Methodologie

7;2 Vraagvorm en bewerkingswijze

7;2;1 Samenhang van verzameling en bewerking.

De afzonderlijk gecodeerde reactie op een ‘vraag’, hetzij aan een persoon, hetzij aan een geval in het materiaal, is voor veel instrumenten het basiselement. In deze vorm komt het antwoord ter beschikking voor de verdere bewerking. Gewoonlijk is hiermee echter nog niet de waarde van de variabele verkregen: de antwoorden op afzonderlijke vragen moeten nader worden bewerkt, zij moeten worden gecombineerd; en deze bewerkingen moeten evenzeer objectief zijn.

In veel gevallen zijn die bewerkingen complex, en is de ‘afstand’ van het direct geregistreerde, van de waarnemingsgegevens, groot. Men vraagt bijvoorbeeld de individuele respondenten bij een enquête naar hun meningen over verschillende onderwerpen, maar men wil zekere niet onmiddellijk uit de verdeling der antwoorden evidente groeps-kenmerken, c.q. de ‘latente structuur’ van de respondenten-verzameling bepalen (lazarsfeld 1954); men laat proefpersonen prestatie-tests verrichten, maar men wil via een factoranalyse factor-ladingen en factor-scores bepalen, c.q. op een indirecte manier persoonlijkheids-dimensies meten (b.v. eysenck 1952b); men bepaalt in eerste instantie direct waarneembare gegevens, maar het is te doen om de berekening van een ‘interveniërende variabele’, die een functie is van de primaire gegevens; enzovoorts.

De technische objectiviteitseis op zichzelf stelt hier nauwelijks nieuwe problemen: de meeste van deze bewerkingswijzen hebben het karakter van tellen, rekenen, classificeren en meer gecompliceerde mathematische

[p. 225]

operaties, die uit de aard der zaak objectief zijn, althans relatief gemakkelijk objectief te regelen zijn. De ‘kunst van het bewerken’ is echter, opnieuw, dit zo te doen, dat de uitkomst, dat is de waarde van de variabele in kwestie, niet alleen objectief wordt verkregen maar ook ‘relevant’ is. Het probleem is: een bij het materiaal van antwoorden passende èn aan de realisering van het begrip in kwestie adequate, objectieve bewerkingswijze te vinden.

Wij moeten dit probleem echter nog iets ruimer stellen. Objectieve bewerking veronderstelt een ‘doel’ en een ‘voorwerp’ (vgl. 6;1;1). Het doel is: instrumentele realisering van een gegeven begrip; het voorwerp (dat wat bewerkt wordt) bestaat uit: waarnemingsgegevens op een bepaald gebied, of antwoorden op verstandig te stellen vragen. Het karakter van het doel en de geaardheid van het voorwerp (gebied) bepalen nu tezamen allereerst, welke (objectieve) materiaalverzamelings-techniek, welke methode van vragen stellen het meest adequaat is; vervolgens bepalen het doel en de volgens deze verzamelings- of waarnemingstechniek verkregen ‘antwoorden’ tezamen, welke verdere bewerkingstechniek het meest adequaat is. Omgekeerd hangt ook de adequaatheid van de verzamelings-techniek mede af van de geprojecteerde bewerkingen. Met andere woorden: het probleem van een adequate bewerkingswijze (processing of data) is niet los te zien van het probleem van een adequate manier van gegevens verzamelen (collection of data). Zij moeten bij de instrumentele realisering van een begrip dus in feite tezamen, in verband met elkaar, worden opgelost.

Er bestaat voor de oplossing hiervan een veelheid van mogelijkheden. Op verschillende probleemgebieden en in verschillende scholen hebben zich verschillende instrumenteel-statistische technologieën ontwikkeld. Sommige van de gebruikte technieken van observatie en/of bewerking hebben een betrekkelijk algemeen karakter, bijvoorbeeld de constructie van Guttmannschalen (guttman 1950), factoranalyse (zie b.v. thurstone 1947); andere zijn voor betrekkelijk speciale doeleinden ontworpen, bijvoorbeeld de methode van de gedwongen keuze (forced choice) bij personeelsbeoordeling (sisson 1948). De verscheidenheid is onoverzienbaar.

