Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 506]

III. Fatio de Duillier et Huygens. Règle pour trouver l'équation d'une courbe lorsque la soustangente est donnée en coördonnées cartésiennes (‘Problème inverse des tangentes’ ou ‘Problème des tangentes renversées’).
[1691]

[Fig. 109]
C D G est une circonférence de cercle.

Les §§ 1-2 traitent, comme les suivants, du problème inverse des tangentes; mais la ‘methodus Fatij’ n'apparaît qu'au § 3.

Quoiqu'il en soit ainsi dans toutes les figures, il n'est pas nécessaire que les coördonnées soient orthogonales.

¹⁾

Quaeritur natura curvae.

Huygens proposa ce problème à Leibniz le 23 février 1691 (T. X, p. 21), disant: Si vostre methode ne s'arreste pas à ces racines, vous

1) Manuscrit G, f. 84 r (p. 66 suivant la numération de Huygens). Les dates 1 Jan. 1691 et 26 Mart. 1691 se trouvent respectivement aux pages 57 et 83 de Huygens; la date du 22 Apr. 1691 à la p. 104. Voyez aussi sur la f. 84r la note 8 de la p. 211 du T. X.

[p. 507]

avez quelque chose de plus que M^r. Fatio, quoy qu'il ait desia passè mon attente. Voyez encore sur ce sujet la fin du § 2.

Ostensum pag. 58²⁾, quod ut DB ad BC, ita ▭ HA ad spatium OFA [voyez le § 1 bis qui suit]

Ergo ex theoremate Barrovij [voyez le § 1 ter qui suit]

2) Manuscrit G, f. 80 r (p. 58 de Huygens).

[p. 508]

Si [in ] in - z⁴ substituatur pro uno zz ejus valor , qui ex aequatione curvae invenitur, fiet subtangens. quae alioqui non facile apparet quomodo ex aequatione curvae z⁴ - 4rrzz + 4rrxx ∞ 0 deducatur. § 1 bis [voyez le § 1 (l. 3 de la p. 507)]³⁾. ACG circuli quadrans [Fig. 110]. CLGA

[Fig. 110]

quadratum. à puncto peripheriae D cadunt in AG et AC perpendiculares DF, DB.

FD ad DB ut HF ad FO.

Hujus curvae spatium infinitum AONMG, aequale est quadrato CG. Item spatij ejus portio, ut OAF, est ad rectangulum FC, ut BC ad BD. Sive spatium OAF est aequale ▭^o BL. ut facile apparet ex calculo.

Quia enim AD ad DF ut particula curvae minima EDE ad KK, erit AD seu HF ducta in KK ∞ DF ductae in EE. ideoque pars superficiei cylindricae ex KK circa AG, aequalis parti superficiei sphaericae ex EE circa eandem AG. Unde (ut notum est) tota superficies cylindrica ex CL circa AG aequalis superficiei sphaericae ex arcu CDG circa AG. Porro quia superficies ex EE circa AG ad superficiem ex eadem EE circa CA, sicut DF ad DB. erit et superficies ex KK circa AG, ad superficiem ex EE circa CA, ut DF ad DB, hoc est, ex constructione, ut HF ad FO. atque ita tota superficies cylindrica ex CL circa AG ad superficiem sphaericam ex arcu CDG circa CA, ut omnes HF ad omnes OF, hoc est ut quadratum CG ad totum spatium infinitum AONMG. Est autem ostensa superficies cylindrica ex CL circa AG aequalis superficiei sphaericae ex arcu CDG circa AG, ideoque et superficiei sphaericae ex arcu CDG circa CA, quia utraque dimidiae sphaerae superficiei aequalis est. Ergo ratio superficiei ex CL circa AG ad superficiem sphaericam ex arcu CDG

3) Manuscrit G, f. 80 r (p. 58 de Huygens).

[p. 509]

circa CA erat ratio aequalitatis, ac proinde et ratio qui CG ad spatium infinitum AONMG erit aequalitatis, quod erat demonstrandum.

Porro ex ratione demonstrandi, patet etiam superficiem cylindricam ex CH circa AF sive ex arcu CD circa AF esse ad superficiem ex eodem arcu CD circa CB, ut rectangulum HA ad spatium curvae OFA. Atqui, ex Archimede est superficies ex CD arcu circa AF ad superficiem ex eodem arcu CD circa CB sicut excessus quadrati CG supra qu. GD ad quadr. ex CD recta⁴⁾, hoc est sicut excessus AG supra GF, seu sicut AF aut BD ad BC. Ergo et rectangulum HA ad spatium OFA ut BD ad BC, quod erat demonstrandum.

§ 1 ter [Theorema Barrovii: voyez le § 1 (l. 7 de la p. 507)]. On peut consulter sur le théorème de Barrow (Lectio XI⁵⁾, dernière des Lectiones Geometricae publiées en 1674) la note 8 de la p. 211 du T. X, où a été cité le ‘§ 1’ de la présente Pièce. Nous insérons ici l'énoncé et la démonstration de ce théorème tels qu'ils se trouvent à la p. 14 du Manuscrit H datant de la fin de 1691 ou peut-être de 1692⁶⁾.

Theorema Barrovij de quo in praedentibus est hujusmodi.

[Fig. 111]

AB [Fig. 111] est curva, AC recta, ad quam normalis applicata BC; cuique productae occurrit normalis curvae BD in D. Jam subnormali, quam dico, CD, aequalis statuatur CF eidem AC perpendicularis idque sic ubique fieri intelligatur, et esse curvam FE, ad quam omnes istae subnormales erectae terminentur. Jam spatium AEFC erit aequale dimidio quadrato BC.

Sit AC ∞ x, CB ∞ y, CD ∞ z, HK seu GC ∞ ϰ, KB ∞ λ. Ex puncto H proximo B, cadat HG perpendicularis in AC, et ducatur HK parallela AC. Jam GC differentiola τῶν x est ϰ. Et BK differentiola τῶν y est λ. ut in superioribus. Et quia triangula similia sunt HKB, BCD, erit ut BC, y ad CD, z ita HK, ϰ ad KB, λ. Unde y λ ∞ z ϰ. Et summa omnium y λ ∞ summae omnium z ϰ; hoc est ½ qu. BC ∞ spat. AEFC.

Est enim y λ rectangulum exiguum LN, factâ LM ∞ LA ∞ BC ∞ y. nam MN ∞ BK ∞ λ. Itemque z ϰ est rectangulum seu spatiolum GF. atque ita singula rectangula

4) La ‘superficies ex arcu CD circa CB’ étant la différence des surfaces de deux segments, la proposition résulte immédiatement de la Prop. XIII du Livre I du Traité d'Archimède ‘De sphaera et cylindro’; texte latin de Heiberg: ‘Cuiusvis sphaerae segmenti minoris hemisphaerio superficies aequalis est circulo, cuius radius aequalis est rectae a uertice segmenti ad ambitum ductae circuli, qui basis est segmenti sphaerae’.

5) P. 251 de l'édition de 1860 des ‘Mathematical works of J. Barrow’ par W. Whewell.

6) Comparez sur cette date la note 1 de la p. 474 qui précède.

[p. 510]

exigua in triangulo MLA aequalia respectivis spatiolis seu rectangulis in spatio AEFC. unde et summa summae.

Si curva VB [Fig. 112] non incipiat ab axe, fiet area AEFC ∞ ½ qu. BC - ½ qu.

