Oeuvres complètes. Tome XVII. L'horloge à pendule 1656-1666

[p. 125]

II
Pièces correspondant à quelques parties de la pars secunda de l'‘Horologium oscillatorium’ de 1673, intitulée ‘De descensu gravium & motu eorum in cycloïde’.¹⁾
[1659]²⁾.

§ 1³⁾. Cadentia gravia accelerare cum tempore motum suum animadvertimus vel ex sola percutiendi vi quae multo major est ex magna quam ex parva altitudine cadentibus. Hoc autem ex eo proculdubio fieri intelligimus, quod et semel acquisitam velocitatem retinent, et nova continuè ijs adjicitur; nam si ab aliquo jam spatio cadentia exciperet locus aliquis ubi nulla gravitatis actio sentiretur, scimus acquisitam velocitatem ibi tamen perseveraturam. Nunc autem non in talem locum deferuntur sed ubique eadem praesto est vis gravitatis. Ergo semper ei quae jam ipsis adest celeritati aliquam insuper accidere necesse est: Quod quo pacto fiat ut clarius intelligatur seorsim uterque motus considerandus est, nempe quem acquisitum retinet, quemque denuo acquirit. Cogitemus globum A [Fig. 30] impositum planae superficiei mensae DC⁴⁾, eumque vi elateris cujuspiam vel potius attractum à pondere D, decurrere a B ad C, atque hoc spatium uno temporis secundo conficere qualicumque motu nihil

1) Voir les notes 13 de la p. 121, 1 et 2 de la p. 122: les cinq Pièces qui contiennent la découverte de la propriété de l'isochronisme des oscillations cycloïdales et la démonstration rédigée en 1659 ont déjà été publiées aux p. 392-412 du T. XVI. Quant à la Sixième Pièce (T. XVI, p. 412-413), elle date peut-être d'un peu plus tard; comparez la note 2 de la p. 172 qui suit.

2) Les §§ 1-12 qui suivent sont empruntés aux p. 160-172 du Manuscrit A. La p. 158 porte la date du 23 octobre 1659 et la p. 176 est datée: 15 novembre 1659. La division en §§ est de nous.

3) On peut comparer avec le § 1 les Prop. I-II de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’ (voir cependant la fin de la note 1 de la p. 126). - On lit en marge: ‘haec omnia post tractatus de impulsu et vi vertiginis’. Eu égard au deuxième alinéa du sommaire de 1660 (voir la p. 120 qui précède), il s'ensuit - voir aussi la note 2 de la p. 118 - que Huygens avait en 1660 l'intention de publier les deux traités nommés après (ou peut-être avant) l'‘Horologium’ amplifié et d'y joindre ‘haec omnia’, de sorte que dans l'‘Horologium’ amplifié il pourrait y renvoyer le lecteur.

4) Lisez: BC.

[p. 126]

[Fig. 30]

enim refert. patet autem celeritatem quandam globo A acquisitam fore cum pervenerit ad C.

Jam porro altero temporis secundo mensa haec cum superimposito globo A in navi aliqua consistere fingatur, quae navis sinistram versus aequabili celeritate provehatur, ac tanta videlicet quanta erat celeritas globo acquisita uti diximus cum pervenisset in C. Atque ita dum simul cum navi mensa BC progreditur, rursus eodem modo ut antea globus A currat à B ad C tractus à pondere D. Hìc igitur et velocitatem gravitati acquisitam in fine primi temporis quo coepit moveri, integram ei manere tempore secundo videmus, praetereaque eadem vi ac modo quo in tempore primo etiam hoc altero incitari; unde apparet majus spatium hoc motu composito peractum fore secundo tempore quam primo. Solum enim spatium BC peractum est primo tempore. Secundo autem et huic spatio aequale, et insuper illud quod pari tempore transitur motu aequabili atque ea celeritate quam habet in fine primi temporis. Planè autem eodem modo in gravi cadente se res habere videtur¹⁾. Quo posito certo ratiocinio inde elicimus qua proportione motus cadentium acceleretur, eandemque eam esse inveniemus quam Galileus asseruit. Quae cum rursus certissimis experimentis vera esse deprehendatur, omnino hinc constat recte naturam accelerati motus eo modo quem proposuimus nos expendisse. Proportionem autem Galilei ex hoc principio inveniri sic fuit perspicuum. Cum in fine secundi temporis globus A habeat et celeritatem qua aequabiliter navis progreditur sinistram versus, et in ipsa navi celeritatem quam acquisivit protractus ex B ad C, cui posuimus ipsius navis celeritatem aequalem esse; patet ergo duplo majorem celeritatem habere globum A in fine secundi temporis quam in fine primi; nam in fine hujus semel tantum illam habere dictus est quam acquisivit attractus ex B in C.

