De Vlaamsche School. Jaargang 12

Over het evenwicht en de beweging.

Vooraleer wij ons bezig houden met de wetten van het evenwicht en met die der beweging, gelooven wij eenige uitlegging te moeten geven over de beweging op zich zelve beschouwd, over den stilstand en de werkeloosheid.

Een lichaam is in beweging wanneer het van plaats verandert, integendeel is het beweegloos wanneer het dezelfde plaatspunten in de ruimte blijft bekleeden.

De beweging even als de stilstand is tweederlei, te weten onafhankelijk en betrekkelijk.

Een lichaam in onafhankelijke beweging, is ditgene hetwelk op verschillige tijdstippen verschillige plaatsen in de ruimte bekleedt, zonder in acht te nemen of deszelfs afstand van andere omringende voorwerpen verandert of niet; aldus kan de beweging der aarde als onafhankelijk aanzien worden, wanneer men deze beweging in vergelijking niet brengt met de plaats der maan, der zon en der sterren. Een lichaam in betrekkelijke beweging is dit, waarvan de plaatsbetrekkingen met de omringende lichamen veranderen. Dus is een mensch, die wandelt, in betrekkelijke beweging ten opzichte der boomen, gebouwen en andere voorwerpen die hem omringen.

Een lichaam is in onafhankelijken stilstand, wanneer zijne gedeelten in verschillige tijdstonden dezelfde plaats in de ruimte bekleeden, en in betrekkelijken stilstand wanneer het van plaats in de ruimte verandert zonder dat de afstand, die het van de omringende voorwerpen verwijdert, eenige veranderingen ondergaat. Dus een mensch stilzittende in een rijtuig dat voortsnelt, is in betrekkelijken stilstand ten opzichte der verschillige gedeelten van het rijtuig; maar hij is ook tevens in betrekkelijke beweging ten opzichte der boomen en der gebouwen waar het rijtuig voorbijsnelt.

De onafhankelijke beweging en de onafhankelijke stilstand zijn niets anders dan veronderstellingen van onzen geest; in de natuur is er voor ons niets onafhankelijk, maar alles is betrekkelijk en voorwaardelijk. Dus de voorwerpen die ons in stilstand schijnen te wezen, zijn maar in eenen betrekkelijken stilstand tot ons. De boomen zijn in stilstand ten opzichte der bergen, en deze zijn in stilstand ten opzichte der aarde; maar de boomen en de bergen worden met ons medegesleept in den omloop der aarde, en te zamen doorreizen wij in eene seconde meer ruimte dan de bal die uit een kanon geschoten wordt, alhoewel wij van die snelle beweging geen oogenblik het bewustzijn hebben.

Werkeloosheid. - Door dit woord verstaat men de eigenschap krachtens dewelke de lichamen in hunnen staat van beweging of stilstand volharden zonder de tusschenkomst van eene uitwendige kracht; met andere woorden, de werkloosheid is de onbekwaamheid der lichamen om eene verandering aan hunnen tegenwoordigen staat te doen ondergaan. De werkloosheid in den staat van stilstand hebben wij dagelijks voor oogen; nooit heeft men eenig lichaam door zich zelven zien in beweging komen. Een merkwaardig voorbeeld van werkeloosheid in den staat van beweging is dit van den omloop der maan rond de aarde, en der aarde rond de zon. Indien wij op de oppervlakte der aarde niet zien dat de lichamen aan zich zelven overgelaten, in hunne beweging volharden, moet men zulks toewijten aan den wederstand der lucht en der andere lichamen. De sterren integendeel, die zich in het ledige ruim bewegen, blijven hunne beweging houden.

Men verstaat door evenwicht den stilstand voortspruitende uit vereffening van krachten, en door evenwichtkunde (of statiek) dit gedeelte der natuurkunde dat voor doel heeft de wetten op voorwaarden van het evenwicht te bepalen. De beweegkunde (of dyna-

[p. 134]

miek) heeft integendeel voor doel de wetten der beweging te bepalen, wanneer het evenwicht verbroken is.

Een lichaam is in evenwicht wanneer de krachten die het tot beweging aandrijven, zich onderling vernietigen, of wanneer deze vernietigd worden door eenigen wederstand; ook kan men zeggen, dat de lichamen die in stilstand schijnen, slechts in evenwicht zijn. Wanneer nu eene dezer krachten komt te verminderen, dan blijft het lichaam niet meer in evenwicht, maar geraakt in beweging tot dat eene nieuwe kracht het tegenhoude.

