Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 451]

I¹⁾.
1661.

aug. 1661.

1) La Pièce est empruntée aux p. 17-19 du Manuscrit B.

Fundamentum regulae nostrae ad invenienaos logarithmos²⁾.

[Fig. 1.]

2) Voici, en notation moderne et sous sa forme la plus générale, la règle qu'on peut déduire des indications qui suivent: Posant AB = α, FG = β, ED = d, a = α^2-v d^1-2-v, b = α^2-v-1 d^1-2-v-1, f = β^2-v d^1-2-v, g = β^2-v-1 d^1-2-v-1, on a approximativement, pour des valeurs de v suffisamment grandes:

(1)

Prenant α = 10, d = 1, v 5, on trouve donc pour le calcul des logarithmes de Briggs la formule:

(2)

où .

[p. 452]

[Fig. 1.]

Sit AFE hyperbole cujus asymptoti SC, CD rectum angulum comprehendentes. sitque AB aequidistans SC partium 10, qualium ED 1, et FG 2, siquidem⁺ volo invenire logarithmum numeri 2. Quoties igitur spatium ABDE continet spatium FGDE, toties ratio AB ad ED continet rationem FG ad ED²⁾, per inventa Greg^ij a S. Vincentio³⁾. hoc est toties excessus logarithmi numeri AB supra logarithmum numeri ED continet excessum logarithmi numeri FG supra logarithmum numeri ED. notus autem est logarithmus numeri AB quem ponimus esse 10000000000 et logarithm. numeri ED sive 1, qui est 0. Ergo excessus logarithmi utriusque notus est nempe 10000 &c. idem videlicet qui logar. numeri AB.

Si ergo noscatur quam rationem habeat spatium ABDE ad spatium FGDE, notus erit excessus logarithmi num.ⁱ FG supra logar. numeri ED, adeoque logarithmus ipse numeri FG.

+ Vide librum C ante medium ubi de his agitur¹⁾.

1) Il s'agit des p. 110-111 du Manuscrit C, qui contiennent le résumé d'une communication présentée par Huygens à l'Académie des Sciences en novembre 1666. Nous reproduirons ce résumé dans un autre Tome de notre publication, qui contiendra les discours tenus par Huygens dans cette Académie. On y rencontrera un exposé de la ‘methode pour trouver les logarithmes’, à peu près dans la même forme que dans la présente Pièce mais sans aucune indication sur la manière dont la règle en question a été déduite. Joseph Bertrand a publié en 1868, p. 566-567 du T. 66 des Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, un résumé moins complet de la même communication. Ce dernier résumé fut emprunté aux Procès-verbaux conservés au Secrétariat de l'Académie.

2) En notation moderne: .

3) Voir la ‘Prop. CXXIX’, p. 596 de l'‘Opus geometricum’, ouvrage cité dans la note 6, p. 53 du T. I. Voici cette proposition, où nous avons remplacé les notations par celles de la Fig. 1: ‘Sint SC, CD asymptoti hyperbolae AFE, & AB, FG, ED parallelae asymptoto: plano autem ABGF, incommensurabile sit planum FGDE’ [le cas de la commensurabilité est traité par Grégoire dans la Prop. CXXV, p. 594 de son livre]. ‘Dico rationem AB ad FG, toties multiplicare rationem FG, ad ED, quoties quantitas ABGF continet quantitatem FGDE.’
On a donc, d'après cette proposition, , où la multiplication des deux membres par FG/ED amène la relation indiquée dans la note précédente.
Comparez encore le dernier alinéa de la p. 457.

[p. 453]

Ad inquirendam rationem dictorum spatiorum divido utrumque bifariam primo, quod fit inveniendo mediam proportionalem inter lineas extremas, veluti inter AB, ED constituta media NO, ea bifariam dividet spatium ABDE. Rursus medietates quae versus ED eadem ratione biseco, et harum medietates denuo atque id aliquoties continuo, prout accurate logarithmum invenire lubet. Ponamus exempli gratia HKDE spatium per 5^tam bisectionem inventum esse, ideoque 32^mam partem spatij ABDE, ac similiter spatium LD ex 5^ta bisectione spatij FD ortum esse, ac proinde 32^mam partem dicti spatij FD. Si igitur nota sit ratio spatij HD ad spatium LD, ea erit ipsa ratio spatij ABDE ad FGDE.

[Fig. 2.]

Spatia HD et LD separatim inveniuntur hoc modo. Sumamus spatium HD [Fig. 2]. Inter HK, ED media constituatur PQ et a centro hyp. T ducatur recta TPR, quae rectam HE necessario bifariam secabit in R⁴⁾ unde ducatur RS. item XRΔ, YPO parallelae TD asymptoto. fit igitur ▭XD aequ. trapezio HKDE. et necessario ▭XO ∞ triangulo HPE. nam quia Pθ dupla Pλ⁵⁾ erit ∆^mPHΘ aequ. ▭PX et ∆^mPEθ aequ. ▭PΔ. Auferenda autem est portio hyperbolae HPE à trapezio HKDE sive a ▭^oXD ut habeatur spatium HKDEP. quae portio per nostra theoremata de quadr. hyperbolae⁶⁾ sic

4) Comparez l'avant-dernier alinéa de la p. 457.

