Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

[p. 562]

VI
La ‘Libratio isochrona melior praecedente’ de mars 1693.

[Fig. 64.]

Libratio isochrona melior praecedente¹⁾. Inventa 6 Mart. 1693.

1) Comparez la note 1 de la p. 549 qui précède. La Pièce VI est empruntée aux p. 180-182 et 185 du Manuscrit H. Voir aussi la lettre du 6 mars 1693 de Huygens aux Directeurs de la C^ie. des Indes Orientales (T. X, p. 424) et celle du 24 mars à de Volder (T. X, p. 434).

[p. 563]

Imaginez le fil QM - ou plutôt le fil DQM [Fig. 66]; c'est le fil CA de la Fig. 64 - infiniment long: la balance ira de mesme que quand il est court. Mais estant ainsi long, le mouvement lateral ne fait point d'autre effet que s'il descendoit dans la perpendiculaire CL. de sorte qu'il faut seulement considerer s'il pese tousjours egalement en descendant²⁾.

Quatenus pondus A, pendens ex taeniola AC aequaliter ponderat, erit motus circuli DE [Fig. 67] isochronus. Pendet taeniola inter particulas binas Curvae quae nascitur ex Evolutione circonferentiae CGH cujus radius CK [Fig. 66]. K centrum motus. caput taeniolae A movetur in parabola cujus vertex L, axis LC, latus rectum ∞ tertiae proportionali duarum CL, CR, quae aequalis 2CK. Nam Mβ ∞ DQ, Aγ ∞ GP, quia ex evolutionis natura crescunt DQ, GP ut quadrata CQ, CP.

Demonstratio aequalium librationum hic et in appensa Catena inde pendet quod si corpus impellatur vi tali in spatij decurrendi singulis punctis, quae sit ut partes spatij quae restant peragendae, fiet ut à quacunque ejus spatij puncto moveri incipiat, eodem tempore ad finem perveniat. Hoc in descensu per Cycloidem ita se habere facile perspicitur ubi tempora isochrona esse per quosvis arcus ostendimus. In vibrationibus laminae flexilis idem principium experimentis reperitur, itemque tempora vibrationum aequalia³⁾. Neutoni quoque extat demonstratio sed nequaquam evidens aut exacta⁴⁾.

[Fig. 65.]

Oportet facere taeniolam CA [Fig. 64] quam brevissimam⁵⁾. Quem in finem posset pro pondere A esse duplex orbis axe tenui conjunctus [Fig. 65], ut inter utrumque intercipiatur brachium KC. Ita longitudini CA decederet cylindri vel sphaerae ponderantis semidiameter.

Dum curvae CF [Fig. 64] figuram ratione ac constructione quadam mechanica requiro⁶⁾, adverti esse eam quae ex evolutione circuli circumferentiae oritur⁷⁾.

2) En d'autres termes: il faut que le poids constant agisse toujours suivant une verticale. Voir cependant le deuxième alinéa de la note 4 de la p. 567 qui suit.

3) Comparez la p. 502 qui précède.

4) Voir la p. 484 qui précède.

5) A cause du ballottement du vaisseau.

6) Huygens cherchait une courbe CF telle que le moment tendant à ramener le balancier vers sa position d'équilibre fût proportionnel à l'écart angulaire. Puisque le balancier est équilibré exactement autour du centre K, ce moment est dû exclusivement au poids A suspendu au fil, toujours vertical par hypothèse, qui s'applique à la courbe en question. Comparez la note 16 de la p. 514 du T. X.

7) Comparez l'anagramme ‘Flexilis ambitum cum linea deserit orbem’ de la p. 515 du T. X.

[p. 564]

[Fig. 66.]

