Appels en peren / wiskunde en psychologie

(1984)–Hans Freudenthal– rechtenstatus

Gebundelde opstellen

4. Wiskundig-didactische principes - vanuit het rekenonderwijs gezien

‘Rekenen - bestaat dat nog?’ is de vertaalde titel van een stuk dat ik voor een buitenlands tijdschrift heb geschreven. Dank zij IOWO en Wiskobas is Nederland de vloedgolf van averechtse vernieuwing bespaard gebleven die in de jaren zestig en zeventig de onderwijswereld overspoelde en speciaal in onze buurlanden zware vernielingen in het reken-wiskunde-onderwijs aanrichtte. Ik stelde de ouders in den vreemde gerust: Ondanks alles wordt er nog gerekend, door kinderen op school omdat zij het moeten, en door computers die het zoveel nauwkeuriger en sneller kunnen. Ze hadden zich nodeloos bezorgd gemaakt dat hun kinderen het rekenen zouden kunnen missen dat zij zelf eens geleerd hadden. En toch, ‘tegenwoordig kunnen ze niet meer rekenen’ is een weeklacht, zo oud als het rekenonderwijs, en dat ze terecht is blijkt uit internationaal testonderzoek: de helft der zestienjarigen presteert niet wat je van twaalfjarigen eist. Was het vroeger beter? Ze hebben het toen niet getest.

Vroeger - daarmee bedoel ik de tijd toen rekenen nog een broodwinning was - bijvoorbeeld de rekenkunst van de boekhouder. Maar met de elektronische van nu kunnen de menselijke rekenaars niet meer concurreren. Ondertussen leren ze ondanks brommers en auto's nog steeds lopen en fietsen, en sommige doen het nog voor hun plezier ook, met vierdaagsen en fietstochten, waar je wellicht met brommer en auto naar toegaat voor de start.

Dank zij de computer en zijn maatschappelijke gevolgen is het rekenonderwijs aan herwaardering toe, maar dan aan een andere dan ze rond 1960 van droomden. Rekenen is wiskunde - zeiden ze toen. Akkoord! Maar er is wiskunde in soorten - van de wiskunde die je zelf toebereidt tot de wiskunde die je voorgeschoteld krijgt. Was de ene maar even lekker als de andere!

De wiskunde heeft een lange geschiedenis, ontsproten aan de behoeften van het dagelijks leven en in gedurige wisselwerking met leven en realiteit vervolgd. Maar je kunt de wiskunde ook puur bedrijven, los van de realiteit dank zij de logische dwang waarmee het een uit het ander volgt. Tegenover die dwang staat echter de vrijheid je uitgangspunten te kiezen en nieuwe wegen in te slaan, gevestigde theorieën ondersteboven en binnenste buiten te keren.

Tegen het midden van deze eeuw heeft een Franse groep, Bourbaki genaamd, orde op zaken willen stellen. Ze hebben de hele pure wiskunde een monumentale structuur willen opleggen, waarvan naïevelingen menen dat het dé structuur van de wiskunde is.

Erger dan dit: er waren er gezaghebbenden die meenden dat wiskunde volgens zulk een systeem moest worden onderwezen, liefst vanaf de kleuterschool. Het is danig misgelopen. De prachtige logische structuur mag een esthetisch genot zijn voor kenners die heel wat wiskunde hebben verwor-

ven - veel meer dan waar de grote meerderheid aan toe komt. Wiskunde volgens dit patroon is alsof je kinderen de muziek inleidt met Bach en Beethoven.

De geschiedenis van de wiskunde was een lang leerproces van de mensheid. Het kind kan dit proces niet zomaar voortzetten, maar dank zij het onderwijs hoeft het dit proces ook niet te herhalen. Wie onderwijs ontwerpt moet de punten kennen waar de lerende in het leerproces van de mensheid in kan instappen en weten hoe hij dit leerproces kan verkorten.

De mislukte pogingen van de jaren zestig en zeventig hebben hun die het niet al wisten een kostbare les geleerd:

Structuur der wiskunde is geen gids voor curriculumstructuur.