5) À cause de l'égalité, au cas de l'hyperbole équilatère, des angles HRX et TRX. Comparez le début de l'avant-dernier alinéa de la p. 457.

6) Voir (p. 305 du T. XI) le ‘Theorema VI’ des ‘Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro’. D'après ce théorème on a la proportion, segm. hyp. , où V représente le centre de gravité du segment hyperbolique.

[p. 454]

[Fig. 2.]

proximè invenitur. Sit RV ∞ 2/5 RP¹⁾, jam V erit proximè centr. gr. portionis HPE. Unde sicut VT ad 2/3 totius

RTP²⁾ ita

∆^mHPE ad portionem HPE. hoc est, si ut VT ad 2/3 RTP ita siat PR ad Rω erit ∆^mHωE aequale proxime portioni HPE. vel ducta VΠ parall. XΔ, si ut ΠS ad 2/3 RSΣ ita fiat RΣ ad Rφ ducaturque Zφδ, erit ▭Xδ ∞ portioni HPE³⁾, ideoque ▭ZD ∞ spatio HKDE quaesito. datis autem HK, ED et inter ipsas mediâ PQ, data erit φS ducenda in KD ut habeatur ▭ ZD. Veluti si HK vocetur a, ED voc. d, PQ voc. b ∞ √ad, fit RS ∞ 1/2 a + 1/2 d, ΣR [∞] 1/2 a + + 1/2 d - b. cujus 3/5 [∞]ΣΠ [∞] 3/10 a + 3/10 d - 3/5 b.

ΠΣ⁴⁾ (3/10 a + 3/10 d + 2/5 b) [ad] 2/3 RSΣ (1/3 a + 1/3 d + 2/3 b) [ut] RΣ (1/2 a + 1/2 d - b) [ad] . hic consideravi bb esse ∞ ad.

1) Formule exacte, dans le cas d'un segment parabolique, pour déterminer la situation du centre de gravité V.

2) RTP représente .

3) On a trouvé Port. HPE = ∆HωE; mais ∆HωE = ωR/TR ∆HTE = Rφ/RS ∆HTE. Or, ∆HTE = trap.HKDE (à cause de l'égalité des triangles HTK et ETD) = ▭XD. Par suite ∆HωE = Rφ/RS ▭XD = ▭Xδ.

4) Lisez: ΠS.

[p. 455]

hoc est . ducenda in KD. Similiter data LM [Fig. 1] ∞ f et ED ∞ d, interque ipsas media prop.ⁱ ∞ ∞ g ∞ √fd. invenietur altitudo ducenda in MD, daturaque sic rectangulum aequale proximè spatio LD; ea inquam altitudo invenietur ; mutatis nempe tantum a in f et b in g, in terminis qui inventi sunt pro quantitate Sφ [Fig. 2]. Vocetur altitudo Sφ, p. Et altera quam dixi ducendam in MD [Fig. 1] vocetur n. Quadratum vero hyperbolae γψ [Fig. 2] sit qq. fit igitur KD ∞ ∞ qq/d - qq/a. Et MD [Fig. 1] ∞ qq/d - qq/f. Itaque ratio spatij HD ad spatium LD erit ea quae p in qq/d - ad n in qq/d - qq/f. Sed ratio qq/d - qq/a ad qq/d - qq/f est eadem quae ad sive a - d ad a - ad/f. Ergo ratio spatij HD ad spatium LD erit ea quae p in a - d ad n in a - ad/f.

Ad inveniendos logarithmos numerorum primorum ab unitate ad centenarium, d sit unitas, AB 10. Itaque p in a - d, hoc est, numerus exprimens spatium HD (quod pars nota est spatij ABDE) semel tantum inveniendus est ad logarithmos omnium numerorum primorum infra centenarium reperiendos; imo ad omnes omnino. Sicut p in a - d ad n in a - ad/f ita erit logarithmus denarij (quia idem quoque est excessus logarithmi denarij supra logar.^m unitatis) ad logar.^m numeri propositi quia hic quoque excessus est logarithmi numeri propositi supra logarithmum unitatis qui est 0.

Radix quae quinto extrahitur ex 10 est 10746078283213⁵⁾, haec est a.

5) On retrouve cette donnée et la suivante (avec 15 chiffres de plus) à la p. 10 de la première édition (de 1624) de l'‘Arithmetica Logarithmica’ de Briggs; ouvrage cité dans la note 4 de la p. 477 du T. I.

[p. 456]

Radix quae sexto extrahitur ex 10 est 10366329284377, haec est b.

unitas 10000000000000, est d¹⁾.

Hinc invenitur Sφ sive p, in a - d ∞ 77324248946607, qui est numerus, semel tantum inveniendus ut diximus²⁾.

[Fig. 3.]

