Logo DBNL
Die conste vanden getale (1999)

Die conste vanden getale

(1999)–Marjolein Kool–rechtenstatus Auteursrechtelijk beschermd

Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen


Vorige Volgende

Hoofdstuk 3
De inhoud van de rekenboeken: de basis van de rekenkunde

In dit en her volgende hoofdstuk gaat het om de rekenkundige inhoud van de Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw. Welke kennis willen de auteurs op hun lezers overdragen? Een representatieve beschrijving van het vakgebied geeft het antwoord op deze vraag. Omdat de rekenboeken die voor dit onderzoek beschikbaar zijn in grote lijnen dezelfde inhoud en opzet hebben, is het mogelijk een beeld van de rekenstof van een gemiddeld rekenboek uit het vermelde tijdvak te schetsen. Daarnaast is er in deze twee hoofdstukken aandacht voor opvallende en uitzonderlijke zaken die in de afzonderlijke rekenboeken voorkomen. Door nieuwontdekte details en door de vele voorbeelden en citaten vormen de hoofdstukken een aanvulling op de studie van Smeur.1 Dat geldt met name voor de uitvoerige behandeling van de rekenregels.

De volgorde van de onderwerpen in de beschrijving van de rekenkunde komt grotendeels overeen met de volgorde die in de meeste rekenboeken wordt aangetroffen. De splitsing van deze beschrijving in twee hoofdstukken is gebaseerd op de in de rekenboeken gangbare tweedeling van de rekenkunde. In dit hoofdstuk wordt de basis van de rekenkunde behandeld: het lezen en schrijven van de Hindoe-Arabische cijfers en de rekenkundige hoofdbewerkingen. Na deze basis volgen in hoofdstuk 4 de toepassingen van de rekenkunde in de vorm van rekenregels, waarvan de regel van drieën de belangrijkste is. De rekenregels worden gebruikt bij het oplossen van allerlei vraagstukken. In sommige rekenboeken komen nog onderwerpen voor als omrekentabellen, worteltrekken en penningrekenen; deze zullen in dit hoofdstuk aan de orde komen. Enkele auteurs behandelen onderwerpen als reeksen, verhoudingen, algebra en de Welsche of Italiaanse praktijk,2 deze worden in hoofdstuk 4 besproken.3

3.1 Proloog

Vrijwel alle rekenboeken beginnen met een voorrede waarin het belang van die edel conste arithmetica4 breed wordt uitgemeten. Van der Gucht schrijft bijvoorbeeld in zijn woord vooraf:

Arithmetica, ... twelcke is
een vanden zeven vrie consten+
ende het fondament van
mathematica zonder welcke de
andere drie als geometria,+
astronomia, ende musica niet
begrepen en moghen werden.+5

Vertalingen of parafrases van klassieke citaten moeten de lofprijzing kracht bijzetten. Erg populair zijn een citaat van Augustinus:

Niemant en can hemelsche noch
aertsche dinghen gheweten hij
en moet eerst wel connen die+
conste van den ghetale.6

en een van Aristoteles:

Die niet rasch en sijn inder
tellingen die worden
versteken van allen consten.+7

Petri8 gebruikt een citaat van Isidorus:

Neempt dat ghetal van den
dinghen, soe verghaen sij.9

Van der Schuere schrijft een uitvoerige berijmde Ode op het tal-constboeck.10

In de gedrukte rekenboeken volgt na de lofprijzing van de rekenkunde vaak nog

een eerbiedige opdracht aan een of meer belangrijke personen. Van der Gucht begint zijn zend-brief met:

De edele, wijse ende zeer
voorzienighe heeren bailliu,+
schout, burgh-meesters,
schepenen, raeden, trezoriers+
ende hooft-mannen der stede
van Brugghe, Adriaen vander
Gucht weynscht gheluck ende
wel-vaeren.11

Wentsel richt zich tot de notabelen van de wel-vermaerde coop-stadt Middelburg12 Van der Schuere richt zijn opdracht in het Frans aan Govaert Willemsz. marchant en la tres-renommee ville d'Amsterdam.13 Van den Dijcke schrijft Aen de achtbare eersame discrete ende seer voorsienighe ... cooplieden van Antwerpen myne goetgunstighe heeren ende vrienden.14

De opdracht is mogelijk bedoeld om het aanzien van het werk te verhogen en het is niet uitgesloten dat degenen aan wie de opdracht gericht is, de publicatie van het boek financieel ondersteund hebben.15 Soms is een rekenboek uit vriendschap of bewondering aan iemand opgedragen. Van den Hoecke draagt in een Latijnse passage zijn werk op aan Guilhelmus Rhetius of Willem van Rethy, een premonstratenzer, die van ±1535 tot 1540 prior van de St. Michielsabdij te Antwerpen is. Van den Hoecke prijst Rhetius om zijn grote wiskundige kennis en schrijft dat hij een aantal keren wiskundige vraagstukken met hem besproken heeft. Drie jaar later, draagt ook Gemma Frisius zijn rekenboek aan Rhetius op.16

Het werk van Van den Hoecke is het enige Nederlandstalige rekenboek dat aan een ‘geleerde’ wordt opgedragen. In de andere rekenboeken is, als er al van een opdracht sprake is, deze gericht aan kooplieden en notabelen. Dit komt overeen met de doelstelling van de boeken: men wil praktische rekenkunde voor koop- en ambachtslieden beschrijven en men heeft niet de pretentie een wiskundige verhandeling voor ‘geleerden’ te schrijven.17

De meeste auteurs dekken zich in hun inleiding bij voorbaat in tegen eventuele kritiek op hun werk. Van Varenbraken:

Ende [ic] bidde een
yeghelyc meester vander
selver conste, dat zij mij+
niet scimpelijc en blameren
al waert dat sij vonden+
eenighe fanten in dese selve
conste, als ic hope datmen
niet en sal, nochtans
leerkinders haest faelgieren.+18

Van Halle verdedigt zich op rijm:

Ick bidts u al hebdy+
schoonder ghesien,
tis myn begin tmach noch
beter ghescien.
Daromme leest vry, hoort ende+
besiet.
Al vindy fout en berispt my
toch niet.
Isser ghefaelgeert int+
scryven, stellen oft werken,+
beteret metter pennen als+
rustighe clerken.
Ten is niet soe quaet men
macht wel hooren.+
Niemant en is metter cunst
ghebooren.19

Niet alle fouten die in een rekenboek voorkomen zijn de schuld van de auteur. Soms heeft de drukker zijn werk niet goed gedaan. Petri:

Dat aen sommighe plaetzen
puncten, buchstaven,+
dwersstreecke ende+
dierghelijcken verset ende+
uytghelaeten, oock in die+
orthographye doer den setter+
vergreepen, hier inne+
ghevonden wordt, wil een+
yeder voor sichselfst merken+
ende te rechte brenghen.+20

Stockmans richt zich in zijn inleiding tot den schimpers met:

Laet blijven u schimpighe
woorden en bijten.+21

Wentsel vaart aan het eind van zijn rekenboek woedend uit naar zijn collega's Ludolf van Ceulen en Felix van Sambeke die beweerd zouden hebben, dat hij een be-

paald interestvraagstuk in zijn boek met interesttabellen22 verkeerd zou hebben opgelost.23 Wentsel heeft het vraagstuk inderdaad niet goed opgelost, maar hij wil zijn ongelijk niet bekennen en berispt ook zijn vriend Anthony Smyters, omdat deze hem niet steunt in de kwestie. Meskens merkt op dat dergelijke twisten de rekenmeesters stimuleren om hun argumenten zoveel mogelijk te verduidelijken en in die zin zijn ze een eerste aanzet tot een soort van bewijsvoering.24 Dit is mogelijk, maar in de Nederlandse rekenboeken worden verder geen sporen van twisten, debatten of discussies aangetroffen. Argumenten en bewijzen spelen in de rekenboeken geen enkele rol.

3.2 ‘Gehele’ getallen

In het eerste gedeelte van de rekenboeken worden de hoofdbewerkingen voor de ‘gehele’ getallen behandeld.25 Ook het rekenen met munten, maten en gewichten wordt in dit gedeelte uitgelegd. Het rekenen met breuken volgt later.26

Het aantal behandelde hoofdbewerkingen varieert per rekenboek.27 Enkele auteurs onderscheiden zeven hoofdbewerkingen: numeratie, optellen, aftrekken, halveren, verdubbelen, vermenigvuldigen en delen.28 In de meeste rekenboeken worden halveren en verdubbelen niet uitgelegd; er komen dan dus in het totaal vijf hoofdbewerkingen voor. Helmduyn29 merkt op:

Dit alsdan wetende, salmen+
seer lichtelijcken met die+
Specien leeren wercken, dier+
seven in ghetalle zijn, maer+
niet dan vijf principale.+30

Enkele auteurs tellen in hun rekenboeken slechts vier hoofdbewerkingen. Zij zonderen namelijk numeratie uit. Van Halle:

Int sypher syn 4 specien...+
ende niet 7 ghelijck als die+
andere boexkens hebben.31

3.2.1 Numeratie

In het hoofdstuk numeratie wordt uitgelegd hoe men de Hindoe-Arabische cijfers moet lezen en schrijven. Pijck:32

Numeratio, het beghinsel van+
arithmetica, leert alle
getalen ende sommen met hare+
behoorelycke figuren ende
letteren te schriven ende de+
selve sommen ofte getalen als
sy geschreven zijn, uut te
spreken of die te verstaen
wat sy weerdich zijn.+33

In Latijnse rekenboeken vindt men in het hoofdstuk numeratie herhaaldelijk stukjes getallenleer. Bijvoorbeeld een definitie van getal en een bespreking van de vraag of nul en een al dan niet getallen zijn. Ook worden er getallen in allerlei groepen ingedeeld.34 In de Nederlandstalige rekenboeken is dit niet gebruikelijk. Slechts Van der Schuere gaat kort op dit onderwerp in. Getallen definieert hij als volgt:

Ghetallen zijn daer door de
menichte van eenich dinck
verclaert wort. Als door een+
werdt verclaert de menichte
van een eenich, door twee de+
menichte van twee eenighen,
door drie de menichte van
drie eenighen ende soo voort
alle andere.35

Over het getal nul schrijft Van der Schuere:

O die men ‘nullo’ - dat is
gheen - noemt, gheen ghetal
ofte niet van haer selven,+
maer een behulp der ander+
ghetallen ende om te vollen+
de ledighe plaetse daer+
gheen ander figuer en comt+
te staen.36

Bij Van der Schuere is er echter geen sprake van een apart hoofdstuk over getal-

lenleer. De enige Nederlandstalige auteur die dit onderwerp wel uitgebreid, in een apart hoofdstuk, aan de orde stelt, is Van Halle.37

In de overige rekenboeken houdt numeratie uitsluitend het leren lezen en schrijven van Hindoe-Arabische getallen in. De enige indeling van getallen die in vrijwel alle rekenboeken wordt gemaakt is die in eenheden, tientallen en samengestelde getallen, respectievelijk digiten, articulen en compositen genoemd. Deze traditionele indeling speelt in de rest van de behandelde rekenkunde geen rol meer.38

De nul krijgt relatief veel aandacht, waarschijnlijk omdat het voor leerlingen die uitsluitend de Romeinse cijfers kennen een nieuw fenomeen is. Bij het traditionele rekenen met penningen en in het Romeinse cijfersysteem komt voor nul geen symbool voor. Bij het rekenen met Hindoe-Arabische getallen, waar de waarde van de cijfers door hun plaats bepaald wordt, wordt voor nul een symbool ingevoerd dat bovendien een dubbele betekenis heeft. Enerzijds betekent het niets, anderzijds kan de nul de waarde van een getal veranderen als deze daaraan toegevoegd wordt. In het voorgaande citaat van Van der Schuere is die dubbelfunctie vermeld. Van Varenbraken schrijft over de nul:

Ende tot desen dygyten oft+
neghen letteren doetmen een+
O, de welcke O in haer selven
niet en doet, maar sy doet+
dese neghen letteren doen+
-yeghelijc dit wel
verstaende- tien werf meer+
dan sy in haer selven doen+
ende dan heetmense articulen.+39

Door de nul in de articulen te vervangen door een van de digiten ontstaan de compositen:

Ende van dese digyten ende+
articulen worden ghemaect+
compositen. Ende men maectse+
aldus: men set die digiten in
die stede van der O.+40

Als het principe van het Hindoe-Arabische getalsysteem is uitgelegd, wordt het onmiddellijk toegepast op zeer grote getallen. Van Varenbraken legt bijvoorbeeld uit hoe een getal van 18 cijfers gelezen moet worden.41 Zie figuur 3.1. Van der Gucht behandelt zelfs een getal van 30 cijfers.42

Verschillende auteurs gebruiken de term duusentduust voor miljoen.43 Dat maakt het uitspreken van grote getallen nogal onoverzichtelijk, zoals bijvoorbeeld blijkt uit het volgende citaat van Van den Hoecke:

9876543210, segghet: neghen+
duysent duysentwerf duysent+
achthondertwerf duysentduysent+
sessentseventich werf
duysentduysent
vijfhondertduysent drie en
veertich duysent tweehondert
ende thiene.44


illustratie
Figuur 3.1. Schema met de plaatswaarden van de cijfers in een getal.45


Struik onderzocht de wijze waarop het woord millioen in de Nederlandse taal is ingeburgerd.46 Volgens hem komt het pas in 1589 voor de eerste keer in een Nederlandstalig rekenboek voor. Dat zou in het rekenboek van Stockmans zijn, aangenomen dat de editie van 1589 met die van 1609 overeenstemt.47 Deze bewering is niet juist. Het woord millioen komt namelijk al in 1510 voor in het hoofdstuk over penningrekenen in D-Man-1510 en eveneens in de rekenboeken H-GeU-1532, H-BKB-1568, D-Guc-1569 en H-TSB-1578.

