De mechanisering van het wereldbeeld

[pagina 358]

II. De mechanica van Stevin tot Huygens

A. Simon StevinGa naar eind1

60. Wat ook het begrip mechanisering van het wereldbeeld moge inhouden, het staat in ieder geval met den tak der natuurwetenschap die mechanica heet, in een nauw verband, dat we te zijner tijd nader zullen trachten te bepalen. We zullen daarom nu eerst een tijdlang de ontwikkeling van dit vak vervolgen.

We noemden reeds als een der drempeljaren van den nieuwen tijd op dit gebied het jaar 1586, waarin Stevins werk Beghinselen der Weeghconst verscheen. Voor weeghconst, d.i. statica, verdient het dien naam inderdaad. Stevins werk is namelijk het eerste, waarin de theoretische behandeling die zij in de Oudheid bij Archimedes had genoten, niet alleen wordt weergegeven, maar ook op gelijkwaardige wijze wordt voortgezet. Leonardo zou dit vóór hem misschien reeds hebben kunnen doen, als hij er maar eens ooit toegekomen was, zijn fragmentarische gedachten te ordenen en tot een logisch samenhangend geheel uit te werken; in feite heeft hij het vak echter niet noemenswaard vooruitgebracht. En de Italiaanse wiskundigen Commandino en Maurolyco hadden weliswaar volgens de Archimedische methoden nieuwe zwaartepuntsbepalingen uitgevoerd, maar daarvan had de wiskunde meer geprofiteerd dan de mechanica, die er zich geen nieuwe wegen door geopend had gezien.

61. Om te kunnen beoordelen, in hoeverre Stevin dat wel doet, moet men in het oog houden, dat onder statica in de zestiende eeuw nog evenmin als in de Oudheid de algemene theorie van het evenwicht van op een vast lichaam werkende krachten mag worden verstaan, waaraan wij tegenwoordig, het woord gebruikend, denken. Het gaat slechts om bijzondere onderwerpen, die later als speciale gevallen in ruimer verband behandeld zouden worden. Bij Archimedes zijn het de leer van het zwaartepunt en die van den hefboom en voor de Oudheid in het algemeen kan men daaraan de quasi-statische theorie van de enkelvoudige werktuigen toevoegen. Over de theoretische fundering van het eerste onderwerp blijven we bij Archimedes, die blijkbaar oudere werken bekend onderstelt, vrijwel in het duister tasten; die van het tweede wordt in het werk Over Evenwichten van Vlakke Figuren met Euc'idische exactheid gegeven. Stevin, die als het ware onmiddellijk bij hem aansluit, laat ons over de grondslagen van de zwaartepuntstheorie in dezelfde onzekerheid en geeft inzake hefboom-evenwicht niets dat wezenlijk nieuw is; zijn behandeling is doorzichtiger en eenvoudiger dan die van Archimedes, maar staat uit een oogpunt van axiomatischen opbouw aan dezelfde kritiek bloot als men tegen het Griekse voorbeeld heeft gericht.

62. Met wat hij aan Archimedes ontleent, kan Stevin het algemene vraagstuk van het evenwicht van een vast lichaam onder invloed van

[pagina 359]

uitsluitend verticaal gerichte krachten behandelen. Om echter ook de werking van krachten die langs willekeurige werklijnen gericht zijn, na te kunnen gaan, moet hij zijn eigen weg vinden. Hij slaagt daar al dadelijk in door een vernuftige afleiding van de wet van het hellend vlak, die als het Clootcrans-bewijs bekend staat.

De stelling zelf was niet nieuw meer; we hebben boven (III: 34) reeds gezien, hoe zij in de school van Jordanus Nemorarius met behulp van het principe der virtuele verplaatsingen bewezen was. Stevin heeft tegen deze bewijsmethode echter principiële bezwaren; hij vindt het ongerijmd, een evenwichtsvoorwaarde af te leiden door omstandigheden te beschouwen (namelijk de gelijktijdige verplaatsingen van de aangrijpingspunten van macht en last) die juist niet optreden zolang het evenwicht bestaat. Hij zegt dit voor het geval van den hefboom in een syllogisme:

Dat stil hangt en beschrijft gheen rondt;
Twee evestaltwichtighe hanghen stil;
Twee evestaltwichtighe dan en beschrijven gheen rondt.

We leren hieruit tevens al iets van zijn oorspronkelijke en merkwaardige taalkundige uitdrukkingswijze kennen. Om sociale redenen, namelijk om iedereen, ongeacht zijn vooropleiding, in staat te stellen, wetenschappelijke redeneringen te volgen en daardoor van alle beschikbare vermogens voor de beoefening der wetenschap partij te kunnen trekken, schrijft hij, nadat hij in 1585 nog een werk over rekenkunde in het Frans had laten verschijnen, alleen nog maar in de landstaal, waarbij hij een groot talent aan den dag legt in het vinden van tekenende uitdrukkingen voor technisch-wetenschappelijke termen. Evestaltwichtig is er een voorbeeld van; het woord duidt aan, dat twee lichamen elkaar door bemiddeling van een werktuig in evenwicht houden, hoewel ze niet evenzwaar, dus, naar de letterlijke betekenis van het woord, niet evenwichtig zijn: sij hebben een ghelaet van evenwichticheyt, maer ten is niet eyghen, dan alleenlick na de ghestalt. De term evenstaltwichtig is tot nadeel van den rijkdom van onze taal in onbruik geraakt; wij spreken van lichamen die elkaar in evenwicht houden.

63. Waar Stevin zo nadrukkelijk het principe der virtuele verplaatsingen verwerpt, is het verwonderlijk, dat men het in werken over de geschiedenis der natuurwetenschap zo vaak met zijn naam in verbinding brengt; het wordt wel niet steeds als een vondst van hem voorgesteld, maar hij heet dan toch de eerste, die het zou hebben uitgesproken. Blijkbaar wordt dit telkens overgeschreven van anderen, die de Weeghconst ook nooit gelezen hebben. Het verhaal vindt zijn ontstaan waarschijnlijk in het feit, dat hij zich in den Byvough, die in de Wisconstighe Ghedachtenissen op de Weeghconst volgt en die in de Latijnse en Franse vertalingen van dit grotere werk internationale bekendheid heeft gekregen, eenmaal bedient van de ghemeene weeghconstighe reghel:

Ghelijck wech des doenders tot wech des lijders
Alsoo ghewelt des lijders tot ghewelt des doenders

[pagina 360]

die voor de enkelvoudige werktuigen uit het principe der virtuele verplaatsingen volgt. Hij beschouwt den regel hier blijkbaar als een bekend practisch middel om het verband tussen macht en last af te leiden, waarmee echter niet gezegd is, dat hij de verantwoordelijkheid voor de theoretische fundering zou willen dragen.

64. In het Clootcrans-bewijs voor de wet op het hellend vlak, waartoe we na deze uitweiding terugkeren, beschouwt Stevin (Fig. 26) een verticaal geplaatsten driehoek




ABC, waarover hij nu in gedachten een snoer hangt, waaraan op onderling gelijke afstanden gelijke bollen geregen zijn. Aangenomen wordt, dat dit snoer over drie vaste punten S, T, V, opv. bij A, B en C, glijden kan. Het doel is nu eerst, te bewijzen, dat het stuk snoer op AB evenstaltwichtig is met dat op BC. Daartoe wordt ondersteld, dat bij voorbeeld het staltwicht van het eerste groter is. Het snoer komt dan in beweging, maar daar de positie die het als geheel inneemt, niet verandert, als elk bolletje de plaats van zijn voorganger inneemt, zou het in beweging moeten blijven. Er zou dus een eeuwich roersel (eeuwigdurende beweging) moeten ontstaan. Stevin acht dat valsch (ongerijmd) en besluit dus, dat het snoer in rust zal blijven. Die rust zal niet worden verstoord, wanneer men het stuk VS, dat aan weerskanten even hard trekt, wegdenkt. Dus zullen de stukken van het snoer op AB en CB evenstaltwichtig zijn. Verenigt men ze nu elk tot een lichaam en denkt men deze beide lichamen verbonden door een gewichtloos koord dat over het vaste punt bij B geslagen is, dan blijkt, dat twee zulke lichamen elkaar in evenwicht houden, wanneer hun gewichten zich verhouden als de lengten van de zijden waarop ze liggen. Hiermee is de verlangde wet gevonden.

65. Het bewijs vertoont in hoge mate het typerende kenmerk van Stevins redeneertrant, die hierin bestaat, dat het betoog geen enkel beroep doet op reeds aanwezig gedachte kennis en dus ook overtuigend werkt op den ongeleerde; dit hangt natuurlijk samen met zijn streven, zo wijd mogelijke kringen der bevolking de gelegenheid tot wetenschappelijke ontwikkeling te verschaffen.

De spil waar de gehele redenering om draait, is blijkbaar het beroep

[pagina 361]

op de onmogelijkheid van een eeuwig roersel. Dit vormt er tegelijkertijd het meest problematische gedeelte van. Het kan namelijk niet worden gemotiveerd door een verwijzing naar storende factoren als luchtweerstand en wrijving, waarvan de overwinning voortdurend energie kost (om deze moderne formulering maar vast te gebruiken) en die dus een aan zich zelf overgelaten werktuig onvermijdelijk na enigen tijd tot rust moeten brengen. Immers de gehele redenering verloopt in de geïdealiseerde spheer van wat later rationele mechanica zal heten, waarin niet alleen luchtweerstand en wrijving worden weggedacht, maar waarin ook alle koorden als volkomen buigzaam en massaloos worden aangenomen en de kogels van den clootcrans oneindig klein zijn. In deze mechanica bezit echter een eeuwigdurende beweging niets ongerijmds: een enkelvoudige slinger die men loslaat, nadat men het slingerpunt buiten de verticaal van het ophangpunt gebracht heeft, vertoont haar al. Daarom mag Stevin ook maar niet zonder meer een eeuwig roersel als vals verwerpen. Dat hij het doet, betekent echter alleen een leemte in de logische formalisering van zijn bewijs, niet een tekort in zijn intuïtie. Wanneer men den slinger uit zijn evenwichtstand brengt, deelt men er een zekere hoeveelheid potentiële energie aan mede, die na het loslaten in kinetische energie wordt omgezet, die op haar beurt potentieel wordt en zo voort in infinitum. De clootcrans echter bezit in al haar standen dezelfde potentiële energie en als men haar over het hellend vlak legt zonder er in een van de twee




mogelijke bewegingsrichtingen een stoot aan gegeven te hebben, is het niet in te zien, hoe zij aan de kinetische energie zou komen die ze, in beweging verkerend, zou moeten bezitten. De natuurwetenschappelijke begripsvorming was in Stevins tijd nog niet ver genoeg gevorderd, dat een dergelijke overweging reeds bewust geformuleerd zou hebben kunnen worden. Stevin bezit echter blijkbaar de intuitie die er aan ten grondslag ligt.

66. Door een redenering die we hier niet zullen weergeven, komt Stevin nu tot de volgende stelling:

Op een glad hellend vlak (Fig. 27) ligt een (verder als stoffelijk punt te beschouwen) lichaam A met gewicht G. Het verticale lijnstuk AB geeft

[pagina 362]

de grootte van G aan. De kracht die langs de willekeurige rechte l moet werken om het stoffelijk punt in evenwicht te houden, wordt nu in grootte voorgesteld door het lijnstuk AD, waarin D het snijpunt is van l met de lijn BC, door B loodrecht op het hellend vlak getrokken.

Voltooit men het parallelogram ADBE, dan zegt de verkregen stelling blijkbaar, dat de kracht G kan worden opgeheven door de resultante van de kracht AD langs l en de normale reactiekracht AE die het stoffelijk punt van het hellend vlak ondervindt. Stevin blijkt dus het evenwicht van een stoffelijk punt op een glad hellend vlak met behulp van een krachtendriehoek of -parallelogram te kunnen behandelen.

67. Verder gaande bereikt hij het uiterste resultaat van zijn statica in de volgende stelling over het evenwicht van een vast lichaam waarvan een punt O onbeweeglijk is. Wordt het lichaam (Fig. 28) in evenwicht gehouden door een verticaal omhoog gerichte kracht K, die door het lijnstuk AB in grootte en richting wordt voorgesteld, dan kan het inplaats van door deze kracht ook in evenwicht worden gehouden door een kracht K₁ langs de scheef omhoog gerichte lijn l, die in grootte en richting wordt voorgesteld door het lijnstuk AC, waarin C het snijpunt is van l met de rechte BC, door B evenwijdig aan OA getrokken.

De juistheid hiervan volgt voor ons dadelijk uit de overweging, dat de driehoeken OAB en OAC gelijke oppervlakten hebben, zodat de momenten der krachten K en K₁ ten opzichte van O even groot zijn. Is het eerste moment nu gelijk aan het moment van het in het zwaartepunt aangrijpend gedachte gewicht G van het lichaam ten opzichte van O (wat het onderstelde vergt) dan is het tweede dit ook, waaruit het gestelde volgt.

Met behulp van deze stelling is de algemene voorwaarde voor evenwicht van een vast lichaam met een onbeweeglijk punt in wezen bepaald.

68. Stevin is tegelijkertijd man van zuivere wetenschap èn practisch ingenieur, spiegelaar zowel als doender, een echte vertegenwoordiger van de klasse der redenerende daadmensen, waarvan we het belang voor de ontwikkeling der natuurwetenschap in het vorige deel (III: 27) reeds in het licht hebben gesteld. Hij beperkt zich dan ook niet tot de behandeling van theoretische ideale gevallen, maar streeft er naar, de hierbij verworven inzichten ook in practische problemen nuttig te gebruiken. Tussen theo-

[pagina 363]

retische en toegepaste mechanica bestaat echter een grote afstand; de physische werkelijkheid is oneindig veel gecompliceerder dan haar geidealiseerd mathematisch beeld en ze moet in gedachte sterk vereenvoudigd worden, om vatbaar te zijn voor de methoden die de theoretische behandeling heeft doen kennen. Er ligt hier een moeilijkheid die voor de historische ontwikkeling der mechanica van grote betekenis geweest is. Zij verhinderde zowel, dat de mathematisch afgeleide resultaten op eenvoudige wijze empirisch konden worden gecontroleerd als dat de in de practijk opgedane ervaring gemakkelijk aan de theoretische begripsvorming dienstbaar kon worden gemaakt; veeleer bestond, zoals we reeds hebben gezien (I: 37; II: 120; III: 36), het gevaar, dat deze ervaring het theoretisch overleg op een dwaalspoor leidde. Een gevolg hiervan is geweest, dat de mechanica, na van de dwaalwegen die ze onder empirischen invloed eerst bewandeld had, teruggekeerd te zijn, zich eenzijdig theoretisch is gaan ontwikkelen, meer als onderdeel van de wiskunde dan als tak der natuurwetenschap.

Stevin heeft het onderscheid tussen theoretische en toegepaste mechanica zeer zeker wel gevoeld, maar het even zeker in zijn draagwijdte onderschat. Wanneer hij bij een werktuig theoretisch de ideale voorwaarde voor evenstaltwichtigheid van den doender (de macht) en den lijder (de last) bepaald heeft, meent hij, dat de geringste versterking van den doender die denkbaar is, de last nu ook in beweging zal kunnen brengen. Dat neemt niet weg, dat hij door de vele toepassingen die hij van zijn theoretische onderzoekingen gemaakt heeft (in weeg- en hefwerktuigen, den watermolen, het paardentoom en in de krijgswetenschap) zowel de Weeghconst als de Weeghdaet bevorderd heeft. In het bijzonder kan zijn behandeling van den molen als model gelden van een vruchtbare samenwerking tussen theoretisch inzicht en practisch vakmanschap.

69. Wat Stevin in zijn gedrukte werken van de mechanica behandelt, heeft uitsluitend betrekking op de statica. Tot de zo dringend nodige vernieuwing van de dynamica heeft hij slechts terloops een bijdrage geleverd, die echter niet zonder historische betekenis is. In samenwerking met zijn vriend Johan Cornets de Groot (den vader van Hugo) heeft hij namelijk een proef gedaan ter controle van de in de valwet van Aristoteles opgesloten bewering, dat de tijd dien een uit rust vallend lichaam voor het doorlopen van een zekeren afstand nodig heeft, omgekeerd evenredig is met het gewicht van het lichaam. Zij lieten daartoe twee loden bollen waarvan de ene tienmaal zo zwaar was als de andere, gelijktijdig van een hoogte van 30 voet op een plank vallen en gingen na, of de zwaarste bol inderdaad tien maal zo snel beneden was als de lichtste. Het verschil in tijd bleek onwaarneembaar te zijn; het was of men één slag hoorde. Wij weten niet, in welk jaar de proef genomen is, maar daar ze in de Weeghconst beschreven wordt, kan het niet later dan 1586 geweest zijn.

Zoals we reeds weten (III: 55), was het niet de eerste maal, dat op

[pagina 364]

deze wijze proefondervindelijk werd aangetoond, dat de valwet van Aristoteles in strijd was met de ervaring. Dat het nog eens gebeurde, was echter niet overbodig: de Aristotelische dynamica, hoewel in feite reeds lang onhoudbaar geworden, beheerste het denken van de mechanici en astronomen nog steeds in veel sterkere mate dan zij zelf konden weten en de hedendaagse physicus zich kan voorstellen.

B. Isaac BeeckmanGa naar eind2

70. De vernieuwing van het natuurwetenschappelijk denken in de zestiende en zeventiende eeuw bestaat voor een belangrijk deel in een hervorming van de dynamica en deze weer in een diepgaande wijziging van de denkbeelden over de twee bewegingsverschijnselen die we dagelijks zonder opzettelijke proefneming om ons heen zien verlopen: val en worp.

De centrale figuur in de geschiedenis van dit onderwerp is Galilei en we zullen dus, om de lijn Stevin-Huygens te kunnen vervolgen, tijdelijk ons land moeten verlaten en terugkeren naar Italië. Maar niet dadelijk. Voordat Galilei zijn resultaten zal publiceren, wordt hier te lande op het stuk van valbeweging nog belangrijk werk verricht, gans anders geaard dan dat van den groten Italiaansen physicus, in vele opzichten er ver bij achter blijvend, maar in enkele andere het zelfs nog overtreffend. Het is te vinden in het befaamde Journael van den rector van de Latijnse school te Dordrecht, Isaac Beeckman, waarin hij alle gedachten placht te noteren die lectuur of eigen onderzoek bij hem hadden doen rijzen en waarin tal van notities niet alleen van levendige belangstelling, maar ook van grote begaafdheid op natuurwetenschappelijk gebied blijk geven.

71. Beeckman is in zijn leven ten aanzien van de wetenschap op hetzelfde punt tekort geschoten als Leonardo da Vinci. Beiden heeft het ontbroken aan de nodige volharding en het vereiste concentratievermogen om, zelfs maar op een enkel gebied, hun onderzoekingen te systematiseren, af te ronden, te boek te stellen en te publiceren. Van Faraday's devies: Work, Finish, Publish, hebben zij zich alleen het eerste deel ter harte genomen. Daardoor hebben ze de ontwikkeling der wetenschap òf in het geheel niet òf in veel geringere mate bevorderd dan het geval had kunnen zijn.

Wat we hier van Beeckmans denkbeelden zullen mededelen, vormt dan ook eigenlijk geen schakel in de ontwikkelingsketen die ons bezig houdt. Het heeft echter waarde als indruk van het natuurwetenschappelijk denken van een begaafd man in het begin van de zeventiende eeuw.

72. Het belangrijkste van wat hij gedaan heeft is voor ons doel een dynamische afleiding van het verband van weg en tijd in de valbeweging, die hij in 1618 in samenwerking met Descartes gevonden heeft en die de oudst bekende geslaagde poging vormt, het verloop van den val in verband te brengen met de werking van de zwaartekracht. Wanneer we zijn

[pagina 365]

verschillende hierop betrekking hebbende aantekeningenGa naar eind3 samenvatten en de uitdrukkingswijze enigszins moderniseren, kunnen we de redenering als volgt weergeven:

We denken ons de zwaartekracht niet doorlopend werkend, maar zo, dat ze telkens na verloop van een zeker tijdvak als het ware een ruk aan het vallend lichaam geeft (sij treckt met kleijne hurtkensGa naar eind4). Verder nemen we aan, dat een eenmaal voortgebrachte snelheid onveranderd blijft voortbestaan, zolang er geen uitwendige oorzaken zijn die haar vernietigen. Stel nu, dat bij het begin der beweging en dan verder telkens na een tijdvak τ een snelheid γ wordt voortgebracht, dan zal het vallend lichaam in het eerste tijdvak τ een weg γτ afleggen, in het tweede een weg 2 γτ (de tweede ruk heeft de snelheid verdubbeld), in het derde 3 γτ enz. In een tijdvak t₁ = n₁ . τ wordt dus afgelegd:

Evenzo in een tijdvak t₂ = n₂ . τ

Voor de verhouding van deze wegen vindt men:

Wanneer nu τ tot ο nadert, gaat het trekken met rukjes over in een continue krachtwerking, terwijl de verhouding der wegen wordt:

De wegen in vrijen val uit rust in zekere tijdvakken van het begin der beweging af doorlopen, verhouden zich dus als de quadraten dier tijdvakken. We hebben boven reeds uitgelegd, dat men dit in de zeventiende eeuw nog niet kan formuleren in den vorm:

s(t) = c . t².

Natuurlijk kon Beeckman den bovenstaanden limietovergang zo nog niet geven. Echter had hij door Descartes de methode van de graphische voorstelling leren kennen en daardoor kon hij de redenering wel meetkundig uitdrukken. Zetten we namelijk (Fig. 29) op de verticale as den tijd uit en is OA = τ en OC = γ, dan geeft de figuur voor de opvolgende tijdvakken τ de boven opgegeven wegen aan. Is nu OA₁ = t₁ en OA₂ = t₂, dan worden, als τ tot ο nadert, de in deze tijdvakken afgelegde wegen blijkbaar voorgesteld door de oppervlakten der driehoeken OA₁B₁ en

[pagina 366]

OA₂B₂. Deze verhouden zich echter als de quadraten van OA₁ en OA₂, dus als t₁²: t₂².

73. De gehele redenering vertoont natuurlijk verwantschap met den gedachtengang dien we Oresme in zijn werk over de latitudines formarum zagen volgen. Descartes zal zeker in zijn schooltijd bij de Jezuïeten van La Flèche zijn methoden, waarvan de herinnering, zoals we reeds zagen (III: 52), in scholastieke philosophische werken bewaard was gebleven, hebben leren kennen en in zoverre sluit Beeckmans afleiding aan bij de beschouwingen over den val van de Parijse Terministen. Er zijn echter enkele kenmerkende verschilpunten. Het eerste is, dat hij nergens




over de instantane snelheid spreekt en dus ook nergens zegt, dat zij door de horizontaal uitgezette ordinaat bij de extensio tijd wordt voorgesteld; het verband met de leer van intensio en remissio van qualiteiten is dus geheel verdwenen. Nieuw is bovendien echter de onmiskenbare invloed dien Archimedes intussen is gaan uitoefenen. Zijn werken waren in de zestiende eeuw door vertaling bekend geworden en in het bijzonder had zijn methode van zwaartepuntsbepaling reeds navolging gevonden. Deze berustte echter op dezelfde benadering van een figuur door een reeks van rechthoeken als in de bovenstaande afleiding werd toegepast. Beeckman heeft ook dit denkbeeld misschien van Descartes overgenomen; hij heeft het echter ook kunnen leren kennen uit het tweede gedeelte van Stevins Weeghconst, dat over zwaartepuntsbepaling handelt.

