De Gids. Jaargang 97

[p. 192]

Wiskunde en wijsbegeerte

‘Niemand, die de wiskunde niet machtig is, trede dit huis binnen’. Dit stond, volgens de overlevering, te lezen boven den ingang van het gebouw, waarin Plato onderricht gaf. En sedert die dagen is telkens weer door tal van wijsgeeren de groote beteekenis ingezien, die de wiskunde voor hun beschouwingen bezat. In het volgende zal getracht worden, deze beteekenis eenigszins nader te doen gevoelen.

§ 1. Zij, die zich voor het eerst met de studie der wiskunde bezighouden, worden wel het meest getroffen door een zeker aspect van deze wetenschap, dat ik het apriorisch karakter der wiskunde zou willen noemen.

In andere wetenschappen, vooral in de wetenschappen der natuur, houdt men zich angstvallig aan de ervaring. Telkens weer wordt een beroep op de feiten gedaan, en er bestaat een zekere afkeer van lange redeneeringen, die van zuiver speculatieven aard zijn. Hoe geheel anders is het in de wiskunde! Enkele weinige grondstellingen worden aangenomen, die volkomen vanzelfsprekend schijnen; en dan volgt een eindelooze reeks van conclusies en stellingen, en weer nieuwe conclusies en stellingen, die alle louter door redeneering uit de grondstellingen worden afgeleid. En niemand twijfelt er een oogenblik aan, dat, wanneer men een dezer stellingen aan de ervaring zou toetsen, men haar ten volle bevestigd zou vinden. De naam ‘wis-kunde’ voor onze wetenschap is een uitdrukking voor de zekerheid en gewisheid, die men haar van oudsher heeft toegeschreven.

Er is een tweede bijzonderheid, die eveneens den beginnenden beoefenaar der wiskunde al spoedig opvalt. Deze bestaat hierin, dat de objecten der wiskunde, krachtens hun definities,

[p. 193]

eigenlijk in de wereld der ervaring in het geheel niet te vinden zijn. Om dit aan te toonen, behoef ik slechts een paar definities aan te halen uit de ‘Elementen’ van Euclides, het boek, dat gedurende tal van eeuwen het voortreffelijkste leerboek der meetkunde geweest is, dat er bestond. Wij lezen daar:

‘Een punt is, wat geen deelen heeft’.

‘Een lijn is lengte zonder breedte’.

‘Een vlak is, wat alleen lengte en breedte heeft’.

Waar ter wereld vindt men in de ervaarbare werkelijkheid dingen, die aan deze definities beantwoorden? Men kan op deze vraag antwoorden, dat de wiskundige objecten abstracties of idealisaties zijn van dingen, die in de werkelijkheid der ervaring wèl voorkomen. Mathematische punten, lijnen en vlakken bestaan in onze ervaring niet; maar kleine korreltjes, dunne draden en strepen, en gladde oppervlakken van lichamen, bestaan wel, en men behoeft deze dingen slechts eenigszins te idealiseeren, om tot de mathematische objecten te komen. Intusschen, wanneer men aldus de objecten der wiskunde als abstracties uit de ervaring beschouwt, blijft de vraag bestaan, waarom juist déze abstracties als uitgangspunt kunnen dienen voor een wetenschap, die zulk een omvang en zulk een schijnbaar onbegrensde ontwikkelingsmogelijkheid heeft als de wiskunde. En de apriorische zekerheid der wiskunde blijft bij zulk een theorie ook onverklaard.

Het probleem, waarvoor wij gesteld zijn, bestaat dus hierin, dat de wiskunde de drie volgende kenmerken vertoont: zij houdt zich bezig met dingen, die in de wereld der ervaring niet te vinden zijn; het menschelijk denken kan de waarheden der wiskunde uit eigen kracht vinden, zonder de ervaring noodig te hebben; en ondanks dit zijn de waarheden der wiskunde toch op de ervaring van toepassing. Hoe is dit te verklaren?

Een belangrijke poging, om deze vraag te beantwoorden, en misschien nog wel steeds de belangrijkste, vinden wij in de ideeënleer van Plato. Wij zullen hierbij dus even stilstaan, te meer, daar ik juist wilde betoogen, dat de moderne ontwikkeling der wiskunde ons telkens weer in de nabijheid der ideeënleer terugvoert.

Volgens Plato bestaat er een bovenzinnelijke sfeer, boven tijd en ruimte verheven. In die sfeer bevinden zich de ‘ideeën’,

[p. 194]

de oertypen of modellen van alle aardsche dingen. De dingen der alledaagsche werkelijkheid zijn slechts gebrekkige nabootsingen van de eeuwige en onveranderlijke ideeën, zooals de schaduw van een voorwerp een gebrekkige nabootsing is van het voorwerp zelf. In die ideeënwereld bevinden zich nu ook de objecten der wiskunde; daar bevinden zich het punt, de lijn, het vlak, waarvan draden, korreltjes en oppervlakken van lichamen slechts onvolkomen afschaduwingen zijn. Daar bevinden zich ook de goedheid, de schoonheid, de rechtvaardigheid, die ook geen van alle ooit ten volle op aarde verwerkelijkt zijn.

Nu bezitten wij een zekere intuïtieve kennis van de ideeën. Plato stelt zich dit zoo voor, dat de menschelijke ziel vóór haar kluistering in het lichaam in de wereld der ideeën vertoefd heeft, en na haar geboorte op aarde de herinnering aan die wereld sluimerende in zich heeft. Wanneer wij nu de aardsche dingen zien, die immers naar het voorbeeld der ideeën gevormd zijn, wordt de sluimerende herinnering in ons wakker geroepen, de onbewuste kennis der ideeën wordt weer bewust. Daarom herkennen wij de schoonheid, de goedheid, de rechtvaardigheid, wanneer deze op aarde benaderd worden; daarom ook herkennen wij de objecten der wiskunde in de gebrekkige figuren, die hen nabootsen.

De taak der wijsbegeerte is het, ons de kennis der ideeënwereld in steeds toenemende mate bewust te doen worden. Daarom is de wiskunde zulk een onmisbare voorbereiding tot de wijsbegeerte; immers, door de studie der wiskunde wordt een deel der ideeënwereld ons bewust, en wel dat deel, dat blijkbaar voor ons denken nog het gemakkelijkst toegankelijk is.

In het voorbijgaan zij opgemerkt, dat het begrip ‘idee’ bij Plato niet altijd een vasten omvang heeft. Er zijn passages, waaruit zou volgen, dat alleen de goedheid, de schoonheid, de rechtvaardigheid, e.d. in den vollen zin ‘ideeën’ zijn, terwijl de wiskundige begrippen tot een lagere sfeer dan de eigenlijke ideeën behooren. Wij zullen hier echter het woord ‘idee’ in een ruimen zin nemen, zoodat ook de wiskundige begrippen dan tot de ideeën te rekenen zijn. Trouwens, ook deze opvatting sluit zich aan bij sommige passages van Plato.

[p. 195]

Deze, door Plato ontwikkelde, theorie geeft werkelijk een oplossing van het vraagstuk, dat wij zooeven gesteld hebben. Indien de wiskunde zich bezighoudt met de studie van een deel der ideeënwereld, is het geen wonder, dat haar objecten niet in de wereld der ervaring zijn te vinden; immers, de dingen der ervaring zijn slechts gebrekkige afbeeldingen der ideeën. Door deze theorie wordt verder verklaard, dat ons denken uit eigen kracht tot de kennis der wiskundige waarheden kan geraken. Immers, deze kennis bezitten wij vóór alle ervaring sluimerende in ons. Slechts een geringe aanleiding, de primitiefste meetkundige ervaring, is noodig, om haar te voorschijn te roepen, en dan gaat het proces der bewustwording verder, zooals ook bij de gewone herinnering de eene voorstelling de andere wakker roept. En daar ten slotte de dingen der ervaring dan toch naar het voorbeeld der ideeën gevormd zijn, is het niet te verwonderen, dat onze wiskundige kennis ten slotte ook op de ervaring kan worden toegepast.

§ 2. De leer der ideeën is heftig bestreden door Plato's grooten leerling Aristoteles; met een heftigheid, die ons nog heden ten dage niet volkomen helder is. Die wereld der ideeën, die een eigen sfeer vormt, afgescheiden van het aardsche, scheen Aristoteles toch niet veel anders toe dan een verdubbeling van de aardsche werkelijkheid; en daarom kon hij de noodzakelijkheid en het nut van zulk een onderstelling niet inzien. In plaats van de ideeën, die in hun volmaaktheid hoog boven de aardsche dingen tronen, nam Aristoteles vormende krachten in de dingen aan. In de eerste plaats dacht hij hierbij aan de levende wezens; en nog heden ten dage onderstellen verschillende geleerden, dat in de wereld der organismen vormgevende krachten werken, de zoogenaamde ‘entelechieën’.

De onderstelling is wel uitgesproken, dat het verschil in standpunt van Plato en Aristoteles hiermede zou samenhangen, dat Plato aan de zuivere wiskunde een groote beteekenis toekende, terwijl Aristoteles deze beteekenis minder hoog aansloeg. Om deze onderstelling te toetsen, zou een grondige studie van de werken der beide denkers vanuit dit gezichtspunt noodig zijn. Hoe dit zij, het is wel opvallend, hoe de leeringen van Plato en Aristoteles correspondeeren met het

[p. 196]

gedachtenleven van den theoretischen wiskundige en van hem, die de wiskunde in de practijk toepast, hetzij als natuuronderzoeker of als eenvoudig handwerksman.