Ut 2CK [Fig. 66] ad CR, (quae ∞ CH) ita sit CR ad CL. Dico CL esse ∞ HR. Describatur enim parabola vertice L, diametro LC, quae transeat per punctum R. Ejus parabolae latus rectum erit ∞ 2CK. Ideoque circumferentia CH radio KC descripta, sive huic aequalis¹⁾, est maxima quae per verticem L intra parabolam cadat, ac proinde est haec quae curvitatem parabolae in vertice referat²⁾. Unde QD recta³⁾ vel curva ex evolutione arcus CD descripta aequalis censetur Mβ. Sunt autem curvae DQ, GP, ES, HR sicut quadrata rectarum CQ, CP, CS, CR, ut ex evolutionis consideratione facile intelligitur, quia particulae ex. gr. curvae GP describuntur à filis aequaliter crescentibus quae deserunt arcum CG. Hinc ergo singulae DQ, GP, ES, HR aequales singulis Mβ, Aγ, Vδ, Rζ sive CL⁴⁾.

Spatium CHR erit ∞ LRζ. hoc est ⅓ ▭ Cζ sive ⅓ ▭ ex HR in CR, vel HR in arcum CH.

Sed his quidem nihil opus ad demonstrandum isochronismum.

Demonstratio motus aequalis. Si in arcu CH [Fig. 66] quaelibet partes accipiantur, CD, DG, GE &c. et a punctis D, G, E evolvantur fila circumferentiae applicata, ut describantur ex evolutione lineae DQ, GP, ES, usque in horizontalem CR, apparet

1) C.à.d. une circonférence égale, mais plus basse.

2) Le plus grand cercle qui touche la parabole intérieurement en son sommet L, n'est autre que le cercle de courbure. Comparez la note 2 de la p. 393 qui précède. Ce ‘cercle osculateur’ de la parabole - comparez sur le mot ‘osculation’ la note 5 de la p. 42 - est déjà indiqué par Huygens dans la Fig. 1 de la p. 302, datant de 1659, du T. XVI: voir la fin de la note 8 de la p. 41 qui précède.

3) CD étant un arc infiniment petit, on peut appeler QD une droite. Dans la suite l'arc CD est supposé de grandeur finie.

4) Si le fil a la longueur CL, il résulte des considérations mathématiques qui précèdent que le poids A, supposé punctiforme, se meut suivant la parabole LR de la Fig. 66.

[p. 565]

cum C punctum pervenerit axis conversione in D, quia CR ad omnes descriptas curvas normalis est, tunc pondus appensum⁵⁾ tracturum per QM perpendicularem. cum vero C in G, trahet per PA. Sunt autem momenta trahentis sicut distantiae PC ad QC. atque ita quoque arcus peragendi in circulo libratorio, nempe GC, DC. Ergo semper momenta impulsus erunt ut spatia motu circulari peragenda usque ad punctum C ubi impulsus ad nihilum perducitur. quare tempora quarumlibet librationum aequalia erunt⁶⁾.

[Fig. 67.]

[Fig. 68.]

In hoc invento novo motus rotae DE [Fig. 67] multo liberior est quam cum catena injicitur, ut in praecedentibus⁷⁾, et aequatio perfectior ex appenso inter cornua pondere A, quam illic ex momentis catenae, quia interrupta serie particularum constat, nec pendet ad perpendiculum. Tum aucto pondere A potest celerior fieri rotae agitatio, idque multo commodius quam augendo catenae pondere. Praestat autem rotam semel aequilibratam intactam relinquere.

Minus quoque incommodabit agitatio si qua est ponderis A ex motu navis, quam catenae longioris fluctuatio⁸⁾. Longe etiam facilius pondus A sic aptabitur quam catena [Fig. 60] effingetur ex aequiponderantibus particulis taeniolae affixis. Porro artificium longe majus ac subtilius appensi ponderis A quam catenae.

Ces Cornes C avec le poids A [Fig. 68], corrigent tellement l'inegalitè des balancemens de la roüe, que quoy qu'on adjoute du poids à sa circonference, sans rien changer au poids A, on les aura isochrones. Et de mesme si on adjoute ou oste du poids A, laissant la roüe comme elle est. Ce qui est bien remarquable, et bien commode.