1) Comparez les considérations de 1652 de Huygens sur le vaisseau en mouvement de translation uniforme qu'on trouve aux p. 92-97 du T. XVI et celles des années suivantes sur le même sujet (voir p.e. la p. 194 du T. XVI), considérations que nous avons désignées à la p. 27 du T. XVI et ailleurs par l'expression moderne: principe de la relativité. Lorsqu'un corps tombe librement en partant du repos, on peut, lorsqu'il a acquis une certaine vitesse v au bout d'une seconde, le considérer comme ayant une vitesse nulle par rapport à un milieu qui descend avec une vitesse v constante; suivant le principe nommé (qui n'est qu'une extension du fait expérimental que dans un vaisseau en mouvement uniforme tout se passe de la même manière que dans un vaisseau en repos par rapport à la rive) le corps suivra alors par rapport au milieu en mouvement uniforme la même loi de chute à laquelle il obéissait durant la première seconde par rapport à la terre. On peut faire une supposition du même genre au bout de la deuxième seconde, etc. Il en résulte que la vitesse acquise est proportionnelle au temps.
Dans la Prop. I de l'‘Horologium oscillatorium’ le principe de la relativité n'est pas expressément nommé (voir les ‘Hypotheses’ par lesquelles débute la Pars Secunda).

[p. 127]

Eadem itaque ratione et grave ex alto cadens duplam celeritatem acquirit exacto secundo tempore ejus quam in fine primi temporis acquisiverat. Jam ut porro inquiramus quantum habiturum sit in fine tertij temporis, advertendum est primò, manere illi celeritatem omnem quam in fine secundi temporis habuit, quam ut rursus secernamus ab illa quae denuo illi accedit, ponamus navem cui mensa cum globulo A imposita est duplo celerius nunc ferri quam prius, hoc est dupla celeritate ejus quam acquirit globus attractus ex B in C. Dum vero ita procedit navis, trahatur rursus ut antea globus ex B in C. Ergo in fine hujus tertij temporis et navis celeritatem habebit globus A, et in navi ipsa, seu respectu navis, simplicem illam quam acquirit ubi ex B ad

[Fig. 31.]³⁾

C protractus fuerit. Hujus autem celeritatis celeritas navis dupla ponitur, ergo jam triplam celeritatem habebit globus in fine temporis tertij ejus quam in fine primi habebat. Idemque contingere manifestum est gravi cadenti. Simili autem ratione in sine quarti temporis quadruplam celeritatem habere invenitur, atque ita porro. adeo ut appareat aequalibus temporis partibus aequalia quoque celeritatis momenta²⁾ accrescere. Quod Galileus principij sive hypothesis loco adsumsit⁴⁾, unde deinceps proportionem spatiorum quae aequalibus temporibus à cadente transeuntur demonstratum dedit⁵⁾. Utemur autem hic demonstratione alia evidentiori. Cadat mobile ex quiete tempore primo per spatium AB [Fig. 31]. Habeat autem in fine hujus temporis, cum est in B, celeritatem eam qua possit altero aequali tempore percurrere spatium BF motu aequabili. Itaque motu accelerato majus spatium secundo tempore percurret quod nempe aequale erit et spatio BF et alteri insuper FC ipsi AB aequali, ut patet ex ante demonstratis; ita ut BC spatium secunda parte temporis absolvat. Rursum vero in sine secundi temporis cum pervenit in C duplam celeritatem habere constat ejus quam habebat in B, in fine scilicet primi temporis. quare tantam habet ut temporis parte eâdem qua prius percurrere possit aequabili motu spatium duplum ipsius BF, quod sit CG. huic addatur GD ipsi

3) Cette figure correspond à la Fig. 1 de la Tab. V de l'‘Horologium oscillatorium’, où toutefois quelques points sont désignés par d'autres lettres; ces dernières ont été indiquées plus tard par Huygens entre les lignes de la présente Pièce (la couleur de l'encre est différente).

2) Comparez sur cette expression souvent employée par Galilée le début, datant de la même époque, du Traité ‘De Vi Centrifuga’ (T. XVI, p. 255) et les l. 15-16 de la p. 337 du même Tome.

4) Voir les ‘Discorsi e dimostrazioni matematiche interno a due nuove scienze, Giornata Terza’ (Ed. Naz. VIII, p. 205).

5) ‘Discorsi’, Th. II, Prop. II avec le Cor. I (Ed. Naz. VIII, p. 209-210). Comparez la note 1 de la p. 130 qui suit.

[p. 128]

AB aequale. Itaque tertio tempore totum CD spatium absolvetur motu accelerato ut è praedictis itidem manifestum est. Denique cum in fine temporis tertij triplam ejus quam in fine primi celeritatem acquisiverit, hoc est qua possit motu aequabili unâque temporis parte percurrere spatium triplum ipsius BF, hinc tertio tempore apparet cadendo percursurum et spatium DH quod triplum pono BF, et insuper HE aequale spatio primo AB. Hinc jam liquet spatia aequalibus temporibus peracta AB, BC, CD, DE crescere excessu aequali, eumque excessum esse ipsi BF spatio aequalem. Dico autem BF esse duplum spatij BA. Si enim tempora priorum dupla sumamus, ut nempe duo aequalia tempora quibus peracta sunt spatia AB, BC pro primo tempore accipiantur; pro secundo autem duo reliqua quibus descendit per spatia CD, DE: necesse est spatia AC, CE quae aequabilibus temporibus à quiete peracta sunt eandem inter se rationem habere quam et spatia AB, BC, quae aequalibus item temporibus à quiete emensa sunt. Quaecumque enim aequalia tempora accipiantur, eandem semper transactorum spatiorum rationem esse necesse est, vel frustra horum spatiorum rationem inquiri fatendum¹⁾. Cum igitur sit ut AB ad BC ita AC ad CE, et convertendo ut CB sive FA ad AB ita EC ad CA, erit quoque dividendo FB ad BA ut excessus EC supra CA ad CA. cum sit autem EC aequalis et duplae AB et quintuplae BF; CA vero aequalis et duplae AB et simplici BF, apparet dictum excessum EC supra AC aequari quadruplae BF. Sicut igitur FB ad BA ita est quadrupla FB ad CA unde CA quadrupla erit ipsius BA. Eadem vero CA uti dictum fuit aequatur et duplae AB et simplici BF. Ergo BF duplae AB aequalis erit. quod erat demonstrandum.

