quam Pythagorae tribuunt, diapasonis diuisionem in Quintam et Quartam minimè facere, atque adeo falsum esse hinc illum rationes harmonicas desumpsisse’.
Huygens fait mention, dans une Pièce de 1672 [T. XIII, dernier alinéa de la p. 804], de ‘la regle des fondeurs, qui doublent le diametre des cloches qu'ils veulent avoir a l'octave l'une de l'autre’.

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a des chordes pour les tendre, et qu'il trouva que le poids double tendoit la chorde a l'octave plus haut, et le sesquialtere a la quinte, ce qui est faux: et si ces autheurs s'estoient donnè la peine de faire l'experience ils auroient trouvè qu'il faut le poids quadruple du premier pour faire monter une chorde a l'octave. qu'il faut qu'il soit comme 9 a 4 pour faire la quinte, et qu'universellement la raison des poids doit estre double de celle qui determine les consonances par les parties d'une chorde tendue⁴⁾. Si Pythagore a donc aussi examinè les consonances par des chordes tendues par des poids differents, il a trouvè la chose comme je viens de dire, mais ce n'est pas d'icy qu'il a establi les proportions des consonances, mais par la division de la chorde ou du Canon comme ils appelloient cela anciennement.

Or, il n'est pas necessaire que je m'arreste longtemps a expliquer toutes les consonances qui se trouvent par ce moyen et quelles sont leur proportions, puis qu'elles sont si fort connues. On scait que l'octave consiste en la raison double, c'est a dire y ayant deux chordes pareilles en tout et tendues egalement, dont l'une soit double en longueur de l'autre, la consonance qu'elles font s'appelle octave. Que la quinte se fait quand l'une est a l'autre comme 3 a 2. la quarte quand elles sont comme 4 a 3. la tierce majeure quand elles sont comme 5 a 4, la tierce mineure quand la raison est de 6 a 5. la sexte majeure quand elle est de 5 a 3. la sexte quand elle est de 8 a 5.

Ce sont la toutes les consonances que l'on compte dans l'estendue de l'octave estant toutes de moindre raison que de 2 a 1. Mais outre ces consonances il y en a encore beaucoup d'autres que l'on appelle les repliques des premieres, dont l'origine est cellecy, que quand deux chordes telles que nous avons dit font ensemble quelqu'une des

4) Nous avons fait mention à la p. 486 du T. XVIII des lois empiriques de Mersenne sur les vibrations des cordes. La Prop. VIII du Livre II des ‘Harmonicorum libri’ est: ‘Ut neruus datus sonum datum efficiens ad sonum acutiorem ascendat, à viribus tendi debet, quae saltem rationem habeant duplicatam interualli, ad quod perueniendum est’. Dans ses ‘Discorsi’ de 1638 Galilée dit de même (p. 100): ‘Che se [una corda] prima era tirata dal peso d'una libbra, conuerrà attaccaruene quattro per inacutirla all' ottaua’, etc.

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consonances desia nommees, l'on trouve que toute chorde dont la longueur est double ou sousdouble ou autrement multiple par 2 ou sousmultiple a l'une des consonances, fait aussi consonance avec l'autre ou mesme avec la multiple ou sousmultiple par 2 de cette autre, ainsi la raison des chordes estant de 5 a 4, qui font la tierce majeure, celle qui sera de 10 a 4 fera aussi une consonance qui s'appelle la dixieme, qui est une des repliques de la 3 majeure, et sa proportion dans les autres nombres est de 5 a 2.

Ainsi parce que les chordes de 3 a 2 font la 5^te, ce sera aussi une consonance que de 6 a 2 ou de 3 a 1, que l'on appelle la 12^e, et c'est une replique de la 5^te. Et la raison pourquoi cela arrive est la mesme qui fait la douceur des autres consonances.

