Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

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Van rekeningh in spelen van geluck.
Du calcul dans les jeux de hasard.
1656-1657.

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Avertissement.

Aperçu de la genèse de l'ouvrage ‘De ratiociniis in ludo aleae’ et des recherches subséquentes de Huygens sur des questions de probabilité.

On sait qu'en 1654 le Chevalier de Méré, joueur renommé et un peu mathématicien, proposa à Pascal quelques problèmes concernant les jeux de hasard¹⁾, qu'il en résultait un échange de lettres²⁾ entre Pascal et Fermat et que ce fut là l'origine du calcul des probabilités. Or, l'année suivante, le jeune Huygens³⁾, déja connu par quelques ouvrages de mathématiques⁴⁾, se rendit à Paris en compagnie de son frère Louis et de son cousin Doublet⁵⁾. Ce séjour, jugé alors nécessaire pour compléter l'éducation de gentilshommes hollandais de leur condition⁶⁾, se prolongea de la mi-juillet jusqu'à la fin de novembre. Huygens ne

1) Voir la p. 290 du T. II des ‘OEuvres de Fermat, publiées par les soins de M.M. Paul Tannery et Charles Henry’, Paris, Gauthier-Villars, 1894.

2) On trouve ces lettres, pour autant qu'elles ont été conservées, aux p. 288-314 du T. II de l'édition citée dans la note précédente.

3) En juillet 1655, lorsqu'il arriva à Paris, Huygens avait l'âge de 26 ans.

4) Les ‘Theoremata de quadratura hyperboles, etc.’ (T. XI, p. 289), l'‘Exetasis Cyclometriae’ (T. XI, p. 315), l'ouvrage ‘De circuli magnitudine inventa’ (T. XII, p. 121) et les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ (T. XII, p. 183).

5) Voir sur Lodewijk Huygens la note 1 de la p. 12 du T. I, et sur Philips Doublet la note 7 de la p. 294 du même Tome.

6) Consultez la p. 356 du T. I, où Christiaan se permet de railler un peu les effets extraordinaires que son père attribuait à un tel séjour.

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rencontra à cette occasion ni Fermat (qui demeurait à Toulouse), ni Pascal¹⁾, ni Carcavy²⁾ qui avait servi d'intermédiaire lors de l'échange de lettres de ces deux savants sur les problèmes de de Méré³⁾; mais il fréquenta Claude Mylon, un des amis de Carcavy⁴⁾, et Roberval à qui l'on s'était adressé, de même qu'à Pascal, pour la solution des problèmes qui occupaient de Méré⁵⁾. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner que Huygens fut informé de l'existence de ces problèmes (dont l'un est resté connu sous le nom de ‘problème des partis’ et dont nous appellerons les autres ‘les problèmes des dés’) sans avoir l'occasion d'en connaître les solutions obtenues par Pascal et Fermat, ou les méthodes suivies par eux.

De retour en Hollande, Huygens ne tarda pas à commencer la composition de son Traité du calcul dans les jeux de hasard, qui roule presqu'entièrement sur les problèmes prémentionnés. Déja en mars 1656, il put écrire au professeur van Schooten qu'il lui enverrait ce qu'il préparait sur les jeux de dés⁶⁾; le 18 avril il fit savoir à Roberval⁷⁾ qu'il avait ‘depuis quelques jours escrit les fondements du calcul es jeux de hasard à la priere de Monsieur Schooten qui le veut faire imprimer’, et il lui posa le problème qu'on trouve dans la XIV^ième Proposition⁸⁾ de son Traité, en ajoutant qu'il désirait fort voir si lui (Roberval) en trouverait

1) En 1657 Huygens écrivit à Cl. Mylon ‘Si l'on ne m'eust asseurè lors que j'estois à Paris que ce dernier’ [Pascal] ‘avoit entierement abandonnè l'estude de mathematiques j'aurois taschè par touts moyens de faire connoissance avec luy’; voir la p. 7 du T. II.

2) Voir la lettre de Huygens à Carcavy du 1 juin 1656 (p. 427 du T. I), où on lit: ‘Monsieur Mylon m'ayant enseignè le lieu de vostre demeure j'ay estè fort marry de ne vous point rencontrer. Mais je ne vous ay pas cherchè en vain puis que en revenche vous avez eu la bontè de me venir trouver chez moy en m'escrivant en des termes si obligeants, et me donnant des louanges dont peut estre vous m'eussiez trouvè indigne si vous m'aviez connu de plus prez’ Ajoutons qu'après le retour de Huygens en Hollande Carcavy devint un de ses correspondants les plus assidus.

3) Voir les pp. 289 et 299 du T. II des OEuvres de Fermat.

4) D'ailleurs Claude Mylon lui-même s'intéressait aussi aux problèmes sur les jeux de hasard; voir la p. 426 du T. I de notre publication.

5) Voir la p. 290 du T. II des OEuvres de Fermat. Roberval avait même pris une certaine part à la discussion des problèmes en question; voir les pp. 302 et 310 du Tome cité.

6) Voir la p. 389 du T. I de notre publication, où on lit ‘De lusu aleae brevi aliqua concinnavero quae tibi mittam’.

7) Voir la p. 404 du T. I.

8) Voir la p. 87 du présent Tome.

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la même solution. Enfin, le 20 avril, il envoya à van Schooten un manuscrit qui probablement ne différait du texte que nous publions que par l'absence de la Prop. IX⁹⁾ et des Exercices vers la fin du Traité, dont Huygens abandonne l'analyse à ses lecteurs¹⁰⁾.

Il fut donc convenu entre van Schooten et lui que le petit traité de Huygens serait inséré dans l'ouvrage ‘Exercitationum mathematicarum Libri quinque¹¹⁾’ dont van Schooten préparait la publication. Cet ouvrage paraîtrait en deux éditions, l'une latine, l'autre hollandaise¹²⁾. L'édition latine devant être publiée la première, il était nécessaire de se procurer d'abord une version latine du manuscrit de Huygens que celui-ci avait écrit en hollandais parce que les termes latins lui manquaient. Après avoir achevé son ouvrage, il trouva cependant plusieurs de ces termes¹³⁾. Par suite il se fit fort, si c'était nécessaire, d'élaborer une traduction latine; mais avant de s'y consacrer il voulut savoir si van Schooten approuvait la manière dont il avait traité son sujet¹⁴⁾. Celui-ci lui répondit qu'il ferait la traduction lui-même, mais le pria de lui envoyer tout ce qui pouvait faciliter cette tâche¹⁵⁾. C'est à cette circonstance que nous devons la Pièce N^o. 289, p. 414-416 du T. I, qui nous fait connaître la disposition

9) Voir la p. 73. L'absence de cette Proposition dans le manuscrit envoyé le 20 avril (voir la p. 404 du T. I) résulte de la comparaison de la Pièce N^o. 289 du 6 mai, dont nous parlerons bientôt, avec le texte du Traité tel qu'il fut publié en 1657 en latin et en 1660 en hollandais.

10) En effet, la plupart de ces Exercices doivent leur origine à la correspondance de Huygens avec Carcavy et Mylon, qui commença seulement après le 20 avril 1656; voir les notes 7 et 13 de la p. 7.

11) Voir aux p. 50 et 52, qui suivent, le titre général de cet ouvrage et celui du ‘Liber V’ qui précède le traité de Huygens.

12) Voir, pour les titres de l'édition hollandaise, les p. 51 et 53.

13) Sur une feuille détachée qui date probablement de ces temps, Huygens annota les mots suivants: ‘alea. sors. fortuna. casus. lusiones. deponavit. certare. sibi sumere. qui ter superior fuerit. qui majorem numerum jecerit. senarium jacere. jactus. contendere’.

14) ‘Ecce tibi quae de aleae ludo videre desiderabas, sed vernaculo sermone conscripta, quod necessariò mihi faciendum fuit, quum vocabulis latinis destituerer. Sed absoluto opusculo pleraque reperi, adeo ut si opus fuerit omnia nunc latine reddere me posse arbitror. Prius tamen haec uti sunt tibi exhibenda credidi ut videas nunquid eo ordine quo hic digesta sunt totidemque verbis, an alia ratione, concinnata operi tuo accedere velis; et an omnia satis dilucidè sint explicata’; voir la lettre du 20 avril 1656, p. 404-405 du T. I.

15) ‘Quoniam autem opere absoluto plaeraque à Te reperta dicis, quae si opus exigeret nullo negotio eadem Latinè reddere possent, optarem, ut Latinè haec mihi versuro, cui longè minus ista ex veto succedent atque multò futura sunt difficiliora, ea quae idem opus facilitare ac promovere queant à Te suppeditarentur’; voir la p. 408 du T. I. Plus tard Huygens a renouvelé son offre de traduire lui-même son traité, ce que van Schooten accepta dans sa réponse du 13 juillet 1656 (p. 454 du T. I). Cela n'a pas empêché que finalement la traduction fut faite par van Schooten, comme il résulte de sa lettre du 18 mars 1657 (p. 19 du T. II) où on lit ‘Ecce tibi, Vir Clarissime, tractatum tuum de Ratiocinijs in aleae ludo, à me Latinè versum’.

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générale du Manuscrit envoyé, le 20 avril, à van Schooten. Lorsqu'on compare les phrases latines, suggérées par Huygens dans cette Pièce, avec le texte latin, tel qu'il parut dans les ‘Exercitationes’, on peut constater que, dans sa traduction, van Schooten n'a fait qu'un usage limité des indications de Huygens. Ajoutons que celui-ci n'était pas tout-à-fait satisfait de cette traduction¹⁾; ce qui fut pour nous une raison de plus de préférer pour notre texte la version hollandaise à la version latine, quoique cette dernière eût paru trois années plus tôt que l'autre.

En attendant la publication de son Traité, qui n'eut lieu que l'année suivante, Huygens devint de plus en plus anxieux de savoir si ses solutions et sa méthode s'accordaient avec celles des mathématiciens français. Ne recevant aucune réponse à sa lettre du 18 avril²⁾ à Roberval, il s'adressa à Mylon pour lui poser le même problème ainsi que quelques autres plus simples³⁾. Les solutions, en partie fausses⁴⁾, que Mylon lui envoya ne peuvent avoir eu beaucoup d'intérêt pour lui; mais c'est à cette occasion que, par l'intermédiaire de Mylon et de Carcavy, le problème principal parvint à la connaissance de Fermat et de Pascal⁵⁾. En effet, le 22 juin 1656⁶⁾ Carcavy fit part à Huygens de la solution de Fermat de ce problème, laquelle se trouvait être conforme à celle de Huygens. De plus, Fermat posa à Huygens d'autres questions plus dissiciles⁷⁾. Or, le même après-midi qu'il les reçoit, Huygens ‘trouve la solution de toutes, quant à la methode, non pas quant au calcul; qui est si long dans quelques unes d'elles qu'[il n'a] pas voulu s'amuser à le poursuivre jusques au bout⁸⁾’.

1) Voir sa lettre à de Sluse du 27 juillet 1657 où on lit (p. 42 du T. II) ‘Schotenij librum recens editum quam primum potero tibi mittam ...... Brevem quoque tractatum meum de Ratiocinijs in ludo Aleae, adjunctum videbis, sed non satis commode è lingua Belgica, qua fuerat à me conscriptus in latinam conversum’. Il est vrai que Huygens avait eu en révision manuscrit de la traduction; voir la p. 8 qui suit.

2) Voir la p. 4.

3) Cette lettre de Huygens à Mylon nous manque, comme aussi la réponse de Mylon du 13 mai, mais la lettre de Huygens à Mylon du 1 juin 1656 (p. 426 du T. I) nous fait connaître suffisamment leur contenu. Il en résulte qu'outre le problème de la Prop. XIV (p. 87 du présent Tome) Huygens avait posé à Mylon des questions sur l'avantage de la primauté dans les cas où le jeu est gagné par celui qui réussit le premier à faire un coup déterminé.

4) Ses solutions ne sont justes que pour le cas où l'on joue avec un seul dé. Elles sont fausses pour le cas de deux dés à chances égales pour les deux joueurs, et pour le problème principal, où les chances des deux joueurs sont inégales, parce que l'un gagne quand 7 points et l'autre quand 6 points ont été amenés avec deux dés.

5) Voir les pp. 418 et 432-434 et quant à Pascal les pp. 439 et 492 du T. I.

6) Voir les p. 432-434 du T. I.

7) C'est à ces questions que Huygens a emprunté le premier et le troisième des Exercices qu'il a joints à son ouvrage; voir les notes 2 et 4 des p. 88-89 du présent Tome.

8) Voir sa lettre à Mylon du 6 juillet 1656, p. 448 du T. I. Elle est la réponse à la lettre de Mylon du 23 juin (p. 438 du T. I), dans laquelle, sans doute, celle de Carcavy du jour précédent (p. 431 du même Tome) était incluse.

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On trouvera le résultat des recherches de cet après-midi dans la lettre de Huygens à Carcavy du 6 juillet 1656⁹⁾, laquelle était destinée à être communiquée à Mylon, à Fermat et à Pascal¹⁰⁾ afin de savoir si ce que ces deux derniers avaient trouvé était conforme à ‘ce qu'[il] en explique’ dans cette lettre. Outre les solutions des problèmes prémentionnés, la lettre contient la Prop. III (p. 65), sur laquelle toutes ces solutions étaient fondées.