Il faut seulement que les balancemens soient assez lents pour que le ruban CA, pende toujours perpendiculaire parce qu'autrement le poids A ne tireroit pas egalement. Il n'importe point que le ruban CA s'allonge.

5) Savoir le poids suspendu en C entre les ‘cornes de bouc’ (voir la p. 160 du T. XVII) de la nouvelle forme, qu'on voit dans la Fig. 66.

6) D'après le théorème général: comparez la p. 531 qui précède (deuxième alinéa de la note 5). Ici il s'agit évidemment d'un moment autour d'un axe horizontal.

7) Pièce V.

8) Ceci semble bien probable, mais en parlant de l'‘agitatio si qua est’ Huygens fait preuve d'un optimisme quelque peu hasardé: comparez sur son optimisme les p. 163 et 198 du T. XVII.

[p. 566]

Si on suppose que la roue soit sans poids, alors le poids A fera comme un pendule simple de la longueur KG + CA [Fig. 68].

Potest distantia KG pro arbitrio sumi, dummodo curvatura cornuum C sit ex Evolutione circonferentiae cujus semidiameter KG.

Inaequalitas non aliunde contingere potest quam si axis rotae DE non maneat horizonti parallelus. tunc enim minùs gravitat pondus A.

Vel si atteratur ac diminuatur imum in axe rotae. sic enim evaderet centrum gravitatis annuli humilius puncto suspensionis. Sed hoc aliquot mensium spatio fieri non potest. Eoque minus quod non atteritur axis rotae super plana superficiecula, sed volvitur. at in horologio pondere agitato, quod amplius 35 annis usum praebuit¹⁾, non potui animadvertere axem rotae infimae cui pondus movens incumbit, quicquam amisisse, etsi hic axis continuè fricetur interiori superficie foraminis.

[Fig. 69.]

Imus axis rotae aa [Fig. 69] qua parte insidet subjectae chalybi, debet exacte rotundus esse. accipiatur acus crassa, vel filum e chalibe cc, vel axiculus torno formatus, quod applicetur cultro d per extantes cuneolos transmissum, ut acus horizontali positu incumbat chalibis planae superficieculae ee, et in ea versetur. Extremae autem acus ff cuspides intra repagula fere stringantur. Supernè imponatur fornix gg, ne exilire possit axis, sed tantum sub eo libere moveri.

An cuneoli in axe satis rotundi parte inferiori fieri possunt ut in S [Fig. 70]? opus enim tantummodo ut non planè acuti sint. quia chalybs non facile deteritur, cum volvatur, non fricet subjectum planum quod itidem chalybeum. Sic enim minus quoque hinc inde excurret axis affixaeque ipsi pinnulae, ab rota serrata²⁾ impellendae.

Rota aenea Voorburgo adferenda³⁾.

Potest suspendi circulus libramenti [Fig. 71] ex taeniola AB forcipe CD retenta, et axis centro affixa, qui ea parte ad semicylindrum

1) Il s'agit donc d'une horloge construite en 1657 ou dans un des premiers mois de 1658. Voir les p. 30-31 du T. XVII, ainsi que les notes 1 et 2 de la p. 27 du même Tome.

2) La roue de rencontre; comparez les notes 4 et 5 (et la Fig. 3 qui y est mentionnée) de la p. 14 du T. XVII.

3) La roue devant être apportée de Voorburg, où se trouvait - et se trouve encore aujourd'hui - la maison de campagne Hofwijck habitée en ce temps par Huygens, on peut en conclure qu'il travaillait à la réalisation pratique de la nouvelle horloge tant à Hofwijck qu'à la Haye. Attendu que l'horloger J. van Ceulen n'est plus mentionné par lui après 1685 (note 5 de la p. 509), Huygens travaillait apparemment en ce temps avec B. van der Cloesen (voir la note 4 de la p. 516).

