Tirade. Jaargang 5 (nrs. 49-60)

[p. 75]

Tirade

Modernisme in de wetenschap
door E.W. Beth

1. Het evidentiepostulaat. - Algemeen bekend is de passage uit Plato's Meno waar Sokrates een jonge slaaf, alleen door het stellen van allerlei vragen, ertoe weet te brengen, een eenvoudige meetkundige stelling geheel uit eigen kracht in te zien.

Op achtergrond en strekking van deze passage wil ik hier niet dieper ingaan. Ze moet slechts dienen ter karakterisering van een opvatting volgens welke de meetkunde, evenals trouwens elke andere wetenschap, moet uitgaan van grondbegrippen en grondstellingen waarvan de betekenis zonder nadere omschrijving, de waarheid zonder nader bewijs, voor ieder vaststaat. Deze beginselen behoeven dus ook niet door middel van opzettelijk en stelselmatig onderzoek te worden opgespoord. De kennis ervan is eigen aan ieder mens; ze is geen monopolie van de man van wetenschap of van de filosoof.

De uiterst aannemelijke opvatting omtrent de fundering van de wetenschap die in dit zogenaamde evidentiepostulaat tot uitdrukking komt is door Aristoteles uitgewerkt tot een wetenschapsleer die tot ongeveer 1800 algemeen werd aanvaard¹⁾. Deze wetenschapsleer is dan ook voorondersteld in de verschillende filosofische systemen die sinds de tijd van Plato en Aristoteles zijn ontwikkeld; ze heeft met name de problematiek van metafysika en kennisleer bepaald. Over de probleemstelling zijn de verschillende wijsgerige scholen het (afgezien van nuancering en van precisering ter zake van détails) over het algemeen wel eens; de meningsverschillen betreffen vooral de voorgestelde oplossingen.

Het is een aantrekkelijke kant van de wetenschapsleer van Aristoteles dat ze een waarborg levert voor de eenheid der

1) E.W. Beth, De wijsbegeerte der wiskunde van Parmenides tot Bolzano, Antwerpen-Nijmegen 1944, i.h.b. Hoofdstuk III.

[p. 76]

wetenschap; omdat ze mede van toepassing is op wetenschappen als ethica en aesthetica, is daarmee tevens de eenheid der beschaving verzekerd. Immers, als alle wetenschappen (en daarmee indirect ook moraal en recht, techniek en schone kunst) gegrond zijn op algemeen geldige en onveranderlijke beginselen, waarvan de kennis eigen is aan (althans bereikbaar is voor) ieder mens, dan moet de ontwikkeling op de verschillende beschavingsgebieden, zolang daarbij de juiste beginselen in het oog worden gehouden, zich op harmonische wijze voltrekken.

2. Het pluralisme van de hedendaagse beschaving. - Enkele jaren geleden wendde een beoefenaar van de kunstwetenschap zich tot de direkteur van een mathematisch instituut met het verzoek, een aantal mathematische modellen te mogen lenen. Hij wilde deze gebruiken ter opluistering van een tentoonstelling van hedendaagse abstrakte kunst. In beginsel bleek de direkteur tot medewerking bereid. Hij moest evenwel enig voorbehoud maken met betrekking tot de toestand waarin het beschikbare materiaal verkeerde. Sinds men het onderwijs was gaan aanpassen bij de ontwikkeling van de moderne abstrakte wiskunde werden de modellen namelijk maar zelden meer gebruikt.

Deze anekdote karakteriseert, geloof ik, een stand van zaken die de uitkomst is van de ontwikkeling van de wiskunde (en van tal van andere beschavingsgebieden) sinds 1800. Ze demonstreert ten eerste dat de hedendaagse wiskunde op beginselen berust waarvan de kennis zelfs voor een modernistisch geöriënteerd en tevens belanghebbend beoefenaar van een andere tak van wetenschap niet aanstonds toegankelijk is. Ze toont daarenboven dat tussen de verschillende gebieden van de hedendaagse beschaving geen aanwijsbaar verband meer bestaat. Zowel de wiskunde als de kunst heeft een ingrijpende ontwikkeling doorgemaakt, maar er is geen grond om aan te nemen dat de ontwikkeling op beide gebieden zich op harmonische wijze heeft voltrokken.

