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Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique (1940)

Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

(1940)–Christiaan Huygens–rechtenstatus Auteursrecht onbekend

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Problèmes et méthodes modernes.

Avertissement.

Dans cette dernière partie mathématique du présent Tome, on voit Huygens aux prises avec l'esprit moderne. En comparant le Traité de la Lumière avec l'Horologium oscillatorium, on constate une différence de forme très apparente, d'abord le français au lieu du latin, en second lieu la continuité de l'exposition: le Traité ne consiste plus en une série de théorèmes dont beaucoup prouvées rigoureusement d'après la mode antique. Le même effort pour ne pas paraître archaïque paraît aussi ailleurs. Ce n'est pas que Huygens soit revenu de la conviction qu'en mathématique les démonstrations rigoureuses sont les seules véritables: il exprime encore cette conviction en 16951) dans une des dernières pages de son dernier manuscrit I (Pièce VIII qui suit); mais il a constaté le succès indéniable que les méthodes moins rigoureusement logiques dont d'autres auteurs se contentent peuvent avoir, et Leibniz ne fut sans doute pas le seul à lui conseiller de ne pas s'obstiner dans le formalisme: ‘Vous avés déja acquis tant de gloire, que vous vous pouués reposer un peu, et si vous donniés quelques unes de vos belles pensées et découvertes toutes pures, quoyque denuées de ce bel appareil de demonstrations formelles, mais qui genent trop et qui font perdre trop de temps à une personne comme vous estes, je croy que la posterité ne vous seroit que trop obligée’2). Voyez d'ailleurs ce que Huygens disait lui-même sur ce sujet déjà en 16593).

Leibniz recherchait surtout - et non seulement dans le domaine des mathématiques - les notations simples, celles qui conviennent à la nature des problèmes à résoudre. Le ‘nouveau calcul ... offre des verités par une espece d'analyse, et sans aucun effort d'imagination, qui souvent ne reussit que par hazard, et il nous donne sur Archimede tous les avantages que Viete et Des Cartes nous avoient donnés sur Apollonius’4). Huygens reconnaît comme ‘certainement fort beau’ que le nouveau calcul offre ‘comme de soy mesme ... des veritez [qu'on n'a] pas mesme cherchées’5). Cependant, n'étant plus jeune, il ne réussit pas à acquérir l'adresse nécessaire dans le maniement des nouveaux symboles, dont il ne se sert d'ailleurs pas toujours et même plutôt exceptionnellement6), et ce n'est véritablement qu'au prix de grands ‘efforts d'imagination’ qu'il parvient à résoudre certaines questions figurant à l'ordre du jour, e.a. des problèmes posés dans les Acta Eruditorum, et à se maintenir ainsi plus ou moins au premier rang.

Le majeure partie des calculs qui occupèrent Huygens (outre ses autres recherches) dans les dernières années de sa vie, surtout depuis 1690, ont été publiées par nous, avec les commentaires nécessaires, dans les Tomes IX et X, derniers Tomes de la Correspondance. Ces calculs se trouvent d'abord dans les lettres elles-mêmes, mais surtout dans nos notes et Appendices. Pour que ceux de nos lecteurs qui pourraient s'intéresser aux manuscrits soient en état de s'orienter dans ce dédale, nous publions à la fin de ce Tome, parmi les Tables, - ce qui n'a pas été fait antérieurement - une liste des pages des Manuscrits F, G, H et I qui ont trouvé leur place dans les deux Tomes nommés. Cette liste fera comprendre l'impossibilité de réimprimer dans le présent Tome les recherches en question. Les §§ 1 et 2 de la Pièce I qui suit ont en vérité été réimprimés ici, pour qu'on puisse voir sans peine comment les §§ suivants s'y rattachent. Mais pour les autres considérations et calculs publiés dans les deux Tomes, tels que ceux qui se rapportent à la chaînette, à la ligne d'égale descente ou à la tractrice, nous n'avons pas cru devoir les mettre de nouveau sous les yeux des lecteurs, fût-ce dans un ordre qui pourrait parfois différer de celui des Tomes IX et X.

C'est aussi dans les T. IX et X qu'ont été imprimés, puisqu'elles affectent la forme de lettres à l'éditeur, les articles suivants, qui ont vu le jour du vivant de l'auteur7):

T. IX, p. 224, No. 2489. Chr. Huygens à l'auteur des Nouvelles de la République des Lettres, 8 Octobre 1687. Solution du Problème proposè par M. Leibnitz dans les nouvelles de la Republique des Lettres du Mois de Septembre 1687. - Comparez la Pièce II qui suit.