Volgens Struik blijven de geleerden zich langer tegen de term verzetten dan de rekenmeesters. In het Latijnse rekenboek van Gemma Frisius komt de term inderdaad niet voor. Mogelijk beschouwde hij, net als zijn collega's, het woord als een onwetenschappelijke volksterm. Cardanus schrijft in zijn Practica Arithmetica van 1537:

Milliaria millium quae vulgo
milliones appelantur.+48

Cardanus woonde in Italië, waar de term al halverwege de veertiende eeuw in de volkstaal voorkwam. Van Varenbraken verwerpt in zijn rekenboek het woord millioen om didactische redenen; duusentduust vindt hij duidelijker:

Nu tellen sommighe aldus ende
segghen: ‘Eenmilion tienmilion
hondertmilion duustmilion...’+
Maer dit en es mijn maniere
niet, maer mijn maniere+
machmen beter verstaen.+49

De auteurs die wel kiezen voor het woord millioen, hebben ook niet veel moeite met ‘nieuwe’ benamingen voor nog grotere getallen, zoals blijkt uit het volgende overzicht:

D-Guc-1569
H-BSA-1584		 H-TSB-1578 D-Dij-1591 D-Sch-1600
1012 miliote milliart billion bimillioen
1018 milioen miliote   trillion trimillioen
1024 miliote miliote   quatrillion quadrimillioen
1030     quintillion  
1036     sextillion  
1042     septillion  
1048     octillion  
1054     novillion  

Pijck en Van Halle tekenen in grote getallen na elke 3 cijfers een verticaal streepje, om de leesbaarheid van het getal te vergroten.50 Van Halle schrijft hier over:

Aldus machmen voorts van alle
andere ghetalen ofte summen
doen, hoe groot dat sy oock+
souden moeghen weesen. Maer
ghemeyneleyken en coempt
egheene rekeninghe booven die
vier linikens.+51

In verschillende rekenboeken komen naast Hindoe-Arabische cijfers ook incidenteel Romeinse cijfers voor. In D-Man-1508 zijn de getallen van 1 tot en met 38 in Romeinse en Hindoe-Arabische cijfers genoteerd.52 Heyns gebruikt in zijn rekenboek op de linkerpagina Romeinse cijfers en rechts Hindoe-Arabische, vermoedelijk om zijn leerlingen met beide systemen vertrouwd te maken.53 Heyns, Van Halle, Van den Dijcke en Stockmans gebruiken in een schema een bijzondere mengvorm van de traditionele Romeinse cijfers met het ‘moderne’ plaatswaarde-systeem.54 Zie figuur 3.2.



illustratie
Figuur 3.2. Het gebruik van Romeinse cijfers om de uitspraak van Hindoe-Arabisch getallen uit te leggen.55


Van der Gucht combineert telwoorden met Romeinse cijfers om de plaatswaarden van 1 tot en met 1030 uit te spreken. Zo geeft hij bijvoorbeeld 1030 weer met C.M. miliote miliote.56 Van den Hoecke gebruikt Romeinse cijfers uitsluitend in het colofon om het jaartal weer te geven.57



illustratie
Figuur 3.3. De oude cijfervormen.58


Van Halle, Van der Gucht en Pijck geven voor de cijfers 4, 5, 7 en 8 nog een alternatieve schrijfwijze.59 Zie figuur 3.3. Het zijn de oudere cijfervormen, die aanvankelijk in West-Europa in gebruik waren. De cijfers 4, 5 en 7 kregen in de veertiende eeuw in Italië hun moderne vorm. Deze vorm heeft zich in de loop van de vijftiende eeuw mede door de boekdrukkunst in de overige landen van Europa verspreid.60 In het rekenboek van Van der Gucht verschijnen de oude vormen zelfs in

druk. Alle drie de auteurs laten de oude vormen zien, maar gebruiken ze verder niet.

3.2.2 Optellen

Vrijwel elke hoofdbewerking wordt ingeleid door een soort definitie. Van Varenbraken begint zijn uitleg over optellen als volgt:

Additio es... om te adderen,+
dats om te samen te bringhen
drie oft vier sommen tot+
eender sommen.61+

De zestiende-eeuwse methode van optellen komt overeen met de huidige manier van cijferend optellen. De getallen worden onder elkaar geplaatst en kolomsgewijs opgeteld. Sommige auteurs tellen van boven naar beneden, anderen van beneden naar boven, zoals bijvoorbeeld Van der Gucht:

... beghinnende ter
rechterhand ende van onder
upwaerts.+62

Stockmans telt ook van beneden naar boven, maar bij het controleren van zijn berekeningen werkt hij in omgekeerde richting.63

De meeste auteurs beginnen hun uitleg met een eenvoudige optelling waarbij nog niet onthouden hoeft te worden. Daarna volgt een moeilijker voorbeeld. Petri behandelt de navolgende optelling waarin wel onthouden moet worden:

Omme te addeeren 457 met 683,+
soo settet deene somme recht+
onder dander.64


illustratie
Figuur 3.4. Optelling.


De som van de cijferkolommen overschrijdt de 9 en er moet dus een getal naar de volgende kolom getransporteerd worden. De voorbeelden worden geleidelijk aan moeilijker, dat wil zeggen dat er meer en grotere getallen opgeteld worden.

Als het optellen met ‘kale’, dat wil zeggen onbenoemde getallen genoeg geoefend is, volgen de berekeningen met munten, maten en gewichten. Deze berekeningen kunnen door het ontbreken van decimale munten en maten soms behoorlijk ingewikkeld zijn. Van Varenbraken telt bijvoorbeeld vier geldbedragen op die Jan, Pieter, Willem en Wouter schuldig zijn.65 Zie figuur 3.5.



illustratie
Figuur 3.5. Optelling van vier geldbedragen.


Op de eerste regel staat: Jan es my sculdich 32 ponden 12 schellingen 9 penningen 16 miten. Om deze optelling uit te kunnen voeren, worden eerst alle muntsoorten afzonderlijk opgeteld. Dat levert de proefsomme op van 131 ponden 64 schellingen 38 penningen en 75 miten. Deze proefsomme wordt eerst gecontroleerd op rekenfouten en daarna gereduceerd, dat wil zeggen dat de verschillende muntsoorten in grotere eenheden omgerekend worden. Daarvoor gebruikt men de volgende gegevens: 1 penning = 24 miten, 1 schelling = 12 penningen, 1 pond = 12 schellingen. Uiteindelijk blijkt na reductie van de proefsomme dat de totaalsomme in deze optelling gelijk is aan: 134 ponden, 7 schellingen, 5 penningen en 3 miten.

De meeste auteurs maken geen gebruik van proefsommen. Nadat een kolom is opgeteld, wordt er meteen overgedragen naar de volgende kolom.

Het optellen met munten, maten en gewichten wordt in de meeste rekenboeken intensief geoefend. Stockmans geeft bij zijn uitleg over optellen acht vraagstukken met verschillende muntsoorten, zes vraagstukken met verschillende inhoudsmaten en zestien vraagstukken met verschillende gewichten.66 Van der Schuere geeft zelfs een voorbeeld waarin tijd wordt opgeteld.67 Zie figuur 3.6.



illustratie
Figuur 3.6. Optelling van tijden.68


Van den Hoecke behandelt het optellen en aftrekken van munten, maten en gewichten in een apart hoofdstuk. Hij begint daarmee als de hoofdbewerkingen voor de gehele getallen alle vier behandeld zijn.69

Pijck is de enige auteur die optellingen behandelt waarbij de som gegeven is en een van de termen gevraagd wordt:70

Vindt mij een getal alsmen
daer toe doet 17 dat maken+
31.+71

Enkele auteurs behandelen voor elke hoofdbewerking de manier waarop die hoofdbewerking tijdens het rekenen benoemd wordt.72 Van den Hoecke schrijft over het taalgebruik bij optellen:

Die maniere van te Spreken:+
Hebt altijt inden mont dat
woort ‘ende’ oft ‘tot’, als+
3 tot 4, oft 4 ende 3, maken 7.73

3.2.3 Aftrekken

Van Halle begint zijn uitleg als volgt:

Substractio oft aftreckinghe+
leert substraheren ofte+
aftrecken. Dat is te wetene
een somme uut de andere te
trecken, om te weten hoe veel+
datter blijft oft welke somme+
van beijden datter meerder is.+74

Evenals het optellen wordt ook het aftrekken op dezelfde wijze uitgevoerd als thans gebruikelijk is. De aftrekker wordt onder het aftrektal geplaatst en kolomsgewijs van rechts naar links afgetrokken. Van Varenbraken schrijft:

Set die betalinghe recht met+
elcker letter onder elck+
letter vander scult, zo dat
elc een, elc tien, elc+
hondert onder mercanderen+
compt.75

Het aftrekken wordt in de meeste rekenboeken geoefend met vraagstukken waarin van het aflossen van schuld sprake is. Van Varenbraken behandelt bijvoorbeeld het volgende vraagstuk:

Jan Niemant es my sculdich
8684 ponden grote ende hier
op heeft die selve man my+
betaelt 5462 ponden grote.+
Ic vraghe nu, hoe veel my
dese man nu noch sculdich
blijft.
Scult 8684
Betaelt 5462
Reste 322276

Na het eenvoudige aftrekken volgen aftrekkingen waarin geleend moet worden. Raets berekent 5428 - 436. Zie figuur 3.7.

Om te substraheren 436 van+
5428 sedt... 5428 boven 436
... Nu beghint te substraheren


illustratie
Figuur 3.7. Aftrekking.


6 van 8 ende daer sullen
resteren 2, die sedt onder 6.
Daer na substraheert 3 van 2,
dwelc is onmoghelijc. Daerom
soo trect van het naeste
ghetal 4 een, soo doen die 2
waer aen ghesedt 1, 12. Hier+
van substraheert die 3 ende
daer sullen resteren 9, die
sedt onder 3. Ende omdatter
van 4 afghetrocken is 1, so
en is die 4 maer 3. Hier van
substraheert 4 ende tis ooc
onmogelijc. Daerom doet als
voren: trect 1 van het naeste
getal, te weten van 5, ende
die selfste 1 sedt aen die 3,+
aldus 13. Hier van trect die
4, soo resteerter 9, die set
onder 4. Ende om datmen van
die 5 heeft getrocken 1, soo
salmen voor die reste setten+
4 onder de 5. Soo is de reste+
4992.77

In de meeste rekenboeken gebeurt het lenen door in de naaste kolom het aftrektal met 1 te verminderen, zoals in het voorgaande citaat. In andere rekenboeken gebeurt het ook wel door in de naaste kolom de aftrekker met 1 te vermeerderen.78 Van der Gucht en Pijck behandelen beide methodes.79 Van der Gucht:

Maer alzo dicwils als dat
gheschiet, so dicwils moetmen+
an de naestvolghende onderste
een meer rekenen dan zy
weerdich is, ofte an zijn
upperste een min.+80

Bij Van den Hoecke wordt het complement van de aftrekker bij het aftrektal opgeteld en 1 bij de aftrekker in de volgende kolom. Bijvoorbeeld bij de berekening van 9721 - 6892:

Nu trect 2 van 1. Dat en mach
niet zijn. Maer ic neme 2 van+
10, so blijft 8. Ende 1, dat
is tghetal van welck ghi 2
niet en const ghetrecken,
daeraf coemt 9. Die sedt+
onder 2. Voort addeert 1 tot
9, coemt 10.+81

Tevens behandelt Van den Hoecke nog een voorbeeld waarin het aftrektal van links naar rechts wordt afgetrokken.

Het aftrekken van munten, maten en gewichten krijgt in de meeste rekenboeken uitgebreid aandacht. Het lenen is bij dit soort vraagstukken gecompliceerder omdat het afhangt van de waarde van de munt, de maat of het gewicht hoeveel er geleend wordt. Van Varenbraken trekt bijvoorbeeld twee geldbedragen van elkaar af, die elk uit vier verschillende muntsoorten bestaan:82

Schult 334 ponden 13 schellingen 9 penningen 13 miten
Betaelt 298 ponden 19 schellingen 10 penningen 16 miten
Reste

Voordat de aftrekking kan plaatsvinden, moet er eerst geleend worden. 1 pond = 20 schellingen, 1 schelling = 12 penningen, 1 penning = 24 miten. Vervolgens wordt dan de aftrekking aldus:

Schult 333 ponden 32 schellingen 20 penningen 37 miten
Betaelt 298 ponden 19 schellingen 10 penningen 16 miten
Reste 35 ponden 13 schellingen 10 penningen 21 miten

Uit figuur 3.8 blijkt dat Van Varenbraken in zijn berekening een fout heeft gemaakt. Hij houdt 11 penningen in de Reste over, terwijl het er 10 moeten zijn.



illustratie
Figuur 3.8. Aftrekking van geldbedragen.


Het taalgebruik bij aftrekken is als volgt. Pijck:

Ende dit es spreeckwoort van
dese specie: ‘van’ oft ‘uut’.+
Seggende: twee van ses blijft
4, oft 2 uut 6 blijft 4.+83

Negatieve getallen spelen in de rekenboeken geen rol. Van den Hoecke vermeldt bij het aftrekken:

Het onderste getal en sal
niet meerder zijn dan dat
opperste, maer si mach haer
wel ghelyc zijn.+84

Van der Gucht adviseert om in het geval dat het bovenste getal kleiner is dan het onderste, de zaak om te keren en het bovenste getal van het onderste af te trekken, zodat men kan zien - indien er sprake is van het aflossen van een schuld - hoe groot het bedrag is dat te veel is betaald:

Ware zy minder, zoo zoude zy+
zelve vanden ondersten
behouven ghetrocken te zijne,+
waeraf overschot commen zoude.+85

Zie bijvoorbeeld figuur 3.9.86



illustratie
Figuur 3.9. Aftrekking waarbij een ‘negatieve’ uitkomst ontstaat.87


Pijck behandelt ook bij het aftrekken weer een aantal vraagstukken die in geen enkel ander rekenboek zijn aangetroffen:

Vindt mij een getal dwelck
alsmen aftrecke 17, dat
blijve 15. Dwelck es 32.88

Int jaer ons heeren 1581 een
man gevraecht zijnde hoe out
hij ware, heeft geantwoort:
‘Ick ben geboren int jaer ons
heeren 1542, inde selfste
maent daer wij nu in zijn’.
Vrage, hoe out hij was.89

3.2.4 Halveren en verdubbelen

De hoofdbewerkingen halveren en verdubbelen komen slechts in enkele rekenboeken voor. Van Varenbraken en Van der Gucht behandelen eerst halveren en daarna verdubbelen.90 Anderen beginnen met verdubbelen. Creszfelt91 ziet niet in waarom hij halveren en verdubbelen als aparte hoofdbewerkingen zou behandelen, omdat...