De theoretische wiskundige bestudeert zijn getallen en figuren, zonder zich te bekommeren over de vraag, of en in hoever hij deze in de stoffelijke werkelijkheid zal terugvinden. Indien het een of andere getal hem interesseert, dat grooter is dan het aantal electronen in het ons bekende heelal, en dat dus wel nooit het aantal dingen van een werkelijk bestaande hoeveelheid zal aanduiden, dan zal hij door deze omstandigheid zich niet laten weerhouden, het bewuste getal nader te bestudeeren. En ook in de meetkunde bestudeeren wij met groote belangstelling figuren, die nooit ten volle op het papier gerealiseerd kunnen worden. Kromme lijnen, die zich met oneindig vele windingen om een bepaald punt heenkronkelen, of die tusschen twee punten oneindig vele bochten vertoonen, komen reeds in de elementaire gedeelten der hoogere wiskunde ter sprake, en niemand heeft ooit tegen het koesteren van dergelijke denkbeelden bezwaar gemaakt. In één woord: de theoretische wiskundige leeft bij zijn onderzoekingen in een eigen wereld, die van de gewone werkelijkheid scherp onderscheiden is. Indien zoo iemand er nu toe komt, zijn gedachtenleven buiten zich te projecteeren tot een metaphysische werkelijkheid, zal hij die afgescheiden wereld der wiskundige begrippen maken tot een zelfstandig bestaande sfeer, wèl van de stoffelijke te onderscheiden. En dit is nu juist, hetgeen wij bij Plato vinden.

Geheel anders is de beteekenis, die de wiskundige begrippen voor den practicus hebben. Hij heeft op school leeren rekenen; hij heeft de grondbegrippen en sommige belangrijke stellingen der meetkunde leeren kennen. En nu gebruikt hij deze kennis, om de dingen, die hij tegenkomt, namen te geven; om aan zijn omgeving bepaaldheid te geven en haar te leeren beheerschen. Hij spreekt van een kudde van vijftig koeien; van een afstand van zes kilometer; van een vierkante tafel, een ellipsvormig bloemperk. In één woord: wat anders vaag en onbepaald zou wezen, wordt door middel van deze begrippen scherp onderscheiden en daardoor in onze macht gebracht. Wij weten allen, welke triomfen door toepassing van deze methode in de tech-

[p. 197]

niek behaald zijn. Wij zien hier dus, hoe in onzen geest het de taak der wiskundige begrippen is, uit het materiaal, dat de zintuiglijke waarneming ons levert, een wereld van bepaalde, scherp onderscheiden dingen te maken. En indien wij weer datgene, wat zich in onzen geest afspeelt, tot een metaphysische werkelijkheid buiten ons projecteeren, zien wij een wereld, waarin vormende krachten werkzaam zijn, die uit de ongeordende materie een wereld van volgens vaste wetten gevormde dingen doen ontstaan. Wij herkennen het wereldbeeld van Aristoteles.

Afgescheiden dus van de vraag, of dit werkelijk de gedachtengang van Plato en van Aristoteles is geweest - een vraag, die enkel door historisch onderzoek zou zijn op te lossen - kunnen wij de stelsels dezer denkers beschouwers als projecties in het metaphysische van het gedachtenleven van den beoefenaar der zuivere wiskunde en van dat van den beoefenaar der toegepaste wiskunde. Hiermede wil ik niets afkeurends of kleineerends van deze stelsels zeggen. Immers, het projecteeren van ons bewustzijnsleven tot een werkelijkheid buiten ons is het noodzakelijke grondbeginsel van alle metaphysica. De ervaring toch leert ons slechts twee werkelijkheden kennen: de physische en de psychische werkelijkheid. Indien wij nu in de metaphysica de physische werkelijkheid beschouwen als een verschijning van iets anders, dat er aan ten grondslag ligt, en ons van dit andere een nadere voorstelling trachten te maken, dan hebben wij geen andere keuze, dan die andere werkelijkheid als een psychische of quasi-psychische op te vatten; eenvoudig, omdat wij geenerlei werkelijkheid kennen, die nòg anders zou zijn. Wij zijn m.a.w. gedwongen, in die andere werkelijkheid een weerspiegeling van ons bewustzijnsleven te zien. Hiermede komen wij tegelijk tegemoet aan de oeroude behoefte van den mensch, zich geen vreemdeling in deze wereld te voelen, maar in alles iets te herkennen, aan het eigen wezen verwant. En dat deze behoefte diep in den mensch geworteld is, blijkt uit de onuitroeibaarheid van metaphysische bespiegelingen, alle verbodsbepalingen van sommige wijsgeeren ten spijt. Of deze behoefte werkelijk bevredigd kan worden, kan alleen worden uitgemaakt, door pogingen in die richting te ondernemen en het resultaat van die pogingen af te wachten.

[p. 198]

Uit het bovenstaande volgt, dat de beoefenaar der zuivere wiskunde, indien hij metaphysische neigingen heeft, het meest voor de leer van Plato zal voelen; immers, hij kent in zijn eigen geest het rijk der wiskundige begrippen als een op zichzelf bestaande sfeer. Vindt men de voorstelling van zulk een zelfstandig bestaand ideeënrijk een weinig fantastisch, dan kan men zich dit denkbeeld aannemelijker maken door de ideeën te beschouwen als gedachten, die door het Goddelijke Denken gedacht worden. Zooals een mensch, die een werk gaat ondernemen, eerst voor zichzelf een plan maakt, zoo kan men zich denken, dat God, alvorens Hij iets schept, een zeker beeld van het te scheppen ding in Zijn Denkvermogen vormt. Deze ‘oerbeelden’ in het Goddelijk Denken zijn dan de ideeën. Dergelijke denkbeelden zijn reeds vroegtijdig door verschillende volgelingen van Plato verkondigd geworden.

Wie het woord ‘God’ wegens de daaraan verbonden associaties liever niet gebruikt, kan het door elk ander woord vervangen, dat door een of anderen denker gebruikt wordt, om de laatste werkelijkheid aan te duiden. Hij kan spreken over het ‘wereldbewustzijn’; hij kan met onzen landgenoot Poortman spreken over het ‘Suprasubject’; dit alles doet aan het wezen der zaak weinig toe of af. In elk geval vormt de ideeënwereld een zeker ‘gebied’ of een zekere ‘laag’ binnen die alomvattende werkelijkheid.

§ 3. De vraag, die het uitgangspunt vormde van onze beschouwingen, was de volgende: Hoe is het mogelijk, dat de wiskundige waarheden, die onze geest zich door eigen denken verwerft, toch op de ervaring van toepassing zijn? De antwoorden, door Plato en Aristoteles op deze vraag gegeven, zijn van metaphysischen aard. Daartegenover staat de oplossing van het kennistheoretisch idealisme, van welke richting Kant de bekendste vertegenwoordiger is.

De grondgedachte van deze opvatting is na het voorafgaande gemakkelijk te formuleeren. Zooeven zagen wij, dat de wiskundige begrippen in onzen geest een actieve rol vervullen; zij maken uit de betrekkelijk vage indrukken der zintuiglijke waarneming - indrukken van ‘veel’ of ‘weinig’, ‘groot’ of ‘klein’ - een wereld, over welke men exacte mededeelingen

[p. 199]

kan doen betreffende aantal, afmeting en gedaante der verschillende dingen. Willen de wiskundige begrippen deze rol voor ons vervullen, dan moeten wij ze natuurlijk op school hebben leeren kennen.

De fundamenteele onderstelling van Kant is nu, dat de wiskundige begrippen reeds in onzen geest aanwezig en werkzaam zijn, vóór wij ze bewust hebben leeren kennen¹⁾. Immers, zelfs de primitiefste visueele waarneming kunnen wij ons niet voorstellen, zonder dat althans de meest fundamenteele wiskundige begrippen op een zekere wijze aanwezig zijn. De waarneming van afzonderlijke dingen onderstelt reeds de begrippen ‘eenheid’ en ‘veelheid’, benevens de rangschikking dezer dingen op verschillende plaatsen in de ruimte; de begrippen ‘eenheid’, ‘veelheid’, ‘rangschikking in de ruimte’ moeten dus reeds werkzaam zijn, vóór ons abstraheerend denken er in geslaagd is, deze begrippen bewust uit het waarnemingsmateriaal af te zonderen.

De onderstelling van Kant is m.a.w., dat hetzelfde proces, dat uit de wereld der zintuiglijke waarneming een volgens getal en maat geordende wereld maakt, - dat hetzelfde proces reeds aan den gang is, nog vóór het waargenomene ons bewust is geworden. De, door de zintuigen ontvangen, indrukken worden, nog vóór zij ons bewust worden, reeds door onzen geest bewerkt en verwerkt, en zoo komt het, dat wij een wereld om ons heen zien, die uit dingen bestaat, welke in de ruimte zijn gerangschikt, en die veranderingen ondergaat, welke zich afspelen in den tijd. En deze primaire verwerking geschiedt juist met behulp van de fundamenteele wiskundige begrippen. Geen wonder dus, dat wij bij analyse der ervaringswerkelijkheid deze begrippen weer terugvinden. Maar aangezien deze begrippen in onzen eigen geest wortelen, kunnen zij ons ook zelfstandig tot bewustzijn komen, en is dus een, van de ervaring onafhankelijke, wiskundige wetenschap mogelijk.