Des te groter is de verdienste van de Amerikaanse onderzoeker Clyde H. Coombs, die erin geslaagd is al deze verschillende modellen van ‘(psychological) measurement’, al deze methoden van het verzamelen en

[p. 226]

bewerken van gegevens, naar hun logische grondstructuur te ordenen en in een systeem onder te brengen (coombs 1953 en 1961). Een dergelijk systeem maakt het mogelijk een overzicht te krijgen over de bestaande werkwijzen (vgl. ook torgerson 1960). Door de nadruk op de logische grondstructuur en op de in iedere verzamelings- en bewerkingswijze geimpliceerde veronderstellingen legt het, soms verrassende, dwarsverbindingen tussen technieken, die zich voordien onafhankelijk van elkaar hadden ontwikkeld. Bovendien heeft de logische uitwerking van het systeem geleid tot de ontwikkeling van vele nieuwe vraagvormen en bewerkingswijzen.

7;2;2 Meting en meet-schalen.

Wij willen hier op slechts één aspect kort ingaan, namelijk op de vernieuwing van en de differentiatie in het begrip ‘meten’, waartoe de ontwikkeling, waarvan het werk van Coombs een exponent is, heeft geleid (vgl. ook b.v.: stevens 1946 en 1951; torgerson 1960, e.v.a.).

Vroeger werd onder ‘meting’ gewoonlijk verstaan: de grootte van iets zo scherp mogelijk bepalen en uitdrukken in een maatgetal, waarvoor de gewone rekenregels gelden. Ook in de sociale wetenschappen was het streven van hen, die wilden trachten exact te werk te gaan, er voornamelijk op gericht tot zulke meet-methoden en variabelen te geraken. Met de vergroting van het arsenaal van objectieve instrumentele realiseringswijzen, verruimden zich echter de begrippen ‘meten’ en ‘meting’, althans in het Engelse taalgebruik (measurement). ‘Meten’ werd equivalent met: op objectieve wijze in schaal brengen; waarbij de ‘schaal’ echter volstrekt niet metrisch behoeft te zijn.¹ Anders uitgedrukt: ‘meten’ is: aan objecten, op grond van bepaalde objectieve empirische operaties, getallen toevoegen. Welke rekenregels voor die getallen gelden is afhankelijk van het soort schaal, waarin zij gelezen moeten worden.

Men kan vier hoofdtypen meet-schalen onderscheiden (stevens 1946; coombs 1953):

1. de nominale schaal. Voorzover men met getallen werkt-dat is hier niet nodig, maar vaak wel gemakkelijk - wordt aan ieder meet-object een

1 Torgerson gaat in deze minder ver. Hij spreekt alleen van ‘meten’ daar, waar men kan zeggen met een ‘schaal’ te doen te hebben, die van ‘laag’ naar ‘hoog’ loopt. De nominale schaal is voor hem géén meetschaal; ‘meten’ begint bij de ordinale schaal, met of zonder nulpunt (torgerson 1960, hfdst. 2;3).

[p. 227]

getal toegevoegd, dat echter uitsluitend kengetal is. Er verandert niets essentieels, als men de voorkomende kengetallen volgens een willekeurig eenduidig schema (een 1-1 transformatie) door andere vervangt. Verschillende objecten kunnen eenzelfde kengetal hebben; zij vallen dan in dezelfde klasse. ‘Meten’ in de nominale schaal is: op objectieve wijze classificeren in kwalitatief verschillende klassen. M.a.w.: planten determineren of beroepen classificeren is ‘meten’, als het volstrekt objectief gebeurt; proefpersonen verdelen in mannen en vrouwen (en respectievelijk de code 0 en 1 geven) is eveneens meten.

2. de ordinale schaal. De getallen zijn hier essentieel ranggetallen. Vervangt men alle voorkomende getallen op willekeurige wijze door andere, doch zó dat hun volgorde dezelfde blijft (monotone transformatie), dan verandert er niets essentieels. Men kan al dan niet toelaten, dat verschillende objecten eenzelfde ranggetal krijgen (ex-aequo-uitkomsten, ‘ties’). Als men het toelaat moeten er speciale regels voor worden gesteld. Rangschikken van meet-objecten naar de grootte van het te meten attribuut (en er oplopende of afnemende getallen aan toekennen) is ‘meten’ in de ordinale schaal. Men doet dit bijvoorbeeld, wanneer men van op andere wijze gemeten objecten - de lengte van een regiment recruten; de tijden, die ieder van 10 proefpersonen nodig heeft voor het verrichten van een prestatie - alléén op de rangorde let. Beoordelingen laat men vaak direct geven in een ordinale schaal, hetzij door proefpersonen hetzij door beoordelaars die voor onderzoek-doeleinden (7;3) of voor praktische doeleinden zijn ingeschakeld. Zo kan men bijvoorbeeld leerlingen in een klas rangschikken of laten rangschikken naar prestatie; taken in de industrie naar hun zwaarte; schoonheidskoninginnen naar schoonheid; verschillende diploma's naar moeilijkheid (om ze te verwerven), enz.