...dubelyren niet anders is+
dan mit twee multiplicyren+
unde medieren niet anders als+
mit 2 dividieren.+92

Van Halle sluit zich hier bij aan:

Waert dat saeke dat duplatio
een verscheiden spetie [ware]
van der multiplicatie, soo+
soude oock triplatio,+
quadruplatio, quintuplatio+
ende alsoo voorts verscheyden+
spetien sijn.+93

Desondanks behandelt hij een aantal verdubbelingsvraagstukken. Ook Van der Gucht onderkent de overeenkomst met vermenigvuldigen en delen, maar vindt het blijkbaar toch belangrijk om apart aandacht te besteden aan halveren en verdubbelen:

De vierde specie es ghenaemt+
mediatie ende es eensdeels+
een maniere van divisie+94

Wentsel behandelt het halveren en verdubbelen niet:

Wanttet onder de handt,+
ontrent den exempelen,
genoechsaem gheleert wordt+
aldaer tselve nootsakelicken
voorvalt.+95

Situaties waarin halveren of verdubbelen nootsakelicken voorvalt liggen in de rekenboeken niet voor het oprapen.96 Het behandelen van halveren en verdubbelen als aparte hoofdbewerkingen is mogelijk een kwestie van traditie.97

Van Varenbraken begint zijn uitleg over halveren als volgt:

Mediatie en es anders niet,+
dan een somme te middelen oft+
in tween te deelend.98

En bij verdubbelen schrijft hij:

Duplicatio... en es anders
niet te segghen, dan om te+
dobbileren alle sommen alzo+
hooghe ende menich werf als+
men wille.99

Halveren gebeurt van links naar rechts. Bij deze bewerking speelt het onderscheid tussen even en oneven getallen een rol. Van Varenbraken gaat ervan uit dat zijn leerlingen dit onderscheid wel kennen. In D-Man-1508 wordt het uitgelegd:

Oft dye somme ghescreven es
met cyffren die effen ghetal
beteekenen, als .2.4.6. oft+
.8., so suldy dye somme
medieren als ic u boven+
geleert hebbe.100

Als er een oneven cijfer in het getal voorkomt, wordt de ongedeelde 1 als 10 bij het volgende cijfer opgeteld. Van Varenbraken:

Jan ende Pieter moeten elck
hebben die helft van deser
sommen: 3579 waghen caes. De+
vraghe es, hoe veel elc sal
moeten hebben voor sijn+
paert... Exemplum, doet die+
lettere 3, so neempt die+
helft van 2 ende is 1. Ende
dus rester 1 van 3 ende die
eene set boven die selve 3.+
Welcke onghedeelde 1 doet in
haer selven 10. Nu addeert+
oft neempt die naeste 5 tot
die 10 ende compt 15 tsamen.+101

Als een oneven getal gehalveerd wordt, ontstaat er een breuk.

In het rekenboek van Van Varenbraken is dat geen probleem, daar zijn namelijk al eerder breuken aan de orde geweest, maar in verschillende rekenboeken komen bij halveren breuken voor, voordat ze ‘officieel’ behandeld zijn. Soms kan dit voortijdig rekenen met breuken al tamelijk ingewikkeld zijn, bijvoorbeeld in vraagstukken waarin sprake is van herhaald halveren.

 

Herhaald halveren en herhaald verdubbelen worden vaak aan het eind van de uitleg van halveren en verdubbelen behandeld. Als de som van een reeks halveringen of verdubbelingen moet worden bepaald, wordt er eigenlijk al vooruit gelopen op het hoofdstuk over reeksen, Progressio. Pijck berekent bijvoorbeeld de som van een reeks verdubbelingen met een regel die in moderne notatie uitgedrukt kan worden door:

n
∑ 2k = 2n+1 - 1
k=0
Additie van dobbeleringen+
... is maer noch eens te
dobbeleren de onderste somme
ende 1 min.+102

Herhaald halveren en herhaald verdubbelen worden vaak toegepast in vraagstukken die qua inkleding nogal gekunsteld aandoen. Zoals bijvoorbeeld dit vraagstuk uit het rekenboek van Van der Gucht:

Een man vraechde eenen
anderen, hoe veel hy zynen
tabbaert ofte keerle wilde+
vercoopen, up zulcke
conditien dat hy vande somme+
die hy nomen zoude, altijts+
de helft afcorten zoude tot
32 reysen toe ende datter dan+
resteerde, datzoude hy voor+
zijn keerle hebben. Ende den
man gafze voor 1491308 ponden+
1 schelling 9 grooten ende 8
myten Vlaemsch. Nu is de
vraghe, hoe vele die man voor
zijn keerle moeste hebben.103

Het volgende voorbeeld is afkomstig uit het rekenboek van Van Halle:

Daer is een joncker die
gheerne wat fraijs hadde van
een jonckfrauwe, de welke hem
antwoordet dat sijt gheerne
doen soude, maer dat die+
joncker ierst doen sal dat+
die jonckvrauwe Op hem
begheert. Te weeten, dat hy+
ghaen sal in eenen hof daer 3+
poorten syn ende aen elke
poorte eenen portier ende
haelen haer daer uut een+
roose. Die welke ghaet ende+
pluckter soe veele als hi
wilt. Int wederom coemende,
den iersten portier heischt
van hem die drije vieren
deelen, segghende: ‘Gheeft+
my de helft van tghene dat
ghi draecht ende de helft van
dander helft’. Daer naer den
tweeden ende den derden
heebben ghedaen desghelijcx+
ende als die joncker uut die
poorten quam en brenght hi
maer juyst een roose. Nu is+
te wetene hoe veel roosen dat+
hij inden hof plucte.104

Van Varenbraken behandelt het volgende vraagstuk:

Een man heeft ghecocht een
keerlelaken voor 512 ponden+
grote, de selve somme 9 werf
de helft afghesleghen ende+
datter daer en tenden bleve,+
soude de vercooper hebben
voor zyn laken. Ic vraghe:
Hoe veel soude die somme+
bedraghen? Solutio: medieert+ die selve somme 9 werf.+105


illustratie
Figuur 3.10. Een bedrag wordt negen keer gehalveerd.106


Vraagstukken over herhaald verdubbelen en halveren met een meer realistische context komen in de rekenboeken niet voor.

3.2.5 Vermenigvuldigen

Van den Hoecke beschrijft vermenigvuldigen als volgt:

Multiplicatie is deen ghetal+
vermenighen met een ander+
ghetal. Dat is also veel als
den multiplicateur oft
multipliceerder in hem selven
bevangt, so menichwerf te+
augmenteren oft
menichfuldighen den nommer+
den welcken ghemultipliceert
moet werden.+107

Voorafgaand aan de uitleg van vermenigvuldigen worden de tafels van vermenigvuldiging gegeven. In de meeste rekenboeken worden de tafels in een vierkant schema weergegeven. De afmetingen variëren van 10 × 10 tot 13 × 13.108 Het ge-

bruikelijkst is het schema waarin de tafels tot 12 × 12 zijn opgenomen zoals bij Van Varenbraken.109 Zie figuur 3.11.



illustratie
Figuur 3.11. Tafels van vermenigvuldiging.110


In H-GeU-1592 komt een rechthoekig schema voor van wel zeer bijzondere afmetingen. Het bevat de tafels tot 17 × 27 en ook hier krijgt de lezer het advies deze tafels uit het hoofd te leren.111

Van der Gucht en Pijck geven vier verschillende vierkante schema's.112 Het eerste is het bekende met de tafels tot 12 × 12. Het laatste bevat de tafels van 13 tot en met 20. Tamelijk overbodig lijken de middelste twee schema's. In het ene staan de tafels van 10, 20, 30, ...., 90. In het andere de producten van 10 × 10, 10 × 20, 10 × 30, ..., 90 × 90, in sommige rekenboeken komen de tafels van vermenigvuldiging in kolomvorm voor.113 Zie figuur 3.12.



illustratie
Figuur 3.12. Tafels van vermenigvuldiging in kolomvorm.114


Van Halle geeft ook nog een driehoekige tabel.115 Zie figuur 3.13. Het vermenigvuldigen gebeurt in de meeste rekenboeken cijferend onder elkaar op de manier zoals dat thans nog steeds gebruikelijk is. Het enige verschil is dat rechts van de tussenproducten in de berekening geen nullen genoteerd worden, maar plaatsen opengelaten worden, wat in principe op hetzelfde neerkomt.



illustratie
Figuur 3.13. Tafels van vermenigvuldiging in een driehoekig schema.116


Van der Schuere vermenigvuldigt bijvoorbeeld als volgt:

Multiplicatio met twee+
figueren. Als ghy met+
d'eerste ghemultipliceert
hebt, soo vooren gheleert is,+
multipliceert dan insghelijcx+
met de tweede, maer stelt het+
product een figuere+
innewaerts, nae de
slinckerhandt. Addeert dan+
beyde de producten t'samen.+
Op sulcker maniere doet ooc
met 3. 4. ofte meer figueren,+
stellende t'elcken een
figuere innewaerts.117

Zie figuur 3.14.



illustratie
Figuur 3.14. Vermenigvuldiging met ‘proef’.


Berekeningen met munten, maten en gewichten die in het hoofdstuk over vermenigvuldigen voorkomen, zijn er alle op gericht om grotere eenheden om te rekenen in kleinere. Van der Schuere:118

345 ponden 13 schellingen 6 penningen.
Hoeveel penningen zijn dat?


illustratie
Figuur 3.15. Een geldbedrag omrekenen in een kleinere munteenheid.119


In sommige rekenboeken wordt het complementaire vermenigvuldigen uitgelegd. Het voordeel van deze methode is dat men slechts de tafels tot en met 5 × 5 uit het hoofd hoeft te kennen. De methode van Van der Gucht zou men met de volgende regel kunnen weergeven: ab = 10(a + b - 10) + (10 - a)(10 - b).

Hij berekent 7 × 7 aldus:

Om dit te doene, zo stelt
alle beede de figuren vanden
ghetale onder elckanderen+
ende zeght van 7: ‘Wat rester
tot 10?’ Dats 3. Daeromme+
stelt 3 neffens 7 ter+
rechterhand. Inschelijcx doet+
met de tweetste figure. Dan
multipliceert deerste 2
figuren onder elckanderen
staende ter rechterhand,+
twelck zijn 3/3 ende comt 9.
Stelt die daer onder ende+
dan addeert dander 2 figuren
onder elckanderen staende ter
slijnckerhand, dats 7/7, comt+
14. Daeraf cort de 10, comt 4.+
Die stelt onder neffens de 9
ter slijnckerhand ende zo
vele es 7 reysen 7 ende es+
ghemaeckt. Doet alzo van
allen anderen als ghi de
tafelen niet wel en weet van
buten of datze ghij bij u+
niet en hebt.120

In figuur 3.16 is te zien hoe de berekening eruitziet.



illustratie
Figuur 3.16. Complementair vermenigvuldigen van 7 × 7.121


Van Halle schrijft dat deze methode geschikt is voor factoren die groter dan of gelijk aan 5 zijn:

Men moet weeten dat die
vingherghetalen tsamen thien+
doen moeten Oft meer, anders+
en is die reghule niet goet.122

Ondanks deze waarschuwing berekent hij toch 5 × 4.123 Zie figuur 3.17.



illustratie
Figuur 3.17. Complementair vermenigvuldigen van 5 × 4.


Wellicht heeft hij de regel aangepast.

In moderne notatie: ab = 10(a + b) + (10 - a)(10 - b) - 100.

Maar dan zou de vermenigvuldiging 2 × 3 ook complementair mogelijk moeten zijn. Van Halle schrijft echter:

Twee mael drye... ten duech
niet.+124

Het voordeel dat de tafels boven 5 × 5 niet gekend hoeven worden, valt weg als men, zoals Van Halle, het complementair vermenigvuldigen gaat toepassen als beide factoren 5 of minder zijn, of als dat geldt voor een van de factoren.

Van der Gucht125 behandelt nog vijf andere vermenigvuldigmethoden, die alle op hetzelfde basisprincipe neerkomen. Het onderscheid zit hem in de notatie. In de eerste variant zijn de cijfers van de vermenigvuldiger van links naar rechts ge-

bruikt zodat het grootste tussenproduct bovenaan staat. Van den Hoecke126 behandelt deze variant ook. In de tweede en de derde variant zijn de tussenproducten diagonaal genoteerd. Ten slotte zijn in de rechthoekige schema's van de vierde en vijfde variant alle tussenproducten volledig genoteerd zodat er tussentijds geen cijfers onthouden hoeven worden, zoals te zien is in figuur 3.18.127



illustratie
Figuur 3.18. Vermenigvuldiging: 678678 × 545456 = 370188987168. Elk tussenproduct wordt in het schema genoteerd.


Deze manier van vermenigvuldigen komt ook in H-TSB-1578 voor. Het is daar de enige methode die geleerd wordt.

Wentsel behandelt naast de gebruikelijke vermenigvuldigmethode nog een andere, waarbij de tussenproducten voluit boven de factoren worden opgeschreven en men dus eveneens niets hoeft te onthouden.128 Zie figuur 3.19.



illustratie
Figuur 3.19. Vermenigvuldiging 72 × 264 = 19008. Elk tussenproduct wordt boven de factoren genoteerd.


Als er in de vermenigvuldiger een nul voorkomt, noteert Van Halle als tussenproduct een rijtje nullen. Bijvoorbeeld als hij 402 guldens in stuivers wil omrekenen.129 Zie figuur 3.20.



illustratie
Figuur 3.20. Vermenigvuldiging: 402 × 20. In de vermenigvuldiger komt een nul voor.


Later bij multipliceren int corte slaat hij de nul in de vermenigvuldiger over:

Alser inde middele van dat+
onderste ghetal ofte
multiplicatuer ghevonden wort+
een sijpher ofte meer, soe+
suldi die voorbij gaen ende+
voorts werken met die+
navolgende letteren.+130

Jaartallen spelen in het hoofdstuk over vermenigvuldigen vaak een rol. Het rekenboek van Van Varenbraken is volgens een mededeling op fol. 185r in 1532 voltooid.131 Bij de uitleg van vermenigvuldigen komt het volgende vraagstuk voor:

Men mocht vraghen hoe
menighen dach dat compt in
1531 jaren.+132

Vraagstukken met een vergelijkbare context zijn ook in andere rekenboeken te vinden. Zo vraagt bijvoorbeeld Van Halle in zijn rekenboek van 1568:

Aldus maectmen hoeveele+
clopkens dat die ureclocke
geslaghen heeft van dat ons+
heere ghebooren was tot nu
toe, te wetene totten jare
1567 toe.133

Pijck geeft in H-BSA-1584 een vergelijkbaar vraagstuk met het jaartal 1585. Wentsel gaat in D-Wen-1599 uit van het jaartal 1598. Van den Dijcke vraagt in zijn rekenboek van 1591 hoeveel dagen, uren en minuten er zijn in 1591 jaren. In de herdruk van 1600 is het aantal jaren in dit vraagstuk veranderd in 1600. Van Maanen suggereert dat het jaartal in dit type vraagstukken soms een aanknopingspunt kan bieden voor het dateren van ongedateerde rekenboeken.134 Uit voorgaande voorbeelden blijkt dat de jaartallen die in vraagstukken voorkomen inderdaad herhaaldelijk overeenkomen met de datering van het rekenboek waaruit ze afkomstig zijn, maar bij het trekken van conclusies op basis van dit gegeven blijft uiteraard voorzichtigheid geboden.135

 

Enkele auteurs behandelen het taalgebruik bij vermenigvuldigen. Van der Gucht:

Zegghende: 6 reysen 7 es 42,+
of 7 werf 8 es 56.+136

Van Halle:

Een maniere om te wetene
wanneer dat multiplicatie is,+
ofte wanneer datmen een werck
metter multiplicatie behoert
te doene: alser coemt+
‘werven’ ofte ‘mael’,+
ghelijck als ses werven ofte
ses mael 8 coempt 48, alsdan
eest multiplicatie.137

3.2.6 Delen

Van Varenbraken begint zijn uitleg over delen als volgt:

Divisio, die sevenste specie,+
es om te leeren deelen een
somme in alzo veel deelen als+
men wille, oft deen somme
duer dander te deelen.138

Van den Hoecke begint met:

Divisio oft deelinghe gheeft+
te kennen hoe dickwils een
somme in een ander wert
besloten.+139

Van der Gucht is de enige auteur die erop wijst dat het ook voor delen van belang is de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te kennen:

Hier toe dient oock wel van
buten gheweten het voorzeyde+
eerste tafelken der+
multiplicatien.+140

De deelmethode die in de meeste rekenboeken wordt aangetroffen heeft veel overeenkomsten met de staartdeling die tegenwoordig gebruikt wordt,141 maar

wijkt er op bepaalde punten van af. De deler wordt links onder het deeltal geplaatst en bij iedere stap in de berekening doorgestreept en opnieuw, een plaats verder naar rechts genoteerd. Het quotiënt verschijnt rechts van het deeltal en de resultaten van de tussenstappen worden boven het deeltal geschreven. Petri behandelt het volgende voorbeeld:

Omme te deelen 27648 doer 36
... settet 3 onder 7 ende 6
onder 6... Neempt die 3 soe
menichmael in 27 datter so
veele restet omme te hebben
die 6 oock so menichmael.+142

7 voldoet hier aan. Eerst wordt 7 × 3 = 21 van 27  
afgetrokken, de rest is 6, die wordt 2
boven de 7 van 27 geschreven en vormt samen 64
met de 6 uit het deeltal: 66. Vervolgens 27648 (7
wordt 7 × 6 = 42 van 66 afgetrokken, de rest 36
is 24, die wordt boven 66 geschreven.  
De deler 36 wordt een plaats verder naar 2
rechts opgeschreven. Het volgende cijfer 26
in het quotiënt is 6: 648
6 × 3 = 18, 24 - 18 = 6, 27648 (76
noteer 6 boven de 4 van 24 366
6 × 6 = 36, 64 - 36 = 28, 3
noteer 28 boven 64.  