Cum igitur ostensum sit antea spatia AB, BC, CD, DE et si plura deinceps aequalibus temporibus transacta fuerint, crescere aequali excessu, qui excessus sit ipsi BF aequalis: Patet nunc quoniam BF aequalis est duplae AB, spatium BC fore triplum AB, CD quintuplum, DE septuplum, atque ita alia deinceps, semper auctum iri secundum progressionem numerorum imparium ab unitate 1, 3, 5, 7, 9, 11 &c.

§ 2²⁾. Descenderit mobile ex quiete motu accelerato per spatium G tempore AE

1) Comme Huygens l'observe à la fin de la Prop. IV de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’ on peut démontrer d'après la méthode de Galilée (note 5 de la p. 127) que les espaces parcourus depuis le commencement de la chute croissent proportionnellement au carré du temps, sans se servir du principe qu'il énonce ici et qu'on trouve déjà dans sa lettre à Mersenne du 28 octobre 1646 (T. I, p. 24) ainsi que dans le morceau écrit quelques mois plus tôt (p. 68-72 du T. XI).
Nous avons remarqué dans la note 11 de la p. 71 du T. XI que le principe énoncé ici n'est pas suffisant à lui seul pour démontrer que s = at² (s = chemin parcouru, a = constante, (t = temps), vu que la loi s = at^p (p = constante quelconque) y satisfait aussi. Ici, attendu que le principe de la relativité est également employé, cette remarque ne peut évidemment donner lieu à aucune critique du raisonnement de Huygens.

2) Comparez la Prop. II de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’.

[p. 129]

[Fig. 32.]

[Fig. 32]. Dico si tempore ipsi AE aequali, celeritate autem quantam in fine spatij G sive in fine temporis AE acquisivit feratur motu aequabili, percursurum spatium ipsius G duplum. Si enim non, ergo vel majus quam duplum vel minus percurret; Percurrat primo majus, ergo aequale permeabit tempore minori quam AE; esto hoc tempus AF. Et dividatur tempus AE in tot aequalia AB, BC, CD, DE, ut eorum unum ut DE minus sit eo quo tempus AE excedit AF. Ergo temporibus omnibus aequalibus praeter DE, hoc est, tempore AD majus spatium transibit quam duplum G, motu nimirum aequabili, quantumque habet in fine temporis AE.

[Fig. 33.]

Ponatur in fine temporis AB eam celeritatem acquisivisse, qua posset motu aequabili similique tempore ipsi AB, transire spatium I [Fig. 33]. Ergo cum in sine temporis AC, duplo majorem habeat celeritatem, poterit eâ in tempore aequali AB transire motu aequabili spatium duplum ipsius I, quod sit K. Similiterque celeritate quam habet in fine temporis AD, poterit motu aequabili temporeque AB, transire spatium L triplum I. Et denique in sine temporis E, eam habebit celeritatem qua motu aequabili in tempore AB, transeat spatium M quadruplum I, atque ita porro si AE in plures partes divisa fuerit. Sint nunc totidem spatia maximo M aequalia quot sunt aequaliter sese excedentia, sintque R S T V. Patet ergo celeritate ista in puncto ultimo temporis AE acquisita, percurret³⁾ mobile tempore AD motu aequabili spatium aequale omnibus R, S, T, V, uno dempto. Illa autem uno demto dupla sunt aequaliter sese excedentium demto maximo M, hoc est duplo horum I, K, L. Ergo celeritate quam habet in sine temporis AE percurret motu aequabili in tempore AD duplum spatiorum sese excedentium I, K, L. Dictum autem fuit isto motu aequabili atque isto tempore percurrere spatium majus quam duplum G. Ergo spatium G minus esse necesse est spatijs I, K, L simul sumtis. Atqui motu accelerato temporis parte AB aliquod saltem spatium peregit mobile. altera vero parte temporis BC majus spatium peregit

3) Le mot ‘patet’ a été intercalé plus tard; le mot ‘percurret’ aurait évidemment dû être changé en même temps en ‘percursurum’. Remarquons en même temps que la phrase précédente: ‘Sint nunc... RSTV’ qui est écrite en marge, peut également avoir été intercalée plus tard.

[p. 130]

quam est I; nam hoc potuisset motu aequabili transisse illa celeritate quam habebat in fine temporis AB. Similiter parte temporis CD motu accelerato majus spatium transijt quam K, et tandem parte temporis DE majus quam L. Itaque motu accelerato per totum tempus AE multo majus spatium transijt spatijs sese aequaliter excedentibus demto maximo, hoc est, spatijs I, K, L. Sed posuimus isto motu accelerato atque isto tempore confectum esse spatium G. Ergo G spatium majus erit spatijs I, K, L simul sumtis. Sed et ijsdem minus esse ostensum est; ergo simul et minus esset quod absurdum.