De leer van Kant stemt in sommige opzichten met die van

1) Voor sommigen zal het een ‘contradictio in terminis’ schijnen, van ‘onbewust aanwezige begrippen’ te spreken. De term is hier op dezelfde wijze gebruikt, waarop men in de psycho-analyse van onbewuste voorstellingen, wenschen, enz. spreekt: als een aanduiding van die onbewuste functies van onzen geest, die op de een of andere wijze met de bewust aanwezige begrippen correspondeeren.

[p. 200]

Plato overeen. Volgens beide denkers bezitten wij vóór alle ervaring een onbewuste kennis der wiskundige begrippen. De ervaring is slechts het middel, deze sluimerende kennis in ons wakker te roepen. Volgens beide denkers ook is de werkelijkheid der ervaring naar het voorbeeld der wiskundige ideeën gevormd. Maar naast deze punten van overeenstemming zijn er ook belangrijke verschillen tusschen de beide stelsels.

Volgens Plato zetelen de ideeën in een eigen rijk, hoog boven mensch en wereld verheven. Van daar uit vormen zij de stoffelijke wereld, zoodat uit een onbepaalde, ondefiniëerbare oerstof - de ‘materia prima’, zooals men later zeide, - de wetmatig geordende wereld der werkelijkheid ontstaat.

Volgens Kant zetelen de fundamenteele begrippen in den mensch zelf, en wel oorspronkelijk in een zekere laag, die beneden den drempel van het bewustzijn ligt. Van daar uit vormen zij onze waarnemingen, zoodat uit de onbepaalde, ongevormde zintuiglijke indrukken de wetmatig geordende wereld der ervaringswerkelijkheid ontstaat.

Zooals men ziet, is dit verschil zeer groot. De vraag kan echter gesteld worden, of, in het licht van onze tegenwoordige opvattingen, het verschil niet toch van iets minder principiëelen aard wordt. Om dit na te gaan, moeten wij ons een oogenblik bezighouden met de tegenwoordige denkbeelden aangaande het wezen van den mensch.

Het psychologisch en parapsychologisch onderzoek heeft het zeer plausibel gemaakt, dat de mensch een veel gecompliceerder wezen is, dan men vroeger meende. De bewuste persoonlijkheid van een mensch, de gedachten en neigingen, die hij bij zichzelf waarneemt, vormen een onderdeel van een veel uitgebreider systeem, waarvan het grootste gedeelte ‘onder den drempel van het bewustzijn’ blijft. In bijzondere bewustzijnstoestanden, als hypnose en trance, komen deze diepere dingen naar de oppervlakte; en de psycho-analyse tracht in deze gebieden door te dringen. Hetgeen in deze verschillende gevallen voor den dag komt, is van zeer uiteenloopenden aard, zoodat men den indruk krijgt, dat het ons onbewuste niet homogeen is, maar uit verschillende ‘lagen’ bestaat, die op verschillenden afstand van de bewuste persoonlijkheid zijn gelegen. Het onderbewustzijn, dat in de psycho-analyse wordt bestudeerd,

[p. 201]

en dat in hoofdzaak bestaat uit verdrongen wenschen, ligt betrekkelijk dichter bij den drempel dan de lagen, die in diepe somnambulistische toestanden tot uiting komen. In deze laatste toestanden treden vaak supernormale vermogens aan den dag: telepathische gemeenschap met levenden en misschien met gestorvenen; helderzien in tijd en ruimte. Deze verschijnselen wijzen er op, dat in de gebieden, welke men dan in werking ziet, de scherpe afscheiding tusschen verschillende menschelijke individuen, en tusschen den mensch en zijn omgeving, begint te vervagen; dat hier verbinding bestaat van mensch en mensch, en ook van den mensch met den achtergrond van die wereld, die voor onze zintuigen verschijnt. Met andere woorden: dat men bij steeds dieper doordringen ten slotte een punt bereikt, waar het individueele ons onbewuste in het kosmische ons onbewuste overgaat.

In beginsel is dit natuurlijk niet nieuw. De ouden wisten reeds, dat wij ‘in God leven, ons bewegen en zijn’. En een bekende Indische spreuk is: ‘Tat twam asi’, ‘Dat zijt gij’, d.w.z. de diepste grond van mensch en wereld is dezelfde. Maar het moderne onderzoek heeft aan onze denkbeelden hieromtrent m.i. toch wel eenige meerdere concreetheid gegeven.

Welk licht werpen deze denkbeelden nu op de tegenstelling der boven beschouwde wijsgeerige stelsels?

Zoowel volgens Plato als volgens Kant wortelen de wiskundige begrippen in het ons onbewuste. Immers, zij functioneeren reeds in onzen geest, vóór wij ze bewust hebben leeren kennen. Als wij bij onze studie met deze begrippen kennis maken, is dit slechts een bewustwording van hetgeen reeds van te voren onbewust ons eigendom was. Het verschil tusschen de twee stelsels kunnen wij nu zoo karakteriseeren, dat zij den oorsprong der wiskundige begrippen in verschillende lagen van het ons onbewuste zoeken.

Volgens Kant zijn de wiskundige begrippen kenmerkend voor de inrichting van onzen geest, en hebben zij geen geldigheid voor de wereld der ‘Dinge an sich’. Dit beteekent dus, dat zij wortelen in een laag van het ons onbewuste, die nog specifiek menschelijk is, en dus van het kosmische ons onbewuste verwijderd is. En met deze opvatting is de gansche geesteshouding van Kant en zijn meeste volgelingen in over-

[p. 202]

eenstemming. Indien toch de wiskundige begrippen afkomstig zijn uit een laag, die betrekkelijk dicht onder den drempel van het bewustzijn ligt, kan de bewustwording van deze begrippen niet zoo buitengewoon moeilijk zijn. Het is daartoe voldoende, de producten van onzen geest, die met medewerking van die wiskundige begrippen tot stand zijn gekomen, aan een min of meer scherpzinnige analyse te onderwerpen; deze begrippen moeten dan worden gevonden en zijn, eenmaal gevonden, gemakkelijk te herkennen, waarmede zij voor goed zijn vastgesteld en in hun noodzakelijkheid en algemeenheid erkend. Dit is nu juist de weg, die door Kant is ingeslagen. Kant heeft opgemerkt, dat begrippen als ‘substantie’, ‘causaliteit’, ‘wisselwerking’, en dergelijke, in de klassieke natuurkunde onmisbaar zijn, en dat zij in deze wetenschap niet worden afgeleid, maar als vanzelfsprekend worden aangenomen. Hieruit concludeerde hij, dat deze en dergelijke begrippen de oorspronkelijke hulpmiddelen zijn, waarmede onze geest is toegerust, en waarvan hij gebruik maakt, om uit de zintuiglijke indrukken een geordende wereld der ervaring te maken. Kant spreekt uitdrukkelijk de onderstelling uit, dat de wetenschap dezer ‘zuivere begrippen a priori’ van betrekkelijk geringen omvang zal blijken te zijn; m.a.w. dat het systeem dezer begrippen van betrekkelijk geringe uitgebreidheid zal zijn, en dat het onderzoek van dit systeem vrij spoedig zal zijn afgeloopen.

Volgens Plato vormen de ideeën een zelfstandig rijk, hoog boven het aardsche verheven. In onzen gedachtengang beteekent dit, dat zij wortelen in zeer diepe lagen van het ons onbewuste. In dit geval is het te verwachten, dat de bewustwording dezer fundamenteele begrippen niet zoo gemakkelijk zal wezen, maar dat hiervoor langdurige en uitgebreide onderzoekingen vereischt zullen worden. Ja, er zal zich dan nog een andere omstandigheid voordoen. Die diepere lagen van het ons onbewuste zullen niet zoo ver meer verwijderd zijn van het kosmische ons onbewuste, dus van den achtergrond van de wereld der ervaring. Dan ligt het voor de hand, dat de wortels der wiskundige begrippen tot in die gebieden zullen reiken. Maar dan zullen die fundamenteele begrippen zich aan den anderen kant ook in de wereld der ervaring openbaren; zij zullen in die wereld als vormende krachten werkzaam zijn, zoo-

[p. 203]

als Plato en Aristoteles onderstelden. Is dit zoo, dan zal de gang van het epistemologisch onderzoek een eigenaardige wisselwerking te zien geven. Eenerzijds zullen nieuwe resultaten verkregen worden door nog scherpzinniger analyse van reeds bekende uitkomsten; anderzijds echter zullen ook vaak experimenteele gegevens tot nieuwe onderscheidingen en generalisaties nopen. Dit is nu juist de ontwikkelingswijze der wis- en natuurkunde gedurende de laatste decenniën.

In het volgende zullen wij dit nader toelichten. Eerst echter zullen wij de stelling, dat de wiskundige begrippen in het ons onbewuste werkzaam zijn, nader bevestigen.