De deler 36 wordt weer een plaats verder naar rechts

opgeschreven. Het laatste cijfer van het quotiënt is 8:

8 × 3 = 24, 28 - 24 = 4, noteer 4 boven de 8 van 28.

8 × 6 = 48, 48 - 48 = 0.

Voor de uiteindelijke berekening zie figuur 3.21.143



illustratie
Figuur 3.21. Deling: 27648:36 = 768.144


Bij grotere delingen kan men in de vorm van de berekening een zeilschip herkennen. Zie figuur 3.22.145



illustratie
Figuur 3.22. Delingen in de vorm van een zeilschip.


Luca Pacioli noemt deze manier van delen galea vel batello.146 In H-GeU-1584 staat bij een deling dat deze galeye wordt genoemd.147 Zie figuur 3.23.



illustratie
Figuur 3.23. Deling in de vorm van een zeilschip.148


Verschillende auteurs noteren het quotiënt niet rechts van het deeltal, maar tussen twee horizontale lijnen onder het deeltal.149

Van Halle hanteert een manier van delen waarbij onder de steeds voortschuivende deler de tussenproducten worden genoteerd die van het deeltal worden afgetrokken:

Daer leet een in sijnen+
dootbedde ende heeft 4
kinderen, de welke ghelijck+
deelen moeten 489 guldens.
Vraeghe, hoeveel elck hebben
sal.150


illustratie
Figuur 3.24. Deling: 489:4 = 122¼.


Een staartdeling met de ‘staart’ naar beneden komt uitsluitend voor in het rekenboek van Wentsel:151

Andere maniere van
Italiansche divisie. Willende+
divideren 68547 door 123,+
doet aldus:

Zie figuur 3.25.



illustratie
Figuur 3.25. Staartdeling.152


Na de delingen met ‘kale’ getallen komen ook in dit hoofdstuk de berekeningen met munten, maten en gewichten aan de orde. Het zijn berekeningen waarin kleinere eenheden omgerekend worden in grotere. Van der Schuere:

Om te maken van penningen
stuyvers, oft stuyvers tot+
guldens, divideert door soo
veel alsser penningen in
eenen stuyver oft alsser+
stuyvers in eenen gulden zijn.
Alsoo oock van alle andere+
ghelden, maten ende+
ghewichten.153

Hij berekent bijvoorbeeld hoeveel guldens er zijn in 394880 penningen.

394880:16 = 1234 guldens.154

Als er bij delen een rest overblijft, wordt die als breuk geschreven, dat wil zeggen de rest is de teller en het deeltal is de noemer.155 Van den Hoecke:

3726303 ghedeylt doer 4826
coemt den quocient 772 ende
rest 631. Dit stelt op hem
selven ende den divisor daer
onder ...772 631/4826.+156

Is er in de deling sprake van een geldbedrag, dan verloopt de behandeling van de rest anders. Van der Gucht behandelt het volgende vraagstuk:

Het zijn 5 persoonen, de
welcke hebben te deelen de
somme van 4395 ponden ende ⅗+
van een pont.157

4395⅗ ponden: 5 = 879 ponden rest ⅗

⅗ pond wordt omgerekend naar een kleiner muntsoort en dan alsnog door 5 gedeeld. ⅗ pond = 12 schellingen, 12:5 = 2 schellingen rest 2

De ongedeelde rest van 2 schellingen wordt omgerekend naar penningen:

2 schellingen = 24 penningen, 24:5 = 4 penningen rest 4

4 penningen = 96 miten, 96:5 = 19 miten rest 1

Kortom: 4395⅗ ponden: 5 = 879 ponden 2 schellingen 4 penningen 19⅕ miten

 

Wat betreft het taalgebruik bij delen schrijft Pijck:

De maniere van Spreken in
desen specie is eenighe van
desen: hoeveil, oft hoeveil+
reysen, hoe menich mael, hoe+
dickmael, hoe menichwerff,+
hoe dickwils hebbe ick, etc.158

Van Halle:

Alser in eenighe somme coempt+ ‘hoe dicwils’ oft ‘hoe
meenichmaele’ soe eest
divisie.+159

3.3 De proeven

Bij elke hoofdbewerking wordt uitgelegd hoe de berekening gecontroleerd kan worden. Dit gebeurt met de proeven. De oorsprong van de proeven ligt in het feit dat men aanvankelijk gewend was tijdens berekeningen de cijfers die voortkwamen uit de tussenstappen uit te wissen of door te strepen. Dat laatste komt ook

nog in verschillende rekenboeken voor.160 Narekenen van de berekening is dan vrijwel onmogelijk. Bij penningrekenen worden de penningen steeds verlegd zodat het ook daar onmogelijk is om na afloop de gemaakte berekening na te lopen op zoek naar eventueel gemaakte fouten. Een proef is dan de enige controlemogelijkheid.

In de meeste rekenboeken worden berekeningen gecontroleerd met de negenproef. Ook het uitvoeren van de inverse bewerking is gebruikelijk. Soms wordt de zevenproef161 gehanteerd. Een enkele keer wordt er gecontroleerd met de preuve bij 3.162 Bij het penningrekenen wordt alleen met de inverse bewerkingen gecontroleerd. De negen-, zeven- en drieproef kunnen niet worden uitgevoerd omdat bij het penningrekenen zelfs de begingetallen, termen en factoren, verdwenen zijn aan het eind van de berekening.

De negenproef bij de controle van een optelling is gebaseerd op de gelijkheid (a + b) mod 9 = (a mod 9 + b mod 9) mod 9. Van der Schuere beschrijft de methode als volgt:

Proeve: Werpt alle de negenen
uyt de getallen die
gheaddeert moeten wesen ende+
wat u overblijft stelt boven
een streepken ..., ende wat u+
over de neghenen blijft van
de uytcomende somme, onder
t'selve streepken. So dan+
onder ende boven t'streepken
eenerley figuere comt,+
t'betoont dat ghy recht
geaddeert hebt. Anders so ist+
qualijc.163

In figuur 3.26 staat een voorbeeld van een optelling met een controle door de negenproef uit het werk van Van der Schuere.164



illustratie
Figuur 3.26. Optelling met ‘proef’.


Eerst worden de negens uit de termen weggeworpen: 5 + 7 + 8 rest 2, 4 + 0 + 2 rest 6, 3 + 9 + 6 rest 0. De gezamenlijke rest is 8. Deze 8 wordt rechts van de optelling

boven het streepje genoteerd. Dan worden de negens uit de som weggeworpen: 1 + 3 + 7 + 6 rest 8. Deze 8 wordt onder het streepje genoteerd. Zowel boven als onder het streepje staat 8 en daaruit blijkt dat de optelling waarschijnlijk correct is uitgevoerd.

In de meeste rekenboeken wordt niet uitgelegd hoe dat uytwerpen van alle de negenen, ofwel dat uitzoeken van wat u over de neghenen blijft, in zijn werk gaat. Slechts een enkele auteur maakt duidelijk dat de termen uit de optelling niet gewoon door 9 gedeeld worden, maar dat de losse cijfers van elke term worden opgeteld en dat 9 steeds wordt afgetrokken zodra dat mogelijk is.165

Van Varenbraken legt uit:

Nu trect alle die 9en uut die
miten van der proef sommen,+
die welcke compt 75 miten.
Die welcke cijffer letteren+
75 en sulstu maer rekenen elc
lettere in hem selven,+
segghende: ‘7 ende 5 compt
tsamen 12. Nu trecter af 9 zo
tester 3.’+166

Bij vermenigvuldigen is de controle van de negenproef gebaseerd op de gelijkheid: (ab) mod 9 = ((a mod 9)(b mod 9)) mod 9. Van der Schuere:

Proeve. Daer ghy mede+
ghemultipliceert hebt, stelt+
onder (int cruys) ende dat
ghemultipliceert is boven (de+
negenen uytghetelt).+
Multipliceert dat door
malcanderen. Wat daer over de+
9 uytcomt, stelt achter in.+
Wat in 't product over de
neghenen comt, stelt voor in.+
Comt dan voor ende achter een+
ghelijcke figuere te staen,+
soo hebdy recht
ghemultipliceert.+167

In figuur 3.27 staat een vermenigvuldiging uit het werk van Van der Schuere met rechts daarvan in het kruis een controle met de negenproef.168



illustratie
Figuur 3.27. Vermenigvuldiging met ‘proef’.


Onderin het kruis: de vermenigvuldiger 7 rest 7. Boven in het kruis: het vermenigvuldigtal 2 + 9 + 6 + 8 + 4 + 7 + 5 rest 5. Rechts in het kruis: het product van wat boven en onder in het kruis staat 5 × 7 rest 8. Links in het kruis: het product van de vermenigvuldiging 2 + 0 + 7 + 7 + 9 + 3 + 2 + 5 rest 8. Zowel links als rechts in het kruis staat 8. De vermenigvuldiging is dus waarschijnlijk correct uitgevoerd.

Van Varenbraken controleert ook een deling met de negenproef. Dat wil zeggen, hij controleert eigenlijk de inverse berekening. Hij heeft berekend 301:20 = 15 rest 1 en hij controleert met de negenproef de berekening 20 × 15 + 1 = 301.169

De negenproef is niet waterdicht. Fouten die een veelvoud van 9 zijn, nullen te veel of te weinig en fouten in de volgorde van de cijfers worden er niet mee ontdekt. Sommige auteurs zijn zich dat bewust.170 Van der Gucht noteert:

Het mach oock wesen, dat u+
die prueve van 9 mach wel
wijsen, nochtans zout wel+
qualick ghewrocht zijn.+
Maer alst wel ghedaen es, zo
zalt u die prueve van 9
altijts wel ghewrocht wijzen.+171

Het controleren met behulp van de inverse bewerking is zekerder. Van der Gucht merkt op:

De warachtichste, zekerste
ofte natuerlicste prueve van+
additie es substractie, maer+
tes meerder moeyte.+172

Sommige andere auteurs verkiezen de negenproef boven de inverse bewerking omdat de eerste eenvoudiger zou zijn. Stockmans schrijft:

Daer sijn menigherley ende
diversche manieren van
preuven oft probatien, maer+
ghemerct wy niet den+
gheleerden en schrijven maer+
tot dienste der eenvuldighen,
slechten ende ongheleerden,+
mede der ghener die den
middel, tijdt oft+
gheleghentheyt niet en hebben
om ter scholen te ghaen, soo
willen wy de slechste, de+
lichtste ende de eenvuldichste+
probatie voor ons nemen, de+
welcke gheschiet met 9.173

Een andere reden om de negenproef te gebruiken ligt in het feit dat men een berekening nog niet kan controleren met de inverse bewerking zolang die inverse bewerking nog niet geleerd is. Bovendien wordt het controleren van een optelling door middel van de inverse bewerking aftrekken ingewikkeld, wanneer de optelling uit meer dan twee termen bestaat.

 

Van Halle behandelt voor elke bewerking drie verschillende controlemogelijkheden: de inverse bewerking, de zeven- en de negenproef.174 Van Varenbraken controleert de hoofdbewerkingen als volgt:175

-optellen met de negenproef;
-aftrekken, halveren en verdubbelen met de inverse bewerking;
-vermenigvuldigen en delen met beide methodes.

Van der Schuere en Pijck controleren ook het worteltrekken.176 Pijck doet dat met de negenproef en de inverse bewerking:

Multipliceert den gevonden
wortel in hem selven. Tot het+
product addeert het overschot,
soo verre daer eenighe is.+
Ist dat daer deerste somme,
daermen die wortel aff gesocht
heeft, weder compt, soo ist
wel gewrocht anders niet.+177

Bij het rekenen met breuken komen minder regelmatig proeven voor dan bij de gehele getallen. Als er wordt gecontroleerd, gebeurt dat door middel van de inverse bewerkingen. Berekeningen die met de regel van drieën zijn uitgevoerd, worden gecontroleerd met de omgekeerde regel van drieën.178 Petri controleert geen enkele berekening.179

 

Opvallend is dat de auteurs die de zevenproef gebruiken dit doen voordat de bewerking ‘delen’ is uitgelegd, terwijl delen door 7 een belangrijke handeling in deze proef is. Van Halle is de enige auteur die zich dit blijkbaar realiseert. Hij begint de zevenproef met de tafel van 7, daarna volgen tabellen waarin de rest na deling door 7 is af te lezen. Zie figuur 3.28.180

3.4 Breuken

Van Halle begint met een rijmpje:

Breect uwe geheelen in+
stucken, tsy groot of cleyn.+
Die stucken heeten dan
gebroken, al int gemeyn.+181

Van Varenbraken introduceert het begrip ‘breuk’ als volgt:

Soe moety weten dat den
teller boven staen moet ende+
den noemer onder ende
tusschen beeden een strepe.+
Het opperste, den teller,+
telt hoe veel die broke es+
ende het onderste gheeft den+
naem.+182

De breukstreep was niet algemeen verplicht. In D-Man-1508 staat:



illustratie
Figuur 3.28. Overzicht van resten die ontstaan na deling door 7.183


enz.

