Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2699.
G.W. Leibniz à Christiaan Huygens.
21 septembre 1691.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾ et C. I. Gerhardt²⁾.
Elle est la réponse aux Nos. 2693 et 2695.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2709.

Bronsvic 11/21 Septembre 1691.

Monsieur

J'ay receu vos deux lettres du 1. et du 4 de Septembre, qui m'ont rejoui par les bonnes nouvelles de vostre santé, ou je m'interesse beaucoup. Je suis bien aise aussi d'apprendre par l'examen que Vous avés fait, que nos solutions s'accordent. Je n'avois pas songé à la courbe, qui par son evolution peut produire la chainette. Cependant je voy qu'il est bon d'y songer dans les rencontres. Je ne scay, Monsieur, si vous avés remarqué un petit discours de Angulo contactus et Osculi³⁾, que j'avois mis dans les Actes de Leipzig mois de Juin 1686. Où je considere, que la direction de la courbe se doit exprimer par la droite qui la touche, parce que la droite a partout la même direction: Et la droite qui touche ne fait avec la courbe qu'un angle de contact, qui est moindre que tout angle de droite à droite. Mais la courbure ou flexion de la courbe en chaque point se doit exprimer par le cercle qui l'y touche le plus exactement, ou qui la baise, car le cercle a par tout la même courbure; et le cercle qui baise ne fait avec la courbe qu'angulum Osculi, comme je l'appelle, qui est moindre que tout angle de contact de cercle à cercle. Et ce cercle sera la mesure de la courbure. Ce qui s'accorde avec ce que vous dites, Monsieur, du rayon de la curvité⁴⁾. C'est pourquoy on fait bien de considerer cecy en examinant les courbes. Et les centres des cercles mesurans la courbure tombent dans vôtre generatrice par evolution. Il seroit peut-estre bon de continuer la progression et d'examiner quelle courbe seroit la plus propre à estre la mesure de l'osculation du second degré. Il est vray, qu'on ne trouvera point

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 97.

2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 103, et Briefwechsel, p. 665.

3) Ce discours porte le titre: ‘Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu in practica Mathesi, ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus substituendas.

4) Voir la pièce N^o. 2681, au troisième théorème.

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d'autres courbes uniformes, cependant comme deux contacts coincidens font l'osculation, on pourroit encore considerer la coincidence de trois contacts et même de 4 contacts, ou de deux osculations etc. Je suis bien aise que par vos decouvertes jointes aux nostres, nous avons la quadrature de la generatrice de la chainette. Il est vray, Mons. comme vous jugés fort bien, que, ce qu'il ij a de meilleur et de plus commode dans mon nouveau calcul c'est qu'il offre des verités par une espece d'analyse, et sans aucun effort d'imagination, qui souvent ne reussit que par hazard, et il nous donne sur Archimede tous les avantages que Viete et Des Cartes nous avoient donnés sur Apollonius. J'avoue que je ne l'ay pas encor portée à sa perfection, et je ne scay si d'autres occupations me le permettront. Cependant je ne croy pas que jusqu'icy on ait esté en meilleur chemin ny plus avant. Depuis que vous avés trouvé vous même la reduction de la chainette à la quadrature de l'Hyperbole, vous avés eu quelque raison Monsieur, de croire, que j'y pouvois estre arrivé aussi par une semblable remarque particuliere. Et même vôtre soubçon est allé un peu trop avant, jusqu'à me faire une petite querelle^a). Mais je n'ay pas trouvé necessaire de m'en emouvoir. Vous sçaurés, Monsieur, que Messieurs de Leipzig ont gardé à Mons. Bernoully une entiere fidelité, et bien loin de me decouvrir sa solution, ils ne m'ont pas même mandé qu'elle procedoit par la quadrature de l'Hyperbole. Je ne sçay s'il leur a recommandé le secret, mais ils ont bien jugé, qu'ils le luy devoient, et c'est moy qui le leur ay recommandé moy même, de peur, que Mr. Tschirnhaus n'en sçut quelque chose, car lors que j'avois proposé le probleme, je l'avois eu en vue⁵⁾, à cause des grands bruits qu'il faisoit de ses methodes. Mais si vous ne nous voulés pas croire ny ces Messieurs de Leipzig ny moy, sur nôtre parole, j'ay en main une preuve, aussi bonne qu'auroit pu estre le chifre que vous m'aviés conseillé à la fin, et dont je me suis dispensé par paresse et par distraction ne le jugeant plus necessaire. Elle ne vous permettra point de douter que j'aye sçu la reduction à la quadrature à l'Hyperbole avant l'arrivée de la solution de Mr. Bernoully à Leipzig. C'est que je l'ay mandée à un amy de Florence⁶⁾ dans une de mes lettres du 26 d'Octobre ou du 9 de Novembre⁷⁾, car il repond à la fois à ces deux, et je ne me souviens pas dans la quelle