T. X, p. 95, No 2681. Chr. Huygens aux éditeurs des Acta Eruditorum, 5 Mai 1691, publié en juin 1691 sous le titre ‘Chr. Hugenii, Dynastae in Zulechem, solutio ejusdem problematis’. - Comparez la Pièce VI qui suit.

T. X, p. 407, No. 2793. Chr. Huygens à H. Basnage de Beauval, lettre publiée dans le fascicule de décembre 1692 - février 1693, au Mois de Février, dans l'Histoire des Ouvrages des Sçavans. - Comparez les Pièces V et VI qui suivent.

T. X, p. 512, No 2823. Chr. Huygens aux éditeurs des Acta Eruditorum, Septembre 1693, publié sous le titre ‘C.H.Z. de problemate Bernouliano in actis Lipsiensibus hujus anni pag. 235 proposito.’ - Comparez la Pièce VII qui suit.

T. X, p. 673, No 2875. Chr. Huygens aux éditeurs des Acta Eruditorum, Août 1694, publié en septembre de la même année sous le titre ‘C.H.Z. Constructio universalis Problematis a Clarissimo viro, Jo. Bernoulio, superiori anno mense Majo propositi’. - Comparez la Pièce VII qui suit.

 

En considérant la liste des questions mathématiques traitées par Huygens dans l'Académie des Sciences de Paris, on voit qu'il s'intéressait aux maxima et minima présentés par les courbes, et plus généralement à ceux d'expressions algébriques8), à la détermination des tangentes aux courbes géométriques (c.à.d. celles dont les équations ne contiennent que des puissances de x et de y, et pas de fractions), ainsi qu'à la rectification et à la quadrature de certaines courbes, sans qu'il fût en possession d'une méthode générale pour ces deux derniers problèmes.

Aujourd'hui il est évident pour chacun de nous que la recherche des tangentes et celle des maxima et des minima des courbes y = f(x) ou f(x y) = 0 exigent la même différentiation et sont donc étroitement liées l'une à l'autre. L'on pourrait être tenté d'admettre qu'il devait en être de même pour Huygens. Tel n'était cependant pas le cas. Chercher la tangente à une courbe, ce n'est pas pour lui déterminer une tangente trigonométrique exprimée par un rapport (ce serait là un anachronisme), c'est déterminer la longueur d'une droite, savoir la soustangente, d'après une règle

simple, trouvée comme on l'a vu. Mais chercher un maximum ou un minimum, c'est tirer les valeurs de x de l'équation qu'on obtient en formant ce que nous appelons la différentielle dy et en l'égalant à zéro. Cette dernière règle est générale, quoique le calcul ne soit pas toujours exécutable, tandis que la règle succincte pour trouver la soustangente est bornée, comme nous venons de le dire, au cas des courbes géométriques9). Il n'est donc pas absolument exact de dire, comme cela a été fait dans la note 6 de la p. 249 du T. X, que Huygens ‘évite ... toujours [nous soulignons] ... d'employer la différentiation des expressions irrationnelles’. Il ne l'évite pas quand il s'agit de chercher un maximum ou un minimum. Voyez les p. 89 et 101 du T. XIX: en 1690 il tire immédiatement de l'expression

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la différentielle



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qu'il égale à 0 pour calculer la valeur de x rendant minimale la valeur de l'expression donnée. Mais quand il a affaire en 1692 aux calculs de Hubertus Huighens, où il s'agit (note citée de la p. 249 du T. X) de calculer la soustangente, il commence par réduire l'équation de la courbe à la forme sans radicaux qui permet l'application de la règle, et il se figure que Hubertus doit avoir commencé par la considération de cette forme-là (‘hinc incepit’, p. 250) quoique, comme l'observe à bon droit la note 7, rien ne soit moins certain. A la fin de sa deuxième et dernière lettre Hubertus lui demande la ‘permissio te salutandi’, mais nous ne trouvons pas que Huygens l'ait invité à venir le voir; plus tard aussi il ne parle pas de lui comme d'une connaissance personnelle; peut-être avait-il l'impression qu'en tenant Hubertus à l'écart il conserverait mieux son prestige vis-à-vis de ce mathématicien un peu fantaisiste plus jeune que lui de vingt ans et ne jouissant, semble-t-il, d'aucune célébrité, mais dont pourtant il avait l'impression de ne pas comprendre à fond les méthodes donnant généralement des résultats exacts.