74. Beeckmans afleiding van de valwet toont, en talrijke aantekeningen in het Journael, waarin hij zich op het beginsel: dat eens roert, roert altijt, soot niet belet en wort beroept, bevestigen hetGa naar eind5, dat hij in het bezit is van een traagheidsinzicht, dat principieel van dat van de antieke natuurwetenschap afwijkt en reeds duidelijk tot dat van de klassieke dynamica nadert. Zoals we reeds zagen, bestond de antieke opvatting van traagheid (I: 35), die o.m. nog door Kepler (IV: 46) volledig gedeeld werd, daarin, dat een geheel aan zich zelf overgelaten lichaam in rust moet verkeren en dat beweging een toestand is, die, voorzover ze niet van nature bestaat, slechts door de voortdurende inwerking van een uitwendigen motor in stand kan worden gehouden. Ook bleek reeds (II: 112), dat de Parijse Terministen hiervan in dit opzicht afweken, dat zij den uitwendigen motor door een inwendigen, den impetus, vervingen. Hun standpunt stemde

[pagina 367]

echter in zoverre met het Aristotelische overeen, dat ook zij voor het feit van het bestaan van beweging, d.i. plaatsverandering, een oorzaak aangegeven wensten te zien. Het is nu een kenmerkend verschilpunt tussen antiek-middeleeuwse en klassieke natuurwetenschap, dat de laatste de rechtmatigheid van die causale behoefte rondweg zal ontkennen. Tegenover het ‘geen plaatsverandering zonder oorzaak’ zal zij het ‘geen snelheidsverandering zonder oorzaak’ stellen en de vraag: hoe komt het?, die de Ouden en Middeleeuwers reeds voelden rijzen, wanneer zij een lichaam nu hier en even later ginds zagen, zal zij pas gerechtvaardigd achten, wanneer zij het zich sneller of langzamer of in een andere richting dan voorheen ziet gaan bewegen.

Dat is een merkwaardig verschil in zienswijze en het allermerkwaardigste ervan is, dat elk der beide standpunten voor de aanhangers het karakter van iets vanzelfsprekends blijkt te kunnen aannemen, dat het door beide partijen als een onmiddellijk gevolg van het causaliteitsbeginsel wordt beschouwd. Zoals een Aristotelicus het evident vond, dat de plaats van een lichaam niet zonder oorzaak verandert, zullen verscheidene beoefenaren der klassieke mechanica het zonder meer duidelijk achten, dat de snelheid niet anders kan worden, wanneer voor die verandering geen oorzaak bestaat. En daar men bij een stoffelijk punt dat aan alle uitwendige invloeden onttrokken wordt gedacht, zulk een oorzaak niet kan aanwijzen, zal men aprioristische geldigheid opeisen voor de stelling, dat in dat geval grootte en richting van de snelheid constant zullen blijven en het punt zich dus eenparig rechtlijnig zal bewegen.

75. Van deze twee redeneringen is de eerste binnen het kader der Aristotelische natuurphilosophie, waarin plaats wordt opgevat als een absolute eigenschap van een lichaam en niet als een relatie tot een omgeving die zelf veranderen kan, houdbaar, de tweede echter volgens de eigen denk-beginselen der klassieke mechanica niet. Het is niet in te zien, waarom juist de snelheid in het onderstelde geval constant moet blijven in grootte en richting en niet de versnelling of de kromming van de baan of de snelheid alleen in grootte. En als men het vanzelfsprekend wil vinden, dat een bewegend lichaam dat plotseling aan alle invloeden van buiten af onttrokken wordt, zijn snelheid in richting en grootte onveranderd zal behouden, kan men het evengoed evident vinden, dat een lamp blijft branden als men de toevoerdraden voor den electrischen stroom doorsnijdt.

Inderdaad zien we Beeckman, die nog niet weten kon, welke traagheidswet zo vanzelfsprekend moest worden gevonden, op grond van hetzelfde overleg dat later toereikend zou worden geacht om die van Newton af te leiden, tot de conclusie komen, dat bij afwezigheid van alle uitwendige invloeden een lichaam dat eenmaal in rechtlijnige beweging verkeert, die rechtlijnige beweging zal behouden, maar dat het, eenmaal bezig cirkels te beschrijven, dat ook zal blijven doen. Het is duidelijk, dat dit niets af-

[pagina 368]

doet aan de juistheid van het gebruik dat hij in de afleiding van de valwet van het traagheidsbeginsel maakt.

76. We vermelden ten slotte nog, dat Beeckman de verklaring van de beweging van een voortgeworpen lichaam met behulp van het impetus-begrip volstrekt afwijstGa naar eind6 op grond van het argument, dat hij er zich geen voorstelling van kan maken, wat voor ding dit aan het projectiel ingeprente bewegend vermogen eigenlijk is. Het argument typeert het standpunt, waarop men in de zeventiende eeuw ten opzichte van de scholastieke verklaringsbeginselen hoe langer hoe meer kwam te staan: men eiste voor alles een aanschouwelijke voorstelling en zag in termen als impetus, vorm, qualiteit, vermogen en derg. niet meer dan woorden, waarmee men wel iets omschrijven, maar niets verklaren kan.

Wij zullen hiermee de behandeling van Beeckmans opvattingen besluiten. Er zal nog meer dan een gelegenheid komen, aan zijn steeds zelfstandige en vaak originele denkwijze te herinneren en het te betreuren, dat dit licht nooit op den kandelaar heeft gestaan.

C. Galileo GalileiGa naar eind7

77. Er is in de gehele wetenschapsgeschiedenis wellicht geen enkele figuur aan te wijzen, waarover zo uiteenlopend geoordeeld wordt als over Galilei. Er is weliswaar niemand die op zijn wetenschappelijke grootheid iets zou willen afdingen of die zou willen ontkennen, dat hij wellicht het allermeest tot het tot stand komen van de klassieke natuurwetenschap heeft bijgedragen, maar er blijkt helemaal geen eenstemmigheid over te bestaan, waarin zijn grootheid eigenlijk bestaat en welke die bijdragen precies geweest zijn.

De kennismaking met de wetenschapshistorische litteratuur die hij in het leven heeft geroepen, werkt dan ook enigszins verbijsterend; van auteurs die zijn werken toch allen hebben bestudeerd, ziet de ene vaak het wezenlijke in wat een andere iets bijkomstigs acht en men kan hier met citaten betoogd zien, wat ginds met andere citaten bestreden wordt. Dat vindt zijn oorzaak althans ten dele hierin, dat zijn denkbeelden gedurende zijn leven een sterke ontwikkeling hebben doorgemaakt: de Galilei van Pisa is een andere dan die van Padua, de auteur van de Discorsi (1638), een oudere dan die van den Dialogo (1633), maar aangezien hij in het eerste werk brokstukken opneemt die nog uit den Paduaansen tijd dateren, is hij dit soms toch ook weer niet.

Wat de zaak nog ingewikkelder maakt, is dat tegenover de op studie van zijn werken berustende echte, zij het ook vaak eenzijdige, Galilei-beelden het onechte staat van wat men de Galilei-mythe kan noemen, van de gangbare populaire voorstelling. Het is het beeld dat in het leven wordt geroepen en gehouden door schrijvers over moderne physica die behoefte

[pagina 369]

hebben aan een historische inleiding, maar die zich niet de moeite hebben willen geven, de simpele plicht der exactheid te vervullen die bestaat in het toetsen van de gedane mededelingen aan de historische bron. Het is een door en door vals beeld, maar het straalt veel schitterender dan één der echte en de lezer is daardoor spoedig geneigd, er genoegen mee te nemen. Bovendien werkt het sterk vereenvoudigend: in zijn glans overstraalt het alle figuren van het tweede plan. En het verschaft een eenvoudige terminologie, doordat het, als er behoefte bestaat aan een term om het eigene der klassieke natuurwetenschap te karakteriseren, dadelijk het adjectief Galileïsch op de lippen brengt. Het is daardoor begrijpelijk, dat kritiek op de ideale voorstelling die het inhoudt, gemakkelijk ergernis opwekt, terwijl Italiaanse auteurs er zich bovendien spoedig door gekwetst voelen in hun nationalen trotsGa naar eind8.

78. De taak, over Galilei te schrijven, moge door dit alles moeilijk worden gemaakt, ze is er niet minder aantrekkelijk om. Een situatie als de boven geschetste zou nooit ontstaan zijn, wanneer Galilei niet de centrale figuur van den overgang van antiek-middeleeuws tot klassieke natuurwetenschappelijk denken geweest was, enerzijds wortelend in een verleden dat hem er niet minder sterk om bindt, dat hij het zo heftig verloochent, anderzijds een toekomst voorbereidend, waarin zijn denkbeelden tot gevolgtrekkingen zouden leiden die veel verder strekten, dan hij ooit heeft kunnen voorzien. Daarom bestaat er geen deugdelijker middel om iets van dien overgang te leren begrijpen dan de ontwikkeling van zijn schakelpositie tussen het oude en het nieuwe te vervolgen.

79. Wanneer men hem in de te Pisa ontstane, maar tijdens zijn leven niet gepubliceerde geschriften De MotuGa naar eind9 voor het eerst aan het woord hoort, kan men zich in de collegezaal van Buridan verplaatst wanen. Wel is zijn stijl dan weinig passend: alle banden der scholastieke traditie zijn verbroken; een levendig betoog vervangt de streng systematische behandeling van de stof. Maar de gedachten zijn nauw verwant met die der Parijse Terministen en in het bijzonder zijn de argumenten waarmee de Aristotelische theorie van het aandeel van het medium in het onderhouden van den worp bestreden wordt, nog steeds dezelfde als die zij gebruikten: het voortschieten van een pijl tegen een fellen wind in, het tijdelijk voortduren van de beweging van een stroomopwaarts geroeid schip, nadat de riemen uit het water zijn genomen, de langdurige beweging van een gladden roterenden bol, waarom heen de lucht toch vrijwel in rust blijft. Wat te Parijs impetus heette, komt hier voor als vis impressa (ingeprente kracht), waarvoor Galilei later ook vaak impeto zal zeggen (welk woord bij hem echter ook weer een heel andere betekenis kan hebben). Zij wordt voor het geval van een verticaal omhoog geworpen lichaam geïnterpreteerd als een tijdelijke lichtheid, die de natuurlijke zwaarte overwint. Zij neemt van nature (dus niet door uitwendige invloeden) af en het lichaam bereikt zijn hoogste punt, wanneer het bedrag waarmee zij de zwaarte overtreft, ver-

[pagina 370]

dwenen is. Dan begint de val, die zolang versneld zal zijn als de nog overblijvende vis impressa tijd nodig heeft om geheel te verdwijnen en die dan verder onder invloed van de constante zwaarte eenparig zal verlopen. Deze theorie voert dus tot het bestaan van het z.g. punctum aequalitatis (eenparigheidspunt), waar de val eenparig wordt; bij Beeckman kan men hetzelfde begrip aantreffenGa naar eind10; bij hem lag de oorzaak ervan echter in den met de snelheid van het lichaam aangroeienden luchtweerstand, terwijl Galilei haar zoekt in de spontane vermindering van de bewegings-qualiteit die hij vis impressa noemt; voor hem bestaat het punctum aequalitatis dus ook in vacuo.

Het blijkt wel, dat de impetus-theorie in haar uitwerking nog ruimte liet voor allerlei varianten: had Buridan de versnelde valbeweging verklaard door het toenemen van den impetus, Galilei doet het door het afnemen van de vis impressa (die in het geval van een uit rust vallend lichaam aanvankelijk gelijk wordt gedacht aan het gewicht, zodat dit dadelijk de overhand krijgt als het lichaam wordt losgelaten). Daardoor kon bij den eerste de snelheid onbeperkt aangroeien, terwijl ze bij Galilei een maximum bereikt.

80. Zoals Benedetti reeds vóór hem gedaan had (III: 57), bestrijdt Galilei, steunend op de theorie van de opwaartse kracht die een lichaam van een medium ondervindt, het bestaansrecht van de Aristotelische onderscheiding tussen zware en lichte lichamen, waarvan de eerste van nature omlaag, de tweede omhoog zouden gaan. Dit is een van de symptomen van den veldwinnenden invloed van Archimedes. Eveneens in aansluiting aan Benedetti beredeneert hij, dat lichamen van dezelfde stof in vacuo even snel zouden vallen, terwijl hij voor lichamen van verschillende stof de valsnelheid in vacuo (we herinneren er aan, dat hiermee de gemiddelde snelheid over een zekeren afstand bedoeld wordt) evenredig stelt met het soortelijk gewicht en in pleno met het bedrag waarmee het soortelijk gewicht van het lichaam dat van het medium overtreft. In den luchtweerstand heeft hij een minder helder inzicht dan Benedetti; men krijgt sterk den indruk, dat hij den weerstand dien een medium tegen zijn verdeling door een vallend lichaam biedt, niet onderscheidt van de opwaartse kracht die het op dat lichaam uitoefent.

81. Van opzienbarende valproeven van den Scheven Toren te Pisa die hij gedurende zijn professoraat te Pisa zou hebben gedaan en waardoor volgens de legende de peripatetische philosophie een vernietigenden slag zou hebben ontvangen, blijkt uit de geschriften De Motu evenmin iets als uit enig later werk van Galilei. Er bestaat alle aanleiding, dit verhaal te wantrouwen. Wanneer Galilei jaren later te Florence gewikkeld is in een discussie over het drijven van lichamen in een vloeistof, is er wel een keer sprake van een valproef van den Scheven Toren af; het is echter een van zijn tegenstanders, die haar gedaan en er de Aristotelische evenredigheid van valsnelheid en gewicht door bevestigd beweert te hebben. Blijk-

[pagina 371]

baar heeft hij haar dus ook niet uitgevoerd. Men moet in het algemeen tegen verhalen over gedane proeven, zowel bij Galilei als bij zijn tegenstanders, altijd een zekere reserve in acht nemen. Meestal zijn ze alleen in gedachten uitgevoerd of worden ze slechts als mogelijkheid beschreven.

Zoals we naar aanleiding van de proef van Stevin en de Groot reeds opmerkten (IV: 69), was het aan Galilei toegeschreven Pisaanse experiment al vaker uitgevoerd, zonder dat er veel notitie van genomen was. Er was heel wat meer nodig om de Aristotelische heerschappij over het denken te breken dan het constateren van een verschijnsel dat met een van zijn beweringen in strijd was.

82. In een later stadium van zijn ontwikkeling, waarvan we den neerslag vinden in den Eersten Dag van de Discorsi, breidt Galilei de stelling, dat de valsnelheid in vacuo onafhankelijk is van het gewicht van een vallend lichaam, uit tot lichamen van verschillende stof op grond van de overweging, dat het verschil der valsnelheden voor lichamen van verschillend soortelijk gewicht des te kleiner blijkt te worden, naarmate het medium ijler is; het is dus redelijk om te verwachten, dat het in vacuo geheel verdwenen zal zijn. Dit vermoeden wordt hierna op de proef gesteld door valproeven op een hellend vlak met kleinen hellingshoek en door waarnemingen aan twee slingers, waarvan de ene een slingerlichaam van kurk heeft en de andere een van lood, dat honderdmaal zo zwaar is.

In overeenstemming met deze wijziging in de valwet in vacuo brengt Galilei nu ook een verandering aan in die voor het plenum. Deze moet zo zijn, dat de berekende valsnelheid nadert tot die voor het vacuum, als het soortelijk gewicht van het medium tot o nadert. In een formule uitgedrukt luidt ze:

waarin v de gemiddelde snelheid over een zekeren weg beduidt (dat de grootte van dien weg niet wordt opgegeven, wijst er op, dat er niet gelet wordt op het feit, dat de valbeweging versneld is), S het soortelijk gewicht van het vallend lichaam, S_m dat van het medium, terwijl de evenredig-heidsfactor blijkbaar de valsnelheid in vacuo beduidt. Het verdient opmerking, dat Galilei thans wel een duidelijke uiteenzetting geeft van de wijze waarop het medium weerstand tegen beweging biedt, maar dat in zijn stelling toch alleen rekening wordt gehouden met de opwaartse kracht.

83. Men ziet, dat Galilei tot dusver altij d nog aan den middeleeuwsen kant van de grenslijn tussen oude en nieuwe natuurwetenschap staat, al behoort hij daar wel tot de partij die ten aanzien van de Aristotelische bewegingsleer sterk kritisch gestemd is. Al zijn felle polemische uitvallen tegen den Stagiriet kunnen niet over het hoofd doen zien, dat hij in wezen nog even sterk onder zijn machtigen invloed staat als de Parijse Terministen.

Twee oorzaken hebben samengewerkt om te maken, dat dit niet zo ge-

[pagina 372]

bleven is: de mathematische inslag van zijn denken en de bekoring die het Copernicaanse wereldbeeld op hem heeft uitgeoefend. De eerste heeft hem van jongs af onder den invloed van Archimedes gebracht en hem in het heersende meningsverschil van zijn tijd over de juiste methode der natuurwetenschap de Platonische richting, die de wiskunde als essentieel bestanddeel van het natuuronderzoek zag, doen verkiezen boven de Aristotelische, waarvoor zij ten hoogste een bruikbaar hulpmiddel was, maar die de beschouwing van het qualitatieve der verschijnselen belangrijker achtte dan het opsporen van de quantitatieve relaties die er aan op te merken waren. De tweede heeft hem een levensdoel gegeven, dat zijn ganse denken en voelen zou gaan beheersen: de overtuiging ingang te doen vinden, dat het heliocentrische wereldstelsel niet een mathematische fictie was, die de berekeningen der astronomen vereenvoudigde, maar de volle physische waarheid aangaande den wereldbouw bevatte.

84. De gezamenlijke uitwerking van deze twee invloeden is eerst na een langdurig rijpingsproces aan het licht getreden. Wanneer Galilei in 1609 zijn leerstoel aan de Universiteit te Padua opgeeft en als hofmathematicus van Groothertog Cosimo II naar zijn oude woonplaats Florence terugkeert - het is de noodlottigste stap van zijn leven geweest - is hij vijf en veertig jaar oud, maar nog is er geen geschrift van zijn hand verschenen waaruit iets van zijn nieuwe denkbeelden blijkt en in zijn universitair onderwijs heeft hij zich in den regel aan de traditionele leerstof gehouden.

Hoe dat rijpingsproces verlopen is, weten we slechts zeer ten dele uit enkele later gepubliceerde aantekeningen uit de jaren in Padua en uit brieven; wat er de vruchten van waren, leren de later verschenen werken en wel vooral de Dialogo (1632) en de Discorsi (1638). Ons interesseert thans voornamelijk wat ze over mechanica bevatten. Deze laat zich echter bij Galilei zelden als afzonderlijk vak behandelen, omdat hij haar in dienst stelt van zijn verdediging van de physische realiteit van het Copernicaanse stelsel. We zullen voorlopig echter niet verder op den astronomischen kant van zijn beschouwingen ingaan dan voor het inzicht in zijn bijdragen tot de mechanica zelve strikt nodig is.

85. De mechanica van Galilei bestaat voor het allergrootste deel uit een studie van de verschijnselen van val en worp. Als men let op de belangrijke plaats die dit onderwerp in de Parijse scholastiek der veertiende eeuw had ingenomen en op de belangstelling die het in de Renaissance genoten had, is dit op zichzelf niet verwonderlijk. Waar het echter op aankomt is, dat hij te Padua die studie in geheel anderen geest is gaan opzetten dan hij haar, de traditie volgend, te Pisa had bedreven. Hij ziet thans namelijk principieel af van alle vragen die de oorzaak van de te onderzoeken bewegingen betreffen en stelt zich voorlopig uitsluitend ten doel, haar verloop zoo nauwkeurig mogelijk te leren kennen.

Er is in de gesprekken die in den Dialogo tussen Salviati (die voor Galilei zelf spreekt), Sagredo (den verstandigen leek) en Simplicio (den

[pagina 373]

vertegenwoordiger der Aristotelische philosophie) gevoerd worden, één passage, die bij uitstek geschikt is om den nieuwen aanpak van het probleem te verhelderen. Het is, waar Salviati, uitgedaagd om het principe aan te wijzen, waaraan de beweging van de aarde zou kunnen worden toegeschreven (Simplicio wil in zijn peripatetische denkwijze weten, of het een in- of een uitwendig principe is), zich bereid verklaart dat te doen, wanneer zijn bestrijder eerst zal hebben gezegd, door welke oorzaak de delen van de aarde naar beneden worden gevoerd. ‘Dat is heel bekend,’ luidt het antwoord, ‘iedereen weet, dat dit de zwaarte is.’ Waarop Salviati: ‘Gij vergist U, Signog Simplicio, Gij hadt moeten zeggen: iedereen weet, dat zij zwaarte heet’Ga naar eind11. En hij legt dan verder uit, dat we, door een telkens weer optredend verschijnsel met een bepaalden naam aan te duiden, ons wel kunnen gaan verbeelden, dat we er nu iets van begrijpen, maar dat al ons z.g. verklaren van natuurverschijnselen in laatste instantie neerkomt op het benoemen van een in wezen onbekende oorzaak met een woord: zwaarte, virtus, impressa, intelligentia informans (inwendig geestelijk bewegingsprincipe van een bezield lichaam), intelligentia assis-tans (geestelijke inwerking van buitenaf) of in het algemeen natuur.

86. Het is een uiterst eenvoudig inzicht dat hier wordt uitgesproken; het zal menigen hedendaagsen lezer wellicht te evident lijken om er zoveel aandacht aan te wijden. Maar het legt in zijn eenvoudige klaarheid den vinger op wat wellicht de allerwondste plek van de Aristotelische natuur-philosophie was, de illusie, dat wij, alleen door namen te geven, onze feitelijke kennis van de natuur zouden kunnen uitbreiden. Het sluit niet in - mag althans niet insluiten - dat het geven van namen niet belangrijk zou zijn. Integendeel: wij kunnen niet denken zonder begrippen en begrippen niet hanteren als we ze niet door een woord kunnen aanduiden. Begripsvorming vereist dus naamgeving en in zoverre kan het kiezen van een juisten naam een geestelijke verrichting van hoge waarde zijn. Echter is voor het vormen van bruikbare natuurwetenschappelijke begrippen een omvangrijke kennis van natuurverschijnselen nodig en wanneer deze ontoereikend of onbetrouwbaar is of naar een verkeerd gezichtspunt geordend wordt, is het gevormde begrip onvruchtbaar en de gekozen naam die als klank tot het begrip toch altijd nog slechts de relatie heeft waarin tot een voorwerp zijn schaduw staat, nog nuttelozer. -

Galilei trekt uit dit inzicht de volle consequenties: het is tijd, het praten te staken, met namen geven op te houden. Men mag kortheidshalve blijven zeggen, dat de valbeweging toe te schrijven is aan de werking van een van nature aan een lichaam eigen streven naar het aardcentrum, mits men dan voorlopig maar niet te veel over dat streven, waarvan we verder niets weten, spreekt en eerst eens moeite doet, den val zelf, dien we althans kunnen waarnemen, beter te leren kennen.

87. In vol bewustzijn van wat hij doet, schakelt Galilei dus de dynamische beschouwingswijze uit en beperkt zich tot de kinematische. Niet het

[pagina 374]

waardoor, nog minder het waartoe, maar uitsluitend het hoe zal hem interesseren. Het gaat voorlopig niet om verklaren, maar om beschrijven.

Het is een beperking die hij oplegt aan zich zelf, niet aan de wetenschap. Hij ziet zich als wegbereider. Wanneer eenmaal nauwkeurig bekend zal zijn, hoe de lichamen vallen, wanneer men dus m.a.w. voor het meest alledaagse bewegingsverschijnsel eens zover zal zijn gekomen als de astronomen waren, toen ze de waargenomen planeetposities in een kinematisch wereldbeeld konden voorstellen, zal het wellicht aan dieper doordringende geesten voorbehouden blijven, ook tot een dieper inzicht in de natuur van den val en haar wetten te komen.

Het gaat er dus om, de verschijnselen van den val te redden; we weten, dat ze versneld is; het probleem bestaat in het mathematisch definiëren van een beweging waarvan het verloop overeenstemt met wat de waarneming geleerd heeft en nog zal leren. De metodo risolutivo (III: 16), de onopzettelijk verworven, zich als het ware aan ons opdringende zinlijke ervaring analyserend, heeft de taak gesteld; de metodo compositivo zal haar uitvoeren en de experimentele verificatie die haar resultaten gedogen en vereisen, zal de proef op de som leveren. Met volkomen scherpte stelt Galilei voor goed de wetenschappelijke methode voor het onderzoek der anorganische natuur vast.

88. Wij weten, dat er reeds eerder onderstellingen over het verloop van de valbeweging waren gemaakt; Albert van Saksen (II: 115) had de instantane valsnelheid evenredig gedacht aan den afgelegden weg en Leonardo da Vinci (III: 45) had de even onhoudbare betrekking opgesteld, dat de wegen, in opvolgende gelijke tijden afgelegd, zich verhouden als de opvolgende natuurlijke getallen. Ook hebben we reeds gezien, dat Oresme een middel had geleerd om voor een beweging, waarbij de instantane snelheid evenredig is met den sedert het begin der beweging verstreken tijd, den afgelegden weg te berekenen (II: 128) en dat in scholastieke geschriften van de zestiende eeuw de val als voorbeeld voor zulk een beweging behandeld was (II: 130).