[Fig. 112]

VA. Si enim ponatur continuatam curvam BV convenire cum axe in O, et ex subnormalibus ipsius VO formari OE: erit spatium OAE ∞ ½ qu. AV, et spat. OCB ∞ ½ qu. BC. Unde &c. § 2. [Fig. 109 du § 1]. Quaeritur quae curva talem [subtangentem] det. Leibnitsius curvae aequationem hanc [z⁴ - 4rrzz + 4rrxx ∞ 0] ex data subtangente invenit insigni artificio. Ait autem et pluribus alijs curvis eandem subtangentem convenire, atque inter caeteras huic z⁴ + rrxx - r⁴ ∞ 0. quod non puto ita esse. subtangens ex regula. Sed ut ex aequatione curvae facile apparet.

curva nostra et propter signum - praefixum ultra x accipienda est.

Leibniz avait pleinement raison en disant, dans sa lettre du 2 mars 1691 (T. X, p. 50), que la soustangente convient à plusieurs courbes; Huygens le reconnut dans sa lettre du 5 mai (T, X, p. 93). Seulement, Leibniz avait écrit par erreur, en copiant son brouillon, au lieu de (ou, dans les notations du texte de Huygens, au lieu de ).

§ 3⁷⁾. La ‘Regle inverse des Tangentes de Mr. Fatio’ est clairement expliquée par Huygens deux ans plus tard dans sa lettre du 23 juillet 1693 au Marquis de l'Hospital. Nous pouvons donc renvoyer le lecteur à cette lettre (T. X, p. 464-468). Mais on trouve aussi un exposé de la règle par Fatio lui-même (avec des remarques de Huygens) aux §§ 11 et suivants de la présente Pièce.

7) Manuscrit G, f. 84 v - 85 r (pag. 67 et 68 de Huygens).

[p. 511]

xyy - aay + x³ ∞ 0 aequatio curvae. Comparez le § 28 qui suit.

Aequatio tangentis implicita

La règle

Soustangente : y = dx : dy

est valable pour une courbe quelconque. Or, tandis que, dans la lettre citée de 1693, Huygens désigne, en adoptant la notation de Leibniz, par dx et dy les accroissements des variables x et y, il les désigne en 1691 avec Fatio par z et u respectivement; z et u, ici et dans ce qui suit, représentent donc des grandeurs infinitésimales.

Non succedit hic methodus Fatij.

Comme nous l'avons dit dans l'Avertissement, Huygens avait proposé la soustangente à Leibniz dans une lettre d'août 1690; dans la correspondance ultérieure il est souvent question tant de cette soustangente-ci que de la soustangente . Aequatio tangentis simpliciter inventa ex terminis aequationis curvae [c.à.d. la courbe , d'où provient aussi l'‘aequatio tangentis implicita’ ci-dessus; voyez la p. 475 du T. IX].

§ 4. Aequatio curvae y⁴ - 8aayy + 16aaxx ∞ 0.

Voyez sur cette courbe la p. 473 du T. IX et le § 27 qui suit.

Aequatio tangentis implicita

Voyez sur ^ϰ et ^λ les §§ 10 et 11 qui suivent.

Huygens avait proposé cette soustangente implicite à Leibniz en même temps que celle du § précédent.

- yy + 4xx	- 2xy - z - u
- yyu + 4xxu	- 2xyz ∞ 0 sive 2xyz - 4 xxu + yyu ∞ 0
- yyy	- 2xyy
- ⅓y^3	- xxy non succedit.

Huygens biffa les mots ‘non succedit’; peut-être le fit-il après avoir exécuté le calcul du § 27 qui suit, où il put ‘intégrer’ l'équation à l'aide d'un transformateur.

Aequatio tangentis simplex [voyez la p. 473 du T. IX]

[p. 512]

Itaque data aequatione tangentis simpliciter inventa, succedit Fatij Regula, sed non item si implicita fuerit restitutione una aut pluribus valoris ex data curvae proprietate.

Ce dernier alinéa est biffé. Il résume fort bien le résultat provisoire des recherches des §§ 3 et 4; mais voyez ce que nous avons dit plus haut sur le calcul du § 27.

§ 5. Non succedit, cum terminus aliquis aequationis tangentis continet radicem quae plures uno terminos includit [comparez la remarque de Huygens citée au § 1 et s'appliquant à la même soustangente]. Veluti cum datur

Dans la suite de ce § Huygens calcule encore une fois la soustangente, en partant exceptionnellement (voyez la p. 482 de l'Avertissement qui précède) d'une équation de la courbe renfermant un radical. Mais, conformément à ce que nous avons dit dans l'Avertissement, il n'est pas question d'une différentiation directe de ce radical.

[Fig. 113]
s = soustangente.

[p. 513]

§ 6⁸⁾. √ax subnormalis quaesitae curvae.

√ax - y - /yy/√ax subtangens

Methodus Fatij z · u: yy/√ax . y

[Fig. 114]
Parabola.a latus rectum

[c.à.d. z ⫟ u - yy√ax ⫟ y ou z ad u ut yy/√ax ad y. Huygens adopte ici à fort peu près la notation de Fatio. Toutefois, ce dernier écrit (voyez la p. 169 du T. IX et le § 13 qui suit) z . u ∷ yy/√ax · y, ce qui est la notation de Wallis dans son ‘Arithmetica infinitorum’ et ailleurs]

spat. ABC ⅔x √ax ∞ ½yy quadratura parabolae ex Barrovij Theoremate [voyez le § 1 ter qui précède; dans le § 1 il est aussi question d'une ‘aequatio curvae quadratricis’ en connexion avec le théorème de Barrow].

§ 7⁹⁾. a⁴ - aayy - xxyy ∞ 0 aequatio quadrandae quae est altera earum quae ad Catenariam utiles sunt.

Voyez sur cette courbe la p. 501 du T. IX (Appendice à la lettre de Huygens à Leibniz du 9 octobre 1690).

Difficile est curvam huic propriam invenire, nec puto extare geometricam. Alioqui et curva Catenae esset geometrica.

8) Manuscrit G, f. 89 r et v. (p. 76 et 77 de Huygens).

9) Manuscrit G, f. 92 v. (p. 81 de Huygens).

[p. 514]

§ 8¹⁰⁾. AB parabola cubica y³ ∞ aax. 3 x subtangens. applicata in alia curva [Fig. 115].

[Fig. 115]

aequatio curvae cujus quadratrix [voyez la fin du § 6 qui précède] est parabola cubica.

Eadem constructio subtangentis non potest convenire duabus aut pluribus curvis eundem verticem habentibus. si in subnormali non habeatur ullum y.

§9¹¹⁾. Addenda exemplis substitutionum in fin. p. 2 Epistolae Fatij. ubi unum x in z et unum y in u mutatur.

C'est peut-être la lettre du 3 avril 1691, quoique Fatio y écrive, comme Newton, x et y et non pas z et u [‘yx = Fluxion de l'espace AOF’ etc.] Toutefois les ‘addenda’ du présent § correspondent plutôt aux données du § 11. Il est possible qu'il s'agisse de la lettre inconnue de Fatio, antérieure à 1690, dont il est question dans la note 15 de la p. 571 du T. IX.

termini dati in aequatione tangentis }	ax^my^n. Substituendum max^m - 1 zy^n + nax^my^n - 1u
termini dati in aequatione tangentis }	x^2/y^3 = x^2y/y^4 = x^2y^-3 = x^2yy^-4 substituendum 2xz/y^3 - 3x^2u/y^4
termini dati in aequatione tangentis }	x^½y^-⅔ substituendum ½zx^-½y^-⅔ - ⅔x^½uy^-5/3.