Men meet de krachten door vergelijking met de eenheid eener bepaalde kracht, en men drukt deze meting uit, hetzij door een getal, hetzij door eene geschrevene lijn van bepaalde lengte. Eene dubbele kracht wordt dus uitgedrukt door een dubbel cijfer of door eene lijn van dubbele lengte.

Wat ook het getal der krachten zij, die op een lichaam in werking zijn, en wat ook hunne wending weze, kunnen deze krachten aan dit beweegbaar lichaam toch maar eene beweging in eene wending toebrengen; men begrijpt dus dat er eene zekere kracht moet bestaan, die alleen en op haar zelve bekwaam is het eigenste uitwerksel te weeg te brengen; en deze eenige kracht, die het geheel van de andere krachten zou kunnen vervangen, noemt men uitkomst.

Uitkomst van twee krachten die in dezelfde wending werkzaam zijn. - Wanneer twee krachten gedurende denzelfden tijd in dezelve werkzaam zijn, is hare hoeveelheid gelijk aan haar beloop. Inderdaad, indien deze krachten in plaats van te gelijker tijde werkzaam te zijn, achtereenvolgend werken, dan zal het eene het beweegbaar lichaam van A tot B brengen, en de tweede zal het daarna van van B tot C brengen.

Dat nu de twee krachten te gelijker tijd werken, en dan zal haar



uitwerksel het zelfde zijn als hier voren, en het lichaam zal van A tot C verplaatst worden. Uitkomst van twee gelijke krachten in eene tegenovergestelde wending werkzaam. - Deze krachten vernietigen elkander, en het lichaam, dat ze tot beweging aandrijven, blijft in stilstand. Inderdaad, wanneer men veronderstelt dat deze twee krachten na elkander werkzaam zijn, is het klaarblijkend dat de eene kracht het beweegbaar lichaam van A tot B zal brengen, en de tweede



van B tot A, vermits ze gelijk is aan de eerste en in eene tegenovergestelde wending; daarom zal de verplaatsing eindelijk op niet uitkomen. Hieruit ontstaat derhalve dat, indien deze krachten te gelijker tijd werkzaam zijn, zij elkander moeten evenwicht maken. Indien nu eene dezer krachten grooter is dan de andere, dan is de verplaatsing van het lichaam gelijk aan hun verschil en volgens de wending der grootste kracht. Uitkomst van twee krachten die met elkander eenen hoek uitmaken. - Twee krachten zijn te gelijker tijd werkzaam op het



lichaam A, de eene volgens de wending AB, en de andere volgens de wending AC. De eerste is uitgedrukt door de lijn AB, en de tweede door de lengte van de lijn AC. Het is zeker dat het lichaam zich niet kan bewegen noch volgens de wending AB, noch volgens de wending AC, maar dat het volgens eene tusschenwending in beweging zal komen. Om nu die tusschenwending der uitkomst en hare grootte te bepalen, maakt men met de lijnen AB en AC een vierkantig figuur, waarvan de tegenovergestelde zijden gelijk en evenwijdig zijn (parallelogram), en men trekt door haar midden de overhoeksche lijn of diagonaal AD. Deze overhoeksche lijn verbeeldt de grootte en de wending der uitkomst. Dus het lichaam A tot beweging aangedreven door de krachten AB en AC, is volkomen in hetzelfde geval als of het onderworpen ware aan de kracht AD. Dit stelsel is toepasselijk, hetzij de krachten gelijk of ongelijk zijn. In het eerste geval verdeelt de uitkomst haren hoek in gelijke deelen, en in het tweede is de uitkomst dichter bij de grootste kracht.

Uitkomst van meer dan twee krachten die op een lichaam werkzaam zijn. - Wanneer men de uitkomst kan vinden van twee krachten, vindt men ook gemakkelijk de uitkomst van een grooter getal krachten; men zoekt eerst de uitkomst van twee krachten daarna de uitkomst van de eerste uitkomst en eener derde kracht, en zoo voorts.

Uitkomst van twee evenwijdige (parallele) krachten. - Twee evenwijdige krachten, AB en CD, die werkzaam zijn op de lyn AC, kunnen door eene uitkomst vervangen worden. Deze uitkomst is gelijk aan hun beloop, wanneer zij dezelfde wending hebben, en gelijk aan hun verschil wanneer zij in eene tegenovergestelde richting werken. Ook is deze uitkomst evenwijdig met de samenstellende krachten, en is gehecht aan een punt P hetwelk derwijze geplaatst is, dat de afstand PA en PC in omgekeerde betrekking



zijn met de krachten, dat is te zeggen dat, indien de kracht AB het dubbel is van de kracht CD, de afstand PA gelijk is aan 1, en de afstand PC gelijk aan 2; men noemt dit punt van vasthechting der uitkomst, het middenpunt der evenwijdige krachten.