In de eerste plaats kunnen wij wijzen op het eigenaardige karakter der wiskundige inspiratie. Voor elke wetenschap geldt, dat belangrijke, nieuwe en vernieuwing brengende opvattingen door een zekere ‘intuïtie’ of ‘inspiratie’ worden verkregen. Dit blijkt wel hieruit, dat van twee onderzoekers, die over hetzelfde materiaal beschikken, de een een dergelijke vruchtbare ingeving zal ontvangen en de ander niet; er moeten dus zekere factoren in de diepten der psyche werkzaam zijn, die zulk een ingeving te weeg brengen. In de wiskunde geldt dit nu zeer in het bijzonder. Wij zien hier, hoe bepaalde begrippen zich aan de denkers als het ware hebben opgedrongen, en hoe zij, na veel tegenstribbelen ten slotte algemeen aanvaard, een verbazingwekkende vruchtbaarheid hebben getoond en aan uitgebreide onderdeelen der wiskunde het aanzijn hebben gegeven. De imaginaire getallen en de oneindig kleine grootheden leveren voorbeelden van begrippen, waarmede men oorspronkelijk gewerkt heeft, zonder zich eigenlijk er behoorlijk rekenschap van te kunnen geven, en die ondanks alle tegenstand ten slotte gezegevierd hebben. Wij krijgen hier zeer sterk den indruk, dat krachten, in de diepte van het ons onbewuste verscholen, aan het werk zijn geweest en ten slotte naar de oppervlakte gekomen zijn. Zoo kenmerkend is dit proces voor de ontwikkeling der wiskunde, dat men er wel een afzonderlijk vermogen van den menschelijken geest in heeft gezien en er de naam ‘trans-intuïtie’ aan heeft gegeven.

In de tweede plaats kunnen wij opmerken, dat bij abnormale geestestoestanden, waarbij het ons onbewuste naar de oppervlakte komt, nu en dan ook prestaties van wiskundigen aard

[p. 204]

worden geleverd. In zijn ‘Handleiding der Psychical Research’ vermeldt de heer Tenhaeff een geval, waarbij aan de ‘intelligentie’, die zich door middel van een planchette openbaarde, verzocht werd, de wiskundige formule voor den omtrek der planchette neer te schrijven, hetgeen dan ook geschiedde. Het meest bekende voorbeeld van dergelijke werkingen leveren verschillende rekenkunstenaars, die op verbazingwekkende wijze de bewerkingen der vermenigvuldiging, deeling en worteltrekking op zeer groote getallen kunnen toepassen. In verschillende gevallen zijn deze menschen verstandelijk achterlijk, ja vrijwel idioot, en zijn niet in staat, iets van de wiskunde te begrijpen; in andere gevallen, waar wiskundige ontwikkeling wel mogelijk bleek, verdween hierdoor de gave. Wij moeten dus wel aannemen, dat deze werkingen buiten het bewuste verstand omgaan. Wellicht was iets dergelijks het geval bij de beroemde paarden van den heer Krall uit Elberfeld, die eveneens zulke rekenprestaties verrichtten.

Een laatste argument is het volgende. Het ontstaan en genezen van ziekten langs psychischen weg, het verschijnsel der stigmatisaties, e.d. wijzen er op, dat het ons onbewuste nauw betrokken is bij de krachten, die den opbouw en de instandhouding van ons lichaam bewerken. En nu bestaan bij den opbouw van ons lichaam werkelijk wetmatigheden van wiskundigen aard. Wij kunnen hier in het bijzonder denken aan de groote beteekenis van de gulden snede voor de proporties van ons lichaam. Onze landgenoot Dr. Reich heeft bijv. aangetoond, dat een middellijn der hersenen, welke door de pijnappelklier wordt getrokken, door deze klier volgens de gulden snede verdeeld wordt. Deze omstandigheden zijn reeds door Hellenbach en Du Prel aangevoerd, om aan te toonen, dat de werkingen van het ons onbewuste en die van ons bewuste verstand in menig opzicht analoog zijn.

§ 4. Wij zullen thans nagaan, wat de ontwikkeling der moderne wiskunde ons over deze dingen kan leeren. In de eerste plaats beschouwen wij de Niet-Euclidische meetkunde.

Aan den aanvang van zijn werk noemt Euclides een aantal stellingen op, de zoogenaamde axioma's en postulaten, welke het uitgangspunt van zijn beschouwingen vormen. Het is

[p. 205]

klaarblijkelijk zijn bedoeling, dat deze stellingen zoo eenvoudig en evident zijn, dat iedereen ze onmiddellijk zal aanvaarden. De meeste voldoen zeer zeker aan deze eisch. Zoo lezen wij bijv.:

‘Twee rechte lijnen kunnen geen ruimte (d.w.z. geen eindig deel van het platte vlak) insluiten.’ Nu, als men zich twee lijnen voorstelt, die een eindig deel van een plat vlak insluiten, dan is het duidelijk, dat deze voorstelling niet overeenkomt met die, welke men zich maakt, als men van twee rechte lijnen hoort.

Verder lezen wij: ‘Alle rechte hoeken zijn gelijk’. Deze stelling is zoo eenvoudig, ja zij schijnt zoo overbodig, dat vele commentatoren hebben ondersteld, dat Euclides er iets bijzonders mede bedoeld moet hebben, en deze menschen hebben zich verdiept in gissingen, wat de diepere bedoelingen van dit postulaat wel zouden zijn.

Nu is er echter één postulaat, waarvan men ten allen tijde den indruk heeft gehad, dat het niet denzelfden graad van evidentie bezat als de overige. Dit is het vijfde postulaat; het luidt als volgt:

‘Indien twee rechte lijnen, in eenzelfde vlak gelegen, door een derde gesneden worden, en de beide binnenhoeken aan één zijde der snijlijn een som opleveren, die kleiner is dan twee rechte hoeken, dan zullen die twee lijnen, genoegzaam verlengd, elkaar snijden, en wel aan die zijde der snijlijn, waar de beide binnenhoeken liggen, wier som kleiner is dan twee rechte hoeken’.

Reeds de onmiddellijke opvolgers van Euclides hebben er bezwaar tegen gemaakt, dit vijfde postulaat zoo maar te aanvaarden, en hebben op verschillende wijzen getracht, het te bewijzen. Ja, vermoedelijk heeft Euclides zelf dit bezwaar gevoeld. Vergelijkt men nl. het werk van Euclides met onze moderne meetkunde-leerboeken, dan ziet men, dat sommige stellingen, die men tegenwoordig met behulp van de theorie der evenwijdige lijnen bewijst, door Euclides zonder deze theorie worden afgeleid, al worden de bewijzen hierdoor omslachtiger. Het is, alsof Euclides het gebruik van het vijfde postulaat zoo lang mogelijk heeft willen uitstellen, alsof hij zooveel mogelijk resultaten heeft willen verkrijgen, die van het vijfde postulaat onafhankelijk zijn. Op deze wijze heeft Eucli-

[p. 206]

des reeds de eerste stappen gezet op den weg, die later tot de Niet-Euclidische meetkunde zou voeren.

Het wantrouwen tegen het vijfde postulaat is de eeuwen door blijven bestaan. Telkens weer heeft men getracht het te bewijzen; telkens heeft men gemeend, een bewijs te hebben gevonden, en telkens is weer gebleken, dat zulk een bewijs feitelijk berustte op de invoering van een nieuw postulaat, dat misschien eenvoudiger dan het vijfde scheen, maar er in den grond gelijkwaardig mee was. Toen een direct bewijs niet gelukte, heeft men een bewijsmethode beproefd, die in de wiskunde welbekend is, namelijk een zoogenaamd indirect bewijs of bewijs uit het ongerijmde. Men ging eens onderstellen, dat het vijfde postulaat niet waar zou zijn; men ging de consequenties van die ontkenning onderzoeken, in de hoop, aldus tot een logische tegenstrijdigheid te komen. Zou zulk een tegenstrijdigheid zich voorgedaan hebben, dan zou hiermede toch een bewijs geleverd zijn. Deze weg is ingeslagen door Saccheri, wiens werk in 1733 verscheen. Saccheri meende werkelijk, tot een tegenstrijdigheid te zijn gekomen; het bleek echter, dat hier niet van een logische tegenstrijdigheid sprake was, maar alleen van een mogelijkheid, waartegen ons voorstellingsvermogen zich verzet; en dit was niet de bedoeling van Saccheri, noch die van een zijner voorgangers.

Ten slotte hebben Gauss, Lobatchewsky en Bolyai de eenig mogelijke conclusie getrokken, namelijk dat Euclides toch gelijk heeft gehad, toen hij het vijfde postulaat als een postulaat, dus als iets onbewijsbaars, neerschreef. Laat men het vijfde postulaat weg, dan krijgt men een meetkunde, waarvan de resultaten wel niet zoo aanschouwelijk zijn als die van de meetkunde van Euclides, maar die evenzoo logisch samenhangt, en die even vrij is van innerlijke tegenstrijdigheden, als de meetkunde van Euclides zelf.

