Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 413]

I. À Paris (mai 1666 - août 1670)

I, 1. De combinationum mirandis¹⁾.
[1668]²⁾

§ 1.

1	a
2	ab
	ba
6	abc
	bac
	acb
	bca
	cab
	cba
24	...

Si scire velim quot sint combinationes 4 diversarum notarum aut literarum a b c d, notum est multiplicandas tantum esse continuè numeros ab unitate ad quaternarium. Scilicet 1 in 2 facit 2, hoc in 3 facit 6, hoc in 4 facit 24, qui est numerus combinationum quaesitus.

Ergo si scire velim quot sint combinationes centum mille notabarum differentium, oportet multiplicare in se continue numeros omnes ab 1 ad 100000. quod infiniti laboris esset. Vel oporteret addere in unam summam omnes logarithmos numerorum 1 ad 100000, et summa illa esset logarithmus numeri combinationum quaesiti. Sed et hoc immensi laboris esset. Verum methodo mea invenio facili negotio summam istam logarithmorum esse majorem quam 456571, 9800000, minorem autem proximè quam 456573,5000000 posito logarithmo denarij 1.0000000. adeo ut sit proxime 456572,0000000. Ergo cum characteristica hujus logarithmi sit 456572, sequitur numerum ipsi logarithmo convenientem habere characteres 456573. ac proinde numerus combinationum notarum 100000, tantus erit ut scribatur characteribus 456573. Ipse vero numerus, neque etiam primi characteres, hac methodo inveniri non possunt.

Methodus autem inveniendi summam logarithmorum numerorum quotlibet ab unitate continuatorum est haec. Fundamentum horum ex dimensione spatij a linea logarithmica et asymptóto ejus intercepti de qua in libro B.

Voyez les p. 439-442 et 460-471 du T. XIV. Huygens venait en outre de traiter en octobre 1668 de la ligne logarithmique, et de l'espace correspondant, dans les p. 86-98 du Manuscrit D que nous avons publiées aux p. 102-119 du T. XIX; il s'y agissait de la courbe de jet d'un projectile lorsque la résistance est proportionnelle à la vitesse.

1) Manuscrit D, p. 108-110,

2) On trouve les dates 28 Oct. 1668, 1669 et 1 Febr. 1669 respectivement aux p. 86, 118, et 145 du Manuscrit.

[p. 414]

Ducatur numerus maximus datorum in suum logarithmum et à producto auferatur alterum hoc quod fit multiplicando numerum maximum unitate diminutum, in numerum 4342945³⁾, posito nempe denarij logarithmo 1.0000000⁴⁾. Residuum minus erit summa logarithmorum quaesita. Addito vero semisse logarithmi numeri maximi, excedet dictam summam quaesitam.

[Fig. 63]
Soit KL, Fig. 63, la logarithmique (comparez la Fig. 1 de la p. 460 du T. XIV), AK = 1, RL = n (numerus maximus), AE = log EI, AX = log XV, oû nous supposons que XV surpasse EI de l'unité, donc YV = AK = 1. Log XV est par conséquent représenté par le rectangle VYyv et de même log RL par le rectangle LLʹlʹl. La somme cherchée est donc égale à l'ensemble des rectangles couvrant tout l'espace limité par les droites Ll, lK et la logarithmique, plus n - 1 triangles tels que VYI. Or, ‘quod fit multiplicando numerum maximum, unitate diminutum, in numerum 4342945’ est l'espace RLVIKAR, et en retranchant cet espace du rectangle RLIA on obtient l'espace LVIKIL⁵⁾ qui, comme le dit Huygens, est inférieur à la somme cherchée (‘terminus minor’).
Or, la somme des triangles tels que VYI serait égale à ½ RA, si les ‘hypoténuses’ de ces triangles étaient droites. Leur véritable somme est donc inférieure à ½ RA et en ajoutant à l'espace LVIKIL cet ½ AR (‘addito semisse logarithmi numeri maximi’) on obtient, comme le dit Huygens, une grandeur qui surpasse la somme cherchée (‘terminus major’). On voit que ce ‘terminus major’ se rapproche beaucoup plus de la vraie valeur que le ‘terminus minor’.

3) Voyez sur ce nombre la p. 441 du T. XIV.

4) C.à.d. 10 millions; comparez la dernière ligne du texte de la p. 11 qui précède. Consultez aussi les p. 216 et 264. Ailleurs dans cette même Pièce Huygens prend apparemment le logarithme de 10 égal à 1.

5) Cet espace peut s'écrire , ou l. désigne le logarithme népérien. On a ; or, pour passer aux logarithmes à base 10, il faut encore multiplier par log e, ce qui donne n log n - (n - 1) log e (où log e = 4342945), conformément à la valeur de l'espace LVIKIL déduite de la considération de la Fig. 63.