3. de interval-schaal. Hier zijn de getallen in zoverre maatgetallen, dat men afstanden (intervallen) tussen meetpunten kan vergelijken, d.i. ‘meten’ in engere zin. Dit is de eerste ‘metrische’ schaal. Men kan hier ook getallen middelen; het gemiddelde van 4 en 8 is immers allèèn 6, als men mag aannemen dat 8 - 6 = 6 - 4, dus dat gelijke verschillen gelijke grootte-intervallen aangeven. Echter geldt niet, dat ‘8’ twee maal zo groot of zo veel is als ‘4’; men denke bijvoorbeeld aan schoolcijfers. Er is geen vast nulpunt. Er verandert niets essentieels, als men alle voorkomende getallen met een vast getal vermenigvuldigt en/of er een constante bij

[p. 228]

optelt of van aftrekt (lineaire transformatie). Bijvoorbeeld, intelligentiequotiënten: deze worden wel gemiddeld, maar IQ = 140 betekent niet ‘2 × zo intelligent’ als IQ = 70; en men kan ze desgewenst zonder bezwaar allemaal door 100 delen, en/of bijvoorbeeld 0 in plaats van 100 als gemiddelde nemen.

4. de verhoudings-schaal. Dit zijn complete maatgetallen, met behulp waarvan men de grootte van de attributen der meetobjecten direct kan vergelijken, zoals bij de meeste fysische maten (lengte, inhoud, tijdsduur, snelheid, energie, etc.). Een verhoudings-schaal is een intervalschaal met een nulpunt. Het enige wat men kan doen, zonder iets essentieels te veranderen is: alle voorkomende getallen met eenzelfde getal (≠0) vermenigvuldigen; men heeft dan alleen de meet-eenheid veranderd (scalaire transformatie). Bijvoorbeeld produktie-maten: uitgedrukt in eenheden (aantallen produkten of iets dergelijks); men kan echter ook nieuwe eenheden van bijvoorbeeld 10 oude eenheden invoeren.

De hier gegeven volgorde is die van ‘zwak’ naar ‘sterk’. Met zwakke schalen kan men uit een oogpunt van meting en mathematische bewerking van de resulterende variabelen minder doen dan met sterke. Daar staat echter tegenover, dat men bij sterke schalen meer veronderstellingen ten aanzien van de verwerkte waarnemingsgegevens invoert; en het is maar de vraag of dat verantwoord is (zie 7;2;4).

In ieder geval is het bestaan en de bewuste hantering van zwakkere schalen in de sociale wetenschappen dikwijls een uitkomst, temeer daar er in de laatste tientallen jaren tal van nieuwe statistische methoden ontwikkeld zijn, die een exacte behandeling ook van zwakkere gegevens mogelijk maken. Terwijl bij de vroeger uitsluitend gebruikte parametrische technieken van statistische hypothese-toetsing niet alleen een intervalschaal maar meestal ook een normale verdeling van de variabele in de populatie werd aangenomen, berusten de parametervrije toetsingsmethoden (siegel 1956) niet op dergelijke aannamen. Daarmee kan men óók alleen kwalitatief onderscheiden of alleen gerangschikte gegevens op objectieve en adequate wijze statistisch behandelen. De relevantie van een variabele als operationele representant van een begrip behoeft dus niet meer, zoals vroeger vaak, dubieus te worden door een teveel aan, in de operationele realisering geïmpliceerde, gratuïte annamen. Ook hier dus een uitbreiding van mogelijkheden.