In termino priori ratio substitutionis est quod per exponentem literae x hoc est ½ multiplicandus terminus datur. Tum unum x mutandum in z. Sed quia hic tantum habetur x^½, necesse est quo fiat x ut ducatur istud x^½ in simile x^½, ac rursus per hoc ipsum dividatur, seu multiplicatio fiat per x^-½. Itaque his factis oritur ½zx^-½y^-⅔.

In termino posteriori ratio est haec. Primò ducendus est terminus datus in ⅔ exponentem literae y. Tum unum y mutandum in u. Sed quia habetur tantum y^-⅔, ducendum hoc in y^+5/3, quo fiet y^3/3, sive y¹ mutandum in u; sed et rursus dividendum per y^{+ 5/3}, sive multiplicandum per y^-5/3; quibus ita factis fit - ⅔ x^½uy^-5/3 pro altero termino substituto.

Terminus datus x^½y^-⅔ idem significat quod √x/∛yy, ubi ut possit mutari unum y in

10) Manuscrit G, f. 99 v. (p. 97 de Huygens).

11) Manuscrit G, f. 100 r. (p. 98 de Huygens).

[p. 515]

u, faciendum ut in numeratore appareat y, quod fiet si et numerator et denominator multiplicetur uterque per y, unde fit √xy/∛y⁵, et mutator y in u, √xu/∛y⁵ quod ita scribitur x^½uy^-5/3.

§ 10. Ex 3^e. [?] La proprietè des Tangentes est donnée z . u ∷ 2x + ½ p . y [voyez sur la notation ∷ le § 6 qui précède]. d'où l'Equation des Tangentes est [la soustangente étant 2x + ½p on voit qu'il s'agit de démontrer qu'on a affaire à une parabole]. On commence par chercher le terme generateur des deux termes correspondants non marquez, lequel doit estre un seul terme qui contienne x et y. Il faut connoitre quelles puissances de x et de y doivent estre dans ce terme. On scait que les exposants de ces puissances, pour lesquels on met ϰ, et λ, sont entre eux comme les nombres qui sont au devant des termes correspondants, les quels nombres sont ici 1 et -2. Car puisque les termes zy et -2ux doivent venir d'un mesme terme generateur, les multiplicateurs 1 et -2 doivent estre dans la raison des exposants de x et de y, dans ledit terme. donc ϰ à λ comme 1 à - 2. Et le terme generateur peut donc avoir estè x/yy. Mais cettuicy fait naistre ou rend les termes z/y² - 2xu/y³, scavoir le premier en multipliant ce correspondant par 1, exposant de x, et changeant x en z, l'autre en multipliant par -2, exposant de y, (qui est avec le signe - parce que cela marque qu'on divise par y²) et faisant paroitre un y au numerateur pour estre changè en u, et adjoutant en recompense un y au denominateur. Or ces termes z/y² - 2xu/y³, ou bien zy/y³ - 2xu/y³ sont dans la mesme raison que les deux termes de l'Equation des tangentes zy - 2ux a cause du diviseur commun y³. A fin donc d'y faire venir aussi le terme marqué - ½pu, on change toute cette premiere aequation en multipliant tous les termes par 1/y³ - en marge: Il y a une regle generale pour trouver ce transformateur la quelle n'est pas dans la lettre de M. Fatio. Voiez pag. 120 [§ 23 qui suit] - ce qui donne l'equation zy/y³ - 2xu/y³ - ½pu/y³ ∞ 0 des termes de la quelle on trouve les correspondants dans l'equation de la courbe d'où ils sont venus par l'operation converse de celle qui donne l'equation de la tangente, quand celle de la courbe est donnee. Et vient x/yy + ¼py/y³. Scavoir x/yy formè de l'un des deux zy/y³ ou , (mais on a desia vu qu'il est x/yy puisqu'il rendoit ces deux termes selon la regle) et +¼py/y³ pour generateur de , parce qu'il faut changer premierement dans le terme un u

[p. 516]

en y, vient , et puis diviser par l'exposant de y qui est - 2. et ainsi il vient + ¼py/y³.

Or ces deux termes x/yy + ¼py/y³ ne peuvent estre egaux à 0, ni faire toute l'equation de la courbe, il faut y adjouter quelque quantitè connue comme - a/g², ou plustost - 1/p, et ainsi on aura x/yy + ¼py/y³ - 1/p ∞ 0 la quelle equation estant reduite est px + ¼pp ∞ yy, qui est a la Parabole.¹²⁾.

§ 11¹³⁾. Dicté par M^r. Fatio.

Definition des lettres μ ϰ et λ dans la Theorie de M^r. Fatio par la quelle on trouve l'equation de la Courbe, la proprietè des Tangentes estant donnée.

Soit γax^myⁿ un terme dans l'Equation de la Courbe¹⁴⁾. La regle donne pour ses correspondants γmax^m-1zyⁿ + γnax^my^n-1u.

μ est le produit γa, qui peut estre composè de nombres comme γ, avec des quantitez analytiques comme a. Et cette quantitè μ, dans les lignes qui ne sont pas exponentiates, est la quantitè mesme par la quelle la partie inconnue x^myⁿ du terme generateur dans la courbe est multipliée.

ϰ est le nombre rationel, irrationel, ou exprimè par quelque quantitè analytique que ce soit, de dimensions que l'inconnue x a dans le terme de la courbe; par exemple dans le terme γax^myⁿ ϰ est egal à m.

λ est le nombre rationel, irrationel, ou exprimè par quelque quantitè analytique que ce soit, de dimensions que l'inconnue y a dans le terme de la courbe, par exemple dans le terme γax^myⁿ λ est egal à n.

Or comme les quantitez m et n peuvent estre positives ou negatives, entieres ou rompues, numeriques ou analytiques, simples ou complexes, connues ou meslees et mesme composees seulement des inconnues x ou y, ou de toutes les deux ensemble: et qu'elles peuvent estre encore rationelles ou irrationelles: et que toutes ces choses se peuvent combiner diversement entre elles, il paroit qu'il y pourra avoir beaucoup de varietè.

12) Comparez sur ce datif (sit venia verbo) la dernière ligne de la p. 216 qui précède, ainsi que la note 113 de la p. 217.

13) Manuscrit G, f. 100 v. (p. 99 de Huygens).

14) Comparez sur ce génitif la deuxième ligne et la note 113 de la p. 217 qui précède. On voit que dans les présents §§ Huygens se sert généralement, comme Fatio, du génitif (p.e. dans la l. 11 de la p. 507 etc. etc.). Voyez cependant la note 12 qui précède et le début du § 15 qui suit.

[p. 517]

Quand la courbe dont l'Equation de la Tangente est produite est geometrique, il est certain que ϰ, et λ sont des nombres rationels. Et quand en cherchant par l'Equation donnée de la Tangente, quelle est sa courbe, on trouve ϰ et λ estre des nombres rationels, il s'ensuit que la courbe est geometrique. Et qu'elle n'est point geometrique, quand ϰ, et λ ne peuvent estre des nombres rationels.

Les termes qui doivent estre marquez d'un trait (⌒) ne sont pas tant ceux qui sont purs, (c'est a dire qui n'ont que les lettres x et z ou y et u seulement) que ceux qui n'ont parmy les autres termes de l'Equation des Tangentes aucuns termes qui puissent estre gemaux avec eux.

En examinant dans l'Equation de la Tangente quels deux termes sont correspondants, c'est à dire provenus d'un mesme terme de l'Equation de la courbe, on doit considerer les z comme des x, et les u comme des y.