[p. 415]

Auferendo autem 7 posteriores characteres habebitur characteristica dictae summae, ad quam characteristicam addita unitate, habebitur numerus characterum numeri facti continua multiplicatione omnium numerorum datorum.

Quod si series datorum numerorum non incipiat ab unitate sed ab alio quovis numero, ducatur numerus maximus in differentiam logarithmorum maximi et minimi. Rursus differentia numeri maximi et minimi ducatur in numerum 4342945, et hoc productum a primo producto auferatur, eritque residuum minus quam summa logarithmorum quaesita. Addito vero semisse differentiae logarithmi maximi et minimi, fiet jam majus summa quaesita.

Ici Huygens s'est trompé. L'intégration (comparez la note 5), ou n_o désigne le ‘alius quivis numerus’ ou ‘numerus minimus’, donne nl.n - n_ol.n_o - n(n - n_o), ou, en passant aux logarithmes à base 10, n log n - n_o log n_o -(n - n_o). 4342945. Il aurait donc dû dire: ‘ducatur numerus maximus in logarithmum numeri maximi et ab hoc producto auferatur numerus minimus ductus in logarithmum numeri minimi auferatur item differentia numeri maximi et minimi ducta in numerum 4342945’, ce que la considération de la Fig. 63 confirme. Pour la même raison que plus haut on trouve ainsi, comme le dit Huygens, un ‘terminus minor’ qui se change en un ‘terminus major’ par l'addition, semblable à celle du cas précédent, qu'il indique.

§ 2.

Videri posset versus hexametros pentametrosque innumeros esse qui compositi sint vel componi in posterum possint non deficiente tempore. Id vero contra habere hic ostendam.

Si decem tantum essent literarum elementa, vox duarum literarum centum modis formari posset, vocalibus ac consonantibus nullo discrimine habitis. quod hinc constat quum decem existentibus notis arithmeticis, accersito etiam 0, centum sint numeri binis notis scribendi, ut 00, 01, 02 &c. 10, 11, 12 &c. Non enim plures sunt infra centenarium, nec pauciores etiam, cum quilibet numerus sit diversus.

Simili ratione vox trium literarum tunc mille differentias haberet: vox quatuor literarum decem millia differentiarum. atque ita porro. quae etiam aliter facile demonstrari possunt.

Ita quoque cum sint elementa 22, ostendi potest vocem duarum literarum habere varietates 484 qui est quadratus ex 22. Vocem trium literarum varietates 10648 qui cubus est 22. Vocem 4 literarum varietates 234256 quod est quadratoquadratum 22. Ac denique etiam versum 60 literarum habere varietates tot quot sunt unitates in potestate sexagesima numeri 22.

Logarithmus 22 est 1,3424227, qui sexagies sibi superadditus facit 80,5453620, cujus logarithmi characteristica cum sit 80, sequitur hinc potestatem sexagesimam numeri 22 habituram 81 characteres, eorumque primos patet fore 3510 &c. quia 0,545 est logarithmus 3510 &c. Itaque cum versus nullus hexameter pentameterve pluribus quam 60 literis constet, nam vix inveniuntur qui 50 habeant, sequitur numerum 3510 majorem esse numero omnium versuum ejusmodi vel illis breviorum qui fieri unquam possint. Nam et breviores quam 60 literarum ita comprehendo, ut,

[p. 416]

perfecto versu, informes reliquae literae relictae credantur. Itaque in isto numero variationum omnes versus Virgilij, Ovidij, Horatij atque omnes omnium qui unquam facti sunt vel fieri possunt, scripti sint necesse est. Sed et multo minore numero continentur, cum varietates inutilus utilibus longe plures sint. Porro et Gallici, Belgici et omnium linguarum quae 22 elementis ijsdem scribuntur aut scribi possunt versus omnes non ultra 60 literas habentes eodem numero continentur.

Quod si scire libeat quot diversa poëmata vel etiam opera prosa oratione scribi possint totidem literis quot continet Virgilij Aeneis, dico et illum operum numerum infinitum nequaquam esse, sed facile numerum majorem assignari posse.

Sunt enim in Aeneide versus non plures quam 9450, unde literae non plures quam 500000, positis 50 literis et amplius in singulos versus, etsi tot rarissimè vel nunquam inveniantur. Hic igitur variationes erunt quot unitates in numero qui sit 500000^ma potestas numeri 22, quae potestas scribitur 671212 characteribus, quorum primus 2, qui erit immanis numerus, sed respectu infiniti minimus.