[p. 229]

Tenslotte nog een enkele opmerking over het begrip ‘meten’. De Nederlandse taal biedt een zekere weerstand tegen een uitbreiding in de hier bedoelde zin: ‘niet-metrisch meten’ ligt minder gemakkelijk dan ‘non-metric measurement’.¹ Ook is het duidelijk, dat sommige weerstanden in ons land tegen de gehele beweging van ‘mental measurement’ mede berusten op het misverstand, dat het om meting in engere zin, dat is om ‘fundamentele meting’ (cohen en nagel 1934, hoofdstuk 15), in de zin van de verhoudingsschaal zou gaan. Zo is bijvoorbeeld een deel van het verzet in sommige pedagogische kringen tegen het gebruik van cijfers op school gebaseerd op de misvatting dat voor getallen per se 2 × 2 = 4 moet gelden - wat ons trouwens op school ook sterk is gesuggereerd. Weliswaar leren wij daarna ook met kengetallen en ranggetallen en met intervalschalen werken, maar dat dit consequenties voor de toepasbaarheid van rekenregels - mathematisch: willekeurige afspraken - zou hebben, dringt tot velen klaarblijkelijk niet werkelijk door.² Men zou dit als een bezwaar tegen de begripsuitbreiding kunnen zien. Het lijkt echter verstandiger om voor ‘meten’ als technisch begrip internationaal dezelfde grenzen te trekken, en te hopen, dat het wetenschappelijk spraakgebruik in ons land zich aanpast en dat de begripsverschuiving in de toepassingssfeer wordt opgemerkt. In het volgende zal daarom ‘meten’ en ‘meting’ in ruime zin worden gehanteerd.

1 Toch zijn er ook in het Nederlands wel voorbeelden van een ruimer woordgebruik. ‘Maat’ (van alle dingen) en ‘maatstaf’ kunnen ook kwalitatief zijn: wanneer we zeggen, dat iemand ‘alles afmeet aan zichzelf’, bedoelen we met de term ‘afmeet’ hooguit een ordinale schaal.

2 Zo heeft bijvoorbeeld Langeveld de veranderingen in betekenis van ‘(mental) measurement’, die gedurende de laatste 30 jaar zijn opgetreden en die 15 jaar geleden zo scherp zijn belicht (stevens 1946), nog steeds niet in de tekst van zijn ‘Inleiding tot de Studie der Paedagogische Psychologie’ verwerkt (langeveld 1957). De tweede aan het onderwerp ‘Meten’ gewijde paragraaf begint met: ‘Men is het er wel over eens, dat meten de gelijkstelling van twee niet-identieke elementen veronderstelt’ (op.cit., p. 269). Dit is precies waar men het niet ‘over eens’ is.

7;2;3 Schaalconstructie en meting als analoge afbeelding.

Meting, in onze ruime zin, is klaarblijkelijk een bijzonder fundamentele activiteit in alle wetenschappelijke ondernemingen, én daarbuiten. Het is een middel, of liever het middel bij uitnemendheid, om vat te krijgen op de verhoudingen, de situaties en de processen in de wereld, en, in de toegepaste sector met name, om de

[p. 230]

gegeven natuurlijke en cultuurlijke verschijnselen en mogelijkheden te beheersen. Het lijkt daarom nuttig nog iets nader in te gaan op wat wij eigenlijk doen wanneer wij voor een bepaald doel een schaal construeren en daarin gaan meten, en op wat daaraan voor problemen verbonden zijn.

Wanneer wij een schaal construeren voor de meting van bepaalde verschijnselen - in de vorm van een variabele - kiezen wij reeds een bepaalde mathematische denkvorm, met axioma's en rekenregels; een denkvorm, die op zichzelf abstract is, maar die zich gewoonlijk bijzonder gemakkelijk leent tot een ruimtelijke interpretatie. De verschijnselen uit de wereld, de fenomenen, die wij hebben waargenomen, of geregistreerd en misschien al tot variabelen verwerkt, worden analoog afgebeeld in het abstracte, maar ruimtelijk interpreteerbare model van de gekozen schaal. De schaal, met meetresultaten, is op te vatten als in kaart gebrachte werkelijkheid; men spreekt in plaats van afbeelding ook wel van ‘in kaart brengen’ (mapping). Deze kaart nu moet zo getrouw mogelijk zijn aan de fenomenen, en daartoe moet in de eerste plaats de carteringsmethode adequaat gekozen zijn.

Laten wij vanuit dit gezichtspunt eerst de vier genoemde schalen nog eens nagaan.