§ 12¹⁵⁾. Soutangente donnee . Il s'agit de la soustangente déguisée de la courbe déjà considérée au § 1 où a s'appelait r. Huygens fera mention de cette soustangente déguisée dans sa lettre à Leibniz du 1 janvier 1692 (T. X, p. 223). Aequation de la tangente

Icy le terme zy³ ne peut pas estre marquè de ⌒, et avec cela il n'a point de correspondant. les deux autres termes sont correspondants.

Il faut faire en sorte que le terme zy³ deviene pur, ce qui se fait en divisant l'équation par y³. On pouvait aussi la multiplier par x/y³ ou x²/y³.

Equation est donc

Les deux derniers termes demeurent necessairement correspondants.

Et ϰ.λ ∷ 1. - 1. Soit le transformateur x^gy^h; donc 1 + g. - 2 + h ∷ 1. - 1. Parce qu'en multipliant le terme aaz/yy (où il y a un z ou x) par le transformateur x^gy^h, l'exposant de x c'est a dire ϰ sera 1 + g, et l'exposant de y c'est a dire λ sera - 2 + h, parce qu'il y avoit - yy.

Mais h doit estre ∞ 0, parce qu'autrement il s'introduiroit y dans le terme z en le multipliant par le transformateur x^gy^h.

15) Manuscrit G, f. 101 v. (p. 101 de Huygens).

[p. 518]

L'Equation transformée sera

[Fig. 109]

Le terme generateur sera

½ aaxx/yy et l'autre ½ xx.

Et l'Equation de la Courbe sera

½ aaxx/yy + ½ xx - ½ aa ∞ 0 ou bien aaxx + xxyy - aayy ∞ 0 estant reduite.

Cette courbe est AO pag. 66 [Fig. 109; comparez le § 1] dont la quadrature est pag. 88 [c.à.d. à la p. 95 r de la pagination générale; voyez la note 26 de la p. 510 du T. IX, où toutefois il est dit par erreur que la p. 95r correspond à la p. 90 de Huygens].

En marge: Il valoit mieux de mettre - bb au lieu de - ½aa. Et dire que supposant - bb egal à - ½aa, on venoit a l'Equation reduite comme elle est icij.

Au lieu de - ½aa, on pouvait mettre - ½ab ou - ½bb, et on aurait trouvè tousjours la soutangente comme elle a estè proposee. Mais il faut que ce terme connu soit adjoutè et cela avec le signe -. parce que les 2 autres termes ont +.

Il faut noter aussi que pour que l'Equation reduite donne la soutangente proposee, il faut qu'il y ait - aayy, et par consequent - ½aa dans celle d'ou elle vient.

§ 13¹⁶⁾. De la main de Fatio:

On reconnaît la soustangente dont il est déjà question au § 3.

16) Manuscrit G, f. 101 (p. 100 et 101 de Huygens).

[p. 519]

x^gyh Transformateur qui se trouve 1/x⁴ (puisque h ∞ 0 et g ∞ - 4) et duquel



on peut se passer de se servir pour transformer l'Equation. Correspondant [de la main de Huygens: generateur] des ⅄. [De la main de Huygens: Parce que dans le terme generateur des 2 termes 3aayz et - aaxu, on a reconnu quel'exposant des x, c'est à dire ϰ est 1 + g, c'est a dire - 3. Et que l'exposant des y, c'est à dire λ, est 1 + h, c'est à dire 1. Et il paroit que aa doit aussi entrer dans le dit terme generateur].

[De la main de Huygens: Notez que si on ne met point a/b, l'Equation sera aa ∞ xy de sorte que la courbe peut bien estre aussi une hyperbole.]

[De la main de Huygens: Exemple à bien remarquer.]

[De la main de Huygens: aequation de la courbe, ou axx - byy + y³ ∞ 0.]

[De la main de Huygens: Equation des tangentes, où le premier et dernier terme seroient marquez ⌒.]

[p. 520]

[De la main de Huygens: Equation des tangentes reduite et donnée, ou le premier et dernier terme ne sont plus marquez, et ne paroissent pas correspondants non plus.]

ϰ . λ	∷ 2 . 1	donc 1 + g = 6 + 2h
1 + g . 3 + h	∷ 2 . 1		g = 5 + 2h
			g = - 3
			h = - 4

Les termes ne sont pas proprement correspondans; et [mot barré par Huygens et remplacé par toutefois] il se faut bien donner de garde de rendre encore la courbe exponentiale; mais il faut voir si (sans aller contre l'Equation ) on ne peut pas reduire le terme - 2zy⁴ à n'avoir que des x, et le terme - 3aux³, à n'avoir que des y. Or il est d'abord évident que cela se peut, si on divise l'Equation par x³y⁴, c'est à dire si on la multiplie par - 1/x³y⁴. On auroit donc g = - 3 & h = - 4. Or par l'Equation on auroit - 3 = 5 - 8 c'est à dire - 3 = - 3 et toutes choses seroient consistentes. [De la main de Huygens: Mais si cela n'eust pas estè ainsi l'Equation auroit estè intraitable.] [De la main de Huygens: Apres avoir trouvè le terme generateur de deux termes correspondants de l'equation des tangentes, non pas entierement, mais seulement les x et y qui y entrent, on trouvera les autres lettres, en prenant le diviseur commun des deux termes correspondants apres en avoir ostè tous les x et les y, ou je comprens aussi les z et les u. Ainsi dans le premier de ces deux Exemples, apres avoir trouvè que le terme generateur des termes 3aayz et - aaxu, doit avoir - , on trouve qu'il faut encore y mettre aa dans le numerateur. et on aura -aay/x³.

Icy le terme generateur - b/x²y se trouve de ce qu'il y doit entrer x^{1 + g} qui fait x^-2. Et de plus y^{3 + h} qui fait y^-1, c'est à dire 1/x²y, a quoy adjoutant dans le numerateur la lettre b, commun diviseur des deux termes correspondants ⅄ (sans compter les x et y) [on] a - b/x²y. Et il y a le signe -, parce que les x sont au diviseur, et que le terme correspondant ou il y a z est avec +, ce qui est de mesme dans le premier exemple.]

§ 14. De la main de Fatio:

Equation des tangentes que l'on propose

Dans cette Equation il ne faut pas croire que les deux premiers termes doivent indifferemment étre marquez d'un petit trait (⌒); car ainsi la courbe deviendroit¹⁷

17 Manuscrit G, f. 102 r (p. 102 de Huygens).

[p. 521]

intraittable. Le plus seur est de rechercher quels doivent étre les termes correspondans entre eux; or un des correspondans contient toujours la lettre z et l'autre la lettre u; dans les lignes geometriques ou qui ne sont pas exponentiales les deux correspondans contiennent le même nombre de dimensions de x, et le même nombre de dimensions de y. Ils sont de plus divisibles par les memes lettres connues. [De la main de Huygens: Or tout cela convient à ces deux termes extremes. Donc ils sont correspondants, non obstant que dans le terme il n'y ait que l'inconnue y ni aussi dans le terme aaz/y²x (car le x efface le z); ce qui est digne d'estre remarquè puis qu'il est contre la regle generale, qui demande que dans les termes correspondants les lettres x et y entrent toutes deux. Cela sera ainsi dans cette Equation si on la multiplie par x, ou x¹. Mais il n'est pas necessaire, parce qu'on n'a qu'a suivre la methode generale, dont on a vu un exemple à la page precedente.]