Wanneer twee evenwijdige en gelijke krachten in eene tegenovergestelde wending op een lichaam werkzaam zijn, dan zou derzelver uitkomst, volgens wat wij daareven gezegd hebben, moeten niet zijn en het lichaam derhalve in stilstand blijven. Dit gebeurt echter zoo niet, maar het lichaam beweegt zich in eene cirkelvormige wending, ook behoeft men in dit geval, om het evenwicht te bekomen, elkeene dezer krachten afzonderlijk door eene gelijke en onmiddellijk tegenovergestelde kracht vernietigen.

[p. 135]

Men begrijpt dit zeer gemakkelijk wanneer men met twee gelijke,



evenwijdige en tegenovergestelde krachten tegen de twee einden van eenen stok drukt.

De beweging, gelijk wij hiervoren gezegd hebben, is de verplaatsing van een lichaam in de ruimte. De beweging is eenvormig wanneer het bewegend lichaam gelijke afstanden doorloopt op gelijke tijden, zoo als bij voorbeeld de beweging der wijzers van een uurwerk. Integendeel is de beweging verhaast of vertraagd, wanneer de ruimten, die het lichaam doorloopt, vermenigvuldigen of verminderen voor gelijke tijden. Men heeft een voorbeeld van vertraagde beweging in het rollen van eenen bal op het tapijt van een biljart, en een voorbeeld van verhaaste beweging in den val der lichamen, gelijk wij het verder zullen bewijzen.

Ten opzichte der wending, is de beweging tweederlei, te weten: rechtlijnig of kromlijnig.

De kromlijnige beweging heeft plaats wanneer een lichaam in rechtlijnige beweging van deze wending verplaatst wordt door eene andere kracht gedurig werkzaam in eene verschillende wending. Om dit klaarblijkend te maken, veronderstellen wij dat het lichaam A door de twee krachten AC en AH



tot beweging aangedreven worde, dat de kracht AC eenvormig zij, en de kracht AH verhaastend. In het eerste oogenblik zal het lichaam de overhoeksche lijn Aa doorloopen, in het tweede oogenblik de overhoeksche lijn ab, in het derde de lijn bc enz. Elke dezer overhoeksche lijnen heeft eene wending verschillig van de andere, en, indien wij deze lijnen zeer kort nemen bij veronderstelling dat de oogenblikken zeer kort zijn, zoo zullen deze lijnen eene kromme lijn AabcdeF uitmaken. Van dusdanigen aard is de beweging van alle lichamen die schuins in de lucht voortgeworpen worden, zoo als de kogel van een kanon enz., omdat die lichamen te gelijker tijd aan twee krachten, welker snelheid verschillig is, onderworpen zijn, te weten: 1^o de kracht die hen in de lucht voortwerpt, en 2^o de zwaartekracht die de lichamen tot vallen aandringt. Middenkrachten. - Wanneer een lichaam in eene kromlijnige beweging is, en wel bijzonder wanneer het eenen cirkel doorloopt, dan is dit lichaam aan twee krachten onderworpen, waarvan de eene het van het middenpunt des cirkels poogt te verwijderen, en de andere het tot het middenpunt tracht te doen naderen. Men noemt de eerste dezer krachten middenpuntvliedende kracht en de tweede middenpunttrekkende kracht. Wanneer men den bol B aan



eenen draad vastgebonden, eene voortstooting bijzet om hem rond het middenpunt M te doen draaien, even als de steen van eenen werpslinger rond de hand draait, dan onderstaat de draad, even als de koorde des slingers, eene spanning, want indien men dezen draad doorsnijdt op een gegeven oogenblik, dan blijft de bol in geene cirkelbeweging meer, maar vliegt recht voor zich heen, volgens de raaklijn B C die met de richting van den draad eenen rechten hoek of winkelhaak uitmaakt. Het is aan de oorzaak, welke de spanning van den draad te weeg brengt, dat men den naam van middenpuntvliedende kracht geeft. Wat aangaat de middenpunttrekkende kracht, deze is in het aangehaald voorbeeld de wederstand van den draad zelf. Wanneer de bol langzaam draait, dan is de koorde weinig gespannen; integendeel wanneer hij snel draait, dan is de spanning grooter. Ook is de middenpuntvliedende kracht afhankelijk van de snelheid van het draaien. Voor ongelijke cirkels in gelijke tijden doorloopen, is de middenpuntvliedende kracht in evenredigheid met