Ook het getalbegrip heeft zijn geschiedenis. Het getal heeft veel aspecten, waaronder het cardinale - het aantal - en het ordinale - het teltal. Wiskundig kun je naar believen van het ene of van het andere uitgaan. Het cardinale aspect lijkt het meer fundamentele. Je hebt er niets voor nodig dan de kale verzameling. Heb je er twee en tracht je ze één aan één op elkaar af te beelden (figuur 4.1) en lukt het, dan hebben ze hetzelfde aantal, of schiet er bij de een iets over, dan is zíjn aantal groter en dat van de ander kleiner. Hoe groot de aantallen zijn, komt niet ter sprake.

figuur 4.1

Daar kun je puur wiskundig mee de voeten uit en in de praktijk ook bij heel kleine of sterk uiteenlopende aantallen. Maar dat zijn subtiliteiten voor wiskundigen. Tot de wereld van het kind in spel en taal behoort het tellen, en via het teltal werd van ouds het rekenen onderwezen. Dat ze het in de jaren zestig en zeventig met het aantal probeerden was een didactische misvatting. Het aantal komt in de traditionele opbouw vanzelf tot zijn recht zonder dat je het vooropstelt. Als een kind zonder te tellen weet dat er in een kamer evenveel mensen zijn als neuzen, evenveel oren als ogen (en dubbel zoveel als neuzen); dat er op een gesloten kralensnoer met afwisselend witte en zwarte kralen evenveel van elke kleur zitten; dat je om zakdoeken aan een lijn op te hangen een knijper meer nodig hebt dan er zakdoeken zijn; en als dit redelijk wordt gemotiveerd, heeft het kind ook het cardinaal aspect begrepen en dan op het niveau dat des kinds is.

Ontwikkelingspsychologisch vloeit het cardinaalgetal uit inwendige en uitwendige waarnemingen voort zonder de behoefte aan verzamelingen en ad-hoc-afbeeldingen.

Maar ook het teltal van het kind is wat structuur aangaat anders en dan rijker dan dat van de wiskundige op hoog niveau. Het teltal van het dagelijks leven sluit de tientallige positiestructuur in, die puur wiskundig niets om het lijf heeft. Zonder de tientallige structuur van de telwoorden zouden we nooit leren tellen en rekenen - wederom een bewijs ervoor dat structuur der wiskunde geen gids is voor curriculumstructuur.

Er komt nog iets bij. Om verzamelingen van objecten te tellen moet men er een patroon in zien, een structuur in aanbrengen. Het vergemakkelijkt het tellen en dient bovendien nog vele andere doelen. Getallen zijn abstracties, maar het kind moet de getallen in de realiteit ervaren: hoeveel kinderen op de speelplaats, hoeveel vissen in het aquarium, hoeveel vogels in de lucht (figuur 4.2), hoeveel kralen op het snoer (figuur 4.3)? Je kunt ze in de haast niet tellen, maar op zijn minst kun je ze schatten en daarvoor moet je er structuur in aanbrengen. Dit moet je voor handig tellen altijd. Op hoeveel wegen kun je van A over B naar C (figuur 4.4), hoeveel sterren heeft de Amerikaanse vlag, op hoeveel manieren kun je een aantal dingen rangschikken?

figuur 4.2

figuur 4.3

figuur 4.4

Het is handig tellen door middel van structureren.

Het kind moet leren structuren in de perceptieve en mentale wereld te ontdekken en te scheppen.

