Wisconstighe gedachtenissen. Deel 1: van 't weereltschrift
(1608)–Simon Stevin–
Auteursrechtvrij
[pagina 4]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nu volghen de voorstellen.1 Werckstvck. 1 Voorstel.Ga naar margenoot+Devr een bekendeGa naar margenoot⋆ halfmiddellijn ende bekendeGa naar margenoot⋆ houckmaet:Ga naar margenoot⋆ schilhoucks houckmaet bekent te maken.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeel rontsGa naar margenoot+ sijn, diens halfmiddellijn A C doet 5, ende D E sy een houckmaet, doende 4, ende dat des houcx D A E, wiensGa naar margenoot+ schilhoucks houckmaet is E F. Tbegheerde. Wy moeten t'ghetal vande selve E F vinden.  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Twerck.Ga naar margenoot+
Tbereytsel. Laet ghetrocken worden A E. Tbevvys. Het viercantGa naar margenoot+ der halfmiddellijn A E 25, is even ande twee viercanten van D E 16, en̄ D AGa naar margenoot+ daerom t'viercant van D E 16, ghetrocken van t'viercant van A E 25, blijft het viercant van D A 9, diens sijde voor D A doet 3: Maer E F is even aen D A, daeromGa naar margenoot+ de vervulling E F doet oock 3. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur een bekende halfmiddellijn, ende bekende houckmaet, haer schilhoucx houckmaet bekent ghemaect, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 Werckstvck. 2 Voorstel.Devr een bekendeGa naar margenoot⋆ houckmaets pijl, mette bekendeGa naar margenoot⋆ halfmiddellijn: Bekent te maken de houckmaet vanden helft des selfden houckboochs.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeel rondts wesen, diens halfmiddellijn A B doet 24, en̄ D B is een houckbooch, diens houckmaet sy D E, ende de pijl E B doet 3, Voort so is de rechte A F G, ghetrocken door t'middel van D B, alsoo dat B F is de houckmaet des houckboochs B G, helft van D B.  Tbegheerde. Wy moeten vinden de langde vande selve houckmaet B F. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 5]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Twerck.
Tbereytsel. Laet het punt H gheteyckent worden int middel van A B. Tbewys. Anghesien de twee driehoucken A B F ende D B E, beyde rechthouckich sijn, ende an B een ghemeenen houck hebben, soo moetense gelijck wesen, daerom heeft A B sulcken reden tot D B, als F B tot B E: maer A B ende D B sijn tot malcander inde selve reden van haer helften H B, B F, daerom ghelijck H B tot B F, alsoo de selve B F tot B E: inder voughen dat B F is middeleveredenighe tusschen HB ende B E, daerom alsmen, ghelijck int werckgedaen is, t'ghetal van H B, dat is den helft van A B, menichvuldicht mettet ghetal van B E, soo is des uytbreng viercantsijde voor de houckmaet van B F. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur een bekende houckboochs pijl mette halfmiddellijn, bekent gemaect de houckmaet vanden helft des selfden houckboochs na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 Werckstvck. 3 Voorstel.Devr de bekende halfmiddellijn met tvveeGa naar margenoot⋆ houckmaten ende haerGa naar margenoot⋆ schilboochs houckmaten: De peez van haer boghens verschil te vinden.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeel rondts wesen, diens halfmiddellijn A C doet 10, en̄ twee houckmatē D E 6, F G 8, diens schilboochs houckmaten als E H, G I doen door het 1 voorstel 8 en 6, ende de booch E G is t'verschil der twee houckboghen B G, B E, ende de rechte EG haer peez. Tbegheerde. Wy moeten de selve peez EG bekent maken. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Twerck.