[p. 567]

EFG redactus sit. movebitur enim sic circulus super puncto illo quod axis centrum est, nec referet an teniola extendatur. Eritque motus liberrimus absque frictione. nec sacile taenia atteritur ut puto.

Pars AB ab hac lamina abesse potest, ubi tunc spatium relinquetur ad collocandum pondus A.

Potest rota serrata C [Fig. 72] supernè incumbere axi DE, unde plus spatij efficitur in quo moveatur pondus A, adeo ut rota P tunc propius ad laminam accedere possit.

[Fig. 72.]

[Fig. 73.]

An non melius rota P in extremo axe suo haerebit, et extra laminas horologij paululum tantum exstabit pondere A intra laminas ad eundem axem affixo, et antisacomatis vice fungente. ita melius includi poterunt rotae omnes interiores.

Oportet satis distent laminae binae, ut spatium non desit ponderi A.

Constat quidem librationes ponderum G, E [Fig. 73], virgae absque gravitate affixorum, isochronas fieri ob pondus C inter curvas suspensum. Sed an idem fit additis alijs ponderibus F, D? Omnino⁴⁾.

4) Nous avons fait ressortir plus haut (voir la note 6 de la p. 565) que Huygens sem blait admettre généralement déjà en 1683 que le mouvement d'un système rigide autour d'un axe fixe ne dépend que de la grandeur du moment moteur d'une part et de celle du moment d'inertie du système d'autre part. Cependant, il s'agissait en 1683 d'une généralisation plus ou moins intuitive de ce qui avait été démontré dans le cas du pendule composé. Il n'est donc pas étonnant qu'ici - quoiqu'aux p. 562-566 il considère des balanciers de différentes formes - après avoir admis l'isochronisme des vibrations de la verge impondérable de la Fig. 73, portant les deux poids quelconques E et G égaux et équidistants de A, il éprouve le besoin de démontrer que l'isochronisme subsiste lorsque la balance (ou le balancier), toujours symétrique par hypothèse par rapport au point A, porte plusieurs poids et que la verge est pondérable, le moment moteur restant le même.
Il faut d'ailleurs remarquer que l'existence de l'isochronisme, même dans le cas simple du balancier impondérable portant les deux poids égaux, n'a pas été démontré par Huygens, comme il semble le croire en 1693. Cet isochronisme ne peut être qu'approximatif. En effet, le poids C n'exerce pas seulement un moment, mais fait partie, lui aussi, du système dont il règle le mouvement, de sorte que le moment d'inertie de ce système n'est pas constant. C'est de quoi Huygens ne tient pas compte: dans la Fig. 74 et surtout dans la Fig. 78 on voit qu'il prend le poids régulateur assez grand. En 1694 (voir les p. 582 et suiv.) Huygens tient compte du fait que le poids régulateur doit ‘motum tribuere ipsis et sibi’, c.à.d. doit donner du mouvement tant à lui-mème qu'au balancier, d'où résulte ‘minimus quidam defectus’ (p. 583 et 586).

[p. 568]

Quaeramus primum, datis ponderibus E, G singulis ∞ a; ponderibus D, F, singulis ∞ b; distantijs AE, AG ∞ c, distantijs AD, AF ∞ d, quanta deberent poni pondera in locum extremorum E, G, ut aeque celeri motu impellatur libra ex binis istis composita atque altera ex quaternis E, G, D, F.

Ponatur pondus E impulsum per arcum EG acquisivisse celeritatem qua ascenderet ad altitudinem e. Ergo pondus D eam celeritatem habebit qua ascendat ad dde/cc. Ergo ae + ddeb/cc ∞ ex, posito x pro pondere ponendo in locum E vel G. Debet enim potentia vel pondus C, certâ altitudine descendendo peractâ, eum motum imprimere partibus librae qualitercunque compositae, ut à libra solutae (atqui etiam ipsum C) motumque sursum convertentes, tantundem gravitatis ascendat quantum descendit depresso pondere C; Ex axiomate nostro pag. 175 in marg. vires corporum non interire nisi edito effectu &c.¹⁾. Atqui x quoque acquirit celeritatem qua ascendat ad e altitudinem.