Structuren moeten aan de lerende niet worden opgelegd, geen structuren binnen de wiskunde en zeker niet een structuur van de hele wiskunde die immers niet tot de wereld van het kind behoort. Het is een oude klacht dat de mensen, op welk niveau ook, de wiskunde die ze geleerd zouden hebben niet kunnen toepassen, soms zelfs niet in de eenvoudigste situaties. ‘Als iemand van 216 km al 82 km gereden heeft, hoeveel moet hij dan nog rijden?’ Tallozen lossen dit op door 82 tot 100 aan te vullen, er 100 bij op te tellen en tenslotte nog eens 16. Ze lossen de opgave op zoals men het begrijpelijkerwijs in de winkel doet, additief in plaats van subtractief. Op zichzelf doet het er niet toe als het maar goed uitkomt. Het is inzichtelijk, maar ondoelmatig. Aan wie het op deze manier doen is de min-toets van het rekendoosje niet besteed. Evenmin hebben ze iets aan de deeltoets als ze gewend zijn, vermenigvuldigingen als surrogaatdelingen uit te voeren of als ze niet weten wat je door wat moet delen als afstand en snelheid gegeven zijn en je de tijd moet bepalen.

Er zijn twee redenen waarom mensen eenvoudige wiskunde als het erop aankomt niet kunnen toepassen. De één is de verkeerde volgorde: eerst een formele of abstracte methode onderwijzen en achteraf onderwijzen hoe je hem toepast, terwijl het juist omgekeerd zou moeten: Beginnen met rijke contexten om ze te mathematiseren - dus abstracties wel als uitkomsten maar niet als uitgangspunten van het leerproces.

Wiskundige abstracties toepassen is didactisch een foutieve orde. De juiste is: mathematiseren van rijke contexten.

Dit geldt zelfs voor het leren cijferen en dan loop ik meteen op de conclusie vooruit, omdat dit de tweede reden is waarom de mensen de cijfermethoden die ze hebben geleerd niet of niet efficiënt toepassen - zie de voorbeelden van daarstraks.

Geïntegreerd leren van de cijferalgoritmen bij wijze van progressief schematiseren verdient de voorkeur boven geïsoleerd leren bij wijze van progressief compliceren.

De traditionele methode is: leren cijferen buiten elke context, volgens geprefabriceerde patronen, voortschrijdend volgens de grootte van de getallen, het aantal ‘onthoudingen’, het aantal nul-moeilijkheden, enzovoort. Daar staat dan het progressief schematiseren tegenover. Het begint zo als het in de geschiedenis van de mensheid is begonnen, met de aloude abacus - in het Westen door het cijferen met pen en inkt verdrongen, maar in onze eeuw door rekendidactici herontdekt als beugelabacus met op elke beugel 10 of 20 kralen, zichtbaar of voor het oog verborgen, waar de enkele

kraal van rechts naar links een eenheid, een tiental, een honderdtal voorstelt. De abacus doelt op de materialisering van het tientallig positiestelsel. Het kan trouwens nog primitiever: eenheidscubes, die tot staafjes van 10, plaatjes van 100, cubes van 1000 samengevoegd zijn (figuur 4.5).

figuur 4.5

De abacus voegt aan de tientalligheid van de opbouw het positie-idee toe: na de 1 is de 10, de 100, de 1000 niets nieuws, maar de oude eenheid op een nieuwe plaats met een nieuwe plaatswaarde. Daarvoor moet men het inwisselen leren: voor tien kralen op deze beugel één op zijn linkerbuur en omgekeerd. Zodoende wordt optellen en aftrekken geoefend vóór het op het papier geschiedt. Maar ook op het papier moet het niet meteen volgens de standaardmethode. De leerling kan van de beugelabacus overschrijven wat hij daar met de kralen doet, eerst met streepjes dan met cijfers, tot hij met gedurige verkortingen tenslotte bij de standaardmethode belandt.

Wat progressief schematiseren is laat zich nog indrukwekkender bij het vermenigvuldigen en delen zien.

Een probleem zoals

Een adresboek van 62 bladzijden heeft er 45 per bladzij; hoeveel adressen zijn dit?

is uitdrukkelijk zo geformuleerd dat het woord ‘keer’ er niet in voorkomt en het wordt dan ook allereerst geïnterpreteerd als 62 getallen 45 onder elkaar en dan opgeteld. Neen, als je een beetje slim bent, pak je de 45-en meteen in bosjes van tien: onder de tiende 65 een streep of naast het eerste tiental een accolade, en dan het tweede, het derde tiental enzovoort en dan nog 2 van die vijfen en 2 van de veertigers bij optellen. Ieder doet het op zijn manier (figuur 4.6) - voortgezette verkorting en schematisering waarbij de kennis van de tafels te pas komt (en gelijktijdig verbeterd wordt), met telkens grotere groepen van tientallen in de vermenigvuldiger. De leerlingen zijn op uiteenlopende niveaus van verkorting en schematisering bezig en werken in het ritme dat hun eigen is naar de standaardvorm van het cijferend vermenigvuldigen toe.