§ 15¹⁸. De la main de Fatio:

Equation à une Courbe [la circonférence de cercle]

x^2 + y^2 - a^2 = 0	donc x = a^2 - y^2/x & y = a^2 - x^2/y.
2xz + 2yu = 0	Equation à la tangente. Et substituant

[pour déguiser la soustangente] les valeurs de x et de y

2a²z - 2y²z/x + 2ua² - 2ux²/y = 0

2a²zy - 2y³z + 2ua²x - 2ux³ = 0. Donc substituant la valeur de y dans le 1^er terme et celle de x dans le 3^e

18 Manuscrit G, f. 102 v. (p. 103 de Huygens).

[p. 522]

Il n'y a ici aucune paire de termes qui puissent étre gemeaux ensemble. Et il n'y a aucune transformation possible qui rende tous les termes marquables ou purs.

[voyez l'explication de cette équation que Huygens donne un peu plus loin] . Donc divisant par x² - y² . Cette Equation donneroit pour l'Equation de la tangente.

Je substitue x² + y² dans l'Equation A par tout où se trouve a² et j'ai

[De la main de Huygens: Quand l'equation vient comme icy en A, je la reduis a une proportion de z a u, comme en B; et j'examine quels sont les diviseurs des deux membres de cette proportion. Je trouve qu'ils ont estè composez par des multiplications telles qu'on voit en C. Maintenant si - y estoit egal à + x, la proportion de z à u se reduiroit a celle - cy: z à u comme a⁴ - a²y² - x⁴ à a⁴ - a²x² - y⁴. Et si a⁴ - a²y² - x⁴ estoit egal à a⁴ - a²x² - y⁴], la mesme proportion se reduiroit à celle ci z . u ∷ - y. + x, ce qui donneroit zx + uy = 0. Voions ce qui arriveroit en supposant a⁴ - a²y² - x⁴ = a⁴ - a²x² - y⁴. On auroit [De la main de Huygens:

Or, il arrive aussi en substituant dans l'Equation A, au lieu de a² sa valeur x² + y², qu'on revient en fin à conclure . Qui rend l'Equation de la courbe x² + y² ∞ a². C'est icy un cas singulier.]

§ 16¹⁹⁾. Exemple de substitution double pour deguiser l'Equation de la Tangente. Voiez devant cecy pag. 98 et suivantes²⁰⁾.

Equation de la Courbe xyy - aay + x³ ∞ 0. Au § 13 il était déjà question de la courbe . Equation de la Tangente selon la regle de M^r. Fatio

19) Manuscrit G, f. 106 v (p. 111 de Huygens). La date du 25 Apr. 1691 se trouve sur la f. 104 v. Comparez sur la f. 106 v la note 9 de la p. 87 du T. X.

20) C.à.d. les §§ 7 et suiv.

[p. 523]

Les termes qui doivent estre marquez d'un trait ⌒ ne sont pas tant ceux qui sont purs c'est a dire qui n'ont pas conjointement z avec y ou u avec x, que ceux qui n'ont parmi les autres termes de l'Equation des Tangentes aucuns termes qui puissent estre gemeaux avec eux. Et il est tousjours facile de reconnoitre si un terme proposè dans une Equation des Tangentes a un gemeau avec luy ou non, parce qu'il faut qu'ils contienent toutes les mesmes lettres, (en comptant les z pour x et les u pour y) exceptè les nombres qui les multiplient, scavoir aux courbes geometriques.

ϰ . λ ∷ 3 . - 2.

x + x^3/yy - aa/y = q

Termes generateurs.

Le premier terme generateur x vient de z premier terme de l'Equation changée, le second x³/yy vient de 3zx²/yy en changeant un z en x et divisant apres cela par l'exposant de x. Le troisieme vient de aau/y², en changeant un u du numérateur en y et divisant en suite par l'exposant de y qui est - 1, parce que aay/y² fait aa/y.

Ces termes generateurs de l'Equation de la courbe peuvent estre egaux à rien, ou à une quantitè positive ou negative. Icy en les supposant egaux a rien, et en reduisant l'equation, on a xyy + x³ - aay ∞ 0, qui estoit l'Equation de la courbe d'ou l'Equation de la Tangente a estè tiree. Mais l'Equation de la Tangente se seroit encore tiree de l'une de ces deux autres Equations de Courbe, scavoir xyy + x³ - aay - b³ ∞ 0 ou xyy + x³ - aay + b³ qui sont des courbes differentes de l'autre.

N.B. Jusqu'icy la methode de M^r. Fatio reussit fort bien.

Voicy une seconde substitution dans l'Equation marquée Q. qui estoit zy³ + 3zxxy + a2yu - 2x³u ∞ 0. Substitution pour un .

[p. 524]

Intraitable apres deux substitutions l'une de y l'autre de x. Elle est intraitable par ce qu'il n'y a point de multiplicateur qui rende purs les trois termes marquez ⌒. ni qui fasse qu'il y en ait deux entre eux de correspondans, parce que ne l'estant pas ils ne peuvent le devenir. Quand mesme ces trois termes marquez seroient rendus purs, il se trouveroit plus de trois termes avec des inconnues dans l'Equation de la Courbe.

N.B. Si on substitue encore la valeur dans le terme a⁴uy, elle redevient traitable. de quoy la raison est peut estre, parce que le terme a²yu dans l'equation Q est nè des deux termes xyy et aay de l'Equation de la Courbe, ce qui paroit de ce que ce terme a²yu est restè comme difference des termes - aauy et 2a²uy, qui ont leur origine des dits termes xyy et aay. Il semble donc qu'apres avoir substituè dans le terme a²yu un y qui est nè du terme xyy, (ce qui rend l'equation intraitable) il faut encore substituer dans le terme a⁴uy de l'Equation R, un y nè du terme aay de l'Equation de la Courbe. et que par la l'on rende l'Equation de la Tangente derechef traitable. Equation Q. Substitution pour un .

Equation traitable apres deux substitutions differentes de la valeur x. Icy les deux termes marquez ⌒ deviendront purs en multipliant l'equation par y^-3 x^-421). les deux autres demeurent correspondans. comme il est aisè de voir en comptant les z pour des x, et les u pour des y²²⁾.

Equation transformée

21) Phrase corrigée par Fatio. Huygens avait écrit (ce qui revient au même): en divisant l'equation par y³x⁴.

22) Fatio ajoute: Aussi étant correspondans d'abord ils le demeurent necessairement apres la division par x^gy^h. ou la multiplication par x^-g y^-h.

[p. 525]

De la main de Fatio: Cette Equation ne sera traittable qu'en cas qu'elle soit immediate c'est à dire que les termes ⅄ aient un generateur qui les rende immediatement. Car la transformation qui a été faite étoit la seule qui pût reussir. Il faut donc voir si, pour les termes ⅄, on a ϰ . λ ∷ 3. 1. Or cela est ainsi, car dans le generateur immediat le nombre des dimensions étant necessairement le même que dans les correspondans, on trouve pour le generateur des ⅄ que ϰ et λ sont - 3 et - 1 [en marge de la main de Huygens: Il faut voir seulement si les termes ⌒ peuvent venir d'un mesme generateur] ce qui est consistent avec la proportion ϰ . λ ∷ 3. 1. Mais si au lieu de aau/y²x³ on avait eu 2aau/y²x³ on auroit eu ϰ . λ ∷ 3. 2 ce qui auroit marqué que l'equation étoit intraittable. [De la main de Huygens: Les termes generateurs sont icy qui sont tirez des termes de l'equation transformée, selon la regle ordinaire].