Numerus iste characterum invenitur ut supra, sed hîc logarithmus numeri 22, qui est 1,3424227 ducendus 500000^es et fit 671211,3500000; unde demtis 7 postremis notis relinquitur characteristica 671211, cui addita unitate fit 671212. Primus autem character erit 2, propter 35 post characteristicam.

Quaecunque igitur opera tot quot Aeneis Virgilij literis scribi possunt vel paucioribus, certo illo numero variationum continentur, etiam ijs computatis quae tota ex litera a, b vel alia constarent, immensâque praeterea multitudine nihil significantium. Omnia itaque naturae et artis arcana quae vel ipse Deus illo numero literarum vel minore perscribere posset eodem variationum numero comprehenduntur.

Ad inveniendum quoties literae versus alicujus transponi possint, ut illius

Discite justitiam moniti et non temnere diuos⁶⁾,

oportet videre primum quot literis constet, ut hic 39; quae si omnes diversae essent, videndum quis tunc futurus sit transpositionum numerus, per praecedentia, qui fit hic 47 characterum. Deinde videndum quoties quaeque litera repetatur, ut hic inveniuntur

d	i	s	c	t	e	m	n	a	o	r	u
2	8	3	1	6	5	3	4	1	3	1	2

His subscribantur numeri transpositionum quas haberent singulae literarum summae si non ijsdem sed diversis literis constarent:

2

39920

6

1

720

120

6

24

1

6

1

2

ita duarum variationes sunt 2, octo diversarum variationes 39920 ex praecedentibus. Et sic porro. Tum his infimis numeris omnibus in se ductis, per productum hoc dividatur numerus transpositionum primo inventus, et quotiens erit numerus transpositionum quaesitus. Haec facile demonstrantur.

6) Aeneis, lib. VI, vs. 620.

[p. 417]

I, 2. Trois problèmes sur les triangles.
[1668 ou 1668-1669]

A¹⁾.

Triangula duo reperire isoscelia, aequalia et isoperimetra, quorum latera singula et perpendiculares numeris²⁾ exprimantur. Hypotheses Mariotti.

Hypothesis laterum AC, CB, BA [Fig. 64]:

[Fig. 64]

Il s'agit donc de trouver des valeurs convenables, c.à.d. des nombres entiers ou fractionnaires, pour a, b et c qui satisfassent à cette dernière équation. A cet effet Huygens pose



Exemple: c ∞ 1, d ∞ 2, fit b ∞ ⅗, a ∞ 7/5.

1) Manuscrit C. p. 262, juillet 1668.

2) Ici il s'agit apparemment de nombres entiers ou fractionnaires, non pas de nombres sourds (voyez sur ces derniers ‘nombres’ les p. 188 et 370 qui précèdent).

B³⁾.

Invenire triangulum isosceles habens aream dato spatio aequalem et crura una cum basi aequalia lineae datae. ubi eadem aequatio invenietur atque cum crura demptâ basi datae lineae aequalia exigentur, quoniam calculus analiticus non tam attendit quid geometrice propositum sit, quam quid agat revera. Est enim hic calculus idem ac si proponatur datis rectis b et d invenire lineam x a cujus quadrato si auferatur quadratum differentiae inter b et x residui radix ducta in dictam differentiam ipsarum b et x aequet rectangulum bd.

3) Manuscrit D, p. 114, fin 1668.

[p. 418]

Potest hic x major vel minor quam b sumi ut tamen ad eandem aequationem cubicam deveniatur, cujus tres erunt verae radices quae proposito satisfacient.

Robervallius negabat tertiam radicem utilem esse in hoc problemate.

Potest et sic proponi. Invenire triangulum isosceles quod habeat aream aequalem spatio dato, et cujus tria latera contingant circumferentiam circuli dati. ubi triangulum etiam sic ordinatum intelligi potest ut circulus sit extra triangulum, et contingat basin et latera ultra basin producta. Et sic rursus 3 radices veras habebit aequatio.

Ita radix aliqua inutilis aliquando est intentione nostra, sed utilis tamen natura.

C⁴⁾.

In triangulo ABC [Fig. 65], dato latere BC ∞ b, angulo opposito BAC, et recta BD quae angulum bifariam secat ∞ a, invenire

[Fig. 65]

triangulum.

Patet ex hac aequatione quod punctum D seu terminus lineae AD ∞ y, est ad hyperbolam quae datam positionem habet ad rectam BA et punctum ejus B. Idem vero D punctum est quoque ad circumferentiam centro B radio BD ∞ a descripta. Ergo dabitur punctum D ad intersectionem circumferentiae hujus et hyperbolae datae. Asymptoti sese secant ad angulos rectos.

Constructio. Etc.

4) Manuscrit D, p. 133, janvier ou fèvrier 1669.