Natuurlijk bewijst zulk een anekdote niets en men kan zich dan ook troosten met de overweging, dat ook in het verleden adequate kennis zelfs van de beginselen van een wetenschap als de wiskunde, hoezeer in principe voor ieder

[p. 77]

mens bereikbaar, voor buitenstaanders praktisch moeilijk te verwerven was. Men kan verder aanvoeren dat reeds in het verleden de ontwikkeling op verschillende beschavingsgebieden lang niet altijd harmonisch of althans min of meer evenwijdig is verlopen.

3. Het modernisme in de wetenschap. - Dat deze overwegingen niet afdoende zijn, blijkt intussen als we iets nader ingaan op wat ik het modernisme in de wetenschap zou willen noemen. Sinds 1800 heeft zich op het gebied van de wetenschap wel degelijk een ontwikkeling voltrokken, die ons dwingt tot een herziening van traditionele filosofische inzichten en probleemstellingen en daarmee tot een nieuwe bezinning op onze beschaving in haar totaliteit.

Evenwel brengt de strekking van mijn betoog onvermijdelijk de volgende moeilijkheid mee. Als het waar is (en ik hoop het aan te tonen), dat de moderne wetenschap gefundeerd is op beginselen waarvan de kennis niet, zoals het evidentiepostulaat van Plato en Aristoteles dit eiste, te beschouwen is als eigen aan ieder mens, dan zullen deze beginselen zich ook niet lenen tot een bevattelijke uiteenzetting. Anderzijds zal in mijn betoog een vergelijking van de moderne beginselen met de traditionele bezwaarlijk kunnen worden gemist.

Ik zal het me bovendien schijnbaar nog moeilijker maken dan strikt noodzakelijk door mijn vergelijkingsmateriaal te ontlenen aan de wiskunde. In werkelijkheid echter is dit gebied nog het meest geschikt voor mijn doel, omdat juist hier de beginselen op uiterst spectaculaire wijze zijn geëvolueerd.

4. De meetkunde van Euklides. - Als representant van de traditionele wiskunde kies ik de meetkunde van Euklides, die in grote lijnen samenvalt met de nog steeds gangbare school-meetkunde. Deze mathematische discipline is te karakteriseren als abstrakt, deduktief en aanschouwelijk. Ik gebruik hier de term ‘abstrakt’ in aansluiting bij de aristotelische traditie en dus in eigenlijke zin. We kunnen ons namelijk voorstellen dat de figuren en lichamen die de schoolmeetkunde bestudeert verkregen zijn, uitgaande van werkelijke, stoffelijke en waarneembare, voorwerpen, door abstraktie van hoedanigheden als kleur, gewicht en temperatuur.

[p. 78]

Tengevolge van deze abstraktie zijn de meetkundige figuren en lichamen niet meer toegankelijk voor empirisch onderzoek, zodat we zijn aangewezen op de deduktieve methode. Anderzijds komt aan de meetkundige figuren en lichamen, doordat ze verkregen zijn uit waarneembare voorwerpen, een hoge mate van aanschouwelijkheid toe.

De meetkunde van Euklides gaat derhalve uit van aanschouwelijk gefundeerde grondbegrippen en grondstellingen (of axioma's) en ontwikkelt langs deduktieve weg de gevolgen van deze beginselen. De evidentie van de meetkundige stellingen ontleent zodoende haar oorsprong deels aan de aanschouwing deels aan de logika.

Dit dualistisch karakter van de meetkundige evidentie heeft de beoefenaren van de zuivere wiskunde op de duur niet bevredigd. De ontdekking van de niet-euklidische meetkunde²⁾) omstreeks 1830 heeft ongetwijfeld krachtig bijgedragen tot het ontstaan van een algemeen gevoel van onbehagen, maar ook de ondervindingen, opgedaan bij het zoeken naar een grondslag voor de infinitesimaalrekening, hebben haar invloed doen gelden. Vooral na 1848 heeft zich, niet alleen voor de meetkunde maar voor de zuivere wiskunde in haar geheel, steeds meer het streven doorgezet, de aanschouwelijke grondslag, en daarmee tevens het beroep op de aristotelische abstraktie, te elimineren en zo tot een zuiver logisch-deduktieve opbouw te komen³⁾.

Op een dergelijke opbouw doelt men, als men spreekt over de hedendaagse abstrakte wiskunde; de term ‘abstrakt’ wordt in dit verband dus oneigenlijk gebruikt.