Het is alleszins aannemelijk, dat Galilei, die te Padua jarenlang vertoefd heeft in een intens levend academisch milieu, waarin de tradities der scholastiek hoog werden gehouden, met dit alles op de hoogte zal zijn geweest, dat hij zowel de graphieken van Oresme, die immers nog steeds voor illustratiedoeleinden werden gebruikt, gekend heeft als de z.g. quadratenwet, die uitspreekt, dat de in val uit rust afgelegde weg evenredig is met het vierkant van den sedert het begin der beweging verstreken tijd. Even waarschijnlijk is het echter, dat er in het universitaire onderwijs niet zo heel veel aandacht aan besteed zal zijn: voor de peripatetische philosophie hadden quantitatieve relaties nu eenmaal niet de overheersende positie die zij in de klassieke natuurwetenschap zouden gaan innemen.

89. Hoe dit alles zij, het staat op grond van uitlatingen in brieven on-

[pagina 375]

omstotelijk vast, dat Galilei in 1604 de quadratenwet kende en dat hij toen bezig was met het verzinnen van een hypothese over de wijze waarop de instantane snelheid in den val groeit, die als axioma bij de afleiding van deze wet gebruikt zou kunnen worden. En uit nagelaten en later gepubliceerde aantekeningen weten we, dat de eerste gedachte die zich daarbij aan hem opdrong, dezelfde was die vroeger al bij Albert van Saksen gerezen was, namelijk die van evenredigheid van instantane snelheid en afgelegden weg. Merkwaardiger dan deze overeenstemming is echter nog, dat hij uit deze onderstelling, waarvan hij later in de Discorsi zelf de ondenkbaarheid zou aantonen, de juiste betrekking tussen weg en tijd heeft afgeleid, de quadratenwet met haar corollarium, dat de wegen in opvolgende gelijke tijden zich verhouden als de opvolgende oneven getallen (de wet der oneven getallen, een onmiddellijk gevolg van het feit, dat de opvolgende verschillen van de quadraten der natuurlijke getallen de oneven getallen zijn).

Natuurlijk is dat niet eerlijk in zijn werk gegaan. De redenering is door en door vals en zij zou ook nooit tot een goed eind gebracht hebben kunnen zijn, als dat eind niet reeds van te voren had vastgestaan.

90. Men kan op dit punt natuurlijk de vraag stellen, of de wetenschapsgeschiedenis niets beters te doen heeft dan de nagelaten kladpapieren van een groot man door te snuffelen om te zien, of hij soms in den loop van zijn onderzoekingen ook fouten gemaakt heeft. Maar die vraag is tendentieus gesteld: het gaat er niet in de eerste plaats om, of wat er op die papieren staat, goed of fout is, al zijn foutieve redeneringen in den regel wel het meest instructief. Overigens kan men haar slechts bevestigend beantwoorden: nagelaten kladpapieren zijn inderdaad de bronnen bij uitnemendheid die ons voor de reconstructie van de ontwikkeling van het wetenschappelijk denken ter beschikking staan, omdat zij juist datgene schenken wat, met een zeldzame uitzondering als die van Kepler (IV: 30), uit het voltooide werk niet meer is op te maken: inzicht in de wijze, waarop het logisch onberispelijk geordende stelsel van definities, axiomata en stellingen dat daarin wordt meegedeeld, eigenlijk gegroeid is.

En zo leert ons dan ook het kladpapier, waarop Galilei zich in de wonderlijkste logische bochten moet wringen om uit een onhoudbare praemisse een juist inzicht af te leiden, tal van belangrijke dingen. Onder meer al dit ene, in de wetenschapsgeschiedenis nog zo vaak veronachtzaamde beginsel, dat wanneer een stelling B (i.c. de quadratenwet) in feite een gevolgtrekking is uit een stelling A (i.c. de evenredigheid van instantane snelheid en verstreken tijd), men aan iemand die B blijkt te kennen, daarom nog niet de kennis van A en van het logische verband tussen A en B mag toeschrijven. Vervolgens kunnen we aan de hand van het fragment vaststellen, dat Galilei zich voor zijn afleiding heeft bediend van een graphische voorstelling, waarin de afgelegde weg als extensio en de instantane snelheid als latitudo fungeert. En ten slotte onttrekt het, mede

[pagina 376]

in verband met uitlatingen in brieven, iederen steun aan de in de Galilei-mythe hardnekkig in stand gehouden voorstelling, als zoude hij de quadratenwet op het spoor zijn gekomen door aan een vallend lichaam een aantal metingen van weg en tijd te verrichten en in de verkregen waarden de relatie op te merken, dat er een constante verhouding bestaat tussen de eerste grootheid en het quadraat van de tweede. Deze voorstelling is bovendien met alles wat we over de plaats van het experiment in Galilei's natuurwetenschappelijk denken weten, in volstrekten strijd.

91. Door het axioma van de evenredigheid tussen snelheid en weg in dier voege uit te breiden op valbeweging langs gladde hellende vlakken, dat daarin inplaats van den afgelegden weg de verticale afstand tot het uitgangspunt komt te staan, kan Galilei uit zijn onjuiste praemisse ook nog de juiste stelling afleiden, dat de eindsnelheid van een val over een hellend vlak alleen afhangt van het bedrag van de verticale daling van het bewegende punt, maar niet van den hellingshoek.

En vervolgens leidt hij nog de voor zijn later werk belangrijke stelling af, dat stoffelijke punten die, gelijktijdig losgelaten in punten van een verticaal geplaatsten cirkel (Fig. 30), langs koorden het laagste punt O van dien cirkel bereiken, daar gelijktijdig aankomen. Dit bewijs vereist echter een dynamische redenering. Galilei ontleent aan de Statica van Jordanus de stelling, dat het momentum gravitatis (d.w.z. de gewichtscomponent) op een hellend vlak zich tot het gewicht verhoudt als de hoogte tot de lengte (voor het vlak OB dus als BC: OB). Daar ∠ ABO recht is, geldt echter:

BC/OB = OB/OA.

De langs AO en BO werkende krachten verhouden zich dus als de af te leggen wegen en daar de krachten evenredig zijn met de snelheden zijn de benodigde tijden gelijk.

In dit bewijs wordt geen beroep meer gedaan op de evenredigheid van snelheid en afgelegden weg, maar op de grondwet der peripatetische dynamica: snelheid is namelijk nu als gemiddelde snelheid te verstaan.

92. Het is niet onmogelijk, dat de twee boven meegedeelde afleidingen

[pagina 377]

bij den lezer een zekere ontsteltenis zullen hebben teweeggebracht. In de eerste was het uitgangspunt onjuist, in de tweede een der toegepaste stellingen. Hoe is het mogelijk, dat de resultaten toch juist zijn?

Voor de eerste stelling luidt het antwoord hierop, dat de eindsnelheid bij val langs een hellend vlak in feite evenredig is met den wortel uit het bedrag der verticale daling inplaats van met dit bedrag zelf. Zij hangt dus inderdaad alleen van de verticale daling en niet van den hellingshoek af.

In het tweede geval is de situatie iets anders. Volgens de klassieke dynamica geldt voor een stoffelijk punt met massa m, waarop een kracht K werkt, de betrekking:

K = ma,

terwijl de na t sec. bereikte snelheid v(t) voor een beweging uit rust bepaald wordt door:

v(t) = at

en de gemiddelde snelheid v_m over dat tijdvak door:

v_m = ½ v(t).

Uit deze drie betrekkingen volgt:

K.t = 2.m. v_m     (1)

zodat dus voor bewegingen van eenzelfde stoffelijk punt onder invloed van verschillende krachten, die echter even lang duren, de gemiddelde snelheden zich verhouden als de krachten. Dat is nu echter juist wat de grondwet der peripatetische dynamica ook inhoudt. Daarom geeft deze juiste resultaten, zolang men bewegingen van eenzelfde stoffelijk punt beschouwt die even lang duren en dat was in de boven gegeven afleiding het geval.

Had Galilei zich echter de vraag gesteld naar de verhoudingen van de tijden, waarin punten, die, in M (Fig. 30) zonder beginsnelheid losgelaten, de stralen van den cirkel doorlopen, dan zou hij gevonden hebben, dat de tijden over MD en MO zich verhouden als MD₁ tot MO, als D₁ het snijpunt is van het verlengde MA met de horizontale rechte door O, terwijl in werkelijkheid de verhouding van deze lijnstukken gelijk is aan die van de quadraten der benodigde tijden.

93. Men ziet hieruit tevens, hoe verduisterend het voor de natuurwetenschap geweest is, dat men in de zeventiende (en ook nog in de achttiende) eeuw de relaties tussen physische grootheden steeds is blijven aangeven in den vorm van in woorden uitgedrukte en ten hoogste als gelijkheid van twee verhoudingen geschreven evenredigheden inplaats van ze als functies te schrijven. Dat wil zeggen: wanneer bij de waarden A₁, A₂.... van een veranderlijke grootheid A opv. de waarden B₁, B₂... en een

[pagina 378]

van A afhankelijke veranderlijke grootheid B behoren, die voldoen aan de betrekkingen:

A₁: A₂ = B₁: B₂ A₁: A₃ = B₁: B₃ enz.

zei men, dat A evenredig is met B, maar schreef niet:

A = c.B.

Het verschil wordt duidelijk, wanneer men de betrekking (1) beschouwt. Deze drukt uit, dat V_m voor een gegeven stoffelijk punt slechts zolang evenredig is met K, als t constant is, dus bij vergelijking van bewegingen van eenzelfde stoffelijk punt, die even lang duren. Zodra men echter gaat schrijven:

K₁: K₂ = (v_m)₁: (v_m)₂

staat de beperkende voorwaarde niet meer uitgedrukt en is de weg tot velerlei misvatting geopend.

94. Wij weten niet, wanneer Galilei tot een beter inzicht in de wijze van aangroeiing der snelheid gekomen is. In den Dialogo en in de Discorsi gaat hij echter uit van de onderstelling, dat zij evenredig is met den tijd en daar het gedeelte dezer werken dat over valbeweging handelt, berust op een afzonderlijke, in het Latijn gestelde verhandeling van een Academicus (die blijkbaar Galilei zelf als Paduaans hoogleraar is) kan men het aannemelijk achten, dat hij niet lang na den tijd waaruit het boven behandelde fragment afkomstig is, wel den juisten weg zal hebben gevonden. Hij motiveert het nieuwe uitgangspunt met een beroep op het eeuwenoude beginsel dat den natuuronderzoekers altijd als leidraad heeft gediend, namelijk dat de natuur alles zo eenvoudig mogelijk doet. Het beroep zou overtuigender werken, wanneer wij niet juist ervaren hadden, dat het moeilijk kan zijn, uit te maken, wat het eenvoudigste is: evenredigheid van snelheid en weg scheen aanvankelijk meer voor de hand te liggen.

Opnieuw voor de taak gesteld, de quadratenwet af te leiden, maakt Galilei opnieuw gebruik van de methode der graphische voorstelling, waarbij nu echter de tijd als extensio fungeert. Er ontstaat dus een graphiek van den vorm dien we Oresme voor de qualitas uniformiter difformis zagen gebruiken (II: 128).

Het valt echter op, dat zijn manier van redeneren van die van Oresme verschilt. Had deze (Fig. 31) de oppervlakten van den driehoek ABC en van den vierhoek ABGF op-

[pagina 379]

gevat als voorstellingen, van den afgelegden weg opv. in de eenparig veranderlijke beweging en in de eenparige beweging met de snelheid van het middelste ogenblik tot snelheid, om daarna uit de gelijkheid der oppervlakten den naar hem genoemden regel af te leiden, zo beschouwt Galilei niet de oppervlakten, maar de verzamelingen der ordinaten der beide figuren, die hij op schijnt te vatten als een soort totale snelheid, waarmee een weg doorlopen wordt. Daar nu echter twee ordinaten die symmetrisch liggen ten opzichte van het midden M van AB in beide figuren dezelfde som hebben (cc₁ + dd₁ = cc₂ + dd₂) noemt hij de snelheidsaggregaten gelijk en daar de tijden het ook zijn, moeten ook de wegen gelijk zijn. Uit den hiermee afgeleiden regel leidt hij hierna de quadratenwet af, waarbij hij opnieuw niet over oppervlakten spreekt, en vervolgens de wet der oneven getallen.

95. Het is duidelijk, dat wanneer Galilei zuiver kinematisch te werk wil blijven gaan, hij er niet in zal slagen, de boven gevonden valwetten uit te breiden tot val langs hellende vlakken. Om zich uit deze moeilijkheid te redden, postuleert hij, niet alleen dat ook hier de instantane valsnelheid evenredig is met den verstreken tijd, maar tevens, dat de boven afgeleide stelling over de gelijkheid der eindsnelheden bij val over een gegeven verticalen afstand geldig zal zijn.

Na het verschijnen van den eersten druk van de Discorsi heeft hij nog een dynamisch bewijs voor deze eigenschap gevonden, dat in de latere edities als Scholium bij Theorema II is ingelast en daar te midden van de zuiver kinematische beschouwingen van den Derden Dag nogal detoneert. Het is bovendien zeer duister gesteld: eenzelfde woord, impeto, fungeert er in twee geheel verschillende betekenissen in en het kost moeite, er een redelijken zin aan te verbinden. Voor zover dat gelukt, blijkt nu echter, dat het nog steeds berust op de grondwet der peripatetische dynamica, die we hem ook in 1604 zagen toepassen, maar dat deze weer gebruikt wordt ter vergelijking van bewegingen die even lang duren, dus voor een geval waarin zij hetzelfde resultaat geeft als in de klassieke dynamica verkregen zou zijn.

96. De mening, dat Galilei aan het eind van zijn leven nog steeds een evenredigheid tussen kracht en (gemiddelde) snelheid zou hebben aangenomen, is natuurlijk volkomen in strijd met de mythe, waarin hij als de grondlegger van de klassieke dynamica optreedt en waarin hij dus geacht wordt, de evenredigheid van kracht en versnelling te kennen, die deze karakteriseert. Het lijdt echter voor wie Galilei uit zijn eigen werken en niet uit mededelingen van anderen heeft leren kennen, geen twijfel, dat hij dat inzicht nooit bezeten heeft. Vooreerst al omdat zo hij werkelijk op dit kardinaalste aller verschilpunten tussen antieke en klassieke mechanica van de Aristotelische traditie zou zijn afgeweken, hij het toch wel eens ergens gezegd zou hebben en zich de prachtige daardoor geboden gelegenheid om nog eens weer tegen Aristoteles te polemiseren, onge-

[pagina 380]

twijfeld niet zou hebben laten ontgaan. Vervolgens omdat men niet zou weten, op welke plaats van zijn werk het nieuwe inzicht eigenlijk uitgesproken zou kunnen zijn. Zoals we al gezien hebben, zijn de dynamische redeneringen die hij in zijn jeugdjaren houdt, zuiver Aristotelisch. Daarna echter schakelt hij de dynamische behandelingswijze van de valbeweging bewust uit en plaatst zich geheel op kinematisch standpunt. En dan geeft hij aan het eind van zijn leven nog eenmaal een dynamisch bewijs, dat zich ongedwongen alleen in de zuiver peripatetische opvatting laat interpreteren. Waar is hier ruimte voor het inlassen van de gans anders gerichte dynamische beschouwingswijze die karakteristiek zou worden voor de klassieke physica? Men moet niet te veel verlangen. Het komt voor, dat men in eenzelfde werk Galilei eerst hoort prijzen om de wijze zelfbeperking tot het kinematische en daarna hoort verheerlijken, omdat hij door zijn leer van den val de klassieke dynamica zou hebben gegrondvest.

97. Dat we hierover zo uitvoerig spreken, komt waarlijk niet voort uit een kleinzielige behoefte om ook maar een tittel af te dingen op de onmiskenbare grootheid van een der geniaalste figuren die de wetenschapsgeschiedenis kent. Wij doen het alleen, omdat het contrast tussen de wijze waarop zich de ontwikkeling der physica werkelijk heeft afgespeeld en de voorstellingen die daarover in omloop zijn, nergens zulke groteske vormen aanneemt als in het geval van Galilei en omdat zich ook nergens zo duidelijk de principiële denkfout in het reconstrueren van den historischen gang van zaken openbaart die we boven (IV: 90) reeds aanwezen: omdat de zwaarte bij niet te grote verwijdering van het aardoppervlak als een constante kracht mag worden beschouwd en een constante kracht een constante versnelling in het leven roept, is de val een eenparig veranderlijke beweging. Galilei weet, dat de val een eenparig veranderlijke beweging is; dus moet hij geweten hebben... enz. Deze manier van redeneren is er niet minder gebruikelijk om, dat ze onjuist is; de ganse Galilei-mythe is er op gebouwd.

98. Iets soortgelijks doet zich voor bij een wijdverspreide mening over de positie van het experiment in zijn behandeling van de valwet. Men is het op een gegeven ogenblik didactisch wenselijk gaan achten, de quadratenwet als het ware te laten aflezen uit aan elkaar toegevoegde waarden van weg en tijd en ging het toen vanzelfsprekend vinden, dat Galilei ook zo te werk moest zijn gegaan. Deze voorstelling is echter niet alleen feitelijk onjuist, maar tevens in strijd met zijn methodische beginselen. Hij experimenteert niet om een natuurwet op het spoor te komen, maar om een relatie die hij door mathematische redenering uit min of meer evident lijkende onderstellingen heeft afgeleid, achteraf te verifiëren.

Zo beschrijft hij dan ook na afleiding van de quadratenwet, hoe hij deze door herhaalde proefneming met een flauw hellende valgoot steeds bevestigd heeft gevonden, terwijl hij na de opstelling van het postulaat

[pagina 381]

der gelijke eindsnelheden in val bewegingen langs verschillende vlakken over dezelfde hoogte bij wijze van verificatie een proef met een slinger beschrijft waarvan het koord bij het passeren van de verticaal tegen een pen stoot, zodat de slingerlengte verkort wordt; het blijkt dan, dat het slinger-lichaam toch weer dezelfde hoogte bereikt. De snelheid in het laagste punt is dus voldoende om het lichaam op verschillende cirkelvormige banen (die als aaneenschakelingen van hellende vlakken met verschillende hellingshoeken worden beschouwd) dezelfde hoogte te doen bereiken. Daardoor wordt het postulaat aannemelijk gemaakt.

99. De plaats die het experimenteren bij Galilei inneemt, is er in beginsel natuurlijk niet minder belangrijk om, dat het niet dient om een geheel nieuw verschijnsel op te sporen, maar om het resultaat van een theoretische redenering op de proef te stellen. Als dat wel zo was, zou de methodische betekenis van het experiment in de gehele klassieke en moderne natuurwetenschap aanzienlijk dalen, omdat het bijna steeds dient om meer of minder vast gefundeerde vermoedens te verifiëren of de beslissing tussen twee mogelijkheden te brengen. In de practijk van Galilei's werk blijft het echter bij zijn theoretische functie in zoverre wel eens achter, dat het als enigszins overbodig wordt gevoeld, wanneer de voorafgaande redenering zeer overtuigend lijkt en dat het dan òf een zuiver gedachten-experiment blijft òf wel wordt beschreven, maar niet uitgevoerd. ‘Ik heb er een proef over gedaan, maar daarvóór had de natuurlijke rede (il natural discorso) mij heel vast overtuigd, dat het verschijnsel zou moeten verlopen zoals het ook inderdaad verliep’Ga naar eind12. En in den Dialogo doet zich de slechts bij oppervlakkige kennis van Aristoteles en Galilei verrassende, situatie voor, dat de peripateticus Simplicio er erg op aandringt, een bewering van Salviati op de proef te stellen en dat de laatste, Platonicus als hij is, dit als volkomen overbodig afwijst; hij weet ook zo wel, hoe het gaan zalGa naar eind13.

100. Wij hebben Galilei de fundamenten zien leggen voor zijn kinematische theorie van de valbeweging in de verticaal of op hellende vlakken, maar moeten ons thans het genoegen ontzeggen, hem bij den verderen opbouw op den voet te volgen. Deden we het, dan zouden we het schitterende mathematische vernuft kunnen bewonderen, dat den Derden en den Vierden Dag van de Discorsi tot een der grote meesterwerken van de zeventiende eeuw stempelt, te indrukwekkender omdat hier een terrein betreden werd, waarop in de Oudheid - tot dusver nog steeds ongeevenaard voorbeeld - niets gedaan was en waarbij dus alles van den grond af moest worden opgebouwd. Echter zouden we geen gezichtspunten geopend zien die voor de verdere ontwikkeling der natuurwetenschap van principieel belang zijn. Wanneer de theoretische mechanica eenmaal aan de beschouwing van de natuurlijke verschijnselen van rust en beweging haar axiomata ontleend heeft - we hebben reeds gezien, en zullen nog verder zien, dat dit een moeizaam verlopend proces is - verruilt ze het

[pagina 382]

kamp der physica voor dat der mathesis. Door uitschakeling van alle storende invloeden vergaand idealiserend en door vereenvoudiging van de situatie (b.v. door alle verticalen parallel te denken en lichamen als stoffelijke punten te beschouwen) even sterk schematiserend, groeit ze uit tot een autonome wetenschap, die ver van de physische realiteit afstaat. Dat sluit niet uit, dat zij aan de physica van haar eigen begripsvorming uit nog belangrijke diensten kan bewijzen, maar wel in, dat zij ook de neiging vertoont, zich in zuiver mathematische vraagstukken te verdiepen, die alle contact met de ervaarbare wereld verloren hebben. Zo was het in de zeventiende eeuw en zo is het nu nog.

101. Twee opmerkingen over het op den Derden Dag behandelde mogen hier echter een plaats vinden. Galilei slaagt er thans in, de boven reeds vermelde koordenwet zuiver kinematisch te bewijzen en gaat daarna over tot vergelijking van de valtijden langs een in een cirkelboog van 90° beschreven regelmatig gebroken lijnstuk AC... B




(Fig. 32). Hij kan nu aantonen, dat de valtijd van A naar B des te kleiner wordt, naarmate het aantal stukken van dit gebroken lijnstuk toeneemt. Bij de formulering van de propositie had hij echter gezegd, dat de snelste beweging van A naar B plaats vindt langs den cirkelboog AC en die conclusie wordt natuurlijk door het verkregen resultaat niet gerechtvaardigd. Echter was hiermee de aandacht der wiskundigen gevestigd op het probleem van de lijn van kortsten valtijd (brachistochrone) tussen twee gegeven punten, dat later door Johannes Bernoulli zou worden opgelost. 102. De tweede opmerking heeft betrekking op een propositie waarin Galilei aantoont of liever aannemelijk maakt, dat wanneer een stoffelijk punt, na over een hellend vlak van A tot B gevallen te zijn




(Fig. 33), met de verkregen snelheid als beginsnelheid langs een ander hellend vlak omhooggaat, het daarop juist een punt C zal bereiken, dat even hoog ligt als A. De Galilei-

[pagina 383]

mythe beweert nu in aansluiting aan E. MachGa naar eind14 met grote vasthoudendheid, dat Galilei zich nu het vlak BC draaibaar om B heeft gedacht en het heeft laten naderen tot het horizontale vlak BD. Steeds moet het stoffelijk punt zich dan zolang bewegen, tot het weer de hoogte van A bereikt heeft en aangezien dat op het horizontale vlak nooit gebeurt, zal het zich hierop met de door den val van A naar B verkregen snelheid zonder ooit op te houden eenparig voortbewegen. Op deze wijze zou Galilei de traagheidswet hebben afgeleid. Van deze redenering is echter in den tekst geen spoor aan te treffen en we zullen dadelijk zien, dat Galilei haar ook nooit zou hebben kunnen houden.

Nu wordt echter als argument in het bewijs, dat het uiterste punt C van de baan even hoog ligt als het beginpunt A gebruik gemaakt van de stelling, ‘dat de snelheidsgraad, die in een zich bewegend lichaam wordt aangetroffen, daarin door haar natuur onvernietigbaar is ingeprent, wanneer uitwendige oorzaken van versnelling of vertraging worden weggenomen, hetgeen alleen op een horizontaal vlak het geval is... waaruit eveneens volgt, dat de beweging op een horizontaal vlak ook eeuwig is’Ga naar eind15. Hier schijnt de traagheidswet weliswaar niet bewezen te worden (wat ook helemaal niet kan), maar toch in zo ondubbelzinnige klaarheid uitgesproken, dat er geen twijfel aan mogelijk schijnt, of men haar wel terecht het Galileïsch traagheidsbeginsel noemt.