La réponse de Carcavy se fit longtemps et impatiemment¹¹⁾ attendre. Quand elle arriva, au commencement d'octobre¹²⁾, elle apprit à Huygens que Pascal se servait de la même proposition¹³⁾ que lui mais qu'il ne voyait pas de quelle manière celle-ci pourrait s'appliquer au problème des partis¹⁴⁾ dont ‘le sieur Pascal n'a trouué la reigle que lors qu'un des joueurs a une partie à point, ou quand il en a deux à point’. C'est sans doute par suite de cette remarque¹⁵⁾ que Huygens reprit ses recherches sur ce dernier problème et qu'il écrivit, d'abord

9) Voir les p. 442-446 du T. I.

10) Voir la p. 446 du T. I.

11) Voir la lettre du 27 juillet 1656 (p. 466 du T. I) à Roberval, où il prie celui-ci de s'informer pourquoi ni Mylon ni Carcavy ne lui ont répondu.

12) Voir la lettre de Carcavy du 28 septembre 1656, p. 492 du T. I.

13) Cette lettre contenait, en outre, un problème que Pascal avait posé à Fermat et que Huygens a placé parmi les Exercices à la fin de son ouvrage; voir la note 1 de la p. 90.

14) Il y avait là un malentendu. Les cas relativement simples du problème des partis, traités par Huygens, furent résolus par Pascal presqu'entièrement de la même façon que par Huygens (voir les pp. 290-292, 300 et 306-307 du T. II des OEuvres de Fermat, citées plus haut dans la note 1 de la p. 3), tandis que Fermat les résolut à l'aide de l'analyse combinatoire (voir les pp. 290, 300-305, 309 et 310-312 du même Tome). Le problème auquel Carcavy faisait allusion était bien plus difficile et plus général; il s'agissait de formuler ‘donné un tel nombre de parties qu'on voudra’ une règle générale pour trouver ce que Pascal appelait: la valeur de la première partie, de la deuxième partie, etc.; c'est-à-dire la valeur de ce que le joueur qui avait perdu devrait payer à l'autre joueur après une telle partie dans le cas où l'on conviendrait de ne pas pousser plus loin le jeu. C'est ce problème que Pascal ne savait pas résoudre sans recourir à l'analyse combinatoire et alors seulement pour la première et la deuxième partie (voir encore les p. 292-295 du T. II des OEuvres de Fermat et consultez à propos du problème des partis les p. 21-25 du présent Avertissement).

15) Consultez encore la lettre de Huygens du 12 octobre 1656 à Carcavy (p. 505 du T. I), où on voit que Huygens avait, en effet, compris à tort que la remarque de Pascal se rapportait à tous les cas du problème des partis.

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l'Appendice I (p. 92-95), destiné probablement à être communiqué à Pascal¹⁾, et ensuite la Prop. IX (p. 73-77) qu'il allait joindre au petit traité qu'il avait composé²⁾.

Cependant on continua avec la lenteur habituelle de ces temps l'impression de l'ouvrage de van Schooten où le traité de Huygens est inséré. En mars 1657 van Schooten avertit Huygens que dans quelques semaines on en serait à ce traité. Il lui envoia donc le manuscrit de la traduction latine pour y ajouter ce que bon lui semblerait³⁾. Huygens le lui retourna⁴⁾ avec quelques changements et quelques additions⁵⁾, en y joignant la version latine de sa lettre à van Schooten⁶⁾, datée du 27 avril 1657, qui précède son Traité en guise de préface.

Enfin, en août ou septembre 1657, l'impression de l'édition latine de l'ouvrage de van Schooten fut achevée⁷⁾. L'édition hollandaise se fit attendre encore trois années, mais il nous semble inutile d'exposer ici les raisons de ce retard⁸⁾.

Avant de passer à d'autres sujets nous voulons ajouter encore quelques mots sur l'historique du Traité ‘De ratiociniis in ludo aleae’ après sa publication en 1657.

Comme on le sait, plusieurs des oeuvres les plus considérables de Huygens ne parurent que longtemps après leur première rédaction⁹⁾; ce qui lui coûta la

1) Ce qui toutefois n'a pas eu lieu.

2) La correspondance avec les savants français sur les problèmes du jeu se continua encore pendant quelques mois par les lettres échangées entre Mylon et Huygens le 8 déc. 1656 (p. 524 du T. I), le 5 janvrier 1657 (p. 1 du T. II), le 1 févr. 1657 (p. 7 du T. II) et le 7 mars 1657 (p. 8 du T. II).

3) Voir la lettre de van Schooten du 18 mars 1657, p. 19 du T. II.

4) Voir la lettre du 21 avril 1657, p. 27 du T. II.

5) C'est-à-dire la Prop. IX, p. 73-77 du présent Tome, et les Exercices, p. 89-91; voir les notes 9 et 10 des p. 4-5.

6) Cette version latine est donc la version primitive. On la trouve aux p. 59-60 du T. II. La version hollandaise de la même lettre (pp. 57-59 du présent Tome) ne fut envoyée à van Schooten que le 28 septembre 1657 (voir la p. 57 du T. II).

7) Voir p.e. la lettre de de Sluse du 4 septembre 1657 (p. 51 du T. II) d'où il s'ensuit que de Sluse venait de recevoir alors cette édition.

8) Consultez à ce propos la lettre de van Schooten du 1 octobre 1657, p. 62 du T. II.

9) Le Traité ‘De iis quae liquido supernatant’, qui contient tant de recherches intéressantes, était entièrement inédit lorsque nous l'avons reproduit au T. XI (p. 81-194) de notre publication; la ‘Dioptrique’, rédigée en grande partie en 1653 et en 1666, ne parut, avec plusieurs autres ouvrages, qu'en 1703 comme oeuvre posthume; le ‘Traité de la lumiere’ et le ‘Discours de la cause de la pesanteur’, publiés en 1690, existaient en manuscrit, à l'exception de quelques parties, respectivement dès 1678 et dès 1669.

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priorité sur bien des points importants. Grâce à van Schooten - on doit le reconnaître - la publication du petit traité sur les probabilités ne fut pas différée. L'ouvrage fut accueilli favorablement par les contemporains¹⁰⁾. Pendant plus d'un demi-siècle (c'est-à-dire jusqu'à la publication des ouvrages de de Monmort¹¹⁾, de de Moivre¹²⁾, de Jacques Bernoulli¹³⁾ et de Nicolaas Struyck¹⁴⁾, il forma l'unique introduction existant à la théorie des probabilités. Dans cet intervalle, ou peu après, deux traductions anglaises en parurent¹⁵⁾. Enfin, Jacques

10) Carcavy, qui trouvait la méthode de Huygens ‘admirable’, écrivit à Mylon que ‘Monsieur Pascal en auoit jugé comme luy’ (voir la p. 1 du T. II); de Sluse appela cette oeuvre de Huygens ‘docta, acuta, Te digna’ (p. 51 du T. II); Wallis la loua dans une lettre à Van Schooten (voir la réponse de Van Schooten à la p. 833 de l'ouvrage de Wallis ‘De Algebra Tractatus cum variis Appendicibus. Operum mathematicorum Volumen alterum, Oxoniae, 1693), Leibniz en parla dans ses ‘Meditationes’ comme suit: ‘Christiani Hugenii ratiocinia de lusu aleae... sunt elegans specimen ratiocinationis de gradibus probabilitatis’ (Opera omnia, publiés par Dutens, vol. VI, part. I, p. 318).

11) ‘Essay d'analyse sur les jeux de hazard, seconde édition Revûe & augmentée de plusieurs Lettres. Paris, Jacques Quillau, 1713’. Une première édition parut en 1708; voir l'ouvrage de Todhunter, ‘History of the theory of probability, Cambridge and London, Macmillan, 1865’, p. 79.

12) ‘The Doctrine of Chances: or a Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. The second edition, Fuller, Clearer, and more Correct than the First. By A. De Moivre, fellow of the Royal Society and Member of the Royal Academy of Sciences of Berlin, London, H. Woodfall, 1738’. Une première édition parut en 1718. Elle fut précédée en 1711 par un Mémoire dans les ‘Philosophical Transactions’, p. 213-264 du T. XXVII, intitulé ‘De Mensura Sortis, seu, de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus’.

13) ‘Jacobi Bernoulli, Profess. Basil. & utriusque Societ. Reg. Scientiar. Gall. & Pruss. Sodal. Mathematici Celeberrimi, Ars conjectandi, Opus posthumum. Accedit Tractatus de Seriebus infinitis, Et Epistola Gallicè scripta de Ludo Pilae reticularis. Basiliae, Impensis Thurnisiorum, Fratrum. 1713’.

14) ‘Uytreekening der Kansen in het speelen, door de Arithmetica en Algebra, beneevens eene Verhandeling van Looterijen en Interest, door N.S., Amsterdam, weduwe Paul Marret, 1716’. Une traduction française fut récemment publiée par la Société générale néerlandaise d'assurances sur la vie et de rentes viagères, établie à Amsterdam, dans l'ouvrage: ‘Les OEuvres de Nicolas Struyck (1687-1769) qui se rapportent au calcul des chances, à la statistique générale, à la statistique des décès et aux rentes viagères, tirées des oeuvres complètes et traduites du hollandais par J.A. Vollgraff, Amsterdam, 1912’ (p. 1-118).
Nicolaas Struyck naquit à Amsterdam le 19 mai 1687 et y mourut le 15 mai 1769. L'ouvrage cité, trop peu connu, mérite d'être mentionné avec ceux de de Monmort, de de Moivre et de Bernoulli. Struyck en écrivit plusieurs autres sur la géographie, l'astronomie, la comptabilité et le calcul des rentes viagères. Pendant sa vie il jouit d'une grande réputation et correspondit avec beaucoup de savants étrangers. Il fut nommé, en 1749, membre de la Société Royale de Londres et, en 1755, correspondant de l'Académie des Sciences de Paris.

15) La première, en 1692, dans l'ouvrage anonyme ‘Of the laws of chance’, etc., attribué par Todhunter (History of the theory of probability, p. 48-49) à John Arbuthnot. La seconde, publiée en 1714 par W. Browne, est intitulée ‘Christiani Hugenii Libellus de Ratiociniis in Ludo Aleae. Or the value of all chances in games of fortune; cards, dice, wagers, lotteries, &c. mathematically demonstrated. London, S. Keimer, 1714’ (Todhunter, p. 199).

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Bernoulli, en composant son ‘Ars conjectandi’, y inséra en entier le Traité de Huygens comme ‘Pars prima, complectens Tractatum Hugenii de Ratiociniis in Ludo Aleae, cum Annotationibus Jacobi Bernoulli’¹⁾.

En 1665, à l'occasion d'une lettre de son ami Johan Hudde, le futur bourgmestre d'Amsterdam²⁾, l'attention de Huygens fut dirigée à nouveau sur les problèmes concernant les jeux de hasard. Dans cette lettre³⁾ Hudde lui communiqua ses solutions des Exercices II et IV, proposés par Huygens vers la fin de son Traité⁴⁾. En cherchant lui-même leurs solutions⁵⁾, Huygens en trouva qui différaient de celles de Hudde; ce qu'il lui fit savoir dans sa réponse du 4 avril 1665⁶⁾. En même temps, il lui posa une nouvelle question, savoir: de déterminer le désavantage du joueur qui fait le premier coup quand deux joueurs jettent à tour de rôle croix ou pile à condition que celui qui amène pile doit mettre chaque fois un ducat et que celui qui jette croix prendra tout ce qui est mis.

1) Ajoutons qu'en juillet 1895, à l'occasion du deuxième centenaire du décès de Huygens, la Direction de la Société d'assurances, mentionnée dans la note 14 de la p. 9, publia, comme N^o. 690 de ses Communications (Mededeelingen van de Directie), une reproduction du Traité de Huygens dont l'exécution typographique ressemble à celle de l'édition hollandaise primitive. De plus, elle donna une traduction française de ce Traité, due à M.K.R. Gallas, aux p. 43-56 de l'ouvrage ‘Mémoires pour servir à l'histoire des assurances sur la vie et des rentes viagères aux Pays-Bas, 1898’. Cette traduction nous était inconnue lorsque nous avons préparé la nôtre.

2) Voir sur Hudde la note 2, p. 514 du T. I; mais on doit corriger l'année de sa naissance. En effet, il naquit en avril 1628, comme cela résulte de l'article de M.D.J. Korteweg ‘Das Geburtsjahr von Johannes Hudde’, Zeitschrift für Mathematik und Physik, T. 41, 1896, p. 22. Hudde n'avait donc qu'une année de plus que Huygens. Probablement il avait étudié les mathématiques, comme Huygens, sous la direction du professeur van Schooten.

3) Nous ne possédous pas cette lettre, mais la réponse que nous mentionnons quelques lignes plus bas nous en fait connaître le contenu.

4) Voir les p. 89-91 du présent Tome.

5) Voir les §§ 1-3 de l'Appendice II, p. 96-99.

6) Voir la p. 304 du T. V.

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Cette question fit naître toute une série de problèmes touchant l'avantage ou désavantage de la primauté sous des conditions variées. Plus bas nous traitons ces problèmes avec quelque détail⁷⁾.

Quant à la divergence des solutions des Exercices II et IV, elle parut être due aux interprétations différentes données par Hudde et Huygens à ces Excercices. Comme nous le montrons dans la note 3 de la p. 88, l'Exercice II n'admet pas moins de trois interprétations, dont la première fut adoptée par Huygens⁸⁾ et la deuxième par Hudde⁹⁾. De même l'Exercice IV donne lieu à deux conceptions dont l'une, conduisant au résultat des §§ 2 et 3 de l'Appendice II¹⁰⁾, fut choisie par Huygens, et l'autre, aboutissant au résultat du § 4 du même Appendice¹¹⁾, fut admise par Hudde¹²⁾.