Après ce que nous venons de dire on conçoit que Huygens n'ait pas non plus remarqué dans la période française qui se termine en 1681 et même beaucoup plus tard ce qui nous paraît aujourd'hui si simple, savoir que la différentiation et l'intégra-

tion sont, non seulement dans des cas particuliers, mais généralement, des opérations inverses. Cependant la correspondance avec Leibniz l'amène de plus en plus à voir la connexion étroite des problèmes: ‘Je vois - écrit-il en 1692 - qu'on peut en supposant autant qu'on veut de quadratures, trouver les courbes à qui elles convienent, mais d'aller de l'équation à la quadrature, je n'y vois pas moyen, si non en quelques cas simples’10).

 

Cette connexion entre les divers problèmes nommés est proclamée par un autre mathématicien, du même âge que Hubertus Huighens, avec qui Huygens eut beaucoup plus de relations, savoir E.W. Tschirnhaus ou von Tschirnhausen11). Celui-ci le visita pour la première fois à Paris en aôut 167512), venant de Londres et recommandé par Oldenburg et Papin. Tschirnhaus ne tarda pas à faire, également à Paris, la connaissance de Leibniz à qui il avait été recommandé de même: c'est peut-être à ce dernier qu'il est redevable d'une partie de ses idées générales13). Plusieurs lettres furent échangées entre Huygens et Tschirnhaus, soit directement, soit par l'intermédiaire de P. van Gent, médecin à Amsterdam. Il serait trop long de résumer cette correspondance qui, de la part de Tschirnhaus, homme de talent mais fort sujet à errer14), consiste trop souvent dans une énumération de problèmes généraux qu'il dit pouvoir résoudre par des méthodes qu'il garde pour lui15); ce qui donne lieu à Huygens de critiquer ces vantardises réelles ou apparentes16). Au § 17 de la Pièce I qui suit on trouvera un théorème général de Tschirnhaus, énoncé par lui sans démonstration, et sur la valeur duquel Huygens est apparemment en doute: ce théorème est exact. Il n'en est pas ainsi d'un autre théorème assez semblable discuté au § 1 de la Pièce I, et sur le sujet duquel Huygens disait en mars 168716): ‘Tangentium inven-

tionem tuam in lineis circa plura centra descriptis vellem demonstratione confirmasses...’ Huygens n'en avait pas encore reconnu la fausseté17), lorsqu'il reçut trois jours plus tard la visite de N. Fatio de Duillier, jeune homme de 23 ans, qui l'avait aperçue18).

Cette visite fut un grand événement dans la vie de Huygens: la jeunesse frappait à sa porte, non pas pour l'évincer, mais pour travailler avec lui19). En 169220) Huygens écrira à Fatio (résidant alors en Angleterre), en parlant de Leibniz: ‘Vous voila egalement eloignez de vouloir rien apprendre l'un de l'autre, qui est une delicatesse que je n'ay point, ainsi qu'il a paru; car j'ay esté bien aise d'apprendre de tous les deux [nous soulignons].’

La Pièce I fait voir comment Huygens, de concert avec Fatio, considéra, après la correction du théorème de Tschirnhaus dont nous avons parlé, en restant dans le même ordre d'idées, la méthode pour mener des tangentes aux courbes données en coördonnées bipolaires etc.21) - Nous avons déjà parlé du § 17 qui fait bien voir que dans l'esprit de Tschirnhaus il s'agit en premier lieu de courbes pouvant être décrites par des fils tendus, comme c'était aussi le cas pour la première ovale de Descartes, dont la considération sous ce point de vue par Huygens se rattache à celles de la Pièce I: si nous l'avons néanmoins placée - plus ou moins arbitrairement - parmi les ‘Mathematica varia 1681 - 1695’ c'est parce que cette ovale était une courbe fort connue à Huygens depuis sa jeunesse. On voit bien ici - nous pourrions dire la même chose pour la chaînette22) - que les ‘problèmes modernes’ dont traite la présente Partie n'étaient pas en général des problèmes parfaitement nouveaux: la chose essentielle c'est l'évolution des méthodes qui permettait souvent de chercher les solutions avec plus de succès. Dans ses ‘Commentarii in Librum II’ de la Géométrie de Descartes van Schooten n'avait pas tâché de justifier la construction de Descartes à l'aide d'un fil de la première ovale, comme le fait Huygens en 1690.