§ 17²³⁾. Le § 17 ne nous est pas compréhensible. Le calcul est incorrect. Nous n'avons pourtant pas voulu le supprimer puisqu'il fait voir que Fatio, ou, si l'on veut, Fatio et Huygens, essayèrent un instant, sans aucun succès, d'appliquer la méthode aux courbes transcendentes. Le point d'interrogation ajouté par eux (par Fatio) à une équation du § 18, indique qu'ils se rendaient compte de leur manque de succès.

De la main de Fatio: Equation de la Tangente



x³y² commun diviseur composé des puissances de x et de y.

que l'on peut avec Monsieur Leibnitz nommer exponentiale [Leibniz se sert aussi de l'expression ‘equation transcendente’; voyez la p. 517 du T. IX].

ax²x^ax2 - 1zy^b3 - b³xax²y^b3 - 1u ∞ 0 On voit que Fatio n'est pas en état (s'il l'eût été, cela eût été bien surprenant) de différentier correctement la fonction x^ax2.

23) Manuscrit G, f. 107 r (p. 112 de Huygens).

[p. 526]

qui sont les dimensions de y. qu'il faut garder pour conserver le terme marqué dans sa pureté.

§ 18²⁴⁾. De la main de Fatio:

Propriété de la tangente de la ligne Logarithmique [Fig. 116]

[Fig. 116]

[En marge de la main de Huygens: parce que u est contè pour y, il a falu compter aussi z pour x.]

La lettre a désigne la soustangente qui est constante pour la logarithmique, ce qui caractérise cette courbe.

Equation de la Courbe, mais comme il paroit elle est exponentiale. Calcul apparemment erroné, non moins que celui du § 17.

Dans la suite Fatio est plus heureux: il réussit à trouver une forme non-exponentiale de la courbe par un développement en série antérieur à l'intégration. Il s'agit au fond, comme on voit, du développement en série déjà obtenu par Mercator (Pièce VII à la p. 260 qui précède) del(1 + y/a) ou, pour a = 1, de l(1 + y).

24) Manuscrit G, f. 107 v (p. 113 de Huygens).

[p. 527]

Soit le y de la courbe = b + y nouveau: par là on determine le nouvel y [Fig. 116 et Fig. 117].

[Fig. 117]

Equation de la courbe par une suite infinie de termes qui ne sont point exponentiaux. Le 1^er y est changé en b + y.

. Equation de la meme courbe mais qui nait en faisant le premier nouveau.

Si on commence les x et les y en A [Fig 117], où la tangente fait un angle de 45^o avec la courbe Logarithmique, on aura b = a.

De plus si x est infiniment petit on aura encore x = y.

§ 19²⁵⁾. Aequatio Parabolae ax - yy ∞ 0. 2yy/a subtangens simplex. Jam pro yy pone ax. 2ax/a sive 2x subtangens implicita.

25) Manuscrit G, f. 109 r (p. 116 de Huygens).

[p. 528]

quia tantum duo existunt termini correspondentes absque alio, non opus est hic Transformatorem quaerere, sed sufficit, cum sit ϰ ad λ ut 1 ad - 2, ponere terminum generatorem in aequatione curvae ∞ x/yy, cui necessario addendus - 1/a.

Sit tamen x^gy^h transformator.

Possum ponere g ∞ 0 quia nullus est, in aequatione tangentis zy - 2ux ∞ 0, terminus praeter duos correspondentes. Ergo - 3 ∞ h, eoque transformator x^gy^h ∞ 1/y³, et aequatio transformata

z/yy - 2ux/y³ ∞ 0

Hinc enim x/yy terminus generator in aequatione curvae quaesitae.

Terminus generator x/yy ex termino aequationis transformatae z/yy habetur mutando z in x et dividendo per exponentem quem tunc habet x, qui est hic 1. Idem terminus generator haberetur ex termino . mutando nempe u in y unde fit , et dividendo tunc per exponentem literae y, qui hic est - 2. Nam divisum per - 2 facit + x/yy, eundem nempe terminum generatorem. Ex hoc enim [termino x/yy] duo z/yy - 2xu/y³, primus mutando x numeratoris in z, et multiplicando per 1 exponentem ejusdem x, alter multiplicando per - 2 exponentem τοῦ y in termino x/yy, et mutando unum y numeratoris in u: sed quia, in numeratore termini x/yy, non est y, oportet ut ibi y apponatur quod mutatur in u simulque in denominatore adjiciatur unum y. atque ita fit .

[p. 529]

Quia autem solus terminus generator x/yy invenitur, qui non potest efficere aequationem curvae, oportet quantitatem aliquam cognitam quae easdem dimensiones habeat ab ipso subtrahere. Atque ita facere x/yy - 1/a ∞ 0. Unde ax - yy ∞ 0 aequatio parabolae.

§ 20²⁶⁾. Oportet valorem x vel y substitui in eo tantum termino subtangentis qui ortus est è termino aequationis lineae curvae ex quo iste valor x, vel y desumtus fuit; alioqui fit aequatio tangentis intractabilis quantum ad methodum Dⁱ. Fatij.

Exempli gratia sit CD circumferentia [Fig. 118]. CB ∞ x. BD ∞ y. AC ∞ a.

[Fig. 118]

Aequatio curvae

Huygens parle de cette soustangente (l'appelant pourtant par erreur ‘subnormalis’; comparez le § 22 qui suit) dans sa lettre à Hubertus Huighens du 12 février 1692, T. X, p. 247, où nous citons dans la note 16 la présente page du Manuscrit G.

intractabilis cum nulli termini correspondentes insint, nec omnes puri possint effici

In subtangente implicita substituatur porro, pro 2a numeratoris, valor ejus ortus ex termino 2ax. fit subtangens.

26) Manuscrit G, f. 109 v (p. 117 de Huygens).

[p. 530]

ϰ . λ: - 1. - 1

Nullus verò transformator quia si quis esset, is terminorum purorum trium aliquos impuros redderet, hoc est x et y continentes.

Fit ergo, secundum regulam, terminus generator correspondentium duorum - ½xxyy, terminorum vero purorum generatores + aaxx - ¼x⁴ - ¼y⁴.

In hoc exemplo singulare est, quod ad aequationem pervenitur, ex qua utrimque radix extracta dat aequationem curvae quaesitae.

Similiter ut hic, invenio quoque contingere in subtangente curvae pag. 111, quae est , in qua si substituatur pro y in termino aay, valor ejus inventus ex termino xyy aequationis curvae xyy - aay + x³ ∞ 0 [équation déjà considérée dans le § 16, emprunté à la p. 111 de Huygens] fit aequatio tangentis intractabilis



Si vero hic porro in termino - a⁴yu qui est ab aay, substituatur, pro uno a², valor ejus , inventus ex termino aay: redditur aequatio tangentis tractabilis reformanda divisione per yy, ut duo termini non correspondentes fiant puri. § 21²⁷⁾. AB [Fig. 119] est curva. DAC recta. BC applicata. Si DC, DA, DE

[Fig. 119]

sint proportionales, erit EB tangens hyperboles ut notum ex Conicis²⁸⁾. Ex hac proprietate invenienda est natura curvae AB, nempe hyperboles.

27) Manuscrit G, f. 110 r (p. 118 de Huygens).

28) D est par hypothèse le centre de l'hyperbole, et DA = a ce que nous appelons la moitié du grand axe. Apollonios, Conica, Lib. I, XXXVII (texte latin de Heiberg): ‘Si recta hyperbolam vel ellipsim vel ambitum circuli contingens cum diametro concurrit, et a puncto contactus ad diametrum recta ordinate ducitur, recta ab ordinate ducta ad centrum sectionis abscisa cum recta a contingenti ad centrum sectionis abscisa spatium comprehendet aequale quadrato radii sectionis’, etc.