De nominale schaal correspondeert mathematisch in eerste instantie met een partitie in een hetzij eindige, hetzij oneindige verzameling, ruimtelijk met de voorstelling van een gesloten ruimte, die in vakken is verdeeld. Er kunnen zich velerlei complicaties en bijzonderheden voordoen - deelverzamelingen, snijding van verzamelingen, etc. - die mathematisch worden beschreven in de verzamelingsleer of Booleaanse algebra,¹ en die eventueel ruimtelijk in Venn-diagrammen kunnen worden weergegeven. Wat de fenomenale zijde betreft is deze afbeeldingswijze, met bijbehorende statistische bewerkingsmethoden, adequaat in alle gevallen waarin wij naar kwalitatieve kenmerken objectief kunnen sorteren en, desgewenst, tellen. Zulke gevallen doen zich zeer veel voor; de reeds gegeven voorbeelden (sexe, species, beroep) zijn gemakkelijk met andere aan te vullen (nationaliteit, godsdienst, politieke partij, leervakken op school, ‘typen’ in een typologie, enz.). In het mathematische model is er geen enkel

1 Als inleiding tot dit onderwerp en andere in de moderne gedragswetenschappen veel toegepaste gebieden van de wiskunde (matrix-algebra, waarschijnlijkheidsleer, e.d.) zij aanbevolen: kemeny, snell en thompson 1957.

[p. 231]

bezwaar tegen, dat iedere klasse maar één element telt, zoals bijvoorbeeld met persoonsnamen of telefoonnummers ten naaste bij het geval is; ook een indeling naar naam of telefoonnummer is een nominale classificatie.

De ordinale schaal correspondeert mathematisch met een rij opklimmende getallen waarop iedere monotone transformatie, dus óók die naar de rij der natuurlijke getallen: 1, 2, 3 enz., mag worden toegepast; ruimtelijk denkt men gewoonlijk in termen van discrete punten op een rechte lijn, die naar believen mogen worden verschoven, maar die discreet moeten blijven en elkaar niet mogen passeren (vergelijk: kralen aan een draad). De lijn, waarop de punten liggen, kan, maar behoeft niet de betekenis te hebben van een ten grondslag liggend continuum. Bij een systeem van (Hindoe-)kasten wordt uitdrukkelijk geen onderliggend continuum aangenomen, bij een systeem van maatschappelijke klassen (b.v. de in Amerika gebruikelijke, van upper-upper naar lower-lower) gewoonlijk wel. Fenomenaal is deze afbeeldingswijze toepasselijk overal waar wij mogen aannemen, dat tussen iedere twee elementen een relatie bestaat van het type: ‘a_i is meer X dan a_j’ (a_i · > a_j), die transitief is; of, in geval wij ‘ties’ toestaan, d.i. eenzelfde ranggetal voor verschillende elementen: òf een relatie a_i · > a_j (a_i < · a_j), òf a_i = a_j - beide transitief. De transitiviteitsvoorwaarde behelst, dat als a_i · > a_j is, en a_j · > a_k, noodzakelijkerwijze a_i · > a_k moet zijn; respectievelijk, dat uit a_i = a_j en a_j =a_k volgt: a_i = a_k. Ook dit komt veel voor. Overal waar in de fenomenale wereld door ons verschijnselen van toename van een willekeurige kwaliteit (‘Steigerungsphänomene’, selz 1941) kunnen worden waargenomen of geabstraheerd, zoals bijvoorbeeld intensiteit, zwaarte, grootte, ingewikkeldheid, mannelijkheid, ruimtelijke positie (b.v. van links naar rechts), schoonheid, radicalisme, toonhoogte, enz., hebben wij een continuum, waarop in principe een ordinale schaal kan worden gebouwd. Sommige van deze toename-verschijnselen zijn óók metrisch te behandelen; andere niet, b.v. in de natuurkunde de reeks van vaste stoffen (gesteenten, kristallen) naar hun hardheid. In de sociale wetenschappen is een standaard-probleem, of en zo ja hoe men voor een gegeven continuum via een ordinale tot een interval-schaal, respectievelijk van een intervalschaal tot een verhoudingsschaal kan komen (vgl. b.v. stevens 1951; torgerson 1960). Naast continua doen zich ook vaak discrete rangordeschalen in de werkelijkheid voor, bijvoorbeeld de reeds genoemde kasten, of rangen in het leger.