Toen eenmaal gebleken was, dat men een logisch opgebouwd stelsel kon krijgen, door het vijfde postulaat weg te laten, heeft men natuurlijk hetzelfde beproefd met andere postulaten, die Euclides uitdrukkelijk noemt of stilzwijgend onderstelt. Op deze wijze zijn allerlei verschillende meetkunden opgebouwd. De meest bekende hiervan zijn wel de meerdimensionale meetkunden, waarin het aantal afmetingen der

[p. 207]

ruimte niet drie is, zooals bij Euclides, maar vier of meer.

Gedurende de geheele negentiende eeuw heeft men van gedachten gewisseld over de vraag, in hoeverre deze verschillende meetkunden van beteekenis konden zijn voor de studie van de physische werkelijkheid. Want, terwijl de wiskundigen hun gang gingen, bleven de physici en astronomen rustig met de Euclidische meetkunde werken. Enkelen, zooals Hinton en Zöllner, hebben wel beproefd, sommige verschijnselen te verklaren met behulp van de onderstelling eener vierde afmeting van de ruimte; maar veel succes hebben zij niet gehad. En zoo schenen zij gelijk te krijgen, die zich op Kant beriepen en betoogden, dat onze ruimtelijke aanschouwing nu eenmaal volgens het Euclidische schema werkt en dat dus de ervaring, die met behulp van onze aanschouwingsvormen is opgebouwd, ons nooit iets anders dan een Euclidische wereld kan leveren. In hoeverre dit werkelijk in den geest van den meester is, waag ik niet te beslissen; de meeningen hierover waren en zijn verdeeld. Een feit is het, dat men zich herhaaldelijk op Kant heeft beroepen, om dit standpunt te rechtvaardigen.

Deze situatie is echter geheel veranderd sedert het optreden van Einstein en Minkowski. De algemeene relativiteitstheorie heeft ons geleerd, dat zekere groepen van verschijnselen werkelijk het eenvoudigste kunnen worden beschreven met behulp van de Niet-Euclidische meetkunde. En er is meer. Niet alleen het succes der relativiteitstheorie, maar ook de innerlijke, logische en harmonische opbouw dezer theorie dringen ons het gevoel op, dat wij hier werkelijk een afspiegeling van het wezen der bedoelde verschijnselen voor ons hebben. Zooals Jeans het uiteenzet in zijn bekende boek ‘Het geheimzinnige heelal’, krijgen wij het gevoel, alsof de Wereldgeest bij de constructie van de kosmos werkelijk deze wiskundige begrippen tot leiddraad gekozen heeft. Of anders uitgedrukt: deze begrippen schijnen in het kosmische ons onbewuste als vormende krachten te werken, in overeenstemming met de opvattingen van Plato en Aristoteles.

Ondanks dit alles blijft het waar, dat wij ons vele figuren der Niet-Euclidische meetkunde met de beste wil niet kunnen voorstellen. Een rechte lijn, die in zichzelf terugkeert, en dus een gesloten kromme is, - een driehoek, waarvan de zijden

[p. 208]

twee aan twee evenwijdig loopen, doch niet alle drie evenwijdig loopen, - dit zijn mogelijkheden, die ons voorstellingsvermogen te boven gaan. Maar de geheele ontwikkeling der moderne wiskunde is er op gericht geweest, het voorstellingsvermogen zooveel mogelijk uit te schakelen, en slechts naar de logische structuur der verschillende theorieën te vragen. In het volgende blijkt dit nog op andere wijze.

In het begin der negentiende eeuw heeft de studie der meetkunde door de onderzoekingen van Poncelet, Jakob Steiner en anderen een nieuwe impuls gekregen. Een tijdperk van grooten bloei is gevolgd, waarin aan de hand van nieuwe beginselen een schat van nieuwe resultaten werd afgeleid. Onder deze nieuwe beginselen is een der belangrijkste het zoogenaamde afbeeldingsbeginsel of correspondentiebeginsel. Om de beteekenis hiervan eenigszins duidelijk te maken, beschouwen wij de beide volgende reeksen van stellingen.

Twee rechte lijnen bepalen een punt (hun snijpunt).	Twee punten bepalen een rechte lijn (hun verbindingslijn).
Vier rechte lijnen bepalen, twee aan twee genomen, zes punten. De aldus ontstane figuur heet een volledige vierzijde.	Vier punten bepalen, twee aan twee genomen, zes rechte lijnen. De aldus ontstane figuur heet een volledige vierhoek.
De zes hoekpunten van een volledige vierzijde hebben nog drie andere verbindingslijnen, de diagonalen genaamd.	De zes zijden van een volledige vierhoek hebben nog drie andere snijpunten, de diagonaalpunten genaamd.

Men kan nu verder doorgaan en allerlei eigenschappen van de volledige vierhoek en vierzijde opsporen. En nu blijft zich de merkwaardige omstandigheid voordoen, dat deze eigenschappen twee aan twee met elkander correspondeeren, en dat men de overeenkomstige eigenschappen krijgt, door de woorden ‘punt’ en ‘rechte lijn’ systematisch met elkander te verwisselen.

Dergelijke correspondeerende reeksen van stellingen zijn er nu zeer vele. Men kan bijv. uit verschillende eigenschappen van

[p. 209]

rechtlijnige figuren eigenschappen afleiden van figuren, die door cirkels gevormd worden, door de woorden ‘rechte lijn’ door ‘cirkel’ te vervangen en eventueel ook andere termen systematisch te wijzigen. Aan dit correspondentiebeginsel kunnen nu verstrekkende gevolgtrekkingen worden vastgeknoopt.

Stellen wij ons een wiskundige voor, die aan zijn leerling de eigenschappen van de volledige vierzijde, en de bewijzen van die eigenschappen voordraagt. Wij zullen echter onderstellen, dat hijzelf daarbij voortdurend denkt aan de volledige vierhoek, en dus bij het woord ‘punt’ een rechte lijn, bij ‘rechte lijn’ een punt voor zijn geest laat oprijzen. Aangenomen, dat hij genoeg routine bezit, om deze geestelijke acrobatiek vol te houden, behoeft hij nooit in een impasse te komen, daar immers de eigenschappen, die hij noemt, en die, waaraan hij denkt, volgens vaste regels met elkander correspondeeren. En het zal voor zijn leerling onmogelijk zijn, uit te maken, of zijn leermeester werkelijk denkt aan een volledige vierzijde of aan een volledige vierhoek.

Deze beschouwingen werpen ook een nieuw licht op de definities, die Euclides aan het begin van zijn werk geplaatst heeft; dus de definities: ‘Een punt is, wat geen deelen heeft’, ‘Een lijn is lengte zonder breedte’, enz. Deze definities zijn buitengewoon weinig zeggend; zij zullen iemand, die niet reeds weet, wat een punt, een lijn, enz. zijn, niet veel wijzer maken. Bovendien wordt bij geen enkel bewijs van deze definities gebruik gemaakt. Het blijkt echter nu, dat het van Euclides goed gezien is geweest, zijn definities zoo nietszeggend te maken. Immers, elke volzin, waardoor een werkelijke eigenschap van het punt, de rechte lijn, enz. wordt uitgedrukt, kan aan de hand van het correspondentiebeginsel op systematische wijze verkeerd verstaan worden, en dus geheel andere voorstellingen in den geest doen oprijzen, zonder dat de logische samenhang hierdoor verbroken wordt. Het is dus onmogelijk, de voorstellingen ‘punt’, ‘rechte lijn’, enz. door middel van definities aan een ander mede te deelen; waaruit dus tevens volgt, dat deze voorstellingen niet tot het terrein der wiskunde behooren. Het is den wiskundige te doen om logische structuren, niet om de voorstellingen, die men er eventueel aan verbinden kan.

[p. 210]

De meetkundige onderzoekingen, die in het begin der negentiende eeuw begonnen zijn, hebben nog tot een ander resultaat gevoerd. Het is n.l. gebleken, dat het systeem der punten, lijnen en figuren, die in de gewone meetkunde beschouwd worden, een zekere onvolledigheid vertoont, tengevolge waarvan sommige stellingen slechts een beperkte geldigheid hebben. Zoo kunnen twee rechte lijnen elkander in een punt snijden; zij kunnen echter ook evenwijdig loopen. Twee cirkels kunnen elkander in twee punten snijden; zij kunnen elkander echter ook in het geheel niet snijden. Op het voetspoor van Poncelet kan men nu deze ongelijkmatigheden opheffen, door aan de figuren der gewone meetkunde zoogenaamde ‘ideale’ (oneigenlijke, imaginaire) figuren toe te voegen. Men krijgt dan een uitgebreider stelsel, waarin de meetkundige eigenschappen zonder uitzondering gelden, en dat hierdoor een veel eenvoudiger logische structuur bezit dan het stelsel der gewone meetkunde. Maar de eigenschappen dezer ideale figuren spotten met ieder voorstellingsvermogen. Rechte lijnen, die loodrecht op zichzelf staan, - punten, welker afstand de waarde nul heeft, zonder dat zij samenvallen - wel niemand zal dergelijke begrippen ‘aanschouwelijk’ noemen. Ook hier blijkt weer, hoe de logische opbouw van een wiskundig systeem, en de aanschouwelijkheid der resultaten, twee verschillende zaken zijn, en dat het voldoen aan de eene eisch vaak alleen ten koste van de andere mogelijk is.