Delen is een dergelijk geval. Je noemt het aanvankelijk niet eens delen: ‘324 stickers voor 4 kinderen, maar dan eerlijk, ieder hetzelfde.’ Hoe doe je dat? eerst één bij één uitdelen, maar dat duurt te lang. Dan bij tientallen, bij grotere brokken - geleidelijk wordt het proces verkort en geschematiseerd (figuur 4.7).

figuur 4.6

figuur 4.7

Wederom zijn de kinderen op verschillende niveaus bezig. Komen ze allemaal tenslotte bij de standaardvorm terecht? Het doet er niet toe, want als het menens is met vermenigvuldigen en delen, pak je het rekendoosje, dat tenminste betrouwbaar is, en dank zij het feit dat de bewerkingen in een context zijn geleerd, weet je ook welke toets je in het voorkomend geval moet aanslaan.

Wel, bij de deling krijg je, in plaats van de rest, weleens cijfers achter de komma. Maar wie begrepen heeft wat dit betekent, weet ook de rest te vinden. Want daar komt het op aan: niet op het foutloos cijferen, maar dat er in de loop van het progressief schematiseren en dank zij de context begrepen wordt wat de operatie betekent en welke toets erbij hoort.

Cijferen leren volgens geïntegreerd progressief schematiseren kost de helft van de tijd die bij het geïsoleerd progressief compliceren wordt uitgetrokken. Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.

Het is een oude ervaring dat pas het cijferen de motivatie schept en de gelegenheid biedt om de tafels goed te leren en te memoriseren. Laten we dit in een breder raam plaatsen.

Vroeger werd optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen netjes van elkaar gescheiden onderwezen; trouwens ook het rekenen tot 10, tot 20, tot 100, tot 1000 en dan de rest; breuken, maten, verhoudingen waren eveneens aparte onderwerpen. De behoefte aan wat men als didactisch-mathematische orde aanzag stond voorop. Maar iedereen weet hoe trots kinderen die nauwelijks het rekenen tot 10 beheersen, zijn dat ze al 10 + 10 = 20, of zelfs 20 + 20 = 40 weten, of 3 × 3 = 9 of de tafel van 1 of van 10, misschien ook van 5. Ze koesteren informele methoden die vooruitlopen op het leren van de tafels. Produkten met gelijke factoren (vierkanten) zijn bijzonder aantrekkelijk. Zou men van deze neiging niet moeten profiteren in plaats van ze ter wille van een averechtse systematiek te onderdrukken?

Vooruitwijzend leren verdient de voorkeur boven het keurslijf van systematisme.

Wat is dit, vooruitwijzend leren?Ga naar voetnoot1 Ik heb er al voorbeelden van gegeven.

Laat ik er meer aan toevoegen.

Een van de grote didactische aanwinsten van de laatste decennia is de getallenlijn die uit de hoogste naar de laagste regionen van de wiskunde is afgedaald (figuur 4.8): de getallen vanuit de nul als kilometer- (of centimeter-) palen langs een rechtlijnige weg, die op- of aflopend wordt afgeschreden - eigenlijk maar een getallenstraal, tot je de moed opvat vanuit de nul verder terug te tellen. Oorspronkelijk herbergt de getallenlijn alleen de natuurlijke getallen.

figuur 4.8

Later nodigt ze de breuken en irrationale getallen uit om plaats op te nemen. En omgekeerd:

Omdat er zoveel plaats is, daagt de getallenlijn vooruitwijzend tot de uitbreiding van het getallengebied uit.