a) bona verba. Je cherchois un compagnon dans mon ignorance et peu de penetration, si vous jugez que d'autres pourroient avoir quelque pensee semblable a celle que j'ay eue. Vous pourriez en publiant vostre calcul, publier a cette occasion la lettre de Florence qui fera une certitude entiere [Chr. Huygens].

5) Voir la note 10 de la Lettre N^o. 2623.

6) Rudolf C. Baron von Bodenhausen, mathématicien et précepteur du prince héritier de Toscane. La bibliothèque royale de Hannover possède 36 lettres de lui à Leibniz et 34 réponses de Leibniz.

7) La lettre de Leibniz à von Bodenhausen, du 26 octobre 1690 V.S., dont M. Bodemann, le directeur de la bibliothèque de Hannover, a bien voulu nous transmettre la copie. Nous en extrayons le passage suivant.
‘Was die lineam anlanget, so habe ich in des P. Pardies traité des forces mouvantes nachgeschlagen, befinde dass seine suppositiones recht, auch sonsten bekand, nehmlich von n. 72 bis 75 inclusive. Er sagt aber nur, dass die linea keine parabole sey, alleine was es für eine seyn müste, sagt er, (deucht mich) nicht; sondern kommt auff eine andere supposition, wenn die chorda des ponderis expers consideriret wird und gewisse pondera oder forces darauff appliciret werden, videatur n. 76 seqq, und wann er n. 81 sagt: les cordes sont effectivement courbées en hyperboles, so redet er abermals nicht von unserm casu, sondern von einem andern, wenn nehmlich die chorda sich thänet [sic=dehnet] quand les cordes se courbent en se rallongeant, welches ganz eine neue und mehr componirte frage gibt, da ich sehr zweifle, ob die Hyperbola statt habe. Ich supponere hin gegen, dass der faden oder viel mehr die Kette ihre länge behalte. Joachimus Jungius, so einer der besten Analytieorum und philosophorum nostri seculi gewesen, und noch ante Cartesium viel herrliche gedancken gehabt, hat sich über des problema sehr bemühet, aber nichts anders finden können, als dass keine parabole statt habe. Ich finde dass die curva catenaria sehr notable proprietates habe; datâ ipsius constructione, kann man leicht geben tangentes, quadraturam areae, dimensionem curvae, superficies ejus rotatione genitas etc. Ihre descriptio supponiret logarithmorum constructionem; und daher vice versa positâ descriptione hujus curvae physica; kann man pulcherrime die logarithmos ausfinden und construiren, und also kann man ope curvae catenariae quotcunque medias proportionales inter duas rectas datas geben. Et ita haec curva est una ex virtuosissimis totius Geometriae und über diesz summae in construendo facilitatis, wenn man nur einen faden hat, der sich sufficienti facilitate bieget und proprio pondere nicht notabiliter thenet. Dieses aber de logarithmis sage ich andern noch nicht, damit sie vor der Zeit nicht wissen, ob die curva sey ex numero ordinariarum an vero transcendentium’.