Ende men mach tusschen beyden+
een scrabbeken maken, die+
wilt.+184

In D-Man-1508 komt de breukstreep overal voor, in de herdruk van 1510 geen enkele keer.

3.4.1 Basisvaardigheden

Voordat de leerling toe is aan het uitvoeren van de hoofdbewerkingen met breuken, moet hij eerst een aantal basisvaardigheden beheersen. Van der Schuere heeft die het overzichtelijkst en volledigst ondergebracht in de hoofdstukjes abbreviatio en reductio. In abbreviatio worden breuken vereenvoudigd:

Abbreviatio, vercortinghe,+
leert de rechte maniere om+
ghebroken ghetallen te+
vercorten ofte minderend.+185

Om een breuk te vereenvoudigen worden teller en noemer door hetzelfde getal gedeeld:

Wat is t'minste ghetal van+
3993/5324? Divideert den teller+
ende noemer elck door 1331
ende sal comen ¾.+186

Enkele auteurs behandelen bij het vereenvoudigen van breuken het delingsalgoritme van Euclides om de grootste gemeenschappelijke deler van teller en noemer te vinden.187 Zo gebruikt Van der Gucht het delingsalgoritme om de breuk 1573/1859 te vereenvoudigen:

Neemt den nominatuer oft
divisor onder ende gaet die+
deelen duer den numeratuer
boven. Als 1859 deelt duer+
1573 ende blijft reste+
onghedeelt 286. Hier mede
divideert 1573, den laetsten+
divisor, ende blijft oock+
reste 143. Hier mede+
divideert 286. Comt effen uut.+
Soo blijcket dat 143
expedient ... wesen sal om+
te minderen 1573/1859. Daeromme+
deelt beede die nommers ofte
ghetalen duer 143, comt 11/13.+
Twelck is also vele als 1573/1859.+188

Reductio is bij Van der Schuere de verzamelnaam voor vijf verschillende basishandelingen met breuken.189

Twee procedures zijn algemeen:

-het gelijknamig maken van ongelijknamige breuken;
-het vaststellen welke van twee breuken de grootste is.

Drie procedures hebben betrekking op het rekenen met munten, maten en gewichten:

-het herleiden van een hoeveelheid kleine munten, maten of gewichten tot een grotere munt-, maat- of gewichtseenheid;
-het herleiden van een gedeelte van een munt, maat of gewicht tot een kleinere munt-, maat- of gewichtseenheid;
-het berekenen van de waarde van een gehele munt of maat, of een geheel gewicht als de waarde van een gedeelte gegeven is.

Bij het gelijknamig maken van twee of meer breuken wordt een gemeenschappelijk veelvoud van de noemers gezocht. Slechts zelden is dat het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Petri beschrijft het gelijknamig maken als volgt:

Omme te reduieren veel
diversche broocken onder
eenen noemer, als ½ ⅔ ¾ ⅝,+
soo multipliceert alle die+
noemers te saemen, ... coempt+
192 voor haeren gheneralen
noemer. Die selvighe 192+
divideert doer elcx synen
noemer ende multipliceert het
product met elcx synen teller,+
compt 96/192 128/192 144/192 120/192.+190

Slechts in een enkel rekenboek wordt getoond dat men soms ook een kleiner gemeenschappelijk veelvoud kan vinden.191 Pijck schrijft bijvoorbeeld:

Oft canmen een getal gevinden+
welcke door alle de noemers
effen uut gedivideirt can
worden sonder reste, dat+
selfde mach men oock houden
voir den gemeynen noemer...+
Als ic beghere te reduceren+
⅓, ¼, ⅙ en ⅛, soo neme ick+
24 voir den gemeynen noemer...+
ende compt 8/24, 6/24, 4/24 en 3/24.+192

Het kunnen bepalen welke van twee breuken de grootste is, heeft later voordelen bij de bewerking aftrekken. Daar moet steeds de kleinste breuk van de grootste worden afgetrokken om een negatieve uitkomst te voorkomen. Het is dus nodig

dat de leerling te weten kan komen welke breuk de grootste is. Petri behandelt het als volgt:

Omme te erkennen welcke+
broocke die grootste sy onder+
¾ ende, ⅘ multipliceert 3 met+
5, compt 15. Die settet boven+
3. Ende daerna multipliceert
4 met 4, coempt 16. Die+
settet boven 4. Soe siet ghy
opentlyck dat ⅘ grooter is.+193


illustratie
Figuur 3.29. ⅘ is groter dan ¾.


Om te laten zien hoe men kleinere munten kan omrekenen in grotere, rekent Van der Schuere 16 stuivers om in ⅘ gulden:

Om cleene gelden, maten ende
ghewichten tot deelen van
haare groote te brenghen; als+
16 stuyvers, wat deel ist van+
een gulden? Stelt 16 stuyvers
als teller ende 20 stuyvers,+
de weerdije van een gulden,+
als noemer ende mindertse
tegen malcanderen. Soo comt+
16 stuyvers te wesen ⅘ gulden.194


illustratie
Figuur 3.30. Zestien stuivers = ⅘ gulden.


De weg terug, een gedeelte van een grote eenheid omrekenen naar een kleinere eenheid, wordt door Van der Schuere genoemd:

Deelen van ghewichten, gelden+
ofte maten tot hare weerdij+
te brenghen.195

Stockmans geeft onder andere het volgende voorbeeld:

¾ van eenen gulden, hoe veel+
stuyvers maecken die?
Multipliceert de 3 ... met 20+
ende komt 60, want 20+
stuyvers maecken eenen gulden.+
Divideert 60 met 4 ... ende+
komt 15 ... ende alzoo veel
stuyvers zijn de ¾ guldens.196

Als een van de weinigen behandelt Van der Schuere ook nog:

Wetende de weerdije des deels,
te soecken de weerdije des
gheheels. Multipliceert de+
weerdije des deels met sijnen+
noemer ende divideret met+
sijnen teller ... Als 16
stuyvers is ⅘ gulden, hoe
veel stuyvers heeft den
gulden dan?+197

Van der Schuere berekent: 16 × 5/4 = 20 stuivers.

Hoewel Van der Schuere een groot aantal vaardigheden behandelt als voorbereiding op het rekenen met breuken, ontbreekt bij hem een onderwerp: het berekenen van een breuk van een breuk. Dat onderwerp komt bij de meeste van zijn collega's uitvoerig aan de orde.

Wildy weten wat ghebroken van
gebroken is, als ⅔ van ¾, ten+
eersten multipliceert die+
overste figueren met+
malcanderen. Dats 2 werf 3+
es 6. Ende die onderste oock
met malckanderen ende segt:+
‘3 werf 4 es 12’. Maect 6/12,+
dat is ½.198

Rekenkundig gezien is hier sprake van een vermenigvuldiging maar de meeste auteurs maken toch onderscheid tussen het berekenen van een breuk van een breuk en het vermenigvuldigen van breuken. Ze behandelen het als een apart onderwerp, voorafgaand aan de hoofdbewerkingen. Van der Gucht:

Om te reduceren een ghebroken+
van een ander ghebroken, so
moetmen de tellers met
elckanderen multipliceren+
ende t'product es uwen teller.
Voort zoo multipliceert de
nommers tsamen ende datter+
uut comt es uwen nommer.+199

Bij het berekenen van een breuk van een breuk doen veel auteurs een poging om enig rekenkundig begrip bij te brengen. Dat komt elders in de rekenboeken vrijwel niet voor. Slockmans:

Om te verstaen wat dat het is+
‘een gebroocken van een
ghebroocken’; het is alzoo+
veel als oft yemandt waer die+
hadde 4 kinderen (oft ooc min+
oft meer) ende hy hadde een
helft (oft oock min oft meer)
van een schip. Ende komende
te sterven, zoo laet hy elc+
kindt ¼ van sijn ½ van den
schepe, twelc alsdan is ¼ van
½ van den schepe. Ende komt ⅛
van den heelen schepe voor
elck kindt.200

Pijck vertelt een vergelijkbaar verhaal over een man die 5 kinderen heeft en ¼ huis. Bovendien schrijft hij:

Gebroken van gebroken en is
anders niet dan een ofte meer+
deelen van een ander gedeelte+
des geheels.201

Het nut van het begrip breuk van een breuk blijkt als er binnen een vraagstuk verschillende hoofdbewerkingen voorkomen. Geen van de auteurs bespreekt de volgorde waarin dan de hoofdbewerkingen uitgevoerd moeten worden. Nergens wordt expliciet meegedeeld dat vermenigvuldigen voor optellen en aftrekken gaat. Breuk van een breuk beschouwt men echter als één getal. Bij vraagstukken waarin naast vermenigvuldigen nog andere bewerkingen voorkomen, zijn er dankzij dit uitgangspunt geen problemen in de volgorde:

Alser ghebroeken der
ghebroeken coempt in eenighe
questie, soe moetmet dat
ghebroeken, eer datmen in die
questie werken mach, tot een
ghebroeken bringhen.+202

Van der Gucht behandelt het volgende vraagstuk:

Addeert ⅔ van ¼ tot ¾ van ⅓.+203

Hij berekent: (⅔ × ¼) + (¾ × ⅓)

3.4.2 Breuken optellen en aftrekken

Bij het optellen en aftrekken van breuken behandelen de meeste auteurs eerst een voorbeeld met gelijknamige breuken. Gebruikelijk is om bij aftrekken de aftrekker na het aftrektal te noteren. Sommige auteurs doen het andersom.204 Bijvoorbeeld Petri:

⅔ van ¾ blijft 1/12.+205

Na de gelijknamige breuken volgen de ongelijknamige. Gebruikelijk is de methode van het kruiselings vermenigvuldigen. Stockmans legt het als volgt uit:

Om te adderen gebroken die
van onghelijcke noemers zijn,+
als ½ ende ⅔, zoo
multipliceert kruyswijs. Te+
weten: den eersten teller
metten tweeden noemer ende
den eersten noemer met den
tweeden teller. Aldus:
eenmaels 3 maecken 3 ende 2
maels 2 maecken 4. Addeert
nu de 3 ende de 4 tsamen ende+
komt 7. Daer naer
multipliceert beyde de
noemers tsamen, als 2 maels 3+
maecken 6. Dese 6 stelt onder
de 7 ende komt 7/6. D'welck een
gheheel ende ⅙ maeckt.+206

Veel auteurs onderscheiden bij de hoofdbewerkingen allerlei afzonderlijke situaties voor breuken, ‘breuken van breuken’ en gemengde getallen. Bij iedere situatie wordt een voorbeeld uitgewerkt. Stockmans onderscheidt bij optellen:207

-gemengd getal + breuk, 4⅚ + ¾
-gemengd getal + gemengd getal, 4 4/7 + 3⅗
-breuk van breuk + breuk, (¾ van ⅕) + ⅞
-breuk + breuk van breuk, (⅔ + ¼) van ½
-breuk van breuk + breuk van breuk, (⅔ van ¼) + (¾ van ⅓)
-gemengd getal van gemengd getal + breuk, (3⅓ van 2¾) + ⅞
-gemengd getal van gemengd getal + gemengd getal, (3⅔ van 2½) + 4⅘
-gemengd getal van gemengd getal + gemengd getal van gemengd getal, (4½ van 3⅘) + (8¼ van 7¾)

Ook Van den Hoecke, Van der Gucht en Pijck onderscheiden allerlei afzonderlijke situaties bij optellen en aftrekken, maar bij de bewerkingen vermenigvuldigen en delen behandelen ze al de situaties in één keer met een algemene regel.208

Slechts zelden wordt meer dan één oplosmanieren voor een vraagstuk behandeld. Uitzondering op de regel is Van den Hoecke die 2⅔ + ⅘ op twee manieren berekent:209

So reduceert 2⅔, coemt 8/3. Dit+
addeert tot ⅘. Doet als vooren+

cruyswijs, coemt 52/15... Deelt+
52 doer 15, coemt 37/15... Ghi
moecht ooc wel versamen sonder+
2⅔ te reduceren in sijn broke.+
Ghi moecht adderen te samen ⅔+
ende ⅘, facit 1 7/15. Dit+
addeert tot 2, coemt 3 7/15 als
vooren.210

3.4.3 Breuken halveren en verdubbelen

Het halveren en verdubbelen van breuken wordt alleen bij Van Varenbraken, Creszfelt en Pijck behandeld.211 Van Varenbraken:

Die wil leeren medieren+
eenich ghebroken ghetal, die+
moet dupliceren altijt den+
noemer sonder iet meer daer
toe te doene. Exemplum, wildy+
medieren ¼, zo dupliceert die+
4 ende maecter af 8.212

Pijck geeft aan dat een breuk ook gehalveerd kan worden door de teller door 2 te delen. Ook voor het verdubbelen van een breuk geeft hij verschillende mogelijkheden:

Om te doubleren ⅜, soo+
divideirt duer ½, compt 6/8.+
Oft anders: men mach den
telder dobbeleren sonder den+
noemer te veranderen, ofte
den noemer medieren, indient+
doenelycken is, sonder ter+
telder te veranderen.213

3.4.4 Breuken vermenigvuldigen

Het vermenigvuldigen van breuken gebeurt door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en het product van de noemers daar onder te schrijven. Van den Hoecke:

Wildy multipliceren ghebroken+
bi ghebroken, soe
multipliceert de tellers
metten tellers ende set boven.+
Daer na multipliceert de
nommers te samen ende stelt+
dat onder. Exempel: Ic wil+
multipliceren ¾ met ⅔, so
multipliceert 3 met 2, coemt
6. Dit sedt boven. Daer na
multipliceert 4 met 3, coemt
12. Dit stelt onder. Coemt de
multiplicatie 6/12, facit ½.+214


illustratie
Figuur 3.31. ¾ × ⅔ = 6/12 = ½.


Vervolgens worden ook voor vermenigvuldigen, net als bij de andere hoofdbewerkingen, allerlei afzonderlijke vermenigvuldigsituaties met breuken, breuken van breuken, ‘gehele’ en gemengde getallen behandeld. Van Varenbraken legt het vermenigvuldigen van een ‘geheel’ getal met een breuk als volgt uit:

Wildy ghebroken met heele
multipliceren, als ⅔ met 6+
ellen, so set onder die 6 een
1 oft 0, dat een ghetal es
dat niet en gheeft ofte en
neempt, ende setse beede in+
oordene illustratie. Ende+
multipliceert telder met
telder, noemer met noemer,
als voorsien es. Ende die+
somme comt 12/3.+215

Van Varenbraken is de enige auteur die ook een nul voorstelt als mogelijke noemer van het ‘gehele’ getal. Bij optellen merkt hij terecht op: De nul is een ghetal... dat niet en gheeft ofte en neempt,216 maar uit voorgaand citaat blijkt dat hij zich niet realiseert dat deze opmerking bij vermenigvuldigen niet opgaat.