§ 2. Quand on examine les tremblements des chordes ce que je pense que Galilee a fait le premier¹⁾, on trouve que leurs retours sont plus frequents, selon qu'elles sont plus courtes et que les nombres des vibrations sont precisement dans la raison converse de leurs longueurs. J'entens tousjours parler de chordes pareilles en tout et egalement tendues comme quand on y pend des poids egaux. Ainsi celle qui est la moitiè aussi longue qu'une autre fait 2 tremblements pendant que l'autre n'en fait qu'un. Celle qui est comme 2 a 3 fait 3 tremblements pendant le temps que l'autre en fait 2. et ainsi des autres consonances. Et parce que cela fait que celles qui ont leur longueur comme nombre a nombre vienent a frapper l'air ensemble par intervalles reglez en y meslant entre deux des battemens confus mais de mesme facon a chaque reprise; c'est cette percussion ordonnée de l'air, qui, agissant dans nostre oreille produit le plaifir des consonances. non pas toutefois que l'esprit puisse aucunement compter ni discerner ces battemens ni contempler leur commensurabilité, car il n'y intervient aucun raisonnement, mais il les trouve agreables de mesme que l'odorast goute la douceur des parfums, et que les autres sens se plaisent à d'autres objects qui les peuvent toucher. Et je croy que ce seroit en vain de vouloir chercher la cause de ces plaisirs plus loin.

1) Voyez la note suivante.
Quiqu'on n'eùt pas réussi, paraît-il, avant Galilée à mesurer directement les nombres des vibrations correspondent à des tons déterminés, on avait cependant fort bien compris que les hauteurs des tons dépendent de ces nombres. ‘Mersenne formule exactement - dès 1623 (Quaestiones celeberrimae in Genesim, col. 1559-1561) - la première partie de la loi qui porte son nom, en disant que la longueur des cordes est en raison inverse du nombre des vibrations, indiquant ainsi le moyen d'appliquer certaines propriétés des tons des cordes aux cordes d'autres instruments. Signalons toutefois qu'une démonstration rigoureuse de cette loi avait été découverte dès 1616 par Isaac Beeckman, qui l'avait communiquée en 1618 à son ami Descartes’ (p. 136, note 1 du T. I de la ‘Correspondance du P. Marin Mersenne’ par M.^me P. Tannery et C. de Waard). Cette démonstration - rigoureuse, si l'on veut - vient de paraître dans le T. II de 1936 de la méme ‘Correspondance’ (p. 234-236).

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Quod dixi, que les nombres des retours des chordes sont en mesme raison pourroit sembler estre avancè sans preuve, puisque la vitesse des chordes qui font entendre quelque ton est trop grande pour que l'on puisse compter ses retours. Mais il y a en premier lieu l'experience dont s'est servi Galilee qui dit avoir observè en ratissant avec un cousteau sur du cuivre que comme ce ratissement produisoit diversitè de tons il laissoit aussi des marques visibles des tremblements du cousteau qui estoient deux fois plus pres que les premieres lors que le son avoit estè a l'octave plus haut. Ou il faut supposer le mouvement de la main egalement viste a tous les ratissemens²⁾. Mais on peut avoir la preuve par les chordes mesmes en les prenant fort longues et peu tendues, et quoyqu'elles ne sonnent pas, il suffira de voir que la chorde entiere fasse ses tremblements deux fois plus lents que sa moitiè parce qu'on ne pourra douter alors que dans celles qui sonnent il n'arrive la mesme chose. Au lieu de chorde fort longue on en peut prendre de courtes, mais chargees tout du long egalement de la maniere que les coliers de perles ou chapelets sont enfilez. lesquelles on tendra toutes perpendiculaires avec un poids au bout.

Voyez aussi la Pièce IX qui suit sur la détermination expérimentale par Huygens de la fréquence des vibrations d'un corps produisant un ton déterminé.

2) Vers la fin du ‘Dialogo primo’ des ‘Discorsi e dimostrazioni’ de 1638 un des interlocuteurs dit que ‘il numerar le vibrazioni d'una corda ... è del tutto impossibile’, ce qui donne à un autre l'occasion de raconter l'expérience des ratissements, dont ‘l'inuenzione fù del caso’.