Uit het voorafgaande blijkt tevens, dat wij, indien wij de ideeënleer van Plato aan onze moderne opvattingen willen aanpassen, haar niet ongewijzigd kunnen laten. Het woord ‘idee’ hangt samen met verschillende indogermaansche woorden, die zoowel ‘zien’ als ‘weten’ beteekenen. Voor den primitieven mensch beteekenden ‘zien’ en ‘weten’ blijkbaar hetzelfde, en nog ten tijde van Plato was dit blijkbaar het geval. Hiermede is in overeenstemming, wat Plato zegt van het ‘schouwen’ der ideeën, zoowel vóór de geboorte als in bijzondere geestelijke staten. Wij zijn nu echter tot een sfeer doorgedrongen, waar ‘zien’ en ‘weten’ niet meer hetzelfde zijn, - althans, als men het woord ‘zien’ niet in een zuiver figuurlijke beteekenis neemt, maar werkelijk denkt aan beelden en voorstellingen, die in den geest oprijzen. Een ‘schouwen’ der

[p. 211]

ideeën, in den zin van een soort visueele waarneming, is blijkbaar onmogelijk; de sfeer der ideeën ligt dieper dan die der aanschouwing.

§ 5. De negentiende eeuw heeft dus de opvatting doen zegevieren, dat het den wiskundige te doen is om logische structuren, en niet om aanschouwelijke voorstellingen. De ontwikkeling gedurende de laatste halve eeuw wettigt echter de vraag, of de wortels der wiskundige denkbeelden niet nog dieper liggen, dieper nog dan de sfeer van het logisch denken. Dit probleem dankt zijn aanzijn aan de studie van het oneindige.

Het komt in de wiskunde herhaaldelijk voor, dat bepaalde denkprocessen, hoewel volkomen scherp gedefiniëerd, niet tot een logisch slot voeren. Een der eenvoudigste voorbeelden is het proces, dat bestaat in het vormen der opeenvolgende natuurlijke getallen. Volgens vaste regels kan men hier voortgaan, tot steeds grootere getallen kan men komen - nooit vindt dit proces een logisch einde. Een dergelijk proces noemt men in de wiskunde een oneindig proces.

Nadere studie leert nu, dat de oneindige processen, die in de verschillende deelen der wiskunde optreden, van zeer verschillenden aard zijn. In verband hiermede heeft het woord ‘oneindig’ voor den wiskundige zeer verschillende associaties, naarmate hij zich met het eene of met het andere hoofdstuk van zijn wetenschap bezighoudt. Men kan in de wiskunde minstens vijf verschillende oneindigheidsbegrippen onderscheiden, die vooral niet met elkander verward mogen worden, wil men zich niet in allerlei tegenstrijdigheden verwikkelen. Wij zullen ons hier in het bijzonder bezighouden met de oneindige verzamelingen.

Wij denken ons een oneindig proces, waarbij zich de bijzonderheid voordoet, dat bij elken stap van dit proces een zeker gedachteding gecreëerd wordt; bijv. het zooeven genoemde proces van het vormen der natuurlijke getallen. Men zegt nu, dat de aldus gecreëerde dingen een oneindig systeem, of, zooals de technische term luidt, een ‘oneindige verzameling’ vormen. Het blijkt nu, dat de oneindige verzamelingen, die in de wiskunde ter sprake komen, een zeer verschillenden graad van complicatie bezitten.

[p. 212]

Beschouwen wij bijv. de verzameling van alle kromme lijnen, die men in een plat vlak kan trekken. Om nieuwe soorten van kromme lijnen te vinden, moet men telkens weer nieuwe constructies verzinnen, en het is niet mogelijk, deze constructies zoodanig te rangschikken, dat zij als het ware mechanisch op elkander volgen, zoodat men de kromme lijnen achtereenvolgens zou kunnen opnoemen, zooals men dat met de natuurlijke getallen kan. De verzameling dezer kromme lijnen is dus veel gecompliceerder dan de verzameling der natuurlijke getallen.

Door Georg Cantor is een algemeene en zeer uitvoerige theorie der oneindige verzamelingen ontwikkeld. En Cantor heeft de stelling bewezen, dat men bij elke oneindige verzameling een verzameling kan vinden van grootere ‘machtigheid’ dan de gegevene.

En hier doet zich nu de eerste groote moeilijkheid voor. Immers, laten wij eens de verzameling beschouwen van alle denkbaarheden. Hoe kan men nu een verzameling vinden, d.w.z. zich denken, die nog uitgebreider zou wezen, die nog meer omvatten zou?

Bij deze eene moeilijkheid is het niet gebleven, maar het is gebleken, dat de leer der verzamelingen tot verschillende paradoxen en tegenstrijdigheden voerde. Op het eerste gezicht zou men misschien denken, dat het hier uitwassen van het wiskundig denken betreft, die gemakkelijk af te snijden moeten zijn. Toch is dit niet zoo. Deze paradoxen blijken nl. samen te hangen met verschillende oude paradoxen, zooals dat van den liegenden Kretenzer en dat van de krokodil. Hieruit blijkt, dat de geheele zaak een veel wijdere strekking heeft. Het gaat hier om de betrouwbaarheid van onze logica, om de vraag, of wij werkelijk wel consequent kunnen redeneeren, zonder in tegenstrijdigheden te vervallen.

Er zijn natuurlijk pogingen gedaan, een kenmerk te vinden, waardoor geoorloofde en ongeoorloofde redeneeringen scherp van elkander zouden zijn te onderscheiden. Bekend is het kenmerk van Poincaré, dat hierin bestaat, dat alleen ‘praedicatieve’ begrippen gebruikt mogen worden¹⁾. Het is echter niet

1) Wanneer de liegende Kretenzer het oordeel uitspreekt: ‘Alles wat ik zeg, is een leugen,’ is onder dit ‘alles’ het oordeel zelf inbegrepen. Om dit oordeel te begrijpen, moet men dus het oordeel zelf reeds kennen; hierbij beweegt men zich dus in een cirkel. Oordeelen en begrippen, waarbij een dergelijke cirkelgang zich niet voordoet, noemt Poincaré ‘praedicatief’. Niet-praedicatieve oordeelen en begrippen geven vaak tot paradoxen aanleiding.

[p. 213]

uitgemaakt, of een dergelijk kenmerk werkelijk met zekerheid kan worden toegepast, zonder dat men in nieuwe moeilijkheden vervalt, of in het bijzonder het begrip ‘praedicatief’ zelf wel een praedicatief begrip is.

Maar er is meer. Verschillende definities en redeneeringen, die in de gewone deelen der hoogere wiskunde gebruikelijk zijn, en waartegen nooit iemand bezwaar gemaakt had, blijken bij nadere studie zoozeer te gelijken op de begrippen en redeneeringen, die tot tegenstrijdigheden voeren, dat de vraag rijst, in hoeverre de gewone wiskunde nog wel houdbaar is. De intuïtionisten, vooral Brouwer en Weyl, gaan dan ookzoover, dat zij aanzienlijke deelen der hoogere wiskunde verwerpen. Er blijft dan echter zoo weinig over, en, wat er overblijft, is zoo ingewikkeld, dat slechts weinigen lust gevoelen, hen op dien weg te volgen. De discussies over deze dingen zijn nu al meer dan dertig jaar bezig, en nog steeds niet tot een einde gekomen.

Ik voor mij geloof, dat wij vertrouwen moeten hebben in de wiskundige trans-intuïtie, die bij de schepping der differentiaalen integraalrekening heeft gewerkt. Niemand gelooft toch werkelijk, dat in de gewone differentiaal- en integraalrekening ooit plotseling werkelijke tegenstrijdigheden zullen optreden. En indien dan sommige redeneeringen, in deze takken der wiskunde toegepast, logisch niet te onderscheiden zijn van redeneeringen, die elders wel tot tegenstrijdigheden voeren, dan is het de wiskundige trans-intuïtie, die, uit diepere lagen opwellend dan die van het logisch denken, die redeneeringen rechtvaardigt.

Een eenigszins analoog standpunt heeft Russell scherp trachten te formuleeren. Ook hierover zijn de discussies echter nog niet gesloten.

§ 6. Een bespreking over de grondslagen der wiskunde is niet volledig, indien niet ook enkele woorden gewijd worden aan het intuïtionisme van Prof. Brouwer.

Zooals wij zagen, was het streven der wiskundigen in de

[p. 214]

negentiende eeuw, de wiskunde te herleiden tot de studie van systemen van logische betrekkingen, terwijl de aanschouwing geheel uitgeschakeld werd. Op het terrein der meetkunde is er nog steeds niemand, die zich hier tegen zou verzetten; de meeningsverschillen betreffen alleen de concrete uitvoering van het programma, bijv. of men beter doet, het begrip ‘stelsel axioma's’, of het begrip ‘transformatiegroep’ tot uitgangspunt te nemen.

Ditzelfde streven heeft zich echter ook doen gelden op het terrein der getallenleer, en hier doen zich nu ernstige moeilijkheden voor. Dit blijkt nader als volgt.