5. De verzamelingenleer. - In haar meest radikale vorm gebruikt de abstrakte wiskunde als enig grondbegrip het begrip verzameling⁴⁾. Dit klinkt ongerijmd daar men, volgens het gangbare gebruik, van verzamelingen alleen kan spreken als men bovendien de beschikking heeft over voorwerpen die verzameld kunnen worden of, zoals de wiskundige het uitdrukt, als element van verzamelingen kunnen optreden.

In deze gangbare zin treedt het begrip verzameling trouwens reeds in de school-meetkunde op, zij het onder een andere naam: de meetkundige plaatsen van de school-meetkunde duidt de wiskundige als puntverzamelingen aan.

2) E.W. Beth, Wijsgerige ruimteleer, Antwerpen-Nijmegen 1950, Hoofdstuk I.

3) E.W. Beth, Wijsbegeerte der wiskunde, Antwerpen-Nijmegen 1948.

4) De stand van zaken wordt hier vereenvoudigd voorgesteld; als grondbegrip treedt op de relatie tussen een objekt en een verzameling waartoe dat objekt als element behoort.

[p. 79]

De zojuist geopperde tegenwerping ontwijkt de abstrakte wiskunde op een wijze, die bij eerste kennisneming bijzonder curieus zal aandoen: ze laat toe dat verzamelingen op haar beurt als element van verzamelingen optreden. Men gaat veelal zelfs nog een stap verder en laat objecten, die geen verzamelingen zijn, geheel buiten beschouwing. Dat zulk een verzamelingentheoretisch monisme⁵⁾ wel degelijk iets oplevert, moge blijken uit de volgende beschouwingen die tevens een indruk geven van het wiskundig redeneren in de verzamelingenleer.

a.	Laat 0 de verzameling zijn die tot elementen heeft alle verzamelingen die niet optreden als element van enige verzameling. Dan bevat de verzameling 0 (de zogenaamde lege of nul-verzameling) geen enkel element. Immers, laat x een willekeurige verzameling zijn en onderstel dat x een element van 0 is. Om tot 0 te behoren moet x een verzameling zijn die niet optreedt als element van enige verzameling; in het bijzonder moet x niet optreden als element van 0. De zojuist gemaakte onderstelling dat x een element van 0 is blijkt dus ongerijmd en moet verworpen worden. De verzameling 0 kan dus geen enkel element bevatten.
b.	Laat 1, of (0), de verzameling zijn die de verzameling 0 als enig element bevat. Dan is 1 verschillend van 0. Immers, 0 bleek geen enkel element te bevatten, terwijl 1 wel een element bevat, namelijk 0.
c.	Laat 2, of (0, 1), de verzameling zijn die de verzamelingen 0 en 1 als enige elementen bevat. Dan is 2 verschillend van 0 en van 1. Immers, 0 bevatte geen enkele element terwijl 2 onder andere het element 0 bevat; 2 is dus verschillend van 0. Verder is 1 geen element van 1 maar wel een element van 2; 2 is dus verschillend van 1. Het is duidelijk dat we vervolgens verzamelingen 3, 4,... kunnen vormen die zowel van de verzamelingen 0, 1 en 2 als van elkaar verschillen.
d.	Laat Z0, of (0, 1, 2, 3, 4,...), de verzameling zijn die alle verzamelingen 0, 1, 2, 3, 4, ... tot elementen heeft. We merken op dat Z0 oneindig veel elementen bevat.

De vorming van de verzamelingen 0, 1, 2, 3, 4, ...., Zo (en

5) E.W. Beth, Monisme en pluralisme in logica en wiskunde, Alg. Ned. Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 48 (1955/56). Als inleiding tot de verzamelingenleer is aan te bevelen: B.P. Haalmeijer en J.H. Schogt, Inleiding tot de leer der verzamelingen, Groningen 1927. Een uitvoerige uiteenzetting van de grondslagen geeft: A.A. Fraenkel & Y. Bar-Hillel, Foundations of Set Theory, Amsterdam 1958. Mijn Wijsbegeerte der wiskunde (verg. aant. 3) bevat een overzicht.