[p. 531]

gentis. ϰ . λ : 1. - 1. Sit x^gy^h transformator. in quo g est exponens x, et h exponens y.

g + 2. h + 1:1. - 1. - g - 2 ∞ h + 1.

Sed g ∞ 0 quia alias introduceretur x in terminum purum uaa. Ergo - 3 ∞ h. Ergo transformator x^gy^h ∞ 1/y³. Et aequatio transformata zx/yy - uxx/y³ + uaa/y³ ∞ 0. In termino zx/yy mutetur z in x et tunc dividatur per exponentem x qui erit 2. fitque xx/2yy terminus generator duorum correspondentium zx/yy et . Deinde in termino uaa/y³ mutetur u in y, fit aa/yy et dividatur per exponentem y qui est - 2, fit , alter terminus quaesitae aequationis, generator nempe termini uaa/y³. quae itaque aequatio est

xx/2yy - aa/2yy ∓ a/b ∞ 0. Apparet enim terminum aliquem cognitum hic adponendum, quia alioqui fieret xx ∞ aa, quae non est aequatio ullius lineae curvae. Potest autem ratio a ad b esse quaelibet data, vel etiam aequales a et b. Itaque jam

xx - aa ∓ 2ayy/b ∞ 0.

Quod si ponatur - 2ayy/b, erit aequatio hyperbolae; si vero , erit ellipsis vel circuli, ut facile apparet. Sed hic ponendum - 2ayy/b, quia xx majus positum fuit quam aa. Nam ita fit xx - aa ∞ 2ayy/b, at in ellipsi aa - xx ∞ 2ayy/b. Quod si ex aequatione simplici hyperbolae, xx - aa - 2aay/b ∞ 0 quaeratur primò subtangens EC, ea fit 4ayy/2bx sive 2ayy/bx, ubi si substituatur valor yy, qui ex hac aequatione est , fiet sive subtangens implicita per substitutionem valoris yy, quae superius data erat.

[p. 532]

§ 22²⁹⁾. AB [Fig. 120] est curva. AC recta ∞ x. BC ad eam normalis ∞ y. BD tangens. Proprietas tangentis haec ut subtangens DC sit ∞ 2x + x³/yy.

[Fig. 120]

Il est question de cette soustangente dans la lettre du 12 février 1692 de Huygens à Hubertus Huighens (T. X, p. 246), où toutefois Huygens parle par erreur (erreur qu'il corrigea par après) de la ‘subnormalis’ (note 13 de cette p. 246). Comparez le § 20 qui précède.

29) Manuscrit G, f. 110 v et 111 r (p. 119-120 de Huygens).

[p. 533]

Quaeritur natura seu aequatio curvae AB.

Hic quidem duo termini correspondentes habentur, sed reliquus - x³u non est purus, quia et x habet et y, pro quo nempe censetur u;

Sed dividendo aequationem per x³ fiet pro termino - x³u, purus u. Ergo eo facto fit



etsi correspondentes sint, tamen ab eodem termino generatore oriri non potuerunt, nam zy³/x³ venit a generatore . nempe multiplicando per - 2, exponentem x, et mutando unum x numeratoris in z, (sed quia non habetur x in numeratore generatoris apponitur ipsi x et in z mutatur, simulque unum x in denominatore additur) unde fit y³z/x³. Atqui alter terminus correspondens venit a generatore - 2y³/3xx multiplicando nempe per 3 exponentem y et unum y numeratoris in u. Videndum itaque an adhuc amplius transformari possit aequatio zy³/x³ - 2yyu/xx - u ∞ 0.



Ergo generator duorum est , et alter, quibus necessario addendus terminus aliquis cognitus, ac simplicissimus quidem + ½aa, unde fit aequatio y⁴ + yyxx - aaxx ∞ 0,

[p. 534]

curvae unicae quae problemati convenit. Haec curva est ejusmodi, ut ductâ ab A vertice recta AB, et huic normali BE, haec ipsa semper eidem lineae a aequalis est. Hanc Gutschovius Slusio proposuit, Slusius mihi, cujus quadraturam ex circuli quadratura pendere inveni [voyez sur ce sujet la note 15 de la p. 246 du T. X, où nous avons cité ce passage]. Nempe si APF sit circuli quadrans, radio AP ∞ BE seu a, et ducatur BKG parallela et GH perpend. AC, fieri spat. BKA ∞ segmento GPH. Vid. Lib. B, circa med. [Manuscrit B, p. 125 et 126, datant du 15 septembre 1662].

Ut ostendatur porro curvam cujus aequatio y⁴ + yyxx - aaxx ∞ 0 dare subtangentem 2x + x³/yy, dividenda tantum aequatio haec per xx, unde fit y⁴/xx + yy - aa ∞ 0. Unde secundum regulam formata subtangens erit



Nota divisorem hunc esse , quia terminus y⁴/xx multiplicandus fuit per exponentem quem in eo habet x, qui exponens est hic -2. ac deinde dividendus per x. unde fit - 2y⁴/x³. haec nempe secundum regulam tangentium. Nam aliter quoque ex aequatione y⁴ + yyxx - aaxx ∞ 0, formatâ subtangente simplici et in termino - 2aax substituendo valorem aa, ex ipsa aequatione inventum, nempe habebimus , hoc est 2x + x³/yy subtangentem eandem.

§ 23³⁰⁾. Non reperi adhuc, licet in multis exemplis sim expertus, aequationes tangentium intractabiles ultro sese offerentes. Sed tantum datâ operâ tales fieri videntur, eo modo quo dixi pag. 117 in principio [§ 20] nempe per substitutiones quasdam quantitatum.

Ecce exempla quaedam ubi semper tractabiles fiunt aequationes tangentium, sive subtangentes; etsi hae non sint simplices tamen, quales ex aequatione curvae describuntur.

30) Manuscrit G, f. 111 r (p. 120 de Huygens). Nous avons cité cette page dans la note 11 de la p. 223 du T. X.

[p. 535]

[Fig. 121]

AM [Fig. 121] est curva. b recta data. AL recta ∞ x. LM applicata ∞ y. PM tangens. subtangens .

Huygens proposera cette soustangente à Leibniz dans sa lettre du 1 janvier 1692 (T. X, p. 223), disant que la méthode de Fatio conduit aisément à l'équation de la courbe correspondante (savoir l'hyperbole).

En marge: Termini correspondentes sunt in quibus eaedem potestates quantitatum x et y reperiuntur; sed ita ut etiam z pro x habeatur et u pro y. - Methodus Fatij aliquatenus exponitur. vide pag. 98 [§ 9 qui précède].