Tbewys. Ghemerckt den driehouck E K G recht is, diens sijden E K, K G elck 2 doen, so moet de derde E G √8 sijn, deur het 47 voorstel des 1 boucx van Euclides. Tbeslvyt. Wy hebben dan deur de bekende halfmiddellijn met twee houckmaten, ende haer schilboochs houckmaten, gevonden de peez van haer boghens verschil, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Merckt.Tot hier toe sijn beschreven drie voorstellen dienende als ghemeene regelen der volghende werckinghen, waer in de halfmiddellijn na dewijse van Regiomontanus eintlick in 10000000 sal ghedeelt worden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 6]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Merckt oock dat wy om moeyte te schuwen, de selve ghetalen van Regiomontanus sullen nemen, sonder overal t'ondersoucken of de rekeningen heel volcomen sijn: want sijn Vorstelicke Ghenade alleenelick soo veel voorbeelden bereeckent heeft, als tottet grondelick verstaen der saeck genouch vvas. Isser deur misdrucken of ander oorsaeck eenich ghetal t'ondeghe, men sal my, diens voornaemste meyning streckt de manier des maecksels deser Tafelen tebeschrijven, daer af voor ontschuldicht houden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 Werckstvck. 4 Voorstel.Doende de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: Te vinden de langde van al de houckmatē, ende haer schilboghens houckmaten, spruytende uyt halving van 90 tr. tot datmen comt op oneven eersten.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeelrondts wesen, diens halfmiddellijn A C doet 1000000000, Nu alsoo de selve halfmiddellijn oock houckmaet is des houckboochs B C van 90 tr. soo en behouf ick gheen moeyte te doen om die te soucken, maer stelse als hier onder. 
Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 90 tr. ick teycken D int middel van B C, en̄ treck D E rechthouckich op A C, als houckmaet des houckboochs D C doende 45 tr. Tghetal der selve wort ghevonden na de leering des 2 voorstels menichvuldighende den helft van A C 500000000, met en pijl A C 1000000000, maect 500000000000000000, diens viercantsijde voor D F doet 707106782, de selve ghevought onder de boveschreven houckmaet van 90 tr. so comt haer ghestalt als hier onder.
Daer na stel ick een tipken voor de 90 tr. als hier boven blijckt, beteyckenende dat de selve 90 tr. ghehalft sijn. Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 45 tr. ick teycken Fint middel van D C, ende treck F G rechthouckich op A C, als houckmaet des houckboochs F C doende 22 tr. 30 ①. Tghetal der selve wort ghevonden als t'voorgaende deur het 2 voorstel, menichvuldigende 500000000 helft der halfmiddellijn A C, met 292893218 des pijls E C (dat den selven pijl soo veel doet, bevint sich treckēde A E die evē is aen E D 707106782, van A C 1000000000) comt 146446600000000000, diens viercantsijde voor F G doet 382683432. Maer aldus bekent wesende F G, soo is haer schilboochs houckmaet F H openbaer deur het 1 voorstel, want van t'viercant der halfmiddellijn, ghetrocken t'viercant van F G, de viercantsijde vant overschot doende 923879533, is voor F H houckmaet des houckboochs F B, doende 67 tr. 30 ①. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 7]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dese twee houckbogen met haer houckmaten vervought by de voorgaende, soo sal haer ghestalt dan wesen als hier onder.
Daer na stel ick een tipken voor de 45 tr. ghelijckmen hier boven siet, beteyckenende dat de selve 45 trappen ghehalft zijn. Om nu te vinden de houckmaet vanden helft van 22 tr. 30 ①, ick teycken I int middel van F C, ende trecke I K rechthouckich op A C, als houckmaet des houckboochs I C doende 11 tr. 15 ①, waer af t'ghetal bekent wort als vande voorgaende, want alsoo A G even is an de bekende H F doende 923879533, soo treck ick A G van A C, datter blijft is voor den pijl G C, waer mede ick IK bevinde van 195090322, ende haer schilboochs I B 78 tr. 45 ① houckmaet I L van 980785280, stellende de selve by dander. Ende alsoo met halfving gheduerlick voortgaende, tot datmen overal op oneven eersten comt, soo sal de gestalt des ghehalfden vierdeelrondts van 90 tr. mette schilboghen dan wesen als hier onder.
Tbeslvyt. Doende dan de halfmiddelijn eens rondts 1000000000 wy hebben gevonden de langde van al de houckmaten, en̄ haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving van 90 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 Werckstvck. 5 Voorstel.Doende de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: Te vinden de langde derGa naar margenoot⋆ houckmaet van 36 tr. oock haer schilboochs houckmaet, mitsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 36 tr. tot datmē comt op oneven eersten.