Neemt men het geschetste standpunt in, dan is het natuurlijk, dat men aan systemen, die van minder axioma's uitgaan, en waarbij dus minder ondersteld wordt, den voorrang toekent boven systemen, die meerdere axioma's voor hun opbouw behoeven. Men zal er toe willen komen, de axioma's stuk voor stuk in te voeren, en dan telkens nagaan, welke beperkingen een nieuw ingevoerd axioma ten gevolge heeft.

Op het gebied der getallenleer leidt dit er toe, dat men eerst de theorie der oneindige verzamelingen opstelt, en dan de theorie der eindige hoeveelheden als een bijzonder geval van die der oneindige verzamelingen behandelt. Immers, men kan de eindige verzamelingen karakteriseeren, door aan het algemeene begrip ‘verzameling’ een beperkende onderstelling toe te voegen, waaraan wel de eindige, maar niet de oneindige verzamelingen voldoen. Dit is inderdaad de wijze, waarop Dedekind en Cantor de getallenleer hebben trachten op te bouwen.

Nu is het echter duidelijk, dat althans de kleinste natuurlijke getallen, de getallen ‘een’, ‘twee’ en ‘drie’, zulk een fundamenteele rol in ons denken spelen, dat men geen enkele logische onderscheiding maken, ja geen volzin kan uitspreken, als men deze getallen niet kent. Deze getallen moeten dus bekend zijn, wanneer men over de leer der oneindige verzamelingen gaat spreken; en als men dan achteraf de leer der eindige hoeveelheden als een bijzonder geval van die der oneindige verzamelingen gaat afleiden, rijst de vraag, of dit gansche proces wel praedicatief is; of men zich niet veeleer in een vicieuze cirkel heeft bewogen.

[p. 215]

Daar komt nog iets bij. De leer der oneindige verzamelingen werkt met begrippen, die zoo abstract zijn, dat het groote moeite kost, hiermede behoorlijk te redeneeren; ja, dat de stellingen, waarin deze begrippen voorkomen, nauwelijks in verstaanbare taal kunnen worden geformuleerd. Nu heeft men reeds in de negentiende eeuw beproefd, de gewone logica te ‘formaliseeren’; d.w.z. met behulp van een zeker teekenschrift tot een werken met algebraïsche formules te herleiden. De ‘symbolische logica’, die aldus ontstaan is, is nu met graagte aangegrepen als een hulpmiddel, de genoemde uiterst abstracte redeneeringen met zekerheid te kunnen verrichten. Men is er zelfs een oogenblik toe gekomen, te verklaren, dat de geheele wiskunde niets dan een hoofdstuk uit de symbolische logica zou zijn.

Nu hebben wij echter zooeven gezien, welke ernstige moeilijkheden zich in de leer der verzamelingen hebben voorgedaan, en hoe moeilijk, ja onmogelijk het schijnt, een formeellogisch kenmerk te vinden, om geoorloofde en ongeoorloofde redeneeringen van elkander te onderscheiden.

Deze moeilijkheden hebben Prof. Brouwer er toe gebracht, op het gebied der getallenleer met het genoemde streven radicaal te breken. Volgens Brouwer zijn de natuurlijke getallen en het ééndimensionale continuum ons intuïtief gegeven, en is het dus zinloos, hiervoor een logisch fundament te willen zoeken; veeleer is de logica zelf slechts een bijzondere toepassing van de, op de oer-intuïtie opgebouwde, wiskunde.

Deze oer-intuïtie vereenzelvigt Brouwer met de tijd-intuïtie. Zij is het besef van de doorloopende stroom van ons innerlijk gebeuren; een onafgebrokenheid, die echter voor onze bezinning toch weer uiteenvalt in afzonderlijke deelen, welke op elkander kunnen volgen, over elkander heen kunnen grijpen, elkander kunnen omvatten. Zoo verkrijgen wij het beeld van het ééndimensionale continuum, waarop segmenten kunnen worden aangebracht, die buiten elkander kunnen liggen, een deel gemeen kunnen hebben, of binnen elkander gelegen kunnen zijn.

De geheele conceptie doet sterk denken aan de ‘durée’ van Bergson. Wij kunnen er ook aan denken, dat Kant het getalbegrip met behulp van het tijdbegrip afleidde, en dat Hamilton

[p. 216]

de algebra definiëerde als de ‘science of pure time’. Het zou een afzonderlijke studie vereischen, deze opvattingen nauwkeurig met elkander te vergelijken.

Daar de wiskunde dus wezenlijk is een werken met de genoemde oer-intuïtie, zijn de woorden, formules, en dergelijke hulpmiddelen, die de wiskundige gebruikt, slechts een begeleidend verschijnsel, en mogen deze vooral niet met de wiskunde zelve verward worden. Hieruit volgt, dat het zinloos is, naar een formeel-logisch, uiterlijk, kenmerk voor het geoorloofd-zijn van een redeneering te zoeken; een redeneering is dan en alleen geoorloofd, als de oer-intuïtie bij elken stap van die redeneering werkzaam is.

Uit dit, streng volgehouden, standpunt volgen nu echter eigenaardige consequenties.

Boven hebben wij reeds kennis gemaakt met twee soorten van oneindige verzamelingen, gekarakteriseerd door de verzameling der natuurlijke getallen, en door de verzameling der kromme lijnen van een plat vlak. De elementen der eerste verzameling volgden volgens een vaste wet op elkander, die in een bepaald aantal woorden kan worden gekleed, en die men dan verder slechts mechanisch heeft toe te passen. Om daarentegen de elementen der tweede verzameling te vinden, is telkens een geheel nieuw denkbeeld, een nieuwe constructie noodig.

Tot welke dezer categorieën behoort nu de verzameling van alle wiskundige waarheden? Iedereen zal wel voelen, en met behulp van de leer van Cantor kan men dit ook bewijzen, dat deze verzameling tot de tweede groep behoort. Ware dit niet zoo, dan zou men alle wiskundige waarheden kunnen verkrijgen, door volgens een vast recept rustig voort te gaan, en men zou de geheele wiskunde kunnen opbouwen, door een stel automaten aan het werk te zetten. Dat dit niet zoo is, blijkt ook hieruit, dat er tal van wiskundige vraagstukken zijn, die niet alleen niet zijn opgelost, maar waarvan op dit oogenblik niemand het flauwste denkbeeld heeft, langs welken weg men hun oplossingen zou moeten beproeven.

Het ergste is nu, dat verschillende van de meest fundamenteele stellingen der wiskunde tot dergelijke vraagstukken aanleiding geven, als men hen in bepaalde gevallen controleeren

[p. 217]

wil. De stelling: ‘Twee getallen zijn altijd óf gelijk, óf verschillend’, is voor ons in sommige gevallen niet te controleeren. Tot nu toe heeft men altijd aangenomen, dat dergelijke vragen toch te beantwoorden moeten zijn, en men heeft dus rustig voortgeredeneerd. Maar het is duidelijk, dat de oer-intuïtie dan niet ononderbroken aan het werk is geweest, maar door iets anders is aangevuld. Maar aangezien Brouwer dit ongeoorloofd acht, moet hij dergelijke redeneeringen verwerpen. En daar zulke redeneeringen in den regel berusten op het ‘beginsel van het uitgesloten derde’ uit de logica, volgt hieruit, dat Brouwer dit beginsel moet verwerpen.

Van de wiskunde blijven op deze wijze feitelijk alleen die resultaten over, die men werkelijk kan narekenen, en het is dus niet zonder grond, dat Weyl het intuïtionisme met het positivisme vergelijkt.

§ 7. De crisis, die op het oogenblik op het terrein der wiskunde bestaat, staat niet geïsoleerd. Ook op het terrein der physica, ja op elk gebied van het geestesleven, doen zich van tijd tot tijd dergelijke crises voor, waarbij men twijfelt aan de waarde van hetgeen tot dusver als onomstootelijk had gegolden. Het zal dus leerzaam zijn, zulk een crisis op ander gebied eens nader te beschouwen. Wij vatten hiertoe het terrein der natuurkunde in het oog.

In de negentiende eeuw werd de physica beheerscht door twee theorieën: die van het bestaan der atomen en die van het bestaan van den aether. De atomen stelde men zich voor als kleine lichaampjes, die krachten op elkander uitoefenen en die daardoor elkanders beweging beïnvloeden; den aether als een stof, die zich tusschen de atomen bevindt, en waarin spanningen en trillingen bestaan. In breede kringen golden deze voorstellingen als definitieve resultaten der wetenschap, als een adaequate weergave van de werkelijkheid, die zich voor onze directe zintuiglijke waarneming verbergt; de taak der wetenschap zou voortaan slechts bestaan in een nadere studie van de eigenschappen van de atomen en van den aether, en alle wetenschappelijke vraagstukken zouden, zoo verwachtte men, aldus vanzelf worden opgelost.

Tegen het einde der negentiende eeuw ontstond een heftige

[p. 218]

oppositie tegen deze voorstellingen, vooral tegen de atoomtheorie, onder leiding van mannen als Mach en Ostwald. Men betoogde, dat de taak der wetenschap geenszins hierin bestaat, ons verborgen werkelijkheden te leeren kennen; haar doel is enkel, de waargenomen verschijnselen zoo eenvoudig, zoo ‘economisch’, mogelijk te beschrijven. En daar men de atoomtheorie voor zulk een economische beschrijving overbodig achtte, richtte de kritiek zich vooral hiertegen. Vraagstukken betreffende het aantal, de afmetingen, enz. der atomen werden tot schijnproblemen verklaard, daar zij experimenteel niet konden worden opgelost.