[p. 80]

van vele andere) kan worden gefundeerd op het volgende beginsel dat als het komprehensie-axioma bekend staat:

Wel-bepaalde objekten die een zekere karakteristieke eigenschap gemeen hebben, vormen een verzameling, waarvan ze de elementen zijn en die door de betreffende karakteristieke eigenschap ondubbelzinnig wordt bepaald. Iedere verzameling is een wel-bepaald objekt.

Afziende van allerlei bij een stelselmatige uiteenzetting noodzakelijke aanvullingen, correcties en verfijningen kunnen we nu de zuivere of abstrakte verzamelingenleer karakteriseren als een deduktieve theorie die als enig grondbegrip het begrip verzameling en als enige grondstelling het komprehensie-axioma bezit.

De verzamelingenleer, die haar ontstaan dankt aan de denkbeelden en aan het werk van B. Bolzano (1781-1848), G. Cantor (1845-1918) en E. Zermelo (geb. 1871), heeft een geheel ander karakter dan de meetkunde van Euklides. Ze steunt op beginselen, waarvan de kennis zeker niet eigen is aan ieder mens, en ze beantwoordt dus niet aan de wetenschapsleer van Aristoteles.

Men zou weliswaar kunnen menen dat het grondbegrip verzameling verkregen is door abstraktie uit een algemeen gangbaar begrip verzameling, maar deze opvatting blijkt niet houdbaar. Passen we namelijk het komprehensie-axioma toe op konkrete voorwerpen, dan kunnen we aanstonds de verzameling van alle echte schilderijen van Rembrandt en de verzameling van alle sedert 1840 uitgegeven postzegels vormen. In de zin van het algemeen gangbare begrip kunnen we in deze gevallen echter niet van verzamelingen spreken.

In overeenstemming hiermee is ook het komprehensie-axioma verre van evident te noemen. De hierboven geschetste invoering van de natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, 4, ...doet sterk denken aan een wiskundige ‘Sokrates-affaire’. Iemand heeft geen cent op zak, maar vindt op straat een opschrijfboekje, een potlood en een leeg sigaren-blikje. Hij maakt nu eerst de kas op en stelt daarna een balans samen, die als activa een kantoor-inventaris en goodwill vermeldt. Vervolgens worden deze activa ‘ondergebracht’ in een N.V.

De opbouw van de abstrakte verzamelingenleer herinnert

[p. 81]

sterk aan deze manier van ‘zaken-doen’ en heeft dan ook aanvankelijk weinig vertrouwen gewekt. Dit is temeer opmerkelijk omdat bij Cantor en zelfs bij Zermelo de verzamelingenleer nog geenszins die radikale vormen had aangenomen waardoor ze tegenwoordig wordt gekenmerkt; in het bijzonder is bij deze grondleggers het verzamelingentheoretisch monisme nog afwezig. Hoewel ook thans de oppositie nog niet geheel tot zwijgen is gebracht, wordt toch de betekenis van de verzamelingenleer, juist in haar radikale vorm, meer en meer erkend.

Aan de evidentie van de beginselen is deze erkenning natuurlijk niet toe te schrijven. Ze vloeit veeleer voort uit het inzicht dat de verzamelingenleer een passende grondslag levert voor een samenhangende opbouw van de zeer uiteenlopende deduktieve disciplines die samen de hedendaagse zuivere wiskunde vormen. Daarnaast moet echter worden gewezen op de fascinerende schoonheid die aan de abstrakte verzamelingenleer eigen is en op de ongeëvenaarde vermetelheid van de konstrukties waartoe ze ons in staat stelt.

6. Gevolgen voor de wijsbegeerte. - De oudere kennisleer ging uit van het geconstateerde feit dat de zuivere wiskunde, zoals men die vóór 1800 kende, in overeenstemming met de wetenschapsleer van Aristoteles berustte op duidelijke en evidente beginselen, waarvan de kennis eigen was aan ieder mens. Zij stelde zich ten doel, de oorsprong van deze kennis op te helderen en de evidentie van de beginselen te verklaren. Let men op de aandacht die de grote denkers van het verleden aan de wiskunde plachten te besteden, dan zal men zich moeilijk kunnen onttrekken aan de indruk dat de vragen die betrekking hebben op de beginselen van de zuivere wiskunde voor de traditionele systematische wijsbegeerte van grote betekenis moeten zijn.