Tot slot van zijn uitleg over het vermenigvuldigen van breuken behandelt Van Varenbraken het vermenigvuldigen van een breuk met een gemengd getal:

Wildy heele ende ghebroken
multipliceren met ghebroken,+
als 7¾ met ⅝, so breect eerst+
u heele met syne ghebroken,+
beghinnende metter noemere,
segghende: ‘4 werf 7 es 28’.+
Hier toe addeert den telder,+
compt 31. Hier onder set den
noemer voorscreven, aldus 31/4.+217

Pas als het gemengde getal herschreven is tot een breuk kan de gebruikelijke procedure van teller maal teller en noemer maal noemer plaatsvinden.

Van den Hoecke en Wentsel zijn de enige twee auteurs die opmerken dat het product van twee breuken kleiner kan zijn dan de factoren zelf.218 Wentsel:

Men en moet niet verwondert
zijn, noch men en moet hem
niet laten abuseren, als is+
dat sake, dat men somtijts in+
multiplicatio int gebroken,+
multiplicerende minder vint
dan van te vooren was.219

Bij delen door een breuk die kleiner dan 1 is, is het quotiënt groter dan het deeltal. Daar maakt alleen Wentsel een opmerking over.

3.4.5 Breuken delen

In de rekenboeken komen twee manieren voor om breuken te delen:

-de breuken gelijknamig maken en dan de tellers delen;
-kruiselings vermenigvuldigen.

De eerste werkwijze komt in H-TSB-1578 en in de rekenboeken van Raets en Van der Schuere voor.220 Van der Schuere:

Zijn de noemers ghelijck, soo
divideert den teller des
ghetals dat ghy deelen moet
door den teller des divisoirs.+
Maer zijn de noemers
onghelijck, maecktse ghelijck
ende doet als voorscreven.221

Bij Van Varenbraken, Van den Hoecke, Petri, Van Halle, Van der Gucht en Pijck wordt het delen van breuken uitgevoerd door middel van kruiselings vermenigvuldigen.222 Van Halle:

Hier naer volcht die vierde
spetie te weetene divisio.+
Multipliceert den teller vant+
tgebroeken dat ghy divideeren+
wilt met den noemer vanden
divisoir ende coempt dair uut+
den teller vander sommen.+
Multipliceert den noemer vant
tgebroeken dat ghy deijlen
wilt metten teller vanden
divisoir ende coempt dan daer
den noemer vander somme so is

wel. Exempel: ⅔ met ⅘, coempt 10/12.+223

Wentsel plaatst de deler links van het deeltal:

In de divisie in 't ghebroken+
behoort men alletijdts den
divisor vooren aen bij de+
slincke-handt te stellen ende+
het dividendum aen de+
rechte-handt. Ende men en
moet hem daer niet aen
stooten, al ist dat sake dat+
sommmighe oude arithmeticienen
hebben den divisor aende+
rechte-handt ghestelt.
Misschien datse t'selve van
den joden gheleert hebben, de
welcke haer Hebrieux vanden+
rechte-handt nae de
slincke-handt toeschrijven,
gheheel contrarium+
t'schrijven der christenen.224

De omgekeerde volgorde is echter gebruikelijker. Pijck:

Tgetal datmen divideren wilt+
setmen aen de slinckerhandt+
ende daermen mede divideirt+
aen [de] rechterhandt.225

Pijck is de enige auteur die bij het delen van breuken teller en noemer tegen elkaar wegdeelt als dat kan. Hij behandelt twee voorbeelden. Zijn werkwijze luidt, in moderne notatie weergegeven:226

⅗:12/13 = ⅗ × 13/12 = ⅕ × 13/4 = 13/20
6/7:9/10 = 6/7 × 10/9 = 2/7 × 10/3 = 20/21

Bij het rekenen met breuken worden maar enkele berekeningen gecontroleerd. Slechts aan het eind van hun hoofdstuk over het rekenen met breuken maken sommige auteurs een algemene opmerking over het controleren met behulp van de inverse bewerking. Stockmans meldt bijvoorbeeld:

De multiplicatie is de preuve+
vande divisie ende ter+
contrarien, de divisie vande+
multiplicatie.+227

3.4.6 Decimale breuken

In 1585 verschijnt l'Arithmétique van Simon Stevin waarin zich La Disme bevindt, een verhandeling over het rekenen met decimale breuken. Een vertaling

hiervan in het Nederlands verschijnt in datzelfde jaar onder de titel De Thiende.228 Stevin is niet de eerste die gebruik maakt van decimale breuken. Ze komen ook al voor in het Chinese werk van Yang Hui (dertiende eeuw) en in het werk van de Arabische wiskundige al-Kashi (eerste helft vijftiende eeuw).229 Stevin is wel de eerste die het rekenen met decimale breuken systematisch onderwijst.

Hij legt om te beginnen zijn notatiesysteem uit. 3 (1) 7 (2) 5 (3) 9 (4) betekent 3759/10.000.230 Dan volgen de vier hoofdbewerkingen. Bij het vermenigvuldigen behandelt hij het voorbeeld: 32 (0) 5 (1) 7 (2) vermenigvuldigd met 89 (0) 4 (1) 6 (2). Daartoe wordt 3257 vermenigvuldigd met 8946. Het product hiervan is 29137122. Om het product van de oorspronkelijke vermenigvuldiging te vinden, - tegenwoordig zou men zeggen: om de komma te plaatsen - kijkt men naar het laatste teken231 van de twee factoren. Dat is in beide gevallen een 2. Het laatste teken van het product wordt de som van de twee ‘factortekens’ en dat is in dit geval dus 4. De uitkomst van de vermenigvuldiging is 2913 (0) 7 (1) 1 (2) 2 (3) 2 (4). Om het quotiënt van een deling te vinden, moet het teken van de deler afgetrokken worden van dat van het deeltal. Bij de deling 7 (2) gedeeld door 4 (5) berekent Stevin 7000: 4. Bij het worteltrekken deelt hij het laatste teken door 2. De wortel van 529 is 23 en de wortel van 5 (2) 2 (3) 9 (4) is 2 (1) 3 (2). Als het laatste teken oneven is, wordt er een nul aan de decimalen ‘achter de komma’ toegevoegd. In de overige Nederlandse rekenboeken worden de decimale breuken niet behandeld.

3.5 Symbolen

In de rekenboeken wordt over het algemeen de uitleg in volzinnen gegeven. Dat levert vaak grote stukken tekst op waarin de leerling het overzicht makkelijk kwijtraakt. In hoofdstuk 5 is beschreven welke middelen men op den duur gaat gebruiken om oplosmethodes korter en overzichtelijker weer te geven.232 De moderne rekenkundige symbolen spelen daarbij nauwelijks een rol. De symbolen + en - komen wel een hoogst enkele keer in de rekenboeken voor, maar ze hebben dan een andere functie.233 In het rekenboek van Wentsel worden ze bijvoorbeeld gebruikt om over- en ondergewicht aan te duiden:

9 pijpen olie van oliven,+
weghende alsoo hier naer
volcht. Tara op elcke pijpe+
140 ponden. 1 lauther 100+
cost 50 schellingen 6 groten.+
Hoe veel belooptet in ghelde?+234


illustratie
Figuur 3.32. Overzicht van de gewichten van negen vaten olijfolie.


Van den Hoecke gebruikt de symbolen + en - als een soort toestandstekens bij de regel van ‘valse positie’ om aan te geven hoeveel de berekening met de veronderstelde waarde afwijkt van de gewenste uitkomst.235 Ook Van der Schuere gebruikt twee symbolen om ‘meer’ en ‘minder’ uit te drukken. Hij doet dat in zijn Rekeninghe van Plus ende Minus.236 ‘Meer’ duidt hij aan met + en voor ‘minder’ gebruikt hij een minteken met puntjes. Zie figuur 3.33.237



illustratie
Figuur 3.33. Voorbeeld van Rekeninghe van Plus ende Minus.


Van den Hoecke, Petri en Van Halle gebruiken de symbolen + en - voor optellen en aftrekken van wortels en algebraïsche vormen.238 Zie bijvoorbeeld figuur 3.34.239



illustratie
Figuur 3.34. Het gebruik van de symbolen + en -.240


Het rekenen met wortel- en algebraïsche vormen behoort niet tot de standaardstof van de rekenboeken. Het zijn onderwerpen die de auteurs naar eigen zeggen soms toevoegen voor de ‘geleerden’. Kennelijk zijn de symbolen + en - voor optellen en aftrekken, aanvankelijk alleen gebruikt in de ‘hogere rekenkunde’. In de praktische rekenkunde komen ze in de zestiende eeuw niet voor.

Overigens is in de voorgaande afbeelding te zien, dat er een soort hoofdletter R wordt gebruikt om worteltrekken aan te duiden. Het hedendaagse wortelteken √ komt voor bij Petri en Van der Schuere.241 Symbolen voor vermenigvuldigen en delen en is-gelijk-tekens komen in de rekenboeken niet voor.

3.6 Munten, maten en gewichten

3.6.1 Overzichten van munten, maten en gewichten met hun waarde

In de zestiende eeuw zijn er zeer veel verschillende munten, maten en gewichten in gebruik. De rekenboeken sluiten daarbij aan. Stockmans begint bijvoorbeeld zijn werk met een overzicht van de afkortingen die hij gebruikt voor de munten:

De plincipaelste characteren in
desen boeck gheuseert:+
Dit pon. beteeckent ponden in
ghelde ende heeft 20
schellingen, zo wel Vlaemsche+
als Brabantsche.
Dit sch. beteeckent schellingen
ende heeft altijts 12 grooten.
Dit gro. beteeckent grooten.
Dit gul. beteeckent guldens ende
heeft 20 stuyvers.
Dit stuy. beteeckent stuyvers ende
heeft 16 penningen Hollants
oft 8 duyten oft 8
neghenmannekens.
Dit pen. beteeckent penninghen.
Dit lb. beteeckent ponden in
gewichte ende heeft 16 oncen.
Dit on. beteeckent oncen ende heeft
20 inghelschen.
Dit in. beteeckent inghelschen.242
enz.

Er werden niet alleen zeer veel verschillende munten, maten en gewichten gebruikt, bovendien kon de waarde die men eraan toekende per stad of streek verschillen. In veel rekenboeken zijn tabellen te vinden waarin de koersen in de verschillende steden zijn opgenomen.

Stockmans behandelt bijvoorbeeld de korenmaten. Hij kondigt zijn overzicht als volgt aan:

Een kort verhael van de+
differentie der koren-maten+
der principaelste steden van+
Hollant, Sticht, Zeelant,
Brabandt, Vlaenderen,
Gelderlant, Enghelant,
Vrancrijc, ende Oostlant,+
zeer nut, bequaem ende
profijtelicken allen
cooplieden.+243

In figuur 3.35 staat een klein stukje uit dat overzicht.244



illustratie
Figuur 3.35. Fragment uit een overzicht van korenmaten.


Van der Gucht behandelt deze materie nog uitvoeriger. Hij geeft tabellen waarin munten, gewichten, graan-, wijn-, land- en houtmaten, maten van honing, zout, hop, sme-colen245 en tijd vergeleken worden. Daarnaast geeft hij nog een opsomming van:

Diveersche stoffe ende waere
van coopmanschepe ende hoe
datmen die ghemeenlick
vercoopende es. ... Waere van+
beesten ende anders bijden
sticke, ponde ofte nombre
vercoopende, als ossen,+
coeyen, schapen, lammeren,
zwijnen, braetverkenen,+
peerden, ezels, huden, leer,+
zeem, alderhande visch, oock+
dit by de mande.+246

Van den Hoecke behandelt de munten maten en gewichten van Antwerpen, Wenen, Neurenberg, Hongarije, Frankfurt, Lyon, Venetië en Florence.

3.6.2 Rekenen met munten, maten en gewichten

Het rekenen met munten, maten en gewichten wordt tegelijk uitgelegd met de hoofdbewerkingen voor ‘gehele’ getallen. Bij optellen en aftrekken worden geldbedragen en gewichten opgeteld en afgetrokken. Bij vermenigvuldigen worden grotere eenheden in kleinere omgerekend en bij delen gebeurt dat andersom. Alleen Van den Hoecke247 behandelt het optellen en aftrekken met munten, maten en gewichten in een apart hoofdstuk.

Vervolgens wordt in een aantal rekenboeken in het gedeelte over het rekenen met breuken nog aandacht besteed aan enkele soorten berekeningen met munten, maten en gewichten. In reductie leert de leerling een gebroken eenheid omrekenen naar een kleinere, bijvoorbeeld ⅕ pond = 4 stuivers en omgekeerd. Sommige auteurs leggen ook nog uit hoe men de waarde van een gehele munt of maat, of een geheel gewicht kan berekenen als de waarde van een gedeelte is gegeven.248

Als de basis voor het rekenen met munten, maten en gewichten gelegd is, is de leerling toe aan het oplossen van vraagstukken waarin munt-, lengte- en gewichtseenheden een rol spelen. Deze vraagstukken worden met de regel van drieën opgelost, die, als het gaat om het wisselen van geld, vaak wisselregel wordt genoemd.249

In de meeste rekenboeken is veel oefenmateriaal over dit onderwerp te vinden. Bijvoorbeeld bij Van der Schuere:

Yemant verwisselt 3213+
conincx-daelders tot 2+
guldens 11 stuyvers, voor
Italiaensche pistoletten tot
10 schellingen 6 groten. Hoe
veel sal hy der selver+
ontfanghen?250

Ervaren rekenaars kenden allerlei handige rekenstrategieën en muntomrekeningen om het rekenwerk in dit soort vraagstukken te vereenvoudigen en te versnellen.251

3.6.3 Omrekentabellen

Als het rekenen met munten, maten en gewichten te ingewikkeld werd, kon men terugvallen op speciale omrekentabellen, waarin men de uitkomst van bepaalde berekeningen kon vinden zonder dat er gerekend hoefde te worden. Van Halle bijvoorbeeld heeft zijn penningtafelen, waarin postulaten van Hoorn, Carolus-guldens, Andriesguldens en Angelotten omgerekend zijn naar Vlaemsch geldt.252 In een oogopslag is af te lezen dat 7 Carolusguldens = 1 pond 3 schellingen en 4 groten. Niet alle aantallen zijn meteen af te lezen. Voor bijvoorbeeld 540 postulaten moet de waarde van 500 postulaten bij die van 40 postulaten opgeteld worden. In de tafelen der comanscapen valt de prijs van goederen af te lezen.253 Bijvoorbeeld: hoeveel kosten 20 ellen als 1 el 11 penningen kost? Zoek 20 in de linkermarge van de tabel en trek van daaruit een horizontale lijn naar rechts. Zoek 11 in de bovenrand en trek van daaruit een verticale lijn omlaag. Daar waar beide lijnen elkaar snijden staat het antwoord: 1 schelling, 6 groten, 4 penningen. Deze tabellen zijn waarschijnlijk in de eerste plaats bedoeld voor gebruikers die wel konden lezen, maar niet konden rekenen. Van der Gucht:

Hier naer volghen de
registertafelkens, te weten+
vanden mijten, grooten, ende
schellinghen, zeer
gherievelicken voor een+
yghelick, ende principalick+
voor lieden die inde
voorscreven scientien van den
cijfer niet gheleert en zijn,+
maer kennen alleene het
ghetal van dien, om daer uut+
lichtelicken te vijnden ende+
wercken alle rekenijnghen van+
lakenen, lijnwaet, ende ander
coopmanschepen.+254

Maar ook degenen die zelf wel konden rekenen, maakten er graag gebruik van. Met behulp van deze tabellen konden ze immers snel, zonder veel rekenwerk, de uitkomst van een omrekening vinden of controleren.255

Er bestonden in de zestiende eeuw boekjes die uitsluitend gevuld waren met omrekentabellen.256 In de rekenboeken van Van den Hoecke, Raets en Pijck ontbreken ze.257 Hun leerlingen moeten al het omrekenwerk zelf verrichten of hun informatie uit een tabellenboek halen.