[p. 232]

De interval-schaal correspondeert mathematisch met een variabele (of met een stel getallen) waarvan alleen die eigenschappen worden bekeken, die invariant zijn voor lineaire transformatie x′ = ax + b (met a ≠ o); ruimtelijk met punten op een lijn, waarop men het nulpunt mag verschuiven en de maateenheid mag veranderen, maar verder niet. Hier wordt in het algemeen wel een ten grondslag liggend continuum verondersteld: door operaties als ‘middelen’ - wat hier is toegestaan (7;2;2) - kan men immers in principe bij ieder tussenliggend (rationaal) getal terechtkomen. Fenomenaal is de belangrijkste voorwaarde voor de toepasselijkheid van deze afbeeldingswijze, dat men zinvol moet kunnen spreken van ‘gelijke afstanden’ tussen verschillende elementen of waarnemingspunten. Bijvoorbeeld de temperatuurschaal: het verschil tussen 40 en 30 graden Celsius is ‘even groot’ als dat tussen 30 en 20 graden, maar 40 graden is niet een ‘twee maal zo hoge’ temperatuur als 20 graden. Overigens zijn evidente voorbeelden van interval-schalen, die niet tevens verhoudingsschalen zijn, niet zo gemakkelijk in de natuurlijke wereld te vinden; zij hebben gewoonlijk iets kunstmatigs, zij worden dikwijls geconstrueerd of gepostuleerd, voor continua, die in eerste instantie alleen tot ordinale uitspraken aanleiding geven.¹ Een leraar, die voor sommige proefwerken een 8, voor andere een 7 en weer andere een 6 geeft, doet dit gewoonlijk opzettelijk zó, dat volgens zijn beoordeling het verschil tussen 8 en 7 ‘even groot’ is als tussen 7 en 6. Daarop berust zijn gewoonte (als hij die heeft) om cijfers te middelen. Het is weliswaar een bijzondere schaal, die hij gebruikt, wegens de belangrijke scheiding tussen voldoende en onvoldoende; maar het is een interval-schaal: hij zou evengoed respectievelijk 16, 14 en 12, of 18, 17 en 16 kunnen geven. Maar uit het materiaal zelf is allerminst duidelijk, dat de aangebrachte verschillen in beoordeling, tussen 8 en 7, en tussen 7 en 6, werkelijk gelijk zijn. Zij kunnen gebaseerd zijn- op een systematische rekenwijze, bijvoorbeeld ‘voor iedere fout een half punt minder’; evenzo, in de test-

1 Natuurlijk is de tijd-schaal, die wij gebruiken, en zijn ook de ruimte-schalen in abstracto intervalschalen - zonder nulpunt. Bedenken wij echter, dat in feite praktisch altijd een ‘eigenschap’ van een ‘systeem’ wordt gemeten - dus b.v. de tijdsduur van een proces, de positie van een object, de afstand ten opzichte van een nulpunt - dan kunnen wij inderdaad volhouden dat intervalschalen althans in de wetten en hypothesen over natuur en cultuur zeldzaam zijn. - Het voorbeeld van de temperatuurschaal is bij nadere analyse intussen nogal ingewikkeld, onder andere wegens het bestaan van een absoluut nulpunt. Wij kunnen hierop nu echter niet verder ingaan.

[p. 233]

psychologie: ‘ieder item een punt’. Maar deze systematiek is dan op zijn beurt weer gebaseerd op een tenslotte arbitraire gelijkschakeling, van alle fouten, alle items - of, in de (oude) psychofysica, van alle ‘kleinst waarneembare verschillen’ (fechner 1860; thurstone 1927). Weliswaar zijn er talrijke experimentele methoden van materiaal verzamelen en methoden van mathematisch-statistische materiaal-bewerking, die de willekeurigheid van zulke gelijkstellingen kunnen verminderen (vgl. b.v. torgerson 1960), maar daarbij komen dan toch steeds voor de gelijkstelling zelf andere aannamen in de plaats. Het ruimtelijke analogon van de interval-schaal: afstanden (te meten in km, mijlen, cm of ‘uren gaans’, om het even) op een lijn zonder vast nulpunt, is betrekkelijk zelden zonder nadere aannamen op de fenomenale wereld toepasselijk.