de lengte der halve middenlijn van den cirkel, bij voorbeeld: indien de afstand van het punt B tot het middenpunt A gelijk is aan 1, en dat de afstand van het punt C tot A gelijk is aan 2, dan zal ook de middenpuntvliedende kracht van het punt C dubbel zijn van die van het punt B. Voor gelijke cirkels in ongelijke tijden doorloopen, zijn de middenpuntvliedende krachten tot elkander in omgekeerde reden van het vierkant der omloopstijden. Indien de bal A in ééne seconde rondloopt, terwijl de bal B er twee seconden toe besteedt, dan is de middenpuntvliedende kracht van A gelijk aan 4, zijnde het vierkant des omlooptijds van den bal B, terwijl de middenpuntvliedende kracht van B gelijk is aan 1, zijnde het vierkant van den



omlooptijds, van het lichaam A. De middenpuntvliedende krachten van twee lichamen, die zich met dezelfde snelheid op eenen gelijken afstand van het middenpunt bewegen, zijn in evenredigheid van het gewicht; bij voorbeeld: indien de bal A één loodje weegt, terwijl de bal B twee loodjes weegt, dan zal ook de middenpuntvliedende kracht van A de helft zijn van die van het lichaam B.

De kennis der middenpuntvliedende kracht geeft de reden van menigvuldige natuurlijke verschijnsels, zoo als bij voorbeeld, waarom wielen van rijtuigen, die snel door modderige wegen rijden, den modder van zich wegwerpen, waarom men een bierglas, een vocht inhoudende, in 't ronde kan doen slingeren zonder te storten; het vocht wil gedurig van het middenpunt wegvliegen, daarom drukt het gedurig tegen den bodem van het glas, en zoohaast deze kracht sterker is dan de zwaartekracht, kan het vocht uit het glas niet vallen.

Hoeveelheid van beweging. - Eene gelijke kracht op verschillige lichamen werkzaam, geeft aan deze eene snelheid van beweging die in omgekeerde reden is met hun gewicht, of om beter te spreken met de hoeveelheid stof waaruit zij samengesteld zijn; dit is te zeggen dat, wanneer eene gelijke kracht vervolgens in beweging brengt lichamen, welker hoeveelheid stof gelijk is aan 1, 2, 3, 4, enz., de snelheid dezer beweging gelijk is aan 1, ½, ⅓, ¼, zoodat de vermenigvuldiging van het cijfer der hoeveelheid stof van ieder lichaam door het cijfer der snelheid van beweging hetzelfde getal oplevert. Bij voorbeeld 1 vermenigvuldigd door 1 geeft 1; 2 vermenigvuldigd door ½ geeft 1; 3 vermenigvuldigd door ⅓ geeft 1. Het is aan de uitkomst dezer vermenigvuldiging dat men de benaming van hoeveelheid van beweging geeft, welke hoeveelheid de oprechte maat eener kracht is.

[p. 136]

Gemeenmaking van beweging door botsing. - Wanneer een lichaam in beweging zijnde, met een ander in aanraking komt, dan ontstaat er eene gemeenmaking van beweging van het eene lichaam op het andere. Doch de verschijnsels dezer beweging en hare hoeveelheid zijn zeer verschillig volgens verscheidene bijzondere omstandigheden, zoo als de richting, de snelheid der beweging, de vorm, de hoeveelheid stof, de samenhang, de veêrkracht der lichamen, enz. Dit alles maakt dat de verschijnsels door botsing doorgaans samengesteld zijn; ook zullen wij ons bepalen tot de voordracht der bijzonderste.

Ten opzichte der botsing rangschikt men gewoonlijk de lichamen in twee soorten: 1^o onveêrkrachtige, en 2^o veêrkrachtige, alhoewel er in de natuur geene lichamen bestaan die volkomen onveêrkrachtig of veêrkrachtig zijn.

A. Botsing van onveêrkrachtige lichamen. Ingeval van botsing van twee lichamen in tegenovergestelde beweging, ontstaat het volgende, te weten: de beweging wordt vernietigd wanneer de hoeveelheid van beweging der beide lichamen gelijk is; integendeel blijft de beweging voortduren wanneer de hoeveelheid van beweging voor de twee lichamen ongelijk is, en alsdan volgen deze de richting van hetgene dat de grootste hoeveelheid van beweging heeft, en zulks wel met eene gemeene hoeveelheid van beweging gelijk aan het verschil van elk lichaam in het bijzonder.