Dans la Pièce I les §§ 6 et 7 sortent du cadre, puisqu'il y est question de tangentes à la parabole et à la circonférence de cercle données l'une et l'autre en coördonnées cartésiennes, la direction d'une tangente étant déterminée, directement, par le calcul du rapport de deux côtés du triangle caractéristique fort ou plutôt infiniment petit. Comparez la note 9 de la p. 482.

 

Ces calculs eurent aussi pour résultat de mettre Huygens en état de résoudre à sa manière - voyez le § 16 de la Pièce I - le problème posé par Leibniz en janvier 1680 que ce dernier intitule ‘Exemplum ex Nova mea Tangentium Methodo ductum’23), que nous avons publié à la p. 269 du T. VIII en disant (note 3): ‘Dans les Oeuvres inédites qui suivront cette Correspondance, nous aurons l'occasion de revenir sur ces recherches de 1687’. Nous ne jugeons pourtant pas nécessaire de reproduire dans le présent Tome les p. 17-19 du Fasciculus II de P.J. Uylenbroek (1833), où celuici indique quelle aurait été la forme de la démonstration d'après les idées de Leibniz.

 

Comme Huygens, Fatio était avant tout géomètre. ‘Les lignes droites’, dit-il, ‘sont plus commodes que les nombres, pour exprimer toutes sortes de proportions’24).

 

En 1691 - comparez la p. 396 qui précède - le jeune suisse revint à la Haye pour y rester plusieurs mois. Entretemps il avait été en Angleterre, où il devait passer le reste de sa longue vie: il en revenait plein de respect pour les méthodes anglaises - nous rappelons que les ‘Principia’ de Newton avaient paru en 1687 peu après les recherche du § 1 de la Pièce I qui suit -, bien convaincu aussi qu'il avait appris à connaître plutôt les résultats obtenus par ces méthodes, que les méthodes elles-mêmes25). On sait que Newton, quoiqu'il parle de sa méthode des fluxions dans le Lemma II de la Sectio II du Liber Secundus, avait en général donné à son livre une forme géométrique qui en rend la lecture malaisée. Dans une lettre à Römer de septembre 169026)

Huygens parle du ‘Newtoni librum ... in quo obscuritas magna ... attamen multa acute inventa’. C'est en 1691, plus encore qu'en 1687, que Fatio et Huygens travaillèrent ensemble. La Pièce III qui suit, de beaucoup la plus longue des Pièces de la présente Partie, fait voir que la méthode de Fatio pour résoudre le problème inverse des tangentes fut amplement considérée par les deux savants. Il y a des pages (voyez nos §§ 13-18) où les mains de Fatio et de Huygens alternent dans le Manuscrit, comme on en trouve ailleurs, datant de 1675-1676, où alternent celles de Leibniz et de Tschirnhaus27). Vu le grand intérêt témoigné par tant d'historiens pour tout ce qui se rattache à la période de l'enfance du calcul infinitésimal moderne (étroitement lié, il est vrai, à des spéculations antiques, notamment à celles d'Archimède), nous croyons bien faire de publier toutes ces pages in extenso.

Fatio avait déjà donné un aperçu de sa méthode dans sa lettre à Huygens du 24 juin 168728); mais la chose en resta là jusqu'à la visite à la Haye de 1691. Voyez, au début du § 3 de la, Pièce III, ce que nous disons sur des exposés plus complets, respectivement par Fatio et par Huygens, en 1691 et en 1693.

Dans le même temps Huygens était en correspondance avec Leibniz qui d'ailleurs lui avait demandé déjà en 167929) s'il avait ‘quelque beau probleme, qui dépende à Methodo Tangentium inversa’ disant ‘je serois bien aise de voir si j'en pourrois venir à bout’; mais alors Huygens n'avait pas satisfait à cette demande, et la correspondance était demeurée interrompue depuis janvier 168030) jusqu'à janvier 1690 (avec l'exception d'une lettre de Leibniz de janvier 168831); voyez ce que nous disons dans la note 30 sur cette lettre et sur la Pièce II qui suit). En 1690 les lettres échangées furent au nombre de onze, en 1691 de quatorze. Ce fut dans la lettre du 24 août 169032), où Huygens dit: ‘J'ay vu de temps en temps quelque chose de Vostre nouveau calcul Algebraique dans les Actes de Leipsich, mais y trouvant de l'obscuritè, je ne l'ay pas assez etudiè pour l'entendre, comme aussi parce que je croiois