De verhoudingsschaal, tenslotte, correspondeert mathematisch met getallen, die worden bekeken op die eigenschappen, die invariant zijn voor scalaire transformatie x′ = ax (met a ≠ 0); ruimtelijk met punten op een lijn met vast nulpunt en veranderlijke maateenheid. Fenomenaal correspondeert dit analogon met alle gevallen, waarin wij de vraag ‘Hoeveel?’ of ‘Hoe vele?’ zinvol kunnen beantwoorden. Dit is het geval met alle zgn. ‘extensieve kwaliteiten’ (vgl. cohen en nagel 1934, hoofdstuk 15), waarbij men, van 0 af, kan tellen of waarbij men een hoeveelheid (metrisch) kan meten. Alles wat uitgedrukt kan worden in aantal, in hoeveelheid, omvang, grootte, of ook in tijdsduur, valt hieronder. In de exacte natuurwetenschappen is bijna alles in deze fundamenteel metrische schaal uit te drukken. Ook in de sociale en gedrags-wetenschappen zijn echter gemakkelijk evidente voorbeelden te vinden: de frequentie van een verschijnsel, de duur van een te verrichten taak, reactiesnelheid, het aantal geproduceerde eenheden, de hoeveelheid speeksel-afscheiding van een Pavlov-hond, enz.

7;2;4 Problemen van isomorfie.

Uit deze revue van de vier belangrijkste schalen zal intussen wel duidelijk zijn geworden, dat voor lang niet alle verschijnselen in de wereld één van deze vier schalen zonder meer een passende analoge afbeelding kan verschaffen. De vraag of een afbeelding passend is noemt men gewoonlijk het probleem van de isomorfie (isomorfisme). Als wij gaan meten, dan doen wij dit op basis van de aanname, dat werkelijkheid en meetschaal of meetmodel isomorf zijn; de vraag is of deze aanname verantwoord is.

[p. 234]

Bij de nominale schaal kunnen zich grens-gevallen voordoen, die niet goed in te delen zijn - een moeilijkheid, die bijvoorbeeld bij typologieën, naar discrete patronen of ‘typen’, op allerlei gebied, nogal eens optreedt en die niet altijd zinvol is op te lossen door uitschakeling (uit het universum of uit de steekproef) of door instelling van een rest-categorie ‘overige gevallen’. Bij de ordinale schaal komt het voor, dat voor sommige tweetallen wel, maar voor andere géén uitspraak is te doen over hun relatieve positie. Als men verworven diploma's, bijvoorbeeld als criterium voor studiesucces, naar moeilijkheid wil rangschikken, is objectief bewijsbaar, dat H.B.S. 5 j. · > H.B.S. 3 j.; en verder zal het ook niet moeilijk zijn althans intersubjectieve overeenstemming (zie 7;3) te bereiken over Gymnasium A · > Ulo B, of zelfs Gymnasium A · > H.B.S.A. Maar over de verhouding van Gymnasium A en H.B.S. B is het moeilijk een unaniem aanvaarde uitspraak te verkrijgen, en evenzo over Ulo B en 3 j. H.B.S. Schaaltechnisch is dit op te lossen door een ‘gedeeltelijk geordende’ schaal als tussenvorm tussen nominaal en ordinaal in te voeren (coombs 1953). Maar als men zulke gegevens verder wil analyseren, gaat men gewoonlijk anders te werk: men voert veronderstellingen in en maakt er toch een ordinale schaal van, bijvoorbeeld door gevallen van onzekere relatieve positie als gelijk te beschouwen. Ook tussen ordinale- en interval-schaal is een tussenvorm mogelijk, de ‘geordende metrische’ schaal (op. cit.), die als analoge afbeelding kan dienen, als voor sommige tweetallen elementen wel, voor andere geen uitspraken over ‘afstanden’ kunnen worden gedaan. Maar, opnieuw, in de praktijk - ook in de praktijk van het wetenschappelijk onderzoek - is dit geen gemakkelijk hanteerbare schaal. Men lost dit vaak op door er, via aannamen, een interval-schaal van te maken. En evenzo worden van interval-schalen wel verhoudingsschalen gemaakt, door er een nulpunt op te bepalen-op een wijze, die op invoering van nieuwe veronderstellingen berust.

