Oeuvres complètes. Tome XV. Observations astronomiques

[p. 509]

[Détermination approximative de l'orbite d'un satellite de Saturne à l'aide de deux observations¹⁾.]
[1673.]

§ 1.

fertur²⁾ in majori circulo quam luna mea, ergo minorem motum realem. habuit illis 7 diebus quam sit arcus EF cujus subtensa EF data est³⁾.

sed hic arcus EF est ad arcum BNC ut... ad...⁴⁾. Ergo minor est ratio motus realis novae lunae⁵⁾ ad motum realem meae quam.... ad....⁶⁾.

1) La Pièce a été empruntée aux p. 366-367 du Manuscrit D. Nous l'avons divisée en paragraphes.

2) Il s'agit du satellite observé le 23 et le 30 décembre 1672 en même temps que Titan (voir les Fig. 115 et 116 de la p. 114) et dont la distance à Saturne fut supposée à tort plus grande que celle de Titan; voir l'Avertissement qui précède.

3) Puisqu'on connaît la situation des points M et O comme on le verra bientôt.

4) Les points B et C, qui correspondent aux points A et B de la Fig. 117 de la p. 116, représentent respectivement les positions de Titan le 23 déc. et le 30 déc. 1672. Or, ces positions pouvaient être calculées à l'aide de la théorie du mouvement de Titan, exposée par Huygens dans son ‘Systema’ (p. 261-269 du Tome présent). En effet, les calculs de la p. 116, déjà citée, donnent: arc. .
Quant à l'arc EF, remarquons d'abord que les points H et G (correspondant aux points E et F de la Fig. 117 de la p. 116) représentent les positions, le 23 et le 30 décembre, du nouveau satellite dans son orbite. Les rapports OA : BA et MA : DA sont donc respectivement ceux entre les distances apparentes à Saturne, le 23 et le 30 décembre, du nouveau satellite et de Titan, évalués par Huygens à 1 : 2 dans les deux cas (voir les Fig. 115 et 116 de la p. 114 et le troisième alinéa de la note 12 de la p. 115, qui se rapporte à la Fig. 117 de la p. 116). On connaît par suite la situation des points O et M sur le diamètre DB et on peut en déduire celle des points Fet E sur le cercle CFN, et calculer la grandeur de l'arc EF.
Dans la proportion que nous écrivons:
arc EF : arc BNC = p : q
les nombres p et q pouvaient donc être considérés comme connus.

5) Ce mouvement réel est évidemment représenté dans la figure par l'arc HG; toutefois il est étrange que Huygens fait mouvoir les deux satellites dans des sens différents. Pour l'éviter il aurait suffi de remplacer les points H et G par des points H′ et G′ de l'orbite extérieur, situés sur le prolongement des droites HO et GM.

6) Puisque l'arc GH est toujours plus petit en longueur que l'arc EF, comme on peut le démontrer facilement. On a donc:
arc GH : arc BNC < p : q.

[p. 510]

Ergo ejus distantia ad distantiam maea major quam quadratum.... ad quad. ex....¹⁾ hoc est quam.... ad....²⁾.

1) En conséquence de la troisième loi de Kepler on a:

donc:

2) Ici on trouve dans le Manuscrit un renvoi au § 3. En effet, on peut sauter sans inconvénient le § 2 qui ne contient qu'une répétition du contenu du § 1 sous une forme plus compliquée.

§ 2.

Jam porro sic per approxim.^m3): Sit jam centro A circulus GK cujus diam. ad diam. circuli EB sit ut.... ad.... Ergo cum nova luna sit in majori circulo quam GK, erit motus ejus realis in 7 diebus minor arcu GH rectis parallelis MEG, OFH intercepto.

Hujus autem arcus longitudo est partium... qualium arcus BNC est partium... Ergo planetae motus realis in 7 diebus minorem rationem habet ad motum realem lunae quam... ad...

Ergo majorem rationem habet distantia ejus ad distantiam nostrae lunae quam qu... ad qu... hoc est quam... ad...

Si paulo major ponatur, jam ultimò invento, circulus GK. deducetur ad absurdum.

3) D'après l'état du Manuscrit cette phrase fut intercalée plus tard; elle ne rend nullement compte de la différence entre les §§ 1 et 2.

§ 3.

vel hinc porro per analiticem. Sit jam radius novae orbitae AG ∞ x. Veteris orbitae radius AS ∞ 10.0000. cum ergo radius x aequetur arcui GK ∞ ∞ 57 gr.⁴⁾ quot gradibus aequabitur recta MO vel GH⁵⁾ [?], fiunt gr...⁶⁾ Jam si hi gradus.... insumunt tempus 7 dierum quot dies insument 360 gr. [?] fiunt.... dies⁷⁾, qui ad dies 16 periodum lunae meae debent esse ut √x³ ad 100000 √100000⁸⁾.

x [ad] 57 [ut] MO vel GH⁵⁾ (96679⁹⁾) [ad] 5510703. gr./x

4) GK représente ici l'arc de 57^o17′45″ dont la longueur est égale au rayon du cercle, mais Huygens néglige les minutes et les secondes.

5) On a par approximation GH = MO à cause de la petitesse de l'inclinaison de GH sur EF. De plus l'arc GH est supposé égal à sa corde. En effet on lit encore en marge: ‘Ob parvitatem arcus GH cognitam ponitur non differre a subtensa sua.’

6) Voir la première proportion qui suit.

7) Voir la deuxième proportion.

8) Voir la troisième proportion.

5) On a par approximation GH = MO à cause de la petitesse de l'inclinaison de GH sur EF. De plus l'arc GH est supposé égal à sa corde. En effet on lit encore en marge: ‘Ob parvitatem arcus GH cognitam ponitur non differre a subtensa sua.’

9) Voir pour la détermination de ‘MO vel GH’ le dernier calcul de ce paragraphe.

[p. 511]

^10)11)12)

10) On trouve: 45.73.

11) Comparez le dernier alinéa de la note 12 de la p. 115. Comme nous l'avons vu dans l'Avertissement qui précède, ce résultat ne correspond pas à la réalité, puisqu'en vérité le nouveau satellite avait accompli dans les 7 jours entre le 23 et le 30 décembre une révolution entière et une fraction de révolution.

12) Comparez le résultat (69^o54′) du deuxième calcul de la p. 116, mais Huygens néglige ici les minutes.
Ajoutons encore à propos des calculs de ce paragraphe la remarque suivante de Huygens, qu'on trouve en marge: ‘si observatus fuisset transitus VK. tunc melius per approximationem.’ Toutefois on ne trouve rien qui indique quelle méthode Huygens aurait suivi dans ce cas.

[p. 512]

§ 4¹⁾.

sit meae lunae distantia aa. Novae distantia xx. MO ∞ d

1) Dans ce paragraphe Huygens reprend le même problème et en donne la même solution, posant seulement aa au lieu de a et xx au lieu de x pour les rayons des orbites des deux satellites.