Oeuvres complètes. Tome II. Correspondance 1657-1659

[p. 15]

N^o 377.
Fr. van Schooten à P. de Fermat.
17 février 1657.
Appendice I au N^o. 376.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Responsum ad Questiones, à Domino de Fermat, in Parlamento Tolosano Consiliario Regio, totius Europae Mathematicis ad solvendum propositas.

Igitur ad solvendam 1^mam Quaestionem, in qua Numerus Cubus est inveniendus, qui additus omnibus suis partibus aliquotis conficiat Quadratum, quaero ab unitate 4, 7, 10 aut 13, pluresve numeros deinceps proportionales (augendo scilicet illorum numerum continuè per 3), qui simul additi conficiant quadratum numerum. eritque ultimus proportionalium Cubus quaesitus. Pro secundo autem proportionalium sumo semper alium atque alium primum numerum, incipiendo ab omnium minimis.

Sic quoniam proportionales 1. 2. 4. 8/ 1. 3. 9. 27/ 1. 5. 25. 125 additi faciunt numeros 15, 40, 156, qui quadrati non sunt: hinc, prout pro 2^dis cujusque harum serierum assumpsi primos numeros 2, 3 et 5, assumo jam pro 2^do primum numerum 7, habeoque proportionales 1. 7. 49. 343, qui additi faciunt 400, quadratum numerum, cujus latus est 20. Atque sic invenio 343 esse omnium minimum cubum numerum, qui quaesito satisfacit ac ipsissimus est, qui à Domino de Fermat est allatus. Quoniam autem assumendo semper alios atque alios 4^or proportionales, utendo ad hoc ordine omnibus primis numeris à 2 usque ad 97, alium nullum praeter jam ostensum offendi, laborem illos ulterius explorandi subterfugi: quandoquidem compendiosiorem viam eos certò inveniendi agnoscere haud potui.

Eodem modo, cum utendo 7 proportionalibus 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64/ 1. 3. 9. 27. 81. 243. 729/ &c. summae 127, 1093, &c. non sint quadrati nec id ulterius, ob laboris molestiam in 7 proportionalibus inquirere animus fuerit, declinavi simul operam idem in 10, 13, 16 pluribusve proportionalibus experiri. Ita ut hinc judicare ausus sim quòd, licèt hujusmodi numeri (ut sanè confido) sint infiniti, non tamen quis eos ultra certam multitudinem, ut puta 5 aut 6 numero, facilè sit inventurus, ex ingenti illorum à se invicem distantia.

Ratio autem eosdem numeros sic infallibiliter inventum iri Dominum de Fermat latêre non poterit, ubi intelliget me ad praedictos proportionales investigandos uti hujusmodi terminis Analijticis a³, a⁶, a⁹, a¹² &c. aut etiam ad inveniendos numeros, habentes 15, 27, 39, 48, 51, 63, 69 aut 75 &c. partes aliquotas, me praeter illos, praecedenti modo notatos, uti his a³b³, a⁶b³, a⁹b³, a⁶b⁶, a¹²b³, a³b³c³ vél a¹⁵b³, a⁹b⁶, aut a¹⁸b³, &c, quippe qui huic negotio, ut scilicet cubis numeris inveniendis inserviant, utiles esse possunt.

[p. 16]

Sed cum ad inveniendos quaesitos numeros hi termini non nisi operosiores vias eosdem quaerendi significent, haud facilè crediderim, ut quis illas ingressus eos felicius sit obtenturus. Caeterum nihil hìc addo, cum praeter jam indicatos modos investigandi hosce numeros nulli existant, quibus ipsi certâ ratione inveniri queunt; nisi fortè Dominus de Fermat compendia nonnulla in faciendis adaequationibus (quae certè mihi neutiquam succedere voluerunt) excogitaverit, quae molestiam hujus examinis non parum sublevent: quae si communicaverit, rem sanè gratissimam facturus est.

Similiter ad solvendam 2^dam Quaestionem in qua Numerus Quadratus quaeritur, qui additus omnibus suis partibus aliquotis conficiat numerum Cubum, quaero 3, 5, 7, 9, 11, aut 13, pluresve numeros ab unitate deinceps proportionales (augendo scilicet illorum numerum continuè per 2), qui simul additi faciant Cubum, sumendo pro 2^do numerum quempiam primum. Omnino ut per 1. a. aa / 1. a. aa. a³. a⁴ / 1. a. aa. a³. a⁴. a⁵. a⁶. / &c. indicatur. Si enim haec summa Cubus numerus fuerit, erit ultimus proportionalium Quadratus quaesitus. Utpote utendo ad hoc aa, a⁴, a⁶, a⁸, a¹⁰, &c. ad inveniendos numeros, habentes 2, 4, 6, 8, 10, &c. partes aliquotas. Aut etiam praeter hos utendo aabb, ad inveniendos numeros habentes 8 partes aliquotas, aut a⁴bb ad 14 partes, aut a⁶bb ad 20 partes, aut a⁴b⁴ ad 24 partes, aut aabbcc vel a⁸bb ad 26 partes, &c. Sed quoniam et hi posteriores termini non nisi difficiliores modos quaerendi hosce quadratos numeros significant, vix credere ausim quempiam utendo illis ad optatum finem faelicius perventurum.

Atque cum hi omnes modi existant, quibus quaesitos numeros certò obtineri posse evidenter perspexi, modò quis ad hoc laborem examinando, ut supra, ordine omnes primos numeros (incipiendo ab omnium minimis) non defugiat, sperare volo hìc à me Clarissimi Fermatij desiderio penitus fuisse satisfactum.

Haec ego Franciscus à Schooten, in Academia Lugd. Bat. Matheseos professor.

Dabam Lugd. Bat. die 17 Febr. Anno 1657.