avoir quelque methode equivalente, tant pour trouver les Tangentes des Lignes courbes où les regles ordinaires ne servent pas, ou fort difficilement [est-ce une allusion au calcul de la tangente à la courbe logarithmique, à l'aide du triangle caractéristique, note 9 de la p. 482? ou plutôt à celui du calcul de la Pièce I de 1687, ayant trait aux courbes données en coördonnées bipolaires etc? c'est bien plus probable puisque par ce dernier calcul Huygens avait résolu le problème de Leibniz dont il est question dans la note 30], que pour plusieurs autres recherches’, que Huygens proposa enfin à Leibniz quelques problèmes dépendant de la ‘Methodus Tangentium inversa’: les soustangentes données étaient y2/2x - 2x et illustratie, choisies comme le dit le passage du Manuscrit G qui constitue l'Appendice à cette lettre. Leibniz trouva des solutions. Nous croyons inutile de résumer la correspondance ultérieure de 1690 entre Huygens et Leibniz, où il est encore question d'autres soustangentes et des courbes correspondantes: elle est pourvue, comme nous l'avons dit plus haut, de notes explicatives et d'Appendices empruntés aux manuscrits. Le lecteur qui s'intéresse au sujet peut bien prendre la peine de la lire lui-même.

On conçoit maintenant que puisque Huygens, au moment de recevoir la deuxième visite de Fatio, était déjà en correspondance depuis plusieurs mois avec Leibniz sur le problème inverse des tangentes, la méthode de Fatio fut accueillie par lui avec beaucoup d'intérêt; et que dans la Pièce III on rencontre plusieurs fois le nom du savant allemand ainsi que les équations déjà examinées. Dans sa lettre du 23 février 169133) Huygens ne cache pas à Leibniz que Fatio est à la Haye, que sa méthode se perfectionne, et qu'il ‘m'a trouvè les deux mesmes courbes dont je vous avois proposè les soustangentes’. Il fut bientôt question d'un échange des méthodes, premièrement proposé par Leibniz en mars 169134); on trouve dans notre T. X l'histoire des pourparlers sur cet échange qui en fin de compte n'eut pas lieu; la discussion se prolongea jusqu'en mai 1692. ‘Eruditi fontes inventionis alijs non libenter communicant’ disait Tschirnhaus en 168735).

 

Huygens traita aussi du problème des tangentes renversées dans sa correspondance avec le jeune Marquis de l'Hospital qui avait déjà pris son parti en 1690 dans la ques-

tion du centre d'oscillation36). Pas moins de 28 lettres échangées de 1692 à 1695 se trouvent dans notre T. X. N'ayant que fort peu à ajouter à cette importante correspondance, nous ne croyons pas qu'il y ait lieu de la résumer ici. On n'y remarque guère de réticences. Qu'on relise p.e. la lettre de Huygens, mentionnée au début du § 3 de la Pièce III, où il expose la méthode de Fatio, ou la fin de son article de 1693 dans l'Histoire des Ouvrages des Sçavans’ (No 2793, p. 481 qui précède) où il fait l'éloge du Marquis. Ce dernier, ayant mieux pu assimiler les méthodes leibniziennes, se montrait en effet plus avancé que Huygens dans l'art, si important et si complexe encore aujourd'hui, d'intégrer les équations différentielles.

 

Il convient de ne pas terminer cet Avertissement sans dire encore un mot du calcul anglais des fluxions. En juin ou juillet 169337) Huygens reçut la visite de David Gregory qui lui communiqua une certaine règle et lui parla de Newton. Huygens communiqua à son tour à Leibniz ‘l'extrait de l'ouurage de Mr. Wallis touchant M. Newton’ qu'il avait reçu en cette occasion38). Le 29 mai 169439) Huygens écrit à Leibniz: ‘Mr. Wallis m'a envoiè la nouvelle edition Latine de son grand ouvrage de Algebra, augmentè de quelque chose de nouveau des series de Mr. Newton, où il y a des equations differentielles, qui ressemblent tout à fait aux vostres, hormis les characteres’. A quoi il ajoute le 16 juin dans une lettre à de l'Hospital40), après avoir cité Wallis disant que la méthode exposée par Barrow dans ses ‘Lectiones Geometricae’ est plus ancienne que celles de Newton et de Leibniz et que ‘quod ab his duobus est superadditum, est formularum analyseos brevium et commodarum adaptatio illius theorijs’: ‘En quoy pourtant il [Wallis] fait tort à ces Messieurs’.


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