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j'ay touché ce point, et il m'y promet la dessus le silence, que je luy avais recommandé. Il me semble aussi, que vous pervertissés un peu le sens des paroles de Mr. Bernoulli. Et je croy que vous voulés railler. Je pense que le terme que j'avois donné pour la solution expirant avec l'année, il s'imagina que la mienne seroit bientost, ou pourroit estre déja entre les mains de Messieurs de Leipzig, pour estre imprimée, et qu'en ce cas, ils ne feroient peut-estre pas difficulté de me communiquer la sienne, ny moy de la voir et qu'elle me pourroit rebuter, s'il m'ostoit la matiere de dire quelque chose de nouveau et s'il me ravissoit jusqu'aux demonstrations. Mais cette apprehenfion n'estoit pas necessaire. D'ailleurs je ne me pressois pas lors même que je sçus que la solution de Mr. Bernoully estoit arrivée parce que je voulois encor donner du temps à des sçavans hors de l'Allemagne d'y essayer leur Analyse. Car j'ay ecrit pour ce sujet en France et en Italie, mais sans en rien tirer. Pour vous dire la verité je n'avois pas crû que Mons. Bernoulli auroit reduit le probleme à la quadrature de l'Hyperbole, et je ne l'ay sçû que lors que j'ay vû sa solution imprimée, et j'ay trouvé qu'il avoit surpassé mon attente. Je ne scay pas bien comment il est arrivé à cette reduction, et je veux bien croire que c'estoit par une remarque particuliere, mais que l'usage de nôtre calcul luy avoit peut-estre rendue aisée. Car s'il l'avoit obtenue par une voye plus generale, il n'auroit pas ignoré que la construction de la ligne des Rhumbes ou la loxodromique depend de cette même quadrature de l'Hyperbole et de la même façon; car il s'est contenté de la construire par une quadrature plus composée dans les Actes

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du mois de Juin dernier⁸⁾ pag. 284, 285. Au lieu que je l'ay reduite à la quadrature de l'Hyperbole, Actes du mois d'Avril p. 181. Ce que j'y dis⁹⁾ suffit aussi pour donner la reduction de la chainette, quoy que je l'aye dissimulé, car j'y dis expressement que la ligne des Rhumbes se construit par la somme des secantes et je crois que Snellius l'avoit déja remarqué¹⁰⁾, or j'y monstre, comment cette somme des secantes se reduit à la quadrature de l'Hyperbole et j'en donne le fondement. Et vous scavés que cette même somme des secantes sert aussi pour la chainette¹¹⁾. Il y a plus de 10 ans que j'ay trouvé la construction de la Loxodromique, mais la recherche de la chainette m'en fit ressouvenir^b). Vous parlés, Monsieur, dans vôtre solution d'une maniere fort bonne de trouver les sommes des secantes par les Tables. Est il permis de l'apprendre^c). Cependant je vous avoueray bien que ce n'est pas par la voye de la figure, suivant ce que je dis p. 181, que je suis arrivé à la reduction de la loxodromique ou de la chainette quoy que j'aye esté bien aise de m'en servir pour les autres.

Vous vous souviendrés peut-être, Monsieur, de mes lettres, où je recommande les expressions exponentiales¹²⁾, ou (qui est la meme chose) logarithmiques. Vous

8) Il s'agit de l'article de Jacques Bernonlli (et non de Jean comme Leibniz semble supposer) cité dans la note 32 de la Lettre N^o. 2693.

9) Dans l'article cité dans la note 14 de la Lettre N^o. 2636 Leibniz, à la page mentionnée, com mence par démontrer que la différence de longitude entre deux lieux sur une même loxodromique s'exprime par l'intégrale b s sec h dh, où h représente la latitude et b la tangente de l'angle sous lequel les méridiens sont coupés par la loxodromique.




Ensuite il remarque que, d'après la figure que nous reproduisons ici, où ∠ HCA=h, ∠ CEN=90^o CA=1, MV=CN, on a sec h dh=CE × FH=CN × FQ=MV × FQ. Ainsi la détermination de l'intégrale s sec h dh dépend de la quadrature de l'aire CMVA.
Enfin, pour réduire cette intégrale aux logarithmes, c'est-à-dire à la quadrature de l'hyperbole, il pose HG==sin h=e, donc MV=CN=CE. sec h.=CA. sec² . On a donc ∫sec , où e et (e) représentent les sinus de la latitude des lieux extrêmes de la loxodromique.

10) Snellius l'avait fait dans l'ouvrage suivant: Willebrordi Snellii à Royen. R.F. Tiphys Batavus, sive Histodromice, De navium cursibus et re navali. Lugduni Batavorum, Ex Officinâ Elzeviriana, Anno ciƆiƆcxxiv. in-4^o.