§ 3.

[Fig. 34.]¹⁾

[Fig. 35.]

§ 4²⁾. Si grave corpus et perfecta duritie cadens incidat ad rectos angulos in corpus aliud cui nihil de motu suo communicet, resiliet ad eandem ex qua cecidit altitudinem, idque tempore aequali illi quo decidet.

Corpus enim ex A in B decidens [Fig. 35] cum eam celeritatem acquisiverit qua pari temporis parte confecturum sit motu aequabili spatium duplum ipsius AB; resiliens autem nihil de suo motu amittat: apparet, duplum spatium ipsius BA sursum transiturum motu aequabili similique parte temporis ei qua decidit ex A in B, nisi vis gravitatis

1) Cette figure (qui constitue à elle seule le § 3) peut avoir été intercalée plus tard, comme les lettres mentionnées dans la note 3 de la p. 127 (ce que la couleur de l'encre rend probable). Comparez avec elle la Fig. 3 de la Tab. V de l'‘Horologium oscillatorium’, figure appartenant à la Prop. V, dont l'énoncé est identique avec celui de la Prop. II (nommée dans la note 2 de la p. 128), mais dont la démonstration est différente: comme Huygens le dit à la fin de la Prop. IV. - voir la note 1 de la p. 128 qui précède - il y suit la méthode de Galilée.

2) Comparez la Prop. IV de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’.

[p. 131]

continuè contrariam in partem ipsum pellere conaretur. Quid autem hoc contrario nixu ipsi evenire debeat ut noscatur, consideremus, ut supra, globum C [Fig. 35] tabulae FD impositum attrahi vi elateris alicujus vel vi ponderis E sinistram versus ab F ad D, eumque simul in D pervenerit eam celeritatem acquirere qua possit simili tempore transire motu aequabili spatium ipsius FD duplum. esse autem tabulam hanc navi impositam quae dextram versus pergat motu aequabili, conficiatque eodem atque eo ipso tempore dum globus per FD decurrit, spatium duplum ipsius FD³⁾. Sic itaque motus aequabilis quae cum navi dextrorsum fertur, repraesentat motum gravis aequabilem quo ex B sursum tendit, motus vero quo trahitur interim globus per FD sinistram versus, exhibet contrarium motum deorsum quo grave retrahitur vi sui ponderis; et patet idem ei accidere debere quod et globo C quoniam et in gravi sive sursum sive deorsum sive alio quocunque motu moveatur, semper eodem modo attractionem gravitatis agere, atque adeo eundem quoque effectum producere statuimus. Globus autem C, ubi ex F ad D pervenit, navi interim per spatium duplum dextram versus progressa, necessario dextrorsum promovit quantum est spatium FD; cumque in navi jam acquisiverit eandem celeritatem qua et navis defertur, sed in contrariam partem, manifestum est eum ad statum quietis devenisse. Manifestum insuper idem tempus insumsisse, quo etiam quiescente navi per FD spatium tractus fuisset. Eadem igitur et gravi ex B resilienti eveniunt nempe ut tempore aequali ei quo ex A in B decidit conficiat sursum ipsum spatium BA, utque ubi in A pervenit ad quietem redactum sit.

§ 5⁴⁾. Gradus velocitatis ejusdem mobilis super diversas planorum inclinationes acquisitos aequales esse, cum eorundem planorum elevationes unde descendit sunt aequales.

[Fig. 36.]

Sit FD [Fig. 36] horizonti parallela ex cujus puncto B inclinata sint plana BA, BC, ad eandemaltitudinem termino altero pertingentia. Cadat autem mobile per planum AB, et rursus per planum CB, dico utroque casu eundem gradum velocitatis in puncto B acquisiturum. Si enim per CB cadens minorem celeritatem acquirere dicatur quam cadens per AB, habeat ergo

3) Comparez sur le vaisseau en mouvement uniforme, en d'autres termes sur le principe de la relativité, la note 1 de la p. 126. Ici on lit en marge; ‘In planis inclinatis eadem omnia succedunt eadem namque est demonstratio’.

4) Comparez la Prop. VI de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’.

[p. 132]

quantam cadens per GB haberet. Acquirit autem per CB cadens eam celeritatem qua rursus per BC possit ascendere¹⁾. Ergo et per GB cadens, si continuet porro motum per BC (quod resiliendo²⁾ ad superficiem quandam obliquam fieri potest³⁾) ascendet usque ad C, hoc est altius quam unde decidit, quod est contra principia Mechanices. Et nullo negotio si illud fieri dicatur motus perpetuus sequeretur posito alio plano ex C in G⁴⁾.

Eodem modo ostendetur neque per AB decidens minorem celeritatem acquirere quam per CB. Ergo per utraque aequalem. quod erat demonstrandum⁵⁾.

§ 6⁶⁾. Propos. 3 Galilei optimè hoc modo demonstratur quem et Galileus indicat⁷⁾.

[Fig. 37.]

Sit planum inclinatum AC [Fig. 37] et perpendiculum AB quorum eadem sit altitudo supra horizontem CB. Dico tempus descensus ejusdem mobilis super plano AC, ad tempus casus in perpendiculo AB eam habere rationem quam habet longitudo plani AC ad ipsius perpendiculi AB longitudinem.