3.7 Worteltrekken

Het worteltrekken wordt in verschillende rekenboeken behandeld, maar het wordt nergens tot de hoofdbewerkingen gerekend. De meeste auteurs stellen het onderwerp pas na de regel van drieën aan de orde. Van Varenbraken en Raets258 beperken hun uitleg tot het trekken van de tweedemachtswortel. Van den Hoecke, Van Halle, Van der Gucht en Pijck259 behandelen ook het trekken van de derdemachtswortel. Slechts Van der Schuere260 geeft uitleg over het trekken van nog hogere wortels.

Van Halle legt uit wat een kwadraat en wat een wortel is:

In arithmetica ofte int
sypheren heeten wy een ghetal+
te weesen een ‘quadraet
ghetal’, welck met syn
unitatem oft aeskens op die
maniere van een quadraet in
geometrie ghestelt mach
weesen.+

Zie figuur 3.36.

Van deese exempelen ende
dierghelijke meer andere een
sijde wort gheheeten ‘radix
quadrata’.+261


illustratie
Figuur 3.36. Kwadraatgetallen.


3.7.1 Het trekken van de tweedemachtswortel

Raets geeft de eerste negen kwadraatgetallen met het advies die uit het hoofd te leren.262 Pijck doet dat ook en voegt er meteen de eerste negen derdemachtsgetallen aan toe.263

De methode van tweedemachtsworteltrekken begint met het van rechts naar links groeperen in tweetallen van de cijfers van het getal waaruit de wortel getrokken moet worden. Er wordt een verticale streep na of een punt boven elk tweede cijfer gezet. De cijfers die op deze manier aan de linkerkant overblijven, vormen het getal waar om te beginnen de wortel uit getrokken moet worden. Dit kan soms ook één cijfer zijn. Tevens komt het aantal puntjes of streepjes overeen met het aantal cijfers van de wortel. Van Halle:

Deese punctkens, boovendien
dat sy inden radix utyt te
trecken hun ghebruyck hebben,+
daer en booven bewysen sy ons
noch terstont met hoe veel
letteren dat den radix
ghescreven sal worden.+264

Dus als bijvoorbeeld Van der Gucht de wortel uit 481636 wil trekken,265 verdeelt hij het getal als volgt, gaande van rechts naar links, in groepjes: 48 | 16 | 36. Hij weet nu dat de gevraagde wortel uit drie cijfers bestaat en dat hij de worteltrekprocedure met het getal 48 moet beginnen.266

Het getal waaruit de wortel getrokken wordt staat in het midden van de berekening, de getallen die voor de tussenstappen nodig zijn, worden hieronder genoteerd en de resten die uit de tussentijdse aftrekkingen overblijven worden erboven geschreven. De gevraagde wortel schrijft men soms rechts van het getal waaruit men de wortel wil trekken en soms daar direct onder. Zie bijvoorbeeld figuur 3.37. Hier is de gevonden wortel 694 direct onder het begingetal 481636 geschreven. Cijfers die niet meer nodig zijn in de berekening worden doorgestreept.

De auteurs van de rekenboeken leggen de procedure uit door middel van een stap-voor-stap uitgerekend voorbeeld. In algemene bewoordingen komt hun methode hier op neer: stel dat de wortel getrokken wordt uit een getal dat bestaat uit de cijfers mp | qr | st.267 Kies a, het eerste cijfer van de gevraagde wortel, zodanig dat het kwadraat van a zo groot mogelijk is, maar kleiner dan het getal mp. Bereken mp - a2 = uv (u en uv kunnen gelijk aan nul zijn) en schrijf dit verschil uv boven mp. Schrijf 2⋅a onder het begingetal. Zie afbeelding 1a, waar de wortel uit 481636 wordt getrokken.

De cijfers uv vormen samen met de cijfers qr van het tweede groepje het volgende getal - uvqr - dat aan de orde komt (wanneer u of uv gelijk aan nul zijn, bestaat dit getal uit slechts 3 of 2 cijfers). Kies b, het tweede cijfer van de gevraagde wortel, zodanig dat het verschil: uvqr - 2⋅a⋅b⋅10 - b2 = wx zo klein mogelijk is. Zie afbeelding 1b.

De cijfers wx vormen samen met de cijfers st van het derde groepje, het volgende getal - wxst - dat aan de orde komt. Kies c, het derde cijfer van de gevraagde wortel, zodanig dat het verschil: wxst - 2⋅(10⋅a + b)⋅c⋅10 - c2 = yz zo klein mogelijk is.

Als yz = 0 dan is er geen rest en dan is het kwadraat van de gevonden wortel gelijk aan het begingetal. Zie afbeelding 1c.

Van der Gucht berekent de wortel uit 481636 als volgt:268



illustratie
Figuur 3.37. De wortel uit 481636 is 694.




illustratie
Afb. 1
a.


Het eerste cijfer van de gevraagde wortel is 6. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

48 - 62 = 12

Noteer 2⋅6 = 12 onder de horizontale lijnen.



illustratie
b.


Het tweede cijfer van de gevraagde wortel is 9. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

1216 - 2⋅6⋅9⋅10 - 92 = 55

Van der Gucht voert deze berekening in twee stappen uit, namelijk:

121 - 12⋅9 = 121 - 108 = 13

136 - 92 = 136 - 81 = 55

Noteer 2⋅69 = 138 onder de horizontale lijnen.



illustratie
c.


Het derde cijfer van de gevraagde wortel is 4. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

5536 - 2⋅69⋅4⋅10 - 42 = 0

Van der Gucht voert deze berekening in twee stappen uit, namelijk:

553 - 138⋅4 = 553 - 552 = 1

16 - 42 = 0

Dus de wortel uit 481636 is 694.

 

De voorgaande worteltrekprocedure zou men als volgt kunnen samenvatten:269 als R het gegeven getal is waaruit de wortel getrokken moet worden en als 100⋅a + 10⋅b + c de gevraagde wortel is, dan worden de cijfers a, b en c zodanig gekozen dat R - a2⋅1002 - (2⋅a⋅b⋅10 + b2)⋅102 - (2⋅(10⋅a + b)⋅c⋅10 + c2) = 0

Dat is gelijkwaardig met R - (100⋅a + 10⋅b + c)2 = 0

Deze procedure is op vergelijkbare wijze uit te breiden of in te korten voor getallen waarvan de wortel respectievelijk uit meer of minder dan drie cijfers bestaat.270

3.7.2 De rest

Van den Hoecke trekt de wortel uit een getal van maar liefst 10 cijfers. In figuur 3.38 is te zien hoe de berekening er na afloop uitziet.271



illustratie
Figuur 3.38. De wortel uit 9421807355 is 97065 rest 193130.


De rest is 193130, dat zijn de cijfers die in de berekening rechtsboven aan de schuine zijde overblijven.272 Met deze rest wordt de wortel verder benaderd. De benadering die Van den Hoecke en Pijck geven van √(a2 + b) is in moderne notatie:273 a + b/2a + 1. Van den Hoecke:

Dobbeleert den radix 97065,+
coemt 194130. En doet daer 1+
toe, coemt 194131. Want so+
veel souder gebreken om het
quadraet 1 meerder te maken.+
Dit sedt onder ende het
overscot daer boven ende+

coemt 193130/194131.274

De benadering van de wortel is nu 97065 193130/194131

 

Van Halle behandelt deze benaderingsmethode eveneens en heeft een vergelijkbare methode voor derdemachtswortels: als n de gevonden wortel is, dan wordt de noemer van de rest 3n2 + 3n + 1.275 Van den Hoecke en Van der Schuere behande-

len een andere benaderingsmethode voor wortels. Ze voegen nullen toe om nog een aantal decimalen te kunnen berekenen. Van der Schuere:

Om radix te trecken uyt
irrationale ghetallen, stelt+
2, 4, 6, 8 ofte meer nullen
achter aen ende trect daer+
uyt √ als vooren gheleert.+
Ende van datter uyt comt,
snijt half soo veel figueren
achter af als ghy nullen daer
aen ghestelt hebt. Ende de+
afghesneden figueren sullen
uwe breucken maken.+276

Om de wortel uit 31 te berekenen voegt Van der Schuere acht nullen toe en snijt hij na afloop vier cijfers van de wortel af.

√3100000000 = 55677 dus √31 = 5 5677/10000

3.7.3 Het trekken van de derdemachtswortel

De methode om de derdemachtswortel te trekken begint met het groeperen van de cijfers van het getal waaruit de wortel getrokken wordt, gaande van rechts naar links, in groepjes van drie cijfers. Het aantal groepjes komt overeen met het aantal cijfers van de gevraagde wortel.

Dus als bijvoorbeeld Van der Gucht de derdemachtswortel uit 16389610 wil trekken,277 verdeelt hij dat getal, gaande van rechts naar links, als volgt in groepjes: 16 | 389 | 610. Hij weet nu dat de gevraagde wortel uit drie cijfers bestaat en dat hij de worteltrekprocedure met het getal 16 moet beginnen.278

Net als bij het trekken van de tweedemachtswortel staat het getal waaruit de wortel getrokken wordt in het midden van de berekening, de getallen die voor de tussenstappen nodig zijn, worden hieronder genoteerd en de resten die uit de tussentijdse aftrekkingen overblijven worden hierboven geschreven. De gezochte wortel schrijft men soms rechts van het getal waaruit men de wortel wil trekken, soms daar direct onder. Zie bijvoorbeeld figuur 3.39. Hier is de gevonden wortel 254 direct onder het begingetal 16389610 genoteerd.

Ook de procedure voor het trekken van derdemachtswortels behandelen de auteurs - net als die voor tweedemachtswortels - uitsluitend aan de hand van uitgewerkte voorbeelden. In algemene bewoordingen komt hun methode hier op neer: stel dat de derdemachtswortel getrokken wordt uit een getal dat bestaat uit de cijfers efg | hjk | lmp.279 Kies a, het eerste cijfer van de wortel, zodanig dat de

derdemacht van a zo groot mogelijk is, maar kleiner dan efg. Bereken efg - a3 = qrs (q, qr en qrs kunnen gelijk aan nul zijn) en schrijf dit verschil qrs boven efg. Schrijf het drievoud van a onder de horizontale lijnen. Zie afbeelding 2a.

De cijfers qrs vormen, samen met de cijfers hjk van het tweede groepje, het volgende getal - qrshjk - dat aan de orde komt (wanneer q, qr en qrs gelijk aan nul zijn, bestaat het getal uit 5, 4 of 3 cijfers). Kies b - het tweede cijfer van de gevraagde wortel - zodanig dat het verschil: qrshjk - 3⋅a⋅b(10⋅a + b)⋅10 - b3 = tuv zo klein mogelijk is. Schrijf het drievoud van 10⋅a + b onder de horizontale lijnen. Zie afbeelding 2b.

De cijfers tuv vormen, samen met de cijfers lmp van het derde groepje, het volgende getal - tuvlmp - dat aan de orde komt. Kies c - het derde cijfer van de gevraagde wortel - zodanig dat het verschil:

tuvlmp - 3⋅(10⋅a + b)⋅c⋅(100⋅a + 10⋅b + c)⋅10 - c3 = wxy zo klein mogelijk is. Zie afbeelding 2c. Als wxy = 0, is er geen rest en dan is de derdemacht van de gevonden wortel abc gelijk aan het begingetal. Van der Gucht berekent de derdemachtswortel uit 16389610 als volgt:280

 



illustratie
Afb. 2
a.


Het eerste cijfer van de gevraagde wortel is 2. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

16 - 23 = 16 - 8 = 8

Noteer 3⋅2 = 6 onder de horizontale lijnen.



illustratie
b.


Het tweede cijfer van de gevraagde wortel is 5. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

8389 - 3⋅2⋅5⋅25⋅10 - 125 = 764

Van der Gucht voert deze berekening in twee stappen uit, namelijk:

838 - 5⋅25⋅6 = 838 - 750 = 88.

889 - 53 = 889 - 125 = 764

Noteer 3⋅25 = 75 onder de horizontale lijnen.



illustratie
c.


Het derde cijfer van de gevraagde wortel is 4. Schrijf dat tussen de horizontale lijnen:

764610 - 3⋅25⋅4⋅254⋅10 - 64 = 2546

Van der Gucht voert deze berekening in twee stappen uit, namelijk:

76461 - 4⋅254⋅75 = 76461 - 76200 = 261

2610 - 43 = 2610 - 64 = 2546

Dus de derdemachtswortel uit 16389610 is 254 rest 2546.



illustratie
Figuur 3.39. De derdemachtswortel uit 16389610 is 254 rest 2546.