11) Voir le deuxième alinéa du septième théorème de la pièce N^o. 2681.

b) si la recherche de la chainette vous en fit souvenir, il semble donc que vous aiez aussi reduit sa construction a la somme des secantes des arcs egalement croissants [Christiaan Huygens].

c) a quoy vous serviroit aiant la parfaite? [Christiaan Huygens].

12) Voir les Lettres N^os. 2627, 2632, 2636, 2639 et 2659.

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en voyés maintenant l'usage dans la chainette, car c'est ainsi qu'on donne des veritables points des lignes transcendantes¹³⁾. Et je croy que c'est ultimum quod in illis humano ingenio praestari potest. Il est vray que ce n'est pas tousjours si aisement. Cependant icy le calcul m'a mené tout d'un coup à la consideration des Logarithmes, sans que j'ay eu besoin d'y aller par detour. Ce que j'avois dit que je faisois dans la courbe supposita ejus constructione ne vous doit troubler. Je le diray bien encor, comme si je disois que ducere minimam ex puncto dato ad parabolam, est un probleme resolu le plus absolument, suivant le style des anciens, mais supposita parabolae constructione, car alors on n'a besoin que de la regle et du compas. Quoy que j'aye la construction de la chainette aussi bonne qu'il est possible d'avoir, ce n'est pas tout à fait suivant la Geometrie ordinaire. Voudriés vous que j'eusse dit en vous écrivant suppositis Logarithmis et supposita quadratura Hyperbolae, ou quelque chose de semblable? En parlant comme j'ay fait, je me tenois dans la generalité et je ne voulois pas faire penser que j'avois quelque chose de plus qu'on n'auroit pû attendre. Mais c'est assés de ce procès.

Vous avés raison d'estimer la Methode de reduire les quadratures à celles de l'Hyperbole ou du Cercle quand cela se peut, j'ay quelque chose la dessus, et ce que j'estime beaucoup la dedans c'est qu'une même methode me mene à une solution absolue ou au Cercle ou à l'Hyperbole, selon la nature de la chose. Mais je n'ay pas encor passé certains limites; il me faudroit de l'assistence, car je suis rebuté des calculs. Je souhaitterois aussi de pouvoir tousjours reduire les quadratures aux dimensions des lignes courbes, ce que je tiens plus simple. Avés vous peut-estre pensé à ce point Monsieur.

Lors que j'ay donné mon calcui Octob. 1684, j'ay aussi remarqué p. 473, que la soutangente de la Logarithmique est constante^d)14). Je l'avois même deja mis dans mon traité de la quadrature Arithmetique¹⁵⁾, ou je m'en servois à la quadrature de l'espace de la Logarithmique. Mais j'ay quitté la pensée de publier ce traitté. A l'egard des lignes de Mr. Bernoulli, vous avés raison, Monsieur, de ne pas approuver qu'on s'amuse à rechercher des lignes forgées à plaisir. J'y adjoute

13) Allusion à la construction de la chaînette au moyen de la courbe logarithmique, exposée par Leibniz dans la Lettre N^o. 2688, et dans son article sur la chaînette, cité dans la note 1 de la Lettre 2681.

d) mais non pas qu'elles representent le quarre de l'hyperbole [Chr. Huygens].

14) Vers la fin de l'article cité dans la note 5 de la Lettre N^o. 2205, Leibniz se propose de trouver la courbe dont la soustangente est constante et il montre que cette courbe doit être une logarithmique.

15) Voir la note 6 de la Lettre N^o. 2192. Quoique le manuscrit mentionné dans cette note n'ait jamais été imprimé, on peut consulter ici la Prop. 46 du ‘Compendium quadraturae arithmeticae’, publié en 1858. par C.I. Gerhardt, au T.V. de ‘Leibnizens mathematische Schriften’, p. 99-112, dont les propositions correspondent, d'après Gerhardt, avec celles du traité.