Habet enim mobile in fine spatij AC eam celeritatem qua possit simili temporis parte ei qua per AC descendit transire, motu aequabili, spatium duplum ipsius AC. In fine autem perpendiculi, ubi per illud deciderit, eandem habet celeritatem quam in fine plani AC; habet vero eam in fine perpendiculi

1) C'est ce qui résulte de la proposition précédente (§ 4), lorsqu'on considère de la rive le corps tombant verticalement de A en B [Fig. 35] par rapport à un vaisseau en translation uniforme.

2) Autre leçon: repercussu’.

3) À l'aide d'une translation uniforme (comparez la note 1) ce choc oblique pent, si l'on veut, être réduit à un choc à angles droits sur la même ‘superficies obliqua’.

4) Suivant les ‘principia Mechanices’ le centre de gravité d'un système ne peut s'élever de luimême, vu que le mouvement perpétuel, jugé impossible, en résulterait. Comparez la note 1 de la p. 56 et la note 1 de la p. 332 du T. XVI. Remarquons en passant que contrairement à ce que nous avons dit dans une de ces notes, Mersenne avait déjà nommé Torricelli dans sa lettre à Huygens du 13 octobre 1646 (T. I, p. 559), mais seulement à propos d'une question de mathématiques pures. De fait, quoique Duhem appelle le principe considéré ‘le principe de Torricelli’, il paraît que Huygens l'a rencontré pour la première fois chez Mersenne. On peut comparer sur ce principe, outre la ‘Synopsis’ de 1626 de Mersenne, le ‘Traité de l'Harmonie Universelle, etc. A Paris, G. Bavdry, 1627’, du même auteur, où l'on trouve à la p. 406 le Th. XI: ‘Determiner & expliquer qui sont les principes, & les principales maximes de la Science des Mechaniques’, et à la p. 411 l'énoncé suivant: ‘Le centre de pesanteur ne monte iamais naturellement, etc.’.

5) Ici (p. 168 du Manuscrit) Huygens remarque: ‘hic sequitur prop.....’; suit un signe qu'on retrouve à la p. 171. Nous intercalons donc ici le § 6.

6) Comparez la Prop. VII de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’.

7) Le T. III, Prop. III (Ed. Naz. VIII, p. 215) des ‘Discorsi’ de Galilée - p. 127, note 4 - est le suivant: ‘Si super plano inclinato atque in perpendiculo, quorum eadem sit altitudo, feratur ex quiete idem mobile, tempora lationum erunt inter se ut plani ipsius et perpendiculi’. Après la démonstration Sagredo remarque: ‘Parmi che assai chiaramente e con brevità si poteva concludere il medesimo, essendosi già concluso che la somma del moto accelerato de i passaggi per AC, AB à quanto il moto equabile il cui grado di velocità sia sudduplo al grado massimo CB; essendo dunque passati li due spazii AC, AB con l'istesso moto equabile, già è manifesto, per la proposizione prima del primo (voir la note suivante), che i tempi de passaggi saranno come gli spazzi medesimi’.

[p. 133]

qua possit simili parte temporis ei qua cecidit per AB transire motu aequabili spatium duplum ipsius AB. Ergo eadem prorsus velocitate in tempore quo cecidit per AC transibit duplum spatium AC; et in tempore quo cecidit per AB, duplum spatium AB. quare tempus per AC erit ad tempus per AB per prop. I Galilei de motu aequabili⁸⁾ sicut dupla AC ad duplam AB hoc est ut AC ad AB. quod erat demonstrandum.

Hinc porro liquet tempora descensus super planis diversimode inclinatis quorum eadem sit elevatio, esse inter se ut eorum longitudines.

§ 7⁹⁾. Si ex altitudine eadem descendat mobile per quotlibet ac quaelibet plana

[Fig. 38.]

contigua inclinata continuato motu. Semper eandem in fine velocitatem acquiret. quae nimirum eadem erit atque ea quam acquireret perpendiculariter cadens ex eadem altitudine. Sint plana AB, BC, CD contigua [Fig. 38], quorum terminus A supra lineam horizontalem per alterum terminum D ductam altitudinem habeat quanta est EF. Descendatque mobile ex A per dicta plana usque in D. dico in D eam velocitatem habiturum quam ex E cadens in F haberet. CB producta occurrat rectae AE in G, itemque DC producta eidem AE occurrat in E. Quoniam itaque per AB cadens ean-

8) ‘Discorsi’. Th. I, Prop. I (Ed. Naz. VIII, p. 192): ‘si mobile aequabiliter latum eademque cum velocitate duo pertranseat spatia, tempora lationum erunt inter se ut spatia peracta’.

9) Comparez la Prop. VIII de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’.

[p. 134]

dem acquirit celeritatem in termino B atque cadens per GB, manifestum est, cum flexus ad B nihil obstare motui ponatur, tantam velocitatem habiturum cum in C pervenerit quantam si per GC planum decidisset. per antecedentia¹⁾. hoc est, quantam haberet decidens per EC. Quare et reliquum planum CD eodem modo transibit ac si per EC advenisset. atque ideo in D denique eam velocitatem habebit quam haberet cadens per planum ED, hoc est, eandem quam ex casu perpendiculari per EF. quod erat demonstrandum.