En effet, les solutions de Hudde de ces problèmes étaient correctes (à part une légère erreur de calcul), et il en est de même de ses solutions d'autres problèmes qu'on rencontre dans sa correspondance avec Huygens¹³⁾. Plus on étudie ses longues lettres, par trop prolixes et difficiles à comprendre àcause des malentendus continuels qui s'élèvent entre lui et Huygens, plus on s'aperçoit de la perspicacité de leur auteur. Quant aux méthodes dont il se sert, il ne les expose qu'exceptionnellement et encore en partie seulement¹⁴⁾, mais les indications qu'il donne suffisent pour conclure qu'elles ne différaient pas beaucoup de celles de Huygens¹⁵⁾.

7) Voir les p. 31-48 de cet Avertissement.

8) Voir la p. 96 du présent Tome.

9) Voir la p. 306 du T. V. En effet, après la correction apportée par Hudde dans sa lettre du 29 juin 1665 (p. 383 du T. V), sa solution correspond entièrement à celle obtenue dans les mêmes hypothèses par Jacques Bernoulli p. 60 de son ‘Ars conjectandi’ et par de Monmort, p. 220 de son ‘Essay d'analyse sur les jeux de hazard’.

10) Voir les p. 97-99.

11) Voir les p. 100-101.

12) Voir la p. 307 du T. V.

13) Comparez le dernier alinéa de la p. 37.

14) Voir p.e. les pp. 413-416, 446-448, 463-471 du T. V.

15) Outre les solutions des Exercices II et IV du Traité de Huygens, et des problèmes concernant la primauté sur lesquels nous reviendrons, nous connaissons encore la solution que Hudde donna à un autre problème. On trouve cette solution aux p. 470-471 du T. V. Le problème présente une grande ressemblance avec le dernier des Exercices de Huygens (p. 91 du présent Tome), seulement, le nombre des jetons de chaque joueur est réduit de 12 à 3 et leurs chances à chaque coup sont représentées respectivement par et . Comme dans cet Exercice, le jeu ne finit pas avant que tous les jetons aient passé dans une même main. Hudde trouve les espérances des joueurs respectivement égales à et à , où a représente l'enjeu. Cette solution est correcte. Elle correspond à celle donnée par Jacques Bernoulli, p. 68-69 de son ‘Ars conjectandi’. Comparez encore l'Appendice VI aux p. 151-155 du présent Tome.

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Nous avons à parler ensuite, en suivant l'ordre chronologique, de quelques applications de la théorie de la probabilité à des problèmes concernant la durée de la vie. Déjà en 1662, Moray avait fait parvenir à Huygens¹⁾ l'ouvrage de John Graunt ‘Natural and political observations.., made upon the Bills of Mortality’²⁾, qui venait de paraître. Huygens avait beaucoup apprécié cet ouvrage, mais il ne s'occupa activement des matières qu'on y trouve traitées qu'au moment où il reçut, de son frère puîné Lodewijk, une lettre, datée du 22 août 1669, dans laquelle celui-ci l'informait³⁾ de ce qu'il avait ‘fait une Table ces jours passez du temps qu'il reste à vivre à des personnes de toute sorte d'aage. C'est une consequence’ dit-il ‘que j'aij tiré de cette table du livre Anglois of the Bils of mortalitij, de la quelle je vous envoije icij une copie, afin que vous preniez la peine de faire un peu les mesmes supputations, et que nous puissions voir comme nos calculs s'accorderont’. Or, cette copie, qu'on trouve à la p. 519 du T. VI, donne pour chaque centaine de nouveaux-nés le nombre des survivants à l'âge de 6, 16, 26 ans, et ainsi de suite, avec des intervalles de dix années.

Dans sa réponse à Lodewijk, Christiaan lui fait remarquer⁴⁾ ‘qu'a fin que ce calcul fust exact il faudroit avoir une table qui marquast d'année en année combien il meurt des personnes de 100 qu'on suppose, et’ poursuit-il ‘il faut que vous l'ayez supléée par quelque moyen comme j'en scay pour cela⁵⁾, ou autrement vous ne scauriez determiner au vray, combien doibt vivre une personne de 6, 16 ou 26 ans &c., et encore moins de quelque aage moyen entre ceux la. comme vous l'avez entrepris de vous et de moy. Je crois donc que vous n'en decidez qu'a peu pres’ et il ajoute encore ‘j'ay envie de suppleer la table comme

1) Voir les pp. 94, 95, 130 et 149 du T. IV.

2) Voir, pour le titre complet, la note 7 de la p. 94 du T. IV.

3) Voir la p. 483 du T. VI.

4) Voir la p. 484 du T. VI.

5) Huygens fait allusion ici à la méthode graphique qu'il expose dans la pièce N^o. 1778, p. 531 du T. VI. En effet, la courbe de la mortalité (ou ‘courbe de vie’ comme il l'appelle), qu'on y trouve construite avec beaucoup de soin à l'aide des données de la petite table de Graunt, est bien la première représentation graphique de la mortalité qui ait été faite.

[p. 13]

j'ay dit et resoudre les problemes qu'on peut proposer en cette matiere qui est assez subtile. Vostre methode ne scauroit estre la mesme que la mienne, et je seray bien aise de la voir’.

Une lettre du 30 octobre 1669⁶⁾ nous fait connaître la méthode suivie par Lodewijk. Il a suppléé aux lacunes de la table de Graunt en supposant la mortalité constante dans chaque intervalle de dix années. Partant de cette supposition il a calculé d'une manière parfaitement exacte ce qu'on appelle aujourd'hui la ‘vie moyenne’ des personnes qui ont atteint l'âge donné. Toutefois, comme cela résulte de la même lettre, Lodewijk ne s'était pas suffisamment rendu compte de la différence qui existe entre la vie moyenne et la vie probable; différence que Christiaan lui expliqua dans sa lettre du 21 novembre⁷⁾. En même temps il promit de lui envoyer une autre fois ‘la ligne de vie⁸⁾ avec la pratique d'icelle et mesme une table des vies a chasque aage d'année en année, qui ne me coustera guere’⁹⁾.

C'est à propos de la même lettre de Lodewijk du 30 octobre que Christiaan composa la Pièce importante (p. 526-531 du T. VI) qu'il a intitulée: ‘En examinant le calcul de mon frere Louis.’ Il y met par écrit, au courant de la plume, les idées qui lui viennent pendant et après cet examen. Entre autres, il s'y pose les problèmes suivants (dans lesquels il s'agit toujours de la durée moyenne des temps mentionnés): ‘Un homme de 56 ans espouse une femme de 16 ans, combien peuvent ils faire estat de vivre ensemble sans que l'un ni l'autre meure. Ou bien si on m'avoit promis 100 francs au bout de chasque an qu'ils vivront ensemble, pour combien seroit il juste qu'on rachetast cette obligation¹⁰⁾. Item dans combien de temps doivent ils mourir tous deux. En combien de temps

6) Voir les p. 515-517 du T. VI.

7) Voir la p. 525 du T. VI.

8) Voir la note 5 qui précède.

9) Christiaan a rempli cette promesse dans sa lettre du 28 novembre 1669 (p. 538-539 du T. VI). Cependant, au lieu de la ligne en question ‘qui ne sert que pour les gageures’ il envoya une autre représentation graphique qui donne directement les ‘restes de vie de chaqu'aage’.

10) On ne doit pas supposer toutefois que Huygens ait pensé, en posant ce problème, à la réduction des sommes à payer à leur valeur comptante. Il néglige cette même réduction quand il écrit dans sa lettre du 28 novembre: ‘Ce sont donc deux choses differentes que l'esperance ou la valeur de l'aage futur d'une personne, et l'aage auquel il y a egale apparence qu'il parviendra ou ne parviendra pas. Le premier est pour regler les rentes a vie, et l'autre pour les gageures’.

[p. 14]

mourront 40 hommes de 46 ans chacun? Combien vivra le dernier de 2 personnes de 16 ans. Dans combien de temps mourra un de 2 personnes de 16 ans’.

De ces problèmes assez compliqués Huygens ne résout que l'avant-dernier¹⁾, le manuscrit s'arrêtant au milieu du calcul qui doit servir à la solution du dernier. Toutefois, il est clair que la méthode ingénieuse qu'il applique à ces deux problèmes aurait pu conduire, après quelques modifications évidentes, à la solution des autres²⁾.

Il est vrai que Huygens a été consulté par Hudde, en 1671, sur la méthode suivie par le célèbre Pensionnaire de Hollande et de West-Frise, Johan de Witt, dans ses calculs sur la valeur des rentes viagères que les États de Hollande se proposaient de négocier³⁾. Cependant, la Correspondance de Huygens de cette année nous apprend qu'il n'a pas pris une part active dans cette entre-

1) Dans cette solution Huygens n'emploie pas la représentation graphique qu'on trouve en regard de la p. 531 du T. VI. Il y suppose, comme Lodewijk l'avait fait, que la mortalité est constante dans les intervalles de dix ans. En admettant cette hypothèse, la solution est exacte, mais il y a dans la Pièce, où elle est reproduite, une erreur du copiste bien regrettable. En effet, on doit lire comme suit la phrase qui commence à la ligne 17 d'en bas de la p. 529 du T. VI: ‘Et encore 25 chances qui valent a un homme de 16 ans 29, 40 ans’. Voici le calcul (qu'on ne trouve pas dans la Pièce) qui explique ces 29, 40 ans:

9	chances à	15	ans font	135
6	chances à	25	ans font	150
4	chances à	35	ans font	140
3	chances à	45	ans font	135
2	chances à	55	ans font	110
1	chances à	65	ans font	65
_____
25				735/25 fait 29, 40.

2) Comparez encore sa lettre du 28 novembre 1669 à Lodewijk, où on lit (p. 538-539 du T. VI), à propos des deux derniers problèmes, qu'il n'en a pas encore calculé la solution, mais qu'il voit le moyen de le faire; après quoi il ajoute: ‘Les aages des 2 personnes estant posez differents comme l'une de 16 ans et l'autre de 56, cela apporteroit encore quelque changement mais il n'y auroit pas grande difficultè apres qu'on auroit trouvè la solution dans les aages egaux’.

3) Voir l'ouvrage cité dans la note 6 qui commence à la p. 59 du T. VII.

[p. 15]

prise⁴⁾. Dans sa lettre du 3 octobre⁵⁾, datée de Paris, il s'excuse auprès de Hudde de n'avoir pu trouver plus tôt le loisir de réfléchir aux calculs des rentes viagères à cause des affaires qu'il a sur les bras, et de ne pouvoir répondre à toutes les questions qu'il lui a posées. Il se borne donc à approuver d'une façon générale les méthodes suivies par le Pensionnaire, en y comprenant notamment celle qui concerne le calcul sur 2, 3 ou plus de vies⁶⁾.

En 1676, Huygens fut ramené à la considération de quelques problèmes du jeu par une communication de son ami Dierkens⁷⁾. Il paraît que celui-ci s'était occupé à chercher la solution de l'un des Exercices proposés par Huygens vers la fin de son Traité⁸⁾ et qu'il n'y avait pas réussi entièrement⁹⁾.

C'est probablement à cette même occasion que Huygens composa l'Appendice VI (p. 151-155), daté d'août 1676, où il reprend et généralise la solution du dernier de ces Exercices; solution qu'il ajouta à l'énoncé du problème sans

4) Cette Correspondance (voir les pp. 59, 95-96, 103-104 du T. VII et la p. 728 du T. X) est d'ailleurs d'un certain intérêt pour la connaissance de l'histoire des travaux de Hudde et de Johan de Witt sur les rentes viagères. C'est ce qui a été compris par la Direction de la Société néerlandaise des assurances sur la vie. Dans ses ‘Communications’ (voir la note 1 de la p. 10) elle a reproduit, en 1896, aux N^os. 734 et 754, les passages de cette Correspondance qui concernent le calcul des rentes viagères; à l'exception toutefois du contenu de la lettre du 2 octobre 1671 qui ne fut découverte que vers 1905 dans une collection privée (voir la note 1 de la p. 725 du T. X). Dans ses ‘Mémoires’ datant de 1898 (voir la note 1 de la p. 10) elle a publié aux p. 76-83 des traductions françaises des passages qui lui étaient connus alors.

5) Voir les p. 728-729 du T. X.

6) Avant 1896 on savait que Hudde et de Witt avaient fait des calculs sur les rentes viagères en partant des hypothèses assez arbitraires exposées par de Witt dans son ‘Waerdye van Lijfrenten naer proportie van Los-renten’, mais on ne savait pas qu'ils avaient fait encore d'autres calculs fondés sur les données d'une vraie table de mortalité; à savoir sur celle qu'on trouve en regard de la p. 96 du T. VII. De même on ignorait qu'ils s'étaient occupés du calcul de rentes viagères sur plus d'une seule tête. Depuis, les ‘Communications’ de la Société néerlandaise des assurances sur la vie ont répandu plus de lumière sur ce sujet; voir, outre celles mentionnées dans la note 4, la ‘Communication’ N^o. 794 de 1897 qui contient 5 lettres inédites de de Witt à Hudde dont on trouve la traduction française aux p. 20-33 des ‘Mémoires’.

7) Voir sur Dierkens la note 1 de la p. 13 du T. VIII et sur ses relations avec Huygens la p. 415 du même Tome, la note 1 de la p. 379 du T. IX, la p. 568 et la note 4 de la p. 722 du T. X.