Is deze indruk juist, dan zal de ontwikkeling van de zuivere wiskunde sinds 1800 en in het bijzonder het op de voorgrond treden van de abstrakte verzamelingenleer, die immers niet voldoet aan het evidentie-postulaat van Plato en Aristoteles, voor de traditionele systematische wijsbegeerte een zware slag moeten betekenen. Dat de stand van zaken ook van wijsgerige zijde zo is opgevat, kan blijken uit de omstan-

[p. 82]

digheid dat in de loop van de 19de eeuw door leidende vertegenwoordigers van de systematische wijsbegeerte telkens opnieuw fel werd gepolemiseerd tegen de ontwikkeling op het gebied van de zuivere wiskunde. Bij wijze van illustratie citeer ik een uitlating van G.J.P.J. Bolland⁶⁾ over de niet-euklidische meetkunde, ook wel als absolute meetkunde aangeduid.

Edoch, de absolute meetkunde heeft weinig nut, en is tot dusverre in hoofdzaak slechts aan phantasterijen bevorderlijk geweest.... wij kunnen uit kracht van ingeboren aanleg slechts met ‘Euklidisch’ objectieve gelijktijdigheden te doen krijgen, en eene ‘absolute meetkunde’, die meer wil zijn dan een onschuldig en vrij onnut spel des veestands, is een droomerij der slechtste soort... ‘Wiskundige’ ontboezemingen gelijk deze zijn niet geschikt om een onbepaald vertrouwen te doen ontstaan in het begrip van rekenmeesters.

Veel effekt heeft deze polemiek niet gesorteerd en de beoefenaren van de systematische wijsbegeerte zijn dan ook op de duur uiteengegaan in verschillende groepen die elk op eigen wijze een standpunt bepalen ten aanzien van de huidige situatie. Ik wil slechts enkele van deze groepen noemen⁷⁾.

1^o -	Een reactionaire groep erkent eenvoudig de nieuwe stand van zaken niet of acht hem wijsgerig niet relevant; deze houding maakt het vertegenwoordigers van verschillende scholen mogelijk, aan één van de overgeleverde filosofische stelsels vast te houden.
2^o -	Sommige fenomenologen en vele analytici trachten te komen tot de opbouw van een nieuwe kennisleer van meer beperkte strekking die zich bezighoudt met de inhouden van het natuurlijke bewustzijn en met de formulering daarvan in termen van de gewone omgangstaal en zich niet inlaat met het wetenschappelijk denken en redeneren.
3^o -	Vele vertegenwoordigers van de existentiële richting blijven zich weliswaar bedienen van de traditionele fraseologie van de systematische wijsbegeerte maar hebben niet meer de pretentie, een stelselmatige

6) G.J.P.J. Bolland, De ruimtevoorstellingen, Batavia 1889, geciteerd in mijn Wijsgerige ruimteleer (verg. aant. 2), waar ook soortgelijke uitlatingen van andere filosofen worden aangehaald.

7) Nadere gegevens over deze groepen in: E.W. Beth, Inleiding tot de wijsbegeerte der exacte wetenschappen, Antwerpen-Amsterdam 1953, waar ook neo-positivisme en logicisme worden besproken; over analytische filosofie: E.W. Beth, Geformaliseerde talen en normaal taalgebruik, Alg. Ned. Tijdschr. voor Wijsbegeerte 50 (1957/58); over platonisme en nominalisme: E.W. Beth, Verstand en intuïtie, t.z.p. 46 (1953/54).

[p. 83]

fundering te leveren voor de eenheid der wetenschap en daarmee voor de eenheid der beschaving.

4^o -

Tenslotte is er het streven, een nieuwe opbouw te geven van de systematische wijsbegeerte in aansluiting vooral bij de huidige stand van de exakte wetenschappen. Radikale vormen neemt dit streven vooral aan in het neo-positivisme zoals dit met name door de ‘Wiener Kreis’ is gepropageerd. Het logicisme, dat teruggaat op G. Frege en op het ogenblik o.a. door A. Church (in platonische zin) en door R. Carnap en W.V. Quine (in nominalistische zin) wordt verdedigd, staat iets dichter bij traditionele opvattingen.

Dat onder deze omstandigheden de overgeleverde systematische wijsbegeerte een aanzienlijk deel van haar voormalig prestige heeft ingeboet, behoeft nauwelijks betoog.