Hinc liquet etiam per circuli circumferentiam vel per curvam quamlibet superficiem descendente mobili, semper eandem illi celeritatem acquiri si ex aequali altitudine descenderit tantamque eam esse celeritatem quantam casu perpendiculari ex eadem altitudine adipisceretur.

§ 8²⁾. Si mobile post casum resiliat nullâ motus parte amissâ, hoc est ita ut nihil de motu suo impertiat corpori illi unde resilit; ascendet ad eandem unde venit altitudinem per quascumque et quotcunque planas superficies vel curvas sursum pergat.

[Fig. 39.]

Cadat mobile ex altitudine AB [Fig. 39], et ex B inclinata sint sursum plana BC, CD, quorum extremum D eadem sit altitudine cum A puncto. Dico si mobile post casum in B convertat motum ut pergat per plana BC, CD, perventurum usque in D. Dicatur enim si fieri potest tantum ad E perventurum; producatur BC donec occurrat horizontali EF in F. Cum igitur peracto BC plano, habeat tantum eam celeritatem qua possit ascendere per CE: hac eâdem pervenire tantum posset in producto plano BC usque in F. Est enim eadem celeritate opus qua per CE vel per CF ascendi possit, ut patet ex....³⁾. Ergo ex altitudine AB cadens habebit in B eam tantum celeritatem qua ascendat per BF planum usque in F. hoc est eandem quam haberet post descensum per FB. Atqui ex altitudine AB cadens eam habet celeritatem qua possit ascendere perpendiculariter per BA. Ergo et per FB descendens posset ascendere per BA usque in A. hoc est altius quam unde descendit, quod est contra principia Mechanices⁴⁾.

1) Les mots ‘per antecedentia’, qui interrompent la phrase, furent intercalés après coup.

2) Comparez la Prop. IX de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’.

3) Voir le § 5 qui précède.

4) Comparez la note 4 de la p. 132.

[p. 135]

At nec altius quam ad D ascendere, secundum eadem principia potest. Ergo ad D ascendet.

Est autem similis plane demonstratio si plura quam duo plana diversimodo inclinata ponantur per quae mobile reflexum ascendat. Unde et, si infinita fuerit planorum multitudo, hoc est, si curva aliqua superficies fuerit idem contingere perspicuum est.

§ 9⁵⁾. Hinc etiam facile ostenditur, mobile ita uti dictum est reflexum, in unaquaque ad quam redit altitudine eandem celeritatem habiturum quam dum deorsum ferretur in eadem illa altitudine habebat.

ut si mobile ex altitudine AB [Fig. 40] decidens, motum deinde continuet per

[Fig. 40.]

superficiem BCD. in qua punctum C sit pari altitudine atque in AB est punctum E. Dico in C eandem celeritatem habiturum atque in E habuerat.

Si enim fieri potest habeat in C minorem celeritatem quam in E, puta quantam haberet cadens ex F in E. Habet autem eam celeritatem in C qua ascendat ad D punctum, aeque altum atque A, per praecedentia. Ergo et ex FE altitudine cadens acquisivisset eam celeritatem qua reflexum ascenderet usque in D, quod est altius puncto F unde descendit. quod est absurdum⁴⁾. At nec majorem celeritatem in C habere potest quam habet cadens ex AE, quoniam cum haec celeritas ipsum usque in D perductura sit, sequeretur si majorem haberet, ascensurum ultra punctum D, hoc est altius quam A unde decidit, quod rursus absonum est. Ergo eadem celeritas adest mobili in puncto C cum ascendit atque in E cum descendit.

§ 10⁶⁾. Ex hac praecedenti propositione efficitur pendulum [Fig. 41] aequales arcus peripheriae ascendendo ac descendendo percurrere, et utrosque aequali tempore in superficie cava cylindrica et omni alia quae utrinque eadem fuerit a puncto infimo. Nam aequales quidem arcus percurret quoniam ad eandem unde decidit altitudinem pervenire debet. sublatis nimirum impedimentis omnibus, velut aeris et gravitatis funiculi. Utrumque vero arcum aequali tempore, quoniam in singulis punctis quae

5) Comparez la Prop. X de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’.

4) Comparez la note 4 de la p. 132.

6) Comparez la Prop. XI de la Pars Secunda de l'‘Hor. osc.’.

[p. 136]

[Fig. 41.]

eadem utrinque sunt altitudine, pari celeritate movetur. Ergo cum et spatia aequalia percurrat, necesse est tantundem temporis in illo atque in isto impendere. Hinc itaque constat tempus descensus per arcum CB esse dimidium ejus quo vibratio penduli integra absolvitur.

§ 11. Spatia super diversis planis inclinatis eodem tempore ab eodem mobili peracta, sunt inter sese ut potentiae quibus in unoquoque plano sustineri possunt.

[Fig. 42.]