Ergo a + ddb/cc ∞ x. Cum ergo tali pondere x ∞ a + ddb/cc posito utrinque in extrema virga, fiat motus librae impressus actione ponderis C, aeque celer ac librae ex ponderibus E, D, F, G compositae, idque emenso arcu quovis EH. sequitur totas utriusque librae librationes ijsdem temporibus absolvi. Sunt autem librae ex ponderibus

1) Voir la note 4 de la p. 553, ainsi que la p. 554, qui précèdent.

[p. 569]

binis x compositae librationes omnes isochronae. Ergo et librae compositae ex E, D, F, G. Ergo qualitercunque composita libra, dummodo aequilibrata, aequalia tempora oscillationibus signabit operâ ponderis C.

Praestat longè ut gravitas librae tota, quantum potest, à centro removeatur. fit enim levior, manente oscillationum tempore. Et centrum gravitatis ex libra et pondere C, tanquam in B positi, compositae fit ampliori distantia ab A.

4 librae in D idem tempus producunt quod 1 libra in E, distantia dupla.

[Fig. 74.]

On pourrait suspendre l'axe du cercle balancier par deux rubans de satin de 3 ou 4 lignes de large, et rien que d'une ½ ligne de long, les serrant en haut dans des pieces attachees aux platines principales de l'horologe. Et tirant une fois bien fort, a fin qu'ils ne s'etendissent plus en suite. quoyque cette extension mesme ne nuiroit point si non en ce que l'axe ne resteroit pas exactement horizontal, et qu'il approcheroit plus de la roue de rencontre.

On pourrait aussi le suspendre par un ruban de satin en sorte que A et le balancier CD [Fig. 74] fissent equilibre, en faisant aller l'autre bout de l'axe dans une fente.

Il ne faut recourir a cette suspension de rubans, que si on trouve que l'axe en pointe s'use, ce qui n'est pas apparent.

Un des grands defauts de l'horologe a pendule suspendue dans le vaisseau estoit, que la force du pendule causoit un petit mouvement a toute l'horloge et cela plus ou moins selon la libertè des axes des chassis de fer. d'ou naissoit de l'inegalitè aux heures. Cela n'aura point lieu ici, quand mesme la boule A, qui est transportée d'un costè à l'autre produiroit quelque peu de mouvement à l'horloge. Car le balancier fait ses tours egaux, quoyque son centre change de place. Outre cela on ne pouvoit se servir dans le vaisseau que d'un pendule court, de 10 pouces ou environ. Mais de cette nouvelle maniere on peut faire les balanciers de 2, 3 ou 4 pieds de diametre, et avec des balancements de 2, 3 ou 4 secondes. Et par consequent faire ces horloges si justes qu'on veut, puisque la justesse depend de la grandeur et du poids des balanciers. Car par là la roüe de rencontre a moins de force à rendre les balancements inegaux, et la resistence de l'air agit aussi moins considerablement sur un balancier pesant.

Il faut avoir soin que les axes des chassis BB pag. 172 [Fig. 41 de la p. 548] soient

[p. 570]

bien libres à fin que l'axe du balancier demeure horizontal. Ils doivent estre comme ceux des balances ordinaires, ainsi [Fig. 75] un peut [lisez: peu] en pointe en bas, et couchez dans des trous ronds.

Le bras d'ou pend la boule A, devant qu'on y attache cette boule, ou sans que son poids agisse, doit faire partie de l'Equilibre du balancier, de sorte qu'il demeure en toute situation lors qu'avec la main on soutient la boule.

[Fig. 75.]