8) Voir les p. 89-91 du présent Tome. S'il s'agissait du dernier de ces Exercices, cela expliquerait d'autant mieux l'origine de l'Appendice VI dont nous allons parler; mais nous n'en sommes pas sûrs.

9) Voir la p. 13 du T. VIII.

[p. 16]

faire connaître l'analyse qui l'avait amenée. Pendant la même année, il examina la solution que Dierkens lui avait envoyée d'un problème concernant le jeu de quinquenove¹⁾. De plus Huygens élabora pour Dierkens les solutions, à l'aide des logarithmes, de quelques ‘problèmes des dés’²⁾. Si dans la Prop. XI³⁾ de son Traité il s'est borné à déterminer en combien de fois on peut accepter avec avantage de jeter deux six avec deux dés, l'emploi des logarithmes lui permet maintenant d'étendre ses recherches aux problèmes analogues pour trois et quatre dés⁴⁾.

Pendant son dernier séjour à Paris, de 1678-1681, l'attention de Huygens fut attirée sur le calcul des chances dans le jeu de la Bassette⁵⁾ alors très en vogue dans cette ville⁶⁾. En négligeant une des complications de ce jeu⁷⁾, il calcula dans

1) Voir les p. 14-15 du T. VIII. La solution de Dierkens est exacte, et Huygens n'a donc eu qu'à l'approuver. Pour expliquer complètement cette solution, il suffira de faire remarquer en premier lieu que le nombre 1001 pour l'enjeu a été choisi par Dierkens parce qu'il est divisible par 7, par 13 et par 11. Voici ensuite comment les coefficients 3/7, 5/13, 3/11 ont été obtenus: prenons par exemple le premier de ces coefficients, et posons x pour l'espérance mathématique du joueur qui tient les dés et qui est supposé avoir jeté 7 points au premier coup. On a alors , puisqu'il y a 6 chances de jeter de nouveau 7 points, auquel cas le joueur gagne, 8 de jeter 5 ou 9 (ce qui le fait perdre) et 22 chances de jeter l'un des autres nombres de points après quoi le jeu continue aux mêmes conditions.
On retrouve le même problème sur le jeu de quinquenove chez de Monmort, p. 173-177 de l'ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9, et de même chez Bernoulli, p. 167-169 de son ‘Ars conjectandi’ (voir la note 13 de la p. 9). Chez de Monmort les conditions du jeu sont un peu différentes de celles indiquées par Dierkens; la solution de Jacques Bernoulli est identique à celle de Dierkens.

2) Voir la Pièce N^o. 2096, p. 16-18 du T. VIII et aussi l'Appendice VII, p. 156-163 du présent Tome. Cet Appendice contient les recherches de Huygens qui ont abouti à la solution qu'il communique à Dierkens dans la Pièce N^o. 2096.

3) Voir la p. 81 du présent Tome.

4) Consultez encore, sur les problèmes des dés, les p. 26-28 du présent Avertissement.

5) Voir, pour les règles du jeu, pour autant qu'on doit les connaître afin de comprendre les calculs de Huygens, la note 3 de la p. 165.

6) Voici un passage que nous empruntons au Journal des Sçavans du 13 février 1679, p. 43: ‘Le jeu de la Bassette a fait tant de bruit cet Hyver par l'attachement avec lequel on l'a joüé à la Cour, qu'il y a peu de gens qui ne sçachent présentement ce que c'est’. Le jeu paraît avoir été inventé à Venise. Il fut introduit en France vers 1675 par Justiani, ambassadeur de la République de Venise à Paris.

7) Celle de la ‘face’, voir le troisième alinéa de la note 1 de la p. 168.

[p. 17]

l'Appendice VIII⁸⁾ l'avantage du banquier sur les autres joueurs dans les différents cas qui peuvent se présenter pendant le jeu.

Une solution plus complète fut donnée, sans analyse ni démonstration, par Sauveur⁹⁾ dans le Journal des Sçavans du 13 février 1679¹⁰⁾. Pour les cas traités par Huygens les deux solutions sont identiques entre elles et à celle publiée plus tard, en 1713, dans l'‘Ars conjectandi’ de Jacques Bernoulli¹¹⁾, mais il paraît que Huygens ne connaissait pas l'article de Sauveur lorsqu'il fit ses calculs¹²⁾.

En outre, de Monmort¹³⁾, Jean Bernoulli¹⁴⁾, frère de Jacques, et leur neveu Nicolas Bernoulli¹⁵⁾, de Moivre¹⁶⁾ et Struyck¹⁷⁾ se sont occupés des chances du banquier dans ce même jeu de la Bassette, mais les cas qu'ils ont traités sont différents de ceux supposés par Huygens.

Enfin, en 1688, nous ignorons à quelle occasion, Huygens s'occupa pour la dernière fois de quelques problèmes de jeu.

On en trouve les énoncés aux pp. 169, 172, 173 et 178 de l'Appendice IX. Dans les deux premiers paragraphes (p. 169-173) de cet Appendice on voit échouer ses premières tentatives de résoudre le problème qu'il s'y pose. Au § 3, p. 173-175, il simplifie le problème et il réussit facilement à le résoudre sous cette nouvelle forme. Au § 4 (p. 176) il reprend le problème principal, qu'il réduit à

8) Voir les p. 164-168 du présent Tome.

9) Joseph Sauveur naquit à la Flèche en 1653 et mourut à Paris en 1716. Il était membre de l'Académie des Sciences; il est surtout connu par ses travaux sur la théorie des sons harmoniques.

10) Voir les p. 44-52 du T. 7 de ce Journal.

11) Voir la première des ‘Tabellae’ de la p. 195 de l'‘Ars conjectandi’. Afin de comparer les résultats de Huygens à ceux de Sauveur et de Jacques Bernoulli, on doit poser dans les formules de Huygens r = 2n.

12) Voir la note 1 de la p. 168 du présent Tome.

13) Voir les p. 144-156 de l'ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9.

14) Voir, à la p. 287 de l'ouvrage de de Monmort, la lettre du 17 mars 1710 de Jean Bernoulli à de Monmort.

15) Voir, aux p. 302-303 de l'ouvrage de de Monmort, les dernières remarques de Nicolas Bernoulli.

16) Voir les p. 57-65 de l'ouvrage cité dans la note 12 de la p. 9.

17) Voir la p. 107 de l'ouvrage cité dans la note 14 de la p. 9.

[p. 18]

la sommation d'une suite infinie. Cette suite est de la même nature que celles dont Huygens avait trouvé les sommes en 1665 lors de sa Correspondance avec Hudde¹⁾. Cependant il n'a pas achevé la solution du problème, du moins dans les manuscrits que nous connaissons, mais il est facile d'arriver à sa solution exacte par la voie suivie par Huygens en effectuant, après y avoir appliqué quelques corrections indiquées par lui-même, la sommation de la suite à laquelle il s'est arrêté²⁾. Enfin dans le dernier paragraphe de l'Appendice la solution d'un problème analogue est interrompue également après avoir été réduite à la sommation d'une suite infinie du même genre³⁾.

Ajoutons que dans le deuxième alinéa de la note 2 de la p. 179 nous avons donné une solution générale qui s'applique à tous les problèmes dont il est question dans l'Appendice IX.

1) Voir les pp. 106, 113-114, 121-122 et 131.

2) Voir la note 5 de la p. 177.

3) Voir la p. 178 et le premier alinéa de la note 2 de la p. 179, où la sommation de la suite est effectuée.

Point de départ de Huygens. Son théorème fondamental. Sa méthode de résolution des problèmes du calcul des probabilités, suivie exclusivement jusque dans ses dernières recherches.

Le calcul des probabilités est une science de mathématiques appliquées. Afin de pouvoir traiter une telle science sous la forme que Huygens choississait de préférence dans ses premiers ouvrages, il fallait donc commencer, à l'exemple d'Archimède⁴⁾, par formuler, comme supplément aux postulats purement mathématiques, une on plusieurs hypothèses pouvant servir de point de départ à la démonstration des théorèmes dont on avait besoin.

4) Voir, aux p. 143-145 du Tome II de l'édition de Heiberg (citée dans la note 2 de la p. 50 du T. XI) des oeuvres d'Archimède, les sept hypothèses au début du traité ‘De planorum aequilibriis sive de centris gravitatis planorum’ et de même aux pp. 359 et 371 du Tome prémentionné les deux suppositions de l'ouvrage: ‘De iis, quae in humido vehuntur’; voir aussi aux p. 93-94 de notre T. XI les trois hypothèses par lesquelles Huygens commence son traité ‘De iis quae liquido supernatant’.

[p. 19]

Ce point de départ, Huygens devait le chercher lui-même; bien qu'il ne fût pas l'inventeur du calcul qu'il allait exposer. En effet, les ‘savants français’ qui l'avaient précédé sur ce terrain ‘quoiqu'ils se missent à l'épreuve l'un l'autre en se proposant beaucoup de questions difficiles à résoudre’ avaient ‘cependant caché leurs méthodes’⁵⁾.

L'hypothèse à laquelle il s'arrêta est, en effet, un modèle de clarté et d'évidence. Il l'exprime ainsi: ‘dans un jeu la chance qu'on a de gagner quelque chose a une valeur telle que si l'on possède cette valeur on peut se procurer la même chance par un jeu équitable’⁶⁾.

À l'aide de cette hypothèse, il démontre par un raisonnement ingénieux les Propositions I, II et III⁷⁾ qui sont des cas particuliers du Théorème: Avoir p₁ chances d'obtenir a₁, p₂ d'obtenir a₂, etc. vaut Σpa/Σp⁸⁾.

Après avoir formulé ces Propositions, il passe immédiatement au problème des partis et aux autres problèmes qu'il se propose de résoudre. En effet, la seule méthode suivie par Huygens non seulement dans son Traité de 1657, mais aussi dans ses recherches ultérieures sur le calcul des probabilités, consiste dans une application continuelle, répétée autant de fois que le problème l'exige, de ces Propositions. Il emploie partout cette méthode, à l'exclusion de celle qui apprend à dresser, dès l'abord, à l'aide de l'analyse combinatoire, le bilan des cas favorables et défavorables à l'évènement en question. Il l'applique même dans les cas où cette derniere méthode mènerait bien plus facilement au but.

5) Comparez la p. 59 du présent Tome.

6) Voir la p. 61. De l'exemple qu'il fait suivre il résulte que Huygens entend par un jeu équitable: un jeu où les chances des deux joueurs sont égales. Or, il nous semble que l'expression ‘un jeu équitable’ (dans l'édition hollandaise ‘rechtmatigh spel’, dans l'édition latine ‘aequâ conditione certans’) n'admettrait pas d'autre sens même si toute explication ultérieure avait manqué. Nous croyons donc que Jacques Bernoulli a tort lorsque, à la p. 5 de son ‘Ars conjectandi’, il prétend avoir remplacé l'axiome de Huygens par un autre d'un usage plus simple et plus à la portée de tous, qu'il énonce, en italiques, comme suit: ‘que chacun doit attendre, ou doit être censé d'attendre, ce qu'il obtiendra infailliblement’ (‘quod unusquisque tantundem expectet, vel expectare dicendus sit, quantum infallibiliter obtinebit’). Or, cet axiome nous semble bien moins évident que celui de Huygens. On peut même dire qu'il ne devient intelligible que par les applications que Bernoulli en a faites.

7) Voir les p. 63-67.

8) Si Huygens n'énonce pas expressément ce théorème plus général, c'est parce que les Prop. I, II, III suffisent pour la solution des problèmes dont il s'occupe dans son Traité.

[p. 20]

Prenons, par exemple, le quatrième des Exercices du Traité de Huygens (p. 89). Le nombre total des permutations des 12 jetons du problème, dont 4 blancs et 8 noirs, est égal à . Supposons que A, le premier des deux joueurs, en prenne toujours les sept premiers; le nombre des permutations qui lui sont favorables est alors évidemment égal à , sa chance est donc réprésentée par 35/99 et celle de l'autre joueur B par 64/99.

Que l'on compare cette solution à celles du même problème que Huygens a données en 1665, telles qu'on les trouve aux § 2-4 de l'Appendice II, p. 97-99 du présent Tome. Évidemment il était facile à ses successeurs immédiats: de Monmort, de Moivre, Bernoulli et Struyck¹⁾ de dépasser sur plusieurs points importants l'oeuvre de Huygens, au moyen de l'application de l'analyse combinatoire. Et il faut ajouter que ses prédécesseurs, Fermat et Pascal, se servaient de même avec avantage (mais comme nous le savons à l'insu de Huygens) de cette analyse pour la résolution de quelques problèmes de jeu²⁾.

Pour autant que nous le sachions, Huygens ne s'est occupé qu'une seule fois, en 1668, de cette branche nouvelle des mathématiques, qui se développait pendant sa vie par les travaux de Pascal³⁾ et de Wallis⁴⁾. Nous reproduirons en lieu propre ces recherches de Huygens intitulées: ‘De combinationum mirandis’.

Une autre particularité de la méthode pratiquée par Huygens, c'est qu'elle amène souvent la solution désirée sous la forme d'une suite infinie⁵⁾ dans des cas où l'on peut éviter l'usage d'une telle suite en utilisant une voie différente⁶⁾.

C'est à l'une de ces occasions que Huygens apprit à sommer la suite formée par

1) Voir la p. 9 du présent Tome.

2) Comparez la note 14 de la p. 7.

3) Dans son ‘Traité du triangle arithmétique’, publié en 1665. Voir, plus loin, les notes 2 et 3 de la p. 22.