Sint plana diversimodo inclinata AB, AC [Fig. 42], super quibus mobile ex A moveri incipiens aequali tempore percurrerit spatia AB, AC. Dico esse spatium AB ad AC sicut potentia qua mobile sustineri potest in plano AB ad eam qua potest sustineri in plano AC. Sit AD perpendicularis ad horizontem, eique ad angulos rectos occurrat BE, et ut EA ad AB ita sit haec ad AD, et AD diametro circulus describatur. qui utique per B punctum transibit. Sed et transibit per punctum C, quoniam plana AB, AC aequalibus temporibus peracta statuimus. hoc enim patet ex prop. 6. Galilei de Motu Accelerato¹⁾. Sit nunc CF quoque perpendiculum ad AD. Quoniam ergo ut CA ad AF ita est gravitas mobilis absoluta ad potentiam qua susti-

1) ‘Discorsi’, Th. VI, Prop. VI (Ed. Naz. VIII, p. 221): ‘Si a puncto sublimi vel imo circuli ad horizontem erecti ducantur quaelibet plana usque ad circumferentiam inclinata, tempora descensuum per ipsa erunt aequalia’.

[p. 137]

neatur in plano CA, ex Mechan., hoc est ut DA ad AC. Eadem vero mobilis gravitas ad potentiam qua sustineatur in plano AB, sicut BA ad AE, hoc est sicut DA ad AB. Erit ergo potentia qua sustinetur in plano AC ad eam qua sustinetur in plano AB sicut AC ad AB, haec autem sunt spatia aequalibus temporibus peracta. Ergo &c. quod erat demonstrandum.

§ 12. Si fuerint plana quotlibet inclinata contigua [Fig. 43], ponantur autem et

[Fig. 43.]²⁾

alia totidem ijsdem angulis inclinata, quorum unumquodque ad sibi proximum eandem rationem habeat quam unumquodque priorum ad sibi proximum, descendant autem mobilia tam per haec quam per illa plana continuato motu, erunt tempora descensus eorum in subduplicata ratione longitudinis plani.

2) On trouve une figure du même genre que la Fig. 43 avec la souscription ‘Sint plana similia et similiter posita’ à la p. 13 du Manuscrit du Traité ‘De Vi Centrifuga’ (voir la note 1 de la p. 254 du T. XVI). Sur cette même page on lit la réflexion, inspirée par la lecture d'Archimède, que nous reproduisons plus loin dans ce Tome, sur le profit que les géomètres peuvent tirer de considérations mécaniques.

[p. 138]

[1666]

§ 13¹⁾. Tempus per AC [Fig. 44] perpendicularem ad tempus per AB inclinatam

[Fig 44.]

aequalem AC est ut AD ad AE posita BD perpendiculari ad AC: et AE mediâ proportionali inter AD, AC. Est enim tempus per AB ∞ tempori per AF. Sed tempus per AC est ad tempus per AF in subduplicata ratione AC ad AF, hoc est, in subduplicata ratione AD ad AC, hoc est ut AD ad AE.

1) Le § 13 - nous continuons la division en §§; comparez la note 2 de la p. 125 - est emprunté à la p. 90 du Manuscrit C; ce morceau doit avoir été écrit peu de temps avant le départ de Huygens pour Paris: la p. 92 porte la suscription: ‘A Paris 1666’. Nous l'insérons ici, quoiqu'il soit peu important en lui-même et qu'on ne le trouve pas dans l'‘Horologium oscillatorium’, parce qu'il traite, comme le § 6 et le § 11 qui ne se trouve pas non plus dans l'‘Hor. osc.’, du temps de chute le long d'un plan incliné. Plus loin (voir les Pièces sur la Pesanteur) nous aurons l'occasion de dire comment Huygens fut amené à écrire ce §.

[1662]

§ 14²⁾. tempus per HB, KD, ME, OF, QG [Fig. 45] est majus quam per curvam ADG.

[Fig. 45.]

tempus per HB, KD, ME, OF, quia idem cum tempore per BM, DN, EP, FR minus est quam per curvam BDG.

tempus per HB, KD, ME, OF est majus tempore per curvam ABF, tempus per BDG etiam majus est tempore per curvam ABF.

differentiam inter tempus per ABF et BDG quavis minorem fieri posse.

2) Les §§ 15 et 16, empruntés aux p. 65-66 du Manuscrit B, datent probablement de 1664, puisque la p. 63 du Manuscrit porte la date du 18 septembre 1664 (voir la p. 444 du T. XVI) et qu'on trouve aussi à la p. 67 quelques figures qui se rapportent à la recherche du centre d'oscillation des pendules. Les p. 80 et suiv. sont certainement de 1662 (voir sur ces pages la note 9 de la p. 123 qui précède) et nous avons admis, ce qui semble en effet extrêmement probable, que les p. 71 (voir la note 1 de la p. 470 du T. XV) et 73 (note 1 de la p. 558 du même Tome) datent aussi de 1662. Il s'ensuit que la p. 72 (§ 14) date probablement aussi de 1662. Les §§ 14-16 font voir que Huygens cherchait une démonstration exacte du ‘Theorema magnum’ de l'isochronisme des oscillations cycloïdales (comparez la note 1 de la p. 122 qui précède) ou du moins une voie qui pouvait peut-être y conduire. Nous avons déjà reproduit vis-à-vis de la p. 314 du T. VII la p. 38 du Manuscrit 13 (‘Excerpta ex Adversariis’), où Huygens écrit: ‘AEquales penduli oscillationes suspensi inter duas semi-cycloides. Demonstratio est in libro B et in chartis quibus inscriptum Horologium’. Comme plusieurs feuillets du Manuscrit B ont été enlevés (p.e. entre les p. 187 et 188 datant de 1664) il est possible que ce Manuscrit contenait primitivement une démonstration qui ne s'y trouve plus. Il est également possible que Huygens ait mis par écrit sur des ‘chartae’ séparées que nous ne possédons plus une démonstration se rattachant aux considérations du § 15.