Tghegheven. Laet A B C een halfrondt wesen, diens halfmiddellijn D C doet 1000000000, ende op t' middelpunt D, sy ghetrocken de halfmiddellijn B D rechthouckich op A C: Laet voorts het punt E ghestelt sijn int middel | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 8]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
van D C, ende ghetrocken worden E B, daer na t'punt F inde lini A D, alsoo dat E F even sy an E B, ende van F sy getrocken de rechte lini tot B. Dit so wesende, B F is even ande sijde des gheschickten vijfhoucx int rondt diens middellijn A C deur het 9 voorstel des 1 boucx van Ptolomeus. Daerom de langde van B F ghevonden wesende, soo hebben wy de peez van 72 tr. diens helft de houckmaet van 36 tr. is.  Tbegheerde. Wy moeten den helft van B F vinden. Twerck B D doet 1000000000, tot diens viercant vergaert het viercant van D E 500000000, en̄ daer uyt getrocken de viercantsijde, wert bevonden van 1118033988 voor B E: Maer F E is hier boven even ghestelt an E B, daerom F E doet oock soo veel: Vande selve ghetrocken D E 500000000, blijft voor F D 618033988, diens viercant vergaert tottet viercant van D B, ende vande somme getrocken de viercantsijde, comt voor B F (om dat den driehouck F B D recht is an D) 1175570504 als peez des boochs van 72 tr. daerom den helft van dien, te weten 587785252 is voor de begheerde houckmaet des houckboochs van 36 tr. waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. De voorschreven houckmaet bekent sijnde, soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen over al op oneven eersten comt, ghelijck de navolgende beschrijving van dien opentlick anwijst. Doch machmen hier bedenckē dat d'eerste halving niet noodich en is, want F D hier boven gevonden van 618033988 is even an de sijde des gheschickten thienhoucx deur het 9 voorstel des 1 boucx van Ptolomeus, welcke de peez des boochs van 36 tr. sijnde, soo is den helft van dien te weten 309016994 voor de houckmaet van 18 tr.
Tbeslvyt. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 100000000, wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 36 tr. oock haer schilboochs | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 9]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 36 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 Werckstvck. 6 Voorstel.Dond de halfmiddellijn eens rondts 1000000000, Te vinden de langde der houckmaet van 30 tr. ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 30 tr. tot datmē comt op oneven eersten.
Want de sijde desgheschickten ses houcx, even is ande halfmiddellijn des rondts doende 1000000000, en̄ dat de selfde sijde des ses houcx is de peez eens boochs van 60 tr. soo doetse oock 1000000000, ende vervolghens de houckmaet des houckboochs van 30 tr. doet den helft van dien, te weten 500000000: Welcke bekent sijnde, soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen overal op oneven eersten comt, ghelijck de navolghende beschrijving van dien opentlick anwijst.
Tbeslvyt. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000, wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 30 tr. ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 30 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 10]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 Werckstvck. 7 Voorstel.Doende de halfmiddellijn eens rondts 1000000000: Tevinden de langde derGa naar margenoot⋆ houckmaet van 12 tr. oock de langde van haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving der selve 12. tr. tot datmen comt oponeven eersten.