4) Dans son ‘Discourse of combinations, alternations, and aliquot parts’ qu'il joignit à l'édition anglaise de 1685 de son ‘Algebra’. On le trouve aux p. 485-529 du ‘Volumen alterum’ de l'édition latine, citée dans la note 10 de la p. 9.

5) Comparez les pp. 105, 111, 119, 131, 135, 140, 176 et 178.

6) Voir les pp. 31-42 de cet Avertissement et les notes 2 de la p. 142 et de la p. 179.

[p. 21]

les fractions qu'on obtient en divisant l'unité par les nombres triangulaires successifs⁷⁾. Dans tous les autres cas il s'agit de suites de la forme a + 2ar + 3ar² + + 4ar³ + ... (où a et r sont des fractions données), dont la sommation lui réussit également⁸⁾.

7) Voir les p. 144-150.

8) Voir les pp. 106, 113-114 et 121. Comme nous l'avons indiqué aux p. 17-18, les derniers problèmes, traités par Huygens en 1688, conduisent également à des suites de cette forme sans que Huygens en achève la sommation.

Le Problème des partis.

Le problème des partis remonte jusqu'au quinzième siècle⁹⁾ et les savants s'en sont encore occupés de notre temps.

Laissant de côté les extensions qu'on lui a données plus tard, on peut le formuler comme suit:

Les joueurs A, B, C ... jouent à qui aura gagné le premier n parties, leurs chances à chaque partie étant égales. Ils veulent cesser le jeu au moment où il leur manque respectivement a, b, c... parties. Dans quel rapport doivent-ils se partager l'enjeu e?

Parlons d'abord du cas de deux joueurs, A et B, et désignons par φ(a, b)e la part de l'enjeu qui revient au joueur A et de même par φ(b, a)e celle qui est due à B. Alors la solution du problème peut être exprimée à volonté par l'une ou l'autre des deux suites:¹⁰⁾

(1)

9) Voir les pp. 327, 501-502, 520-521 du T. II des ‘Vorlesungen über Geschichte der Mathematik’ de M. Cantor (édition de 1900).

10) On trouve une démonstration de l'identité de ces deux suites à la p. 98 de l'ouvrage de Todhunter, cité dans la note 11 de la p. 9.

[p. 22]

(2)

Après les solutions fausses de Paciuolo (1494), de Cardano (1539) et de Tartaglia (1556)¹⁾, les premières solutions exactes ne furent obtenues qu'après un intervalle de plus d'un siècle par Pascal (1654), Fermat (1654) et Huygens (1656).

Parmi ces derniers ce fut Pascal qui, en cette matière, devança de loin ses deux rivaux. Sa solution, telle qu'elle parut dans son ‘Traité du triangle arithmétique’²⁾, sous l'en-tête ‘Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties’, ne diffère pas essentiellement de celle représentée par la formule (1). En effet, les termes qui se trouvent entre crochets dans cette formule, et qui sont des coefficients binomiaux, correspondent un à un aux ‘cellules du triangle’, dont la somme est le dénominateur de la fraction qui détermine chez Pascal la portion revenant au premier joueur.

De plus, Pascal a donné des solutions plus simples et très intéressantes pour les cas (n - 1, n) et (n - 2, n). On retrouve facilement la première de ces solutions en remarquant que la suite (1) nous donne:

(3)

1) Paciuolo divise l'enjeu dans le rapport de (n - a) à (n - b); Cardano dans celui de (1 + 2...+ b) à (1 + 2 + ... + a); enfin Tartaglia dans celui de (n + b - a) à (n + a - b); voir les pages des ‘Vorlesungen’ citées dans la note 9 de la p. 21. Il est curieux de remarquer que, de ces trois savants, Cardano soit le seul qui ait compris, avec Pascal, Fermat et Huygens, que le nombre n des parties à gagner, dont on est convenu au commencement du jeu, doit être sans influence sur le partage à faire quand on connaît les nombres des parties qui manquent.

2) Ce traité ne fut publié qu'en 1665 comme oeuvre posthume, mais il avait déjà été imprimé du vivant de Pascal et on sait que celui-ci l'avait envoyé à Fermat en 1654; voir à la p. 308 du T. II des ‘OEuvres de Fermat’ la lettre du 29 août 1654 de Fermat à Pascal, où il lui parle de ‘Vos derniers Traités du Triangle arithmétique et de son application’.

[p. 23]

et qu'on a évidemment:

(4)

^3).

Ensuite la solution du deuxième cas se déduit immédiatement de celle du premier cas par l'emploi de la relation:

(5)

où évidemment ⁴⁾.

C'est à l'aide des formules (3)-(5) qu'on arrive aisément aux résultats qui furent communiqués à Huygens par l'intermédiaire de Carcavy dans la lettre du 28 septembre 1656⁵⁾; résultats que Pascal avait déjà obtenu en 1654, comme le prouve sa lettre à Fermat du 29 juillet de cette année⁶⁾.

D'ailleurs, comme nous l'avons déjà dit dans la note 14 de la p. 7, Pascal savait résoudre de la même façon que Huygens les cas simples du problème des partis, tandis que Fermat y appliquait l'analyse combinatoire⁷⁾.

Huygens, dans son Traité, se contente de son côté de résoudre quelques uns de ces cas simples, où a et b sont des nombres relativement petits⁸⁾, et de mon trer comment on peut passer de là à des cas de plus en plus compliqués⁹⁾.

Parmi les premiers successeurs de Huygens sur le terrain du calcul des probabilités, Struyck ne s'est pas occupé du problème des partis; de Monmort, dans la

3) Comparez la Proposition III du Traité de Pascal, p. 265 du T. III de l'édition de Hachette des ‘OEuvres complètes de Blaise Pascal’, Paris, 1872.

4) Comparez la Proposition IV, p. 266 de l'ouvrage cité dans la note précédente.

5) Voir la p. 493 de notre T. I. Posons (2n-3) 2n-5) ... 1 = α; (2n-2) (2n-4)... 2 = β et soit l'enjeu égal à 2β. On trouve alors ; . Il faut donc quand on se sépare après la première partie que le gagnant reçoive outre sa mise une somme égale à α, et une somme 2α quand on le fait après la seconde. C'est le résultat exprimé dans la lettre de Carcavy.

6) Voir les pp. 292 et 294 du T. II des ‘OEuvres de Fermat’.

7) Consultez encore sur les solutions de Fermat la note 3 de la p. 28.

8) Voir les Prop. V-VII (p. 69-73).

9) Voir le dernier alinéa (p. 75-76) de la Prop. IX.

[p. 24]

première édition de 1708 de son ‘Essay’¹⁾ et Jacques Bernoulli dans son ‘Ars conjectandi’²⁾ ont donné la formule (1); de Moivre a, le premier, étendu la solution au cas où les chances p et q () des joueurs A et B de gagner une partie sont inégales³⁾. Dans ce cas les formules (1) et (2) doivent être remplacées par les suivantes:

(1a)
(2a)

De ces formules (1_a) et (2_a) de Moivre a donné la première dans le Mémoire de 1711, cité dans la note 3 de cette page; de Monmort y a ajouté la seconde dans l'édition de 1713 de son ‘Essay’⁴⁾.

Parmi les mathématiciens plus modernes qui se sont occupés du problème des partis nous citerons Laplace, qui a trouvé la fonction génératrice⁵⁾ dont le développement suivant les puissances de ses deux variables fait connaître les valeurs de φ(a, b), parce que ces valeurs sont égales aux coefficients des termes du développement, et Meyer qui a réussi à représenter φ(a, b) à l'aide d'une intégrale définie très simple⁶⁾.

Dans le cas de n joueurs A₁, A₂,.... A_n, auxquels il manque respectivement a₁, a₂,.. a_n parties, on a:

1) Voir la p. 97 (Art. 173) de l'ouvrage de Todhunter.

2) Voir la p. 109 de l'ouvrage cité dans la note 13 de la p. 9.

3) Voir la p. 217 du Mémoire de 1711, cité dans la note 12 de la p. 9.

4) Voir la p. 245 de cette édition.

5) Elle prend la forme: , φ(a, b) étant égal au coefficient du terme contenant t₁^a t₂^b; voir la p. 625 du T. VII des ‘OEuvres complètes de Laplace, publiées sous les auspices de l'Académie des Sciences, Paris, Gauthier-Villars, 1886’.

6) Voir la p. 69 de l'ouvrage: ‘Cours de calcul des probabilités fait à l'Université de Liège de 1849 à 1857 par A. Meyer, publié sur les manuscrits de l'auteur par F. Folie. Bruxelles, F. Hayez, 1874’. On a .

[p. 25]

(6)

où p₁, p₂,..., p_n représentent les probabilités que les joueurs ont de gagner une partie et où la sommation doit être étendue à toutes les valeurs entières de u₂, u₃,..., u_n pour lesquelles 0 ≦u_m ≦a_m - 1⁷⁾.

Déja Paciuolo (1494) s'était occupé du cas de trois joueurs⁸⁾. Pascal, Fermat et Huygens savaient calculer (en supposant p₁ = p₂ = p₃) pour chaque cas particulier les espérances mathématiques des joueurs; Pascal et Huygens en réduisant la solution du cas donné à celle de cas plus simples⁹⁾; Fermat en appliquant l'analyse combinatoire¹⁰⁾. C'est en se servant de cette dernière méthode que de Moivre découvrit le premier une règle générale dont l'application ne diffère point de l'emploi de la formule (6)¹¹⁾.

Ajoutons enfin que Laplace¹²⁾ et Meyer¹³⁾ ont su généraliser leurs solutions que nous venons de mentionner, de sorte qu'elles deviennent applicables au cas de n joueurs.

7) Ainsi p.e. dans le cas a₁ = 2, a₂ = 2, a₃ = 3 on doit sommer les six termes qu'on obtient en posant successivement u₂ = 0, u₃ = 0; u₂ = 0, u₃ = 1; u₂ = 0, u₃ = 2; u₂ = 1, u₃ = 0; u₂ = 1, u₃ = 1; u₂ = 1, u₃ = 2. On sait qu'on a Γ(1) = 1 et Γ(n) = (n - 1) (n - 2)... 1 pour n entier et plus grand que l'unité.

8) Paciuolo se contenta de généraliser sa solution inexacte du cas de deux joueurs; comparez la note 1 de la p. 22.

9) Voir, quant à Pascal les pp. 300-301, 306 et 307 du Tome II de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 3, et quant à Huygens les p. 73-77 du présent Tome.

10) Voir au T. II de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 3 les pp. 302-306 et 310-312.

11) Voir les p. 191-192 (Problem LXIX) de l'ouvrage cité en premier lieu dans la note 12 de la p. 9.

12) Voici, dans notre notation, la fonction génératrice généralisée telle qu'on la trouve à la p. 642 du T. VII de l'ouvrage cité dans la note 5 de la p. 24: φ(a₁, a₂ .. a_n) étant égal au coefficient du terme t₁^a₁ t₂^a₂ ... t_n^a_n.

13) Dans nos notations le résultat obtenu par Meyer s'écrit: Après avoir développé suivant les puissances de p₂...p_n le numérateur de la fraction qui se trouve sous le signe d'intégration, on calcule facilement les termes qu'on obtient à l'aide de la formule:
où v₂, v₃ ..... v_n et v₂ - v₃ ... - v_n - n doivent être des nombres entiers ≦ 0; voir les p. 72 et 73 de l'ouvrage cité dans la note 6 de la p. 25.

[p. 26]

Les Problèmes des dés.

Le 29 juillet 1654 Pascal écrivit à Fermat¹⁾: ‘J'admire bien davantage la méthode des parties que celle des dés; j'avois vu plusieurs personnes trouver celle des dés, comme M. le chevalier de Méré, qui est celui qui m'a proposé ces questions, et aussi M. de Roberval; mais M. de Méré n'avoit jamais pu trouver la juste valeur des parties²⁾ ni de biais pour y arriver, de sorte que je me trouvais seul qui eusse connu cette proportion.’

Pascal avait en vue le problème des dés tel qu'il fut formulé par de Méré. Pour celui-ci il s'agissait de savoir en combien de coups on peut entreprendre avec avantage de jeter deux six avec deux dés, mais l'extension au cas de n dés, et le problème plus général de déterminer en combien de coups on peut gager d'amener un événement quelconque dont la probabilité à chaque coup est égal à p, ne présentent non plus aucune difficulté, pourvu qu'on y emploie le calcul des logarithmes.

Huygens l'a montré lui-même dans la Pièce de 1676, destinée à Dierkens³⁾, où

1) Voir la p. 290 du Tome II des ‘OEuvres de Fermat’, citées dans la note 1 de la p. 3.

2) Il s'agit du problème des partis.

3) Voir, sur cette Pièce, la p. 16 de cet Avertissement.

[p. 27]

il obtient par un raisonnement très simple une solution qui, appliquée au probleme général, consiste dans la détermination du plus petit nombre entier excédant le quotient de logs 2 par log (1 - p)⁴⁾. Pourquoi donc Huygens s'est-il borné dans son Traité de 1657 aux cas d'un seul et de deux dés⁵⁾ et n'y a-t-il su résoudre le problème dans ce dernier cas que par des calculs qui doivent avoir été assez pénibles?