103. Dat wij hier dien twijfel niettemin gaan uitspreken en motiveren, kan bij oppervlakkige beschouwing wellicht een voor het doel van dit boek overbodige uitweiding lijken, zoals de gehele veelbesproken kwestie, of Galilei zelf het volledige traagheidsinzicht heeft bezeten of het alleen zo ver heeft voorbereid, dat het zijn opvolgers weinig moeite meer kostte om het te verwerven, meer een twistpunt voor Galilei-kenners schijnt te zijn dan een aangelegenheid die voor de grote lijn der wetenschapsgeschiedenis belang zou hebben. Maar het ene is al even onjuist als het andere. De verandering in de opvatting van traagheid vormt mèt de wijziging in de beantwoording van de vraag, welke de uitwerking is van een constante kracht die op een stoffelijk punt werkt, wellicht het allerbelangrijkste element in den overgang van antiek-middeleeuwse naar klassieke natuurwetenschap, die het thema van dit boek vormt en de traagheidswet betekent voor het nieuwe wereldbeeld geen detailpunt, maar een fundament dat aan de meest essentiële delen van het stelsel ten grondslag ligt.

Dat die verandering voor het allergrootste deel door Galilei tot stand is gebracht, staat buiten discussie; dat men geen beter inzicht in de ontwikkeling ervan kan verkrijgen dan door zijn werken te bestuderen, eveneens; maar dan moet het ook duidelijk zijn, dat beperkingen, onzekerheden, inconsequenties die men in zijn redeneringen kan vaststellen, een grote symptomatische betekenis krijgen voor de moeilijkheden die bij het verwerven van het volledige traagheidsinzicht overwonnen moesten worden.

[pagina 384]

104. Wij vermelden eerst de formulering van de traagheidswet, zoals ze, aan het eind van de ontwikkeling die ons bezig houdt, door Newton zal worden gegeven:

Ieder lichaam volhardt in den toestand van rust of rechtlijnige eenparige beweging, behalve voorzover het door uitwendige krachten gedwongen wordt, dien toestand te wijzigen.

Deze formulering voldoet natuurlijk allerminst aan hedendaagse eisen van exactheid; de term eenparige beweging, voor een lichaam gebruikt, is niet voldoende bepaald; men zou willen weten, hoe een kracht gedefinieerd is en ten opzichte van welke coördinatenstelsels de beweging rechtlijnig en eenparig is. Een laat-zeventiende-eeuws physicus kan de bewering echter volkomen begrijpelijk hebben gevonden. Wanneer hij alle stoffelijke lichamen uit de ruimte wegdacht, hield hij een oneindig groot leeg reservoir over; wanneer nu God in die ruimte eens een enkel stoffelijk punt bracht, er een stoot aan gaf en het nu verder aan zijn lot overliet, zou dit ten eeuwigen dage rechtlijnig door die lege ruimte voortgaan, d.w.z. voortdurend met andere op één rechte gelegen punten daarvan samenvallen. De mededeling, dat een twintigste-eeuwse vakgenoot wellicht de meerderheid der gebruikte termen zinledig zou noemen, zou hem weinig gedeerd hebben, omdat hij er wel een zin aan hechtte.

105. Dit zal dus het eindpunt van de ontwikkeling zijn; bij Galilei staan we aan het begin. In hoeverre kan men de geschetste voorstelling bij hem reeds aanwezig achten?

Is één essentieel opzicht zeker al niet. Galilei, hoe revolutionnair gezind hij ten aanzien van talrijke overgeleverde denkbeelden ook geweest moge zijn, is altijd blijven vasthouden aan het antieke kosmos-begrip, dat eindigheid van de wereld impliceert. Met Copernicus en Kepler ziet hij het heelal nog steeds zoals Plato, Aristoteles en de middeleeuwers het hadden gezien: als een bol met een eindigen straal. Zij dachten dien straal veel groter dan hun voorgangers hadden gedaan en in of bij het middelpunt stond niet langer de aarde, maar de zon; maar daar de afmetingen van de aardbaan wegens het ontbreken van een jaarlijkse parallax van de vaste sterren toch verwaarloosd moesten worden ten opzichte van den straal der sterrenspheer had de overgang van het geocentrische op het heliocentrische standpunt voor de visie op het geheel niet veel te betekenen. In dit eindige heelal was echter de gedachte aan een eeuwigdurende rechtlijnige beweging uitgesloten en reeds hierom zou Galilei de traagheids-opvatting der klassieke physica niet hebben kunnen aanvaarden.

Hij spreekt dit door Salviati's mond op den Eersten Dag van den Dialogo ondubbelzinnig uitGa naar eind16. Juist heeft deze gezegd, dat hij in een opzicht volkomen met Aristoteles instemt:

dat namelijk de wereld een lichaam is, voorzien van alle dimensies en daardoor allervolmaaktst; en ik voeg er aan toe, dat zij als zodanig allergeordendst

[pagina 385]

moet zijn, d.w.z. moet bestaan uit delen die in de hoogste en volmaaktste orde geschikt zijn...

en gaat dan voort:

Na vaststelling van een dergelijk beginsel kan men onmiddellijk besluiten, dat waar de grote wereldlichamen van nature beweeglijk moeten zijn, hun bewegingen onmogelijk rechtlijnig of anders dan cirkelvormig kunnen zijn; de reden is heel eenvoudig en duidelijk: immers wat zich rechtlijnig beweegt, verandert van plaats en wanneer het voortgaat, zich te bewegen, verwijdert het zich hoe langer hoe verder van het uitgangspunt en van alle plaatsen die het achtereenvolgens passeert. En indien het zulk een beweging van nature bezat, zou het van den aanvang af niet op zijn natuurlijke plaats zijn en dus zouden de delen der wereld niet in volmaakte orde geschikt zijn. Daar bovendien de rechtlijnige beweging naar haar natuur oneindig is... kan geen beweeglijk lichaam van nature het principe bezitten, zich rechtlijnig daarheen te bewegen, waar het onmogelijk komen kan.

Een eeuwigdurende rechtlijnige beweging, zoals de Atomisten die altijd zo gemakkelijk hadden aangenomen, behoort voor Galilei dus helemaal niet tot de natuurlijke mogelijkheden. De eeuwigdurende cirkelbeweging der hemellichamen beheerst zijn wereldbeeld nog even sterk als het dat der Grieken gedaan had; cirkelbeweging is de natuurlijke beweging bij uitnemendheid en wanneer er sprake mocht zijn van een tendentie tot volharding in een bewegingstoestand, dan komt daarvoor in de eerste plaats een cirkelvormige beweging in aanmerking.

106. Dit geldt volstrekt niet alleen voor de hemellichamen. Op den Tweeden Dag van den DialogoGa naar eind17 wordt gesproken over het gedrag van een volkomen harden en gladden bol, die op een volkomen hard en glad vlak wordt neergelegd, terwijl de luchtweerstand en andere uitwendige belemmeringen worden weggedacht. Wat zal de bol doen? Men wordt het er spoedig over eens, dat zij in beweging zal komen, wanneer het vlak helt en in rust zal blijven, wanneer het horizontaal is. Daarna onderstelt Salviati, dat er in het laatste geval een impetus aan zou worden gegeven en hij laat Simplicio toegeven, dat, aangezien er geen oorzaken van versnelling of vertraging zijn zoals op gladde hellende vlakken, de meegedeelde snelheid niet kan veranderen en het punt dus ten eeuwigen dage in beweging zal moeten blijven. Waaruit bestaat nu echter de oorzaak van versnelling of vertraging op een hellend vlak? Uit de verandering van den afstand tot het centrum waar alle zware lichamen naar toe streven. Op een vlak waarop de snelheid niet verandert, mag dus ook die afstand niet veranderen. Zulk een vlak is een boloppervlak om het aardcentrum als middelpunt.

Het aardoppervlak zou er een voorbeeld van zijn, wanneer het van al zijn oneffenheden bevrijd zou kunnen worden; een rustend wateroppervlak benadert het nog beter. Op dergelijke boloppervlakken zou dus een lichaam dat eenmaal in beweging was gebracht, bij afwezigheid van

[pagina 386]

storingen met onveranderde snelheid in beweging blijven. Op een glad plat vlak echter dat aan het aardoppervlak raakt, zou de snelheid noodzakelijk afnemen; immers als het lichaam zich van het raakpunt af beweegt, neemt de afstand tot het aardcentrum toe. Men ziet, dat ten aanzien van Galilei's terminologie voorzichtigheid geboden is: een horizontaal vlak is een boloppervlak om het aardcentrum als middelpunt en een raakvlak aan zulk een vlak is een hellend vlak. Maar het is tevens duidelijk, hoe gemakkelijk het zijn opvolgers moest vallen om in zijn uitlatingen over een tendentie tot volharden in een eenmaal verworven bewegingstoestand slechts aan rechtlijnige bewegingen te denken.

107. Galilei's opvatting van traagheid als een streven naar volharding in cirkelvormige beweging hangt ten nauwste samen met zijn Copernicaanse overtuiging. Evenals Copernicus zelf moest hij het argument tegen de aswenteling der aarde weerleggen dat er zich op beriep, dat aan zware lichamen van nature wel de verticale valbeweging naar het centrum eigen is, maar niet een cirkelvormige beweging om de aardas. En met Copernicus stelt hij daartegenover, dat de laatste beweging even natuurlijk is als de eerste, dat aan de delen der aarde door de natuur niet alleen een streven is ingeplant om naar het centrum toe te vallen, maar ook om in 24 uur Oostwaarts om haar as te draaien. Laat men op enigen afstand boven de aarde een steen los, dan volgt deze de beide tendenties. Van een punt van het aardoppervlak uit, dat zelf immers aan de wenteling deelneemt, merken we echter van de ontstane cirkelbeweging niets en het lijkt dus, of de steen alleen verticaal omlaag valt.

108. De gehele beschouwing vormt een merkwaardige illustratie van de wonderlijke wijze, waarop in Galilei's denken oude en nieuwe voorstellingen met elkander vermengd zijn. Hoewel hij al jong heftig polemiseert tegen de Aristotelische onderscheiding van natuurlijke en gedwongen bewegingen, blijft hij zelf tot aan het eind van zijn leven ook zulk een onderscheiding maken en hij wijkt alleen in zoverre van den Stagiriet af, dat hij aan eenzelfde lichaam twee verschillende natuurlijke bewegingen toekent. Maar door dat laatste te doen, spreekt hij tevens het belangrijke beginsel der klassieke mechanica uit, dat een stoffelijk punt deel kan nemen aan verschillende bewegingen, zonder dat deze elkaar storen, en door de wijze, waarop hij het vallen van den steen op de draaiende aarde behandelt, maakt hij duidelijk, dat de baan die een bewegend punt doorloopt, afhankelijk is van de omgeving, ten opzichte waarvan men de beweging beschouwt.

109. Natuurlijk ligt de vraag voor de hand, hoe de baan van een vallend stoffelijk punt zich voor zou doen aan een waarnemer buiten de aarde, die het gecombineerde effect van de beide bewegingstendenties zou kunnen waarnemen. Laat hiertoe in fig. 34 de cirkel door A den aardaequator voorstellen en AB een toren, uit den top waarvan men een lichaam laat vallen. Door een uiteraard weinig overtuigende redenering komt Galilei in

[pagina 387]

den DialogoGa naar eind18 tot de verrassende gevolgtrekking, dat de resulterende baan een cirkel is met middellijn BM, waarlangs het punt dus, indien de aarde het doorliet, het middelpunt M zou bereiken. Van de aarde uit gezien is het vallend punt achtereenvolgens in a₁, b₁, c₁, enz., waarbij het Galilei schijnt te ontgaan, dat dit toch niet kan kloppen met de valwet. Hij vindt in zijn uitkomst nog eens aanleiding, de suprematie van de cirkelvormige beweging boven alle andere te betogen: de natuur doet alles langs cirkels. Dit strookt echter weer helemaal niet met den spot, dien Galilei zich elders veroorlooft over het rangverschil tussen figuren, dat de peripatetische philosophie placht te makenGa naar eind19.

Er zijn inderdaad, zoals we reeds opmerkten (IV: 77), verscheidene Galilei's en de lectuur van den Dialogo wordt er speciaal door bemoeilijkt, dat ze daar soms door elkaar heen praten. Een ding zal echter wel duidelijk zijn geworden: van het traag-heidsinzicht dat in de eerste wet van Newton geformuleerd is, is in de beschouwingen die we tot dusver hebben leren kennen, geen sprake.

110. De lectuur van de Discorsi schijnt echter tot een gans andere conclusie te voeren. In de boven besproken propositie wordt uitdrukkelijk over het voortduren van een eenparige rechtlijnige beweging op een plat vlak gesproken en op den Vierden Dag wordt het bewijs, dat de kogelbaan den vorm van een parabool heeft, geleverd door de horizontale rechtlijnige beweging, die het projectiel op een plat horizontaal vlak zou hebben, samen te stellen met de verticaal omlaag gerichte, die door de zwaarte teweeg wordt gebracht.

Wanneer echter Simplicio er Salviati even later aan herinnert, dat een horizontaal vlak toch een boloppervlak om het aardcentrum als middelpunt is en dus niet plat, geeft deze toe, dat dat natuurlijk zo is, maar dat hij het bij benadering als een plat vlak beschouwt, omdat over de betrekkelijk kleine afstanden, waarom het bij het voortschieten van kogels gaat, het verschil toch niet van belang is. Dat is ongetwijfeld waar. Maar

[pagina 388]

van een eeuwig voortdurende horizontale rechtlijnige beweging mag dan niet meer gesproken worden; deze zou pas bestaan als over willekeurig grote afstanden de zwaarte constant in richting bleef, maar dan zou de aarde zich tot in het oneindige moeten uitstrekken, wat in strijd zou zijn met het ganse wereldbeeld. De situatie is nu dus deze geworden: volgens de eigenlijke traagheidswet van Galilei volhardt een stoffelijk punt, dat aan uitwendige invloeden onttrokken is (men merke op, dat de zwaarte daar niet toe hoort) in een cirkelvormige beweging om het aardcentrum als middelpunt. Over kleine afstanden wordt deze beweging als een rechtlijnige beschouwd; hierna wordt de beperking tot kleine afstanden vergeten en wordt gezegd, dat het punt op een horizontaal plat vlak zijn rechtlijnige beweging onbeperkt zou voortzetten, wanneer er geen uitwendige storingen optraden. Zo groeit uit wat men de circulaire traagheidsopvatting van Galilei zou kunnen noemen geleidelijk het inzicht, dat in de eerste wet van Newton zijn formulering zou vinden.

111. Alle onzekerheden die er in Galilei's traagheidsbegrip overblijven mogen nooit doen vergeten, dat er niemand is geweest, die zo zeer als hij het inzicht in de tendentie van een bewegend lichaam om in zijn beweging te volharden, heeft opgewekt en bevorderd. Door de uitvoerige en duidelijke uiteenzettingen die hij vooral in den Dialogo aan inertieverschijnselen wijdt, heeft hij eigenlijk pas het intuïtief begrijpen van zulke verschijnselen tot ontwikkeling gebracht. Hij schenkt zijn lezers een soort inertiaalgevoel, dat de Ouden nooit bezeten hadden en dat ook Kepler nog geheel mist.

Voordat we hier iets meer over zeggen, moge nog worden opgemerkt, dat het, wanneer men over traagheid spreekt, bijna niet mogelijk is, zich te onthouden van termen die den indruk weideen, alsof in een bewegend lichaam een soort inwendige motor huist, die het voortdrijft. Men kan theoretisch wel de opvatting huldigen, dat rechtlijnige eenparige beweging (die rust heet, als de snelheid nul is) als het ware de natuurlijke toestand van een stoffelijk punt is en dat men dus alleen naar een oorzaak behoeft te vragen, wanneer er in de richting of de grootte van de snelheid iets verandert, maar er zit in iedereen nog wel zoveel van den ouden Aristotelischen Adam, dat hij in zijn hart toch altijd nog het axioma: ‘alles wat in beweging verkeert, wordt door iets anders bewogen’ huldigt en dus onwillekeurig blijft vragen, hoe het komt, dat de beweging niet plotseling ophoudt, wanneer de uitwendige motor zijn werk staakt. Waarom valt iemand, die zonder meer van een rijdende tram afstapt en waarom staat een fietser niet dadelijk stil, als hij ophoudt met trappen? Omdat hij in beide gevallen vaart had. En die vaart wordt nu als een soort kracht gedacht, die niets anders is dan de Vis Inertiae of traagheidskracht, die bij Newton als oorzaak wordt genoemd, dat een aan uitwendige invloeden onttrokken lichaam rechtlijnig eenparig voort blijft gaan en ook niets anders dan de Impetus van de Parijse Terministen. Zo vallen wij, over traagheidsverschijnselen sprekend, onwillekeurig terug in de uitdrukkings-

[pagina 389]

wijze en daardoor ook min of meer in de denkwijze van de veertiende-eeuwse scholastici. En bij Galilei kan men van een terugvallen eigenlijk helemaal niet spreken, omdat zijn dynamisch denken altijd in de spheer van de impetustheorie is blijven verlopen.

112. Dat traagheidsverschijnselen zulk een overheersende plaats in sommige van Galilei's werken innemen, hangt samen met de betekenis die zij in den strijd om de leer van Copernicus bezaten. Alle van ouds bekende of in de zestiende eeuw nieuw aangevoerde argumenten tegen een aard-beweging berusten immers op gemis aan traagheidsinzicht: wolken en vogels moeten altijd Westwaarts schijnen te gaan; een steen, die van den top van een toren valt, Westelijk van den voet op den grond komen, juist zoals een voorwerp, dat men op een varend schip uit den masttop laat vallen, zo ver van den voet af op het dek neerkomt, als het schip tijdens den val zich verplaatst heeft. Een verticaal omhoog geschoten kogel komt ook Westelijk van het uitgangspunt terug. Met een kanon kan men verder naar het Westen schieten (de aarde tegemoet) dan naar het Oosten. Galilei kan zijn polemische en didactische hart ophalen aan een weerlegging van al deze argumenten. Hij doet het op den Tweeden Dag van den Dialogo met grote uitvoerigheid en vindt daarbij gelegenheid, in het voorbijgaan nog enkele andere fundamentele beginselen der nieuwere mechanica uiteen te zetten.

113. Het is zeer opmerkelijk, dat Salviati aanvankelijkGa naar eind20 de analogie tussen het vallen van een steen uit een torentop op de bewegende aarde en uit den masttop op een varend schip volstrekt ontkent en wel op grond van het onderscheid tussen het natuurlijke van de aswenteling der aarde en het gedwongenevande beweging van het schip. De steen die van den toren valt, bezit de natuurlijke tendentie mee te wentelen om de aardas en wijkt daardoor tijdens den val niet van den toren af. Zodra echter de steen op het schip los is gelaten, volgt hij alleen nog maar zijn natuurlijke tendentie en komt dus niet aan den voet van den mast neer. Een andere Salviati betoogt even later echter, dat hij dit wel doet: de beweging van het schip heeft aan den steen ook nog een tendentie ingeprent, in de cirkelvormige beweging van den masttop te blijven volharden en nu blijkt er toch wel analogie te bestaan met den val op de draaiende aarde.

114. Het is op deze plaatsGa naar eind21, dat wij boven (IV: 99) zinspeelden bij de behandeling van de betekenis die Galilei aan het experiment toekent. Salviati maakt er Simplicio eerst een ernstig verwijt van, dat hij de bewering, dat de steen niet aan den voet van den mast zal neerkomen, napraat zonder het ooit te hebben waargenomen, maar wanneer er dan gevraagd wordt, of hij zelf experimenteel heeft gecontroleerd, dat dit wel het geval is, antwoordt hij, dat dat helemaal niet nodig is, want dat hij wel kan beredeneren, wat er gebeuren zal. Dat kon Simplicio echter ook. Voor hen die in de mythe van den vóór alles experimenteel ingestelden Galilei geloven, is dit een enigszins pijnlijke plaats. Het is waar, dat hij in een

[pagina 390]

brief aan IngoliGa naar eind22 zegt, dat hij wel valproeven op varende schepen gedaan heeft, maar hij deelt geen bijzonderheden mee en doet er in geen enkel werk verslag van. Het zou tot 1640 moeten duren, voordat het controlerende experiment door Gassend werkelijk werd uitgevoerd.

115. Een van de algemene beginselen der mechanica die Galilei bij deze gelegenheid uiteenzet, is het boven reeds vermelde principe van de superpositie van bewegingen. Volgens de peripatetische physica is er altijd strijd tussen de verschillende bewegingsimpulsen. We zagen reeds (III: 50, 58) dat men in de zestiende eeuw algemeen aannam, dat in de beweging van een voortgeschoten projectiel de eerste phase rechtlijnig is, omdat dan de impetus de zwaarte overheerst en dus ook geheel uitschakelt en de derde eveneens, omdat dan de impetus geheel verdwenen is, terwijl de tweede het product is niet zozeer van hun samenwerking als wel van hun conflict. Galilei laat daartegen zien, dat de verschillende bewegingen onafhankelijk van elkaar verlopen en dat wat we zien hun resultante, de vrucht van hun samenwerking, is. Het was een inzicht dat de astronomen natuurlijk altijd wel bezeten hadden, maar ook in de zeventiende eeuw was de afstand tussen aardse en hemelse verschijnselen nog wel zo groot, dat men niet al te gemakkelijk op de ene groep toepaste, wat voor de andere geldig was bevonden. Sagredo trekt uit het superpositie- of onafhankelijk-heidsprincipe nog de conclusie, dat wanneer men van den top van een toren af een projectiel horizontaal voortschiet en er tegelijkertijd een naar beneden laat vallen, zij gelijktijdig den grond zullen bereiken. Deze bewering is later door de Accademia del Cimento (IV: 193) experimenteel gecontroleerd.

116. Het gaat hier om verschijnselen die tegenwoordig in dien zin van het woord elementair zijn, dat zij stof vormen voor onderwijs in de beginselen der mechanica; wat niet weg neemt, dat ze voor beginnelingen altijd weer paradoxaal en moeilijk blijken; voor Galilei's tijdgenoten waren ze dat in niet mindere mate en hij vindt het dan ook nodig, ze in telkens nieuwe varianten uit te leggen. Zo stelt hij zichGa naar eind23 een rijdenden wagen voor, waaraan aan den buitenkant een hellend vlak bevestigd is, waar men een kogel af kan laten rollen. Helt het vlak in de richting van de beweging van den wagen, dan zal de kogel, den grond bereikend, voor den wagen uitrollen; helt het den anderen kant uit, dan zal het kunnen gebeuren, dat hij op den grond stil blijft liggen of zelfs terugrolt. Al dergelijke proeven worden als mogelijkheden beschreven, maar ze zijn blijkbaar nooit uitgevoerd.

117. Door herhaalde beschouwingen over het verschil in de banen die eenzelfde bewegend punt voor verschillende waarnemers beschrijft, draagt Galilei ook sterk bij tot de ontwikkeling van het inzicht in het relatieve karakter van het bewegingsbegrip. Dat sluit echter de overtuiging dat er een absolute beweging bestaat, geenszins uit. Galilei gebruikt deze termen weliswaar niet, hij zegt ook niet telkens, ten opzichte van welke

[pagina 391]

omgeving hij een beweging beschouwt. Wanneer men zich echter van al deze termen wel bedient voor het weergeven van zijn denkbeelden, kan men zeggen, dat hij een beweging ten opzichte van een assenstelsel, waarvan de oorsprong in de zon ligt en de assen naar drie vaste sterren wijzen, als de ware beweging beschouwt en dat hij in dien zin de aardbeweging voor werkelijk houdt.