Anghesien deur het 6 voorstel bekent is de houckmaet van 30 tr. met haer schilboochs houckmaet, oockdeur het 5 voorstel de houckmaet van 54 tr. met haer schilboochs houckmaet, soo wort deur het 3 voorstel bekent de peez des boochs van haer verschil doende 24 tr. ende bevondē van 415823384, diens helft voor de begheerde houckmaet van 12 tr. doet 207911692: Welcke bekent sijnde soo vintmen haer schilboochs houckmaet, ende men gaet voort mettet halven van dien als int 4 voorstel ghedaen is, te weten tot datmen overal op oneven eersten comt, ghelijck de navolghende beschrijving van dien opentlick anwijst.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 11]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tbeslvyt. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 1000000000, wy hebben ghevonden de langde der houckmaet van 12 tr. oock de langde van haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houcmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt de halving der selve 12 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Merckt.Alsmen de ghevonden houckmaten des voorgaende 4, 5, 6, ende 7 voorstels oirdentlick vergaert, men bevint datmense van 45 tot 45 ① altemael heeft: Om t'welck opentlicker by voorbeelt te doen blijcken, soo stellen wyse al vervolghende in deser voughen.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 12]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nv hebben wy hierwel een tafel der houckmaten van 45 tot 45 eersten, maer wantmen noch deur halvinghe noch aftreckinghe der voorgaende manieren, gheen ander houckmaten als die crijghen en can, eindende opgantsche eersten, soo sullen wy deur t'volghende, ander middel verclaren, eerst beschrijvende dit vertooch, t'welck ons tottet bewijs dienen sal. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 Vertooch. 8 Voorstel.Wesende int vierendeel rondts vande uytersten van even boghen ghetrockenGa naar margenoot⋆ hanghende linien op de | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 13]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
grontsijde: De hanghende naest de staende sijde, begrijpen de grootste deelen der grontsijde.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeel rondts wesen, ende daer in twee even boghen D E, E F, van welcker uytersten ghetrocken sijn de hanghende linien D G, E H, F I, op de grontsijde A C: Ende G H, H I sijn deelen der grontsijde begrepen tusschen de hanghende linien. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet deel H G naest de staende sijde A B, grooter is dant deel H I.  Tbereytsel. Laet ghetrocken worden de pezen der twee bogen D E, E F, ende op de selve als middellijnen beschrevē sijn de ronden D K E, E L F: Daer na E K rechthouckich op D G, ende F L rechthouckich op E H. Laet daer na beschreven worden het halfrondt B C M, oock D G, en̄ E H voortghetrocken sijn tot N en O, inden booch C M. Tbewys. Want de booch E N grooter is dan de booch F O, soo is den houck E D K grooter dan den houck F E L, daerom oock is de booch E K grooter als de booch F L, ende vervolghens haer peez K E, grooter dan de peez L F: Maer G H is even an K E, ende H I an L F, daerom G H grooter dan H I. Tbeslvyt. Wesende dan int vierendeelronts vande uytersten van even boghen, ghetrocken hanghende linien op de grontsijde, De hanghende naest de staende sijde, begrijpen de grootste deelen der grontsijde, t'welck wy bewijsen moeten. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 Werckstvck. 9 Voorstel.Doende de halfmiddellijn eens rondts 10000000: Te vinden de langde des houckmaets van 1 trap, ende haerGa naar margenoot⋆ schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 1 trap, tot datmen comt op oneven eersten.
Tghegheven. Laet A B C een vierendeelrondts wesen, diens middellijn A C doet 1000000000, ende B E sy houckbooch van 1 trap 30 ①, diens houckmaet D E doet als vooren blijckt 26176948. Laet voort B F doen 45 ①, ende B G 1 tr. daer na ghetrocken worden F H, en̄ G I rechthouckich op D E: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 14]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T'welck soo wesende, D H is houckmaet, oft immers even ande houckmaet van 45 ①, ende D I houckmaet van 1 tr. Laet voort de booch B F ghedeelt sijn in drie even deelen, mette punten K, L, ende den booch G E in twee even deelen mettet punt M, ende ghetrocken worden de linien K N, L O, M P, rechthouckich op D E.  Tbegheerde. Wy moeten hier mede vinden de langde der houckmaet van 1 tr. ende haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving der selve 1 tr. tot datmen comt op oneven eersten, ende dit van een rondt diens halfmiddellijn 10000000. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Twerck.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 15]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Om nv te vinden de hovckmaet des schilboochs eens traps, te vveten van 89 tr.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Om nv te vinden de hovckmaet van 30 ①.