Il est vrai que le calcul des logarithmes ne semble pas avoir fait partie du cours professé par van Schooten⁶⁾ et qu'on n'en rencontre dans les manusscrits de Huygens aucune trace avant 1661, tandis qu'alors ce calcul est approché par lui du côté géométrique en connection avec la quadrature de l'hyperbole⁷⁾. Toutefois il semble inadmissible que Huygens n'ait pas pris connaissance avant 1657 d'une branche si importante des mathématiques, sans doute bien connue en Hollande par les travaux de Vlack⁸⁾. En effet, la réponse à la question que nous avons posée est à la fois plus simple et plus curieuse. C'est que Huygens avait attaqué en 1656 le problème du côté le moins accessible. Au lieu de considérer dès l'abord l'espérance mathématique de celui qui donne à jeter, il avait commencé par s'occuper des chances plus compliquées de celui qui jette les dés, de sorte qu'il ne s'était pas aperçu que l'espérance du premier peut être représentée par l'expression , où a est l'enjeu, n le nombre des dés avec lesquels on doit jeter n six, et m le nombre des coups dont on est convenu.

L'exactitude de cette explication est prouvée indubitablement par l'Appendice VII de 1676, p. 156-163 du présent Tome. On y voit dans quelles circonstances Huygens découvrit enfin la simplification qu'on obtient en s'occupant en premier lieu des chances du ‘contra certans’, comme Huygens l'appelle⁹⁾.

4) On trouve cette même solution à la p. 231 de l'ouvrage de de Monmort cité dans la note 11 de la p. 9, à la p. 219 du Mémoire de de Moivre cité dans la note 12 de la p. 9 et à la p. 32 de l'‘Ars conjectandi’ de Jacques Bernoulli.

5) Voir les Prop. X et XI, p. 79-83 du présent Tome.

6) Voir sur ce cours les p. 7-20 du T. XI.

7) Voir la Pièce d'août 1661, intitulée ‘Fundamentum regulae nostrae ad inveniendos logarithmos’, qui se trouve aux p. 18-19 du Manuscrit B et que nous reproduirons en lieu propre.

8) Sa ‘Trigonometria Artificialis, sive Magnus Canon Triangulorum Logarithmus’ parut en 1633, chez Rammazeyn à Gouda.

9) Voir la note 5 de la p. 161.

[p. 28]

D'ailleurs la Pièce destinée à Dierkens, dont nous avons déjà parlé¹⁾, nous apprend comment Huygens a profité aussitôt de cette découverte.

Un autre problème des dés, traité par Huygens dans la Prop. XII²⁾, à savoir ‘Trouver le nombre de dés avec lequel on peut accepter de jeter 2 six du premier coup’, n'admet pas de solution aussi simple que celui que nous venons de considérer. Comme Huygens l'a remarqué il est équivalent ‘à la question de savoir en combien de coups d'un seul dé l'on peut compter jeter deux fois un 6’.

Supposons plus généralement qu'il s'agisse d'un événement dont la probabilité à chaque coup est égale à p et qu'on veuille connaître la probabilité qu'il se produise au moins m fois en n coups.

Cette probabilité est représentée par la somme des (n - m + 1) premiers termes du développement de (p + q)ⁿ, où ; la probabilité complémentaire est donnée par les m derniers termes du même développement³⁾. Pour résoudre le problème posé par Huygens il faut donc chercher le plus petit nombre entier pour lequel:

ou bien déduire ce même nombre à l'aide de la relation:

(5/6)ⁿ + n (5/6)^{n - 1} 1/6 < ½.

Il est évident que c'est la seconde formule qui mène le plus facilement au but désiré. Or, le calcul effectué par Huygens correspond à l'emploi de la première.

1) Voir la p. 16.

2) Voir les p. 83-85.

3) C'est la solution obtenue par Bernoulli, p. 38-43 de son ‘Ars conjectandi’ Évidemment elle peut s'écrire sous la forme de la formule (1_a) de la p. 24. Or, de Moivre donne à la p. 13 de sa ‘Doctrine of chances’ (voir la note 12 de la p. 9) une solution qui correspond à la formule (2_a) de la même p. 24. En effet, le problème que nous traitons ici, ne diffère pas essentiellement du problème des partis auquel se rapportent ces deux formules. Afin de le montrer, soient m et n-m les nombres des parties qui manquent encore aux joueurs A et B p la probabilité à chaque partie qu'elle sera gagnée par A, q la probabilité complémentaire, c'est-à-dire celle que B la gagne. Supposons de plus, comme Fermat l'avait déjà fait pour obtenir sa solution du problème des partis (voir les pp. 301-307 et 310-311 du T. II des OEuvres de Fermat), qu'on convienne de jouer en tout cas n-1 parties, même si le jeu était décidé plus tôt, c'est-à-dire même si l'un des joueurs avait gagné avant la n-1^ième partie celles qui lui manquent. Lorsque m, ou plus que m, de ces n-1 parties ont fini à l'avantage de A, il est évident qu'il a gagné le jeu puisqu'il a pu compléter le nombre de ses parties gagnées, sans que B dans les n-m-1 parties restantes ait pu gagner celles qui lui manquaient. Lorsque, au contraire, A a gagné moins que m parties, B a gagné le jeu. La probabilité que le jeu soit gagné par A est donc la même que celle qu'un événement de la probabilité p arrive m, ou plus que m fois, en n-1 épreuves.

[p. 29]

Les Exercices proposés aux lecteurs du Traité de 1657.

Les Exercices qu'on trouve vers la fin du Traité de 1657⁴⁾ n'ont pas manqué le but ‘de laisser quelque chose à chercher’ aux ‘lecteurs, afin que cela leur servît d'exercice et de passe-temps’⁵⁾. En effet, parmi les savants qui se sont occupés à les résoudre: Hudde⁶⁾, Spinoza⁷⁾, de Mon-

4) Voir les p. 89-81.

5) Comparez la p. 59.

6) Voir pour le deuxième Exercice les p. 304-307 et 382-383 du T. V et la note 3 de la p. 88; pour le quatrième les pp. 304 et 307 du T. V et les notes 1 et 4 de la p. 100; et enfin pour le cinquième les p. 470-471 du T. V.

7) On trouve la solution de Spinoza du premier Exercice dans le traité ‘Reeckening van kanssen’ [Calcul des chances], qui probablement fut publié en combinaison avec sa ‘Stelkonstige reeckening van den regenboog’ [Calcul algébrique de l'arc-en-ciel]. Ces deux petits traités étant devenus très rares, Bierens de Haan en fit une réimpression (Leiden, Muré frères, 1884). Le premier traité fut reproduit de même aux p. 521-524 de l'ouvrage ‘Benedicti de Spinoza Opera quotquot reperta sunt. Recognoverunt J. van Vloten et J.P.N. Land. Volumen posterius. Hagae Comitum apud Martinum Nyhoff. 1883.
Puisque la solution de Spinoza n'a paru jusqu'ici, pour autant que nous le sachions, qu'en hollandais nous en donnons ci-après une traduction française:

‘Premier Problème.

A et B jouent l'un contre l'autre avec 2 dés à la condition suivante: A aura gagné s'il jette 6 points, B s'il en jette 7. A fera le premier un seul coup; ensuite B 2 coups l'un après l'autre; puis de nouveau A 2 coups, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un ou l'autre ait gagné. On demande le rapport de la chance de A à celle de B. Réponse: comme 10355 est à 12276.

Afin de répoudre à cette question, je la divise, d'après la seconde règle de l'Art de penser du Sieur Descartes’ [voir le ‘Discours de la methode’, p. 18 du T. VI des OEuvres de Descartes, publiées par Charles Adam & Paul Tannery, 1902] ‘en ces deux Propositions.

Première Proposition.

B et A jouent l'un contre l'autre avec 2 dés à cette condition, que B gagnera s'il jette 7 points et A s'il en jette 6, pourvu que chacun fasse deux coups consécutifs, et que B jette le premier. Leurs chances sont B 14256/22631, A 8375/22631.

Analyse et Démonstration.

Soit x la valeur de la chance de A, et que ce qu'on a mis, ou l'enjeu, soit appelé a, alors la chance de B vaut donc a-x. Il paraît de même que, dans cette supposition, chaque fois que le tour de B revient la chance de A sera de nouveau x, mais toutes les fois qu'il est le tour de A de jeter, sa chance doit être plus grande. Désignons par y ce que cette chance vaut alors. Puisque donc B doit jeter le premier et que 6 coups de 2 dés, parmi les 36 qu'il y a en tout, lui peuvent donner 7 points, on a trouvé que sur les deux fois où il lui est permis de jeter il a (après réduction du rapport) 11 chances à a, ou de gagner, et 25 qui lui font manquer, à savoir, qui font revenir le tour de A’ [on trouve en effet 11 : 25 pour le rapport des chances en remarquant que B a 6 × 36 chances de gagner au premier coup et 30 × 6 de gagner au second coup, le nombre total des chances étant 36 × 36]. ‘Par conséquent A, lorsque B commence à jeter, a 11 chances à 0, ou de perdre, et 25 chances d'avoir y, e'est-à-dire que ce sera son tour de jeter. Cela vaut donc à A 25y/36, mais puisqu'on a supposé que la chance de A vaut x au commencement, on a donc 25y/36 ∞ x, et par suite y ∞ 36x/25. Afin de trouver la valeur de y encore d'une autre façon, il est sûr que lorsque A devra jeter il a 5 chances à a, ou de gagner, parce qu'il y a 5 chances des 36 qui lui peuveut donner 6 points; tout bien compté on a constaté que, dans deux coups, A a 335 chances à a, et 961 qui font revenir le tour de B, c'est-à-dire qui lui donnent x. Cela vaut . Comme cela doit être ∞ y et qu'on a trouvé plus haut 36x/25 ∞ y, il faut donc que soit égal à 36x/25, d'où l'on déduit x ∞ 8375a/22631, ce qui est la chance de A, et par suite la chance de B vaudra 14256/22631 a. La chance de A est donc à celle de B comme 8375 à 14256 et réciproquement celle de B à A comme 14256 à 8375. Ce qu'il fallait démontrer.

Deuxième proposition.

A joue contre B comme il est décrit dans le problème. Leurs chances sont A 10355/22631, B 12276/22631.

Analyse et démonstration.

Puisque A a 5 chances à a, ou bien de gagner, et 31 chances de manquer, e'est-à-dire de se trouver dans le cas de la première proposition, ce que lui vaut 8375/22631 a: il a donc 5 chances à 22631/22631 a (afin que je réduise tout au même dénominateur), et 31 chances à 8375/22631 a. Il vient’ [nous supprimons quelques calculs très simples] ‘10355 pour la chance de A. 12276 pour la chance de B. Ce qu'il fallait démontrer.’

[p. 30]

mort¹⁾, de Moivre²⁾, Jacques Bernoulli³⁾ et Struyck⁴⁾, on rencontre quelques noms des plus illustres. Si donc ces problèmes, avec les généralisations auxquelles ils conduisent naturellement, ont exercé une influence incontestable sur le développement du calcul des probabilités, Huygens en doit partager l'honneur avec Fermat et Pascal qui lui avaient proposé respectivement, Fermat le premier et le troisième, Pascal le dernier des cinq Exercices⁵⁾.

Pour des informations plus détaillées sur chaque Exercice en particulier nous préférons renvoyer le lecteur aux notes des p. 88-91.

1) Voir dans l'ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9, les p. 216-223 de la ‘Quatrième Partie. Où l'on donne la solution de divers Problêmes sur le hazard, & en particulier des cinq Problêmes proposés en l'année 1657 par Monsieur Huygens’.

2) De Moivre a donné des solutions du deuxième, du quatrième et du cinquième Exercice; voir, dans les ouvrages cités dans la note 12 de la p. 9, pour le deuxième Exercice les p. 229-232 de son Mémoire de 1711 et les pp. 49-51 et 55-56 de son Traité (édition de 1738), pour le quatrième les p. 235-236 du Mémoire, pour le cinquième la p. 227 du Mémoire, et les p. 44-47 du Traité.

3) Voir les p. 49-71 de la ‘Pars prima’ de son ‘Ars conjectandi’ et encore pour le troisième et le quatrième Exercice les p. 144-146.

4) Voir, dans l'ouvrage cité dans la note 14 de la p. 9, les p. 32-45 où l'on trouve les solutions des cinq Exercices, et encore sur le premier Exercice la p. 62, sur le deuxième les p. 91-92 et sur le cinquième la p. 110.

5) Comparez les notes 7 et 13 de la p. 7.

[p. 31]

Problèmes échangés entre Huygens et Hudde sur l'avantage ou le désavantage de la primauté.

Cas où l'enjeu, quelle qu'en soit la grandeur, peut être gagné d'un seul coup.

Afin de découvrir le fil qui nous conduira à travers le dédale des problèmes que Huygens et Hudde se sont proposés en 1665, et des malentendus qui en sont résultés, nous commencerons par résoudre le problème qui suit:

A et B jettent à tour de rôle. Lorsque le coup leur est favorable ils prennent tout ce qui se trouve à l'enjeu et la partie est finie; s'il leur est défavorable ils ajoutent

[p. 32]

un ducat à l'enjeu. Soit α la probabilité, quand c'est le tour de A de jeter, que le coup lui soit favorable et α′ la probabilité complémentaire (); soient β et β′ les probabilités correspondantes dans le cas de B. Supposons que les joueurs se séparent à un instant où l'enjeu est monté à n ducats, comment doivent-ils se partager cet enjeu, 1^o. dans le cas où c'est le tour de A de jeter 2^o. dans le cas où c'est le tour de B?

Représentons par φ(n) la part qui revient à A dans le premier cas, par ψ(n) celle qui est due à B dans le second cas.

On a alors suivant les règles du jeu:

(3)	^1),
(4)

Or, on peut considérer la part de A comme la somme de deux parties dont l'une se rapporte à sa chance, au cas où le jeu eût été continué, d'obtenir l'enjeu actuel, et l'autre à ses chances de gagner dans ce cas, outre l'enjeu actuel, les ducats ajoutés par son adversaire pendant la continuation du jeu ou bien de perdre ceux qu'il y aurait dû ajouter lui-même.