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pourtant une limitation: si ce n'est que cela puisse servir à perfectionner l'art d'inventer. C'est pourquoy je ne desapprouve pas que des personnes qui ont du loisir et de l'inclination, et surtout des jeunes gens, s'y exercent. Et c'est pour cela que je ne veux pas décourager non plus ceux qui s'exercent dans les nombres. Parce que c'est encor en cela que je trouve l'Analyse imparfaite, je souhaitte que nous puissions encor dans ce siecle porter l'Analyse des Nombres et des lignes à sa perfection, au moins quant au Principal, ut hac cura genus humanum absolvamus afin que doresnavant on tourne toute la subtilité de l'esprit humain à la physique. Je croy qu'on pourroit voir ce souhait accompli si quelques personnes propres à cela s'entendoient. Du reste je n'ay pas entendu non plus ce que Mr. Bernoulli veut dire avec son arc de cercle dans la voile. Les occupations que j'ay m'ont fait resister à la tentation de penser aux choses qu'il propose. Si M. Fatio le veut, nous envoyerons à M. Meyer à Breme nos Methodes promises pour les Tangentes à fin qu'il en fasse l'echange quand il les aura receues toutes deux.

Je remarque plusieurs fautes d'impression dans mon discours sur la loxodromie, Actes de Leipzig du mois d'Avril p. 181. Car ligne 12, au lieu de 1 l2l, il faut mettre 1l3l, et ligne 20 au lieu de 1l2l il faut mettre 1l1d; et ligne 25 au lieu de 1d3l, il faut mettre 2l3l. Et p. 182 lin. 20, j'ay manqué moy meme, par inadver tance, mettant etc. au lieu de mettre comme j'avois deja mis auparavant etc. ce que le discours meme fait assez voir. Je remarque cela afin que si vous vouliez daigner de lire ces choses vous n'en soyez point arresté. Je crois d'auoir déja indiqué quelque chose dans ma precedente touchant ce rapport de la loxodromique à la chainette. Du moins puisque vous aviés reduit la chainette à la somme des secantes selon les arcs dans vostre solution, et que j'avois reduit cette somme aux logarithmes dans les actes d'avril 1691, vous y pouviés déja voir le rapport de la chainette à la quadrature de l'Hyperbole. L'equation de la courbe auxiliaire (selon vous) estant xxyy=a⁴-aayy, je ne scais comment vous vient xxyy=4a⁴-x⁴¹⁶⁾, la quadrature¹⁷⁾, ou xdy est la somme des tangentes, selon les sinus de complement, la quelle se trouve égale à la difference entre la somme des secantes selon les arcs et la somme des sinus de complemens selon les arcs. Or cette derniere somme est trouvable absolument donc la quadrature à la quelle vous reduisés la chainette, depend de la somme des

16) Voir le septième théorème de la pièce N^o. 2681.

17) La remarque qui va suivre se rapporte à la première des deux courbes mentionnées. En effet, il est clair que la quadrature de cette courbe se réduit facilement, à l'aide de la substitution y=a cos φ, à l'intégrale ∫tg φ d. cos φ (‘la somme des tangentes selon les sinus du complément’), qui est égale, en valeur absolne, à ∫sec φ dφ - ∫cos φ dφ.
Il est curieux de remarquer que Huygens, au contraire, était arrivé à la courbe en question en réduisant l'intégrale ∫cos φ. d. tg φ à la quadrature ∫y dx de cette courbe, comme on peut le voir au § VIII de la pièce N^o. 2625.

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secantes selon les arcs, que j'ay reduite aux logarithmes. Et pour appliquer vostre equation à la chainette, x estant la longueur de la chainette depuis le sommet, la somme des y (selon les x)¹⁸⁾ sera l'ordonnée de la chainette, a estant l'unité ou le parametre. C'est ainsi que la quadrature de vostre courbe donne la chainette. Je ne scay si j'ay deviné vos raisonnemens. Je suis avec zele.

Monsieur

Vostre treshumble et tresobeissant seruiteur Leibniz.

18) C'est-à-dire: ∫y dx; mais lisez plutôt: ∫y/a dx. Alors le théorème est conforme au résultat du § VIII de la pièce N^o. 2625, généralisé comme nous l'avons indiqué, pour le § VII, dans la note 22 de cette même pièce, l'‘ordonnée’ de Leibniz n'étant autre que la ligne LK de la figure 4 de cette pièce.