Om nu te crijghen de volghende houckmaten van 15 ① tot 15 ① tottet einde des tafels, men soude daer toe comen deur t'vinden der schilboochs houckmaten, ende deur halving der vier voorgaende houckmaten, tot datmen overal comt op oneven eersten: Doch ghemerckt datter deur de voortganck der overschotten een lichter wech is, soo sullen wy die verclaren als volght: Laet tusschen de bekende houckmaten van 1 tr. ende van 1 tr. 30 ①. Dats tusschen 174524, ende 261769, te vinden sijn de houckmaet van 1 tr. 15 ①. Om daer toe te comen, ick stelnevens yder houckmaet haer overschot datse meerder is dan haer volghende houckmaet, als hier na. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 16]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Alwaer blijckt dattet tweede overschot 2, cleender is dant eerste, ende het derde overschot 3, cleender dan het tweede. Nu volghende desen voortganck, soo sal het vierde overschot van 1 tr. 15 ①, moeten 3 of 4 cleender sijn dan het derde, latet 3 sijn: Maer het derde overschot was 43628, het vierde dan sal moeten sijn 43625: Nu anghesien het vierde overschot soo veel moet doen, soo vergaer ick t'selve tot 174524 houckmaet van 1 tr. comt de houckmaet van 1 tr. 15 ①. 218149. Dese twee houckmaten stelick nu by d'ander, mettet overschot daer nevens, ende mijn tafel sal dan dus verre wesen:
Maer dat dese houckmaet van 1 tr. 15 ① recht is, daer verstreckt my noch dit tot proef toe: Het vijfde overschot te weten 43620, is 5 cleender dan het vierde overschot, na t'behooren. Ons tafel dus verre sijnde, soo restender noch de volghende houckmaten van 15 ① tot 15 ① ghevonden te worden, inde welcke men mette overschotten mach wercken ende voortvaren als boven: Doch tot noch meerder sekerheyt, sullen wy een reghel verclaren deur welcke bekent wort het overschot vande laetste houckmaet boven d'eerste, der twee onbekende houckmaten die tusschen twee bekende ghesocht worden. Laet by voorbeelt te stellen sijn de twee onbekende houckmaten van 1 tr. 45 ①, ende van 2 tr. dieder comen moeten tusschen de twee bekende houckmaten van 1 tr. 30 ①, ende 2 tr. 15 ①. Om hier te vinden het overschot des houckmaets van 2 tr. boven die van 1 tr. 45 ①, ick segh aldus:
Ende soo veel sal t'overschot der houckmaet van 2 tr. moeten sijn boven de houckmaet van 1 tr. 45 ①, ghelijck inde volghende tafelen oock te sien is. Na de boveschreven manier dan voortgaende, men sal een tafel hebben van 15 ① tot 15 ①, waer in comen al de houckmaten met haer schilboochs houckmaten spruytende uyt halving van een trap, tot datmen comt op oneven eersten. Beslvyt. Doende dan de halfmiddellijn eens rondts 10000000, wy hebben ghevonden de langde des houckmaets van 1 tr. en haer schilboochs houckmaet, metsgaders van al de houckmaten ende haer schilboochs houckmaten, spruytende uyt halving der selve 1 tr. tot datmen comt op oneven eersten, na den eysch. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Versekering op eenich tvvijffel dat vande voorgaende vvercking ymant ontmoeten mocht.Anghesien dat ymant voorvallen mocht te willen ondersoucken t'gene ick ondersocht heb, ende op dat ick van t'selve ondersochte met een gedach- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 17]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tenis behoude, soo sullen wy daer af wat verclaring doen. Het is dan te weten, dat ick verdocht hadde een manier van wercking, deur welcke men niet en soude hebben behouven te verliesen de twee laetste letters der halfmiddellijn, diemen in dit 9 voorstel verlooren heeft, waer toe mijn voornemen was tegheraken, met ghehalfde boghens houckmaten te vinden, soo lang gheduerende, tot dat de ghevonden houckmaet waer den helft des houckmaets van het dobbel haers boochs. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, wy sullen hier stellen de houckmaten ghevonden deur gheduerighe halving beginnende van 48 tr. tot datmen comt op 45 ①, welcke hier voren ghevonden sijn als hier onder.
Al waer blijckt dat elcke volghende houckmaet, by na den helft is van haer voorgaende, en hoemen langer met sulcke halving voortgaet, hoe elck den helft van sijn voorgaende naerder is, want naerder is 13089622 den helft vā sijn voorgaende 26176948, dan de selve 26176948 van sijn voorgaende 52335957, en alsoo voort met d'ander. Nu dan met sulcke halving voortvarende, ick heb de houckmaet des helfts van 45 ①, dats van 22½ ①, en van d'ander helften bevonden als hier onder.