7. Gevolgen voor de beschaving in het algemeen. - Van meer belang is intussen dat men van de huidige wijsbegeerte geen effektieve waarborgen voor de eenheid der beschaving mag verwachten. De onder 1^o-3^o genoemde groepen verbreken welbewust de traditionele banden tussen filosofie en wetenschap. Omgekeerd is bijvoorbeeld van het neo-positivisme, dat wel de eenheid der wetenschap wil bevorderen, de opbouw van een normatieve ethica en aesthetica nauwelijks te verwachten. Dat verschillende vertegenwoordigers van de hier bedoelde groepen, behalve tot de wijsbegeerte, ook kreatief dan wel op andere wijze tot kunst en letteren hebben bijgedragen is op zichzelf verheugend, maar levert niet een waarborg als hier wordt gevraagd.

Daarmee rijst de vraag of er wellicht in onze beschaving andere eenheidstichtende krachten zijn aan te wijzen die zulk een waarborg zouden kunnen verschaffen. Een grondige behandeling van deze vraag kan in het bestek van deze studie natuurlijk niet worden gegeven. Ik wil me beperken tot een summiere bespreking van een bijzonder aspect dat in het voorgaande reeds terloops werd aangeduid.

Het bij benadering gelijktijdig optreden van de moderne abstrakte wiskunde en van de hedendaagse abstrakte kunst (ik neem dit begrip ruim, al worden in het volgende alleen manifestaties op het gebied van de beeldende kunst genoemd)

[p. 84]

en het wiskundig aandoend karakter van de laatste wekken uiteraard het vermoeden dat er tussen deze verschijnselen een zekere innerlijke verwantschap en tevens een zeker feitelijk verband moet bestaan. Tot slot van dit artikel zou ik daarom een korte bespreking willen wijden aan de volgende vragen:

1^o -	Bestaat er tussen de genoemde verschijnselen inderdaad een zekere mate van innerlijke verwantschap of althans een zekere analogie?
2^o -	Wijst een eventueel aantoonbare verwantschap of analogie op het bestaan van een gemeenschappelijke oorsprong, van een wederkerige beïnvloeding of op een ander feitelijk verband?
3^o -	Indien een feitelijk verband is aan te tonen, wijst dit dan wellicht op de werking van eenheidstichtende krachten die tevens een waarborg zouden kunnen verschaffen voor de eenheid der beschaving?

Wat de onder 1^o gestelde vraag betreft: het lijkt me zeer moeilijk, een innerlijke verwantschap aan te tonen tussen abstrakte wiskunde en abstrakte kunst, maar zeer gemakkelijk, een analogie aan te wijzen. Beide zijn de uitkomst van een wel-bewuste en radikale breuk met overgeleverde beginselen, normen en uitdrukkingsmiddelen, en beide zijn uit dien hoofde moeilijk toegankelijk voor wie bij de overlevering zijn ‘opgebracht’.

Door het aanwijzen van deze analogie heb ik me tevens verplicht, op de onder 2^o gestelde vraag in te gaan. Bij een feitelijk verband als hier bedoeld kunnen we denken aan: a. een gemeenschappelijke oorsprong; b. een wederkerige beinvloeding; c. een invloed van de kunst op de wiskunde; d. een invloed van de wiskunde op de kunst. Evenwel is te overwegen dat de abstrakte wiskunde zich sedert 1847 zeer geleidelijk heeft ontwikkeld, op grond van probleemstellingen die ten dele veel verder teruggaan in het verleden, terwijl de abstrakte kunst één van de facetten is van het artistiek modernisme na 1900. De onder a., b. en c. genoemde mogelijkheden kunnen we dus verder gevoeglijk buiten beschouwing laten.

De onder d. genoemde mogelijkheid belooft echter meer,

[p. 85]

vooral ook omdat in theoretische beschouwingen over abstrakte kunst herhaaldelijk naar de wiskunde verwezen wordt. Gaan we iets nader op de zaak in, dan blijkt evenwel ook dit spoor dood te lopen. De ‘beeldende wiskunde’ van M.H.J. Schoenmaskers⁸⁾, die in de theorieën van ‘De Stijl’ zulk een belangrijke rol speelt⁹⁾, is in het geheel geen authentieke wiskunde.