Een belangrijk element in zijn verdediging van de physische realiteit van deze beweging vormt het beginsel, dat bewegingsverschijnselen die een stelsel lichamen ten opzichte van elkaar vertonen, niet veranderen, wanneer men het gehele stelsel aan een gemeenschappelijke beweging onderwerpt. Het is duidelijk, welk een essentiële betekenis voor het bereiken van zijn doel aan dit beginsel toekomt. Van de aardbeweging die hij aannam, was in zijn tijd door waarnemingen op aarde niets te bespeuren. Hij kon zich dus niet beroepen op positieve physische argumenten waaruit haar bestaan zou kunnen blijken, maar moest zich beperken tot een weerlegging van de physische bezwaren die er tegen werden aangevoerd, en wel in de allereerste plaats tegen de voor de hand liggende tegenwerping, dat wij, als de aarde werkelijk draaide, daarvan op een of andere manier wel iets zouden moeten merken. Daartoe poneert hij de algemene stelling, dat een beweging die aan alle lichamen van een zeker stelsel gemeenschappelijk is, op het onderlinge gedrag dier lichamen zonder enigen invloed blijft en dus door waarnemingen in dit stelsel nooit zal kunnen worden aangetoond.

118. Wanneer men datgene Galileïsch noemt, wat aan Galilei eigen is en er niet een etiket van maakt om er stellingen uit de klassieke physica mee aan te duiden, moet men deze bewering het Galileïsch relativiteits-principe noemen. In werkelijkheid gebruikt men dezen term voor een veel beperkter beginsel, waarin gezegd wordt, dat de bedoelde bewegingsverschijnselen zich op dezelfde wijze blijven afspelen, wanneer het stelsel als geheel een eenparige rechtlijnige translatie verkrijgt.

Het ruimere, echt-Galileïsche principe is onjuist, het beperktere, dat men Galileïsch noemt, juist. De bewegingsverschijnselen in een kamer zullen niet veranderen, als men haar in eenparige rechtlijnige translatie brengt, maar wel degelijk, wanneer die translatie versneld of kromlijnig is of als men de kamer om een as laat wentelen. Het is echter wel duidelijk, dat Galilei zich met het beperkte relativiteitsprincipe nooit tevreden zou hebben kunnen stellen: het was er hem immers om te doen, de onwaarneembaarheid van een gemeenschappelijke rotatie aan te tonen. Er doet zich nu echter iets soortgelijks voor als bij het traagheidsbeginsel: de toepassingen die hij van het relativiteitsprincipe maakt, hebben voor het allergrootste deel betrekking op kortstondige bewegingen over kleinen afstand en in dat geval kan men de beweging van het gedeelte van het aardoppervlak waarop zij zich afspelen, bij benadering wel als een eenparige rechtlijnige translatie beschouwen. Daardoor werken zijn beschouwingen op

[pagina 392]

het stuk van relativiteit ondanks de onjuistheid van den theoretischen grondslag practisch even verhelderend als zij dat op het gebied van de traagheidsverschijnselen hadden gedaan.

119. Hij weerlegt er o.m. het door Tycho aangevoerde argument van het verschil in schootsverheid in Westelijke en Oostelijke richting mee en licht zijn redenering toe door te onderstellen, dat van een rijdenden wagen af met een stuk geschut eerst in de bewegingsrichting zou worden geschoten en daarna er tegen in. In beide gevallen zal het projectiel bij het neerkomen op den grond even ver verwijderd zijn van het punt, waar de wagen op datzelfde ogenblik is.

We kunnen aan dit geval het onderscheid tussen de Aristotelische en de klassieke mechanica bijzonder duidelijk laten zien en plaatsen daartoe de beide redeneringen naast elkaar. In de figuren 35a en b, geeft P het








punt aan, waar de wagen zich bevindt op het ogenblik, waarop de twee projectielen worden afgevuurd, P₁ het punt, waar hij bij het neerkomen van die projectielen is. De wagen beweegt zich met een snelheid v naar links; de projectielen krijgen een snelheid V; de tijd tussen afschieten en neerkomen bedraagt t. De projectielen treffen den grond opv. in A₁ en A₂. Dan geldt:

VOLGENS DE ARISTOTELISCHE MECHANICA

VOLGENS DE KLASSIEKE MECHANICA

Als de projectielen den wagen verlaten hebben, gaan ze elk met de hun meegedeelde snelheid V voort en leggen in een tijd t de wegen PA1 en PA2 af, die elk b = Vt bedragen. De wagen verplaatst zich intussen over PP1 = a = vt. Bij het neerkomen zijn dus de afstanden tot den wagen: voor het projectiel in de bewegingsrichting: P1A1 = b - a = (V - v) t voor het andere: P1A2 = b + a = (V + v) t. Op een draaiende aarde zou men rekening moeten houden met de

Het kanon schiet twee projectielen af. De gemeenschappelijke beweging van de projectielen en het kanon stoort het verschijnsel niet. In een tijd t leggen ze dus beide ten opzichte van het kanon den weg b = Vt af en bij het neerkomen zijn de afstanden P1A1 = P1A2 = Vt. Dat de proef op een draaiende aarde gedaan wordt, doet niet ter zake; het gehele stelsel krijgt er daardoor nog een gemeenschappelijke beweging bij, maar daarvan is niets te merken.

[pagina 393]

verplaatsing die de aarde tijdens het schieten ondergaat. Bedraagt deze ct, dan zullen de trefpunten A1 en A2 over een afstand ct Westwaarts verschoven moeten worden. Het zou dus kunnen gebeuren, dat A2 Westelijk van P1 ligt, dus dat een Oostwaarts afgeschoten projectiel Westelijk van het uitgangspunt neerkomt. Dit illustreert nog eens duidelijk, hoe onhoudbaar het denkbeeld van een aardbeweging is.

Er wordt opnieuw door geen van beide partijen aan gedacht, hetzij deze proef, hetzij die met het kanon op de draaiende aarde werkelijk te nemen.

120. Legt in gevallen als deze de te ruime formulering van het relativiteitsprincipe geen gewicht in de schaal, in andere verleidt het Galilei tot foutieve beweringen. Hij moet zich verwerenGa naar eind24 tegen het argument, dat een draaiende aarde de voorwerpen aan haar oppervlak weg zou moeten slingeren, zoals een wentelend wiel het waterdruppels op haar rand doet: gebouwen zouden vernield worden, stenen, dieren en mensen hemelwaarts geslingerd. Salviati drijft eerst den spot met deze redenering, waarin het wordt voorgesteld, als of een aarde, waarop al deze dingen eerst wel een rustige plaats hadden kunnen vinden, plotseling in draaiing was gebracht en hij formuleert het argument dus liever zo, dat op een draaiende aarde nooit gebouwen opgericht zouden hebben kunnen worden en niets een vast verblijf zou hebben kunnen vinden. Dat is natuurlijk een zeer reëel argument, omdat, zoals we thans weten, er inderdaad een omwentelings-snelheid bestaat, waarbij de gravitatie niet in staat zou zijn, de centripetale versnelling die de aardse lichamen voor hun aswenteling behoeven, op te leveren. Men kan het daarom ook niet zonder quantitatieve formulering, alleen door er over te praten, weerleggen. Galilëi tracht dat echter wel te doen; hij betoogt, dat er helemaal geen gevaar voor wegslingeren bestaat en dat dus ook in dit opzicht op een draaiende aarde alles precies zo blijft als het op een stilstaande zou zijn.

Dit is des te merkwaardiger, omdat hij heel goed weet, dat een lichaam dat aan een koord rondgeslingerd wordt, een naar buiten gerichte kracht op dat koord uitoefent en toch ook wel zal hebben kunnen vaststellen, dat bij een gegeven omwentelingssnelheid het lichaam zich losrukt of het koord breekt. Het schijnt echter, dat de contradictie tussen dit feit en wat hij over het ontbreken van hetzelfde effect bij de aardbeweging zegt, hem helemaal niet opvalt. Wellicht oefent de voorstelling van de natuurlijke tendentie van alle aardse lichamen, zich cirkelvormig om de aardas te bewegen, ook hier weer invloed uit, maar dan had hij de vergelijking met het wentelende wiel of den rondgeslingerden steen evengoed als niet ter zake doende bij voorbaat af kunnen wijzen.

[pagina 394]

Dat de zwaarte onder alle omstandigheden het wegslingeren van aardse lichamen belet, wordt bewezen met tamelijk gecompliceerde beschouwingen over oneindig kleine grootheden, die we hier niet zullen trachten weer te geven. De grondgedachte is, dat de raaklijn aan den aanvankelijk beschreven cirkel dicht bij het raakpunt zo weinig van den cirkel afwijkt, dat de naar het middelpunt strevende zwaarte het lichaam altijd wel kan beletten, langs deze raaklijn voort te vliegen.

121. Het gesprek waarin het bovenstaande behandeld wordt, illustreert nog eens, welk een vreemd conglomeraat van redeneringen die de klassieke mechanica onveranderd zou overnemen en andere die met haar grondbeginselen in strijd zijn, de Dialogo telkens weer vertoont. Wanneer namelijk Salviati bij wijze van inleiding over het voortwerpen van een steen met een in het rond gedraaiden slinger spreektGa naar eind25, zegt hij, dat de steen de tendentie krijgt, langs de raaklijn van den beschreven cirkel voort te gaan, dat hij dit ook zou doen, wanneer de zwaarte hem niet naar beneden trok en dat de gekromde kogelbaan nu tot stand komt, doordat de beweging langs de raaklijn en de verticale valbeweging samenwerken. Er wordt hier niet gezegd, dat de beginsnelheid horizontaal moet zijn, zoals op den Vierden Dag van de Discorsi altijd ondersteld wordt, en er is ook niets, dat er op wijst, dat de rechte, waarlangs het lichaam gedacht wordt voort te gaan, als benadering van een cirkel fungeert. Wanneer niet kort daarvoor en ook weer daarna sprake was van een volharden in een cirkelbeweging om het aardcentrum zou men hier werkelijk een volledig inzicht in de traagheid uitgesproken kunnen achten. Het is op zichzelf al merkwaardig, dat Galilei hier in gedachte het lichaam onttrokken denkt aan de werking van de zwaarte, die hij anders altijd zozeer als een inwendigen, voor de structuur van een stoffelijk lichaam onmisbaren, constituerenden factor beschouwt, dat zij nooit wordt weggedacht. Nooit wordt bij hem het gewicht als een uitwendige op het lichaam werkende kracht opgevat en in verband daarmee is ook van een onderscheiding van massa en gewicht nog geen sprake.

122. Wij besluiten thans de behandeling van Galilei's bijdragen tot de ontwikkeling der mechanica met enkele opmerkingen over twee onderwerpen, die in komende tijden van groot belang zouden blijken te zijn en waarvan de studie bij hem begint. Het zijn de slingerbeweging en de botsing.

Wij zagen boven reeds, hoe hij een proef met een slinger gebruikte ter verificatie van een stelling over valbeweging. Op den Eersten Dag van de DiscorsiGa naar eind26 behandelt hij de slingerbeweging als inleiding tot acoustische beschouwingen, en deelt er daarbij twee eigenschappen van mee, namelijk de evenredigheid tussen den slingertijd en den wortel uit de slingerlengte en het isochronisme, d.w.z. de eigenschap, dat de slingertijd niet van de amplitudo afhangt. De eerste (waarvan niet blijkt, hoe hij haar gevonden heeft) is door de latere ontwikkeling der mechanica bevestigd, de tweede

[pagina 395]

slechts bij benadering voor kleine uitwijkingshoeken. De overtuiging van de exactheid van het isochronisme schijnt volgens een opmerking van Salviati geïnspireerd te zijn geweest door de koordenwet. Wat daarin over den val langs koorden wordt meegedeeld, is blijkbaar op cirkelbogen uitgebreid. Sagredo merkt nog op, dat hij, hoewel hij vaak in kerken naar slingerende kroonluchters heeft gekeken, het isochronisme nooit heeft opgemerkt en dat het hem onmogelijk toeschijnt. Deze opmerking geeft weinig steun aan het bekende verhaal, dat Galilei zelf op jeugdigen leeftijd de eigenschap wèl door waarnemingen in den Dom te Pisa zou hebben ontdekt.

123. Op het belangrijke, maar uiterst moeilijke gebied van de botsing bereikt Galilei geen resultaten van blijvende waarde. Ook heeft hij door de beschouwingen die hij er op den Zesden Dag van de Discorsi aan wijdtGa naar eind27, het onderzoek naar het verschijnsel niet kunnen bevorderen, omdat deze toevoeging aan het in 1637 gepubliceerde werk pas verschenen is in 1718, toen de ontwikkeling der mechanica reeds veel verder was gekomen en ook de botsingswetten reeds bekend waren. Toch blijft het van belang, er kennis van te nemen, al ware het slechts om een indruk te krijgen van de moeilijkheden die bij de ontwarring der botsingsverschijnselen overwonnen moesten worden. Deze kwamen onder meer hieruit voort, dat men aanvankelijk steeds geprobeerd heeft, de stootkrachten die bij de botsing optreden, als het ware te wegen, dus ze te vergelijken met een continu werkende kracht als het gewicht. Die poging moest echter mislukken, daar het hier om grootheden van verschillende dimensies gaat. Het belangrijkste resultaat waartoe Galilei ten slotte komt, staat uitgedrukt in zijn conclusie, dat de kracht van een stoot oneindig groot is, waarmee hij te kennen wil geven, dat de grootte van een continu werkende kracht die, gedurende een zeker tijdvak uitgeoefend, dezelfde uitwerking zou hebben als de stoot, onbegrensd groeit, als men den duur van dat tijdvak tot nul laat naderen.

D. Uit de school van GalileiGa naar eind28

124. Galilei's werk op het gebied der Mechanica is voortgezet door verscheidene meest Italiaanse auteurs, die in engeren of ruimeren zin zijn leerlingen mogen heten en waarvan we hier Bonaventura Cavalieri, Giovanni Baliani en Evangelista Torricelli noemen. Een van de dingen die bij de lectuur van hun werken het meest de aandacht trekken, is wel, dat allerlei aarzeling en onzekerheid die we bij Galilei aantroffen, overwonnen blijken te zijn. Het is het bekende verschijnsel van de helderheid der epigonen. De meester, die zich ten koste van een grote denkinspanning heeft weten te ontworstelen aan vroegere dwalingen, blijft, wellicht in zijn denken, maar zeker in zijn spreken, de sporen van die worsteling met zich

[pagina 396]

omdragen; de leerlingen echter die hij in zijn nieuwe inzichten heeft ingewijd, kunnen, onbezwaard door het verleden, beginnen waar hij eindigde en volkomen helder uitdrukken wat bij hem nog min of meer duister bleef. En zo zien we hier dan ook, zonder dat er veel woorden aan de motivering worden besteed, als evident aangenomen worden, dat de beweging van een in willekeurige richting voortgeschoten projectiel beschouwd kan worden als de resultante van een eenparig rechtlijnige beweging in de richting van de beginsnelheid en een eenparig veranderlijke verticale valbeweging uit rust. Daar het slechts terloops wordt uitgesproken en niet als algemeen beginsel aan de behandeling ten grondslag wordt gelegd, kan men natuurlijk blijven twijfelen, of de draagwijdte van het toegepaste inzicht wel wordt beseft maar men gevoelt niet meer als bij Galilei de onzekerheid, of het inzicht zelf wel ten volle aanwezig is.

125. Bij Baliani trekt het de aandacht, dat hij zich de algemene vraag voorlegt naar de uitwerking van een op een lichaam werkenden constanten motor; de studie van den val begint hier blijkbaar al de functie te vervullen waarop haar grote historische betekenis berust, namelijk aanleiding te geven tot het opstellen van het begrip van kracht als oorzaak van een versnelling en tot de subsumptie van de zwaarte onder het algemene krachtbegrip. Baliani behandelt het probleem volgens de methode die we Buridan (II: 114) en Beeckman (IV: 72) zagen toepassen, namelijk door voor elk tijdvak de beweging ontstaan te denken door samenwerking van den impetus die aan het begin van dat tijdvak aanwezig was en de hernieuwde werking van de zwaarte, die hetzelfde doet alsof de beweging nu pas begon. Echter komt hij nu tot de conclusie, dat de wegen, in opvolgende gelijke tijdvakken afgelegd, zich verhouden als de opvolgende natuurlijke getallen, dezelfde betrekking die we bij Leonardo da Vinci aantroffen (III: 45). Hij meent dus de wet der oneven getallen te moeten verwerpen, merkt echter op, dat daar de in de afleiding gebruikte tijdvakken zeer klein moeten worden gedacht, het verschil tussen deze wet en de zijne onmerkbaar klein zal zijn; inderdaad nadert de laatste tot de eerste, als men den duur van de gebruikte tijdvakken tot nul laat naderen.

Opmerking verdient nog zijn juist inzicht in de dubbelzinnigheid van het begrip impetus, daarin bestaande dat deze enerzijds als symptoom, anderzijds als oorzaak van de beweging wordt beschouwd. In werkelijkheid, merkt hij op, blijft beweging uit zich zelf voortduren, maar gemakshalve (en, kunnen wij er bijvoegen, ter bevrediging van een causale behoefte) blijven we zeggen, dat de impetus het lichaam voortdrijft.

126. Het werk dat Torricelli aan de Mechanica wijdt en dat in zijn titel De motu gravium naturaliter descendentium et projectorum laat zien, hoezeer de verschijnselen van val en worp voorlopig nog de gehele aandacht in beslag nemen, interesseert ons hier niet zozeer om de wijze, waarop hij de theorieën van zijn leermeester aanvult en uitbreidt - een wezenlijke vooruitgang wordt niet bereikt; de grondwet der peripatetische dynamica

[pagina 397]

blijkt zijn denken nog even sterk te beheersen als ze het dat van Galilei steeds was blijven doen en de dynamische beschouwingen gaan daardoor niet essentieel uit boven het peil, waarop ze reeds bij de Parijse Terministen hadden gestaan - als wel om een principiële uiteenzetting over de positie die de mechanica in het stelsel der wetenschappen ten opzichte van de wiskunde enerzijds en de physica anderzijds inneemt. Hij doet dit naar aanleiding van zekere bezwaren, die sedert het bekend worden van de werken van Archimedes onophoudelijk tegen een tweetal daarin gemaakte onderstellingen waren aangevoerd en die inderdaad de grondslagen der theoretische natuurwetenschap raken.

Het eerste richt zich tegen het werken met geometrische figuren die zwaarte bezitten en aan een balansjuk kunnen worden gehangen, het tweede tegen de onderstelde evenwijdigheid van de lijnen waarlangs de zwaarte dan geacht wordt te werken, terwijl zij toch een streven naar het aardcentrum beduidt. Beide zijn dit essentiële elementen van de Archimedische methode, die niet alleen in het werk Over evenwichten van vlakke figuren voor zwaartepuntsbepaling, maar bovendien in de Quadratuur van de Parabool (en, naar later blijken zou, in de Methode) voor zuiver mathematische doeleinden dienenGa naar eind29. Hierdoor nu schenen wiskunde en physica op ongeoorloofde wijze met elkaar vermengd te worden.

127. Tegen beide verwijten verdedigt Torricelli den Grieksen wiskundige, die voor hem, evenals voor Galilei, de ideale wetenschappelijke figuur is, met overtuiging. Met precies hetzelfde recht waarmee een wiskundige aan een figuur een zekere grootheid toekent die hij oppervlakte noemt of een middelpunt definieert, mag hij er ook een gewicht aan toeschrijven, dat dan echter niet als een qualiteit of een vermogen moet worden beschouwd, maar eenvoudig als een met de figuur verbonden dimensie (om Torricelli's eigen uitdrukking te gebruiken), als een daarmee geassocieerde vector (om het in moderne termen te zeggen), waarvan de betekenis door een wiskundige definitie zal worden vastgesteld. Het begrip zwaar lichaam had nooit bezwaren doen rijzen; voor de mechanica is dit echter evengoed een geometrische figuur waaraan een gewicht wordt toegekend. Zij kan lichamen beschouwen die geen gewicht hebben naast lijnen of oppervlakken die zwaar zijn.

Mechanica is nu die tak der wiskunde, waarin men mede gebruik maakt van de dimensie gewicht (later algemener van de begrippen kracht en massa) en van het bewegingsbegrip. Daarmede is het eerste bezwaar opgeheven en het tweede verdwijnt nu vanzelf: men kan natuurlijk de uitwerking van een gewicht mathematisch zo definiëren, dat de werklijnen alle evenwijdig lopen (al dan niet verticaal), Dit laatste kan men bovendien ook physisch gerealiseerd denken door een balans met daaraan hangende gewichten in gedachten verplaatst te denken naar de denkbeeldige ruimten buiten de sterrenspheer, waar ze oneindig ver van het aardcentrum verwijderd is.

[pagina 398]

Opnieuw zien we hier een leerling onversaagd conclusies trekken die in de woorden en vooral in de daden van den meester impliciet opgesloten lagen, maar die de laatste nooit zo openlijk en onverhuld zou hebben kunnen of durven uitspreken. De tendentie tot een dergelijke mathematisering van de mechanica is bij Galilei duidelijk genoeg aanwezig, maar hij ziet zwaarte toch nog te veel als een inwendig streven van een physisch lichaam, zich naar het aardcentrum te bewegen, om haar te kunnen beschouwen als een per definitie aan een mathematisch lichaam toegekende grootheid en hij is nog te veel bevangen in de voorstelling van den eindigen kosmos, om de heterogene physische ruimte met de homogene oneindige ruimte der meetkunde te identificeren en daarin een balans naar het oneindige te brengen. Er was een zuivere mathematicus als Torricelli voor nodig om voor dergelijke gedachten niet terug te schrikken. Inderdaad is deze over al de remmingen die de mathematisering der physica nog hadden tegengehouden heen en de emancipatie van de leer van bewegingen en krachten tot een rationele mechanica, die zich bij Galilei reeds aankondigde, is bij hem een feit geworden.

128. Natuurlijk rijst nu de vraag naar de relatie, waarin deze mechanica nu eigenlijk nog tot de physische werkelijkheid staat, maar zij vormt niet meer dan een uitbreiding van het probleem, welke functie de wiskunde in het algemeen in de natuurwetenschap te vervullen heeft. Is deze gehele geometrisch-mechanische op axiomata en definities gebaseerde en daardoor exacte ideale vormenwereld een door vèrgaande abstractie verkregen schematisering van de werkelijkheid, waarin tal van wezenlijke bestanddelen zijn te loor gegaan en die dus nooit een betrouwbare en volledige kennis van de natuur zal kunnen schenken? Of is de wereld die wij zintuiglijk ervaren, slechts een gebrekkige en onvokomen afbeelding in de weerbarstige materie van het slechts door het wiskundig denken te vatten ideële rijk der rationele mechanica en moet dit dan ook in eigenlijken zin de werkelijkheid heten? Het is weer de oude tegenstelling, die de gehele geschiedenis van het natuurwetenschappelijk denken vertoont: Aristoteles of Plato.

Aan welken kant Galilei en Torricelli staan, lijdt niet den minsten twijfel. Mèt de concrete Aristotelische natuurwetenschap wordt de Aristotelische visie op de relatie van physica en wiskunde verworpen. In den DialogoGa naar eind30 herinnert Simplicio er aan, dat Aristoteles aan Plato verweet, dat hij door een te ijverige studie van de wiskunde van de gezonde philosophie was afgeraakt en hij weet van vooraanstaande peripatetische philosophen, dat zij hun leerlingen terughouden van de mathesis, omdat deze den geest spitsvondig maakt en ongeschikt voor het goede philosopheren. Waarop Salviati venijnig opmerkt, dat zij daar gelijk aan hebben ook, omdat er geen wetenschap is die zo onbarmhartig hun sophisterij ontmaskert. Dat tekent al de stemming. En verder laat Galilei geen gelegenheid voorbijgaan, om uiting te geven aan zijn metaphysische overtuiging,

[pagina 399]

dat de structuur der werkelijkheid essentieel mathematisch van aard is, dat met de mathematische vormen van ons denken een mathematische orde correspondeert die ten grondslag ligt aan de zinlijk ervaarbare werkelijkheid en dat al ons leren een zich weer herinneren isGa naar eind31.

De philosophie staat geschreven in dat grote boek dat ons voortdurend open voor ogen ligt, het universum, maar men kan haar niet begrijpen, wanneer men niet de taal leert verstaan en de letters leert kennen, waarin het geschreven is. Het is geschreven in wiskundige taal en de letters zijn driehoeken, cirkels en andere geometrische figuren; zonder deze middelen is het menselijkerwijs onmogelijk, er een woord van te begrijpen; het is slechts een ijdel ronddolen door een duister labyrinthGa naar eind32.