[p. 139]

[1664]

§ 15²⁾. Dico tempus per arcum cycloïdis BA [Fig. 46] ad tempus per axem DA

[Fig. 46.]

2) Les §§ 15 et 16, empruntés aux p. 65-66 du Manuscrit B, datent probablement de 1664, puisque la p. 63 du Manuscrit porte la date du 18 septembre 1664 (voir la p. 444 du T. XVI) et qu'on trouve aussi à la p. 67 quelques figures qui se rapportent à la recherche du centre d'oscillation des pendules. Les p. 80 et suiv. sont certainement de 1662 (voir sur ces pages la note 9 de la p. 123 qui précède) et nous avons admis, ce qui semble en effet extrêmement probable, que les p. 71 (voir la note 1 de la p. 470 du T. XV) et 73 (note 1 de la p. 558 du même Tome) datent aussi de 1662. Il s'ensuit que la p. 72 (§ 14) date probablement aussi de 1662. Les §§ 14-16 font voir que Huygens cherchait une démonstration exacte du ‘Theorema magnum’ de l'isochronisme des oscillations cycloïdales (comparez la note 1 de la p. 122 qui précède) ou du moins une voie qui pouvait peut-être y conduire. Nous avons déjà reproduit vis-à-vis de la p. 314 du T. VII la p. 38 du Manuscrit 13 (‘Excerpta ex Adversariis’), où Huygens écrit: ‘AEquales penduli oscillationes suspensi inter duas semi-cycloides. Demonstratio est in libro B et in chartis quibus inscriptum Horologium’. Comme plusieurs feuillets du Manuscrit B ont été enlevés (p.e. entre les p. 187 et 188 datant de 1664) il est possible que ce Manuscrit contenait primitivement une démonstration qui ne s'y trouve plus. Il est également possible que Huygens ait mis par écrit sur des ‘chartae’ séparées que nous ne possédons plus une démonstration se rattachant aux considérations du § 15.

[p. 140]

eam rationem habere quam semicircumferentia circuli ad diametrum. Si enim tempus per arcum BA brevius esse dicatur, seu minorem rationem habere ad tempus per axem DA quam semicircumferentia ad diametrum poterit jam addi tempori per arcum BA pars aliqua temporis quae simul cum illo ad tempus per axem DA minorem etiamnunc dictâ rationem habeat. Sit itaque tempus istud additum quo descendit mobile per rectam XB tangentem cycloïdis à puncto B sursum eductam. Cum itaque tempus hoc utrumque, nempe descensus per BA inchoando ex B, et descensus per XB inchoando ab X, minorem habeant rationem ad tempus per axem DA quam ½ circumferentia ad diametrum; habeant igitur eam quam pars semicircumferentiae ZA ad diametrum DA, et ducantur ad axem DA perpendiculares ZR, XY. Dividatur jam FA

[Fig. 47.]

in partes aequales numero impares, quarum unaquaeque minor sit quam FY, utque una ipsarum ad totam FA minorem habeat rationem quam DR ad RA, haec enim fieri posse manifestum est. Deinde ipsi AF apponatur FO uni dictarum partium aequalis, et descripto super AO semicirculo OQA, ducantur ex punctis quibus divisa est FA, rectae aequidistantes ipsi FB, et a punctis quibus occurrunt circumferentiae OQA, tangentes deorsum ducantur usque ad parallelam proximè sequentem incipiendo a puncto Q ubi recta FB circumferentiam intersecat. Similiter vero et a punctis ubi cycloidi occurrunt dictae parallelae agantur tangentes deorsum, atque insuper a puncto L ubi occurrit ipsi parallela OL.

Dicatur jam tempus per arcum cycloidis longius esse eo tempore quod ad tempus per axem sese habeat ut semicircumferentia ad diametrum. Itaque etiam abscindi pars aliqua potest inferius ab arcu cycloidis, ut tamen tempus per reliquum arcum longius quoque sit dicto tempore. Esto ea pars abscissa AX [Fig. 47]. Cum igitur tempus per arcum BX longius sit quam quod ad tempus per axem sese habeat ut semicircumferen-

[p. 141]

tia ad diametrum habeat ergo ad tempus per axem eam rationem quam circumferentiae pars DAZ ad diametrum DA et ducantur ad axem DA perpendiculares XY, ZR. Dividatur jam FA in tot partes aequales numero impares ut una earum puta AO minor sit parte axis AY, eademque ad reliquas omnes OF minorem rationem habeat quam RA ad AD. Haec enim fieri posse manifestum est.

[Fig. 48.]

§ 16¹⁾. tempus per DF [Fig. 48] celeritate ex DF est longius tempore per EF motu accelerato per QE.

arcus propositus sit QMS.

tempus per PD sive EV ipsi parallelam (partem nempe EH) est longius tempore per EF motu accelerato post casum per QE. Sic ergo longius tempus constituemus tempore per arcum QMS.

Est autem tempus per DF celeritate ex DF ad tempus aequabile per XN, celeritate dimidia ejus quae ex casu per KS, ut BR ad OA.

1) Voir la note 2 de la p. 139.