Authentieke wiskunde treffen we wel aan in de schetsen en aantekeningen van Le Corbusier¹⁰⁾ voor het Paviljoen Philips op de Brusselse Wereldtentoonstelling. Deze beschouwingen behoren echter geheel tot wat men, ter onderscheiding van de abstrakte wiskunde, als klassieke wiskunde pleegt aan te duiden; ze behoren, om het anders uit te drukken, tot de wiskunde van de gips- en draad-modellen¹¹⁾

Dat een hedendaags beeldend kunstenaar, hoe abstrakt georiënteerd ook, veeleer aansluiting zoekt bij de klassieke dan bij de abstrakte wiskunde, is trouwens in het geheel niet verwonderlijk. De mathematische disciplines die voor hem van technisch belang zijn en die hij dus bij zijn opleiding leert kennen vallen geheel onder de klassieke wiskunde; bovendien zal door zijn bijzondere aanleg en door het gebruik dat hij van deze disciplines moet maken het aanschouwelijk karakter ervan sterk op de voorgrond treden. Omgekeerd zal voor hem de abstrakte wiskunde relatief moeilijk toegankelijk zijn en het is dus niet te verwachten dat zij op zijn ideeën en zijn kreatieve arbeid bevruchtend zal inwerken.

We zullen dus de onder 2^o gestelde vraag ontkennend moeten beantwoorden en kunnen dus van een bespreking van de onder 3^o gestelde vraag afzien. Teruggrijpend op de onder 1^o gestelde vraag konstateren we bovendien, dat de opgemerkte analogie geheel aan de oppervlakte ligt en dat er van innerlijke verwantschap tussen abstrakte wiskunde en abstrakte kunst moeilijk sprake kan zijn.

Onze beschouwing heeft dus geen eenheidstichtende krachten aan het licht gebracht en onderstreept veeleer het pluralistisch karakter van onze hedendaagse beschaving. Voor wie in de ban van het cultuurhistorisch fatalisme¹²⁾ verkeert zal dit ongetwijfeld een onrustbarend resultaat zijn. Immers, volgens F. Frobenius, K. Lamprecht, V. Pareto en O. Spengler

8) M.H.J. Schoenmaskers, Beginselen der beeldende wiskunde, Bussum 1916.

9) H.L. Jaffé, De Stijl / 1917-1931, the Dutch contribution to modern art, diss. Universiteit van Amsterdam, Amsterdam 1956, i.h.b. Ch. 4 a.

10) Le Corbusier, Le poème électronique [brochure zonder nadere aanduiding van plaats en datum van uitgave].

11) Wanneer in de hedendaagse wiskunde van modellen wordt gesproken, heeft men daarentegen in de regel constructies binnen de abstrakte verzamelingenleer op het oog.

12) E.W. Beth, De wetenschap als cultuurfactor, Tweede Symposion der S.C.S., 's-Gravenhage 1948.

[p. 86]

is elke levenskrachtige beschaving een organische eenheid, zodat het pluralistisch karakter van onze beschaving als een symptoom van haar komende ondergang zou moeten worden opgevat. Het verzaken van de wijsbegeerte aan de haar van ouds toegewezen normatieve taak lijkt een rechtvaardiging temeer van deze pessimistische zienswijze.

Er bestaat echter naar mijn mening al heel weinig aanleiding, ons aan dergelijke profetieën¹³⁾ gewonnen te geven. Diskrepanties in de ontwikkeling op verschillende gebieden binnen eenzelfde beschaving zijn een zo gewoon verschijnsel¹⁴⁾ dat het eenvoudig niet aangaat, er een overdreven betekenis aan toe te kennen, vooral niet in een geval als het hierboven beschouwde waar de gekonstateerde diskrepantie op zo eenvoudige wijze verklaard bleek te kunnen worden. Ik zou zelfs verder willen gaan en de mening willen uitspreken, dat het pluralistisch karakter van onze tegenwoordige beschaving geenszins te betreuren is, maar integendeel positief gewaardeerd moet worden.

13) K.R. Popper, Prediction and Prophecy and Their Significance for Social Theory, Proceedings of the Xth Int. Congress of Philosophy, Amsterdam 1949.

14) Dat het tegendeel vaak zonder voldoende feitelijke grond wordt beweerd, wordt uiteengezet door E.J. Dijksterhuis, Renaissance en natuurwetenschap, Mededelingen der Kon. Ned. Akad. van Wet., Afd. Lett., Nieuwe Reeks, deel 19 (1956).