Voor de indeling van onze stof leidt de emancipatie van de mechanica tot de consequentie, dat we voorlopig de vraag naar de physische oorzaken van de verschijnselen die zij onderzoekt, kunnen laten rusten en er ook niet op behoeven te letten, in hoeverre haar resultaten experimenteel worden bevestigd; dat zijn onderwerpen die tot de physica in engeren zin behoren en waarop we in een volgende paragraaf (IV: 130) terugkomen. We blijven eerst in het ideële rijk der rationele mechanica.

129. De diensten die Torricelli aan deze wetenschap bewijst blijven niet beperkt tot de principiële verdediging van haar bestaansrecht. Hij spreekt ook nog een vruchtbaar algemeen beginsel uit, dat voor haar verdere ontwikkeling in de zeventiende eeuw een machtig hulpmiddel zal blijken te zijn. Dit z.g. axioma van Torricelli wordt in het boven geciteerde werk als volgt geformuleerd:

Onderling verbonden zware lichamen kunnen niet uit zichzelf in beweging komen, wanneer hun gemeenschappelijk zwaartepunt niet daalt.

Hij maakt dat aannemelijk door er op te wijzen, dat die lichamen eigenlijk één uit verschillende delen bestaand lichaam vormen, dat een enkel zwaar lichaam echter uit zichzelf niet in beweging kan komen, zonder dat het zwaartepunt lager komt te liggen en dat het dus in rust zal blijven, als het zwaartepunt op generlei wijze dalen kan.

Toen Torricelli dit axioma uitsprak en het gebruikte om er de wet van het hellend vlak mee af te leiden (als er evenwicht is ingetreden, blijft bij gelijktijdige verplaatsing van de twee gewichten hun zwaartepunt even hoog liggen) deed hij niet meer dan vorm geven aan een inzicht, dat de vrucht was van een eeuwenlange ontwikkeling, die van Aristoteles over de Parijse Terministen, Copernicus en de Italiaanse mechanici der zestiende eeuw voert. De Aristotelische voorstelling van het streven van het zware naar de natuurlijke plaats in het wereldcentrum was in de veertiende eeuw gepraeciseerd tot de theorie, dat ieder zwaar lichaam een bepaald punt, het centrum gravitatis, bezit, waarin de zwaarte als het ware geconcentreerd is en dat zij nu tracht te doen samenvallen met het wereldcentrum. Copernicus had die theorie zonder een andere wijziging kunnen

[pagina 400]

overnemen dan dat hij wereldcentrum door aardcentrum verving en in dezen vorm komt ze o.m. bij Galilei voor. Kan nu het zwaartecentrum het aardcentrum niet bereiken, dan wil het er althans zo dicht mogelijk bijkomen en nooit zal het zich uit zichzelf van het aardcentrum af, dus omhoog, verplaatsen. Het vage van de gehele theorie bleef nu echter steeds de wijze waarop het zwaartecentrum moest worden bepaald. Het lag voor de hand, het te identificeren met het zwaartepunt, dat Archimedes in zijn wiskundige theorieën had gebruikt; echter wordt dit nergens expliciet gedefinieerd en er bleef dus onzekerheid over de betekenis ervan bestaan.

Torricelli wijst er nu op, dat de methoden waarmee Archimedes en zijn volgelingen het zwaartepunt bepalen, slechts zin hebben, wanneer de verticalen parallel worden gedacht; daarmee is dan echter tevens het centrum waar de zwaarte het zwaartepunt heen wil voeren, oneigenlijk geworden. Van dat centrum spreekt hij dan ook niet meer, maar in zijn formulering houdt hij de juiste kern van het denkbeeld van het centrum gravitatis over.

Wij zullen zien (IV: 141), hoe het axioma eerst in handen van Huygens zijn volle vruchtbaarheid zal tonen. Voordat we echter tot de bespreking hiervan overgaan, ronden we het beeld van Galilei's school in de geschiedenis der mechanica nog door enkele opmerkingen af.

130. Men zou uit het boven gegeven overzicht van het werk van Galilei's leerlingen gemakkelijk den indruk kunnen krijgen, dat de grondslagen die hij gelegd had, algemeen als juist werden aanvaard en dat men er in de zeventiende eeuw eendrachtiglijk op is gaan voortbouwen. Dat is echter lang niet in alle opzichten het geval. Vooreerst was niet iedereen zo gaarne bereid als Torricelli om de empirische complicatie van de wereld der waargenomen physische verschijnselen te verruilen voor den noëtischen eenvoud der rationele mechanica. De verschijnselen van val en worp spelen zich nu eenmaal niet in vacuo af en wie zich bij het gebruik van mechanische werktuigen verlaat op de theoretische betrekking tussen macht en last komt bedrogen uit. Wie hier van nu meer wilde weten, vond in Galilei echter geenszins den betrouwbaren gids dien hij zich in de rationele mechanica getoond had. Hij had weliswaar zijn valwetten door proeven met de valgoot en met slingers experimenteel geverifieerd, maar de hiermee gewaarborgde betrekking tussen weg en tijd gaf nog geen antwoord op de voor de hand liggende quantitatief-absolute vraag, over welken afstand nu eigenlijk een lichaam in een gegeven tijd valt; om het in moderne termen te zeggen: wanneer men weet, dat de val uit rust plaats vindt volgens de formule s(t) = ½ at², kent men de numerieke waarde van g nog niet, die a in dit geval bezit. In den DialogoGa naar eind33 komt weliswaar de bewering voor, dat een ijzeren bol van 100 pond vrij vallend in 5 seconden een weg van 100 (Florentijnse) ellen aflegt, waaruit voor g de waarde 8 el/sec² (ongeveer 5 m/sec²) zou volgen, maar toen Baliani om inlichtingen

[pagina 401]

vroeg, hoe dit resultaat verkregen was, kreeg hij eerst geen en later slechts een onbevredigend antwoord en Galilei zegt ten slotte, dat de opgegeven waarde misschien ook wel niet helemaal juist is, maar dat dit in het verband, waarin hij haar nodig had, niet ter zake doet. Men krijgt den indruk, dat de kwestie hem niet zo erg interesseerde. Dit hangt wellicht samen met het feit, dat een physische constante voor ons denken iets puur contingents, dus irrationeels is; ze heeft een of andere waarde, die men moet aanvaarden zonder dat men er enig inzicht in krijgt, waarom ze juist zo groot is; dit in tegenstelling met het gevoel van evidentie, dat met een uit een noodzakelijk lijkend axioma mathematisch afgeleide relatie als de quadratenwet verbonden is.

131. Anderen echter hechtten aan zulke numerieke waarden van physische constanten evenveel waarde als de astronomen het van oudsher aan hun fundamentele getallen (duur van het jaar, helling van de ecliptica, poolshoogte enz.) hadden gedaan. En ook waren zij er op gesteld, de juistheid van verschillende beweringen die Galilei door redenering had afgeleid, experimenteel te controleren. Er is dan ook in de eerste helft van de zeventiende eeuw veel over val en worp geëxperimenteerd; in Italië door Riccioli en de Accademia del Cimento, in Frankrijk door Gassend en Mersenne. Daarbij deden zich dan vaak wel afwijkingen voor, die men niet steeds aan den invloed van den luchtweerstand en aan de onvermijdelijke waarnemingsfouten heeft toegeschreven, maar ook wel als argumenten tegen Galilei's theoretische beschouwingen heeft uitgespeeld. Over het werkelijke verloop van den val in pleno had deze bovendien nooit meer gezegd dan te lezen stond in zijn vroege valwet, waarin wèl rekening was gehouden met de opwaartse kracht, die een lichaam in een medium ondervindt, maar niet met den weerstand, dien het tegen het doorlaten van het lichaam biedt. Voorlopig zou het ook de mathematische vermogens van den tijd ver te boven gaan, dezen in rekening te brengen.

132. Van physische zijde had men dus werkelijk wel aanleiding, zich door Galilei's onderzoekingen over de valbeweging onvoldaan te betonen; op het gebied der rationele mechanica had men dat in zoverre ook, dat het postuleren van de gelijkheid der eindsnelheden voor den val langs hellende vlakken over gegeven hoogte een zwakke plek in den opbouw van het systeem bleef. Daarnaast echter ziet men telkens weer, dat ook nog een ongegronde oppositie tegen de valwet, dus tegen het fundament van het gehele imposante bouwwerk van den Derden en den Vierden Discorsi-dag, wordt gevoerd. De gedachte aan een evenredigheid tussen snelheid en afstand tot het uitgangspunt, nu echter eerst na het afleggen van een zekeren weg geldig gedacht, blijft nog steeds de geesten bekoren en men vindt dan ook nog vaak tegenover de valwet van Galilei zowel een uit deze onderstelling afgeleide relatie als andere mogelijkheden als gelijkwaardige mededingers gesteld.

Wanneer dan ook Mersenne, die zich niet alleen in de theorie van het

[pagina 402]

onderwerp had verdiept, maar ook veel zelfstandig over de valbeweging had geëxperimenteerdGa naar eind34, in 1647 in zijn Reflexiones Physico-Mathematicae de balans van Galilei's onderzoekingen opmaakt, vindt hij daarin nog onzekerheid op belangrijke punten, leemten in den opbouw en aanleiding tot twijfel, of de beschreven experimenten wel werkelijk uitgevoerd zijn en hij weet ten slotte den stand van het gehele vraagstuk niet beter te karakteriseren dan met de woorden van Paulus, I Cor. 8:2 En zo iemand meent iets te weten, die heeft nog niets gekend gelijk men behoort te kennen.

E. De ontwikkeling van het krachtbegrip

133. De strenge methodische beperking tot het kinematische, die Galilei zich zelven had opgelegd, maar die hij, blijkens het late dynamische bewijs voor het postulaat der gelijke eindsnelheden, zelf ook niet altijd in acht is blijven nemen, heeft bij zijn opvolgers niet lang standgehouden. Zij had ook geen reden van bestaan meer: het stond nu - althans in hun oog - vast, hoe de valbeweging verloopt en dus was de tijd gekomen om dieper door te dringen. Wij zagen dan ook reeds Baliani moeite doen om te begrijpen, hoe onder invloed van een constante zwaarte een eenparig veranderlijke beweging kan ontstaan en mèt hem beschouwen verscheidene andere auteurs het als hun eerste plicht, dit nog steeds paradoxaal aandoende effect te verklaren. Voor den overgang van de Aristotelische naar de klassieke natuurwetenschap heeft dit streven niet minder belang dan de geestelijke worsteling om het traagheidsinzicht. In zeker opzicht overtreft het deze zelfs in historische betekenis. Het ging immers om de overwinning van een opvatting, die in zoverre nog natuurlijker mag heten dan de antieke voorstelling van traagheid als tendentie tot volharding in rust, dat de dagelijkse ervaring haar met de ene uitzondering van de dan ook steeds als problematisch gevoelde valbeweging, nog ondubbelzinniger schijnt te leren. Wij hebben reeds vaker opgemerkt, hoe vanzelfsprekend het moest lijken, dat een constante bewegingsoorzaak een eenparige beweging teweeg brengt en dat de snelheid van deze beweging een maat voor haar sterkte is en we hebben sindsdien kunnen vaststellen, dat zelfs zo scherpziende en voor geen denkrevolutie terugdeinzende geesten als Galilei en Torricelli zich nog niet aan de overtuigende werking van dit dynamische grondinzicht konden onttrekken, hoewel ze toch juist bewegingen onderzochten die door het bezit van een versnelling, naar het ons thans voorkomt, tot haar verwerping moesten leiden.

134. De moeilijkheid die bij de hervorming van het krachtbegrip overwonnen moest worden, was echter niet alleen groter dan bij de verovering van het nieuwe traagheidsinzicht, ze was ook van principieel anderen aard. Toen men eenmaal opmerkzaam was geworden op de on-

[pagina 403]

houdbaarheid van de Aristotelische worptheorie, op de moeite, die het kost een bestaande beweging plotseling te beëindigen en op de mogelijkheid, haar langer dan anders te doen voortduren door de uitwendige weerstanden te verminderen, was het geen grote stap meer om door idealisering te komen tot het axioma van het onveranderd voortbestaan van een beweging bij vernietiging van alle uitwendige invloeden en dit axioma kreeg dan ook, zoals we gezien hebben, inderdaad al spoedig het karakter van evidentie, dat volgens de Aristotelische wetenschapsleer (I: 49) voor de grondslagen van een bewijzende wetenschap vereist wordt. Als uitwerking van een kracht versnelling te beschouwen en niet snelheid, was en bleef echter paradoxaal en er zou in de eerste decennia van de zeventiende eeuw geen sprake van geweest kunnen zijn, dat men dit als axioma (wat destijds nog betekende als iets vanzelfsprekends) had kunnen stellen.

De hedendaagse lezer onderschat licht de moeilijkheden die aan de natuurwetenschappelijke begripsvorming in haar historische ontwikkeling in den weg hebben gestaan. Het lijkt zo eenvoudig: men stelt per definitie vast, dat men zeggen zal, dat op een stoffelijk punt dan en slechts dan een kracht werkt, wanneer het een versnelling bezit (dus alleen niet, wanneer het in eenparige rechtlijnige beweging verkeert) en definieert nu die kracht als een vector die ontstaat door den versnellingsvector te vermenigvuldigen met een voor dat stoffelijk punt karakteristieke scalaire grootheid, genaamd massa. Daar een vrij vallend stoffelijk punt een constante versnelling bezit, werkt er blijkbaar een constante kracht op, die men de zwaarte noemt. En een punt, waarop helemaal geen kracht werkt, heeft geen versnelling en verkeert dus in rechtlijnige eenparige beweging.

135. Zo iets kan men echter alleen maar achteraf doen. De natuurwetenschap ontstaat niet door definities te poneren; ze moet feiten vaststellen, deze in een logisch samenhangend stelsel ordenen door het invoeren van passende begrippen en door het opsporen van uitspraken die er zich toe lenen, om als grondslagen voor zulk een logische ordening te fungeren. Voorzover de gekozen axiomata die keuze niet reeds danken aan een zekere evidentie, verkrijgen ze deze door het langdurig gebruik en vooral door de suggestieve werking van het onderwijs op den duur vanzelf en dan kan het aan latere generaties toeschijnen, alsof alles van het begin af logisch geheel doorzichtig is geweest, althans had behoren te zijn. Dat leidt dan tot een enigszins geringschattende verbazing over foutieve denkbeelden of omslachtige methoden van de voorgangers, een misplaatste reactie, die vervangen behoorde te worden door een gevoel van erkentelijkheid voor het moeizame pionierswerk, waarvan de vruchten thans voor iedereen ter beschikking staan zonder dat er nog veel inspanning vereist wordt.

De geschiedenis van de mechanica in de zeventiende eeuw is niets anders dan het verhaal van zulk een ordeningsproces. Op het punt waarop we thans staan, is het traagheidsaxioma reeds als bruikbare grondslag erkend, maar het nieuwe algemene krachtsbegrip is nog pas bezig zich te

[pagina 404]

vormen en wacht nog op inpassing in het stelsel. En voorlopig wordt de ordening nog in deze richting gezocht, dat men kracht als een geen nadere definitie vereisend grondbegrip opvat en nu met behulp van het traagheidsaxioma tracht te bewijzen, dat een constante kracht een constante versnelling teweegbrengt.

136. Het is duidelijk, dat die poging moest mislukken. Kracht is een zo vage en dubbelzinnige term, die met zoveel anthropomorphe associaties belast is, dat het woord zonder definitie helemaal niet in een wetenschappelijke redenering kan worden gebruikt, tenzij men stilzwijgend gebruik maakt van zekere niet expliciet geformuleerde grondstellingen (b.v. dat een constante kracht in opvolgende gelijke tijdsdelen dezelfde uitwerking heeft en dat die uitwerking beoordeeld kan worden naar de snelheidsverandering), die aequivalent zijn met wat men bewijzen wil.

Het zou ons te ver voeren, wanneer wij hier de verschillende wijzen wilden bespreken, waarop men in de zeventiende eeuw het gestelde doel heeft trachten te bereiken. We vermelden alleen even de afleiding van Borelli, waarin weer gebruik wordt gemaakt van het door Beeckman (IV: 72) toegepaste denkbeeld, de uitwerking van een continu werkende kracht te beschouwen als de limiet van het effect van een periodieke stootkracht met onbepaald toenemende frequentie (Borelli vergelijkt de zwaarte, die Beeckman met kleine hurtkens had laten trekken, met een snel tikkend hamertje, dat het vallend lichaam begeleidt) en die van Huygens, welke laatste de eigenaardigheid vertoont, dat het impliciet toegepaste axioma zo verborgen ligt, dat het werkelijk eerst den schijn heeft, alsof de quadratenwet op geheel legitieme wijze te voorschijn komt. Op den duur zal echter blijken, dat de verlangde ordening niet anders tot stand kan komen, dan doordat men op een of andere wijze postuleert, dat een kracht een versnelling veroorzaakt, waarmee dan tevens het krachtbegrip der klassieke natuurwetenschap impliciet zal worden gedefinieerd.

137. Daarvoor zal dan echter tevens de invoering van het begrip massa nodig zijn en de voor de klassieke physica essentiële en karakteristieke, maar aan herhaald misverstand onderhevige onderscheiding van massa en gewicht. Daarvan is in de periode die ons thans bezig houdt, nog weinig te bespeuren. De voorstelling van zwaarte als een met de hoeveelheid stof van het lichaam samenhangende, in het lichaam zelf zetelende actieve factor laat helemaal geen plaats over voor de gedachte, dat met die hoeveelheid stof ook een zekere passiviteit samenhangt. Daarvoor zal eerst de zwaarte inplaats van als een inwendig bewegingsprincipe als een uitwendige op het lichaam uitgeoefende activiteit moeten worden beschouwd (zoals Beeckman en Borelli reeds deden). Over die verandering in de opvatting van zwaarte spreken we echter eerst in een volgend hoofdstuk. Voorlopig zijn er dus van het latere massabegrip slechts sporen op te merken, die soms tamelijk verborgen liggen, omdat er nog geen vaste term voor bestaat en men vaak gewicht zegt, waar men eigenlijk massa

[pagina 405]

bedoelt. De duidelijkste uitdrukking is wellicht de beschouwing waardoor Baliani verklaart, hoe het komt, dat in vacuo alle lichamen even snel vallen: hij onderscheidt de zwaarte als agens van het materiële lichaam als passum en onderstelt, dat ze met elkaar evenredig zijn; dat een lichaam niet des te sneller valt, naarmate het zwaarder is, komt doordat de grotere zwaarte ook een grotere hoeveelheid materie in beweging moet brengen. Verder wordt in de herhaaldelijk gemaakte opmerking, dat de hoeveelheid impetus, die een lichaam bij gegeven snelheid opneemt, des te groter is, naarmate het zwaarder is, natuurlijk ook massa in den zin van capaciteit voor impuls bedoeld, wanneer men van gewicht spreekt.

F. Christiaan Huygens

138. Wij hebben boven (IV: 136) den naam Huygens reeds even vermeld bij de bespreking van pogingen tot dynamische afleiding van de valwet en daardoor reeds een eerste bijdrage van zijn hand tot de fundering der mechanica genoemd. Meer dan dergelijke fundamentele beschouwingen zullen we hier niet van hem leren kennen. Het is namelijk bij hem niet langer mogelijk, tegelijkertijd het doel van dit boek in het oog te houden en althans enige volledigheid in de behandeling te betrachten. Daarvoor ligt het meeste van wat hij gedaan heeft te hoog, behoort het te veel reeds tot de uitvoering van het bouwwerk, waarvan we hier alleen het leggen der grondslagen willen tonen. Daar komt nog bij, dat wij het merendeel van zijn onderzoekingen niet uiteen zouden kunnen zetten zonder bij den lezer een grotere mate van mathematische geschooldheid aanwezig te onderstellen, dan met den opzet van de serie waarvan dit boek deel uitmaakt, strookt. Wat in het volgende over Huygens wordt meegedeeld, is dan ook geenszins toereikend om de grote betekenis die hij voor de ontwikkeling der zeventiende-eeuwse natuurwetenschap bezit, in het licht te stellen.

De onderwerpen die voor ons doel in aanmerking komen, zijn:

a.	de dynamische theorie van de eenparige cirkelbeweging.
b.	de dynamische uitbreiding van het axioma van Torricelli.
c.	de wetten van de volkomen veerkrachtige botsing.
d.	de relativiteit van het bewegingsbegrip.

a. De dynamische theorie van de eenparige cirkelbeweging

139. Om de stellingen die Huygens hierover zonder bewijs in zijn Horologium Oscillatorium (1673) uitspreekt (de afleidingen zijn eerst in 1703 bekend geworden, toen zijn geschrift De Vi Centrifuga in de Opera Posthuma gepubliceerd werd) te kunnen bespreken, recapituleren we hier

[pagina 406]

eerst wat de tot volledige ontwikkeling gekomen klassieke mechanica over dit onderwerp leert.

Bij een eenparige cirkelbeweging verandert de grootte van de lineaire snelheid weliswaar niet, maar de richting voortdurend. Er is dus een versnelling aanwezig, waarvan bewezen wordt, dat ze naar het middelpunt is gericht en dat haar grootte wordt voorgesteld door de formule:

waarin v de lineaire snelheid voorstelt en r den straal van den doorlopen cirkel. Wil dus een stoffelijk punt met massa m een cirkel doorlopen, dan moet er een centripetale kracht op werken, groot . Deze kracht trekt het punt als het ware voortdurend van de raaklijn af die het volgens de traagheidswet zou doorlopen wanneer het aan alle uitwendige invloeden onttrokken was. Zo wordt de situatie beoordeeld, als men de beweging beschouwt ten opzichte van een vast assenstelsel. Doet men het echter ten opzichte van een assenstelsel dat met het stoffelijk punt mee draait en ten opzichte waarvan het dus in rust is, dan moet men zeggen, dat er langs den naar buiten verlengden straal een z.g. traagheidskracht, groot werkt, die met de spanning in het koord, waardoor we het stoffelijk punt met het middelpunt, verbonden denken, evenwicht maakt en die de centrifugale kracht genoemd wordt.

Huygens stelt zich in zijn afleiding op het tweede standpuntGa naar eind35. Hij stelt zich voor (Fig. 36), dat een groot horizontaal wiel om een verticale as door het middelpunt wentelt. Een waarnemer, die aan den rand bevestigd is, houdt nu een stoffelijk punt met behulp van een koordje vast en dit punt doorloopt den omtrek van een cirkel met straal r. Denk, dat waarnemer en punt op zeker ogenblik in het punt B zijn en een lineaire snelheid v hebben. Kon nu het punt van hieruit vrij voortgaan langs de raaklijn, dan zou het na Δ t sec. een punt D op de raaklijn bereiken, zo gelegen dat:

BD = v. Δ t.

[pagina 407]

In werkelijkheid komen waarnemer en punt in C, zo gelegen, dat:

lengte van boog BC =

Vrijgelaten zou het punt zich dus over den afstand CD van den waarnemer verwijderd hebben. Bij benadering kan worden aangenomen, dat CD in het verlengde van MC valt. Is nu CD = x, dan vinden we:

     (1)

Wij vergelijken nu de ervaringen van den waarnemer op het wiel met die van een anderen, die een stoffelijk punt aan een koord vasthoudt. Wanneer dit de gelegenheid kreeg, zich van den waarnemer te verwijderen, zou het in Δ t sec. een weg verticaal omlaag afleggen, groot:

½ g (Δ t)²     (2)

Wij schrijven dit toe aan de werking van een verticaal omlaag gerichte kracht, groot mg, die door een omhoog gerichte spanning in het koord wordt opgeheven. Door de uitkomsten (1) en (2) te vergelijken, zien we, dat we dan het gedrag van het ronddraaiend stoffelijk punt ten opzichte van den waarnemer op den cirkelrand moeten omschrijven door te zeggen, dat er een naar buiten gerichte kracht op werkt, die door de naar het middelpunt gerichte spanning van het koord, waaraan het punt wordt rondgeslingerd, wordt opgeheven. Hiermee is de redenering van Huygens in beginsel weergegeven. Alleen stelt hij, in overeenstemming met het in IV: 93 opgemerkte, geen formule op, maar spreekt verhoudingsstellingen uit. Daar hierin telkens eenzelfde stoffelijk punt in verschillende bewegingstoestanden vergeleken wordt, doet de massa niet ter zake. Men kan ook zeggen, dat de stellingen eigenlijk over de centrifugale versnelling handelen.