Évidemment la première de ces parties est proportionnelle à l'enjeu n, tandis que l'autre est une quantité constante puisque la chance que le jeu finira ou ne finira pas par un coup donné est indépendante de la grandeur de l'enjeu.

On peut donc poser:

(5)

et de même:

(6)

Or, la substitution de ses expressions dans les équations (3) et (4) nous fournit, puisque a₁, a₂, b₁ et b₂ sont indépendants de n:

d'où il s'ensuit:

1) Ici et dans les formules qui suivent l'unité représente un ducat.

[p. 33]

et par conséquent:

(7)	^2),
(8)

On trouve donc p.e.:

(9)
(10)

et l'on a dans le cas α = α′ = β = β′ = 1/2:

(11)

Prenons maintenant le premier problème sur le désavantage de la primauté, tel qu'il fut proposé par Huygens à Hudde dans sa lettre du 4 avril 1665³⁾. Ce problème avait été formulé par Huygens comme suit:⁴⁾

‘A et B jettent à tour de rôle croix ou pile, sous condition que celui qui jette pile mettra chaque fois un ducat, mais que celui qui jette croix prendra tout ce qui

2) Voici comment cette formule peut être obtenue par une méthode qui ne diffère pas essentiellement de celle suivie par Huygens dans ce genre de problèmes. Cherchons à cet effet la somme des valeurs des chances de A pour chaque coup par lequel le jeu peut se terminer.
On trouve de cette manière: .

3) Voir la p. 304 du T. V.

4) Voir la p. 348 du T. V.

[p. 34]

est mis, et A jette le premier, pendant que rien n'a été mis encore. La question est, combien A perd, quand il entre dans ce jeu, on combien il pourrait donner à B pour pouvoir en finir?’

Or, Huygens en posant cette question avait sous-entendu que ‘le jeu ne devait pas finir avant que quelque chose n'eût été mis de part ou d'autre’¹⁾.

Dans ce cas on a pour calculer la perte p de A:

c'est-à-dire, en appliquant la formule (11):

résultat qui fut, en effet, obtenu par Huygens²⁾.

Hudde, au contraire, avait compris, que si A jetait croix du premier coup le jeu serait fini. Dans cette hypothèse on a:

résultat que Hudde communiqua à Huygens dans sa lettre du 5 mai³⁾ (p. 350 du T. V).

Dans cette dernière lettre Hudde ne se borna pas à indiquer sa solution du problème que nous venons de considérer, mais il posa de son côté la question suivante⁴⁾:

1) Voir la p. 422 du T. V.

2) Comparez la p. 318 du T. V et consultez, pour connaître la voie suivie par Huygens dans la solution du problème, les p. 116-122 du présent Tome.

3) Il est vrai que Hudde avait commencé par trouver 1/6 au lieu de 2/9 (voir sa lettre du 5 avril, p. 308 du T. V) mais ce résultat avait été obtenu dans la supposition (voir les p. 349-350 du T. V) que celui qui jette pile doit mettre un ducat ‘mais seulement pour la 1^e fois’ (de sorte que l'enjeu pouvait monter au plus à deux ducats, dont l'un provenait de A et l'autre de B). Dans cette supposition la somme des valeurs des chances de A correspondant aux différentes manières dont le jeu peut se terminer est représentée par la suite infinie: 0 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ... = - 1/6.
Il est vrai aussi que dans sa lettre du 29 juin (p. 383 du T. V) Hudde corrige son résultat de 2/9 en 4/27. En effet, la conformité de ce dernier résultat de Hudde à celui de Huygens n'a pas peu contribué à prolonger le malentendu qui existait entre eux. Cependant leur accord n'était qu'apparent. Hudde, ayant cherché la cause de la divergence entre son résultat (de 2/9) et celui de Huygens (de 4/27) dans une différence d'interprétation des conditions du problème, avait réussi (comme il le raconte naïvement dans sa lettre du 21 août, p. 449-451 du T. V) à découvrir, non sans peine, ‘un double sens évident dans le mot gagner’. Ce mot ne se trouvait pas dans l'énoncé du problème tel que Huygens le lui avait proposé, mais celui-ci ayant avoué (p. 422 du T. V) que cet énoncé avait été incomplet, Hudde supposait que Huygens avait oublié aussi d'y ajouter une phrase de la portée suivante: ‘que A en jetant croix du premier coup’ gagnerait ‘autant qu'il perd par les conditions du jeu’. De cette manière Hudde avait donné à l'énoncé en question une interprétation extrêmement forcée qui lui fournit enfin le résultat tant désiré, conforme à celui de Huygens.
Ajoutons que dans la même lettre du 21 août Hudde explique (p. 447-448 du T. V) de quelle façon il avait obtenu successivement les nombres 1/6 et 2/9.

4) Voir les p. 350-351 du T. V.

[p. 35]

‘A et B tirent à l'aveuglette à tour de rôle. A toujours 1 de 3 jetons, desquels trois il y en a deux blancs et un noir, B de même toujours d'un certain nombre de jetons blancs et noirs dont la proportion reste invariable; sous condition que celui qui tire un jeton blanc jouira de tout ce qui est mis, mais qu'au contraire celui qui tire un noir ajoutera toujours un ducat: et A tirera le premier avant que rien n'ait été mis. On demande, lorsqu'on veut avoir des conditions équivalentes de part et d'autre, de sorte que, A commençant à tirer, il n'y ait d'avantage pour aucun des deux, quelle proportion devra se trouver entre les dits jetons blancs et noirs?’

Pour résoudre ce problème suivant l'interprétation de Huygens nous représenterons par ε_A l'espérance mathématique de A et par ε_B celle de B, lorsque c'est le tour de A de tirer et que rien n'a encore été mis.

On a donc, en employant les notations de la p. 32:

[p. 36]

et par conséquent:

En substituant dans cette dernière formule les expressions que nous avons déduites pour φ(1) et ψ(1)¹⁾, on trouve facilement (en utilisant les relations et ):

(12)

La condition de l'égalité des chances de A et de B au commencement du jeu exige donc que le rapport β: β′ entre les jetons blancs et noirs de B soit égal à la racine positive de l'équation:

équation qui dans le cas du problème (où α = 2/3, α′ = 1/3) nous donne:

Ce sont là, en effet, les résultats obtenus par Huygens, qu'il communiqua à Hudde dans ses lettres du 7 juillet et du 28 juillet²⁾.

Passons maintenant à l'interprétation de Hudde. D'après elle on a:

(13)

L'égalité des chances exige donc en général:

β/β′ = α

1) Voir les formules (9) et (10) de la p. 33 de cet Avertissement.

2) Comparez les pp. 392 et 423 du T. V, et consultez quant à la méthode suivie par Huygens pour déduire ces résultats, le § 1 de l'Appendice IV (p. 108-113 du présent Tome) et le § 3 de l'Appendice V (p. 126-129 du même Tome).
Ajoutons que dans sa lettre du 10 mai (p. 352-353 du T. V) Huygens avait donné la solution fausse β = β′. Il la corrigea dans sa lettre du 7 juillet (p. 392 du T. V) ayant reconnu ‘d'avoir mis un + pour un -’.

[p. 37]

et dans le problème spécial proposé par Hudde:

β/β′ = 2/3;

résultats qu'il annonça à Huygens dans sa lettre du 29 juin³⁾.

Voulant examiner encore d'une autre manière si, en effet, ses ‘calculs’ à lui et ceux de Hudde ‘suivaient des voies différentes’, Huygens demanda à Hudde⁴⁾ s'il trouvait, comme lui, 207/343 d'un ducat pour l'avantage de A, qui fait le premier coup, dans le cas où A dispose de deux jetons blancs et d'un noir et B d'un blanc et de deux noirs.

On retrouve facilement le résultat mentionné en substituant dans la formule (12) de la p. 36 pour α, α′, β et β′ les valeurs 2/3, 1/3, 1/3 et 2/3. La même substitution appliquée à la formule (13) fournit, au contraire, 3/49 d'un ducat. Sans doute ce dernier résultat eût été indiqué par Hudde dans sa réponse si le nouveau malentendu dont nous avons parlé dans le deuxième alinéa de la note 3 de la p. 34 n'était intervenu. On peut s'en convaincre en consultant les pp. 415-416 et 446 du T. V, où l'on voit de quelle manière Hudde avait obtenu la solution 9/245 qu'il communiqua à Huygens dans sa lettre du 29 juin⁵⁾.

Ici, comme partout, les calculs et les raisonnements de Hudde sur les questions dont nous traitons étaient parfaitement exacts, les divergences entre ses résultats et ceux de Huygens ne provenant que des interprétations différentes qu'ils donnèrent à ces questions.

3) Voir les pp. 381 et 385 du T. V.

4) Voir sa lettre du 10 mai 1665 à la p. 353 du T. V.

5) Voir la p. 381 du T. V.

[p. 38]

Voici un autre problème proposé par Huygens dans sa lettre du 10 mai¹⁾:

‘A et B jettent à tour de rôle à croix ou pile, à condition que celui qui jette pile mettra un ducat, mais que celui qui jette croix prendra tout ce qui est mis; et A jettera le premier. On demande combien A et B devraient mettre dès le commencement, c'est-à-dire, chacun une somme égale, pour faire que la condition de A et de B devienne la même?’

Sur ce problème la différence d'interprétation concernant l'effet du premier coup s'il était croix et que rien ne fût encore mis, ne trouvait pas de prise; par suite, les résultats obtenus par Huygens et Hudde étaient identiques.

Évidemment l'égalité des conditions des deux joueurs exige ici:

c'est à dire²⁾:

il faut donc que chaque joueur commence par mettre 2/3 d'un ducat.

Ce résultat fut indiqué par Hudde dans sa lettre du 29 juin³⁾ et par Huygens dans la sienne du 7 juillet 1665⁴⁾.

1) Voir les pp. 353 et 381-382 du T. V.

2) Voir la formule (11) de la p. 33 de cet Avertissement.

3) Voir la p. 382 du T. V.

4) Voir la p. 394 du T. V. Sur la méthode suivie par Huygens on peut consulter le § 4 de l'Appendice V, p. 130-132 du présent Tome.

Un dernier problème proposé par Huygens à Hudde en 1665. La ‘part du diable’.

Nous avons réservé une place à part au problème suivant⁵⁾:

‘A et B jettent à tour de rôle croix ou pile, à condition que celui qui jette pile mettra chaque fois un ducat à l'enjeu, mais celui qui jette croix recevra chaque

5) Voir la p. 132 du présent Tome.

[p. 39]

fois un ducat si quelque chose a été mis. Et A jettera le premier quand il n'y a encore rien à l'enjeu, et le jeu ne finira pas avant que quelque chose ait été mis, et l'on jouera jusqu'à ce que tout ait été enlevé. On demande quel est le désavantage de A?’

De ce problème Huygens a élaboré une solution sous la date du 15 juillet 1665⁶⁾. Il l'a aussi proposé à Hudde puisque celui-ci en a traité dans une pièce que nous avons reproduite aux p. 463-469 du T. V.

Au premier abord le problème n'a rien de bien particulier. Il semble même que sa solution puisse être obtenue par un raisonnement très simple⁷⁾ que nous exposons dans la note 2 de la p. 142 et qui évidemment a échappé à l'attention de Huygens⁸⁾. Il y a cependant une réserve importante à faire dont nous parlerons plus loin⁹⁾.

Nous commençons par développer ici ce raisonnement d'une manière un peu plus générale que nous ne le faisons à la place précitée.

Supposons, à cet effet, que les joueurs A et B conviennent de se séparer à un instant où il y n ducats à l'enjeu, et soit x_n la part qui revient au joueur dont c'est le tour de jeter. Nous divisons en deux périodes le jeu qui aurait eu lieu si les joueurs avaient continué. Nous étendons la première période jusqu'à l'instant où pour la première fois l'enjeu est réduit à un seul ducat et la séconde depuis cet instant jusqu'à la fin du jeu. Évidemment l'espérance mathématique correspondant aux ducats que le joueur peut gagner ou perdre pendant la première période est égale à son espérance totale dans le cas où il y a n-1 ducats à l'enjeu, c'est-à-dire elle est égale à x_n-1. Quant à son espérance correspondant à la seconde période, elle est égale à x₁ dans le cas où n est impair, parce que dans ce cas le tour de jeter sera au commencement de cette période au même joueur qui a jeté lors-

6) Voir les p. 132-150.

7) Nous devons ce raisonnement et les solutions fondées sur lui à notre collaborateur M. Fr. Schuh.

8) Comparez les p. 142-143 du présent Tome où Huygens exprime le désir de connaître une solution plus simple que celle qu'il venait d'élaborer.

9) Voir les p. 43-47 de cet Avertissement.

[p. 40]

qu'il y avait n ducats à l'enjeu; dans le cas où n est pair son espérance sera, au contraire, représentée par 1 - x₁¹⁾, l'unité étant égale à un ducat.

On a donc:

Dans le cas spécial n = 2, on trouve:

(16)	x2 = x1 + 1 - x1 = 1.

Soient maintenant, au début du jeu, ε_A l'espérance du joueur qui jette le premier, ε_B celle de l'autre joueur.

D'après les règles du jeu, on a: , puisque A s'il jette croix se trouvera après ce coup dans la même situation que celle où B se trouvait au commencement du jeu. Mais, parce qu'on a ¹⁾, cette équation se réduit à:

(17)	εA = - 1/3 x1.