Wanneer een lichaam door botsing in aanraking komt met een ander lichaam dat in stilstand is, dan vergaan de zaken even als of het bewegend lichaam eene grootere hoeveelheid stof verkreeg. Dus moet de snelheid van beweging in evenredigheid verminderen, bij voorbeeld, indien de hoeveelheid stof der beide lichamen gelijk is, dan is ook de snelheid op de helft verminderd, enz.

Een derde geval van botsing is dit van twee lichamen die zich in dezelfde richting bewegen, maar met ongelijke snelheid zoo dat het eene lichaam het andere achterhaalt; alsdan is hunne gemeene hoeveelheid van beweging gelijk aan het beloop van elke hoeveelheid in het bijzonder, en hunne gemeene snelheid gelijk aan dit beloop verdeeld door de som der hoeveelheden stof van beide lichamen.

B. Botsing van veêrkrachtige lichamen. - Voor veêrkrachtige lichamen zijn de wetten der gemeenmaking van beweging dezelfde als hier boven is aangeduid voor onveêrkrachtige lichamen, met dit groot verschil nogtans dat veêrkrachtige lichamen terugkaatsen op het punt van aanraking, wat bijzondere verschijnsels te weeg brengt, en die wij zeer klaarblijkend zullen maken door de volgende proefnemingen.

a, b, zijn twee elpenbeenen ballen vastgehecht aan het punt P bij middel van eenen draad, en C D E is een halve cirkel waarop verdeelingen aangeteekend zijn. Indien de twee ballen eene gelijke hoeveelheid stof hebben, en dat



men den eenen bal a langs de cirkellijn tot de verdeeling 6 brengt, en daarna langs dezelfde lijn los laat, dan zal deze bal tegen den anderen bal b die op o staat, komen botsen. Deze laatste klimt alsdan langs den anderen kant van den halven cirkel tot de verdeeling 6, terwijl de bal a in stilstand blijft op o. Vooreerst deelt de botsende bal zijne snelheid mede aan den anderen die in stilstand is, zoo dat de beide ballen zich tot bewegen aandringen met eene snelheid van 3 graden, maar aangezien deze verdeeling van snelheid in elken bal eene veêrkracht van 3 graden doet ontstaan, volgt daaruit dat de bal a met drie graden snelheid moet terugbotsen; doch, aangezien hij ook 3 graden snelheid heeft om vooruit te gaan, moet hij in stilstand blijven, vermits tegenovergestelde en gelijke krachten elkander vernietigen. Wat aangaat den bal b, die in eene en dezelfde richting eene snelheid van 3 graden heeft verkregen door botsing, en ook eene snelheid van 3 graden door veêrkracht, zoo moet hij natuurlijk klimmen tot de verdeeling 6.

Ingeval nu het gewicht van den bal a het dubbel is van den bal b, en men deze laatste tot 6 graden verheft, zoo zal hij, na de botsing, terugkaatsen tot 2; integendeel zal de bal a langs den anderen kant tot 4 klimmen. Inderdaad door de botsing wordt de snelheid 6 van den bal b verdeeld aan eene hoeveelheid stof gelijk aan 3, de gemeene snelheid van de twee ballen is dus 2, maar op het zelfde oogenblik ontstaat er door veêrkracht eene terugkaatsing welker snelheid gelijk is aan 4, zoo dat de bal b, die eene snelheid van 2 graden had volgens de tegenovergestelde richtlijn zijner eerste beweging, maar 2 graden achteruit gaat. Wat nu den bal a betreft, voor hem zal de snelheid van 4 graden door veêrkracht ontstaan, tot twee graden verminderen, vermits hij een dubbel gewicht heeft. Deze twee graden snelheid gevoegd bij de twee anderen die de bal a door gemeenmaking van beweging verkregen had, dwingen hem dus terug te kaatsen tot de verdeeling 4.

Voor gelijke ballen in eene tegenovergestelde beweging met gelijke snelheid, gebeurt het volgende: voor onveêrkrachtige lichamen zou de beweging op het punt van aanraking niet worden; maar in het tegenwoordig geval, verkrijgt elke bal door veêrkracht eene snelheid gelijk aan die zijner eerste beweging, zoo dat hij moet terugkaatsen tot het punt van waar hij gedaald is.

D^r F.J. Matthyssens.