Het kondigt zich al vroeg aan. Op de liniaal staan alleen de centimeters vermeld; bij de millimeterstreepjes moet men zich getallen bijdenken. Op ‘getallenlijnen’ zoals maatcilinders waar alleen de vijftigers of honderden bijstaan moet je schatten waar bijvoorbeeld 365 zou kunnen staan.

Maar is dit niet al meten? Inderdaad en terecht. Van begin af aan zouden getallen niet alleen als getallen en teltallen maar ook als meetgetallen worden ervaren. Onderzoek wijst uit dat dit voor het begrip van de bewerkingen vooral in allerlei contexten bevorderlijk is.

Een ander voorbeeld. Volgens aloude rekendidactiek worden de tafels gememoriseerd door ze rij na rij op te zeggen. Kinderen wordt wijsgemaakt dat ze om 7 × 8 te beantwoorden de tafel van 8 binnensmonds moeten opzeggen om bij 7 × 8 te stoppen, hetgeen dan hoorbaar wordt geuit. Maar onderzoekers hebben vastgesteld dat kinderen die men hun gang laat gaan, hun eigen flexibeler methoden ontwikkelen: commutativiteit, verdubbelen, halveren, met 10 vermenigvuldigen, op- en afstappen van bekende produkten, en dit al met elkaar gecombineerd, bijvoorbeeld om 7 × 8 te berekenen: 2 × 8 = 16, 2 × 16 = 32, 2 × 32 = 64, 64 - 8 = 56. De slimmen doen het slim. Neen, niet de slimmen, maar de moedigen die grote stappen aandurven. Het is de taak van de onderwijzer te bemoedigen. Hoe het memoriseren van de tafels te organiseren? Er is er onderzoek over verricht.

Ik heb dit voorbeeld hier aangehaald omdat het verdubbelen en halveren zich vroegtijdig aanbiedt als vooruitwijzend leren van vermenigvuldigen en delen. Maar we zagen al dat ook het memoriseren van de tafels vooruitwijzend leren is, want pas bij het cijferen komt de kennis van de tafels echt te pas. Pas door de behoefte bij het cijferen wordt het van buiten kennen goed gemotiveerd en het van buiten leren echt bevorderd. Daarmee zou men rekening kunnen houden door het stimuleren van vooruitwijzend cijferen waar nu het mondeling rekenen overheerst.

Trekt men deze lijn verder door dan biedt een rijkdom van voorbeelden voor vooruitwijzend leren zich aan. Denk aan het kralensnoer van figuur 4.3, waar drie witte en vier zwarte elkaar afwisselen. Hoeveel van iedere kleur zouden het er wel op een lang snoer zijn? Tel maar op:

wit	3	6	9	12	15	18	...
zwart	4	8	12	16	20	24	...

Daar staan ineens twee tafels onder elkaar. En de moedigen voegen er misschien meteen

300	600	1200	...
400	800	1600	...

aan toe. Zodoende ontstaan verhoudingstabellen en ontstaat begrip voor

verhouding. Als 3 zakjes van iets 4 gulden kosten, hoeveel kosten dan...? Als 3 van iets 4 kg wegen, hoeveel wegen dan...? Als de een drie stappen doet op de ander 4, ...? Drie lepels siroop op vier lepels water, wat smaakt net zo?

Waarom heeft de meerderheid der zestienjarigen geen notie van verhoudingen? Omdat ze, indien al, dit natuurlijke verschijnsel te laat hebben leren kennen en dan meteen klaar voor het gebruik en gealgoritmiseerd. Zeker, ook dit is een vereiste, maar dan een waar naar toe moet worden gewerkt in een lange reeks van vooruitwijzende inzichten. Langs deze lijn kunnen ook de breuken worden ontwikkeld, nauw gelieerd aan de verhoudingen, maar daar wil ik nu niet op ingaan omdat breuken een veelzijdiger oorsprong hebben en met al hun bewerkingen veelzijdiger worden toegepast.

Vooruitwijzend leren is de consequentie van het beginsel:

Van de informele strategieën van kinderen om problemen op te lossen zou men moeten profiteren om ze de meer formele strategieën te laten leren en gebruiken.