Sommige afbeeldings-problemen kan men alleen oplossen door meer dan één dimensie te onderscheiden. Gaat het om de beschrijving en onderscheiding van ‘structuren’ of ‘typen’ dan is, afgezien van de mogelijkheid van een nominale typologie (zie boven), geen van de hoofdschalen voor één dimensie adequaat; maar men kan desgewenst met vectoren werken (b.v. meer-dimensionale temperaments- en/of lichaamsbouw-typen: heymans 1932, kretschmer 1921, sheldon 1942).

[p. 235]

Wil men de voordelen van de ruimtelijke afbeelding en van de corresponderende algebraïsche hulpmiddelen ten volle uitbuiten, dan is het vaak gewenst niet ieder van de variabelen die per element te onderscheiden zijn, als een dimensie te beschouwen, maar rekening te houden met de empirische correlaties tussen de variabelen. Men doet dit vaak in dier voege, dat men niet-gecorreleerde variabelen (r = 0) ruimtelijk als loodrecht op elkaar staande vectoren voorstelt - zij hebben geen ‘oorzaken’ d.i. ruimtelijk: geen componenten, gemeen - en gecorreleerde (r > 0) als gedeeltelijk in dezelfde richting lopende, met een grotere of kleinere onderlinge hoek (< 90° naar gelang r kleiner of groter is. In de factoranalyse enerzijds (fruchter 1954; thurstone 1947), in de ontvouwtechnieken en verwante methoden die Coombs c.s. hebben ontwikkeld, anderzijds (coombs en kao 1954), worden meer-dimensionale modellen van allerlei aard gebruikt voor het in kaart brengen van de werkelijkheid. Factoranalyse, als bewerkingstechniek, is gebaseerd op vrij ‘sterke’ veronderstellingen - o.m. interval-schalen voor ieder der variabelen, compensatorisch model, lineaire samenhang¹ - en kan daardoor gebruik maken van een uitgewerkte mathematische (metrische) apparatuur: theorie der lineaire vergelijkingen, matrix-rekening. Coombs' methoden zijn juist voor niet-metrische dimensie-, zo men wil ‘factor’-analyse opgezet; d.w.z. er zijn minder veronderstellingen in de afbeelding ingebouwd, maar zij zijn dan ook veel moeizamer in de uitvoering en minder gedifferentieerd in hun resultaten.

Wij zullen deze ingewikkelde afbeeldingswijzen hier niet uitwerken, maar wij willen wel nog even uitdrukkelijk wijzen op een nieuwe vorm van het ‘dilemma van de sociale onderzoeker’ (coombs 1953, p. 485), dat in het voorgaande telkens naar voren is gekomen. Het gaat hier niet om objectiviteit en relevantie, maar wel om een daarmee sterk samenhangend dilemma: de keuze tussen getrouwheid van de gekozen afbeelding aan de fenomenen, aan het eigenlijke studie-object, en manipuleerbaarheid van de afgebeelde, d.i. in schaal gebrachte gegevens.

Weliswaar is het maar uiterst zelden mogelijk materiaal te verzamelen,

1 Als wordt aangenomen, dat de sterkte van een kwaliteit of (ware) score van proefpersoon i kan worden beschreven als de gewogen som van b.v. twee ten grondslag liggende kwaliteiten (factor-scores), dus Z₁ = aX₁ + bY₁, dan kan, voor a, b > o, een lage X₁ klaarblijkelij worden gecompenseerd door een hoge Y₁, en omgekeerd. Het model is compensatc ch en lineair.

[p. 236]

(te bewerken) en in een passende schaal af te beelden zonder enigerlei aanname. Maar men kan meer of minder vóóronderstellen; en men kan, met Coombs, ernaar streven, ten eerste, de assumpties tot een minimum te beperken, en ten tweede, als men ze invoert, precies te weten waar, wanneer en waarom men het doet. In Coombs' terminologie: het is van belang om bij methoden van verzamelen en van bewerken van gegevens - steeds: voor de bepaling van een variabele, de instrumentele realisering van een begrip - scherp te onderscheiden tussen de informatie, die de gegevens bevatten en de (schijn-)informatie, die aan de gegevens wordt opgelegd door het meet-systeem. Daarbij vermijde men, met name, dat te veel ‘getrouwheid’ aan de ‘manipuleerbaarheid’ wordt opgeofferd.