HPE hyperbole. asymptoti γT, TD. HK, PQ, ED parallelae asymptoto Tγ. PQ media prop. inter HK, ED. Ost. trapezium HPQK aequale trapezio PEDQ.

qu.hyp. TO ∞ aa; TK ∞ b; TD ∞ ∞ c; aa/b HK; aa/c DE; PQ sive aa/√bc; TQ ∞ √bc; KQ; QD.

1) Remarquons que par l'introduction de cette nouvelle unité d = 10¹³, la formule (2) de la note 2 de la p. 451 est remplacée par la suivante:

(3)

,

où maintenant , tandis que d peut être choisi égal à une puissance quelconque de 10.
Ajoutons que les p. 11-16 du Manuscrit B contiennent des calculs qui se rapportent à l'application de la règle à la détermination du ‘logar. numeri 2’. Après avoir trouvé à la p. 11 les mantisses 301029994, Huygens reprend une partie des calculs, et trouve 30102999567; résultat ‘ou il y a 10 characteres vrais et l'unzieme qui surpasse le vray de l'unitè’, comme il s'exprime dans sa communication à l'Académie des Sciences.
Quant aux valeurs de f et g, employées dans ces calculs, on les trouve à la p. 458 qui suit. Huygens les a calculées à l'aide de tables de logarithmes à 14 mantisses de l‘Arithmetica Logarithmica’ en divisant log 2 respectivement par 32 et 64 et en cherchant les nombres correspondant à ces logarithmes. Cela était évidemment permis puisqu'il ne s'agit que d'une vérification de l'exactitude de la règle en question.

2) Ainsi se termine la description de la règle. Ce qui suit se rapporte aux propriétés de la Fig. 3 et à la proposition de Grégoire de St. Vincent, citée dans la note 3 de la p. 452.

[p. 457]

aabcc - aabbc ∞ aabcc - aabbc bon. Demonstratio adscripta est hac eadem pagina³⁾.

HK ad PQ ut PQ ad ED. HK + PQ ad PQ ut PQ + ED ad ED et HK + PQ ad PQ + ED ut PQ ad ED sed ut PQ ad ED ita DQ ad QK (quia ut PQ ad ED ita DT.QT.KT⁴⁾). Ergo HK + PQ ad PQ + ED ut DQ ad QK. unde quod fit ab HK + PQ in KQ aequale quod sit ab PQ + ED in DQ. Ideoque et utriusque dimidia aequ.^a. nempe trapez. HKRS trapez. RSDE⁵⁾.

Ost. TQ (√bc) [ad] QP(aa/√bc) [ut] EL (c - b) [ad] LH (aa/b - aa/c)

aac - aab ∞ aac - aab bon

cum ergo anguli RTS, REL sive RVS sint aequales, fiet RV aequ. RT, ductaque γPN parall. RV, etiam PN aeq. PT sive etiam ipsi Pγ cum ∆γPT isosc. Ergo γPN tangit hyperb. in P. Ergo P vertex portionis HPE, ideoque TPR ex centro hijperb. T educta secat basin portionis HE bifariam in R. ipsamque portionem in duo aequalia, e quibus auferendo ∆^a aequalia HPR, EPR etiam segmenta reliqua aequalia erunt HP, PE. quibus ablatis a trapezijs aequalibus HPQK, PQDE relinquentur spatia mixtilinea HOPQK, PMEDQ inter se aequalia⁶⁾.

Hinc jam facile ostenditur⁷⁾ Rationem HK ad ED toties multiplicem esse rationis MG ad ED, (sumpta MG ad libitum inter HK, ED,) quoties spatium HKDEP mixtilineum, multiplex est spatij MGDE. Ut si MG sit media prop. inter PQ, ED, fit ratio HK ad ED quadrupla rationis MG ad ED, sicut et spatium HKDEP quadruplum spatij MGDE.

3) Voir la démonstration qui suit.

4) Huygens veut dire qu'on a PQ : ED = DT : QT = QT : KT.

5) Lisez: ‘trapez. HPQK trapez. PQDE’.

6) Ce résultat est identique avec la ‘Prop. CVIII’, p. 585 de l'ouvrage de Grégoire, mais la démonstration est différente.

7) Comparez la démonstration de Grégoire de la Prop. CXXV, mentionnée dans la note 3 de la p. 452.

1) Il s'agit des p. 110-111 du Manuscrit C, qui contiennent le résumé d'une communication présentée par Huygens à l'Académie des Sciences en novembre 1666. Nous reproduirons ce résumé dans un autre Tome de notre publication, qui contiendra les discours tenus par Huygens dans cette Académie. On y rencontrera un exposé de la ‘methode pour trouver les logarithmes’, à peu près dans la même forme que dans la présente Pièce mais sans aucune indication sur la manière dont la règle en question a été déduite. Joseph Bertrand a publié en 1868, p. 566-567 du T. 66 des Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, un résumé moins complet de la même communication. Ce dernier résumé fut emprunté aux Procès-verbaux conservés au Secrétariat de l'Académie.