On a de plus:

(18)

et, par conséquent, à cause de la relation (16):

(19)

x1 = 1/2;

donc enfin:

(20)

εA = 1/6;

résultat obtenu par Huygens²⁾ et aussi par Hudde³⁾.

1) C'est-à-dire dans l'hypothèse où la somme des espérances des deux joueurs est égale à l'enjeu qu'ils ont formé. Nous aurons à revenir sur cette hypothèse dont Huygens aussi a fait usage dans sa solution (voir p.e. la p. 133 du présent Tome).

1) C'est-à-dire dans l'hypothèse où la somme des espérances des deux joueurs est égale à l'enjeu qu'ils ont formé. Nous aurons à revenir sur cette hypothèse dont Huygens aussi a fait usage dans sa solution (voir p.e. la p. 133 du présent Tome).

2) Voir les pp. 132-141.

3) Voir la p. 463 du T. V.

[p. 41]

Quant aux équations (14) et (15), elles se réduisent à la seule équation: , applicable lorsque n est pair ou impair. Et l'on trouve facilement à l'aide de cette équation:

(21)	xn = 1/2 n^4).

Nous indiquons ci-après une autre solution ne reposant pas sur le raisonnement qui nous a fourni la valeur de x₂. Elle nous fera connaître l'artifice sur lequel la solution de Huygens est fondée.

On a d'abord comme conséquence immédiate des règles du jeu⁵⁾;

(22)

ou bien:

(23)

.

À l'aide d'une application répétée de cette dernière relation on exprime facilement x₃, x₄, x₅, etc. en fonction de x₂ et de x₁. On trouve:

4) Ce résultat est conforme à celui formulé par Huygens dans l'avant-dernier alinéa de la p. 142. En effet, quand n est pair Huygens suppose que les joueurs ont contribué pour une même somme à l'enjeu (voir les définitions de la p. 133). L'avantage du joueur est alors égal à zéro, parce qu'on doit soustraire sa mise 1/2 n de son espérance future qui, elle aussi, est égale a 1/2 n. Quand n est impair Huygens suppose que l'adversaire a mis un ducat de plus que le joueur en question. L'avantage de celui-ci est donc 1/2 n diminué de sa mise 1/2(n - 1), c'est-à-dire qu'il est égal à un demi-ducat.

5) En admettant toujours l'hypothèse formulée dans la note 1 de la p. 40.

[p. 42]

Or, il résulte des équations (17) et (18):

(26)

Les équations (23) et (24) se réduisent donc aux suivantes:

(27)

que nous écrivons:

À l'exemple de Huygens¹⁾ nous raisonnons maintenant de la manière suivante: Même si n est un grand nombre, les espérances des deux joueurs ne peuvent différer que de 1 ou de 2 ducats, puisque la différence entre les chances du joueur qui jette le premier et de l'autre joueur ne peut se faire sentir que vers la fin de la partie quand il n'y a plus qu'un petit nombre de ducats à l'enjeu.

Soit donc p cette différence. On a alors . Substituons cette valeur de x_n dans les équations (28) et (29) et faisons croître indéfiniment le nombre n. Ces équations amènent alors l'une et l'autre le même résultat, savoir ε_A = - 1/6.

Disons enfin quelques mots à propos de la solution de Huygens. Huygens commence par déduire deux équations qui sont équivalentes à nos équations (17) et (18)²⁾. Ensuite il se sert d'une série d'équations³⁾ qui ne diffèrent pas essentiellement de celles qu'on obtient en prenant successivement n = 2, n = 3, etc.

1) Voir l'alinéa qui commence en bas de la p. 139 du présent Tome.

2) Ce sont les équations 3a = b et qu'on trouve à la p. 133.

3) Voir la p. 134.

[p. 43]

dans l'équation (22)⁴⁾. De cette manière Huygens réussit à exprimer la quantité -a= ε_A à l'aide d'une suite qu'on peut prolonger indéfiniment⁵⁾. Il lui faut donc prouver qu'on peut négliger le dernier terme de cette suite quand on la prolonge sussisamment⁶⁾. C'est à quoi il emploie le raisonnement que nous venons de reproduire. Après cela il ne s'agit plus que de sommer la suite en question; ce qui lui réussit également⁷⁾.

Remarquons que cette solution de Huygens contraste favorablement avec celle de Hudde. Dans la première Pièce qui se rapporte à cette dernière solution⁸⁾, Hudde n'a trouvé d'autre issue que d'ériger en ‘Corollaire’ une relation qui dans nos notations s'exprime par: . Dans une autre Pièce⁹⁾ il tâche de prouver la relation par un développement en série dans lequel il néglige en dernière instance un grand nombre de termes dont les valeurs lui sont inconnues.

Nous avons maintenant à nous occuper de la réserve qui nous empêche d'accepter sans discussion les solutions dont nous venons de traiter. Ces solutions supposent que la somme des espérances des deux joueurs est égale à l'enjeu. Or, cette hypothèse devient ici sujette à caution parce que le jeu peut se prolonger indéfiniment sans que l'enjeu soit jamais épuisé.

Afin de montrer la portée de cette remarque, supposons que les joueurs conviennent de donner l'enjeu à une troisième personne dans le cas où cet enjeu monterait à v ducats. Quelle est l'espérance mathématique φ_c(n, v) de cette personne à l'instant où l'enjeu contient n ducats (n < v)?.

On a évidemment: φ_c(1, v) = 1/2 φ_c(2, v), et de même:

4) Comparez la note 1 de la p. 135.

5) Voir les p. 135-139.

6) Il s'agit du terme - 1/32 k de la suite qu'on trouve à la p. 139. Or, dans la note 2 de la p. 138 nous avons indiqué la relation qui existe entre la quantité k et la différence des espérances des joueurs.

7) Voir la p. 140.

8) Voir les p. 463-465 du T. V.

9) Voir les p. 468-469 du T. V.

[p. 44]

(pour 1 <n <v).

De ces relations on déduit facilement:

φ_c(n, v) = nφ_c(1, v) (pour 1 ≦ n ≦ v).

Or, φ_c(v, v) = v, donc φ_c(1, v) = 1, et par suite:

(30)	φc(n, v) = n (pour 1 ≦ n ≦ v).

Soit maintenant ε_c l'espérance de la troisième personne au début du jeu, rien n'étant encore mis. On a:

et, par conséquent:

(31)

εc = 1.

L'espérance de la troisième personne est donc indépendante du nombre v. Elle est égale à un ducat au commencement du jeu et elle augmente ou diminue ensuite régulièrement avec l'enjeu auquel elle reste toujours égale.

Quelle est la probabilité que l'enjeu après être monté à n ducats atteigne la somme de v ducats?

On obtient cette probabilité en divisant l'espérance de la troisième personne par la somme qu'il peut obtenir. Elle est donc égale à n/v quand 1 ≦ n ≦ v, et à 1/v quand rien n'a encore été mis.

La probabilité que la troisième personne gagne l'enjeu s'approche donc indéfiniment de zéro à mesure que v augmente.

Pour v = 2n elle est égale à 1/2. Or, puisque la probabilité que l'enjeu diminue de n à 0, sans passer par v = 2n, est évidemment égale à celle qu'il monte de n à v = 2n (sans passer par zéro), il ne reste rien pour la probabilité que l'enjeu oscille indéfiniment entre les limites 0 et 2n sans jamais atteindre ni l'une ni l'autre. Quoique cet événement ne soit pas impossible, sa probabilité est donc infiniment petite. Et si cela est vrai pour v = 2n, il en est de même a fortiori pour v = 2n - 1,

[p. 45]

c'est-à-dire la conclusion reste applicable dans le cas où la limite supérieure est désignée par un nombre impair.

Quelles sont l'espérance φ_A(n, v) du joueur qui doit jeter, et celle φ_B(n, v) de l'autre joueur?

Il faut dans le développement postérieur du jeu distinguer trois possibilités: 1^e l'enjeu est épuisé par les joueurs, 2^e il est gagné par la troisième personne, 3^e il oscille indéfiniment entre 0 et v ducats sans jamais atteindre une de ces deux limites. Ce dernier événement entraînerait pour les joueurs une perte n'excédant jamais v ducats; perte qu'on peut négliger puisque sa probabilité est infiniment petite comme nous venons de le voir.

On a donc:

c'est-à-dire, à cause de l'équation (30):

(32)	φB(n, v) = - φA(n, v).

En appliquant les règles du jeu, on trouve:

ou bien:

(pour 1 <n < v).

On a de plus:

À l'aide de ces deux dernières relations on trouve sans peine:

Or, évidemment φ_A(v, v) = 0, donc:

[p. 46]

(33)

^1).

Calculons maintenant les espérances ε′_A et ε′_B des joueurs A et B au début du jeu.

On a:

c'est-à-dire, puisque ε_c = 1:

Or, d'après les règles du jeu:

et par suite:

(34)	ε′A = - 2/3, ε′B = - 1/3.

En comparant ce résultat à celui de la p. 40 on voit que la perte causée aux joueurs par la participation supposée de la troisième personne se répartit également sur les deux joueurs.

Revenons maintenant au problème tel qu'il fut posé par Huygens. Il n'y est question que des deux joueurs A et B. Cependant il n'y a pas lieu, nous semble-t-il, de leur assigner l'espérance mathématique qui, d'après nos calculs, revient à la troisième personne que nous avons introduite. Dès que la formation de l'enjeu a commencé ces joueurs se trouvent dans la situation que nous avons indiquée dans la note 1 de cette page, pourvu qu'on y suppose v = ∞; c'est-à-dire l'enjeu doit être considéré comme perdu pour eux, puisque leurs espérances mathématiques sont devenues égales à zéro. On arrive à cette conclusion si l'on fait croître indé-

1) Ce résultat s'explique facilement. À chaque coup le joueur a une chance égale de gagner ou de perdre un ducat. Son espérance mathématique est donc égale à zéro pour chaque coup en particulier. Or, lorsque l'enjeu est épuisé ou lorsqu'il monte à v ducats, cela n'a d'autre effet pour les joueurs que de faire cesser le jeu.

[p. 47]

finiment le nombre v. Il est vrai que la probabilité que le jeu continue jusqu'à l'infini est infiniment petite, mais l'espérance mathématique qui correspond à cette éventualité n'en reste pas moins une quantité finie. Elle est égale à chaque instant à l'enjeu actuel.

Remarquons que des considérations analogues se présentent dans tous les jeux où les coups peuvent se répéter indéfiniment sans épuiser l'enjeu, de sorte qu'il nous semble utile d'introduire un terme pour désigner la somme qui dans un tel jeu est perdue pour les joueurs à l'instant même où ils conviennent de jouer. Nous proposons de la nommer: la part du diable.

N'oublions pas cependant que parfois dans les jeux de ce genre il est facile de montrer dès l'abord que cette part est infiniment petite, et par suite négligeable.

Prenons par exemple le problème de la p. 31. La probabilité qu'un enjeu de n ducats monte sous les conditions de ce problème jusqu'a n + v ducats s'exprime pour v pair par α′½vβ′½v, et pour v impair par α′½(v + 1) β′½(v - 1). La ‘part du diable’ est donc dans ce cas égale à la limite, pour v = ∞, du produit de ces expressions par n + v, c'est-à-dire qu'elle est nulle. Afin de résoudre ce problème, il est donc permis, comme nous l'avons fait²⁾, d'appliquer l'hypothèse que la somme des espérances des joueurs est à chaque instant égale à l'enjeu³⁾.

2) Voir la p. 32 de cet Avertissement.

3) Supposons, pour avoir un autre exemple, que les chances de chaque joueur de tirer un ducat de l'enjeu ou d'y mettre un ducat soient entre elles comme p est à q. On trouve alors:



par suite la part du diable est nulle dans le cas p > q et ∞ dans celui de p < q, tandis que pour p = q on retrouve la formule (30).
Ajoutons que la probabilité qu'un enjeu de n ducats augmente jusqu'à v ducats est . On a donc pour la probabilité que cet enjeu monte à 2n ducats. Or, on en déduit en intervertissant les nombres p et q, celle que l'enjeu s'épuise sans avoir jamais contenu 2n ducats. La somme de ces deux dernières probabilités étant égale à l'unité, il en résulte que, cette fois encore, la probabilité que l'enjeu oscille entre 0 et 2n ducats, sans jamais atteindre ces limites, est infiniment petite.

[p. 48]

Nous finissons par indiquer de quelle manière la part du diable peut être éliminée par un changement dans l'énoncé du problème qui nous occupe. Il suffit pour cela d'ajouter à cet énoncé la clause suivante: Lorsque l'enjeu monte à une certaine somme les joueurs se le partageront en parties égales sans continuer le jeu. Évidemment il faut alors ajouter à l'espérance de chaque joueur la moitié de ce que nous avons trouvé pour l'espérance de la troisième personne¹⁾.

On a donc dans ce cas:

et de même:

²⁾

résultats conformes à ceux de Huygens³⁾.

1) Voici une autre idée, suggérée par M.F. Schuh. Supposons que les personnes A et B, qui sont intéressées au jeu, ne jouent pas elles-mêmes, mais qu'elles se fassent représenter au jeu par des délégués. Si ces délégués leur annoncent que le jeu est fini, sans en communiquer le résultat, les personnes A et B, qui ont fait une gageure sur le résultat, sachant que le délégué de A ferait le premier coup, se trouvent précisément dans les conditions qui justifient la solution de Huygens, puisque la possibilité que le jeu se continue indéfiniment est exclue.

2) Voir sur cette notation la p. 39.

3) Comparez les p. 40-41.