Sinds er een rekendidactiek bestaat onderwijst men kinderen het overschrijden, van de tientallen van onderen of boven met de ‘ruksgewijze’ aanvulling of splitsing: 8 + 5 = 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3 = 13 en 13 - 5 = 13 -3 -2 = 10 - 2 = 8. Ondertussen is al lang bekend dat ook leerlingen die precies weten hoe het moet, het op hún manier doen. Met door- en terugtellen voelen ze zich veiliger dan met de voorgeschreven ingewikkelde methode, en dat blijkt als men ze eerlijk laat vertellen hoe ze het hebben gedaan. (Terugtellen gaat langzamer dan vooruit en daardoor kunnen tijdsduur en moeilijkheid van het aftrekken worden beïnvloed.) Uiteindelijk - zeg tegen het einde van het derde leerjaar - kennen ze de optellingen en aftrekkingen tot 20 toch van buiten. Doet het er dan nog toe hoe ze die hebben geleerd? Of zou je ze de gemakzucht, de angst voor het onzekere bijtijds afwennen? Een pedagogische vraag!

Toch zijn er gegronde redenen en gelegenheden om de kinderen tegemoet te komen en het oplossen in eigen stijl zelfs aan te moedigen. Het memoriseren van de tafels waar ik het eerder over had is een goed voorbeeld waar de flexibiliteit van het kinderlijk denken de voorkeur verdient boven het opgelegde stramien.

Aan de andere kant kan het ook nadelig zijn als men de leerlingen van het informele niet naar het meer formele leidt. Aan wie zo'n vraagstuk als van de 216 km waarvan 82 km al zijn afgelegd aanvullend in plaats van aftrekkend blijft oplossen, is de min-toets van het rekendoosje niet besteed; en meer algemeen, informele methoden kunnen de efficiëntie in de weg staan, maar als opstap naar de meer formele zijn ze wegens hun inzichtelijkheid van waarde.

Allebei zijn nodig: inzicht en automatismen. Automatismen moeten inzichtelijk worden verworven. Maar dat is niet voldoende. Automatismen, hoewel inzichtelijk geleerd, dreigen de bronnen van dat inzicht te verstoppen. Vraag maar waarom je om met 100 te vermenigvuldigen ‘twee nullen aan-

hangt’. Ook al is het inzichtelijk geleerd, het is een automatisme geworden. Het is zo, het moet zo, en zelfs de vraag waarom, wordt niet begrepen - daar zou iemand nog eens kunnen vragen, waarom heet een boom boom? De dreiging dat automatismen de bronnen van inzicht verstoppen, zou kunnen worden bezworen door wat ik zou noemen terugwijzend als tegenhanger van vooruitwijzend leren. Bij elke gelegenheid en op elk hoger niveau zou men oude problemen van de meest elementaire af aan opnieuw moeten opgrijpen en van nieuwe kanten benaderen.

Bronnen van inzicht moeten open worden gehouden door terugwijzend leren.

Opmerking:

De denkbeelden van geïntegreerd progressief schematiseren en vooruitwijzend leren werden door leden van het toenmalige IOWO-team opgevat en ontwikkeld. Zie bijvoorbeeld:

A. Dekker, H. ter Heege, A. Treffers: Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens Wiskobas.

L. Streefland: Search for the roots of ratio - some thoughts on the long term learning process. Te verschijnen in: Educational Studies in Mathematics.

Terug- en vooruitblik

Zeven wiskundig-didactische principes zijn hier ten tonele gebracht - duidelijk genoeg om ze één voor één te herhalen. Maar neem ze dan één voor één om rekenmethoden op te toetsen en onderwijsvoorbeelden voor te bedenken. Bijvoorbeeld, hoeveel ervan kunt u naar aanleiding van het volgende opstel toepassen?

voetnoot1: In het Engels heb ik van ‘anticipating’ of ‘prospective’ gesproken; in het Duits van ‘vorgreifend’. Ik koos die termen met het oog op het later te behandelen terugwijzend (retrospective, rückgreifend) leren.

Vorige Volgende