De voorgaande procedure voor het trekken van derdemachtswortels zou men als volgt kunnen samenvatten:281 als R het gegeven getal is waaruit de derdemachtswortel getrokken moet worden en als 100⋅a + 10⋅b + c de gevraagde wortel is, worden de cijfers a, b en c zodanig gekozen dat

R - a3⋅1003 - (3⋅a⋅b⋅(10⋅a + b)⋅10 + b3)⋅103 - (3⋅(10⋅a + b)⋅c⋅(100⋅a + 10⋅b + c)⋅10 + c3) = 0

Dat is gelijkwaardig met R - (100⋅a + 10⋅b + c)3 = 0

Deze procedure is op vergelijkbare wijze uit te breiden of in te korten voor getallen waarvan de wortel respectievelijk uit meer of minder dan drie cijfers bestaat.282

 

Van der Schuere behandelt naast de gebruikelijke manier van worteltrekken nog een andere methode waarbij hij binomiaalcoëfficiënten hanteert, de zogeheten genituren. Om te beginnen legt hij uitvoerig uit hoe die genituren in een driehoekig schema geplaatst moeten worden. Zie figuur 3.40.



illustratie
Figuur 3.40. Schema met binomiaalcoëfficiënten, de zogeheten genituren.283


Om dan te nemen d'eyghen
genituren dienende tot+
d'uyttreckinghe van elcken
wortel, ... soo weet dat
d'eerste dient tot radix
quadrat, de tweede tot cubus,+
de derde tot censdecens, de+
vierde tot sursolidum, de+
vijfde tot censicubus, de+
seste tot bisursolidum, de+
sevende tot censcensdecens,+
d'achtste tot cubus de cubo.+284

Vervolgens geeft hij een tabel met de tweede tot en met de negende macht van de getallen van 1 tot en met 9. Op fol. 197v trekt Van der Schuere de derdemachtswortel uit 1488936 met behulp van genituren. Eerst wordt het getal gaande van rechts naar links in groepjes van drie cijfers verdeeld: 14 | 886 | 936. Dan moet om te beginnen uit 14 de derdemachtswortel getrokken worden. 2 is het eerste cijfer van de gezochte wortel:



illustratie

Met behulp van de gevonden 2 en de genituren 1, 3, 3, 1, die horen bij de derdemachtswortel, wordt het volgende cijfer x van de wortel berekend. In moderne notatie: zoek de grootste gehele waarde voor x zodat

22 ⋅ 3 ⋅ 102 ⋅ x + 2 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ x2 + x3 nog van 6886 kan worden afgetrokken.

x = 4 voldoet hieraan. Van der Schuere noteert:



illustratie

De rest die overblijft is 1062

De procedure wordt herhaald met 24:

zoek de grootste gehele waarde voor x zodat 242 ⋅ 3 ⋅ 102 ⋅ x + 24 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ x2 + x3 nog van 1062936 kan worden afgetrokken. x = 6.

De rest is 0. Zo wordt gevonden 3√1062936 = 246.285



illustratie

Van der Schuere trekt ook wortels met een macht groter dan 3. Bijvoorbeeld de negendemachtswortel uit 38443359375. De wortel is 15.286 Van der Schuere legt uit dat men in plaats van de negendemachtswortel ook de derdemachtswortel uit de derdemachtswortel kan trekken.

In de rekenboeken waarin het worteltrekken wordt behandeld, komt meestal ook het worteltrekken uit breuken voor. Van der Gucht legt uit dat men dan de wortel uit de teller en de wortel uit de noemer moet trekken.

Om den wortel te trecken int
ghebroken, en is anders niet+
dan den wortel te trecken uut+
den teller ende uut den
nommer, also verre alst beede
quadraten zijn. Exempel:+
Trect den wortel uut
¼, comt ½.287

Van Halle voegt nullen toe als dit niet zo mooi uitkomt:

Stelt voir den teller ende+
noemer even vele syfers ofte+
nullen. Daer naer suect den
radix van een ieghelyck
ghetal.+288

Van Halle behandelt een aantal vraagstukken waarin het worteltrekken wordt toegepast. De meeste zijn geometrisch van aard. Bijvoorbeeld het volgende, waarin de stelling van Pythagoras gebruikt wordt:

Daer es eenen toren 200
voeten hooghe ende rontsomme+
is een [gracht], 60 voeten
breet. Nu behoeft men een
leere te maken van den+
utersten rant des waters tot+
int sop vanden toren. Vraghe,+
hoe lanck die leere sijn sal.289


illustratie
Figuur 3.41. De lengte van een ladder wordt berekend met de stelling van Pythagoras.290


3.7.4 Rekenen met wortelvormen

Van Halle en Van den Hoecke noteren wortelvormen met een soort hoofdletter R en een exponent.291 Van Halle noteert bijvoorbeeld:

R9a 512 en is niet meerder
dan R 4, welck is 2.+292


illustratie
Figuur 3.42. 9√512 = √4 = 2.293


Van den Hoecke begint het rekenen met wortelvormen met drie basisregels:

- Om te bringhen twee onghelike
wortels in eenen gheliken
radix oft wortele.+294

Met ‘gelijke wortels’ wordt hier bedoeld wortels met dezelfde wortelindex. De methode die Van den Hoecke gebruikt om wortels tot ‘gelijke wortels’ te herleiden, kan in moderne notatie worden weergegeven door:

n√a = np√ap

bijv. R2a 6 en R3a 10 worden herleid tot R6a 216 en R6a 100

- Om te reduceren radix van
radix.+295

De regel die Van den Hoecke gebruikt om de wortel van een wortel te berekenen kan men weergeven door:

n√(p√a) = np√a

bijv. R2a van R4a coemt R8a

- Abbreviacie ofte minderinge
vanden nommers radicen oft
van de wortels.+296

Om een wortel te herleiden tot een wortel met een lagere wortelindex gebruikt Van den Hoecke een regel die men kan weergeven door:

np√amp = n√am

bijv. R6a 64 is gelijk aan R3a 8

Van den Hoecke onderscheidt drie soorten wortelvormen:

- Rationael oft nutte.+297

Bijv. de tweedemachtswortel uit een kwadraat of de derdemachtswortel uit een kubiek getal. Modern: n√an

- Communicanten. Dat sijn
middelbaer ghetalen, de+
welcke gheenen radix oft
wortel en hebben, maer als si
cleynder ghemaect werden, so
werdent rationalen.+298

Uit voorbeelden die Van den Hoecke geeft, blijkt dat communicanten getallen zijn die te schrijven zijn als product van een rationaal en een irrationaal getal.

Bijv. √8 = 2√2 en √18 = 3√2

- Irrationalen, de welcke
gheheel ende al ongescict+
sijn.299

Voor het optellen van wortels gebruikt Van den Hoecke een regel die modern kan worden weergegeven door:

√a + √b = √(a + b + 2√(ab))

bijv. √8 + √18 = √(8 + 18 + 2√(18 × 8)) = √50

Irrationale getallen worden opgeteld door er een + teken tussen te schrijven:300



illustratie
Figuur 3.43. Optelling van irrationale getallen.


Het aftrekken van wortels gebeurt volgens hetzelfde principe als het optellen. Vermenigvuldigen en delen gaat alleen met gelijksoortige wortels.

 

Modern: n√a × n√b = n√(ab) en n√a : n√b = n√(a : b)

 

Zijn de wortels niet gelijksoortig, dan moeten ze dat eerst gemaakt worden. Van den Hoecke licht dat toe met de vermenigvuldiging van wortel 9 en 4:

Wildi multipliceren R 9 met 4,
so set 4 in sinen R;+
multipliceert 4 in haer+
selven, coemt R 16. Nu+
multipliceert 9 met 16, coemt
144. Hier uut trect R, coemt+
12. Soe veel is R 9
ghemultipliceert met 4. Want
R 9 is 3, dit multipliceert
met 4, coemt 12 als voren.+301

Modern: √9 × 4 = √9 × √16 = √144 = 12

 

Ten slotte behandelt Van den Hoecke ook nog het rekenen in binomio, dat wil zeggen met vormen als a ± √b en √a ± √b. Daarvoor is het van belang de tekenregels goed te kennen. Voor vermenigvuldigen luiden ze als volgt:

Als ghi multipliceert + met+
+ coemt +, ende + met - coemt
-, ende - met - coemt +.+302

Een voorbeeld van vermenigvuldigen in binomio:

Wildy multipliceren R 7 - 2+
met R 8 - 3, ... so hebdi in
dese multiplicacie+
R 56 - R 32 - R 63 + 6.303

3.8 Penningrekenen

Het rekenen met penningen is van oudsher de gebruikelijke manier van rekenen geweest. In hoofdstuk 2 is beschreven hoe deze rekenmethode zich nog lange tijd heeft kunnen handhaven naast het ‘moderne’ rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. In verschillende rekenboeken worden beide rekenmethodes uitgelegd. Bij Petri gaat het penningrekenen aan het rekenen met Hindoe-Arabische getallen vooraf304, maar in de meeste rekenboeken is de volgorde andersom.305

3.8.1 Numeratie

De getallen worden voorgesteld door penningen op horizontale lijnen te leggen. Een penning op de eerste (onderste) lijn is 1 waard, op de tweede lijn 10, op de derde lijn 100, op de vierde lijn 1000, enz. Een penning tussen twee lijnen is 5x zoveel waard als de penningen op de lijn eronder en heeft de helft van de waarde van de penningen op de lijn erboven. Een penning die tussen de lijn van 10 en de lijn van 100 ligt, is dus bijvoorbeeld 50 waard.

In de rekenboeken van Van Varenbraken, Van Halle en Van der Gucht worden geen lijnen gebruikt, maar liggers. Dat zijn penningen in een verticale lijn die tijdens de berekeningen blijven liggen.306 Deze liggers hebben dezelfde functie als de lijnen in het penningrekenen met lijnen. Een penning die naast de eerste (onderste) ligger gelegd wordt, is 1 waard, naast de tweede 10, naast de derde 100, enz. Het is ook mogelijk penningen tussen twee liggers te leggen die dan respectievelijk de waarde 5, 50, 500, enz. krijgen. De linkerafbeelding in figuur 3.44 is afkomstig uit het rekenboek van Van den Hoecke.307 Het getal 76 is uitgebeeld op lijnen. De rechterafbeelding is uit het rekenboek van Van Varenbraken.308 Het ge-

tal 786 is uitgebeeld met penningen. De auteur heeft, waarschijnlijk ter verduidelijking, waardegetallen op de penningen geschreven. In werkelijkheid kwam op rekenpenningen geen waardegetal voor.



illustratie
Figuur 3.44. Links: 76 uitgebeeld op lijnen. Rechts: 786 uitgebeeld met behulp van liggers.


3.8.2 De hoofdbewerkingen

Nadat het principe van het voorstellen van getallen door middel van penningen is uitgelegd, volgen de hoofdbewerkingen. Meestal zijn dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Van Varenbraken behandelt ook halveren en verdubbelen.309 Van der Gucht gebruikt geen afbeeldingen, waardoor zijn uitleg tamelijk duister wordt. Hij behandelt bij het penningrekenen uitsluitend vermenigvuldigen en delen.310 Ook Van Halle beperkt zich hiertoe:

Te addeeren ende subtraheeren
met penninghen dat is ghemeyn,+
maer multipliceeren ende
divideeren en is niet zoo+
ghemeyn. Daromme sullen wij
hier van elx een exempel+
stellen, waer uytmen die+
andere wel sal connen+
verstaen.+311

Optellen gebeurt door de eerste term met penningen uit te beelden en daar de volgende aan toe te voegen. De som van de optelling is niet altijd meteen af te lezen.

Men moet eerst resolveren, dat wil zeggen: twee penningen in het gebied tussen twee lijnen vervangen door één penning op de lijn erboven en 5 penningen op één lijn vervangen door één penning in de daaropvolgende ruimte tussen twee lijnen. Als er bij een aftrekking ‘geleend’ moet worden, komt de omgekeerde handeling voor: één penning vervangen door meer penningen in een lagere tussenruimte of op een lagere lijn.

Het is gebruikelijk om bij penningrekenen het begingetal neer te leggen en daar de rekenhandeling mee uit te voeren. Van Varenbraken behandelt echter bij vermenigvuldigen twee manieren. Bij de tweede manier legt hij beide factoren neer:

Maer ic, meester Christiaen,
hebbe een ander maniere...
legghende achter die ligghers
die somme diemen legghen
wille om te multipliceren+
ende daer noch achter leytmen
den multipliator, dats de+
somme daermen mede
multipliceren wille. Ende+
volghen dan voort den rechten
aert van multiplicatie in
arismetica.+312

Gebruikelijker is de manier waarop Van der Gucht de vermenigvuldiging 360 × 20 uitvoert. Nadat hij 360 met penningen heeft voorgesteld, worden deze penningen opgeraapt en stuk voor stuk vervangen door 20 op de overeenkomstige hoogte aan de andere kant van de liggers:

Voor elcken pennijnck die ick
af trecke vande voorzeyde 360,+
... legghe ick... 20 in
ghetale over dander zijde,+
naer advenante vanden
ligghers daer ickse af
trecke.+313

Als de berekening klaar is, is het product zichtbaar en zijn de factoren verdwenen. Controleren met de negenproef is niet mogelijk. Dat gebeurt met de inverse bewerking.

Delen wordt uitgevoerd door de deler herhaald van het aftrektal af te trekken. Van Varenbraken rekent 79992 miten om in Brabantse stuivers. Dat is de deling 79992:72. Iedere keer als er 72 penningen van het aftrektal opgeraapt zijn, wordt er 1 penning aan de linkerkant van de liggers neergelegd:

Ghy moet ... legghen voor elc
72 eenen penninck recht+
teghen den liggher daer die
72 henden.+314

Om het herhaald aftrekken mogelijk te maken, moet er tijdens de deling voortdurend geresolveerd worden, dat wil zeggen penningen van een hogere waardeplaats moeten vervangen worden door meer penningen op een lagere plaats. Dit maakt delen met penningen een tamelijk gecompliceerde bewerking.

De meeste auteurs behandelen de hoofdbewerkingen met penningen in dezelfde volgorde als bij het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. Van den Hoecke wijkt hiervan af. Hij behandelt bij het penningrekenen eerst het optellen en vermenigvuldigen en daarna pas het aftrekken en delen. Deze volgorde ligt meer voor de hand want ze klimt op van makkelijk naar moeilijk. Bij optellen en vermenigvuldigen hoeft immers pas op het eind van de berekening geresolveerd te worden en niet tijdens de berekening zoals bij aftrekken en delen.315

Ten slotte

Tot zover de basis van de rekenkunde, dat wil zeggen het leren lezen en schrijven van Hindoe-Arabische getallen en het leren rekenen met deze getallen. Wat betreft deze basis vertonen de rekenboeken grote onderlinge overeenkomsten: dezelfde onderwerpen worden in dezelfde volgorde behandeld. Het gaat in elk rekenboek om optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met ‘gehele’ getallen en breuken, toegelicht aan de hand van vele voorbeeldberekeningen.

Onderwerpen die bij vele, doch niet bij alle auteurs voorkomen zijn: halveren en verdubbelen, het controleren van berekeningen, overzichten van en het rekenen met munten, maten en gewichten, worteltrekken en penningrekenen.

Enigszins afwijkend zijn de rekenboeken H-GKB-1564 en D-Hey-1561, omdat hierin uitsluitend het rekenen met penningen wordt uitgelegd, en De Thiende van Stevin, omdat het daarin gaat om het rekenen met decimale breuken. Toch zijn deze werken bij het onderzoek betrokken, omdat ook hier de hoofdbewerkingen, dat wil zeggen de basisprincipes van het rekenen, worden uitgelegd.

In het eerste deel van de rekenboeken komen al eenvoudige, praktische toepassingen van de rekenkunde voor, maar de meeste en moeilijkere toepassingen volgen pas in het tweede gedeelte van de rekenboeken. Daar worden allerlei rekenregels gepresenteerd en legt de auteur uit hoe men die kan gebruiken om vraagstukken op te lossen. Een beschrijving van deze toegepaste rekenkunde is te vinden in het volgende hoofdstuk.


Vorige Volgende

Over dit hoofdstuk/artikel

auteurs