Quia termini correspondentes 2byz et - bxu ab eodem termino genitore orti sunt, necesse est in hoc termino genitore exponentem τοῦ x esse ad exponentem τοῦ y ut 2 ad - 1, hoc est ut numeri his terminis praefixi, nam 2byz habet 2, et - bxu censetur habere - 1. Ergo ϰ . λ: 2. - 1. Sed hi termini non possunt, quales hic sunt, ex uno eodemque termino generatore oriri: poterunt autem certo modo in potestates x vel y utriusque ducti. Itaque quaerendus est transformator totius hujus aequationis tangentis qui transformator sit x^gy^h, ubi g et h sunt ignoti adhuc exponentes τῶν x y. Ergo cum in termino 2byz sive etiam - bxu, habeatur jam nunc unum x, (nam z est pro x), facta transformatione erit in ipso exponens τοῦ x ∞ 1 + g. Similiterque cum in alterutro istorum terminorum habeatur jam nunc unum y; (nam et u est pro y) facta transmutatione erit in ipso exponens τοῦ y ∞ 1 + h. Atqui diximus in termino horum genitore communi esse exponentem τοῦ x ad exponentem τοῦ y sicut 2 ad - 1. Ergo erit

Considero deinde terminos reliquos correspondentes xyz et - xxu, in quorum communi genitore exponens τοῦ x ad exponentem τοῦ y debet esse ut 1 ad - 1, quia hi censentur numeri ipsis praefixi. Itaque hic ϰ ad λ ut 1 ad - 1.

Quia autem in terminorum utrovis est xx et y, erit in ipsis, post transformationem ex ductu x^gy^h, exponens τοῦ x ∞ 2 + g, et exponens τοῦ y 1 + h.

[p. 536]

Nam quia in transformatore hoc invenitur exponens g τοῦ x esse - 3, hoc significat divisionem per x³, sive multiplicationem in 1/x³. Exponens autem h τοῦ y est ∞ 0. ideoque transformatio non auget nec diminuit exponentem τοῦ y qui est in aequatione ante transformationem.

termini bini quique manent necessario correspondentes, quia tales erant ante ductum in 1/x³. Nunc autem duo notati ⅄ poterunt habere genitorem communem, itemque duo reliqui notati . Nempe secundum regulam, in termino 2byz/x³, mutato z in x, et tunc dividendo per exponentem x, qui erit - 2, quia xx est in divisore, fiet pro generatore duorum notatorum ⅄. Similiterque in termino yz/xx mutando z in x et tunc dividendo per exponentem x qui erit - 1, quia x erit in divisore, fiet pro generatore duorum notatorum .

En marge: Nota ex termino - by/xx fieri in aequatione terminum 2byz/x³ multiplicando ipsum per exponentem literae x, hoc est per - 2, et mutando z in x; sed quia non invenitur z in - by/xx, addendum est in numeratore, et x in divisore, et sic fit 2byz/x³.

Ergo duo termini in aequatione curvae quaesitae sunt et quibus necessario adjungendus terminus aliquis cognitus totidem dimensionum, ut b/a, atque ita tota aequatio curvae fit . quae reducta facit

[p. 537]

- by - xy + bxx/a ∞ 0

quae ostendit

curvam AM esse hyperbolam. Quod si pro b/a posuissem ½, fuisset aequatio - by - xy + ½xx ∞ 0, atque ita hyperbola fuisset aequalium laterum. Nam tunc



En marge: Ut ostendatur subtangentem esse , aequatio - aby - axy + bxx ∞ 0 dividatur per xx; fit - aby/xx - ay/x + b ∞ 0, unde descripta subtangens secundum regulam nostram erit

Videtur ita dividendum fuisse per xx quia transformator fuit 1/x³.

§ 24³¹⁾. Sit BD [Fig. 122] Conchoides veterum, aut certe Nicomedis, qui eleganter

[Fig. 122]

ea usus est in duarum mediarum inventione et in trisectione anguli³²⁾. P polus, AE regula, AB diameter. punctum in ea C. AF ∞ x, FC ∞ y, quae scilicet parallela AE. AP ∞ b, AB ∞ c. Tangens CG. Subtangens FG. quae invenitur esse . Ex qua sit invenienda aequatio Curvae. Est autem - x³yy negativa, cum divisor sit affirmativa, quia GF in contrarium AF ponitur.

31) Manuscrit G, f. 112 r (p. 122 de Huygens).

32) Huygens s'était occupé de cette conchoïde déjà en 1652: voyez le T. XII.

[p. 538]

Hic nulli sunt termini correspondentes cum unus tantum sit in quo y. Sed video facta divisione per x³, omnes terminos evadere puros, hoc est tales ut tantum habeant x vel y. Ergo hoc facto fit zx + zb + zbcc/xx + zbbcc/x³ + uy ∞ 0.

Neque aliud hic requiritur, cum ex singulis hisce terminis singuli describantur aequationis curvae. Nempe ½xx + bx - bcc/x - ½bbcc/xx + ½yy ∞ 0.

Et haec quidem curva satisfacit quaesito, quia dat subtangentem eandem datae. Sed et alijs duabus curvis eadem constructio tangentis convenit, quia liberum est huic aequationi apponere terminum aliquem cognitum vel affirmativum vel negativum. ac si quidem adponatur + ½bb - ½cc, tunc demum aequatio oritur Conchoidis, nempe

Le cas de la conchoïde est le dernier des exemples de la méthode de Fatio que Huygens donne dans sa lettre au Marquis de l'Hospital du 23 juillet 1693, citée aussi au début du § 3 qui précède. De l'Hospital - voyez ce que nous disons sur lui à la fin de notre Avertissement - peut répondre (10 aoùt 1693, T. X, p. 485) que pour lui ce cas est si simple ‘qu'il n'est besoin d'aucune methode pour [le] resoudre’.

§ 25³³⁾. AB [Fig. 123]. Curva cujus diameter AC, faciens angulum CAD 45 gr.

[Fig. 123]

AD ∞ x. BD ∞ y. a linea data. AEquatio curvae [‘folium Cartesii’] x³ + y³ - xya ∞ 0. Divide per xy. xx/y + yy/x - a ∞ 0. subtangens simplex. Substituto [in subtangente simplici] utrobique

33) Manuscrit G, f. 112 v (p. 123 de Huygens).

[p. 539]

valore ya qui est fit subtangens implicita ex qua sit invenienda aequatio Curvae.

Ergo termini aequationis xx/y + yy/x - a ∞ 0. AEquatio Curvae x³ + y³ - y³ - xya ∞ 0. Nam terminus aliquis cognitus -a necessario addendus quia priores ambo habent +.

§ 26³⁴⁾. Ici Huygens, sans abandonner tout-à-fait les z, u, commence, comme on voit, à se servir des notations dx, dy de Leibnitz dans le problème inverse des tangentes: voyez ce que nous avons dit au début du § 3 sur les notations dx, dy et z, u. Dans sa lettre du 23 juillet 1693 au Marquis de l'Hospital il écrit dx et dy dans toutes les équations différentielles.

34) Manuscrit G, f. 112 v et 113 r (p. 123 et 124 de Huygens.)

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§ 27³⁵⁾. y⁴ - 8aayy + 16aaxx ∞ 0 aequatio curvae pag 1³⁶⁾. Comparez le § 4 qui précède. La courbe est représentée à la p. 473 du T. IX.

³⁷⁾

§ 28³⁸⁾. Subtangens curvae pag. 2³⁹⁾ Comparez le § 3 qui précède. La courbe est représentée à la p. 474 du T. IX.

35) Manuscrit G, f. 113 r (p. 124 de Huygens).

36) Pag. 51 v de la numération générale, où il est question, comme à la page suivante (note 39), des soustangentes proposées à Leibniz en 1690 (hinc Leibnitsio curvae naturam inquirendam proposui in epistola 24 Aug. 1690). Comparez la p. 487 de l'Avertissement qui précède. Voyez aussi sur ces p. 1 et 2 de Huygens les p. 472-475 du T. IX.

37) Pour obtenir l'équation initiale avec la même constante a il faut écrire .

38) Manuscrit G, f. 113 v (p. 125 de Huygens).

39) Pag. 52 r de la pagination génerale.

[p. 541]