Wederom zijn tientallen jaren verloopen, en het resultaat is, dat geen der beide geschetste opvattingen gelijk heeft gekregen. De atoomtheorie is onontbeerlijker voor de natuurkunde geworden dan ooit. Wel zijn er nog geïsoleerde tegenstanders dezer theorie, maar hun stem vindt geen weerklank meer; verreweg de meeste onderzoekers zijn wel overtuigd, dat een verwijdering der atoomvoorstellingen uit de physica, zoo zij al mogelijk ware, juist met alle ‘economie van het denken’ in strijd zou zijn. Anderzijds zijn de naïeve opvattingen die vroeger in breede kringen gekoesterd werden, evenzeer onhoudbaar gebleken. De atomen zijn niet de laatste, eenvoudigste, bouwsteenen der werkelijkheid, maar uiterst gecompliceerde systemen van gebeurtenissen; en, inplaats van alle vragen te kunnen beantwoorden, stuit de wetenschap op nieuwe moeilijkheden bij elken nieuwen vooruitgang. En de eigenschappen van den aether zijn van alle aanschouwelijkheid ontdaan en alleen nog slechts door mathematische symbolen te beschrijven.

Wij hebben hier drie verschillende standpunten leeren kennen. In aansluiting bij Weyl zou ik deze het naïef realisme, het positivisme en het symbolisme willen noemen. Voor het naïef realisme zijn bepaalde voorstellingen en begrippen een adaequate wedergave van de werkelijkheid; het stelt zich bijv. voor, dat de atomen werkelijk kleine harde bolletjes zijn, of in het algemeen zoodanige eigenschappen hebben, als de wetenschap hun toeschrijft. Het positivisme wil zich streng beperken tot de classificatie en beschrijving van de feiten der ervaring; het verwerpt dus alle voorstellingen en vragen, die verder

[p. 219]

gaan, bijv. in de negentiende eeuw de gansche voorstelling van het bestaan der atomen. Het symbolisme zal er toe neigen, de voorstellingen, die door het naïef realisme gehuldigd en door het positivisme verworpen worden, toch te aanvaarden; het beschouwt ze echter niet als een adaequate weergave der werkelijkheid, maar als symbolen voor realiteiten, die nooit ten volle gekend kunnen worden; symbolen, die hun recht van bestaan hierdoor bewijzen, dat zij bij de voortschrijdende ontwikkeling der wetenschap blijven functioneeren en telkens nieuwe ongedachte diensten bewijzen.

Het symbolistische standpunt heeft iets vaags aan zich, terwijl het positivistische standpunt gemakkelijker scherp is te formuleeren en vaak logisch onwederlegbaar is. Maar deze vaagheid is onvermijdelijk, wanneer men juist de opvatting huldigt, dat principiëel nooit een laatste woord kan worden gezegd; dat elke wetenschappelijke opvatting vatbaar is voor herziening, maar dat ook omgekeerd verwerping van wat nog levenskracht vertoont uit den booze moet worden geacht. Zeer goed wordt dit standpunt toegelicht in het lezenswaardige boek: ‘The anatomy of science’ van den Amerikaan Lewis.

Want dit is juist het gemeenschappelijke kenmerk van den naïeven realist en van den positivist: dat zij op een zeker punt de mogelijkheid van verderen vooruitgang loochenen. De realist, omdat hij in sommige opzichten de werkelijkheid volledig meent te kennen, waarmede verder vragen en onderzoeken vanzelf ophoudt; de positivist, omdat hij de taak der wetenschap beperkt en zekere gedachtegangen en vragen voor zinloos verklaart. Daarentegen gelooft de symbolist onvoorwaardelijk aan de mogelijkheid van verderen vooruitgang, van dieper inzicht.

Met deze problemen hangt een ander vraagstuk ten nauwste samen: dat van de onfeilbaarheid der wetenschap. Mogen wij de positivisten gelooven, dan heeft de wetenschap telkens grove dwalingen begaan, door ongeoorloofde begrippen en voorstellingen toe te laten, en zich hierdoor in schijnproblemen te verwikkelen. De geschiedenis toont echter, dat denkbeelden, die een tijdlang het wetenschappelijk denken beheerscht hebben, zelden of nooit later volkomen waardeloos gebleken zijn. Hoogstens zijn het te ver gaande generalisaties en te concreet-

[p. 220]

realistische opvattingen, die later onhoudbaar blijken. Bijna steeds ligt de waarheid in het midden tusschen bevestiging en ontkenning.

De toepassing van deze algemeene gedachten op het wiskundig gebied ligt voor de hand. Het naïef realisme correspondeert dan met de verzamelingsleer van Cantor, waarin het begrip ‘verzameling’ als aanschouwelijk evident wordt opgevat, en er mede gewerkt wordt, als ware het volkomen duidelijk. Het positivisme correspondeert met het intuïtionisme, waarin alleen die resultaten aanvaard worden, die werkelijk op een bepaalde, voorgeschreven wijze verkregen zijn. Het symbolisme zal in het algemeen correspondeeren met opvattingen, waarbij men de gewone theorie der reëele functies en de gewone theorie der puntverzamelingen tracht te behouden. In het bijzonder kunnen wij hier denken aan de poging van Hilbert; deze schrijft aan die stellingen, welke Brouwer verwerpt, een analoge beteekenis toe als aan de imaginaire getallen en aan de imaginaire elementen in de meetkunde: hoewel zij geen onmiddellijke toepasbaarheid hebben, zijn zij onmisbaar om tot een afgerond systeem te komen, terwijl hun gebruik nooit tot werkelijke tegenstrijdigheden aanleiding kan geven.

§ 8. De resultaten der voorafgaande beschouwingen kunnen volgenderwijze worden samengevat.

Het standpunt van Plato en Kant, dat de fundamenteele begrippen uit onzen eigen geest stammen, wordt door de ontwikkeling der wiskunde ten volle bevestigd. De wiskundige begrippen worden ons niet door de ervaring geleverd, maar aan de hand der ervaring bewust; afkomstig zijn zij uit onderbewuste gebieden van onzen geest. Daarbij openbaren zich echter in de opvolgende ontwikkelingsstadiën der wetenschap typische verschillen, die den indruk wekken, dat men werkelijk met scherp onderscheiden gebieden te doen heeft, die bij de ontwikkeling der wetenschap achtereenvolgens tot werkzaamheid komen. Zoo kan men onderscheiden:

1e.	Het standpunt, dat het kenmerkende der wiskunde gelegen is in de aanschouwing, in het voorstellingsvermogen. Dit standpunt beheerscht nog steeds de elementaire gedeelten der

[p. 221]

	wiskunde, maar ten tijde van Kant was het het eenig bekende. En daar Kant het specifiek-menschelijke dezer aanschouwing ten volle inzag, kwam hij tot zijn leer, dat de aanschouwingsvormen en categorieën niet gelden voor de ‘Dinge an sich’.
2e.	Het standpunt, dat de aanschouwing slechts een heuristisch hulpmiddel is, maar voor den opbouw der wetenschap niet van wezenlijk belang. De taak der wetenschap bestaat slechts in het opstellen van logische structuren; of hiermede voorstelbaarheden correspondeeren, is van geen belang. Dit standpunt beheerscht de wiskunde in de negentiende eeuw, en, dank zij de relativiteits- en quantentheorie, is het ook van overheerschende beteekenis geworden in de moderne natuurkunde.
3e.	De tegenwoordige moeilijkheden op wiskundig gebied schijnen er op te wijzen, dat ook dit standpunt niet definitief is, maar dat de laatste rechtvaardiging dezer logische structuren weer gelegen is in een nog dieper liggende werkzaamheid van onzen geest, een intuïtie, trans-intuïtie, of hoe men het nader omschrijven mag.

De gewone kennistheorie, zooals die door Kant en zijn volgelingen is uitgewerkt, houdt zich vooral bezig met de problemen, die op het eerste standpunt zich voordoen. Het tweede standpunt is betrekkelijk eenvoudig en doorzichtig, zoodat hier nauwelijks sprake is van afzonderlijke vraagstukken van kennistheoretischen aard. Daarom nemen positivistisch georiënteerde denkers, zoodra zij de onhoudbaarheid van een zuiver empirisme hebben ingezien, bij voorkeur het tweede standpunt in. Naar ik echter vermoed, zullen alle kentheoretische vraagstukken met nieuwe intensiteit terugkeeren, zoodra men met het derde standpunt ernst maakt.

Die verschillende lagen van het ons onbewuste vormen echter ten slotte slechts één geest. Wat dus uit een bepaalde laag afkomstig is, moet ook de meer oppervlakkige lagen in zijn werkzaamheid betrekken en omgekeerd zijn wortels in nog diepere lagen hebben. Wij kunnen hieruit den troost putten, dat het doorbreken van nieuwe lagen bij den vooruitgang der wetenschap het vroegere werk niet waardeloos zal maken, maar het juist in zijn ware beteekenis doen zien.

Ch.H. van Os