Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 295]

Appendice II¹⁾
À la pièce I de la p. 225 (Règle pour trouver les logarithmes, 1666 ou 1667).
[1661]

Radix²⁾ quintò extracta ex 2 est 10218971486541, haec est f. Radix sexto extracta ex 2 est 10108892860517, haec est g.

Hinc invenitur n in ³⁾, unde logarithmus numeri 2 fit 30102999567 in quo decem notae verae sunt undecima unitate veram superat. Cujuslibet numeri primi denario minoris logarithmus inveniri potest⁴⁾ extrahendo sexies radicem continuè; et deinde ternis magnis divisionibus et una multiplicatione. una enim divisio est 100fd/81f + 81d + 108g, altera ad/f, tertia . multiplicatio est n in .

Sunt autem hae extractiones radicum multo minus operosae quam quibus utebantur in vulgari logarithmorum inventione, ubi ex 32^bus characteribus cum totidem zero adjunctis extrahebant, idque quadragies circiter ut habeantur decem characteres logarithmi veri. Si⁵⁾ dati numeri qui denario major sit, invenire logarithmum libeat; extrahatur ab eo toties continue radix quadrata donec ultimo extracta minor sit radice sexta ex 10, nempe 10366 &c. Voceturque ultimo extracta g, penultima f; omniaque dein-

1) Voyez sur cette Pièce, empruntée à la f. 11 v du portef. ‘Musica’ - ce qui indique que la date de la f. 11 est 1661; comparez la p. 145 qui précède - la p. 205 de l'Avertissement qui précède.

2) Voyez sur ces calculs la p. 458 du T. XIV, ainsi que la ‘Regle pour trouver les logarithmes’ - communication de Huygens à l'Académie de 1666 ou 1667 -, mentionnée dans la note 1 de la p. 452 du T. XIV et publiée à la p. 225 qui précède.

3) Ce nombre devrait être, semble-t-il, la 54^ième partie du nombre 12569535892606 qu'on trouve à la p. 226 qui précède. Toutefois la dite partie, savoir 232769183196, est un peu plus petite que le nombre formé par les douze premiers chiffres de celui de texte. Les neuf premiers chiffres sont les mêmes.

4) Voyez la note 2 de la p. 451 du T XIV.

5) Cet alinéa (jusqu'à ‘numeri propositi logarithmus’) s'accorde presque textuellement avec le deuxième alinéa de la p. 459 du T. XIV. Comparez la note 7 qui suit.

[p. 296]

ceps eodem modo peragantur ut prius; et invenietur hac ratione logarithmus radicis quae septima ab ultimo extracta numeratur, sive quae sex locis illam praecedit; idque aeque accurate atque modo logarithmum binarij invenimus, nempe ad 10 characteres veros. Inventum deinde logarithmum duplicando existet logarithmus radicis octavae ab ultima; et rursus duplicando, nonae; atque ita porro duplicatio continuabitur donec existat ipsius numeri propositi logarithmus. nullus autem numerus infra 100 000 000 opus habebit pluribus quam 9 extractionibus radicum.

Quia logarithmus denarij ad logarithmum numeri quaesiti (nempe hîc ad logarithmum binarij) compositam habet rationem, uti jam vidimus, ex a - d ad a - ad/f et ex p. ad n; ratio autem p ad n, hoc est ad eadem est (si utrinque multiplicemus per 54) quae ad . Idcirco potius has utrasque summas vocabimus p et n. Eritque Regula ad inveniendos logarithmos hujusmodi⁶⁾.

Habeantur⁷⁾ radices primum continuè è denario extractae usque ad sextam vel septimam characterum 14. Et radix ultimo extracta vocetur b, quae vero penultimo sive illam praecedens vocetur a. Et unitas vocetur d. Omnia autem ducta intelligantur in 1⑬⁸⁾ ut radicum fractio evanescat.

Radix quinta ex 10 est		10746078283213	a
Radix sexta ex 10 est		10366329284377	b
Unitas vero		10000000000000	d
Iam inveniatur numerus aequalis istis simul
	200 da/3d + 3a + 4b + 40b - 3a - 3d

6) Voyez la note 4 de la p. 459 du T. XIV.

7) Tout ce qui suit (excepté la remarque finale en marge) s'accorde presque textuellement avec le début de la Pièce des p. 458-459 du T. XIV.

8) C.à.d. un 1 suivi de 13 zéros.

[p. 297]

qui numerus vocetur p (est autem 55966103584532) idemque ducatur in a - d, ac productus inde vocetur v, qui numerus ad omnes logarithmos inveniendos adhibebitur, estque 4175509443116778. Sed hos priores characteres adhibere sufficit. Si igitur ex. gr. sit inveniendus logar. binarij; habeantur et hujus radices quinto sextoque extracti sicut de denario diximus et

Radix quinta ex 2, nempe	10218971486541,	vocetur	f.
Radix sexta	10108892860517,	vocetur	g.
unitas ut ante	10000000000000,	vocetur	d.
Similiter quoque inveniatur numerus aequalis istis simul

qui numerus vocetur n. In hoc exemplo est 545869542830178.

Hic numerus n ducatur in a - ad/f productusque inde vocetur s, qui est 12569535892606 &c. Jamque sicut inventus numerus v ad s ita logarithmus denarij ad logarithmum quaesitum propositi numeri, nempe hîc 0,30102999567. Pro characteristica praeponitur 0, idque scimus faciendum quando datus numerus minor est denario.

En marge: Regula ad inveniendos logarithmos. his multo meliora suppetunt ex quadratura hyperbolae N. Mercatoris⁹⁾.

9) En 1668 (T. VI, p. 276) Huygens parle également avec éloges de la ‘Logarithmo-Technia’ de N. Mercator qui venait de paraître. Il est évident qu'il a ajouté cette remarque à la présente Pièce longtemps après la composition. - Voyez aussi sur l'ouvrage de Mercator la p. 431 du T. XIV ainsi que la communication de Huygens du 17 octobre 1668 à l'Académie Royale des Sciences (p. 260 qui précède), dont il est déjà question à la page 431 nommée.