140. Van de verschillende toepassingen die Huygens van zijn theorie der eenparige cirkelbeweging maakt, moet vooral de conische slinger worden vermeld, een stoffelijk punt aan een massaloos gedachten draad, die een rechten cirkelkegel beschrijft. Dit geval was voor hem van belang in verband met de constructie van slingeruurwerken. Voor de theoretische mechanica bestaat de betekenis van Huygens' theorie der centrifugaalkracht voor alles daarin, dat hier geheel duidelijk werd gemaakt, dat voor het in stand houden van een kromlijnige beweging, ook indien deze eenparig is, de voortdurende inwerking van een kracht (de spanning in het koord, die de centrifugaalkracht opheft) vereist wordt. Daardoor werd een oude, maar nog nooit geheel uitgeroeide opvatting van traagheid die

[pagina 408]

daarin bestond, dat een stoffelijk punt dat zich in eenmaal in een cirkel beweegt, bij vernietiging van alle uitwendige invloeden in die cirkelbeweging zou volharden, definitief weerlegd. Verder is natuurlijk van belang, dat een beweging werd beschouwd ten opzichte van een wentelend assenstelsel. Het inzicht, dat een eenparige kromlijnige beweging een versnelling bezit (daar komt Huygens' gedachtengang toch eigenlijk op neer, al gebruikt hij het woord versnelling ook niet) berust daarop, dat verandering van een snelheid (de voorwaarde voor aanwezigheid van een versnelling) wel alleen kan bestaan in een richtingsverandering; het is aequivalent met het inzicht in het vectorkarakter van een snelheid.

b. De dynamische uitbreiding van het axioma van Torricelli

141. Het axioma van Torricelli is naar oorsprong en aard een statisch axioma; het formuleert een voorwaarde voor evenwicht. Huygens geeft er echter een generalisering aan, die het tot een uiterst vruchtbaar dynamisch grondbeginsel vervormtGa naar eind36.

We denken ons eerst een stoffelijk punt, dat op een hoogte h boven het aardoppervlak in rust wordt gehouden; losgelaten zal het in beweging komen. Na zekeren tijd bezit het een geringere hoogte h₁ dan in den beginstand, maar het heeft nu een zekere snelheid verkregen. Stel nu, dat het die snelheid kon gebruiken om verticaal omhoog te gaan en dat het daardoor over een afstand h₂ steeg. Het zou dan een hoogte h₁ + h₂ bezitten. Huygens stelt nu als axioma, dat deze hoogte niet groter kan zijn dan h. Neemt men aan, dat de uitgevoerde beweging ook in omgekeerde richting kan verlopen, dan kan h ook niet groter zijn dan h₁ + h₂, zodat dan dus moet gelden:

h = h₁ + h₂.

Daar deze redenering op ieder ogenblik van de beweging geldt, kunnen we ook zeggen, dat op ieder ogenblik de som van de werkelijke hoogte en het bedrag waarover het punt nog zou stijgen, wanneer zijn snelheid verticaal omhoog was gericht, constant is.

Heeft men nu een stelsel van onderling verbonden punten en laat men hierin op zeker ogenblik alle punten onafhankelijk van elkaar (dus met verbreking van de verbindingen) de beschreven beweging omhoog uitvoeren, dan komt het gemeenschappelijk zwaartepunt steeds op dezelfde hoogte te liggen.

Om de betekenis van dit axioma na te gaan, stellen we op zeker ogenblik de hoogten der stoffelijke punten h_i, de snelheden v_i; de massa's mogen m_i zijn, de versnelling van den vrijen val g. Men vindt dan voor de hoogte van het zwaartepunt van het stelsel, als alle punten in hun hoogsten stand worden vastgehouden (virtuele zwaartepuntshoogte):

[pagina 409]

Het axioma zegt nu, dat deze breuk constant is en daar de noemer niet verandert, geldt dit ook voor den teller afzonderlijk. Dus geldt:

Σ m_i g h_i + Σ ½ m_i v_i² = constant

en dit is niets anders dan de wet van behoud van mechanisch arbeidsvermogen in het homogeen gedachte zwaarteveld der aarde.

Het verdient opmerking, dat terwijl deze wet in de voltooide mechanica een bewijsbare stelling is, Huygens haar in het stadium van voorbereiding, waarin we thans nog verkeren (men bedenke, dat de grondstelling K = ma nog nooit expliciet is geformuleerd) op grond van een intuïtief inzicht als axioma stelt. Die intuïtie was dezelfde als die waarop Stevin zijn clootcransbewijs gefundeerd had: de onmogelijkheid van een eeuwig roersel, van het voortbrengen van energie uit niets.

142. Wij zullen de geniale wijze, waarop Huygens van het gegeneraliseerde axioma van Torricelli gebruik maakt, toelichten aan een eenvoudig voorbeeld uit een der theorieën, waardoor hij de klassieke mechanica heeft helpen opbouwen, namelijk de theorie van het z.g. centrum oscillationis (slingermiddelpunt) van een physischen slingerGa naar eind37. Wij denken ons daartoe




(Fig. 37a) een homogeen zwaar lijnstuk OA van lengte a, dat om O kan slingeren en vragen naar de lengte l van een enkelvoudigen of mathematischen slinger (een stoffelijk punt P aan een massalozen draad), die denzelfden slingertijd heeft als de physische. We denken daartoe beide slingers over een hoek φ uit hun evenwichtsstand verplaatst. Laat daarbij P in P₀ een hoogte p boven zijn laagsten stand P₁ hebben gekregen en noem de overeenkomstige grootheid voor een veranderlijk punt C van den physischen slinger op afstand x van O verwijderd c. Blijkbaar is dan:

c = x/l.p.

Laat men nu de slingers los, dan zullen zij in beweging komen en na zekeren tijd beide de verticaal passeren. We denken OA nu bestaande uit n gelijke delen, die we als punten beschouwen, die elk een massa m hebben; op het ogenblik, dat de staaf de verticaal passeert, denken we ons

[pagina 410]

al die deeltjes van elkaar losgemaakt en laten ze elk met de verkregen snelheid verticaal omhoog stijgen (Huygens past een enigszins anderen gedachtengang toe, die echter in wezen op hetzelfde neerkomt). De snelheid u, waarmee P de verticaal passeert is even groot als wanneer P over den afstand p vrij gevallen was (Galilei's postulaat der gelijke eindsnelheden (IV: 95)). Zij volgt dus uit:

u² = 2gp.

Is OD = l, dan zal D met dezelfde snelheid u door de verticaal gaan. Voor C bedraagt de snelheid dus x/l u en de hoogte h waarover C hierdoor stijgen kan, volgt dus uit:

waaruit volgt:

Om nu de zwaartepuntshoogte z₀ van OA in den stand OA₀ te vergelijken met de virtuele zwaartepuntshoogte zou men feitelijk de bewerking moeten uitvoeren, die door de formule

wordt aangegeven, waarin z_i de hoogte van elk der punten boven een zeker horizontaal vlak voorstelt. Kiezen we hiertoe (Fig. 37b) het horizontale vlak door




A₁ en is C₂ het hoogste punt van C in de verticale beweging omhoog, dan is de bijdrage van het punt C tot den teller in stand I C₀C′, in stand II C₂A₁. Laat men nu aan weerskanten het stuk C₁A₁ weg, dan blijkt, dat we voor elk punt de hoogte kunnen nemen, die het in de standen I en II boven het laagste punt van zijn baan heeft. Het gegeneraliseerde axioma van Torricelli zegt nu:

Hierin moet nu het aantal n der delen tot oneindig naderen. In een later stadium van ontwikkeling der wiskunde zal men hiertoe de hulpmiddelen der integraalrekening kunnen gebruiken. Huygens is echter nog aangewezen op oudere meetkundige methoden, die berusten op het denkbeeld

[pagina 411]

der graphische voorstelling, dat hier opnieuw zijn onschatbare waarde voor den opbouw der zeventiende-eeuwse mechanica toont. Stelt men namelijk op a als extensio de grootheden y = x/l en z = x²/l² als latitudo voor, dan verkrijgt men opv. een rechte en een parabool.

De sommen Σ x/l en Σ x²/l² worden nu voor beide graphieken de aggregaten van alle ordinaten, die te meten zijn door de oppervlakten der








figuren, begrensd door de X-as, de kromme en de eindordinaat. Nu is deze voor den driehoek in Fig. 37c ½ a²/l en voor de parabool van Fig. 37d (met behulp van een door Archimedes bewezen stelling) ⅓ a³/l². Men vindt dus de betrekking: ½ a²/l = ⅓.a³/l²

waaruit volgt: l = ⅔ a.

Dank zij de virtuose beheersing van deze meetkundige methode heeft Huygens tal van resultaten weten te bereiken, waarvoor den hedendaagsen lezer kennis der integraalrekening onontbeerlijk toeschijnt.

c. De wetten van de volkomen veerkrachtige botsing

143. Huygens heeft in 1667 wetten voor de volkomen veerkrachtige botsing gevonden, waarvan de bewijzen echter eerst bekend zijn geworden toen in 1703 zijn werk De Motu Corporum ex Percussione in de Opera Posthuma verscheen. Het onderwerp verdient om twee redenen onze aandacht: vooreerst om de vernuftige wijze waarop bij de afleiding gebruik wordt gemaakt van enkele boven reeds besproken mechanische beginselen en vervolgens om de fundamentele betekenis die, zoals blijken zal, in den opbouw van het wereldbeeld der zeventiende-eeuwse physica aan het botsingsverschijnsel toekwam.

Huygens beperkt zich tot het geval van centrale botsing van twee volkomen veerkrachtige homogene bollen van dezelfde stofGa naar eind38; de term centraal beduidt hierbij, dat zij zich voor de botsing bewegen langs de ver-

[pagina 412]

bindingslijn hunner middelpunten en de betekenis van volkomen veerkrachtig wordt bepaald door het axioma, dat wanneer twee bollen van gelijke massa met gelijke tegengesteld gerichte snelheden tegen elkaar botsen, zij zich na de botsing beide zullen bewegen met snelheden, die even groot zijn als de oorspronkelijke, maar tegengesteld daaraan gericht. Om nu de botsingswetten af te leiden, stelt Huygens zich voor, dat de botsing plaats vindt in een boot, die met een constante snelheid langs een rechten oever vaart; op grond van het relativiteitsbeginsel der klassieke mechanica, dat hij als eerste uitdrukkelijk als axioma formuleert (met vermelding van de voorwaarde van eenparigheid van de aan het stelsel meegedeelde translatie) verandert daardoor aan het botsingsverschijnsel niets. De methode van behandeling bestaat nu hierin, dat de snelheid van de boot telkens zo gekozen wordt, dat voor een waarnemer aan den oever het optredende geval tot de reeds bekende behoort. Deze weet dus, wat er gebeurt en de waarnemer in de boot kan daaruit gemakkelijk afleiden, wat hij te zien zal krijgen. We zullen hier enkele van de door Huygens afgeleide stellingen volgens zijn methode aantonen, maar daarbij ter verkorting gebruik maken van algebraisch tekenschrift.

We denken de massa's der lichamen I en II opv. m₁ en m₂, hun snelheden:

ten opzichte van de boot	{voor de botsing u1 en u2
	{na de botsing v1 en v2
ten opzichte van de oever	{voor de botsing U1 en U2
	{na de botsing V1 en V2

Op de verbindingslijn van de centra wordt de richting van I naar II als positief aangenomen; we denken I links van II en u₁ positief gericht. De snelheid van de boot ten opzichte van den oever zij W. Snelheden ten opzichte van den oever worden dus verkregen uit snelheden ten opzichte van de boot door vermeerdering met W; voor den omgekeerden overgang moet W worden afgetrokken. Het aangenomen axioma zegt dan dat als m₁ = m₂ en u₁ = - u₂, zal gelden: v₁ = - u₁ en v₂ = - u₂.

Wij blijven eerst onderstellen, dat de massa's gelijk zijn, maar denken de snelheden verschillend in absolute waarde. Er zal botsing optreden, wanneer u₁ > u₂. Kies nu dan vindt men



Ten opzichte van den oever gelden dus de voorwaarden van het axioma, dus is:

[pagina 413]

Hieruit volgt echter:

Het resultaat is, dus, dat de beide lichamen elkanders snelheden hebben overgenomen.

144. Om nu het geval van ongelijke massa's te kunnen behandelen, heeft Huygens twee nieuwe axiomata nodig. Het eerste zegt, dat wanneer een lichaam met grotere massa botst tegen een met kleinere massa, dat in rust verkeert, het hieraan een zekere snelheid zal meedelen en zelf enige snelheid zal verliezen; het tweede, dat als voor een van twee botsende lichamen de snelheid door de botsing niet in absolute waarde veranderd is, dit voor het tweede ook niet het geval is. Uit het eerste axioma volgt eenvoudig, dat een lichaam botsend tegen een rustend lichaam met grotere massa hieraan altijd enige snelheid zal meedelen. Men behoeft slechts W zo te kiezen, dat het eerste lichaam tot rust komt, om dit in te zien.

Huygens kan nu de belangrijke stelling bewijzen, dat de snelheid die de lichamen ten opzichte van elkaar bezitten, door de botsing in absolute waarden niet zal veranderen, terwijl de richting wordt omgekeerd. Dit wordt eerst bewezen voor het speciale geval, dat het lichaam met de grootste massa aanvankelijk in rust is; daarna kan het gemakkelijk tot alle andere gevallen worden gegeneraliseerd. Zij dus m₁ m₂ en u₂ = 0. Dan ontstaat er in ieder geval een snelheid v₂ die positief is, maar kleiner dan u₁ (voor m₁ = m₂ zou v₂ = u₁ zijn). Kies nu W = - ½ v₂ dan zijn de snelheden ten opzichte van den oever:

voor de botsing u₁ - ½ v₂ en - ½ v₂
na de botsing v₁ - ½ v₂ en ½ v₂.

De snelheid van II is dus in absolute waarde niet veranderd, die van I dus ook niet, dus geldt:

u₁ - ½ v₂ = ½ v₂ - v₁

of

v₂ - v₁ = u₁.

Echter was:

u₂ - u₁ = -u₁,

dus is de snelheid van II ten opzichte van I in absolute waarde gelijk-gebleven, maar van richting veranderd. Natuurlijk geldt ook:

V₂ - V₁ = -[U₂ - U₁].

145. Nu we hierdoor een indruk van de methode hebben gegeven, zal het niet nodig zijn, het betoog verder op den voet te volgen. We vermelden echter nog enkele resultaten, die voor het volgende van belang zullen blijken te zijn. Vooreerst een propositieGa naar eind39, waarin Huygens aantoont, dat wanneer men onder quantitas motus het product verstaat van de massa en de absolute waarde van de snelheid van een lichaam, de totale

[pagina 414]

quantitas motus bij een botsing gelijk kan blijven, maar ook wel af- of toe kan nemen. Wij zullen zien, dat dit van belang is voor de beoordeling van het wereldbeeld van Descartes. Vermelding verdient voorts de stellingGa naar eind40, dat wanneer twee lichamen elkaar ontmoeten met tegengesteld gerichte snelheden, die omgekeerd evenredig zijn met hun massa's, zij beide terug zullen worden geworpen met een even grote snelheid als waarmee zij zich voor de botsing bewogen; bij het bewijs hiervan wordt het gegeneraliseerde axioma van Torricelli gebruikt. En ten slotte het theoremaGa naar eind41, dat de som van de producten van elk der massa's met het quadraat van de snelheid bij de botsing constant blijft, wat later zal worden uitgedrukt als het constant blijven van de totale kinetische energie en als definitie van volkomen veerkrachtigheid zal worden gebruikt.

146. Het verdient opmerking, dat Huygens in het werk De Motu Corporum ex Percussione niet de voor alle botsingsverschijnselen fundamentele wet van behoud van impuls uitspreekt, die geldt, wanneer men alle snelheden algebraisch in rekening brengt. Hij had haar natuurlijk uit de boven vermelde resultaten kunnen vinden door de stelling:

m₁u₁² + m₂u₂² = m₁v₁² + m₂v₂²

geschreven in den vorm:

m₁(u₁² - v₁²) = m₂(v₂² - u₂²)

te combineren met het theorema van de onveranderde relatieve snelheid geschreven als:

u₁ + v₁ = u₂ + v₂.

Immers nu volgt dadelijk:

m₁(u₁ - v₁) = m₂(v₂ - u₂)

of:

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.

Uit zijn aantekeningen blijkt, dat hij deze stelling voor volkomen veerkrachtige lichamen wel kende (zelfs dat hij overwogen heeft, haar als axioma te stellen) en dat hij haar geldigheid voor volkomen onveerkrachtige en onvolkomen veerkrachtige vermoeddeGa naar eind42. Hij formuleert de stelling bovendien nog in dezen vormGa naar eind43, dat het gemeenschappelijk zwaartepunt voor en na de botsing met dezelfde melheid en in dezelfde richting voortgaat, dus van de botsing niet den minsten invloed heeft ondervonden. De beide leden van de afgeleide betrekking stellen namelijk den impuls van het zwaartepunt voor en na de botsing voor, wanneer men aan dit punt de som der beide massa's als massa toekent. Zijn namelijk op zeker ogenblik de afstanden der twee bolcentra tot een zeker punt O op hun verbindingslijn x₁ en x₂ dan volgt de afstand x₀ van hun zwaartepunt tot O uit de betrekking:

[pagina 415]

of:

(m₁ + m₂)x₀ = m₁x₁ + m₂x₂.

Hieruit volgt echter gemakkelijk:

(m₁ + m₂)u₀ = m₁u₁ + m₂u₂,

als u₀ de snelheid van het zwaartepunt voorstelt.

Later zou blijken, dat deze stelling slechts een bijzonder geval is van het algemene theorema, dat de krachten die de lichamen van een stelsel op elkaar uitoefenen, niets aan de beweging van het zwaartepunt van dat stelsel kunnen veranderen.

d. De relativiteit van het bewegingsbegrip

147. De overgang van het Aristotelische wereldbeeld naar dat van de klassieke physica bracht een ingrijpende verandering met zich mee in de opvatting van de ruimte waarin zich de natuurverschijnselen afspelen. Men had deze, zonder het nadrukkelijk uit te spreken, steeds als physische ruimte onderscheiden van de meetkundige ruimte, waarop de redeneringen der wiskundigen betrekking hadden; de eerste ligt ingesloten tussen de onbeweeglijke centrale aarde en de spheer die het heelal omhult; de laatste is een zuiver rededing(ens rationis) en kan als zodanig oneindig en homogeen worden gedacht zonder dat daaruit iets voortvloeit aangaande de physische wereld.

Deze onderscheiding begint nu echter in de zestiende en zeventiende eeuw onder invloed van de veranderingen in de kosmologische denkbeelden te vervagen. De aarde verliest haar centrale en onbeweeglijke positie en de afmetingen van het heelal groeien buiten iedere voorstelling. Er zijn geen absoluut bevoorrechte richtingen meer, zoals in het geocentrische wereldbeeld omhoog en omlaag waren.

KoyréGa naar eind44 heeft deze verandering van opvatting door den term mathematisering van de physische ruimte uitgedrukt. Inderdaad komt ze hierop neer, dat de natuurverschijnselen moeten geacht worden zich af te spelen in de lege ruimte der geometrie. Het vroegere ens rationis wordt nu tot het spatium mundanum, de oneindige wereldruimte. Het is een overgang, waar Kepler en Galilei nog voor waren teruggedeinsd, maar die bij Huygens reeds geheel voltrokken is, zonder dat er veel over wordt gepraat.

148. Er zaten niettemin tal van denkmoeilijkheden aan vast, die o.m. bij de fundering van de klassieke mechanica aan het licht moesten komen. Een stoffelijk punt dat aan alle uitwendige invloeden onttrokken is, heeft een rechtlijnige eenparige beweging. Maar wat betekent dat? Het is bij de discussies over de aardbeweging reeds lang duidelijk geworden, dat

[pagina 416]

de baan van een bewegend punt voor den enen waarnemer er heel anders uitziet dan voor een anderen, dat zij dus afhangt van de omgeving of het coördinatenstelsel ten opzichte waarvan de beweging beschouwd wordt en dat ook de wijze waarop de baan doorlopen wordt, verandert wanneer men naar een ander assenstelsel overgaat. Welke is nu de omgeving, ten opzichte waarvan de bedoelde inertiaalbeweging eenparig en rechtlijnig is?

Voorzover het tot de zeventiende-eeuwse mechanici is doorgedrongen, welk een beklemmende vraag hiermee gesteld was, schijnen zij haar in den regel in dezen zin beantwoord te hebben, dat die omgeving niets anders is dan het spatium mundanum zelf, de lege wereldruimte. Zoals de bewegingsverschijnselen volgens het Aristotelische denken zich afspeelden tussen de vaste aarde en de buitenste spheer, verlopen ze nu tegen den onbeweeglijken achtergrond dien de ruimte vormt.

149. Dit antwoord acht Huygens volstrekt onbevredigendGa naar eind45. Het is hem even onmogelijk, een zin te verbinden aan de zegswijze, dat de oneindige ruimte in rust verkeert, als het hem zou zijn, zich iets te denken bij de bewering, dat ze zich beweegt. De termen rust en beweging worden gebruikt voor lichamen, niet voor de ruimte waarin die lichamen geplaatst zijn. Bovendien is reeds dit ‘plaatsen’ een uitdrukking zonder zin: het is niet in te zien, hoe men in de oneindige homogene lege ruimte de ene plaats van de andere zou kunnen onderscheiden.

De overtuiging, dat aan de woorden rust en beweging niet de absolute betekenis van het al of niet behouden van een bepaalde plaats in de ruimte kan worden gehecht en dat ze dus alleen gebruikt kunnen worden om de relatie van een lichaam tot een gekozen omgeving uit te drukken, wordt nog ondersteund door het inzicht, dat we reeds als relativiteits-beginsel der klassieke mechanica hebben leren kennen (IV: 117) en door Huygens met zoveel vrucht hebben zien toepassen (IV: 143): wanneer de verschijnselen van val, worp en botsing toch niet in het minst anders gaan verlopen, wanneer men aan het gehele stelsel waarin ze zich afspelen, een eenparige rechtlijnige translatie geeft, wanneer zij, om hetzelfde anders uit te drukken, niet veranderen als men ze beschouwt ten opzichte van een assenstelsel, dat ten opzichte van het oorspronkelijk gebruikte een eenparige rechtlijnige translatie bezit, kan zelfs iemand die aanvankelijk van mening is geweest, dat aan de woorden rust en beweging een absolute betekenis kan worden toegekend door ze te betrekken op het spatium mundanum, dit niet blijven volhouden. Want hoe zal hij een assenkruis dat in dit spatium vastligt, onderscheiden van een dat ten opzichte van dit spatium een rechtlijnige eenparige translatie bezit?

Huygens komt dus tot de conclusie, dat het niet den minsten zin heeft, tussen de ware beweging van een punt, die dan de beweging ten opzichte van het spatium mundanum zou zijn, en de relatieve bewegingen die het uitvoert ten opzichte van omgevingen die zelf weer ten opzichte van dit spatium in beweging zijn, te onderscheiden. Hij drukt dit kernachtig uit

[pagina 417]

door te zeggenGa naar eind46, dat de ware beweging (verus motus) relatieve beweging is, waarmee hij te kennen wil geven, dat het woord beweging eerst waarlijk zin krijgt wanneer men erbij zegt, ten opzichte van welke omgeving men het bedoelt en tevens, dat er onder de verschillende mogelijke omgevingen niet een is, die een uitzonderingspositie inneemt en het dus mogelijk maakt, een echte beweging van oneindig veel schijnbare te onderscheiden. Daar hij echter, de meningen van anderen weerleggend, den term verus motus ook vaak gebruikt in den zin dien zij er aan hechten, maar dien hij niet erkennen kan, namelijk als beweging betrokken op het spatium mundanum, draagt die kernachtigheid niet steeds tot de duidelijkheid van zijn beschouwingen bij.