Al waer blijckt dat elck den helft van sijn voorgaende niet ordentlick en naerdert, ghelijckmen sonder ondersouck der saeck wel soude vermoet hebben, want 204939 is meer dan den helft van sijn voorgaende, En̄ 102469 is den helft van sijn voorgaende, maer 54772 is wederom meerder, Inder vougē dat die ghetalen valsch sijn, want de houckmaten dier bogen sulcke langde niet en hebben. Om nu hier af d'oirsaeck te verclaren, die is dusdanich: Soo lang de pijl even of grooter is dan 500000000, helft der halfmiddellijn daer den pijl in elcke wercking me ghemenich vuldicht wort, soo lang isser sekerheyt tot op de laetste letter des houckmaets. Als by voorbeelt, soo den pijl waer van 500000000, even an de helft der halfmiddellijn, die twee ghetalen ghemenichvuldicht, en daer uyt de viercantsijde ghetrocken, sy soude doen 500000000. Maer soo den waren pijl ontrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest, ghelijckt d'ander pijlen ghebeurt, en ghedaen had, neem ick, 500000001, die ghemenichvuldicht met 500000000, en vanden uytbreng de viercantsijde ghetrocken, wort bevonden te wesen ten naesten oock van 500000000 alsvooren. En den pijl noch grooter sijnde, soo sal sulck verschil om stercker reden noch cleender vallen dan hier boven: Inder voughen dat wanneer (ghelijck wy gheseyt hebben) den pijl even of | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 18]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
grooter is dan 500000000, so lang isser sekerheyt tot op de laetste letter der houcmaet. Maer dien pijl cleender wesende, dan isser onsekerheyt, die met cleender en cleender pijlen meeerder en meerder wort. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, ick segh aldus: Doen gevonden wiert het boveschreven laetste getal van 54772, de pijl had gheweest 6, welcke ghemenichvuldicht met 500000000, quam 3000000000, diens viercantsijde de boveschreven 54771: Maer soo den waren pijl ontrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest (ghelijckt daer voor te houden is datse was) ick neem van 5, en daer me de reghel gevolght, die menichvuldigende met 500000000, comt 2500000000, wiens viercantsijde 50000 voor houckmaet, welcke veel verschilt van d'eerste ghevonden 54772: Dit soo wesende, en ghemerckt dat in al d'ander pijlen gheen acht ghenomen en is op sulcke haer cleenheyt, soo mochtet in twijffel ghestelt worden, of daer uyt gheen onsekerheyt der houckmaten in de voorgaende werckinghen ghevolcht en is: Om dit t' ondersoucken, en te bewijsen dat alles vast gaet, ick segh aldus: Doemen socht de houckmaet van 45 ①, men hadde pijl 342677, die ghemenichvuldicht met 500000000, en vanden uytbreng ghetrocken viercantsijde, de selve dede 13089633, doch latet sijn als hier boven na Regiomontanus schrijven 13089622. Maer soo den waren pijl ontrent de eenheyt grooter of cleender had gheweest, gelijckt oock daer vooren te houden is, ick neem 1 cleender, sy doet dan 342676, die ghemenichvuldicht mette 500000000, en vanden uytbreng de viercantsijde ghetrocken, wort bevonden ten naesten van 13089614, wiens twee laetste letters 14, een ander ghetal sijnde dan de twee laetste letters 22 of 33 hier boven, soo blijcket datter op die twee laetste letters der houckmaet van 45 ① gheen sekerheyt en was: Maer de selve twee laetste letters wierden om ander reden in dit 9 voorstel afghesneden, daerom de rest der letters als 130896, die inde tafel staen, sijn ten naesten de ware houckmaet des ronts, welverstaende, diens halfmiddellijn oock vande twee laetste letters vercort wiert. Angaende yemant twijffelen mocht dat de ware pijl meer dan een eenheyt cleender was dan 342677, ick neem 4 cleender, te weten van 342673, noch en soudet op de derde letter 6 gheen volcomen eenheyt verandering brenghen, want de selve 342673 ghemenichvuldicht met 500000000, en vanden uytbreng viercantsijde ghetrocken, sy doet 13089556: Nu dan hier deur gheen faute ghevallen sijnde opde aldercleenste houckmaet der ghene dieder ghevonden waren, te weten van 45 ①, soo en salder deur noch stercker reden, gheen faute sijn op al d'ander grooter houckmaten, want haer schilboochs pijlen grooter sijn. Men siet hier oock datmen de boveschreven twee laetste letters, niet alleen en moest verlaten om de redenen die int werck van dit 9 voorstel gebleken sijn, maer oock om dese laetste reden. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 Werckstvck. 10 Voorstel.Totte voorgaende ghevondenGa naar margenoot⋆ houckmaten van 15 ① tot 15 ①: Te vinden de ghebrekende houckmaten van eerste tot eerste.
Wy hebben int 9 voorstel ghevonden de houckmaet van 30 ① te doen 87265, ende van 15 ①, 43632, alwaer blijckt dat ghelijck de houckmaet doende 15 ①, den helft is vande houckbooch doende 30 ①, alsoo is diens houckmaet 43632, oock den helft van desens houckmaet 87265: Daerom sal door noch stercker reden (ghelijck bethoont can worden deur het 8 voorstel) 10 ①, sijnde | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 19]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
het derdendeel vande selve 30 ①, hebben een houckmaet wesende oock het derdendeel van 87265, te weten 29088: Ende vervolghens 5 ① sijnde het sestendeel van 30 ①, sal tot houckmaet hebben het sestendeel van 87265, te weten 14544: Sulcx dat my nu bekent sijn de drie eerste houckmaten van 5 ① tot 5 ①, te weten van 5 ①, 10 ① ende 15 ①. Om nu te vinden de houckmaten van 20 ① en̄ 25 ①, ick stelle de bekende met haer overschotten als volght:
Nv volghende de boveschreven reghel der overschotten des 9 voorstels, t'is kennelick dat de 20 ① sullen een houckmaet moeten hebben van 58177, ende de 25 ① van 72721. Ende soo voortgaende men sal een boochtafel crijghen van 5 ① tot 5 ①, ende dat tot 90 trappen toe. Inder voughen datter nu noch resten gevonden te worden de gebrekende houckmaten van eerste tot eerste: Om daer toe te commen ick segh aldus: Het blijckt hier boven dat gelijck de houckbooch doende 5 ①, helft is vande houckbooch doende 10 ①, alsoo is diens houckmaet 14544, oock den helft van deses houckmaet 29088, daerom sal door noch stercker reden (ghelijck bethoont can worden deur het 8 voorstel) 1 ①, sijnde het vijfdedeel vande 5 ①, hebben een houckmaet wesende oock het vijfdedeel van 14544, te weten 2909, ende vervolghens 2 ① sal hebben 5818: Voort 3 ① 8727, ende 4 ① 11636: Hier mede salmen deur bedeylinghe der overschotten meughen voortvaren alsboven. Doch tot noch meerder sekerheyt, sullen wy een reghel verclaren, deur welcke bekent wort het overschot vande derde houckmaet boven de tweede der vier onbekende houckmaten, die tusschen twee bekende ghesocht worden: Laet by voorbeelt te stellen sijn de vier onbekende houckmaten dieder commen moeten tusschen 87 tr. ende 87 tr. 5 ①: Om hier te vinden het overschot der ghesochte derde houckmaet van 87 tr. 3 ①, boven de ghesochte tweede houckmaet van 87 tr. 2 ①, Ick seg aldus:
Ende soo veel sal t'overschot der houckmaet van 87 tr. 3 ①, moeten sijn boven de houckmaet van 87 tr. 2 ①. De houckmaten alsoo altemael beschreven sijnde van eerste tot eerste, de tafel der houckmaten sal volmaeckt wesen ghelijck hier achter te sien is. Tbeslvyt. Wy hebben dan totte voorgaende ghevonden houckmaten van 15 ① tot 15 ①, ghevonden de ghebrekende houckmaten van eerste tot eerste, na den eysch. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||