150. Is het nu de bedoeling van Huygens geweest, te beweren, dat alle assenstelsels onderling gelijkwaardig zijn? Dat kan men zeker niet onderstellen. Immers hij houdt vast aan de traagheidswet: de beweging van een aan alle invloeden onttrokken stoffelijk punt moet eenparig en rechtlijnig zijn. Wanneer nu echter zulk een punt ten opzichte van een zeker assenstelsel zulk een beweging bezit, heeft het haar ongetwijfeld ook ten opzichte van alle assenstelsels, die ten opzichte van dit eerste een eenparige rechtlijnige translatie hebben, maar even zeker niet ten opzichte van alle assenstelsels die zich ten opzichte van het eerste op andere wijze bewegen. Op de vraag, hoe men nu de eerste groep, de inertiaalstelsels, van de tweede zal onderscheiden en hoe men weet, dat zij bestaan, gaat hij niet in. Het zal altijd een zwak punt van de klassieke mechanica blijven, dat zij het bestaan van een inertiaalstelsel (waaruit dat van oneindig vele andere volgt) moet postuleren en niet in staat is, er anders dan bij benadering een aan te wijzen; ze kan daardoor op de vraag, ten opzichte van welke assenstelsels de traagheidswet nu eigenlijk geldt, eigenlijk niets anders antwoorden, dan dat ze geldt ten opzichte van die stelsels waarvoor ze geldt.

Huygens is er zich wel van bewustGa naar eind47, dat de traagheidswet met het relativiteitsbeginsel der klassieke mechanica inzoverre onverbrekelijk samenhangt, dat zij met behulp van dit principe onmiddellijk voortvloeit uit wat men het antieke traagheidsbeginsel kan noemen en waarin wordt uitgesproken, dat een geheel aan uitwendige invloeden onttrokken stoffelijk punt in rust verkeert. Wanneer dit namelijk ten opzichte van een zeker assenstelsel het geval is, bezit ditzelfde punt een eenparige rechtlijnige beweging ten opzichte van alle stelsels die ten opzichte van het eerste in rechtlijnige eenparige translatie verkeren en daar men de translatiesnelheid naar willekeur kan kiezen, kan men ook zeggen, dat het punt dat in rust heette te verkeren, een willekeurige snelheid bezit, zonder dat er iets aan het punt veranderd is.

151. Men heeft hier weer eens gelegenheid, de wijdte van de klove op te merken, die de klassieke mechanica van de Aristotelische scheidt; voor de laatste was beweging altijd een toestand van een lichaam geweest; het

[pagina 418]

lichaam werd er anders van, was er om zo te zeggen persoonlijk bij betrokken; thans is beweging een relatie tot een assenstelsel geworden, die men evengoed een eigenschap van dit stelsel kan noemen als van het lichaam. Dit kan zich met enorme snelheden bewegen zonder er iets van te merken. Het verschil betreft niet alleen het verkregen resultaat. Wij zijn in een totaal andere denkspheer gekomen: van de wereld der physische werkelijkheid waar een stoffelijk voorwerp zich een weg moet banen door een weerstandbiedend medium, naar die van de mathematische idealiteit waar het denken een stoffelijk punt, d.i. een mathematisch punt, waaraan een zekere coëfficiënt, genaamd massa, verbonden is, zich in vacuo laat verplaatsen. De winst in exactheid is behaald ten koste van het contact met de wereld der zintuiglijke ervaring.

De beschouwingen die Huygens aan de relativiteit van het bewegingsbegrip wijdt, zijn helaas zeer fragmentarisch van aard; zij staan in nagelaten aantekeningen, die wel de kenmerken dragen van ontwerpen voor een samenvattende verhandeling te bevatten, maar waaruit zulk een verhandeling nooit gegroeid is. Daardoor worden tal van problemen niet ten einde gedacht. Dit is o.m. het geval met de vraag, of niet in de centrifugale verschijnselen die bij een roterend lichaam optreden en die men niet in het leven kan roepen door het lichaam stil te laten staan en er zelf om heen te lopen, een kriterium voor absolute beweging te vinden is. Huygens deelt wel mee, dat hij dit aanvankelijk ook gemeend heeft, maar er later van is teruggekomen. Het blijkt echter nietGa naar eind48, hoe die verandering van opvatting gemotiveerd wordt. We zullen zien, dat Newton aan deze kwestie grote aandacht heeft gewijd en dat hij op het door Huygens verworpen standpunt is blijven staan (IV: 297).

152. Wij hebben in het bovenstaande slechts een zeer klein gedeelte van het werk van Huygens op het gebied der mechanica kunnen bespreken en daarvoor de allereenvoudigste onderwerpen moeten uitkiezen. Reeds deze hebben echter een belangrijke verandering duidelijk kunnen maken die zich in den loop der zeventiende eeuw in het natuurwetenschappelijk denken aan het voltrekken was en wel de aanzienlijke versterking van het mathematisch karakter der toegepaste redeneringen en opgestelde theorieën. De zeer snelle ontwikkeling die de wiskunde in de zeventiende eeuw zelf doormaakte, doordat de letteralgebra tot stand kwam, de analytische meetkunde werd ingevoerd en de infinitesimaalrekening vèrgaand werd voorbereid, bracht ook de mechanica op hoger peil en werd anderzijds weer door de daarin gestelde problemen bevorderd. Er werd daardoor van de natuuronderzoekers een veel hogere mate van mathematische geschooldheid vereist dan vroeger ooit het geval was geweest. Vóór het begin der zeventiende eeuw had men in het algemeen kunnen volstaan met die mathematische ontwikkeling die van iedere wetenschappelijke vorming deel uitmaakte en ieder die deze had ondergaan, had dus wel over verschijnselen van beweging en evenwicht kunnen meespreken. Nu begon

[pagina 419]

dat al een aangelegenheid voor specialisten te worden, terwijl het vinden van waarlijk nieuwe wegen aan wiskundig zeer begaafde natuuronderzoekers als Huygens voorbehouden bleef. De vervreemding tussen de wisen natuurkunde en de andere wetenschappen, die in de negentiende en de twintigste eeuw zulke onrustbarende afmetingen zou gaan aannemen, kondigt zich hier reeds aan en toont tevens haar onvermijdelijkheid. In de abstracte spheer, waarin ze steeds meer werden overgebracht, bleken de natuurverschijnselen niet meer vatbaar voor behandeling met de uitdrukkingsmiddelen van de omgangstaal en zelfs niet met die van de wijsgerige vaktaal; ze vereisten een subtieler instrument, dat alleen de mathesis tot haar beschikking kon stellen.

G. Galilei in conflict met de kerkGa naar eind49

153. Het zal menigen lezer wellicht verwonderd hebben, dat wij in het overzicht van de ontwikkeling der astronomie, waarmee we dit hoofdstuk begonnen, naast Copernicus, Tycho Brahe en Kepler niet ook Galilei hebben genoemd, wiens reputatie als astronoom in de zeventiende eeuw de hunne evenaarde en wiens naam ook tegenwoordig nog bij velen als eerste in de gedachte komt, wanneer er sprake is van de vernieuwing die de astronomie door de invoering van het heliocentrische stelsel heeft ondergaan. Dat we daar over hem zwegen, had vooral dezen grond, dat zijn verdiensten van zo gans anderen aard zijn dan die van de drie figuren die we wèl behandelden. Noch op het stuk van verstelseling der astronomische feiten noch op dat der exact metende waarneming kan hij met een van hen op een lijn worden gesteld. Zijn activiteit lag op ander, meer physisch gebied en kan pas naar waarde worden geschat, nu we in de voorafgaande paragraphen iets over de ontwikkeling der mechanica hebben vernomen. We hebben daar gezien, hoe zijn beschouwingen over traagheid, relativiteit en samenstelling van bewegingen er voor een groot deel op gericht waren, de bezwaren van physischen aard die tegen het denkbeeld van een aardbeweging plachten te worden aangevoerd, te weerleggen. Wat hij op dit gebied bereikt heeft, is indirect natuurlijk ten zeerste aan de astronomie ten goede gekomen, doordat het de aanvaarding van het Copernicaanse stelsel heeft bevorderd en het ontstaan van een mechanica der hemelbewegingen heeft voorbereid. Het behoort echter niet tot wat in de zeventiende eeuw onder astronomie werd verstaan.

154. Dat deden wèl de waarnemingen die hij met den kijker verrichtte. Hij is de eerste geweest, die met behulp van dit kort geleden in de Nederlanden uitgevonden instrument ontdekkingen aan den hemel heeft gedaan, die, behalve hun waarde als feiten, voor hem de grote subjectieve betekenis bezaten, dat zij hem versterkten in zijn overtuiging van de juistheid van het stelsel van Copernicus en hem er toe dreven, de openlijke

[pagina 420]

verdediging van dat stelsel ter hand te nemen. Dat heeft toen geleid tot het befaamde conflict met de Inquisitie, dat in zijn eigen tijd zoveel beroering heeft verwekt en dat nog tegenwoordig de geesten vervult en de meningen verdeeld houdt. Daardoor neemt hij in de geschiedenis, niet alleen van de natuurwetenschappen, maar ook in die van de cultuur in het algemeen, een uitzonderlijke positie in, die we hier tot uiting brengen door nogmaals een afzonderlijke paragraaf aan hem te wijden, waarin dan tevens zijn werk als astronoom kort kan worden weergegeven.

155. In het jaar 1610 werd de geleerde wereld in opschudding gebracht door het verschijnen van Galilei's werkje Nuncius Sidereus of Sterrenboodschap (zo, niet als Sterrenbode is volgens zijn eigen latere toelichtingGa naar eind50 het woord te verstaan), waarin hij de ontdekkingen beschreef die hij met den kijker aan den hemel gedaan had: het maanoppervlak vertoonde grote oneffenheden, die er een aardachtig karakter aan gaven, de melkweg en enkele nevelvlekken losten zich op in verzamelingen van kleine sterren en de planeet Jupiter bleek manen te bezitten. Er bestond voor die opschudding alle reden. Niet dat het allemaal ongehoorde feiten waren, waarover hij berichtte. Plutarchus had in zijn werk De facie in orbe lunae reeds op de physische verwantschap van maan en aarde gewezen en het vermoeden, dat de melkweg uit een groot aantal sterren zou bestaan, was in de Oudheid ook al wel geopperd. Maar het is iets anders, mee te delen, deze dingen werkelijk te hebben gezien dan ze op speculatieve wijze te onderstellen. En dat Jupiter manen zou bezitten, had nooit iemand vermoed. Bovendien was de aardachtigheid van de maan een bewering, die in strijd was met de Aristotelische physica, waarin ook het laagste hemellichaam toch altijd nog essentieel van de aarde verschilde. En dat Jupiter manen had, vormde weliswaar geen rechtstreeks argument tegen het stelsel van Ptolemaios, waarin, als er voor bewegingen van planeten om cirkelvormig bewegende punten plaats was, bewegingen van manen om planeten toch zeker wel konden worden aangenomen, maar het belette de tegenstanders van Copernicus, het nog langer onmogelijk te noemen, dat de aarde in haar wenteling om de zon haar maan met zich mee zou kunnen voeren.

In hetzelfde jaar waarin de Nuncius Sidereus verscheen, voegde Galilei aan de daarin beschreven ontdekkingen die van de phasen van Venus toe, terwijl hij tevens bekend maakte, dat de planeet Saturnus zich in den kijker vertoonde als uit drie stukken bestaande (de eerste waarneming van wat Huygens als een ring om de planeet zou zien).

156. De mededelingen van Galilei vonden over het algemeen aanvankelijk weinig geloof. Dat is niet zo onbegrijpelijk en schandelijk, als het in populaire geschriften wel eens wordt voorgesteld. Vooreerst was de kijker een volkomen onbekend instrument, waarvan niemand de werking begreep. Galilei zelf ook niet; hij had het instrument niet alleen niet uitgevonden, zoals hij in den titel van den Nuncius beweerde, maar hij was ook

[pagina 421]

te weinig bedreven in de optica om zich rekenschap te kunnen geven van de beginselen waarop de werking berust en wanneer hij zegt, dat hij zich bij de constructie heeft laten leiden door de leer der breking, dan is dat waarschijnlijk niet veel meer dan grootspraak. Bovendien was bij een demonstratie die hij te Bologna ten huize van den astronoom Magini gegeven had, geen der aanwezigen in staat geweest, een van de manen van Jupiter, die hij beweerde waargenomen te hebben, te ontwaren; als men bedenkt, hoe primitief het instrument en hoe volkomen ongeoefend in telescopisch waarnemen het gezelschap nog geweest moet zijn, behoeft men ter verklaring daarvan niet eens kwade trouw aan te nemen. De algemene opvatting was dan ook weldra, dat wanneer iemand de mediceïsche sterren (zo had Galilei de manen ter ere van het Florentijnse vorstenhuis genoemd) wèl in den kijker kon zien, ze zeker wel op een of andere manier in het glas zouden zitten.

157. Galilei beschouwde zijn ontdekkingen als even zovele argumenten voor het Copernicaanse wereldstelsel. Dat waren ze, objectief beschouwd, natuurlijk niet. Er was er geen bij, waarvan men in het stelsel van Ptolemaios geen rekenschap zou hebben kunnen geven. Ze konden dienen om de ongegrondheid van zekere bezwaren tegen Copernicus aan te tonen en ze staan in zoverre dus op een lijn met de physische beschouwingen over aardbeweging die we in de voorafgaande paragraphen hebben leren kennen, dat ze samen met deze tot het inzicht in de wetenschappelijke houdbaarheid van het heliocentrische wereldbeeld konden, ja moesten, leiden. Tot de aanvaarding daarvan verplichten konden ze echter niet.

De kwestie van de aardbeweging - daarom en niet om het zuiver astronomische probleem, hoe men de planetenbeweging het eenvoudigst kon redden, werd eigenlijk de gehele strijd gevoerd - was echter niet alleen van natuurwetenschappelijken aard; ze hing onverbrekelijk samen met vragen van wereldbeschouwelijk en daardoor ook van theologisch karakter en beroerde dus de gemoederen veel heftiger dan een zuiver vakwetenschappelijke aangelegenheid ooit zou hebben kunnen doen.

Het poneren van de aardbeweging, niet als een mathematische kunstgreep ter vereenvoudiging van de berekeningen der astronomen, maar als een physische realiteit - het was duidelijk, dat Galilei dit beoogde en dat de verzoeningspoging van Osiander op hem geen vat had gehad - beduidde namelijk een in den wortel aantasten van het Aristotelisch-Thomistisch wereldbeeld, dat met de Christelijke geloofsleer in eenzelfden metaphysischen bodem verankerd lag en moest dus behalve, van de zijde van astronomen die hun wetenschap niet van hun wereldbeschouwing gescheiden konden of wilden houden, ook van die der theologen afweerreacties uitlokken. Er werd hier zo diep ingegrepen in voorstellingen die van wezenlijke betekenis leken voor het religieuse leven - reeds dadelijk de ruimtelijke uitzonderingspositie in de wereld van het toneel

[pagina 422]

waarop zich het drama van de menswording Gods en de verlossing der mensheid had afgespeeld - dat een in de objectieve spheer der zuivere wetenschap verlopende discussie nauwelijks kon worden verwacht.

158. Deze is dan ook uitgebleven: in alle landen waar de mare van het nieuwe wereldstelsel doordrong, hebben de theologen zich instinctief bedreigd gevoeld in hun heiligste goederen en overal hebben zij zich tegen de heliocentrische gedachte teweergesteld. Daar zij zich daarbij voornamelijk beriepen op plaatsen uit de H. Schrift waar het stilstaan van de aarde in het centrum der wereld ondubbelzinnig uitgesproken scheen te staan (b.v. Josua 10:12; Ps. 18:6; Ps. 103:5; Eccl. 1:4)Ga naar eind51, werd een aangelegenheid die op zuiver natuurwetenschappelijke gronden behandeld had behoren te worden, vermengd met kwesties van schriftinterpretatie en daardoor onredbaar vertroebeld.

In de meeste gevallen heeft de theologische oppositie niet veel meer uitwerking gehad dan dat ze de ontwikkeling der heliocentrische astronomie min of meer vertraagd heeft en aan haar verdedigers enige onaangenaamheden heeft bezorgd. Dat ze daarentegen in het geval van Galilei tot een conflict van wereldhistorische betekenis heeft gevoerd, berust op gronden die ten dele van wezenlijken, ten dele van bijkomstigen aard zijn. Tot de bijkomstige kan men de persoonlijke veten rekenen die het verloop van de zaak hebben beïnvloed en waaraan het fel polemisch optreden dat Galilei steeds gekenmerkt heeft, wel niet vreemd zal zijn geweest; tot de wezenlijke, dat hij als Katholiek in geloofsaangelegenheden onderworpen was aan het gezag der kerkelijke overheid en dat het hem als leek niet, zoals den Protestant Kepler, vrijstond, zich te mengen in methodische vragen over de interpretatie van de H. Schrift en nog minder, een eigen interpretatie van de Bijbelteksten die op den toestand van rust of beweging der aarde betrekking hebben, voor de officieel aanvaarde in de plaats te willen stellen.

159. Dat het H. Officie aanleiding vond, zich met de zaak te bemoeien, toen zij te Florence eenmaal tot openlijk schandaal gevoerd had, is begrijpelijk. De wijze waarop dit geschied is, getuigt echter van een onvoldoend inzicht in de ware betekenis van de opgeworpen kwestie en van de draagwijdte die de genomen beslissing zou blijken te bezitten. Op 24 Februari 1616 werd namelijk over de twee hieronder vermelde stellingen, waarin men blijkbaar het wezenlijke van het Copernicaanse stelsel meende samengevat te hebben, de volgende uitspraak gedaan:

Ten eerste: De zon is het centrum der wereld en geheel onbeweeglijk in plaatselijke beweging.
Oordeel: Allen hebben gezegd, dat de genoemde propositie dwaas en absurd is in de philosophie en formeel ketters, in zoverre als zij uitdrukkelijk in tegenspraak is met uitspraken, die de H. Schrift op vele plaatsen volgens de betekenis der woorden en volgens de gebruikelijke verklaring en uitlegging van de Heilige Vaders en de doctoren der theologie doet.

[pagina 423]

Ten tweede: De aarde is niet het centrum der wereld en ook niet onbeweeglijk, maar zij beweegt zich als geheel en ook met een dagelijkse beweging.
Oordeel: Allen hebben gezegd, dat deze propositie hetzelfde oordeel krijgt in de philosophie en dat zij, wat de theologische waarheid betreft, op zijn minst een dwaling in het geloof beduidt.

Het heeft het H. Officie wel zeer aan hogere leiding ontbroken, toen het deze uitspraak deed. Door verband te leggen tussen natuurwetenschappelijke stellingen die uiteraard in de toekomst even zeer vatbaar waren voor weerlegging als voor bevestiging, en een geloof dat per definitionem geen weerlegging behoefde te vrezen en geen bevestiging van node had, opende het de mogelijkheid, dat de verdere ontwikkeling der natuurwetenschap het geloof kon compromitteren, welke mogelijkheid al heel spoedig werkelijkheid zou worden. Dat het college zich niet heeft bekreund om de vraag, of het door de genomen beslissing de beoefening der wetenschap, die toch een legitieme geestelijke functie van den menselijken geest is, ook in den weg stond, mag geen aanleiding tot verwijt zijn; de bevordering der wetenschap maakte geen deel uit van de verstrekte opdracht. Dat het echter zo lichtzinnig heeft gehandeld ten aanzien van het bezit, tot bescherming waarvan het uitdrukkelijk was ingesteld, heeft ten allen tijde trouwe zonen der Kerk - waarvoor Blaise Pascal als voorbeeld genoemd kan worden - vervuld met machteloze ergernis, die tot verbittering uitgroeide, toen zij zagen, met hoeveel graagte haar vijanden er wapens uit smeedden om haar te bestrijden.

160. Het was niet meer dan een logische consequentie van de genomen beslissing, dat het werk De Revolutionibus van Copernicus in afwachting van verbetering werd geschorst en evenzo, dat Galilei het bevel kreeg, de gecensureerde opinie op te geven en hem verboden werd, haar op enigerlei wijze in woord of geschrift te houden, te leren of te verdedigen. Volgens het niet geheel duidelijke proces-verbaal van de mededeling van dit gebod heeft Galilei er zich bij neergelegd en beloofd te zullen gehoorzamen⁵¹.

Wanneer hij die belofte inderdaad heeft afgelegd, lijdt het geen twijfel, dat hij haar ook gebroken heeft. De Dialogo sopra i due massimi sistemi del Mondo, Tolemaico e Copernicano, die hij in 1632 liet verschijnen, is één ononderbroken en onomwonden verdediging van het Copernicaanse stelsel, waarin de hier en daar op bevel van den Pauselijken censor ingelaste verklaringen, dat de auteur niet beweren wil, wat hij ten duidelijkste al maar door beweert, dat namelijk het Copernicaanse stelsel de waarheid bevat en dat slechts domheid en achterlijkheid dat kunnen ontkennen, meer honend dan verzoenend werken.

Dat de Inquisitie zich, ondanks het feit, dat het Imprimatur verleend was, bij het verschijnen van dit werk niet heeft neergelegd, is weer ten volle begrijpelijk. Maar aan de wijsheid en den tact, die de even gecompliceerde als delicate situatie vereiste, heeft het de leiding der Kerk in

[pagina 424]

1633 in nog veel hogere mate ontbroken dan toen zeventien jaar geleden de fatale beslissing viel, waaruit zij was voortgevloeid. Men kan overtuigd zijn, dat het Galilei-proces anders verlopen zou zijn wanneer het inplaats van door Paus Urbanus VIII door een figuur van het formaat van Thomas van Aquino was bestuurd. Natuurlijk zou er wel een modus hebben kunnen worden gevonden om het conflict in verzoenenden geest te beslechten en daardoor de harmonie tussen geloof en wetenschap, die de Kerk steeds zozeer ter harte is gegaan, te redden. Inplaats daarvan heeft men een ouden man tot een smadelijke herroeping gedwongen, waarin hij alles terugnam wat hij eens met al de kracht van zijn schitterenden geest en zijn vurige ziel beleden had.

161. Men noemt Galilei wel eens een martelaar der wetenschap. Wie dat doet, kent het verloop van het Galilei-proces niet of hij weet niet wat een martelaar is. Galilei heeft zich het gehele proces door juist als het tegenovergestelde van een martelaar gedragen; hij heeft alles gedaan wat hij kon om zich vrij te pleiten van een schuld die hij in formelen zin ongetwijfeld op zich had geladen, namelijk de verdediging van het Copernicaanse stelsel, en hij is daarbij niet teruggedeinsd voor de meest abjecte zelfvernedering. Niemand heeft het recht, hem hiervan een verwijt te maken; wetenschappelijke overtuiging inspireert nu eenmaal minder gemakkelijk tot heroïsme dan geloof. Men moet echter de categorieën niet verwarren en hem niet eren voor een houding die men beter doet te versluieren. Wel kunnen alle partijen hem voor die houding dankbaar zijn: de R.K. Kerk, omdat zij niet gedwongen is geweest tot de consequenties waartoe standvastigheid van den aangeklaagde haar zou moeten hebben voeren; de natuurwetenschap, omdat hij haar in de jaren die hem na het proces nog gegund waren, de schoonste vrucht van zijn geest, de Discorsi, geschonken heeft.

162. Er is in het gehele Galilei-proces slechts één wijs man geweest, de kardinaal Bellarminus. Reeds een jaar voor de beslissing van 1616 gaf deze in een briefGa naar eind52 aan den Carmeliet Foscarini aan hem en Galilei den raad, het Copernicaanse stelsel ex suppositione te behandelen, dus alleen te betogen, dat de verschijnselen der planeten eenvoudiger te redden zijn, wanneer men de zon dan wanneer men de aarde als wereldcentrum kiest. Met het oog op de moeilijkheden die van theologische zijde waren opgeworpen, achtte hij het de aangewezen gedragslijn om, zolang er geen doorslaggevende bewijzen voor de aardbeweging geleverd waren, op deze wijze de astronomie ongestoord te blijven beoefenen en de harmonie met het geloof in stand te houden. Galilei echter, overtuigd als hij was, dat hij die bewijzen wel bezat (waarin hij, zoals we thans weten, dwaalde) was voor dit soort wijsheid, die dezelfde was als die van Osiander, nu juist helemaal ongevoelig en zo hij al ooit getracht heeft, er naar te handelen, heeft hij het toch niet van zichzelf kunnen verkrijgen, dit te blijven doen. Ga naar eind53